İkinci dereceden bir denklemin kökünün tanımını formüle edin. İkinci dereceden bir denklemin kökleri. Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme

Sadece. Formüllere ve açık, basit kurallara göre. İlk aşamada

verilen denklemi standart bir forma getirmek gerekir, yani. bakmak:

Eğer denklem size bu formda verilmişse ilk adımı yapmanıza gerek yoktur. En önemli şey doğru

tüm katsayıları belirlemek, a, B ve C.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formül.

Kök işaretinin altındaki ifadeye denir. ayrımcı ... Gördüğünüz gibi x'i bulmak için

kullanmak sadece a,b ve c. Onlar. katsayılar ikinci dereceden denklem... Sadece dikkatlice değiştirin

anlam a, b ve c bu formüle girin ve sayın. ile değiştir onlar tarafından işaretler!

Örneğin, denklemde:

a =1; B = 3; C = -4.

Değerleri değiştirin ve şunu yazın:

Örnek neredeyse çözüldü:

İşte cevap.

En yaygın hatalar anlam işaretleri ile karıştırılmasıdır. bir, b ve ile birlikte... Aksine, ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Burada, formülün ayrıntılı bir gösterimi kaydedilir

belirli sayılarla. Hesaplama sorunlarınız varsa, yapın!

Bu örneği çözmeniz gerektiğini varsayalım:

Buraya a = -6; B = -5; C = -1

Tüm işaretler ve parantezlerle hiçbir şeyi kaçırmadan her şeyi ayrıntılı olarak, dikkatlice boyarız:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin, bunun gibi:

Şimdilik, hataları büyük ölçüde azaltacak en iyi uygulamaları not edin.

İlk resepsiyon... önce tembel olmayın ikinci dereceden denklemin çözümü standart forma getirin.

Ne anlama geliyor?

Diyelim ki, bazı dönüşümlerden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle ihtimalleri karıştıracaksınız. a, b ve c.

Örneği doğru bir şekilde oluşturun. Önce X'in karesi alınır, sonra karesiz, sonra serbest üye. Bunun gibi:

Eksilerden kurtulun. Nasıl? Tüm denklemi -1 ile çarpmanız gerekir. Alırız:

Ama şimdi köklerin formülünü güvenle yazabilir, diskriminantı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz.

Kendin Yap. Kök 2 ve -1 olmalıdır.

İkinci resepsiyon. Kökleri kontrol edin! Tarafından Vieta teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için, yani. katsayı ise

x 2 + bx + c = 0,

sonrax 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -B

Tam bir ikinci dereceden denklem için bir ≠ 1:

x 2 +Bx +C=0,

tüm denklemi şuna böl a:

→ →

nerede x 1 ve x 2 - denklemin kökleri.

Resepsiyon üçüncü... Denkleminizde kesirli katsayılar varsa, kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak payda denklemi.

Çıktı. Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce, ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, kuruyoruz sağ.

2. Karede x'in önünde negatif bir katsayı varsa toplamı çarparak eleriz.

-1 ile denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, tüm denklemi karşılık gelen ile çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

faktör.

4. x kare safsa, katsayı bire eşitse, çözüm şu şekilde kolayca kontrol edilebilir:

Video eğitimi 2: İkinci dereceden denklemleri çözme

Ders: ikinci dereceden denklemler

denklem

denklem- bu, ifadelerinde değişken olan bir tür eşitliktir.

Denklemi çözün- onu doğru eşitliğe getirecek bir değişken yerine böyle bir sayı bulmak demektir.

Bir denklemin bir çözümü olabilir, birkaç çözümü olabilir veya hiç çözümü olmayabilir.

Herhangi bir denklemi çözmek için, mümkün olduğu kadar basitleştirilmelidir:

Doğrusal: a * x = b;

Meydan: a * x 2 + b * x + c = 0.

Yani, herhangi bir denklem çözülmeden önce standart bir forma dönüştürülmelidir.

Herhangi bir denklem iki şekilde çözülebilir: analitik ve grafiksel.

