Vektörlerin skaler çarpımı konusundaki tüm formüller. Vektörlerin skaler çarpımı nasıl bulunur? Vektörlerin skaler çarpımının koordinat cinsinden tanımı

skaler çarpım vektörler (bundan sonra SP olarak anılacaktır). Sevgili arkadaşlar! Matematik sınavı, vektörleri çözmek için bir grup problem içerir. Bazı sorunları zaten ele aldık. Bunları "Vektörler" kategorisinde görebilirsiniz. Genel olarak, vektör teorisi basittir, asıl mesele onu tutarlı bir şekilde incelemektir. Okul matematik dersinde vektörlerle yapılan hesaplamalar ve işlemler basittir, formüller karmaşık değildir. içine bak Bu yazıda, vektörlerin ortak girişimi (sınavda yer alan) ile ilgili görevleri analiz edeceğiz. Şimdi teoriye "daldırma":

H Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.başlangıcının karşılık gelen koordinatları

Ve ilerisi:

*Vektör uzunluğu (modülü) aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bu formüller ezberlenmelidir!!!

Vektörler arasındaki açıyı gösterelim:

0 ile 180 0 arasında değişebileceği açıktır.(veya 0'dan Pi'ye radyan olarak).

Skaler çarpımın işareti hakkında bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Açıkça vektörlerin uzunlukları pozitiftir. Yani skaler çarpımın işareti, vektörler arasındaki açının kosinüsünün değerine bağlıdır.

Olası durumlar:

1. Vektörler arasındaki açı keskinse (0 0'dan 90 0'a), açının kosinüsü pozitif bir değere sahip olacaktır.

2. Vektörler arasındaki açı genişse (90 0'dan 180 0'a), açının kosinüsü negatif bir değere sahip olacaktır.

*Sıfır derecede yani vektörler aynı yöne sahipken kosinüs bire eşittir ve buna göre sonuç pozitif olacaktır.

180 o'de yani vektörler ters yönlere sahipken kosinüs eksi bire eşittir,ve sonuç negatif olacaktır.

Şimdi ÖNEMLİ NOKTA!

90 o'da yani vektörler birbirine dik olduğunda kosinüs sıfırdır ve dolayısıyla ortak girişim sıfırdır. Bu gerçek (sonuç, sonuç), bahsettiğimiz birçok sorunun çözümünde kullanılır. göreceli konum matematikteki açık görev bankasında yer alan görevler de dahil olmak üzere vektörler.

İfadeyi formüle ediyoruz: skaler çarpım, ancak ve ancak verilen vektörler dikey doğrular üzerindeyse sıfıra eşittir.

Dolayısıyla, SP vektörleri için formüller şöyledir:

Vektörlerin koordinatları veya başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı her zaman bulabiliriz:

Görevleri göz önünde bulundurun:

27724 a ve b vektörlerinin iç çarpımını bulun.

Vektörlerin skaler çarpımını iki formülden birini kullanarak bulabiliriz:

Vektörler arasındaki açı bilinmiyor ama vektörlerin koordinatlarını kolayca bulabilir ve ardından ilk formülü kullanabiliriz. Her iki vektörün de başlangıçları orijine denk geldiği için bu vektörlerin koordinatları uçlarının koordinatlarına eşittir yani

Bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağı bölümünde açıklanmıştır.

Hesaplıyoruz:

Cevap: 40

Vektörlerin koordinatlarını bulun ve aşağıdaki formülü kullanın:

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcının karşılık gelen koordinatlarını vektörün sonunun koordinatlarından çıkarmak gerekir, yani

Skaler ürünü hesaplıyoruz:

Cevap: 40

a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden veriniz.

Vektörlerin koordinatları şu şekilde olsun:

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanırız:

Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Buradan:

Bu vektörlerin koordinatları:

Bunları formüle yerleştirelim:

Vektörler arasındaki açı 45 derecedir.

