2 100'ün karekökü. Bir sayının karekökü elle nasıl bulunur? Kök hesaplama örnekleri
Peki, bu karekökün aynı sayının (yani b = a) çarpımı olduğunu dikkate alırsak, yüzün karekökü 10 (100 = 10) olacaktır.
100 sayısının 25 ile 4'ün çarpımı olarak temsil edilebileceğine dikkat edilmelidir. Daha sonra hem 25 hem de 4'ün karekökünü hesaplayın. 5 ve 2. Çarpın ve ayrıca 10 elde edin.
Bu konuyu okulda ilk kez incelemeye başladığımızda, 100'ün karekökü muhtemelen anlaşılması en kolay olanlardan biriydi ve hesaplamalar. Genellikle çift (!) sayıdaki sıfırlara baktım ve hangi sayının kendisiyle çarpıldığında karekök altındaki rakamı verdiğini hemen hesapladım. Örneğin 10000 olsaydı bu sayının karekökü şöyle olurdu: yüz (100x100 = 10000). Sayı metrekarenin altındaysa kök altı sıfırsa cevap üç sıfır içerecektir. Vesaire.
Bu durumda sayıda yalnızca iki sıfır vardır, yani iki onluk vardır. Bu yüzden, 100'ün karekökü 10'dur. Kontrol ediyoruz: 10x10 = 100
Hesaplamak kare kök birkaç yöntem kullanabilirsiniz.
1) Hesap makinesi veya hesaplama programı yüklü bir akıllı telefon/tablet/bilgisayar alın, 100 sayısını girin ve şuna benzeyen karekök simgesine tıklayın:
2) 100=25*4'e kadar olan sayıların kareler tablosunu bilir.
3) Bölme yöntemiyle.
4) Ayrıştırma yöntemiyle asal faktörler 100=10*10.
Teorik olarak her şeyi doğru yaparsanız 10 sonucunu alırsınız.
Bir karekökü temsil etmek için kullanılan simgeye radikal denir ve buna benzer.
Ve sayıların karelerini biliyorsanız 100'ün karekökünü çıkarmak kolaydır. 10 X 10 = 100. Yani karekök tanımına göre 100'ün karekökü 10'dur.
Muhtemelen her okul çocuğu 100 sayısının 10'a 10'un çarpımı olduğunu bilir.
Karekök kendisi ile çarpıldığında köklü bir ifade olan bir sayı olduğundan, o zaman Yüzün karekökü 10 sayısına eşittir.
100=10*10 değerini unuttuysanız köklerin özelliklerini kullanabilirsiniz:
100'ün kökü = (25*4'ün kökü) = 25'in kökü * 4'ün kökü.
Herkes 5*5 = 25 ve 2*2 = 4 olduğunu bilir. Dolayısıyla 100'ün kökü = 5 * 2 = 10 olur.
Bunu bilmiyorsanız hesap makinesini veya Excel tablolarını kullanabilirsiniz, bunların özel bir formülü vardır. KÖK. Her şey görsel olarak şu şekilde görünüyor:
Günümüzde hesap makinesi kullanarak herhangi bir sayının karekökünü hesaplamak çok kolaydır.
100'ün karekökünü sözlü olarak çıkarabilirsiniz. Sonuçta x sayısını kareye getirmenin x sayısı ile x sayısının çarpımı olduğu biliniyor.
10 10 = 100 ise 100'ün karekökü 10'dur.
Sorunun cevabı: 10 .
Matematikte karekök geleneksel bir sembolle gösterilir.
Bir sayının karekökü, karesi a'ya eşit olan negatif olmayan bir sayıdır. 10^2=100 olduğuna göre 100'ün karekökü 10'dur.
Köklerini hatırlaması çok kolay olan sayılar var. Benim için bu örneğin 25 - 5*5=25 olduğundan kök 5 olacaktır, 25*25=625 olduğundan 625 25'in köküdür.
100 sayısını da bu sayılara dahil ediyorum - kök 10 olacak, 10*10=100'ü kontrol edin. Yani bu doğru.
Yüzün karekökü mü? 10 olacak gibi görünüyor
Bir kişinin bu cevabı bulmak için internete gireceğini hayal etmek zor ama tamamen dikkatsiz ve dikkatsiz olduğunu düşünürsek cevabı veriyorum: 100 sayısının karekökü 10, ayrıca -10. Birçok kaynak bu şekilde yazıyor.
100'ün karekökünün iki değeri vardır: 10 ve -10. İnanmayanlar çarparak kontrol edebilirler.