Grafikte, denklemin çözümü, grafiğin OX eksenini kestiği noktalar olarak kabul edilir.

ikinci dereceden denklemler

Bir denklem, basitleştirildiğinde şu şekli alırsa kare olarak adlandırılabilir:

a * x 2 + b * x + c = 0.

nerede bir, b, c sıfırdan farklı denklemin katsayılarıdır. A "NS"- denklemin kökü. İkinci dereceden bir denklemin iki kökü olduğuna veya hiç bir çözümü olmayabileceğine inanılmaktadır. Ortaya çıkan kökler aynı olabilir.

"a" karekökün önündeki katsayıdır.

"B"- birinci derecede bilinmeyenin önünde durur.

"ile birlikte" denklemin serbest terimidir.

Örneğin, formun bir denklemi varsa:

2x 2 -5x + 3 = 0

İçinde "2" denklemin en yüksek terimindeki katsayı, "-5" ikinci katsayı ve "3" serbest terimdir.

İkinci Dereceden Bir Denklemi Çözme

İkinci dereceden bir denklemi çözmenin birçok yolu vardır. Ancak okul matematik dersinde, çözüm Vieta teoremine göre ve diskriminant kullanılarak işlenir.

Diskriminant çözümü:

Bu yöntemi kullanarak çözerken, aşağıdaki formülü kullanarak diskriminantı hesaplamak gerekir:

Hesaplamalar sırasında diskriminantın sıfırdan küçük olduğunu alırsanız, bu denklemin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Diskriminant sıfır ise, denklemin iki özdeş çözümü vardır. Bu durumda polinom, kısaltılmış çarpma formülü ile toplamın veya farkın karesine daraltılabilir. Sonra bunu lineer bir denklem olarak çözün. Veya şu formülü kullanın:

Diskriminant sıfırdan büyükse, aşağıdaki yöntemi kullanmanız gerekir:

Vieta teoremi

Denklem azaltılırsa, yani baştaki terimdeki katsayı bire eşitse, o zaman kullanabilirsiniz. Vieta teoremi.

Öyleyse, denklemin şöyle olduğunu varsayalım:

Denklemin kökleri aşağıdaki gibi bulunur:

Eksik İkinci Dereceden Denklem

Biçimi katsayıların mevcudiyetine bağlı olan eksik bir ikinci dereceden denklem elde etmek için birkaç seçenek vardır.

1. İkinci ve üçüncü katsayılar sıfır ise (b = 0, c = 0), o zaman ikinci dereceden denklem şöyle olacaktır:

Bu denklemin benzersiz bir çözümü olacaktır. Eşitlik ancak denklemin çözümü olarak sıfır varsa doğru olacaktır.

Tam bir ikinci dereceden denklemin şu şekilde bir denklem olduğunu hatırlatırız:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözmek, verilenlerden biraz daha zordur (sadece biraz).

Unutma, herhangi bir ikinci dereceden denklem, diskriminant kullanılarak çözülebilir!

Hatta eksik.

Yöntemlerin geri kalanı bunu daha hızlı yapmanıza yardımcı olacaktır, ancak ikinci dereceden denklemlerle ilgili sorunlarınız varsa, önce diskriminant kullanarak çözümü öğrenin.

1. İkinci dereceden denklemleri diskriminant kullanarak çözme.

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek çok basittir, asıl şey eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır.

Eğer öyleyse, denklemin 2 kökü vardır. 2. adıma özellikle dikkat etmeniz gerekir.

Diskriminant D bize denklemdeki kök sayısını söyler.

• Eğer öyleyse, adımdaki formül azaltılacaktır. Böylece, denklemin tüm kökü olacaktır.
• Eğer öyleyse, adımda diskriminanttan kökü çıkaramayacağız. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim.

Fonksiyon grafiği bir paraboldür:

Denklemlerimize geri dönelim ve bazı örneklere bakalım.

Örnek 9

Denklemi çözün

Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Yani denklemin iki kökü vardır.

Aşama 3.

Cevap:

Örnek 10

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Yani denklemin bir kökü vardır.

Cevap:

Örnek 11

Denklemi çözün

Denklem standart biçimde sunulmuştur, bu nedenle Aşama 1 atlamak.

Adım 2.

Diskriminantı buluyoruz:

Bu nedenle, diskriminanttan kökü çıkaramayacağız. Denklemin kökü yoktur.

Artık bu tür yanıtları nasıl doğru yazacağımızı biliyoruz.

