Pisagor teoremine göre denklemler. Pisagor teoremini kanıtlama yöntemleri. Üç tarafta benzer geometrik şekiller

Pisagor teoremi yalnızca dik açılı üçgenler için geçerli olduğundan, size verilen üçgenin dik açılı olduğundan emin olun. Dik açılı üçgenlerde, üç açıdan biri her zaman 90 derecedir.

Dik üçgende dik açı, eğik açı olan eğriyle değil, kare simgesiyle gösterilir.

Üçgenin kenarları için yönergeler ekleyin. Bacakları "a" ve "b" (bacaklar - dik açılarda kesişen taraflar) ve hipotenüs "c" (hipotenüs - en büyük taraf) olarak etiketleyin. sağ üçgenkarşı yalan dik açı).

Üçgenin hangi tarafını bulmak istediğinizi belirleyin. Pisagor teoremi, bir dik üçgenin herhangi bir tarafını bulmanızı sağlar (diğer iki taraf biliniyorsa). Hangi tarafı (a, b, c) bulmanız gerektiğini belirleyin.

Örneğin, 5'e eşit bir hipotenüs verildiğinde ve 3'e eşit bir bacak verildiğinde, bu durumda ikinci ayağı bulun. Bu örneğe daha sonra geri döneceğiz.
Diğer iki taraf bilinmiyorsa, Pisagor teoremini uygulayabilmek için bilinmeyen taraflardan birinin uzunluğunu bulmak gerekir. Bunu yapmak için temel kullanın trigonometrik fonksiyonlar (eğer size eğik açılardan birinin değeri verilirse).

Formülde a 2 + b 2 \u003d c 2 verdiğiniz değerleri (veya bulduğunuz değerleri) değiştirin. A ve b'nin bacaklar ve c'nin hipotenüs olduğunu unutmayın.

Örneğimizde şunu yazın: 3² + b² \u003d 5².

Bildiğiniz her tarafı kareye alın. Veya dereceleri bırakın - daha sonra sayıların karesini alabilirsiniz.

Örneğimizde şunu yazın: 9 + b² \u003d 25.

Denklemin bir tarafında bilinmeyen tarafı izole edin. Bunu yapmak için bilinen değerleri denklemin diğer tarafına aktarın. Hipotenüsü bulursanız, o zaman Pisagor teoreminde denklemin bir tarafında zaten izole edilmiştir (bu yüzden hiçbir şey yapılmasına gerek yoktur).

Örneğimizde, bilinmeyen b²'yi izole etmek için 9'u denklemin sağ tarafına taşıyın. B² \u003d 16 alacaksınız.

Ayıkla kare kök denklemin her iki tarafından. Bu aşamada denklemin bir tarafında bilinmeyen (karesi) ve diğer tarafında serbest terim (sayı) vardır.

Örneğimizde, b² \u003d 16. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın ve b \u003d 4 olsun. Yani ikinci ayak 4 .

Çok çeşitli pratik durumlarda uygulanabileceğinden, Pisagor teoremini günlük yaşamınızda kullanın. Bunu yapmak için, günlük yaşamda dik açılı üçgenleri tanımayı öğrenin - iki nesnenin (veya çizginin) dik açılarda kesiştiği ve üçüncü bir nesnenin (veya çizginin) ilk iki nesnenin (veya çizginin) üstlerini (çapraz olarak) bağladığı herhangi bir durumda, şunları yapabilirsiniz: bilinmeyen tarafı bulmak için Pisagor teoremini kullanın (diğer iki taraf biliniyorsa).

Örnek: bir binaya yaslanmış bir merdiven verildiğinde. Merdivenlerin tabanı duvarın tabanından 5 metre uzaklıktadır. Merdivenlerin tepesi yerden 20 metre yükseklikte (duvarın yukarısında). Merdivenler ne kadar uzun?
- "Duvarın tabanından 5 metre uzaklık" a \u003d 5 anlamına gelir; "Yerden 20 metre uzakta", b \u003d 20 anlamına gelir (yani, binanın duvarı ile Dünya'nın yüzeyi dik açılarda kesiştiği için size bir dik üçgenin iki ayağı verilir). Merdivenin uzunluğu, bilinmeyen hipotenüsün uzunluğudur.
  - a² + b² \u003d c²
  - (5) ² + (20) ² \u003d c²
  - 25 + 400 \u003d c²
  - 425 \u003d c²
  - c \u003d √425
  - c \u003d 20.6. Yani merdivenin yaklaşık uzunluğu 20.6 metre.