Cevap: 45

Bir düzlem probleminde, a = (a x ; a y ) ve b = (b x ; b y ) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b = a x b x + a y by y

Uzamsal problemler için vektörlerin skaler çarpımı için formül

Bir uzamsal problem durumunda, a = (a x ; a y ; a z ) ve b = (b x ; b y ; bz ) vektörlerinin skaler çarpımı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

a b = a x b x + a y by y + a z b z

n-boyutlu vektörlerin iç çarpım formülü

n-boyutlu bir uzay durumunda, a = (a 1 ; a 2 ; ... ; an n ) ve b = (b 1 ; b 2 ; ... ; bn ) vektörlerinin skaler çarpımı şu şekilde bulunabilir: aşağıdaki formül:

a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ... + a n b n

Vektörlerin Nokta Ürününün Özellikleri

1. Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir:

2. Bir vektörün kendisi ile skaler çarpımı, ancak ve ancak vektör sıfır vektörüne eşitse sıfıra eşittir:

bir bir = 0<=>bir = 0

3. Bir vektörün skaler çarpımı, modülünün karesine eşittir:

4. Sayısal çarpma işlemi iletişimseldir:

5. Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sıfıra eşitse, bu vektörler ortogonaldir:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>bir ┴ b

6. (αa) b = α(a b)

7. Skaler çarpma işlemi dağılma işlemidir:

(a + b) c = bir c + b c

Vektörlerin skaler çarpımını hesaplamak için görev örnekleri

Düzlem problemleri için vektörlerin skaler çarpımını hesaplama örnekleri

a = (1; 2) ve b = (4; 8) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a b = 1 4 + 2 8 = 4 + 16 = 20.

Uzunlukları |a| olan a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulun. = 3, |b| = 6 ve vektörler arasındaki açı 60˚'dir.

Çözüm: a · b = |a| |b| çünkü α = 3 6 çünkü 60˚ = 9.

Uzunlukları |a| olan p = a + 3b ve q = 5a - 3 b vektörlerinin iç çarpımını bulun. = 3, |b| = 2 ve a ve b vektörleri arasındaki açı 60˚'dir.

Çözüm:

p q = (a + 3b) (5a - 3b) = 5 a a - 3 a b + 15 b a - 9 b b =

5 |a| 2 + 12 a · b - 9 |b| 2 \u003d 5 3 2 + 12 3 2 çünkü 60˚ - 9 2 2 \u003d 45 +36 -36 \u003d 45.

Uzamsal problemler için vektörlerin skaler çarpımını hesaplamaya bir örnek

a = (1; 2; -5) ve b = (4; 8; 1) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 = 4 + 16 - 5 = 15.

n-boyutlu vektörler için iç çarpımı hesaplama örneği

a = (1; 2; -5; 2) ve b = (4; 8; 1; -2) vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Çözüm: a b = 1 4 + 2 8 + (-5) 1 + 2 (-2) = 4 + 16 - 5 -4 = 11.

13. Vektörlerin ve bir vektörün çapraz çarpımına denir üçüncü vektör , aşağıdaki gibi tanımlanır:

2) dik, dik. (1"")

3) vektörler, tüm alanın temeli ile aynı şekilde yönlendirilir (olumlu veya olumsuz).

Atamak: .

fiziksel anlam vektör ürünü

O noktasına göre kuvvet momentidir; yarıçap, kuvvet uygulama noktasının vektörüdür, o zaman

ayrıca, O noktasına aktarılırsa, üçlü bir taban vektörü olarak yönlendirilmelidir.

1. Tanım ve basit özellikler. Sıfır olmayan a ve b vektörlerini alıp keyfi bir O noktasından bir kenara koyalım: OA = a ve OB = b. AOB açısının değeri, a ve b vektörleri arasındaki açı olarak adlandırılır ve gösterilir. (bir,b). İki vektörden en az biri sıfırsa, aralarındaki açı tanım gereği doğru kabul edilir. Tanım gereği, vektörler arasındaki açının en az 0 ve en fazla 0 olduğuna dikkat edin. . Ayrıca, iki sıfır olmayan vektör arasındaki açı, ancak ve ancak bu vektörler eş yönlü ve şuna eşitse 0'a eşittir: ancak ve ancak zıt yönlerdeyseler.

Vektörler arasındaki açının O noktasının seçimine bağlı olmadığını kontrol edelim. Vektörler eşdoğrusal ise bu açıktır. Aksi takdirde, keyfi bir noktadan kenara ayırırız O 1 vektörler 1 A 1 = bir ve o 1 İÇİNDE 1 = b ve AOB ve A üçgenlerinin olduğuna dikkat edin 1 HAKKINDA 1 İÇİNDE 1 |OA| = |O 1 A 1 | = |a|, |OB| = |O 1 İÇİNDE 1 | = |b|, |AB| = |Bir 1 İÇİNDE 1 | = |b–а|. Bu nedenle, AOB ve A açıları 1 HAKKINDA 1 İÇİNDE 1 eşittir.