Cevap: Kök yok

2. İkinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözme

Hatırlarsanız, indirgenmiş olarak adlandırılan bu tür denklemler vardır (a katsayısı eşit olduğunda):

Bu tür denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi çok kolaydır:

köklerin toplamı verilen ikinci dereceden denklem eşittir ve köklerin ürünü eşittir.

Sadece, çarpımı denklemin serbest terimine eşit olan bir çift sayı seçmeniz gerekir ve toplam, zıt işaretle alınan ikinci katsayıdır.

Örnek 12

Denklemi çözün

Bu denklem Vieta teoremini kullanarak çözmek için uygundur, çünkü ...

Denklemin köklerinin toplamı eşittir, yani. ilk denklemi elde ederiz:

Ve ürün şuna eşittir:

Sistemi oluşturalım ve çözelim:

• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Cevap: ; .

Örnek 13

Denklemi çözün

Cevap:

Örnek 14

Denklemi çözün

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Cevap:

KUADRATİK DENKLEMLER. ORTALAMA SEVİYE

İkinci Dereceden Denklem nedir?

Başka bir deyişle, ikinci dereceden bir denklem, bilinmeyenin olduğu, ayrıca bazı sayıların olduğu formun bir denklemidir.

Numaraya en büyüğü denir veya ilk oranlar ikinci dereceden denklem, - ikinci katsayı, a - Ücretsiz Üye.

Çünkü eğer, denklem hemen lineer hale gelecektir, çünkü yok olmak.

Ayrıca ve sıfıra eşit olabilir. Bu sandalyede denklem denir eksik.

Tüm terimler yerindeyse, yani denklem - tamamlayınız.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

Başlamak için, eksik ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemlerini analiz edeceğiz - bunlar daha basittir.

Aşağıdaki denklem türleri ayırt edilebilir:

I., bu denklemde katsayı ve kesişme eşittir.

II. , bu denklemde katsayı.

III. , bu denklemde serbest terim eşittir.

Şimdi bu alt türlerin her birinin çözümüne bakalım.

Açıkçası, bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

Kare bir sayı negatif olamaz, çünkü iki negatif veya iki pozitif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman pozitif bir sayı olacaktır. Bu yüzden:

eğer, o zaman denklemin çözümü yok;

eğer iki kökümüz varsa

Bu formüllerin ezberlenmesine gerek yoktur. Hatırlanması gereken en önemli şey, daha az olamayacağıdır.

İkinci dereceden denklemleri çözme örnekleri

Örnek 15

Cevap:

Negatif kökleri asla unutma!

Örnek 16

Bir sayının karesi negatif olamaz, yani denklem

kök yok.

Sorunun çözümü olmadığını kısaca kaydetmek için boş küme ikonunu kullanıyoruz.

Cevap:

Örnek 17

Yani, bu denklemin iki kökü vardır: ve.

Cevap:

Ortak çarpanı parantezden çıkarın:

Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, ürün sıfıra eşittir. Bu, denklemin şu durumlarda bir çözümü olduğu anlamına gelir:

Yani, bu ikinci dereceden denklemin iki kökü vardır: ve.

Örnek:

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın ve kökleri bulun:

Cevap:

Tam ikinci dereceden denklemleri çözme yöntemleri

1. Ayrımcı

İkinci dereceden denklemleri bu şekilde çözmek kolaydır, asıl şey eylem sırasını ve birkaç formülü hatırlamaktır. Unutmayın, herhangi bir ikinci dereceden denklem diskriminant kullanılarak çözülebilir! Hatta eksik.

Kök formülündeki diskriminantın kökünü fark ettiniz mi?

Ancak diskriminant negatif olabilir.

Ne yapalım?

2. adıma özellikle dikkat etmek gerekir. Diskriminant bize denklemin kök sayısını gösterir.

• Eğer, o zaman denklemin bir kökü varsa:
• Eğer, o zaman denklem aynı köke sahipse, ancak aslında bir köke sahipse:

  Bu tür köklere çift kök denir.

• Eğer, o zaman diskriminantın kökü çıkarılmaz. Bu, denklemin kökü olmadığını gösterir.

Neden farklı sayıda kök var?

İkinci dereceden denklemin geometrik anlamına dönelim. Fonksiyon grafiği bir paraboldür:

İkinci dereceden bir denklem olan özel durumda.

Ve bu, ikinci dereceden denklemin köklerinin, apsis ekseni (eksen) ile kesişme noktaları olduğu anlamına gelir.