Pisagor teoremi şöyle der:

Dik üçgende, bacakların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir:

bir 2 + b 2 \u003d c 2,

bir ve b - dik açı oluşturan bacaklar.
itibaren - üçgenin hipotenüsü.

Pisagor teoremi formülleri

a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (bir ^ (2) + b ^ (2))

Pisagor teoreminin kanıtı

Dik açılı bir üçgenin alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Rasgele bir üçgenin alanını hesaplamak için alan formülü şu şekildedir:

p - yarı çevre. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r Yazılı dairenin yarıçapıdır. Dikdörtgen için r \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Ardından, üçgenin alanı için her iki formülün sağ tarafını eşitliyoruz:

\\ frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ sağ)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Ters Pisagor teoremi:

Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman üçgen dikdörtgendir. Yani, herhangi bir üçlü pozitif sayı için a, b ve cöyle ki

bir 2 + b 2 \u003d c 2,

bacakları olan dik bir üçgen var bir ve b ve hipotenüs c.

Pisagor teoremi - Dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri. Bilim adamı matematikçi ve filozof Pisagor tarafından kanıtlandı.

Teoremin anlamı diğer teoremleri kanıtlamak ve problemleri çözmek için kullanılabilir.

Ek malzeme:

Pisagor teoremi: Bacaklara oturan karelerin alanlarının toplamı ( bir ve b), hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanına eşittir ( c).

Geometrik formülasyon:

Başlangıçta teorem şu şekilde formüle edildi:

Cebirsel formülasyon:

Yani, bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade etmek için c ve bacakların uzunlukları bir ve b :

bir 2 + b 2 = c 2

Teoremin her iki ifadesi de eşdeğerdir, ancak ikinci ifade daha temeldir, alan kavramını gerektirmez. Yani, ikinci ifade alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve sadece dik üçgenin kenarlarının uzunlukları ölçülmeden kontrol edilebilir.

Ters Pisagor teoremi:

Kanıt

Tabii ki, kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunların en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin, diferansiyel denklemler kullanarak).

Benzer üçgenler aracılığıyla

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan ispatların en basitidir. Özellikle bir figürün alanı kavramını kullanmaz.

İzin vermek ABC dik açılı bir üçgen var C... Yüksekliği buradan çizelim C ve temelini şu şekilde gösterir: 'H... Üçgen ACH üçgen gibi ABC iki köşede. Benzer şekilde üçgen CBH benzer ABC... Gösterime giriş

anlıyoruz

Eşdeğeri nedir

Ekleyerek, anlıyoruz

Alan kanıtı

Aşağıda verilen ispatlar, görünen sadeliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değildir. Hepsi, kanıtı Pisagor teoreminin kendisinin ispatından daha zor olan alan özelliklerini kullanır.

Eşit tamamlayıcılık kanıtı

Şekil 1'de gösterildiği gibi dört eşit dik açılı üçgeni düzenleyin.
Kenarlarla dörtgen c iki dar açının toplamı 90 ° ve katlanmamış açı 180 ° olduğu için bir karedir.
Tüm şeklin alanı, bir yandan kenarları (a + b) olan bir karenin alanı ve diğer yandan dört üçgen ve iki iç karenin alanlarının toplamıdır.

Quod erat demonstrandum

Ölçeklendirme yoluyla kanıt

Permütasyon ile zarif kanıt

Bu tür ispatlardan birinin bir örneği, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin permütasyonla ayaklar üzerine inşa edilmiş iki kareye dönüştürüldüğü sağdaki çizimde gösterilmektedir.

Öklid kanıtı

Öklid'in kanıtı için çizim

Öklid'in kanıtı için örnek

Soldaki çizimi düşünün. Bunun üzerine, dik açılı bir üçgenin kenarlarına kareler oluşturduk ve hipotenüs AB'ye dik olan C dik açısının tepe noktasından bir ışın s çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilmiş ABIK karesini sırasıyla BHJI ve HAKJ olmak üzere iki dikdörtgene böler. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.

DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım Bunu yapmak için, yardımcı bir gözlem kullanalım: Bu dikdörtgenin yüksekliği ve tabanı aynı olan bir üçgenin alanı, verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını tabanın ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına eşit olduğu (şekilde gösterilmemiştir), bu da AHJK dikdörtgeninin yarısına eşittir.

