1. Genel Denklem Düzlemi

Tanım. Uçak, yüzeye, tüm noktaları toplam denklemi tatmin eden: Ax + by + cz + d \u003d 0, burada A, B, C - vektörün koordinatları

N \u003d AI + BJ + CK, uçağa normal standarttır. Aşağıdaki özel durumlar mümkündür:

A \u003d 0 - AXIS'a paralel düzlem OH

B \u003d 0 - Axis'e paralel düzlem C \u003d 0 - AXIS OZ'ye paralel düzlem

D \u003d 0 - Düzlem, koordinatların kökeninden geçer

A \u003d B \u003d 0 - Düzlem, XOW A \u003d C \u003d 0 düzlemine paraleldir A \u003d C \u003d 0 - Düzlem XZ B \u003d C \u003d 0 düzlemine paraleldir - düzlem yoz a \u003d d \u003d 0 - uçak eksenden geçer OH

B \u003d D \u003d 0 - Düzlem OU C \u003d D \u003d 0 ekseninden geçer - Düzlem OZ ekseni geçer

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - Uçak, XOU A \u003d C \u003d D \u003d 0 düzlemiyle çakışıyor - düzlem xoz b \u003d c \u003d d \u003d 0 düzlemi ile çakışıyor - uçak YOZ düzlemiyle çakışıyor

2. Uzayda yüzey denklemi

Tanım. X, Y, Z koordinatlarını bağlayan herhangi bir denklem, yüzeyin herhangi bir noktasını bu yüzeyin denklemidir.

3. Üç noktadan geçen uçağın denklemi

Üç kakelibo boşluk noktası için sırayla, tek bir düzlemi gerçekleştirmek mümkündü, bu noktaların bir düz çizgide yatmadığı gereklidir.

Toplam Dekartüler Sistemde M1 (X1, Y1, Z1), M2 (X2, Y2, Z2), M3 (X3, Y3, Z3) olduğunu düşünün.

koordinatlar.
Keyfi bir nokta için (x, y, z) için	noktalarla aynı uçağın içinde yatmak
M1, m 2, m 3, M1 m2, m 1 m3, m 1 m olan vektörlerin bölme olduğu, yani.
M1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)
(M 1 m2, m 1 m3, m 1 m) \u003d 0, Böylece, M1 m 2	\u003d (x 2 - x 1; y2		- Y 1; Z 2 - z 1)
M1 m 3.	\u003d (x 3 - x 1; y3 - y 1; z 3 - z 1)
		x - X1	y - Y1.	z - z1.
Üç noktadan geçen uçağın denklemi:		x 2 - x 1	y2 - Y 1	z 2 - z 1
		x 3 - x 1	y 3 - Y 1	z 3 - z 1

4. Uçağın denklemi iki noktada ve vektör, kollinear uçağı

M1 (X1, Y1, Z1), M2 (X2, Y2, Z2) ve Vector \u003d (A, A 2, A 3) belirtilsin.

M1 ve M2 ve keyfi noktalarının verilerinden geçen uçağın denklemini yapacağız.

paralel vektörde M (x, y, z) noktası a.
Vektörler M1 m \u003d (x - x1; y - y1; z - z1)	ve vektör a \u003d (a, a					olmalıdır
M 1m 2 \u003d (x 2 - x 1; y2 - y 1; z 2 - z 1)
			x - X1				y - Y1.	z - z1.
complicias, yani. (M 1 m, m 1 m 2, a) \u003d Uçağın 0. Europeance:		x 2 - x 1					y2 - Y 1	z 2 - z 1

5. Uçağın bir noktada ve iki vektörde denklemi, kollinear uçağı

A \u003d (A 1, A 2, A 3) ve B \u003d (B1, B2, B3), collinear uçaklar belirtilen iki versiyonun belirtilmesi. Sonra uçağa ait keyfi bir m (x, y, z) için, A, B, MM 1 vektörleri bölme olmalıdır.

6. Noktadaki ve normalin vektöründeki uçağın denklemi

Teorem. Bir nokta M 0 (x 0, y 0, z 0) boşlukta belirtilirse, normal N (A, B, C) 'nın vektörüne dik olan m 0 noktasından geçen düzlemin denklemi: A ( X - X 0) + B (Y - Y 0) + C (Z - Z 0) \u003d 0.

7. Uçağın segmentlerde denklemi

Her iki parçayı da (-D) paylaşmak için genel balta + + cz + d \u003d 0 denkleminde ise

x -

y -

z - 1 \u003d 0, değiştirme -

C, uçak denklemini elde ediyoruz

segmentlerde:

bir . A, B, C sayıları sırasıyla uçağın kesiştiği noktalarıdır.

x, y, z eksenleri ile.

8. Vektör formunda düzlem denklemi

r n \u003d p, burada r \u003d xi + yj + zk, akım noktasının (x, y, z) radiusser'tir.

n \u003d ben cosα + j cos β + k cosγ - tek vektör yön, dik,

koordinatların başından uçağa düşürüldü. α, β ve γ - bu vektör tarafından oluşturulan açılar x, y, z. P, bu dikin uzunluğudur. Koordinatlarda, bu denklem şöyle görünür:

x cosα + y cos β + z cosγ - p \u003d 0

9. Noktadan uçağa olan mesafe

Keyfi bir noktadan uzaklık M 0 (x 0, y 0, z 0) Uçak Baltası + CZ + D \u003d 0:

d \u003d AX0 + BY0 + CZ0 + D

A2 + B2 + C 2

Misal. Noktalardan geçen (2, -1.4) ve x + y + 2z düzlemine dik olan (3.2, -1) noktasından geçen düzlemin denklemini bulun.

İstenilen düzlem denklemi şudur: AX + + CZ + D \u003d 0, bu düzlemde N11 (A, B, C) normaldir. Vektör AB (1.3, -5) uçağa aittir. Bize verilen uçak,

dikey istenen, Normal N 2'nin bir vektörüne sahiptir (1,1,2). Çünkü A ve B'nin puanlar hem uçaklara hem de uçak karşılıklı olarak dik, sonra

n \u003d ab × n

− 5

- J.

− 5

11 I - 7 J - 2 K.

− 5

Böylece, Normal N 1 (11, -7, -2) vektörü. Çünkü A noktası, istenen düzleme aittir, koordinatları bu düzlemin denklemini karşılamalıdır, yani.