Parabol, ekseni hiç kesmeyebilir veya bir (parabolün tepe noktası eksen üzerinde olduğunda) veya iki noktada kesişebilir.

Ek olarak, katsayı, parabolün dallarının yönünden sorumludur. Eğer, o zaman parabolün dalları yukarı doğru ve eğer - o zaman aşağı doğru yönlendirilir.

İkinci dereceden denklemleri çözmeye 4 örnek

Örnek 18

Cevap:

Örnek 19

Cevap: .

Örnek 20

Cevap:

Örnek 21

Yani çözümler yok.

Cevap: .

2. Vieta teoremi

Vieta teoremini kullanmak çok kolaydır.

Sadece ihtiyacın var almakçarpımı denklemin serbest terimine eşit olan böyle bir sayı çifti ve toplamı, zıt işaretle alınan ikinci katsayıdır.

Vieta teoreminin yalnızca şu durumlarda uygulanabileceğini hatırlamak önemlidir. indirgenmiş ikinci dereceden denklemler ().

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 22

Denklemi çözün.

Çözüm:

Bu denklem Vieta teoremini kullanarak çözmek için uygundur, çünkü ... Diğer katsayılar:; ...

Denklemin köklerinin toplamı:

Ve ürün şuna eşittir:

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini alalım ve toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir;
• ve. Miktar eşittir.

ve sistemin çözümü:

Böylece, ve denklemimizin kökleridir.

Cevap: ; ...

Örnek 23

Çözüm:

Üründe verilen sayı çiftlerini seçelim ve sonra toplamlarının eşit olup olmadığını kontrol edelim:

ve: toplam verilir.

ve: toplam verilir. Almak için, sadece iddia edilen köklerin işaretlerini değiştirmek yeterlidir: ve sonuçta iş.

Cevap:

Örnek 24

Çözüm:

Denklemin serbest terimi negatiftir, yani köklerin çarpımı negatif bir sayıdır. Bu, ancak köklerden birinin negatif, diğerinin pozitif olması durumunda mümkündür. Bu nedenle köklerin toplamı modüllerinin farkı.

Üründe verilen ve farkı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

ve: farkları eşittir - uymuyor;

ve: - uymuyor;

ve: - uymuyor;

ve: - uyuyor. Sadece köklerden birinin negatif olduğunu hatırlamak kalır. Toplamları eşit olması gerektiğinden, kök mutlak değerde negatif olmalıdır:. Kontrol ediyoruz:

Cevap:

Örnek 25

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Serbest terim negatiftir, yani köklerin çarpımı negatiftir. Ve bu ancak denklemin bir kökü negatif, diğeri pozitif olduğunda mümkündür.

Çarpımı eşit olan bu tür sayı çiftlerini seçelim ve ardından hangi köklerin negatif işarete sahip olması gerektiğini belirleyelim:

Açıkçası, sadece kökler ve ilk koşul için uygundur:

Cevap:

Örnek 26

Denklemi çözün.

Çözüm:

Denklem azaltılır, bu şu anlama gelir:

Köklerin toplamı negatiftir, yani köklerden en az biri negatiftir. Ancak çarpımları pozitif olduğundan, her iki kök de eksi işaretine sahiptir.

Çarpımı şuna eşit olan sayı çiftlerini seçelim:

Açıkçası, sayılar ve köklerdir.

Cevap:

Katılıyorum, bu iğrenç ayrımcıyı saymak yerine sözlü olarak kök bulmak çok uygun.

Vieta teoremini olabildiğince sık kullanmaya çalışın!

Ancak köklerin bulunmasını kolaylaştırmak ve hızlandırmak için Vieta teoremi gereklidir.

Kârlı bir şekilde kullanmak için eylemleri otomatizme getirmelisiniz. Ve bunun için beş örneğe daha karar verin.

Ama hile yapmayın: ayrımcıyı kullanamazsınız! Sadece Vieta teoremi!

Bağımsız çalışma için Vieta teoremi üzerine 5 örnek

Örnek 27

Görev 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Vieta teoremi ile:

Her zamanki gibi seçime bir parça ile başlıyoruz:

Uygun değil, çünkü miktar;

: miktar ihtiyacınız olan şeydir.

Cevap: ; ...