Şimdi ACK üçgeninin alanının da DECA karesinin yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey, ACK ve BDA üçgenlerinin eşit olduğunu kanıtlamaktır (çünkü BDA üçgeninin alanı, yukarıdaki özelliğe göre karenin alanının yarısına eşittir). Eşitlik açıktır, üçgenler iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı. Yani - AB \u003d AK, AD \u003d AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90 ° döndürüyoruz, o zaman söz konusu iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının çakışacağı açıktır (çünkü karenin tepe noktasındaki açı 90 °).

BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeni arasındaki alanların eşitliği hakkındaki mantık tamamen benzerdir.

Böylece hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanının, ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamı olduğunu kanıtlamış olduk. Bu ispatın arkasındaki fikir, yukarıdaki animasyonla daha da açıklanmaktadır.

Leonardo da Vinci'nin kanıtı

İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.

Simetriden görüldüğü şekliyle, parçayı düşünün. Cben kareyi keser birB'HJ iki özdeş parçaya (üçgenler birBC ve J'Hben yapı olarak eşittir). Saat yönünün tersine 90 derece döndürdüğümüzde, gölgeli şekillerin eşit olduğunu görürüz. CbirJben ve G,DbirB ... Şimdi, gölgeli şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarılarının ve orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatta son adım okuyucuya bırakılmıştır.

Sonsuz küçük yöntemle kanıt

Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki ispat, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.

Şekilde gösterilen çizime bakmak ve yandaki değişimi gözlemlemek bir, kenarların sonsuz küçük artışları için aşağıdaki oranı yazabiliriz itibaren ve bir (üçgenlere benzerlik kullanarak):

Sonsuz küçük yöntemle kanıt

Değişkenleri ayırma yöntemini kullanarak buluyoruz

Her iki bacağın artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için daha genel bir ifade

Bu denklemi entegre ederek ve kullanarak başlangıç \u200b\u200bkoşulları, anlıyoruz

c 2 = bir 2 + b 2 + sabit.

Böylece istenen cevaba ulaşıyoruz

c 2 = bir 2 + b 2 .

Görülmesi kolay olduğu için, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki doğrusal orantılılık nedeniyle ortaya çıkarken, toplam, farklı bacakların artışlarından gelen bağımsız katkılarla ilgilidir.

Bacaklardan birinde artış olmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir (bu durumda bacak b ). Sonra sabit entegrasyon için elde ederiz

Varyasyonlar ve genellemeler

Bacaklarda kareler yerine başka benzer şekiller inşa edersek, Pisagor teoreminin aşağıdaki genellemesi doğrudur: Dik açılı bir üçgende, benzer figürlerin bacaklara yapılan alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine inşa edilen figürün alanına eşittir. Özellikle:
- Bacaklar üzerine inşa edilen düzenli üçgen alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine inşa edilen düzgün bir üçgenin alanına eşittir.
- Bacaklar üzerine inşa edilen yarım daire alanlarının toplamı (çapta olduğu gibi), hipotenüs üzerine inşa edilen yarım daire alanına eşittir. Bu örnek, iki çemberden oluşan yaylarla sınırlanmış ve hipokrat lunes adını taşıyan figürlerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılır.

Tarih

Chu-pei MÖ 500-200. Sol yazıt: Yükseklik ve taban uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesidir.

Eski Çin kitabı Chu-Pei, 3, 4 ve 5 numaralı tarafları olan bir Pisagor üçgeninden bahsediyor: Aynı kitapta, Bashara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden birine denk düşen bir çizim öneriliyor.

Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3 ² + 4 ² \u003d 5 ² eşitliğinin MÖ 2300 civarında Mısırlılar tarafından zaten bilindiğine inanıyor. e., Kral I. Amenemhat zamanında (Berlin Müzesi papirüs 6619'a göre). Cantor'a göre, harpedonaptlar veya "ip çekmeleri", kenarları 3, 4 ve 5 olan dik açılı üçgenler kullanarak dik açılar oluşturdu.

İnşa biçimlerini yeniden üretmek çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alın ve renkli bir şerit boyunca 3 m mesafeden ona bağlayın. bir ucundan ve diğerinden 4 metre. Dik açı, 3 ve 4 metre uzunluğundaki kenarlar arasında kapatılacaktır. Harpedonapts, örneğin tüm marangozlar tarafından kullanılan ahşap kare kullanırsanız, inşa etme yöntemlerinin gereksiz hale geleceğini iddia edebilirler. Nitekim, böyle bir aletin, örneğin bir marangoz atölyesini tasvir eden çizimlerin bulunduğu Mısır çizimleri bilinmektedir.