Hesap makinesi olmadan karekökü çıkarmak için kökün altındaki sayıyı en küçük faktörlere ayırmanız ve oradan ilerlemeniz gerekir. Yani yüz sayısı için:
Ve buna göre, yüzün karekökünün tam olarak 10 olacağı buradan hemen anlaşılıyor.
Okuldan hatırladığım bir kuralı hatırlamam gerekiyordu:
Her ne kadar 100'ün kökünü çıkarmak, ömür boyu hafızaya kazınmış olduğundan hesap makinesi kullanımını gerektirmeyen basit bir konudur. 100 sayısı 10'un 10 ile çarpılmasıyla elde edilir, dolayısıyla sayı 10 ve yüzün kökü olacak.
Bir matematik ve fizik dersindeki çeşitli problemleri çözerken, öğrenciler genellikle ikinci, üçüncü veya n'inci derecenin köklerini çıkarma ihtiyacıyla karşı karşıya kalırlar. Tabii ki yüzyılda Bilişim Teknolojileri Hesap makinesi kullanarak bu sorunu çözmek zor olmayacaktır. Ancak elektronik asistanı kullanmanın imkansız olduğu durumlar ortaya çıkar.
Örneğin birçok sınav elektronik eşya getirmenize izin vermiyor. Ayrıca elinizde bir hesap makinesi olmayabilir. Bu gibi durumlarda radikallerin manuel olarak hesaplanmasına yönelik en azından bazı yöntemlerin bilinmesi faydalıdır.
Kareler tablosu kullanarak karekökleri bulma
Kökleri hesaplamanın en basit yollarından biri özel bir masa kullanmak. Nedir ve nasıl doğru şekilde kullanılır?
Tabloyu kullanarak 10'dan 99'a kadar herhangi bir sayının karesini bulabilirsiniz. Tablonun satırları onlarca değerlerini, sütunları ise birimlerin değerlerini içerir. Bir satır ile bir sütunun kesişimindeki hücrede iki basamaklı bir sayının karesi bulunur. 63'ün karesini hesaplamak için 6 değerinde bir satır ve 3 değerinde bir sütun bulmanız gerekiyor. Kavşakta 3969 numaralı bir hücre bulacağız.
Kökün çıkarılması kare almanın ters işlemi olduğundan, bu işlemi gerçekleştirmek için tam tersini yapmanız gerekir: önce radikalini hesaplamak istediğiniz sayının bulunduğu hücreyi bulun, ardından cevabı belirlemek için sütun ve satır değerlerini kullanın. . Örnek olarak 169'un karekökünü hesaplamayı düşünün.
Tabloda bu sayının olduğu bir hücre buluyoruz, yatayda onlar - 1'i, dikeyde ise birimler - 3'ü buluyoruz. Cevap: √169 = 13.
Benzer şekilde uygun tabloları kullanarak küp ve n'inci kökleri hesaplayabilirsiniz.
Yöntemin avantajı basitliği ve ek hesaplamaların olmamasıdır. Dezavantajları açıktır: Yöntem yalnızca sınırlı bir sayı aralığı için kullanılabilir (kökünün bulunduğu sayı 100 ila 9801 aralığında olmalıdır). Ayrıca verilen sayının tabloda olmaması durumunda çalışmayacaktır.
Asal çarpanlara ayırma
Kareler tablosu elinizde değilse veya onun yardımıyla kökü bulmanın imkansız olduğu ortaya çıktıysa, deneyebilirsiniz Kökün altındaki sayıyı asal çarpanlara ayırın. Asal faktörler, yalnızca kendilerine veya bire tamamen (kalansız) bölünebilen faktörlerdir. Örnekler 2, 3, 5, 7, 11, 13 vb. olabilir.
Örnek olarak √576'yı kullanarak kökü hesaplamaya bakalım. Bunu asal faktörlere ayıralım. Şu sonucu elde ederiz: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Köklerin temel özelliği olan √a² = a'yı kullanarak köklerden ve karelerden kurtulacağız ve ardından cevabı hesaplayacağız: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Çarpanlardan herhangi birinin kendi çifti yoksa ne yapmalı? Örneğin √54 hesaplamasını düşünün. Çarpanlara ayırma işleminden sonra sonucu şu şekilde elde ederiz: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Çıkarılamayan kısım kök altında bırakılabilir. Çoğu geometri ve cebir problemi için bu cevap nihai cevap olarak sayılacaktır. Ancak yaklaşık değerleri hesaplamaya ihtiyaç varsa aşağıda tartışılacak yöntemleri kullanabilirsiniz.