Örnek 28

Görev 2.

Ve yine en sevdiğimiz Vieta teoremi: toplam çalışmalı, ancak ürün eşittir.

Ancak olmaması gerektiği için, ancak köklerin işaretlerini değiştiriyoruz: ve (toplamda).

Cevap: ; ...

Örnek 29

Görev 3.

Hmm... Nerede o?

Tüm terimleri tek bir bölüme aktarmak gerekir:

Köklerin toplamı ürüne eşittir.

Bu yüzden dur! Denklem verilmez.

Ancak Vieta teoremi sadece yukarıdaki denklemlerde geçerlidir.

Yani önce denklemi getirmelisin.

Eğer konuyu açamıyorsanız, bu girişimi bırakın ve başka bir şekilde çözün (örneğin, diskriminant aracılığıyla).

İkinci dereceden bir denklem getirmenin, önde gelen katsayıyı şuna eşitlemek anlamına geldiğini hatırlatmama izin verin:

O zaman köklerin toplamı eşittir ve ürün.

Buradan almak kolaydır: sonuçta - bir asal sayı (totoloji için üzgünüm).

Cevap: ; ...

Örnek 30

Görev 4.

Serbest terim negatiftir.

Bu kadar özel olan ne?

Ve köklerin farklı işaretlerde olacağı gerçeği.

Ve şimdi, seçim sırasında köklerin toplamını değil, modüllerinin farkını kontrol ediyoruz: bu fark eşittir, ancak ürün.

Yani, kökler eşittir ve bunlardan biri eksi iledir.

Vieta teoremi bize köklerin toplamının zıt işaretli ikinci katsayıya eşit olduğunu söyler, yani.

Bu, daha küçük kökün bir eksiye sahip olacağı anlamına gelir: ve, o zamandan beri.

Cevap: ; ...

Örnek 31

Görev 5.

Yapılacak ilk şey nedir?

Bu doğru, denklemi verin:

Yine: sayının çarpanlarını seçiyoruz ve aralarındaki fark şöyle olmalı:

Kökler eşittir ve bunlardan biri eksidir. Hangi? Toplamları eşit olmalıdır, bu, eksi ile daha büyük bir kök olacağı anlamına gelir.

Cevap: ; ...

özetle

1. Vieta teoremi sadece verilen ikinci dereceden denklemlerde kullanılır.
2. Vieta teoremini kullanarak sözlü olarak seçim yaparak kökleri bulabilirsiniz.
3. Denklem verilmezse veya uygun bir serbest terim çarpanı çifti yoksa, tam kök yoktur ve bunu başka bir şekilde (örneğin, diskriminant aracılığıyla) çözmeniz gerekir.

3. Tam bir kare seçme yöntemi

Bilinmeyeni içeren tüm terimler, kısaltılmış çarpma formüllerinden - toplamın veya farkın karesi - terimler şeklinde temsil edilirse, değişkenleri değiştirdikten sonra, denklem türün eksik bir ikinci dereceden denklemi olarak temsil edilebilir.

Örneğin:

Örnek 32

Denklemi çözün:.

Çözüm:

Cevap:

Örnek 33

Denklemi çözün:.

Çözüm:

Cevap:

Genel olarak, dönüşüm şöyle görünecektir:

Bu şu anlama gelir: .

Bir şeye benzemiyor mu?

Bu bir ayrımcı! Bu doğru, diskriminant formülünü bulduk.

KUADRATİK DENKLEMLER. KISACA ANA HAKKINDA

İkinci dereceden denklem formun bir denklemidir, bilinmeyen nerede, ikinci dereceden denklemin katsayılarıdır, serbest terimdir.

Tam ikinci dereceden denklem- katsayıların sıfıra eşit olmadığı bir denklem.

Azaltılmış ikinci dereceden denklem- katsayının olduğu bir denklem, yani:.

Eksik İkinci Dereceden Denklem- katsayısı ve/veya serbest terim c'nin sıfıra eşit olduğu bir denklem:

• katsayı ise, denklem şu şekildedir:,
• serbest terim ise, denklem şu şekildedir:,
• eğer ve, denklem şu şekildedir:.

1. Eksik ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

1.1. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Bilinmeyeni ifade edelim:,

2) İfadenin işaretini kontrol edin:

• eğer denklemin çözümü yoksa,
• ise, denklemin iki kökü vardır.