Babil Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey bilinmektedir. Hammurabi zamanına, yani MÖ 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. BC'de, dik açılı bir üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Buradan, Mezopotamya'da, en azından bazı durumlarda, dik açılı üçgenlerle hesaplamalar yapmayı bildikleri sonucuna varabiliriz. Van der Waerden (Hollandalı matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan Yunan kaynaklarının eleştirel bir çalışmasına dayanarak şu sonuca varmıştır:

Edebiyat

Rusça

Skopets Z.A. Geometrik minyatürler. M., 1990
Yelensky Sch. Pisagor'un izinden. M., 1961
Van der Waerden B.L. Uyanış bilimi. Eski Mısır, Babil ve Yunanistan'ın Matematiği. M., 1959
Glazer G.I. Okulda matematik tarihi. M., 1982
V. Litzman, "Pisagor Teoremi" M., 1960.
- Pisagor teoremi ile ilgili çok sayıda kanıt içeren bir site, malzeme V. Litzman'ın kitabından alınmış, çok sayıda çizim ayrı grafik dosyaları şeklinde sunulmuştur.
Pisagor teoremi ve Pisagor üçlüsü, DV Anosov'un "Matematiğe Bir Bakış ve Ondan Bir Şey" adlı kitabından bir bölüm.
Pisagor teoremi ve kanıtlama yöntemleri üzerine G.Glazer, Rusya Eğitim Akademisi Akademisyeni, Moskova

İngilizcede

WolframMathWorld'de Pisagor Teoremi (eng.)
Cut-The-Knot, Pisagor teoremi üzerine bir bölüm, yaklaşık 70 kanıt ve zengin ek bilgi

Wikimedia Vakfı. 2010.

Pisagor teoremi İlişkiyi kuran Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biridir

dik üçgenin kenarları arasında.

Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor.

Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu.

Başlangıçta teorem şu şekilde formüle edildi:

Dik açılı bir üçgende, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanı, karelerin alanlarının toplamına eşittir,

bacaklar üzerine inşa edilmiştir.

Pisagor teoreminin cebirsel formülasyonu.

Dik açılı bir üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Yani, bir üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade etmek için cve bacakların uzunlukları bir ve b:

Her iki formülasyon pisagor teoremlerieşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha temeldir, değildir

alan kavramını gerektirir. Yani ikinci ifade, bölge hakkında hiçbir şey bilmeden kontrol edilebilir ve

sadece dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını ölçerek.

Pisagor'un ters teoremi.

Üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman

dikdörtgen üçgen.

Veya başka bir deyişle:

Üçlü pozitif sayılar için bir, b ve cöyle ki

bacakları olan dik bir üçgen var bir ve bve hipotenüs c.

Bir ikizkenar üçgen için Pisagor teoremi.

Eşkenar üçgen için Pisagor teoremi.

Pisagor teoreminin kanıtları.

Şu anda, bu teoremin 367 kanıtı bilimsel literatürde kaydedilmiştir. Muhtemelen teorem

Pisagor, bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip tek teoremdir. Böyle çeşitlilik

sadece geometri için teoremin temel anlamı ile açıklanabilir.

Tabii ki, kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunların en ünlüsü:

kanıt alan yöntemi, aksiyom ve egzotik kanıt (Örneğin,

vasıtasıyla diferansiyel denklemler).

1. Pisagor teoreminin benzer üçgenler aracılığıyla kanıtı.

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, yapım aşamasındaki ispatların en basitidir.

doğrudan aksiyomlardan. Özellikle bir figürün alanı kavramını kullanmaz.

İzin vermek ABC dik açılı bir üçgen var C... Yüksekliği buradan çizelim C ve göster

aracılığıyla temeli 'H.

Üçgen ACH üçgen gibi ABİki köşede C. Benzer şekilde üçgen CBH benzer ABC.

Gösterime giriş:

biz alırız:

karşılık gelen -

Toplayarak bir 2 ve b 2, anlıyoruz:

veya kanıtlanması gerektiği gibi.

2. Alan yöntemi ile Pisagor teoreminin kanıtı.

Aşağıda verilen ispatlar, görünen sadeliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değildir. Hepsi

kanıtı Pisagor teoreminin kendisinin ispatından daha zor olan bölgenin özelliklerini kullanmak.

Eşit tamamlayıcılıkla kanıt.