Şimdi bu paragrafta asıl şeyi verebiliriz.

(5.1) Tanım. İki vektör a ve b'nin skaler çarpımı (ab ile gösterilir) sayıdır 6 , bu vektörlerin uzunluklarının ürününe ve vektörler arasındaki açının kosinüsüne eşittir. Kısaca:

ab = |a||b|cos (bir,b).

Skaler çarpımı bulma işlemine vektörlerin skaler çarpımı denir. Bir vektörün kendisi ile skaler çarpımı aa bu vektörün skaler karesi olarak adlandırılır ve a ile gösterilir. 2 .

(5.2) Bir vektörün skaler karesi, uzunluğunun karesine eşittir.

 eğer |a|  0, o zaman (a,a) = 0, nereden 2 = |a||a|cos0 = |a| 2 . a = 0 ise, o zaman a 2 = |a| 2 = 0. 

(5.3) Cauchy eşitsizliği. İki vektörün skaler çarpımının modülü, çarpanların modüllerinin çarpımını aşmaz: |ab| |a||b|. Bu durumda eşitlik, ancak ve ancak a ve b vektörleri aynı doğrusalsa elde edilir.

 Tanım gereği |ab| = ||a||b|çünkü (a,b)| = |a||b||çünkü (a,b)|  |a||b. Bu, Cauchy eşitsizliğinin kendisini kanıtlar. Şimdi fark edelim. sıfır olmayan vektörler için a ve b eşitliği ancak ve ancak |cos ise elde edilir (a,b)| = 1, yani de (bir,b) = 0 veya (bir,b) =  . İkincisi, a ve b vektörlerinin ortak yönlü veya zıt yönlü olduğu gerçeğine eşdeğerdir, yani doğrusal. a ve b vektörlerinden en az biri sıfırsa, bunlar eşdoğrusaldır ve |ab| = |a||b| = 0. 

2. Sayısal çarpmanın temel özellikleri. Bunlar aşağıdakileri içerir:

(CS1) ab = ba (değişim);

(CS2) (xa)b = x(ab) (ilişkilendirilebilirlik);

(CS3) a(b+c) = ab + ac (dağıtım).

Buradaki değişme açıktır, çünkü ab =  ba. x = 0 için çağrışımsallık da açıktır. Eğer x > 0 ise

(ha)b = |ha||b|cos (xa,b) = |x||a||b|cos (xa,b) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

için (xa, b) = (a,b) (xa ve a vektörlerinin ortak yönünden - Şekil 21). eğer x< 0, o zaman

(xa)b = |x||a||b|cos (хa,b) = –х|а||b|(–cos (a,b)) = x|a||b|cos (a,b) = x(ab),

için (xa, b) = –  (a,b) (xa ve a vektörlerinin ters yönünden - Şekil 22). Böylece çağrışımsallık da kanıtlanmış olur.

Dağıtılabilirliği kanıtlamak daha zordur. Bunun için böyle ihtiyacımız var

(5.4) Önlem. a, l doğrusuna paralel sıfır olmayan bir vektör ve b rastgele bir vektör olsun. Sonra ortogonal izdüşümB" b vektörünün l doğrusuna eşittir
.



b = 0 ise, o zamanB" = 0 ve ab = 0, böylece bu durumda lemma doğrudur. Bundan sonra, b" vektörünün sıfır olmadığını varsayacağız. Bu durumda, l düz çizgisinin keyfi bir O noktasından, OA = a ve OB = b vektörlerini bir kenara koyarız ve ayrıca B noktasından l düz çizgisine dikey BB "yi düşürürüz.ÖB" = B" Ve (bir,b) =  AOW. belirtmek AOB aracılığıyla ve aşağıdaki üç durumun her biri için lemmayı ayrı ayrı kanıtlayın:

1)  <  /2. O zaman a ve vektörleri ortak yönetmenlik (Şek. 23) ve

B" = =
=
.

2)  >  /2 . O zaman a ve vektörleriB"ters yönde (Şekil 24) ve

B" = – = –
= .

3)  =  /2. Daha sonraB" = 0 ve ab = 0, neredenB" =
= 0. 

Şimdi (CS3)'ün dağılımını ispatlıyoruz. a vektörünün sıfır olduğu açıktır. izin ver  0. Sonra bir çizgi çiz l || a ve ile gösterB" VeC" b ve c vektörlerinin ortogonal izdüşümleri üzerine ve içindenD" d = b + c vektörünün ortogonal izdüşümü olsun. Teorem 3.5 ileD" = B"+ C". Lemma 5.4'ü son eşitliğe uygulayarak eşitliği elde ederiz
=
. Bunu a ile skaler olarak çarparsak, şunu buluruz: 2 =
, bu nedenle ad = ab+ac, ki bu kanıtlanacaktı.