Heron'un yöntemi
Çıkarılan kökün neye eşit olduğunu en azından yaklaşık olarak bilmeniz gerektiğinde (bir tamsayı değeri elde etmek imkansızsa) ne yapmalısınız? Heron yöntemi kullanılarak hızlı ve oldukça doğru bir sonuç elde edilir.. Özü yaklaşık bir formül kullanmaktır:
√R = √a + (R - a) / 2√a,
burada R, kökü hesaplanması gereken sayı, a ise kök değeri bilinen en yakın sayıdır.
Yöntemin pratikte nasıl çalıştığına bakalım ve ne kadar doğru olduğunu değerlendirelim. √111'in neye eşit olduğunu hesaplayalım. Kökü bilinen 111'e en yakın sayı 121'dir. Böylece R = 111, a = 121 olur. Değerleri formülde yerine koyun:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Şimdi yöntemin doğruluğunu kontrol edelim:
10,55² = 111,3025.
Yöntemin hatası yaklaşık 0,3'tür. Yöntemin doğruluğunun iyileştirilmesi gerekiyorsa daha önce açıklanan adımları tekrarlayabilirsiniz:
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Hesaplamanın doğruluğunu kontrol edelim:
10,536² = 111,0073.
Formülü yeniden uyguladıktan sonra hata tamamen önemsiz hale geldi.
Kökün uzun bölmeyle hesaplanması
Karekök değerini bulmanın bu yöntemi öncekilere göre biraz daha karmaşıktır. Ancak hesap makinesi olmadan yapılan diğer hesaplama yöntemleri arasında en doğru olanıdır..
Diyelim ki karekökü 4 ondalık basamağa kadar doğru bulmanız gerekiyor. Rasgele bir sayı olan 1308.1912 örneğini kullanarak hesaplama algoritmasını analiz edelim.
- Kağıdı dikey bir çizgiyle 2 parçaya bölün ve ardından sağa, üst kenarın biraz altına başka bir çizgi çizin. Sol taraftaki sayıyı virgülün sağına ve soluna doğru ilerleyerek 2 haneli gruplara bölerek yazalım. Soldaki ilk rakam çiftsiz olabilir. Sayının sağ tarafındaki işaret eksikse 0 eklemelisiniz. Bizim durumumuzda sonuç 13 08.19 12 olacaktır.
- En iyisini seçelim Büyük sayı karesi ilk rakam grubundan küçük veya ona eşit olacaktır. Bizim durumumuzda 3'tür. Sağ üst köşeye yazalım; 3, sonucun ilk rakamıdır. Sağ altta 3×3 = 9'u belirtiyoruz; sonraki hesaplamalar için buna ihtiyaç duyulacaktır. Sütundaki 13'ten 9'u çıkarırsak kalan 4 olur.
- Sonraki sayı çiftini kalan 4'e atayalım; 408 elde ederiz.
- Sağ üstteki sayıyı 2 ile çarpın ve sağ alttaki sayıya _ x _ = ekleyerek yazın. 6_ x _ = elde ederiz.
- Çizgi yerine 408'den küçük veya ona eşit olan aynı sayıyı yazmanız gerekiyor. 66 × 6 = 396 elde ederiz. Sonucun ikinci rakamı olduğu için sağ üstten 6 yazıyoruz. 408'den 396'yı çıkarırsak 12 elde ederiz.
- 3-6. adımları tekrarlayalım. Aşağıya doğru kaydırılan rakamlar sayının kesirli kısmında olduğundan 6'dan sonra sağ üste bir virgül koymak gerekir. Çift sonucu tire ile yazalım: 72_ x _ =. Uygun bir sayı 1: 721×1 = 721 olacaktır. Bunu cevap olarak yazalım. 1219 - 721 = 498'i çıkaralım.
- Gerekli sayıda ondalık basamağı elde etmek için önceki paragrafta verilen işlem sırasını üç kez daha uygulayalım. Daha fazla hesaplama için yeterli karakter yoksa soldaki mevcut sayıya iki sıfır eklemeniz gerekir.
Sonuç olarak şu cevabı alıyoruz: √1308.1912 ≈ 36.1689. Eylemi bir hesap makinesi kullanarak kontrol ederseniz tüm işaretlerin doğru tanımlandığından emin olabilirsiniz.