1.2. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

1) Ortak faktörü parantezlerden dışarı çekin:,

2) Faktörlerden en az biri sıfıra eşitse, ürün sıfıra eşittir. Bu nedenle, denklemin iki kökü vardır:

1.3. Formun eksik ikinci dereceden denklemi, burada:

Bu denklemin her zaman sadece bir kökü vardır:

2. Formun tam ikinci dereceden denklemlerini çözmek için algoritma

2.1. Diskriminant çözümü

1) Denklemi standart forma getirelim:,

2) Diskriminantı, denklemin kök sayısını gösteren formül: ile hesaplıyoruz:

3) Denklemin köklerini bulun:

• eğer, o zaman denklemin formül tarafından bulunan kökleri vardır:
• eğer, o zaman denklemin aşağıdaki formülle bulunan bir kökü vardır:
• eğer öyleyse denklemin kökü yoktur.

2.2. Vieta teoremini kullanarak çözüm

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (formun denklemleri, burada) eşittir ve köklerin çarpımı eşittir, yani. , a.

2.3. Tam kare çözüm

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller. Gerçek, çoklu ve karmaşık kök durumları ele alınır. Bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırma. Geometrik yorumlama. Kök belirleme ve çarpanlara ayırma örnekleri.

İçerik

Ayrıca bakınız: İkinci dereceden denklemleri çevrimiçi çözme

Temel formüller

İkinci dereceden bir denklem düşünün:
(1) .
Kuadratik Kökler(1) aşağıdaki formüllerle belirlenir:
; .
Bu formüller şu şekilde birleştirilebilir:
.
İkinci dereceden denklemin kökleri bilindiğinde, ikinci derece polinom, faktörlerin bir ürünü olarak temsil edilebilir (faktörleştirilmiş):
.

Ayrıca, bunların gerçek sayılar olduğunu varsayıyoruz.
Düşünmek ikinci dereceden diskriminant:
.
Diskriminant pozitifse, ikinci dereceden denklem (1) iki farklı gerçek köke sahiptir:
; .
O halde kare üç terimlinin çarpanlara ayrılması:
.
Diskriminant sıfır ise, ikinci dereceden denklem (1) iki çoklu (eşit) gerçek köke sahiptir:
.
çarpanlara ayırma:
.
Diskriminant negatifse, ikinci dereceden denklem (1) iki karmaşık eşlenik köke sahiptir:
;
.
İşte hayali bir birim;
ve - köklerin gerçek ve hayali kısımları:
; .
Sonra

.

Grafik yorumlama

fonksiyonu çizersen
,
hangi bir parabol ise, grafiğin eksenle kesişme noktaları denklemin kökleri olacaktır.
.
Grafik, apsis eksenini (ekseni) iki noktada () kestiğinde.
Grafik bir noktada () apsis eksenine dokunduğunda.
Grafik, apsis eksenini () geçmediğinde.

Faydalı İkinci Dereceden Denklemler

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

Dönüşümler gerçekleştiriyor ve formüller (f.1) ve (f.3) uyguluyoruz:




,
nerede
; .

Böylece, formda ikinci dereceden bir polinom için bir formül elde ettik:
.
Dolayısıyla denklemin olduğu görülmektedir.

gerçekleştirildi
ve .
Yani, onlar ikinci dereceden denklemin kökleridir.
.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini belirleme örnekleri

örnek 1

(1.1) .

.
Denklemimiz (1.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant pozitif olduğu için denklemin iki gerçek kökü vardır:
;
;
.

Bundan kare üç terimlinin çarpanlara ayrılmasını elde ederiz:

.

Fonksiyon grafiği y = 2 x 2 + 7 x + 3 apsis eksenini iki noktada keser.

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) iki noktada keser:
ve .
Bu noktalar orijinal denklemin (1.1) kökleridir.

;
;
.

Örnek 2

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(2.1) .

İkinci dereceden denklemi genel formda yazalım:
.
Orijinal denklem (2.1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant sıfır olduğundan, denklemin iki çoklu (eşit) kökü vardır:
;
.

O zaman üç terimlinin çarpanlara ayrılması:
.

Fonksiyon grafiği y = x 2 - 4 x + 4 bir noktada apsis eksenine dokunur.