Tarafımızdan kanıtlanan vektörlerin skaler çarpımının özellikleri, sayıların çarpımının karşılık gelen özelliklerine benzer. Ancak sayıların çarpımının tüm özellikleri, vektörlerin skaler çarpımına taşınmaz. İşte tipik örnekler:

) Ab = 0 ise, bu a = 0 veya b = 0 anlamına gelmez. Örnek: dik açı oluşturan sıfır olmayan iki vektör.

2) Ab = ac ise, a vektörü sıfırdan farklı olsa bile bu b = c anlamına gelmez. Örnek: b ve c, a vektörüyle eşit açı oluşturan, aynı uzunlukta iki farklı vektördür (Şekil 25).

3) Her zaman a(bc) = (ab)c olduğu doğru değildir: eğer sadece böyle bir eşitliğin geçerliliği bc, ab için geçerliyse 0, a ve c vektörlerinin doğrusal olduğunu ima eder.

3. Vektörlerin dikeyliği. Aralarındaki açı doğru ise iki vektöre ortogonal denir. Vektörlerin dikeyliği simgesiyle gösterilir .

Vektörler arasındaki açıyı tanımladığımızda, sıfır vektörü ile diğer herhangi bir vektör arasındaki açıyı düz bir çizgi olarak kabul etmeye karar verdik. Bu nedenle, sıfır vektörü herhangi birine diktir. Bu anlaşma, böyle bir şeyi kanıtlamamıza izin verir.

(5.5) İki vektörün ortogonallik işareti. İki vektör ancak ve ancak iç çarpımları 0 ise ortogonaldir.

 a ve b keyfi vektörler olsun. Bunlardan en az biri sıfırsa, ortogonaldirler ve skaler çarpımları 0'a eşittir. Dolayısıyla, bu durumda teorem doğrudur. Şimdi verilen her iki vektörün de sıfır olmadığını varsayalım. Tanım olarak, ab = |a||b|cos (bir,b). Varsayımımıza göre |a| ve |b| 0'a eşit değilse, ab = 0 çünkü (a, b) = 0  (bir, b) = /2, kanıtlanacak olan.

Ab = 0 eşitliği genellikle vektörlerin ortogonalliğinin tanımı olarak alınır.

(5.6) Sonuç. a vektörü a vektörlerinin her birine ortogonal ise 1 , …, A P , o zaman doğrusal kombinasyonlarından herhangi birine de ortogonaldir.

 aa eşitliğinden not etmek yeterlidir 1 = … = aa P = 0 eşitliği ima eder a(x 1 A 1 + … +x P A P ) = x 1 (Ah 1 ) + … + x P (Ah P ) = 0. 

Sonuç 5.6'dan, bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için okul kriterini türetmek kolaydır. Aslında, bazı MN doğrularının AB ve AC kesişen iki doğruya dik olmasına izin verin. O halde MN vektörü, AB ve AC vektörlerine diktir. ABC düzleminde herhangi bir DE düz çizgisini alalım. DE vektörü, doğrusal olmayan AB ve AC vektörleriyle eş düzlemlidir ve bu nedenle bunlarda genişler. Ama o zaman MN vektörüne de ortogonaldir, yani MN ve DE doğruları diktir. MN doğrusunun ispatlanacak olan ABC düzleminden herhangi bir doğruya dik olduğu ortaya çıktı.

4. Ortonormal tabanlar. (5.7) Tanım. Bir vektör uzayının tabanına, ilk olarak tüm vektörleri birim uzunluğa sahipse ve ikinci olarak vektörlerinden herhangi ikisi ortogonal ise ortonormal denir.