11.2 + 7.1- 2.4 + D \u003d 0; D \u003d - 21. Toplam, uçağın denklemini elde ediyoruz: 11x - 7 Y - 2Z - 21 \u003d 0

10. Uzayda çizgi denklemi

Hem düzlemde hem de uzayda, herhangi bir çizgi, uzayda seçilen bazı koordinat sistemlerinde koordinatları denklemi karşılayan bir nokta kümesi olarak tanımlanabilir:

F (x, y, z) \u003d 0. Bu denklem, uzayda çizgi denklemi denir.

Ek olarak, alandaki çizgi belirlenebilir ve aksi takdirde belirlenebilir. Her biri aynı denklemde belirlenen iki yüzeyin kesişme çizgisi olarak kabul edilebilir.

F (x, y, z) \u003d 0 ve φ (x, y, z) \u003d 0, L boyunca kesişen yüzeylerin denklemleri olabilir.

F (x, y, z) \u003d 0

Sonra bir çift denklem f (x, y, z) \u003d 0, uzayda satır denklemi olarak adlandırılır.

11. Denklem doğrudan bir noktada uzayda ve bir kılavuz vektörü 0 \u003d m 0 m.

Çünkü Vektörler, M 0 M ve S Collinear, daha sonra M 0 m \u003d st, burada t bazı parametredir. Toplam, yazabilirsiniz: r \u003d r 0 + st.

Çünkü Bu denklem doğrudan herhangi bir noktadaki koordinatları yerine getirir, elde edilen denklem doğrudan bir parametrik bir denklemdir.

x \u003d x0 + mt

Bu vektör denklemi koordinat formunda gösterilebilir: Y \u003d Y 0 + NT

z \u003d z0 + pt

Bu sistemi dönüştürme ve T parametresinin değerini eşitleme, canonical alırız

uzayda doğrudan denklemler:	x - X0.		y - Y0.		z - z0.

Tanım. Doğrudan kosinenler, formüller tarafından hesaplanabilen vektör S'nin kosinüs kılavuzları olarak adlandırılır:

	cosα \u003d			; Cos β \u003d		; cosγ \u003d
					N 2 + p 2		m 2 + N 2 + P 2

Buradan itibaren: M: n: p \u003d cosα: cos β: Cosγ.

M, N, P sayıları, doğrudan köşe katsayıları olarak adlandırılır. Çünkü S, sıfır olmayan bir vektördür, daha sonra M, N ve P aynı anda sıfır olamaz, ancak bu numaraların bir veya ikisi sıfır olabilir. Bu durumda, denklemde, karşılık gelen sayılar eşitlenmelidir.

12. Denklem doğrudan iki noktadan geçen uzayda

Düz uzayda iki keyfi nokta M1 (x 1, y 1, z 1) varsa) ve

M 2 (x 2, y2, z2), bu noktaları koordinatları yukarıda elde edilen denklemi karşılamalıdır:

x 2 - x 1		y2 - Y 1		z 2 - z 1

Farklı şekillerde ayarlayabilirsiniz (bir nokta ve vektör, iki nokta ve bir vektör, üç nokta vb.). Bir düzlemin denklemi dikkate alarak farklı türlere sahip olabilir. Ayrıca, belirli koşullara tabi olarak, düzlem paralel, kesişmeye dik, vb. Bunu al ve bu makale hakkında konuş. Genel bir uçak denklemi yapmayı ve sadece olmayı öğreneceğiz.

Normal Form Denklemi

Dikdörtgen bir XYZ koordinat sistemine sahip olan bir R3'ün olduğunu varsayalım. Başlangıç \u200b\u200bnoktası O'dan serbest bırakılacak olan vektör α'yı ayarlayın. Vektör α'nın sonundan sonra, punta olacağı düzlemini yapacağız.

P Rezervasyon Point Q \u003d (x, y, z) ile belirtir. Yarıçap-vektör noktası Q, R harfine abone olun. Bu durumda, vektörün uzunluğu α, p \u003d iαi ve ʋ \u003d (cosα, cosβ, cosγ) eşittir.

Bu, yanı sıra ve vektör α olarak yönlendirilen tek bir vektördür. α, β ve γ, vektör ʋ ile X, Y, Z'nin eksenlerinin pozitif yönleri arasında oluşan açılardır. Vektördeki qεp herhangi bir noktasının projeksiyonu ʋ, P: (P, ʋ) \u003d P (P≥0) 'a eşit olan sabit bir değerdir.

Belirtilen denklem, p \u003d 0 olduğunda mantıklı. Bu durumda, p düzlemi, p, koordinatların başlangıcı olan O (α \u003d 0) noktasını geçecektir ve O noktasından salınan ünite vektörü, yönüne rağmen, P noktasına dik olacaktır. Bu, vektörün işaretinden önce doğrulukla belirlendiği anlamına gelir. Önceki denklem, vektör formunda ifade edilen düzlemimizin denklemidir. Ancak koordinatlarda görünüşü böyle olacak:

R, 0'dan büyük veya ona eşittir. Uçak denklemini normal biçimde boşlukta bulduk.

Genel denklem

Koordinatlardaki denklem, sıfır olmayan herhangi bir sayıyı çoğaltmak için, bu noktaya eşdeğer denklemi elde eder, bu da uçağı belirler. Bu tür olacak:

Burada A, B, C, aynı anda sıfırdan farklı olan sayılardır. Bu denklem, genel form düzleminin denklemi olarak adlandırılır.

Uçak denklemleri. Özel durumlar

Genel formdaki denklem, ek koşulların varlığında değiştirilebilir. Bazılarını düşünün.

A katsayısının 0 olduğunu varsayalım. Bu, bu düzlemin belirtilen eksen'e paralel olduğu anlamına gelir. Bu durumda, denklemin görünümü değişecektir: Wu + cz + d \u003d 0.