Bitsel karekök hesaplama
Yöntem son derece doğrudur. Ayrıca oldukça anlaşılırdır ve formül veya formül ezberlemeyi gerektirmez. karmaşık algoritma eylemler, çünkü yöntemin özü doğru sonucu seçmektir.
781 sayısının kökünü çıkaralım. Eylem sırasına detaylı olarak bakalım.
- Karekök değerinin hangi basamağının en anlamlı olacağını bulalım. Bunu yapmak için 0, 10, 100, 1000 vb. sayıların karesini alalım ve radikal sayının hangisinin arasında olduğunu bulalım. 10²'yi alıyoruz< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Onlarca değerini seçelim. Bunu yapmak için, 781'den büyük bir sayı elde edene kadar sırasıyla 10, 20, ..., 90'ın kuvvetlerini artıracağız. Bizim durumumuz için 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 elde ederiz. sonucun değeri n 20 içinde olacaktır< n <30.
- Bir önceki adıma benzer şekilde birler basamağının değeri seçilir. 21.22, ..., 29'un karesini tek tek alalım: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Bunu elde ederiz: 27< n < 28.
- Sonraki her rakam (onda bir, yüzde bir vb.) yukarıda gösterildiği gibi hesaplanır. Hesaplamalar gerekli doğruluk elde edilene kadar gerçekleştirilir.
Video
Bu video size hesap makinesi kullanmadan karekökleri nasıl bulacağınızı gösterecek.
Okuryazarlığın göstergesi olan pek çok bilgi arasında alfabe ilk sırada yer almaktadır. Bir sonraki eşit derecede "işaret" unsuru, toplama-çarpma becerileri ve bunlara bitişik, ancak anlam bakımından zıt, çıkarma-bölme aritmetik işlemleridir. Uzak okul çocukluğunda öğrenilen beceriler gece gündüz sadakatle hizmet eder: TV, gazete, SMS ve okuduğumuz, yazdığımız, saydığımız, topladığımız, çıkardığımız, çarptığımız her yerde. Ve söyle bana, yazlık dışında hayatında sık sık kök çıkarmak zorunda kaldın mı? Mesela 12345 sayısının karekökü gibi eğlenceli bir problem... Şişelerde hâlâ barut var mı? Bunu halledebilir miyiz? Hiçbir şey daha basit olamaz! Hesap makinem nerede... Ve o olmadan göğüs göğüse dövüş zayıf olur mu?
Öncelikle bunun ne olduğunu açıklayalım: bir sayının karekökü. Genel olarak konuşursak, "bir sayının kökünü almak", aritmetik işlemin onu bir kuvvete yükseltmenin tersini yapmak anlamına gelir - burada yaşam uygulamasında karşıtların birliğine sahipsiniz. Diyelim ki kare, bir sayının kendisiyle çarpımıdır, yani okulda öğretildiği gibi, X * X = A veya başka bir gösterimde X2 = A ve diğer deyişle - "X kare eşittir A." O zaman ters problem şöyle görünür: A sayısının karekökü, karesi alındığında A'ya eşit olan X sayısıdır.
Karekök alma
Okul aritmetik dersinden, ilk dört aritmetik işlemi kullanarak herhangi bir hesaplamanın yapılmasına yardımcı olan "bir sütunda" hesaplama yöntemleri bilinmektedir. Ne yazık ki... Sadece kare için değil, kare için de bu tür algoritmalar mevcut değildir. Ve bu durumda hesap makinesi olmadan karekök nasıl çıkarılır? Karekök tanımına dayanarak tek bir sonuç vardır - karesi radikal ifadenin değerine yaklaşan sayıları sırayla numaralandırarak sonucun değerini seçmek gerekir. Bu kadar! Bir veya iki saat geçmeden, bir "sütun"daki iyi bilinen çarpma yöntemini kullanarak herhangi bir karekökü hesaplayabilirsiniz. Becerileriniz varsa, bu yalnızca birkaç dakika sürecektir. Bir hesap makinesinin veya PC'nin çok ileri düzeyde olmayan bir kullanıcısı bile bunu tek bir hamlede yapabilir - ilerleme.