Dört eşit dikdörtgen düzenleyin

şekilde gösterildiği gibi üçgen

sağda.

Kenarlarla dörtgen c - Meydan,

iki dar açının toplamı 90 ° olduğundan ve

genişletilmiş açı - 180 °.

Tüm figürün alanı, bir yandan,

tarafı olan bir karenin alanı ( a + b) ve diğer yandan, dört üçgenin alanlarının toplamı ve

Quod erat demonstrandum

3. Pisagor teoreminin sonsuz küçük yöntemiyle kanıtı.

Şekilde gösterilen çizimi dikkate alarak ve

yan değişimi izlemekbir, yapabiliriz

sonsuz için aşağıdaki ilişkiyi yazın

küçük yan artışlaritibaren ve bir (benzerliği kullanarak

üçgenler):

Değişken ayırma yöntemini kullanarak şunları buluruz:

Her iki bacağın artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için daha genel bir ifade:

Bu denklemi entegre edip başlangıç \u200b\u200bkoşullarını kullanarak şunu elde ederiz:

Böylece istenen cevaba ulaşıyoruz:

Görülmesi kolay olduğu için, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, doğrusal

Üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki orantılılık, toplam bağımsız ile ilgilidir

farklı bacakların artışından katkılar.

Bacaklardan birinde artış olmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir.

(bu durumda bacak b). Ardından sabit entegrasyon için şunu elde ederiz:

Diğer teoremlerin ve problemlerin kaderi özeldir ... Örneğin matematikçilerden ve matematiğin amatörlerinden Pisagor teoremine bu kadar olağanüstü ilgi nasıl açıklanabilir? Neden birçoğu zaten bilinen ispatlar ile yetinmeyip kendi ispatlarını bulup, karşılaştırmalı olarak öngörülebilir yirmi beş yüzyılda birkaç yüze çıkarmışlardı?
Pisagor teoremine gelince, alışılmadık olan adıyla başlar. Pisagor'un onu formüle eden ilk kişi olmadığına inanılıyor. Kanıtını vermiş olması da şüpheli kabul edilmektedir. Pisagor gerçek bir kişiyse (bazıları bundan şüphe ediyor!), O zaman büyük olasılıkla VI-V yüzyıllarda yaşadı. M.Ö e. Kendisi hiçbir şey yazmadı, kendisine filozof adını verdi, bu da kendi anlayışına göre "bilgelik için çabalamak" anlamına geliyordu, üyeleri müzik, jimnastik, matematik, fizik ve astronomi ile uğraşan Pisagor Birliğini kurdu. Görünüşe göre, Crotone şehrinde kalışıyla ilgili aşağıdaki efsaneden de anlaşılacağı gibi mükemmel bir hatipti: "Pisagor'un Crotone'daki halkın önünde ilk ortaya çıkışı, çok katı ama aynı zamanda çok etkileyici olduğu genç erkeklere yaptığı bir konuşmayla başladı. gençlerin sorumluluklarını, şehirdeki yaşlıların onları talimat almadan bırakmamalarını istediğini ana hatlarıyla belirtti. Bu ikinci konuşmasında ailenin temeli olarak ahlakın hukuka uygunluğuna ve saflığına işaret etti; sonraki ikisinde çocuklara ve kadınlara yöneldi. Sonuç son konuşmalüksü özellikle kınadığı, binlerce değerli elbisenin Hera tapınağına teslim edilmesiydi, çünkü artık hiçbir kadın sokakta kendini göstermeye cesaret edemiyordu ... ”Bununla birlikte, MS 2. yüzyılda bile, yani, 700 yıl sonra, oldukça gerçek insanlar yaşadılar ve çalıştılar, açıkça Pisagor birliğinin etkisi altında olan ve efsaneye göre Pisagor'un yarattığı şeye büyük saygı duyan seçkin bilim adamları.
Kuşkusuz teoreme olan ilginin sebebi de matematiğin merkezi yerlerinden birini işgal etmesi ve çağımızdan önce yaşamış Romalı şair Quintus Horace Flaccus'un iyi konuştuğu, zorlukları aşan ispat yazarlarının ispat yazarlarının memnuniyetinden kaynaklanmaktadır: "Bilinen gerçekleri ifade etmek zordur" ...
Başlangıçta teorem, hipotenüs üzerine inşa edilen karelerin alanları ile dik üçgenin bacakları arasındaki ilişkiyi kurdu:
.
Cebirsel formülasyon:
Dik açılı bir üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Yani, c ile üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ve a ve b boyunca bacakların uzunluklarını belirtir: a 2 + b 2 \u003d c 2. Teoremin her iki ifadesi de eşdeğerdir, ancak ikinci ifade daha temeldir, alan kavramını gerektirmez. Yani, ikinci ifade alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve sadece dik üçgenin kenarlarının uzunlukları ölçülmeden kontrol edilebilir.
Pisagor'un ters teoremi. A, b ve c pozitif sayıların üçlüsü için
a 2 + b 2 \u003d c 2, bacak a ve b ve hipotenüs c ile dik açılı bir üçgen vardır.