Denklem türüne benzer aşağıdaki koşullar altında değiştirilecektir:

• İlk olarak, eğer b \u003d 0 ise, denklem AH + CZ + D \u003d 0 olarak değişir, bu da OU eksenine paralel olarak gösterecektir.
• İkincisi, eğer c \u003d 0 ise, denklem, belirtilen OZ eksenine paralel olarak konuşacak AH + W + D \u003d 0'a dönüştürülür.
• Üçüncüsü, eğer D \u003d 0 ise, denklem AH + V / CZ \u003d 0 gibi görünecek, bu da uçağın O (koordinatların kökeni) geçeceği anlamına gelir.
• Dördüncüsü, eğer a \u003d b \u003d 0 ise, denklem, oksi paralel olduğunu kanıtlayacak CZ + D \u003d 0 olarak değişecektir.
• Beşinci, eğer b \u003d c \u003d 0 ise, denklem AH + D \u003d 0 olur ve bu, OYZ'nin düzleminin paralel olduğu anlamına gelir.
• Altıncı, a \u003d c \u003d 0 ise, denklem Wu + D \u003d 0 görünümünü edinir, yani OXS'ye paralel rapor edecektir.

Segmentlerde denklemi görüntüleyin

A, B, C, D sayılarının sıfırdan farklı olduğu durumlarda, denklem şekli (0) aşağıdaki gibi olabilir:

x / A + Y / B + Z / S \u003d 1,

a \u003d -D / A, B \u003d -D / B, C \u003d -D / s.

Sonunda elde ettik, bu düzlemin eksen'i koordinatlar (a, 0.0), OU - (0, B, 0) ve OZ - (0.0, C) ile bir noktada geçeceğine dikkat etmeye değer.

X / A + Y / B + Z / S \u003d 1 denklemini dikkate alarak, uçağın belirtilen koordinat sistemine göre yerleşimini görsel olarak sunmak zor değildir.

Normal vektör koordinatları

P düzlemine normal vektör N, bu düzlemin genel denkleminin katsayıları olan koordinatlara sahiptir, yani N (A, B, C).

Normal N'nin koordinatlarını belirlemek için, belirtilen düzlemin genel denklemini bilmek yeterlidir.

Denklemi, X / A + Y / B + Z / S \u003d 1 formuna sahip olan segmentlerde kullanılırken, genel denklemin kullanımıyla olduğu gibi, belirtilen düzlemin normal vektörünün koordinatları mümkündür: (1 / A + 1 / B + 1 / dan).

Normal vektörün çeşitli görevleri çözmelerine yardımcı olacağına dikkat ediyor. En yaygın görevler arasında, düzlemlerin ya da düzlemlerin paralelleşmesinin, düzlemler veya düzlükler arasındaki açıları bulma görevleri, düzlemler veya düzlükler arasında bulma görevlerini içerir.

Nokta ve normal vektörün koordinatlarına göre uçağın denkleminin görünümü

Belirtilen düzleme dik olan sıfır olmayan vektör N, belirli bir düzlem için normal (normal) denir.

Koordinat alanında (dikdörtgen koordinat sistemi) Oxyz'in verildiği varsayalım:

• koordinatlarla Mₒ noktası (Xₒ, Uₒ, Zₒ);
• sıfır vektör n \u003d a * i + in * J + S * k.

Uçağın denklemini normal N'ye dik olan mₒ noktasından geçecek şekilde yapılması gerekir.

Uzayda, herhangi bir keyfi noktayı seçin ve m (x y, z) anlamına gelir. Herhangi bir noktadan (x, y, z) yarıçapını (X, Y, Z) R \u003d X * I + Y * J + Z * K ve yarıçap-vektör Point Mₒ (Xₒ, Uₒ, Zₒ) - Rₒ \u003d Xₒ olacaktır. * i + u * j + zₒ * k. Mₒm vektör N'ye dik olması durumunda M'nin belirli bir düzlemeye ait olacak. Bir skaler ürün yardımı ile ortogonalite durumunu yazıyoruz:

[Mₒm, n] \u003d 0.

Mₒm \u003d r-rₒ olduğundan, uçağın vektör denklemi şöyle görünür:

Bu denklemin başka bir formu olabilir. Bu amaçla, skaler ürünün özellikleri kullanılır ve denklemin sol tarafı dönüştürülür. \u003d -. C olarak belirlerseniz, aşağıdaki denklem elde edilecektir: - C \u003d 0 veya \u003d C, öngörülenlerin normal vektöründeki projeksiyonların sabitliğini, düzleme ait belirtilen noktaların normal vektöründeki sabitlerini ifade eder.

Artık düzlemimizin vektör denkleminin kaydının koordinat görünümünü alabilirsiniz \u003d 0 r-rₒ \u003d (x-xₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k ve n \u003d a * i + in * j + c * k, biz var:

Görünüyor, normal N'ye dik olan noktadan geçen bir düzlem denklemi var:

A * (X-Xₒ) + B * (U-) C * (Z - Zₒ) \u003d 0.

Uçağın denkleminin iki nokta ve vektörün koordinatlarına göre görünümü, kollinear uçağı

İki keyfi puan M '(x', u ', z') ve M "(x", y, z ") ve ayrıca Vector A (a ', a", a ‴) ayarlayacağız.

Şimdi, belirli bir düzlemin denklemini, mevcut noktalardan geçecek olan ve ayrıca belirtilen vektöre paralel koordinatlar (X, Y, Z) ile herhangi bir noktaya kadar olan bir M'nin eşzamanlarını çizebileceğiz.

Aynı zamanda, m'm \u003d (xx '; y,'; zz ') ve m "m \u003d (x" -h'; y "-u '; z" -z') bölme olmalıdır bir vektör a \u003d (a ', a ", a ‴), yani (M'm, m" m, a) \u003d 0 anlamına gelir.

Öyleyse, uçaktaki uçağın denklemimiz şöyle görünecek:

Üç noktayı geçerken uçağın denkleminin görünümü

Üç noktaya sahibiz: (x ', y', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴), bir düz çizgiye ait değildir. Düzlemin denklemini belirtilen üç noktadan geçerek yazmak gerekir. Geometri teorisi, bu tür bir uçağın gerçekten var olduğunu savunuyor, bu sadece tek ve benzersiz. Bu uçak, (x ',', z ') noktasını geçtiğinden, denkleminin görüşü aşağıdaki gibi olacaktır:

Burada A, B, aynı anda sıfır olmayan. Ayrıca, belirtilen düzlem iki nokta daha geçer: (x ", y, z") ve (x ‴, ‴, z ‴). Bu bağlamda, bu tür bir durum gerçekleştirilmelidir:

Şimdi, bilinmeyen U, V, W ile homojen bir sistem hazırlayabiliriz:

Bizim case x, y veya Z, denklemi karşılayan keyfi bir nokta gerçekleştirir (1). Denklem (1) ve sistem denklemlerden (2) ve (3) göz önüne alındığında, yukarıdaki şekilde gösterilen denklemler sistemi, önemsiz olmayan olan N (A, B, C) vektörünü tatmin eder. Bu yüzden bu sistemin belirleyicisi sıfırdır.