Ancak cidden, karekök hesaplaması genellikle "topçu çatalı" tekniği kullanılarak yapılır: önce karesi yaklaşık olarak radikal ifadeye karşılık gelen bir sayı alın. “Karemiz” bu ifadeden biraz daha küçük olsa daha iyi olur. Daha sonra sayıyı kendi becerilerine ve anlayışlarına göre ayarlarlar, örneğin ikiyle çarparlar ve... tekrar karesini alırlar. Sonuç, kökün altındaki sayıdan büyükse, orijinal sayıyı art arda ayarlayarak yavaş yavaş kökün altındaki "meslektaşına" yaklaşır. Gördüğünüz gibi - hesap makinesi yok, yalnızca "bir sütunda" sayma yeteneği. Elbette, karekök hesaplamak için bilimsel olarak kanıtlanmış ve optimize edilmiş birçok algoritma vardır, ancak "ev kullanımı" için yukarıdaki teknik, sonuca% 100 güven verir.
Evet, neredeyse unutuyordum, artan okuryazarlığımızı doğrulamak için, daha önce belirttiğimiz 12345 sayısının karekökünü hesaplayalım. Bunu adım adım yapıyoruz:
1. Tamamen sezgisel olarak X=100'ü alalım. Hesaplayalım: X * X = 10000. Sezgi en iyi durumda - sonuç 12345'ten az.
2. Yine tamamen sezgisel olarak X = 120'yi deneyelim. O halde: X * X = 14400. Ve yine, sezgi sıralıdır - sonuç 12345'ten fazladır.
3. Yukarıda 100 ve 120'lik bir "çatal"ımız var. Yeni sayıları seçelim - 110 ve 115. Sırasıyla 12100 ve 13225 elde ederiz - çatal daralır.
4. "Belki" X=111'i deneyelim. X * X = 12321 elde ederiz. Bu sayı zaten 12345'e oldukça yakındır. İstenilen doğruluk doğrultusunda, elde edilen sonuçta “fit” devam ettirilebilir veya durdurulabilir. Bu kadar. Söz verildiği gibi - her şey çok basit ve hesap makinesine gerek yok.
Sadece küçük bir tarih...
Okulun öğrencileri ve Pisagor'un takipçileri olan Pisagorcular, karekök kullanma fikrini M.Ö. 800 yıllarında ortaya attılar. ve sonra sayılar alanında yeni keşiflerle "karşılaştık". Peki bu nereden geldi?
1. Sorunun kökü çıkarılarak çözülmesi, sonucu yeni bir sınıfın sayıları şeklinde verir. Bunlara irrasyonel yani “akılsız” denildi çünkü. tam sayı olarak yazılmazlar. Bu türün en klasik örneği 2'nin kareköküdür. Bu durum, bir kenarı 1 olan bir karenin köşegeninin hesaplanmasına karşılık gelir - bu Pisagor okulunun etkisidir. Çok spesifik bir birim kenar boyutuna sahip bir üçgende hipotenüsün "sonu olmayan" bir sayıyla ifade edilen bir boyuta sahip olduğu ortaya çıktı. Matematikte böyle ortaya çıktılar
2. Bu matematiksel işlemin başka bir yakalama içerdiği ortaya çıktı - kökü çıkarırken, hangi sayının, pozitif veya negatif, radikal ifadenin karesi olduğunu bilmiyoruz. Tek bir operasyonun çifte sonucu olan bu belirsizlik bu şekilde kaydedilir.
Bu olguyla ilgili problemlerin incelenmesi, matematik fiziğinde büyük pratik öneme sahip olan karmaşık değişkenler teorisi adı verilen matematikte bir yön haline gelmiştir.
Aynı her yerde bulunan I. Newton'un “Evrensel Aritmetik” te kök - radikal - tanımını kullanması ve kök gösteriminin tam olarak modern biçiminin 1690'dan beri Fransız Rolle'nin "Kılavuz" kitabından bilinmesi ilginçtir. Cebir”.
Tekrar tabelaya baktım... Ve hadi gidelim!
Basit bir şeyle başlayalım:
Bir dakika. bu, şu şekilde yazabileceğimiz anlamına gelir:
Anladım? İşte sizin için bir sonraki:
Ortaya çıkan sayıların kökleri tam olarak çıkarılmamış mı? Sorun değil; işte bazı örnekler:
Ya iki değil de daha fazla çarpan varsa? Aynısı! Kökleri çarpma formülü herhangi bir sayıda faktörle çalışır:
Artık tamamen kendi başınıza:
Yanıtlar: Tebrikler! Katılıyorum, her şey çok kolay, asıl önemli olan çarpım tablosunu bilmek!
Kök bölümü
Köklerin çarpımını çözdük, şimdi bölme işlemine geçelim.
Genel formülün şöyle göründüğünü hatırlatmama izin verin:
Bu şu anlama geliyor bölümün kökü, köklerin bölümüne eşittir.