Üç boyutlu uzayda ortonormal tabanlı vektörler genellikle i, j ve k harfleriyle ve vektör düzleminde i ve j harfleriyle gösterilir. İki vektörün ortogonallik işareti ve bir vektörün skaler karesinin uzunluğunun karesine eşitliği dikkate alındığında, V uzayının (i,j,k) tabanı için ortonormallik koşulları 3 şöyle yazılabilir:

(5.8) ben 2 = j 2 = k 2 = 1 , ij = ik = jk = 0,

ve vektör düzleminin (i,j) temeli - aşağıdaki gibidir:

(5.9) ben 2 = j 2 = 1 , ij = 0.

a ve b vektörlerinin dikey tabanda (i,j,k) V boşlukları olsun 3 koordinatlar (bir 1 , A 2 , A 3 ) ve B 1 B 2 ,B 3 ) sırasıyla. Daha sonraab = (A 1 ben+A 2 j+A 3 k)(b 1 ben+b 2 j+b 3 k) = bir 1 B 1 Ben 2 +a 2 B 2 J 2 +a 3 B 3 k 2 +a 1 B 2 ij+a 1 B 3 ik+a 2 B 1 ji+a 2 B 3 jk+a 3 B 1 ki+a 3 B 2 kj = bir 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 . a vektörlerinin skaler çarpımı için formül bu şekildedir (a 1 ,A 2 ,A 3 ) ve b(b 1 ,B 2 ,B 3 ) V uzayının ortonormal bazında koordinatları tarafından verilir 3 :

(5.10) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 +a 3 B 3 .

a(a) vektörleri için 1 ,A 2 ) ve b(b 1 ,B 2 ) vektör düzleminde ortonormal bazda koordinatları tarafından verilir, bu forma sahiptir

(5.11) ab = a 1 B 1 +a 2 B 2 .

Formül (5.10)'da b = a'yı değiştirelim. Görünüşe göre ortonormal temelde bir 2 = bir 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 . Çünkü 2 = |a| 2 , a vektörünün uzunluğunu bulmak için böyle bir formül elde ederiz (a 1 ,A 2 ,A 3 ) V uzayının ortonormal bazındaki koordinatlarıyla tanımlanır 3 :

(5.12) |a| =
.

Vektör düzleminde, (5.11) sayesinde şu şekli alır:

(5.13) |a| =
.

Formül (5.10)'da b = i, b = j, b = k yerine koyarak, üç yararlı eşitlik daha elde ederiz:

(5.14) ai = bir 1 , ay = bir 2 , ak = bir 3 .

Vektörlerin skaler çarpımını ve vektör uzunluğunu bulmak için koordinat formüllerinin basitliği ortonormal tabanların ana avantajıdır. Ortonormal olmayan bazlar için, bu formüller genel olarak yanlıştır ve bu durumda uygulanmaları büyük bir hatadır.

5. Yön kosinüsleri. Ortonormal bir temelde (i,j,k) alın V boşlukları 3 a vektörü 1 ,A 2 ,A 3 ). Daha sonraai = |a||i|cos (a,i) = |a|cos (bir, ben).Öte yandan, ai = a 1 5.14 formülüne göre. Şekline dönüştü

(5.15) bir 1 = |a|cos (bir, ben).

Ve aynı şekilde,

A 2 = |a|cos (a,j) ve 3 = |a|cos (bir, k).

a vektörü birim ise, bu üç eşitlik özellikle basit bir biçim alır:

(5.16) A 1 = çünkü (bir, ben),A 2 = çünkü (bir, j),A 3 = çünkü (bir, k).

Bir vektörün ortonormal tabanlı vektörlerle oluşturduğu açıların kosinüslerine, bu vektörün verilen tabandaki yön kosinüsleri denir. Formül 5.16'nın gösterdiği gibi, bir ortonormal temelde bir birim vektörün koordinatları, yön kosinüslerine eşittir.

5.15'ten itibaren bir 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 = |a| 2 (çünkü 2  (a,i)+cos 2  (a,j)+cos 2  (bir, k)). Öte yandan, bir 1 2 + bir 2 2 + bir 3 2 = |a| 2 . Şekline dönüştü

(5.17) sıfır olmayan bir vektörün yön kosinüslerinin karesi toplamı 1'e eşittir.

Bu gerçek, bazı sorunları çözmek için yararlıdır.

(5.18) Sorun. Kenarlarından ikisi 60'lik aynı tepe açılarından çıkan dikdörtgen bir paralelkenarın köşegeni oluşur. . Bu tepe noktasından çıkan üçüncü kenar ile hangi açıyı oluşturur?

 V uzayının ortonormal bir tabanını düşünün 3 vektörleri, verilen tepe noktasından çıkan paralelyüzün kenarlarıyla temsil edilir. Köşegen vektör, bu tabana sahip iki vektörle 60'lık açılar oluşturduğundan , üç yöndeki kosinüslerinden ikisinin karesi cos'a eşittir 2 60  = 1/4. Bu nedenle, üçüncü kosinüsün karesi 1/2'dir ve bu kosinüsün kendisi 1/'dir.
. Yani istenen açı 45'tir. . 