Başlıklı olduğumuz denklem (1), bu, uçağın denklemidir. 3 puandan sonra, tam olarak geçer ve kontrol etmek kolaydır. Bunu yapmak için, tanımlayıcımızı ilk satırdaki elemanlara ayırın. Belirleyicinin mevcut özelliklerinden, düzlemimizin aynı anda, başlangıçta belirtilen üçünü (x ', u', z '), (x ", y, z"), (x ‴, ‴, z ‴) geçtiğini takip eder. Yani, görevin bizden önce belirlediğine karar verdik.

Uçaklar arasında iki monte açı

İki monte açı bir uzamsaldır geometrik şekilbir düz çizgiden gelen iki yarı düzlem tarafından oluşturulur. Başka bir deyişle, bu, bu yarı düzlemlerle sınırlı olan alanın bir parçasıdır.

Aşağıdaki denklemlerle iki uçağımız olduğunu varsayalım:

Vektörlerin N \u003d (A, B, C) ve N¹ \u003d (A¹, V¹, C¹) belirtilen uçaklara göre dik olduğunu biliyoruz. Bu bağlamda, N ve N¹ vektörleri arasındaki açı φ bu uçaklar arasında bulunan köşeye (iki adam) eşittir. Skaler ürün Formu var:

Nn¹ \u003d | n || n¹ | cos φ,

Çünkü bu

cosφ \u003d nn¹ / | n || N¹ | \u003d (AA¹ + patlayıcı + SS¹) / ((√ (² + c² + c²)) * (√ (a¹) ² + (v) ² + () ²)) .

0≤φ≤π olduğunu düşünmek yeterli.

Aslında, kesişen iki uçak, iki açı oluşturur (iki adam): φ 1 ve φ 2. Toplam, π'a eşittir (φ 1 + φ 2 \u003d π). Onların kosineneklerine gelince, mutlak değerleri eşittir, ancak işaretler halinde farklılık gösterir, yani, φ 1 \u003d -cos φ 2. Eğer denklemde (0), sırasıyla -a, -in ve -s sayısına göre bir, in ve c ile değiştirilirse, aldığımız denklem aynı düzlemi belirleyecektir, sadece bir tane, COS içindeki açı φ φ \u003d NN 1 / Denklem | n || n 1 | π-φ ile değiştirilecektir.

Denklem Dik Düzlem

Dikey, açının 90 derece olduğu düzlem denir. Yukarıda belirtilen malzemeyi kullanarak, düzlemin denklemini diğerine dik olarak bulabiliriz. Diyelim ki iki düzlemimiz var: AH + V / CZ + D \u003d 0 ve A¹X + V \u003d 0 ve АZ + D \u003d 0. COSφ \u003d 0 ise dik olacağını iddia edebiliriz. Bu, NN¹ \u003d AA¹ + patlaması + SS¹ \u003d 0 anlamına gelir.

Paralel düzlem denklemi

Paralel, ortak noktaları içermeyen iki uçak denir.

Durum (denklemleri önceki paragrafınkiyle aynıdır), bunlara dik olan vektörlerin N ve N¹ olduğu gerçeğinde, collinear. Bu, aşağıdaki koşulların yerine getirildiği anlamına gelir:

A / \u003d v / v¹ \u003d c / c¹.

Orantalık koşulları genişletilirse - A / A¹ \u003d in / c \u003d c / c¹ \u003d dd¹,

bu, bu uçakların çakıştığını göstermektedir. Ve bu, AH + V / CZ + D \u003d 0 ve A¹X + IN + С¹Z + D¹ \u003d 0 denklemlerinin bir düzlemi tanımladığı anlamına gelir.

Noktadan uçağa olan mesafe

Diyelim ki denklem (0) tarafından belirlenen bir P düzlemi P'umuz var. Koordinatlarla olan noktanın mesafesini bulmak için gereklidir (Xₒ, Uₒ, Zₒ) \u003d qₒ. Bunu yapmak için, P Uçağının denklemini normal formda getirmeniz gerekir:

(ρ, v) \u003d P (p≥0).

Bu durumda, ρ (x, y, z), p'umuzun p, p üzerindeki Yarıçapı olanıdır, p, p, p, p, sıfır noktasından serbest bırakılan, V tek bir vektörün uzunluğudur. A yönünde bulunur.

Fark ρ-ρº yarıçapı-vektörünün bir noktasının (x, y, z) N'ye ait, yanı sıra belirli bir noktasının yarıçapı vektörünün yanı sıra Q 0 \u003d (xₒ, uₒ, zₒ) aynı vektör, mutlak değer V üzerindeki tahminler, q 0 \u003d (xₒ, y, zₒ) P'ye kadar olan d mesafesine eşittir:

D \u003d | (ρ-ρ 0, v) | Fakat

(ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ, v) - (ρ 0, v) \u003d P- (ρ 0, v).

Bu yüzden ortaya çıktı

d \u003d | (ρ 0, v) -R |.

Böylece, ortaya çıkan ifadenin mutlak değerini bulacağız, yani istenen d.

Parametrelerin dilini kullanarak, açık oluyoruz:

d \u003d | AHₒ + VUₒ + CZ | / √ (A² + C² + C²).

Eğer bir nokta Q 0, P, P, Koordinatların başlangıcı ve başlangıcı, o zaman ρ-ρ 0 ve v vektör arasına kadardır.

d \u003d - (ρ-ρ 0, v) \u003d (ρ 0, v) -r\u003e 0.

Q 0 nokta, koordinatların başlangıcıyla birlikte, N'den aynı tarafta bulunduğunda, oluşturulan açı keskindir, bu şöyledir.

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d P - (ρ 0, v)\u003e 0.

Sonuç olarak, ilk durumda (ρ 0, v)\u003e p, ikincisinde (ρ 0, v) ortaya çıktı.<р.

Teğet düzlemi ve denklemi

Düzleme dokunmadan, Mº'ye dokunma noktasında yüzeye dokunmak, bu nokta boyunca bu noktada gerçekleştirilen eğriye olası tüm teğetleri içeren bir düzlemdir.