Peki, bazı örneklere bakalım:
Bilim bundan ibarettir. İşte bir örnek:
Her şey ilk örnekteki kadar düzgün değil ama gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok.
Ya şu ifadeyle karşılaşırsanız:
Formülü ters yönde uygulamanız yeterlidir:
Ve işte bir örnek:
Ayrıca şu ifadeyle de karşılaşabilirsiniz:
Her şey aynı, sadece burada kesirlerin nasıl çevrileceğini hatırlamanız gerekiyor (hatırlamıyorsanız konuya bakın ve geri dönün!). Hatırlıyor musun? Şimdi karar verelim!
Eminim her şeyin üstesinden gelmişsinizdir, şimdi kökleri derecelere yükseltmeye çalışalım.
Üs alma
Karekökün karesi alınırsa ne olur? Çok basit, bir sayının karekökünün anlamını hatırlayın - bu, karekökü eşit olan bir sayıdır.
Peki karekökü eşit olan bir sayının karesini alırsak ne elde ederiz?
Tabii ki!
Örneklere bakalım:
Çok basit, değil mi? Ya kök farklı derecedeyse? Önemli değil!
Aynı mantığı takip edin ve özellikleri ve olası eylemleri derecelerle hatırlayın.
“” Konusuyla ilgili teoriyi okuyun ve her şey sizin için son derece netleşecektir.
Örneğin, burada bir ifade var:
Bu örnekte derece çifttir, peki ya tekse? Yine üslü sayıların özelliklerini uygulayın ve her şeyi çarpanlara ayırın:
Bununla her şey açık görünüyor, ancak bir sayının kökü bir kuvvete nasıl çıkarılır? Örneğin burada şu var:
Oldukça basit, değil mi? Derece ikiden büyükse ne olur? Derecelerin özelliklerini kullanarak aynı mantığı izliyoruz:
Peki her şey açık mı? Daha sonra örnekleri kendiniz çözün:
Ve işte cevaplar:
Kök işaretinin altına girme
Köklerle ne yapmayı öğrenmedik! Geriye kalan tek şey kök işaretinin altındaki sayıyı girme alıştırması yapmak!
Gerçekten çok kolay!
Diyelim ki bir sayı yazdık
Bununla ne yapabiliriz? Tabii ki, üçün karekökü olduğunu hatırlayarak üçü kökün altına saklayın!
buna neden ihtiyacımız var? Evet, örnekleri çözerken yeteneklerimizi genişletmek için:
Köklerin bu özelliğini nasıl buldunuz? Hayatı çok kolaylaştırıyor mu? Benim için bu kesinlikle doğru! Sadece Yalnızca karekök işaretinin altına pozitif sayılar girebileceğimizi unutmamalıyız.
Bu örneği kendiniz çözün -
Becerebildin mi? Bakalım ne almanız gerekiyor:
Tebrikler! Numarayı kök işaretinin altına girmeyi başardınız! Aynı derecede önemli bir konuya geçelim - karekök içeren sayıları nasıl karşılaştıracağımıza bakalım!
Köklerin karşılaştırılması
Neden karekök içeren sayıları karşılaştırmayı öğrenmemiz gerekiyor?
Çok basit. Çoğu zaman sınavda karşılaşılan büyük ve uzun ifadelerde mantıksız bir cevap alırız (bunun ne olduğunu hatırlıyor musunuz? Bugün bunu zaten konuşmuştuk!)
Örneğin denklemi çözmek için hangi aralığın uygun olduğunu belirlemek için alınan cevapları koordinat doğrusuna yerleştirmemiz gerekiyor. Ve burada sorun ortaya çıkıyor: Sınavda hesap makinesi yok ve o olmadan hangi sayının daha büyük, hangisinin daha az olduğunu nasıl hayal edebilirsiniz? Bu kadar!
Örneğin hangisinin daha büyük olduğunu belirleyin: veya?
Hemen söyleyemezsin. Peki, kök işaretinin altına bir sayı girmenin demonte özelliğini kullanalım mı?
O halde devam edin:
Açıkçası, kök işaretinin altındaki sayı ne kadar büyük olursa, kökün kendisi de o kadar büyük olur!
Onlar. eğer öyleyse, .
Bundan kesin olarak şu sonuca varıyoruz. Ve kimse bizi aksi yönde ikna edemeyecek!