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenine (eksene) bir noktada temas eder:
.
Bu nokta, orijinal denklemin (2.1) köküdür. Bu kök, çarpanlara ayırma işlemine iki kez girdiği için:
,
o zaman böyle bir kök genellikle çoklu olarak adlandırılır. Yani iki eşit kök olduğuna inanırlar:
.

;
.

Örnek 3

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulun:
(3.1) .

İkinci dereceden denklemi genel formda yazalım:
(1) .
Orijinal denklemi (3.1) yeniden yazıyoruz:
.
(1) ile karşılaştırıldığında, katsayıların değerlerini buluyoruz:
.
Diskriminantı buluyoruz:
.
Diskriminant negatiftir. Bu nedenle, geçerli kökler yoktur.

Karmaşık kökler bulunabilir:
;
;
.

Sonra


.

Fonksiyonun grafiği apsis eksenini kesmiyor. Geçerli kök yok.

fonksiyonu çizelim
.
Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Apsis eksenini (ekseni) geçmez. Bu nedenle, geçerli kökler yoktur.

Geçerli kök yok. Karmaşık kökler:
;
;
.

Ayrıca bakınız:

», Yani, birinci dereceden denklemler. Bu derste analiz edeceğiz ikinci dereceden denklem denir ve nasıl çözüleceği.

İkinci dereceden denklem denir

Önemli!

Denklemin derecesi, bilinmeyenin bulunduğu en büyük dereceye göre belirlenir.

Bilinmeyenin bulunduğu maksimum güç "2" ise, önünüzde ikinci dereceden bir denklem var.

İkinci dereceden denklem örnekleri

• 5x 2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

Önemli! İkinci dereceden denklemin genel görünümü şöyle görünür:

A x 2 + b x + c = 0

"A", "b" ve "c" sayıları verilmiştir.

• "A" - ilk veya en önemli katsayı;
• "B" ikinci katsayıdır;
• "C" ücretsiz bir üyedir.

"a", "b" ve "c"yi bulmak için denkleminizi ikinci dereceden "ax 2 + bx + c = 0" denkleminin genel formuyla karşılaştırmanız gerekir.

İkinci dereceden denklemlerde "a", "b" ve "c" katsayılarını tanımlama alıştırması yapalım.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 - 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

denklem	oranlar
bir = 5 b = -14 c = 17
bir = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• bir = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0.25x = 0

• bir = 1
• b = 0.25
• c = 0

x 2 - 8 = 0

• bir = 1
• b = 0
• c = -8

İkinci dereceden denklemler nasıl çözülür

Lineer denklemlerin aksine, ikinci dereceden denklemleri çözmek için özel bir kök bulma formülü.

Unutma!

İkinci dereceden bir denklemi çözmek için ihtiyacınız olan:

• ikinci dereceden denklemi "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna getirin. Yani sağ tarafta sadece "0" kalmalıdır;
• kökler için formülü kullanın:

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için bir formülün nasıl kullanılacağına bir örnek verelim. İkinci dereceden denklemi çözelim.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" denklemi zaten "ax 2 + bx + c = 0" genel biçimine indirgenmiştir ve ek basitleştirmeler gerektirmez. Bunu çözmek için uygulamamız yeterli ikinci dereceden bir denklemin köklerini bulma formülü.

Bu denklem için "a", "b" ve "c" katsayılarını tanımlayalım.

x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =

Onun yardımı ile herhangi bir ikinci dereceden denklem çözülür.

"x 1; 2 =" formülünde, radikal ifade genellikle değiştirilir
"B 2 - 4ac" harfi ile "D" ve diskriminant olarak adlandırılır. Diskriminant kavramı, "Disriminant nedir" dersinde daha ayrıntılı olarak tartışılmaktadır.

İkinci dereceden bir denklemin başka bir örneğini düşünün.

x 2 + 9 + x = 7x

Bu formda "a", "b" ve "c" katsayılarını belirlemek oldukça zordur. İlk önce denklemi "ax 2 + bx + c = 0" genel formuna getirelim.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

Artık kök formülü kullanabilirsiniz.

X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =

6

2

x = 3
Cevap: x = 3

İkinci dereceden denklemlerde köklerin olmadığı zamanlar vardır. Bu durum, formülde kök altında negatif bir sayı bulunduğunda ortaya çıkar.