F (x, y, z) \u003d 0 yüzeyinin denkleminin bu formu ile, teğet düzlemin teğet noktasında (Xº, Uº, Zº) denklemi şöyle görünecektir:

F X (Xº, Yº, Zº) (Xº) + F X (Xº, Yº, Zº) (UHº) + F X (Xº, Yº, Zº) (Z-Zº) \u003d 0.

Yüzeyi açık formda belirlerseniz Z \u003d F (x, y), ardından teğet düzlem denklemi ile tarif edilecektir:

z-Zº \u003d F (Xº, Uº) (Xº) + F (Xº, Yº) (Uº).

İki uçağı geçerken

Koordinat sistemi (dikdörtgen) Oxyz, iki uçak p 've p "bulunur, bu da kesişir ve çakışmaz. Dikdörtgen koordinat sistemindeki herhangi bir düzlemin genel denklem ile belirlendiğinden, P 've P "ın, A'H + B'U + C'z + D' \u003d 0 ve A" X + IN denklemleri tarafından belirlendiğini varsayıyoruz. "Y +" Z + D "\u003d 0 ile. Bu durumda, normal N '(A', B ', C') düzlemi P 've normal N "(A", ", C") düzlem P ". Uçaklarımız paralel olmadığından ve çakışmadığı için, bu vektörler collinear değildir. Matematik dilini kullanarak, bu durumu aşağıdaki gibi yazabiliriz: n '≠ n "↔ (a', ', c') ≠ (λ * a", λ * ", λ * s"), λεr. P 've P'nin kesişmesinde yer alan düz çizginin, A harfi ile gösterilecek, bu durumda, A \u003d P' ∩ P ".

a, tüm noktalardan (genel) uçakların p 've p "bölümlerinden oluşan bir doğrudan. Bu, doğrudan A'ya ait herhangi bir noktasının koordinatlarının, A'H + B'U + C'z + D '\u003d 0 ve "x +' a" y + "z + d" \u003d 0 ile eşzamanlı olarak karşılamalı olması gerektiği anlamına gelir. . Böylece, noktanın koordinatları, aşağıdaki denklem sisteminin özel bir çözümü olacaktır:

Sonuç olarak, bu denklem sisteminin çözeltisinin (genel) çözeltisinin, P 've P'nin kesişme noktası olarak hareket edeceği ve doğrudan belirleyecek olan çizginin her birinin koordinatlarını belirleyeceği ortaya çıktı. A Oxyz koordinat sisteminde (dikdörtgen) uzayda.

Uzayda bir düzlem düşünün. Konumu, bu düzleme dik vektör n kümesi ile tamamen belirlenir ve Q düzleminde yatan bazı sabit nokta. Vektör N, dik düzlem q, bu düzlemin normal bir vektörü olarak adlandırılır. A, B üzerinden ve normal vektörün N'nin izdüşümünden belirlerseniz, o zaman

Uçağın denklemini bu noktadan geçerek ve belirli bir normal vektöre sahip olduğumuzu elde ediyoruz. Bunu yapmak için, vektör bağlantı noktasını Q düzleminin keyfi bir noktasıyla düşünün (Şek. 81).

Q düzlemindeki M'nin herhangi bir pozisyonunda, Mxem normal vektör N düzlemine diktir. Bu nedenle, skaler ürünü projeksiyonlar aracılığıyla bir skaler bir ürün yazacaktır. Ve vektör, sonra

ve bu nedenle,

U düzleminin herhangi bir noktasının koordinatlarının denklemi (4) tatmin ettiğini gösterdik. Q düzleminde yatmayan noktaları koordinatlarının, bu denklemin tatmin edici olmadığını not etmek kolaydır (ikinci durumda). Sonuç olarak, Q düzleminin istenen denklemini aldık. Denklem (4), bu noktadan geçen uçağın denklemi denir. Mevcut koordinatlarla ilgili birinci derecedir.

Böylece, her düzlemin, birinci dereceden akım koordinatlarına göre denklemine karşılık geldiğini gösterdik.

Örnek 1. Vektöre dik olan noktadan geçen uçağın denklemini yazın.

Karar. Buraya . Formülüne göre (4)

veya basitleştirildikten sonra

Katsayıları A, B ve denklemden (4) çeşitli değerler vermek, noktadan geçen herhangi bir düzlemin denklemini elde edebiliriz. Bu noktadan geçen uçakların bir kombinasyonu, uçakların bir bağına denir. A, B ve C katsayılarının herhangi bir değere sahip olabileceği denklem (4), uçakların ligamanının denklemi olarak adlandırılır.

Örnek 2. Uçağın denklemini üç noktadan geçer (Şekil 82).

Karar. Noktadan geçen uçakların ligament denklemini yazın

Düzlemin uzaydaki konumu, O'nın başlangıcından itibaren mesafesine göre belirlenirse, yani dikin uzunluğu, düzlemdeki o noktasından indirilmiş, ve ünite vektörü n °, dikey olarak gösterilecektir. uçağa ve baştan uçağa yönlendirildi (Şekil 110).

M noktasının düzlem boyunca hareket ettiğinde, yarıçapı-vektörü her zaman bir durumla ilişkili olacak şekilde değişir. Bakalım bu durum ne? Açıkçası, uçakta yatan herhangi bir nokta için, biz var:

Bu durum yalnızca uçak noktaları için gerçekleşir; Uçak dışındaysa kırılır. Böylece, eşitlik (1) özelliği, toplam uçak noktalarını ve sadece bunları ifade eder. § 7 Ch'ye göre. 11 Biz var:

ve bu nedenle denklem (1) formda yeniden yazılabilir:

Denklem (d), noktanın bu düzlemde yattığını ve bu düzlem için normal denklem olarak adlandırıldığı bir durumu ifade eder. Uçağın keyfi noktasının yarıçapı vektörü, mevcut yarıçap-vektör olarak adlandırılır.