Büyük sayılardan köklerin çıkarılması
Bundan önce kök işaretinin altına bir çarpan girmiştik ama onu nasıl kaldıracağız? Sadece onu faktörlere ayırmanız ve çıkardığınız şeyi çıkarmanız gerekiyor!
Farklı bir yol izlemek ve diğer faktörlere doğru genişlemek mümkündü:
Fena değil, değil mi? Bu yaklaşımlardan herhangi biri doğrudur, nasıl karar verirseniz verin.
Faktoring, aşağıdaki gibi standart dışı sorunları çözerken çok faydalıdır:
Korkmayalım, harekete geçelim! Kök altındaki her faktörü ayrı faktörlere ayıralım:
Şimdi kendiniz deneyin (hesap makinesi olmadan! Sınavda yer almayacaktır):
Bu son mu? Yarı yolda bırakmayalım!
Hepsi bu, o kadar da korkutucu değil, değil mi?
Olmuş? Aferin, bu doğru!
Şimdi şu örneği deneyin:
Ancak örnek, kırılması zor bir cevizdir, dolayısıyla ona nasıl yaklaşacağınızı hemen çözemezsiniz. Ama elbette halledebiliriz.
Peki, faktoringe başlayalım mı? Bir sayıyı aşağıdakilere bölebileceğinizi hemen belirtelim (bölünebilme işaretlerini hatırlayın):
Şimdi kendiniz deneyin (yine hesap makinesi olmadan!):
Peki işe yaradı mı? Aferin, bu doğru!
Özetleyelim
- Negatif olmayan bir sayının karekökü (aritmetik karekök), karesi eşit olan, negatif olmayan bir sayıdır.
. - Bir şeyin basitçe karekökünü alırsak, her zaman negatif olmayan bir sonuç elde ederiz.
- Aritmetik kökün özellikleri:
- Karekökleri karşılaştırırken, kök işaretinin altındaki sayı ne kadar büyük olursa kökün de o kadar büyük olacağını unutmamak gerekir.
Karekök nasıl? Temiz?
Karekökle ilgili sınavda bilmeniz gereken her şeyi size hiç telaş yapmadan anlatmaya çalıştık.
Senin sıran. Bu konunun sizin için zor olup olmadığını bize yazın.
Yeni bir şey mi öğrendin yoksa her şey zaten açık mıydı?
Yorumlara yazın, sınavlarınızda başarılar!
Çoğu zaman, problemleri çözerken, içinden çıkarmamız gereken büyük sayılarla karşı karşıya kalırız. Kare kök. Birçok öğrenci bunun bir hata olduğuna karar verir ve örneğin tamamını yeniden çözmeye başlar. Hiçbir durumda bunu yapmamalısınız! Bunun iki nedeni var:
- Büyük sayıların kökleri problemlerde ortaya çıkar. Özellikle metin olanlarda;
- Bu köklerin neredeyse sözlü olarak hesaplandığı bir algoritma var.
Bugün bu algoritmayı ele alacağız. Belki bazı şeyler size anlaşılmaz gelebilir. Ancak bu derse dikkat ederseniz karşı güçlü bir silaha sahip olacaksınız. Karekök.
Yani algoritma:
- Üstte ve altta gerekli kök sayısını 10'un katı olan sayılarla sınırlayın. Böylece arama aralığını 10 sayıya indireceğiz;
- Bu 10 sayıdan kesinlikle kök olamayacak olanları ayıklayın. Sonuç olarak 1-2 sayı kalacak;
- Bu 1-2 sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıya eşit olan kök olacaktır.
Bu algoritmayı uygulamaya koymadan önce her adıma tek tek bakalım.
Kök sınırlaması
Öncelikle kökümüzün hangi sayılar arasında olduğunu bulmamız gerekiyor. Sayıların onun katları olması oldukça arzu edilir:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Bir dizi sayı alıyoruz:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Bu rakamlar bize ne anlatıyor? Çok basit: sınırlara sahibiz. Örneğin 1296 sayısını ele alalım. 900 ile 1600 arasında yer alır. Dolayısıyla kökü 30'dan küçük ve 40'tan büyük olamaz:
[Resmin başlığı]
Aynı şey, karekökünü bulabileceğiniz diğer sayılar için de geçerlidir. Örneğin, 3364:
[Resmin başlığı]Böylece anlaşılmaz bir sayı yerine orijinal kökün bulunduğu çok spesifik bir aralık elde ederiz. Arama alanını daha da daraltmak için ikinci adıma geçin.