Kanıt

Şu anda, bu teoremin 367 kanıtı bilimsel literatürde kaydedilmiştir. Pisagor teoremi, muhtemelen bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip tek teoremdir. Bu çeşitlilik, yalnızca geometri teoreminin temel anlamı ile açıklanabilir.
Tabii ki, kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunların en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin, diferansiyel denklemler kullanarak).

Benzer üçgenler aracılığıyla

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan ispatların en basitidir. Özellikle bir figürün alanı kavramını kullanmaz.
ABC, C dik açılı dik açılı bir üçgen olsun. C'den yüksekliği çizin ve tabanını H ile gösterin. Üçgen ACH, iki açıda ABC üçgenine benzer.
Aynı şekilde, CBH üçgeni ABC'ye benzer. Gösterime giriş

anlıyoruz

Eşdeğeri nedir

Ekleyerek, anlıyoruz

veya

Alan kanıtı

Aşağıda verilen ispatlar, görünen sadeliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değildir. Hepsi, kanıtı Pisagor teoreminin kendisinin ispatından daha zor olan alan özelliklerini kullanır.

Eşit tamamlayıcılık kanıtı

1. Şekilde gösterildiği gibi dört eşit dik açılı üçgeni yerleştirin.
2. C kenarları olan bir dörtgen, iki dar açının toplamı 90 ° ve genişletilmiş açı 180 ° olduğu için bir karedir.
3. Tüm figürün alanı, bir yandan kenarları (a + b) olan bir karenin alanı ve diğer yandan dört üçgen ile bir iç karenin alanlarının toplamıdır.

Quod erat demonstrandum

Ölçeklendirme yoluyla kanıt

Öklid kanıtı

Öklid'in ispatının arkasındaki fikir şudur: Hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanının yarısının, ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısının toplamına eşit olduğunu ve sonra büyük ve iki küçük karenin alanlarının eşit olduğunu ispatlamaya çalışalım. Soldaki çizimi düşünün. Bunun üzerine, dik açılı bir üçgenin kenarlarına kareler oluşturduk ve hipotenüs AB'ye dik olan C dik açısının tepe noktasından bir ışın s çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilmiş ABIK karesini sırasıyla BHJI ve HAKJ olmak üzere iki dikdörtgene böler. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı. DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bunun için yardımcı bir gözlem kullanıyoruz: Bu dikdörtgenin yüksekliği ve tabanı aynı olan bir üçgenin alanı, verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını tabanın ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına eşit olduğu (şekilde gösterilmemiştir), bu da AHJK dikdörtgeninin yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır. Şimdi ACK üçgeninin alanının da DECA karesinin yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey, ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini kanıtlamaktır (çünkü BDA üçgeninin alanı, yukarıdaki özelliğe göre karenin alanının yarısına eşittir). Eşitlik açıktır, üçgenler iki tarafta eşittir ve aralarındaki açı. Yani - AB \u003d AK, AD \u003d AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90 ° döndürüyoruz, o zaman söz konusu iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının çakışacağı açıktır (çünkü karenin tepe noktasındaki açı 90 °). BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeni arasındaki alanların eşitliği hakkındaki mantık tamamen benzerdir. Böylece hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanının, ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamı olduğunu kanıtlamış olduk.

Leonardo da Vinci'nin kanıtı

İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.

Simetriden de görebileceğiniz gibi, CI segmenti ABHJ karesini iki özdeş parçaya böler (çünkü ABC ve JHI üçgenleri yapı bakımından eşittir). Saat yönünün tersine 90 derece döndürme kullanarak, gölgeli rakamlar CAJI ve GDAB'nin eşitliğini görüyoruz. Şimdi, gölgeli şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarılarının toplamına ve orijinal üçgenin alanına eşit olduğu açıktır. Öte yandan, hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatta son adım okuyucuya bırakılmıştır.