Uçağın denklemi (1) vektör formunda yazılmıştır. Koordinatlara dönüşmek ve kökene vektörlerin başlangıcında yerleştirmek - O noktası, birim vektörün koordinatların ekseni üzerindeki çıkıntılarının, bu vektör ile eksenler tarafından derlenen açıların kosünyaları olduğunu ve projeksiyonların yarıçap-vektör noktası m

puanın koordinatlarını servis edin, yani:

Denklem (D) koordinata gider:

Düzlemin vektör denklemini (D) koordinat denklemine (2) çevirirken, formül (15) § 9 cH. 11 Bir skaler ürününü vektörlerin projeksiyonları ile ifade eder. Denklem (2), M (X, Y, Z) noktasının bu düzlemde yattığı ve bu düzlemin koordinat formundaki normal denklem olarak adlandırıldığı bir durumu ifade eder. Elde edilen denklem (2), birinci derece akrabadır, yani herhangi bir düzlem, birinci dereceden akım koordinatlarına göre denklemi ile gösterilebilir.

Türetilen denklemlerin (1 ") ve (2) yürürlükte kaldığını ve yani, yani, bu düzlemin kökeninden geçtiğini unutmayın. Bu durumda, iki tek vektörün herhangi birini düzleme dik ve farklı şekilde almak mümkündür. başka bir yönden.

Yorum Yap. Düzlemin normal denklemi (2), vektör yöntemini kullanmadan çıktı olabilir.

Keyfi bir düzlem alın ve doğrudan I'e dik olan koordinatların kökeninden geçirin. Bu doğrudan pozitif yöne, koordinatların başından uçağa (seçilen düzlem koordinatların kökeninden geçerse, yönün) kurduk. Düz olarak herhangi bir şekilde alınabilir).

Bu düzlemin uzayda konumu, orijinden olan mesafeden, yani, yani, yani menzili olan eksenin lağrından kesişme noktasına (Şekil 111 - segmentte) ve arasındaki açıların uzunluğu ile belirlenir. eksen ve koordinat eksenleri. Koordinatlar noktası düzlem boyunca hareket ettiğinde, koordinatları değişiyor, böylece her zaman bir durumla ilişkilendirilir. Bakalım bu durum ne?

Şekil l'de inşa. 111 Koordinat kırık satırı OPSM keyfi nokta m düzlemi. Axis L'de bu kırıklığın çıkıntısını alın. Kırıkların çıkıntısının, kısa devre segmentinin projeksiyonuna eşit olduğunu fark etmek (CH. I, § 3), bizde olacağız.

24. Matrisin sütunlarının doğrusal bağımlılığı. Özellikler Doğrusal Bağımlılık ve Matrisin Dizeleri (Sütunları) Bağımsızlığı

Doğrusal olarak bağımlı ve doğrusal olarak bağımsız matris sütunlarının özellikleri

25. Temel Küçük. Temel küçük teoremi. Aralık teoremi.

26. Doğrusal denklem sistemleri. Kronmener Teoremi - Sistemlerin uyumluluğu üzerinde Capelli.

27. Doğrusal denklemlerin tek tip sistemler. Çözümlerinin özellikleri. Eşeğin genel kararı.

28. Temel sistem çözümleri

29. Lineer denklemlerin homojen olmayan sistemleri. Çözümlerinin özellikleri. NSLU'nun genel bir çözümünü oluşturmak.

30. Doğrusal boşluklar. Tanım. Örnekler, aksiyomdan etkiler.

31. Doğrusal uzay vektörlerinin doğrusal bağımlılığı. Özellikleri

32. Doğrusal alanın temeli. Boyut

33. Vektörlerin tabandan ayrışmanın benzersizliği. Koordinatlar. Koordinat formunda vektörler üzerindeki eylemler.

34. Yeni bir baza geçerken vektör koordinatlarını değiştirin. Geçiş matrisi.

35. Öklid alanı. Tanım, örnekler. Vektör modülü. Vektörler arasındaki açı. Cauchy Bunyakovsky'nin eşitsizliği.

36. Doğrusal operatör. Doğrusal operatörün matrisi. Yeni bir baza geçerken doğrusal operatörün matrisini değiştirme.

37. Doğrusal operatörün görüntüsü ve çekirdeği. Rütbe doğrusal operatör.

38. Ayrı bir dosyada.

39. Bir doğrusal operatörün kendi vektörleri ve kendi değerleri. Özellikleri

40. Sıra. Sıra sınırı. Sınırlı, sınırsız, sonsuz küçük ve sonsuz büyük sekanslar. Tanım

[Değiştir] Örnekler

[Değiştir] Sıra işlemleri

[Değiştir] Sonraki

[Değiştir] Örnekler

[Değiştir] özellikleri

[Değiştir] limit noktası sırası

[Değiştir] Sıra sınırı

[Değiştir] Bazı diziler türleri

[Değiştir] Sınırlı ve sınırsız diziler

[Değiştir] kriter sınırlı sayısal sekans

[Değiştir] sınırlı dizilerin özellikleri

[Değiştir] sonsuz büyük ve sonsuz küçük diziler

[Değiştir] Sonsuz küçük dizilerin özellikleri

[Değiştir] Convergent ve farklı diziler

[Değiştir] Convering dizilerinin özellikleri

41. İşlev kavramı. İşlevi ayarlamanın yolları.

42. Sonsuzluğundaki noktadaki fonksiyonu sınırlayın. Geometrik yorumlama. Tanımlar ve örnekler.

43. Teoremler sınırlıdır:

44. Sürekli fonksiyonlar ve özellikler:

Özellikler Yerel

Küresel

Sürekli fonksiyon için kayıt koruma teoremi

Kanıt

45. İlk harika limit. Sonuçlar. Sınır teoremi tutar, çalışır ve özeldir.

46. \u200b\u200bSınırlı fonksiyonlar ve özellikleri. Noktadaki fonksiyonun sınırının varlığı için gerekli durum.

47. Sonsuz küçük fonksiyonlar, özellikleri. Lemma

Lemmas, sonsuz küçük

48. Noktadaki fonksiyonun sınırının varlığı için kriter.

49. Sonsuz büyük fonksiyonlar, sonsuz küçük fonksiyonlarla iletişim.

50. Belirsizliklerin açıklanması. İkinci harika limit.

51. Karasız olarak küçük fonksiyonlar eşdeğerdir. Eşdeğer tablosu sonsuz küçük fonksiyonlar.

52. Sınırları hesaplamak için karasız olarak eşdeğer kullanımı için teorem.

3.2. Ana eşdeğerlik formülleri sonsuz küçüktür.

53. Tek yönlü fonksiyonun noktasında sınırlar. Noktadaki fonksiyonun tek taraflı sürekliliği.

54. Point Break Puanları ve sınıflandırılması.

55. Segmentte sürekli fonksiyonların özellikleri.

56. Türev kavramına giden görevler. Türev kavramı. Geometrik ve fiziksel anlam türevi.

1.1 türev kavramına giden görevler

, Eğer bir.