Vektörler arasındaki açı

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ verilen iki vektörü ele alalım. $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ ve $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ vektörlerini rastgele seçilmiş bir $O$ noktasından bir kenara koyalım, sonra $AOB$ açısı denir $\overrightarrow( a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörleri arasındaki açı (Şekil 1).

Resim 1.

Burada $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörleri eş yönlüyse veya bunlardan biri sıfır vektörüyse, vektörler arasındaki açının $0^0$'a eşit olduğuna dikkat edin.

Gösterim: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Vektörlerin skaler çarpımı kavramı

Matematiksel olarak, bu tanım aşağıdaki gibi yazılabilir:

Skaler çarpım iki durumda sıfır olabilir:

Vektörlerden biri sıfır vektör olacaksa (O zamandan beri uzunluğu sıfırdır).

Vektörler karşılıklı olarak dik ise (yani $cos(90)^0=0$).

Ayrıca, bu vektörler arasındaki açı dar ise iç çarpımın sıfırdan büyük olduğuna dikkat edin (çünkü $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , ve bu vektörler arasındaki açı genişse sıfırdan küçüktür (çünkü $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Skaler kare kavramı, skaler çarpım kavramıyla ilgilidir.

Tanım 2

$\overrightarrow(a)$ vektörünün skaler karesi, bu vektörün kendisiyle skaler çarpımıdır.

Skaler karenin olduğunu anlıyoruz

Vektörlerin koordinatlarıyla skaler çarpımın hesaplanması

Tanımdan çıkan iç çarpım değerini bulmanın standart yoluna ek olarak, başka bir yol daha var.

Düşünelim.

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin sırasıyla $\left(a_1,b_1\right)$ ve $\left(a_2,b_2\right)$ koordinatlarına sahip olmasına izin verin.

teorem 1

$\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin skaler çarpımı, karşılık gelen koordinatların çarpımlarının toplamına eşittir.

Matematiksel olarak, bu aşağıdaki gibi yazılabilir

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Kanıt.

Teorem kanıtlanmıştır.

Bu teoremin birkaç anlamı vardır:

Sonuç 1: $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörleri ancak ve ancak $a_1a_2+b_1b_2=0$ ise diktir

Sonuç 2: Vektörler arasındaki açının kosinüsü $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$'dır.

Vektörlerin Nokta Ürününün Özellikleri

Herhangi üç vektör ve $k$ gerçek sayısı için aşağıdakiler doğrudur:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Bu özellik, skaler kare tanımından gelir (Tanım 2).

yer değiştirme yasası:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Bu özellik, iç çarpım tanımından gelir (Tanım 1).

Dağıtım kanunu:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(sayılandırın)

Teorem 1'e göre:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Kombinasyon yasası:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(sayılandırın)

Teorem 1'e göre:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Vektörlerin skaler çarpımını hesaplamak için bir problem örneği

örnek 1

$\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ ve $\left|\overrightarrow(b)\right| ise $\overrightarrow(a)$ ve $\overrightarrow(b)$ vektörlerinin iç çarpımını bulun = 2$ ve aralarındaki açı $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$'dır.

Çözüm.

Tanım 1'i kullanarak şunu elde ederiz:

$(30)^0:$ için

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

$(45)^0:$ için

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

$(90)^0:$ için

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(çünkü \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

$(135)^0:$ için

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ sağ)=-3\sqrt(2)\]

Problemde hem vektörlerin uzunlukları hem de aralarındaki açı "gümüş tepside" sunuluyorsa, problemin durumu ve çözümü şöyle görünür:

örnek 1 Vektörler verilir. Uzunlukları ve aralarındaki açı aşağıdaki değerlerle temsil ediliyorsa, vektörlerin skaler çarpımını bulun:

Tanım 1'e tamamen eşdeğer olan başka bir tanım da geçerlidir.

Tanım 2. Vektörlerin skaler çarpımı, bu vektörlerden birinin uzunluğu ile başka bir vektörün bu vektörlerden birincisi tarafından belirlenen eksene izdüşümünün çarpımına eşit bir sayıdır (skaler). Tanım 2'ye göre formül:

Bir sonraki önemli teorik noktadan sonra bu formülü kullanarak sorunu çözeceğiz.