Açıkça gereksiz sayıların ortadan kaldırılması
Yani 10 sayımız var - kök için aday. Bunları çok hızlı bir şekilde, karmaşık düşünmeden ve bir sütunda çarpmadan elde ettik. Devam etme zamanı geldi.
İster inanın ister inanmayın, artık aday sayısını ikiye indireceğiz - yine karmaşık hesaplamalara gerek kalmadan! Özel kuralı bilmeniz yeterlidir. İşte burada:
Karenin son rakamı yalnızca son rakama bağlıdır orijinal numara.
Başka bir deyişle, karenin son rakamına bakın, orijinal sayının nerede bittiğini hemen anlayacağız.
Son sıraya gelebilecek sadece 10 rakam var. Kareleri alındığında neye dönüştüklerini bulmaya çalışalım. Tabloya bir göz atın:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Bu tablo kökün hesaplanmasına yönelik başka bir adımdır. Gördüğünüz gibi ikinci satırdaki sayıların beşe göre simetrik olduğu ortaya çıktı. Örneğin:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Gördüğünüz gibi her iki durumda da son rakam aynı. Bu, örneğin 3364'ün kökünün 2 veya 8 ile bitmesi gerektiği anlamına gelir. Öte yandan önceki paragraftaki kısıtlamayı hatırlıyoruz. Şunu elde ederiz:
[Resmin başlığı] Kırmızı kareler bu rakamı henüz bilmediğimizi gösteriyor. Ancak kök, 50 ile 60 arasında yer alır ve bu aralıkta yalnızca 2 ve 8 ile biten iki sayı bulunur:
[Resmin başlığı]Bu kadar! Olası tüm köklerden yalnızca iki seçenek bıraktık! Ve bu en zor durumda çünkü son rakam 5 veya 0 olabilir. Ve o zaman kökler için tek bir aday olacaktır!
Son hesaplamalar
Yani elimizde 2 aday sayımız kaldı. Hangisinin kök olduğunu nasıl anlarsınız? Cevap açık: her iki sayının karesini alın. Karesi orijinal sayıyı veren kök olacaktır.
Örneğin 3364 sayısı için iki aday sayı bulduk: 52 ve 58. Bunların karesini alalım:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.
Bu kadar! Kökün 58 olduğu ortaya çıktı! Aynı zamanda hesaplamaları basitleştirmek için toplamın ve farkın kareleri formülünü kullandım. Bu sayede sayıları bir sütunda çarpmama bile gerek kalmadı! Bu, hesaplama optimizasyonunun başka bir düzeyidir, ancak elbette tamamen isteğe bağlıdır :)
Kök hesaplama örnekleri
Teori elbette iyidir. Ama pratikte kontrol edelim.
[Resmin başlığı]
Öncelikle 576 sayısının hangi sayılar arasında olduğunu bulalım:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Şimdi son sayıya bakalım. 6'ya eşittir. Bu ne zaman olur? Yalnızca kök 4 veya 6 ile bitiyorsa iki sayı elde ederiz:
Geriye kalan tek şey her sayının karesini almak ve orijinaliyle karşılaştırmaktır:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Harika! İlk karenin orijinal sayıya eşit olduğu ortaya çıktı. Yani bu kök.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Son rakama bakalım:
1369 → 9;
33; 37.
Kare:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.
İşte cevap: 37.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]
Sayıyı sınırlandırıyoruz:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Son rakama bakalım:
2704 → 4;
52; 58.
Kare:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Cevabı aldık: 52. İkinci sayının artık karesine gerek kalmayacak.
Görev. Karekökü hesaplayın:
[Resmin başlığı]
Sayıyı sınırlandırıyoruz:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Son rakama bakalım:
4225 → 5;
65.
Gördüğünüz gibi ikinci adımdan sonra geriye tek bir seçenek kalıyor: 65. Bu istenilen kök. Ama yine de karesini alıp kontrol edelim:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Her şey doğru. Cevabını yazıyoruz.
Çözüm
Ne yazık ki, daha iyi değil. Nedenlerine bakalım. Bunlardan iki tane var:
- Herhangi bir normal matematik sınavında, ister Devlet Sınavı ister Birleşik Devlet Sınavı olsun, hesap makinelerinin kullanılması yasaktır. Ve sınıfa hesap makinesi getirirseniz sınavdan kolaylıkla atılabilirsiniz.
- Aptal Amerikalılar gibi olmayın. Köklere benzemeyenler iki asal sayıyı toplayamazlar. Ve kesirleri gördüklerinde genellikle histeriye kapılırlar.