57. İşlevin farklılığı. Noktadaki kriter farklılık işlevi.

57. İşlevin farklılığı. Noktadaki kriter farklılık işlevi.

58. Türev Kompleks Fonksiyonu.

59. Diferansiyel fonksiyon. İlk diferansiyel kayıt formunun değişmezliği.

60. Ters işlevi ve türevi.

60. Ters işlevi ve türevi.

61. farklılaşma kuralları.

63. Logaritmik farklılaşma. Kademeli olarak gösterge işlevinin türevi.

5.4. Kademeli olarak gösterge fonksiyonunun türevi

64. Ayrı bir dosya görün.

65. Ortalama olarak teoremler - Çiftlik, rulo.

66. Orta lagrange teoremleri, cauchy.

67. Yüksek emirlerin farkları. Değişmeyen olmayan kayıt formu.

68. Lopital Kural. Lopital kuralını kullanarak belirsizliklerin açıklanması.

69. Taylor formülü. Fonksiyonun Taylor formülüne göre ayrıştırılması.

70. İşlevin monotonluğu. Monotoniklik koşulları.

71. Aşırı işlev. Extremum'un varlığının gerekli koşulu.

72. Yeterli ekstremum koşulları.

73. İşlevin dönüşümü ve içbükey işlevi. Çekim noktaları.

74. Grafiklerin asimptotları.

[Değiştir] Grafiklerin asimptotlarının türleri [değiştir] dikey

[Değiştir] yatay

[Değiştir] eğimli

[Değiştir] Asimptot bulma

76. Değişkenleri belirsiz bir integralde değiştirme yöntemi.

77. Belirsiz bir integralde parçalara entegrasyon. Parçalarda entegre fonksiyon sınıfları.

78. Rasyonel Fraci. Rasyonel fraksiyonların en basitinin toplamı üzerindeki ayrıştırılması.

79. En basit rasyonel fraksiyonları entegre etmek.

80. Trigonometrik fonksiyonları entegre etmek.

81. Göz irrasyonel entegrasyonu ...

82. Göz irrasyonallıklarının entegrasyonu ...

83. Belirli bir integral, geometrik anlamı ve özellikleri kavramı. Orta teorem.

84. Değişken üst sınır ile integral. Formula Newton Labitsa.

85. Polar koordinat sistemi. Kutup koordinat sisteminde eğrilerin denklemleri.

Kutup Koordinatlarında Eğrilerin Denklemi

Daire

Polar rosa

Spiral Archimedes

Konik bölümler

86. Belirli bir integralin hesaplanması. Yassı figürlerin alanlarını, ark eğrisinin uzunluğunu hesaplamak için kullanımı.

87. Bedenlerin hesaplanması, rotasyon organları.

88. Ek, fizik görevleri için belirli bir integral.

89. DAHA FAZLA BÜTÜNLÜLERİMİZ.

89. DAHA FAZLA BÜTÜNLÜLERİMİZ.

Ben kibarlığımın anlamlı integralleri

Uyumsuz integralin geometrik anlamı

Örnek

90. cinsin anlamlı integralleri.

Cinselin yanlış integrallerinin geometrik anlamı

Normal uçak denklemi.

Türlerin genel denklemi denir düzlemin normal denklemiVektörin uzunluğu ise birine eşit, yani, , ve.

Düzlemin normal denkleminin formda yazıldığını görmek genellikle mümkündür. Burada - bu düzlemin normal vektörünün kılavuz kosterleri, yani ve p. - Koordinatların başlangıcından uçağa doğru mesafeye eşit olumsuz sayı.

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde normal düzlem denklemi Oxyz. Koordinatların başından itibaren kaldırılan düzlemi belirler p. Bu düzlemin normal vektörünün olumlu yönünde . Eğer bir p \u003d 0.Düzlem, koordinatların kökeninden geçer.

Normal bir uçak denklemine bir örnek veriyoruz.

Düzlemin dikdörtgen koordinat sisteminde ayarlanmasına izin verin Oxyz. formun düzleminin ortak denklemi . Uçağın bu genel denklemi, uçağın normal bir denklemidir. Aslında, bu uçağın normal vektörü birine eşit bir uzunluğu var, çünkü .

Düzlemin normal biçimde denklemi, noktadan uçağa olan mesafeyi bulmanızı sağlar.

Noktadan uçağa olan mesafe.

Noktadan uçağa olan mesafe, bu nokta ile uçağın noktaları arasındaki mesafelerin en küçüğüdür. Bilindi ki mesafe Noktadan düzlemden, dikin uzunluğuna eşittir, bu noktadan uçağa düşürülür.

Koordinatların kökeni, zıt durumda, uçağın farklı taraflarında yatarsa. Noktadan uçağa olan mesafe

Uçakların karşılıklı konumu. Paralellik koşulları ve uçakların dikeylikleri.

Paralel düzlemler arasındaki mesafe

Bağlı kavramlar

Uçak paralel , Eğer bir

veya (Vektör sanat)

Dikeyler dikey, Eğer bir

Veya . (Skaler Ürün)

Doğrudan uzayda. Çeşitli denklem türleri düzdür.

Uzayda doğrudan denklemler - ilk bilgi.

Uçakta doğrudan denklem Oksi iki değişkenli doğrusal bir denklemdir x. ve y.Doğrudan herhangi bir noktasının koordinatlarını karşılayan ve başka herhangi bir noktaların koordinatlarını yerine getirmeyin. Üç boyutlu alanda bir çizgi ile, biraz farklıdır - üç değişkenli lineer denklem yoktur. x., y. ve z.doğrudan dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen noktaların koordinatlarını tatmin edecek Oxyz.. Aslında, türlerin denklemi nerede x., y. ve z. - Değişkenler ve A., B., C. ve D. - Bazı geçerli numaralar ve VE, İÇİNDE ve Dan Aynı zamanda sıfır değil, temsil eder uçağın genel denklemi. Sonra soru ortaya çıkıyor: "Doğrudan bir çizgi, dikdörtgen bir koordinat sisteminde nasıl tarif edilebilir? Oxyz.»?

Cevap, makalenin aşağıdaki paragraflarında bulunur.

Uzayda doğrudan denklemler, iki kesişen düzlemin denklemleridir.

Bir Axiom'u hatırlayın: Uzayda iki uçakın ortak bir noktasına sahip olması durumunda, bu uçakların tüm ortak noktalarının bulunduğu ortak bir doğrudan var. Dolayısıyla, uzaydaki doğrudan çizgi belirtilebilir, bu doğrudan ile kesişen iki düzlemin belirten.

En son ifadeyi Cebir diline aktarıyoruz.

Dikdörtgen koordinat sisteminin üç boyutlu uzayda sabitlenmesine izin verin Oxyz. ve bu düz olduğu biliniyor a. İki uçakın kesişme çizgisidir ve bu da uçağın ortak denklemlerine karşılık gelen video. Doğrudan beri a. Tüm ortak uçak noktaları bir dizidir ve daha sonra doğrudan A'nın herhangi bir noktasının koordinatları hem denklem denklemlerini yerine getirecek, diğer noktaların koordinatları, her iki uçağın da her iki denkleminin de yerine getirilmeyecek. Sonuç olarak, doğrudan herhangi bir noktasının koordinatları a. Dikdörtgen bir koordinat sisteminde Oxyz. temsil etmek doğrusal denklem sisteminin özel çözümü Görünüm ve denklem sisteminin genel çözümü her noktanın koordinatlarını doğrudan tanımlar a., yani, doğrudan belirler a..

Yani, dikdörtgen bir koordinat sisteminde doğrudan uzayda Oxyz. sistem tarafından iki kesişen düzlemin denklemlerinden ayarlanabilir .

İşte iki denklem sistemi kullanarak uzayda düz bir çizgi görevinin bir örneğidir - .

İki kesişen planın denklemleriyle düz çizginin açıklaması için harika doğrudan ve uçağın kesiştiği koordinatlarını bulmakHem de İki doğrudan uzayda kesişme koordinatlarını bulmak.

Makaleyle iletişim kurarak bu konunun çalışmasına devam etmeyi öneririz. uzayda doğrudan denklemler - iki kesişen planın denklemleri. Daha ayrıntılı bilgi sunar, karakteristik örneklerin ve görevlerin çözümleri detaylı olarak sökülür ve doğrudan başka bir türün uzayında doğrudan denklemlere geçiş yöntemi gösterilmektedir.

Farklı olduğuna dikkat edilmelidir. uzayda Doğrudan Görev Yöntemlerive pratikte, doğrudan iki kesişen uçak tarafından daha sık, doğrudan bu düz çizgide yatan doğrudan bir doğrudan ve noktaya kadar tanımlanır. Bu durumlarda, doğrudan uzayda kanonik ve parametrik denklemler elde etmek daha kolaydır. Aşağıdaki paragraflarda onlar hakkında konuşacağız.

Parametrik denklemler doğrudan uzayda.

Parametrik denklemler doğrudan uzayda nazik olmak ,

nerede x. 1 ,y. 1 ve z. 1 - Düz bir noktaların koordinatları a. x. , a. y. ve a. z. (a. x. , a. y. ve a. z. Aynı zamanda sıfır değil) - ilgili doğrudan Vektörler Doğrudan Koordinatlar, A - geçerli bir anlam alabilen bazı parametre.

Parametrik denklemlerle parametrenin herhangi bir değeri ile, doğrudan uzayda ilk üç sayıyı hesaplayabiliriz,

düz bir noktaya karşılık gelecektir (bu nedenle bu tür bir denklem hattının adı). Örneğin, ne zaman

parametrik denklemlerden, doğrudan uzayda koordinatlar elde ediyoruz x. 1 , y. 1 ve z. 1 : .

Örnek olarak, doğrudan hangi parametre denklemleri belirleyin. . Bu doğrudan noktadan geçer ve bu doğrudan bunun kılavuz vektörü koordinatlar vardır.

Makaleyle iletişim kurarak konunun çalışmasına devam etmeyi öneririz. parametrik denklemler doğrudan uzayda. Parametrik denklemlerin düz uzayda çekilmesini gösterir, özel parametrik denklem vakaları, uzayda sökülür, grafik çizimler verilir, karakteristik görevlerin ayrıntılı çözümleri verilir ve parametrik denklemlerin doğrudan diğer doğrudan denklemlerle doğrudan bağlantısı verilir. .

Kanonik denklemler uzayda doğrudan.

Doğrudan türün parametrik denklemlerinin her birinin çözülmesi parametreye göre, gitmek kolay kanonik denklemler doğrudan uzayda Görünüm .

Doğrudan uzayda kanonik denklemler doğrudan yoldan geçişi tanımlanır. ve doğrudan doğrudan vektör vektör . Örneğin, doğrudan kanonik biçimde denklemler koordinatlarla olan boşluk noktasından doğrudan geçişe karşılık gelir, bu doğrudan yönlendirici vektörün koordinatları vardır.

Kanonik denklemlerin kanonik denklemlerindeki sayıların bir veya ikisinin sıfır olabileceğine dikkat edilmelidir (üçü de ayrı ayrı sıfır olamaz, çünkü doğrudan çizgi sıfır olamaz). Sonra görünümün kaydı resmi olarak kabul edilir (bir veya iki fraksiyonun sıfırlar olacağı gibi olduğu gibi) ve olduğu gibi anlaşılmalıdır. nerede.

Kanonik denklemlerdeki sayılardan biri sıfıra eşitse, doğrudan koordinat düzlemlerinden birinde ya da paralel düzlemde doğrudan yatmaktadır. Eğer romanlardan ikisi sıfırsa, daha sonra koordinat eksenlerinden biriyle doğrudan veya çakışırsa, ya da paraleldir. Örneğin, doğrudan türlerin uzayında doğrudan kanonik denklemlere karşılık gelir uçakta yatıyor z \u003d -2.koordinat uçağına paralel olan Oksive koordinat ekseni Oy. Kanonik denklemler tarafından belirlenir.

Bu vakaların grafik çizimleri, uzayda kanonik denklemlerin geri çekilmesi, karakteristik örneklerin ve görevlerin ayrıntılı çözümlerinin yanı sıra doğrudan alandaki diğer denklemlere doğrudan diğer denklemlerden geçiş, makaleye bakın. kanonik denklemler doğrudan uzayda.

Genel denklem düzdür. Toplamdan kanonik denklemden geçiş.

"