Vektörlerin skaler çarpımının koordinat cinsinden tanımı

Çarpılan vektörler koordinatlarıyla verilirse aynı sayı elde edilebilir.

tanım 3. Vektörlerin iç çarpımı, ilgili koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşit olan sayıdır.

Yüzeyde

Eğer iki vektör ve düzlemde iki tarafından tanımlanırsa Kartezyen koordinatları

o zaman bu vektörlerin iç çarpımı, ilgili koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir:

Örnek 2 Vektörün vektöre paralel eksen üzerindeki izdüşümünün sayısal değerini bulun.

Çözüm. Vektörlerin skaler çarpımını koordinatlarının ikili çarpımlarını toplayarak buluruz:

Şimdi, ortaya çıkan skaler ürünü, vektörün uzunluğunun ürününe ve vektörün vektöre paralel bir eksen üzerindeki izdüşümüne eşitlememiz gerekiyor (formüle göre).

Vektörün uzunluğunu şu şekilde buluyoruz: Kare kök koordinatlarının karelerinin toplamından:

Bir denklem yazın ve çözün:

Cevap. İstenen sayısal değer eksi 8'dir.

Boşlukta

Uzayda iki vektör, üç Kartezyen dikdörtgen koordinatları ile tanımlanırsa

o zaman bu vektörlerin skaler çarpımı da ilgili koordinatlarının ikili çarpımlarının toplamına eşittir, yalnızca zaten üç koordinat vardır:

Skaler ürünü dikkate alınan şekilde bulma görevi, skaler ürünün özelliklerini analiz ettikten sonradır. Çünkü görevde çarpılan vektörlerin hangi açıyı oluşturduğunu belirlemek gerekecek.

Vektörlerin Nokta Ürününün Özellikleri

cebirsel özellikler

1. (değişmeli özellik: skaler çarpımlarının değeri, çarpılan vektörlerin yerlerini değiştirmekten değişmez).

2. (sayısal bir faktöre göre ilişkisel özellik: bir vektörün bir faktör ile başka bir vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin aynı faktörle çarpımının skaler çarpımına eşittir).

3. (vektörlerin toplamına göre dağılma özelliği: iki vektörün toplamının üçüncü vektöre göre skaler çarpımı, birinci vektörün üçüncü vektöre ve ikinci vektörün üçüncü vektöre göre skaler çarpımlarının toplamına eşittir).

4. (sıfırdan büyük bir vektörün skaler karesi) if sıfır olmayan bir vektördür ve , if bir sıfır vektörüdür.

geometrik özellikler

İncelenen işlemin tanımlarında, iki vektör arasındaki açı kavramına zaten değinmiştik. Bu kavramı açıklığa kavuşturmanın zamanı geldi.

Yukarıdaki şekilde, ortak bir başlangıca getirilen iki vektör görülmektedir. Ve dikkat etmeniz gereken ilk şey: bu vektörler arasında iki açı vardır - φ 1 Ve φ 2 . Vektörlerin skaler çarpımının tanımlarında ve özelliklerinde bu açılardan hangisi görünür? Dikkate alınan açıların toplamı 2'dir π ve bu nedenle bu açıların kosinüsleri eşittir. İç çarpımın tanımı, ifadesinin değerini değil, yalnızca açının kosinüsünü içerir. Ancak özelliklerde sadece bir köşe dikkate alınır. Ve bu, iki açıdan geçmeyen biridir. π yani 180 derece. Bu açı şekilde gösterildiği gibi φ 1 .

1. İki vektör denir dikey Ve bu vektörler arasındaki açı bir diktir (90 derece veya π /2) eğer bu vektörlerin skaler ürünü sıfırdır :

Vektör cebirindeki ortogonallik, iki vektörün dikliğidir.

2. İki sıfır olmayan vektör oluşturur keskin köşe (0 ila 90 derece veya aynı olan, daha az π iç çarpım pozitif .

3. İki sıfır olmayan vektör oluşturur geniş açı (90 ila 180 derece veya aynı olan - daha fazla π /2 ) ancak ve ancak eğer iç çarpım negatif .

Örnek 3 Vektörler koordinatlarda verilir:

Verilen vektörlerin tüm çiftlerinin iç çarpımlarını hesaplayın. Bu vektör çiftleri hangi açıyı (dar, sağ, geniş) oluşturur?

Çözüm. Karşılık gelen koordinatların ürünlerini toplayarak hesaplayacağız.

Negatif bir sayı elde ettik, dolayısıyla vektörler geniş bir açı oluşturuyor.

Pozitif bir sayı elde ettik, dolayısıyla vektörler bir dar açı oluşturuyor.

Sıfır elde ettik, yani vektörler dik açı oluşturuyor.

Pozitif bir sayı elde ettik, dolayısıyla vektörler bir dar açı oluşturuyor.

Kendi kendine test için kullanabilirsiniz vektörlerin iç çarpımı ve aralarındaki açının kosinüsü .

Örnek 4İki vektörün uzunlukları ve aralarındaki açı göz önüne alındığında:

Sayının hangi değerinde ve vektörlerinin ortogonal (dik) olduğunu belirleyin.

Çözüm. Vektörleri polinomların çarpma kuralına göre çarpıyoruz:

Şimdi her terimi hesaplayalım:

Bir denklem oluşturalım (çarpımın sıfıra eşitliği), benzer terimler verelim ve denklemi çözelim:

Cevap: değeri bulduk λ = 1.8 , burada vektörler ortogonaldir.

Örnek 5 vektör olduğunu kanıtlayın vektöre ortogonal (dik)

Çözüm. Ortogonalliği kontrol etmek için, vektörleri ve polinomlar olarak çarparız, yerine problem koşulunda verilen ifadeyi koyarız:

Bunu yapmak için, birinci polinomun her bir terimini (terimi) ikincinin her terimiyle çarpmanız ve elde edilen ürünleri eklemeniz gerekir:

Sonuç olarak, ödenecek fraksiyon azalır. Aşağıdaki sonuç elde edilir:

Sonuç: Çarpma sonucunda sıfır elde ettik, bu nedenle vektörlerin dikliği (dikliği) kanıtlanmıştır.

Sorunu kendiniz çözün ve sonra çözümü görün

Örnek 6 ve vektörlerinin uzunlukları verildiğinde ve bu vektörler arasındaki açı şu şekildedir: π /4 . Hangi değerde belirleyin μ vektörler ve karşılıklı olarak diktir.

Kendi kendine test için kullanabilirsiniz vektörlerin iç çarpımı ve aralarındaki açının kosinüsü .

Vektörlerin skaler çarpımının ve n boyutlu vektörlerin çarpımının matris gösterimi

Bazen, netlik için, çarpılan iki vektörü matrisler biçiminde göstermek avantajlıdır. Ardından, ilk vektör bir satır matrisi olarak ve ikincisi - bir sütun matrisi olarak temsil edilir:

O zaman vektörlerin skaler ürünü bu matrislerin ürünü :

Sonuç, daha önce ele aldığımız yöntemle elde edilenle aynıdır. Tek bir sayı elde ettik ve matris satırının matris sütunuyla çarpımı da tek bir sayıdır.

Matris formunda, soyut n-boyutlu vektörlerin çarpımını temsil etmek uygundur. Böylece, iki dört boyutlu vektörün çarpımı, yine dört elemanlı bir sütun matrisi ile dört elemanlı bir sıra matrisin çarpımı olacaktır, iki beş boyutlu vektörün çarpımı, beş elemanlı bir sıra matrisin çarpımı olacaktır. ayrıca beş öğeli bir sütun matrisi vb.

Örnek 7 Vektör Çiftlerinin Nokta Çarpımlarını Bulun

matris gösterimini kullanarak.

Çözüm. İlk vektör çifti. Birinci vektörü bir satır matrisi olarak, ikincisini de bir sütun matrisi olarak temsil ediyoruz. Bu vektörlerin skaler çarpımını satır matrisinin sütun matrisiyle çarpımı olarak buluyoruz:

Benzer şekilde, ikinci çifti temsil ediyoruz ve şunu buluyoruz:

Gördüğünüz gibi, sonuçlar örnek 2'deki aynı çiftler için olanlarla aynıdır.

İki vektör arasındaki açı

İki vektör arasındaki açının kosinüs formülünün türetilmesi çok güzel ve özlü.

Vektörlerin iç çarpımını ifade etmek

(1)

V koordinat formu, önce ortların skaler çarpımını buluruz. Bir vektörün kendisi ile skaler çarpımı tanım gereği şöyledir:

Yukarıdaki formülde yazılanların anlamı: bir vektörün kendisi ile skaler çarpımı, uzunluğunun karesine eşittir. Sıfırın kosinüsü bire eşittir, dolayısıyla her bir orth'un karesi bire eşit olacaktır: