Göreceli değerler. Göreceli bir değer, iki mutlak değerin bölünmesinin (karşılaştırılmasının) sonucudur. Ortalamaların karşılaştırılması Hangi değerler birbiriyle karşılaştırılabilir
Göreceli değer iki mutlak değeri bölmenin (karşılaştırmanın) sonucudur. Kesrin payı, karşılaştırılan değerdir ve payda, karşılaştırılan değerdir (karşılaştırmanın temeli). Örneğin, 2005 yılında sırasıyla 904.383 ve 243.569 milyar dolar olan Amerika Birleşik Devletleri ve Rusya'nın ihracatını karşılaştırırsak, göreli değer, ABD ihracatının değerinin 3.71 kat (904.383 / 243.569) olduğunu gösterecektir. Rusya ihracatı, taban karşılaştırması ise Rusya'nın ihracatının değeridir. Ortaya çıkan göreli değer şu şekilde ifade edilir: katsayı, karşılaştırılan mutlak değerin taban değerden kaç kez daha büyük olduğunu gösterir. Bu örnekte, karşılaştırma tabanı bir olarak alınmıştır. Taban 100 alınırsa göreli değer şu şekilde ifade edilir: yüzde (% ), eğer 1000 - inç için ppm (‰ ). Göreceli değerin bir biçiminin veya diğerinin seçimi, mutlak değerine bağlıdır:
- karşılaştırılan değer, karşılaştırma tabanından 2 kat veya daha fazlaysa, katsayı biçimini seçin (yukarıdaki örnekte olduğu gibi);
- nispi değer bire yakınsa, o zaman, kural olarak, yüzde olarak ifade edilir (örneğin, sırasıyla 304,5 ve 243,6 milyar dolar olan Rusya'nın 2006 ve 2005 yıllarındaki ihracat değerlerinin karşılaştırılması, 2006 yılındaki ihracatın 2005'in %125'i olduğunu söyleyebiliriz);
– göreli değer birden (sıfıra yakın) önemli ölçüde küçükse, ppm olarak ifade edilir (örneğin, 2004 yılında Rusya, Gürcistan'a 10.7 bin tonu dahil olmak üzere BDT ülkelerine toplam 4142 bin ton petrol ürünü ihraç etmiştir, 0.0026 veya 2.6 olan ‰ tüm petrol ürünleri ihracatından BDT ülkelerine).
Ayırt etmek göreceli değerler dinamikler, yapı, koordinasyon, karşılaştırma ve yoğunluk, bundan sonra atıfta bulunulan kısalık için endeksler.
dinamik dizin herhangi bir olgunun zaman içindeki değişimini karakterize eder. Aynı değerlerin oranıdır mutlak değer farklı zaman dilimlerinde. Bu indeks formül (2) ile belirlenir:
burada sayıların anlamı: 1 - raporlama veya analiz dönemi, 0 - son veya temel dönem.
Dinamik indeksin kriter değeri birdir (veya %100), yani >1 ise zaman içinde fenomende bir artış (artış) vardır; eğer =1 – kararlılık; eğer<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – dizini değiştir, biriminden (%100) çıkarıldığında, değişim hızı (dinamik) formül (3) ile belirlenen kriter değeri 0 ile:
Eğer bir T>0, sonra olgunun büyümesi gerçekleşir; T=0 - kararlılık, T<0 – спад.
Rusya'nın 2006 ve 2005'teki ihracatıyla ilgili yukarıdaki örnekte, formül (2) kullanılarak hesaplanan dinamik endeksiydi: ben D= 304,5/243.6*100% = %125, bu da ihracattaki artışı gösteren %100 kriter değerinden fazladır. Formül (3)'ü kullanarak değişim oranını elde ederiz: T= %125 - %100 = %25, bu da ihracatın %25 arttığını gösterir.
Dinamik indeks çeşitleri, çeşitli miktarları planlamak ve uygulamalarını izlemek için hesaplanan, planlanan görevin ve planın yürütülmesinin endeksleridir.
Zamanlanmış İş Diziniözelliğin planlanan değerinin temel değere oranıdır. Formül (4) ile belirlenir:
nerede X' 1– planlanan değer; x0özelliğin temel değeridir.
Örneğin, gümrük idaresi 2006 yılında federal bütçeye 160 milyar ruble aktardı ve gelecek yıl 200 milyar ruble aktarmayı planladı, bu da formül (4)'e göre şu anlama geliyor: ben pz= 200/160 = 1.25, yani gümrük idaresi için 2007 hedefi bir önceki yılın %125'idir.
Planın tamamlanma yüzdesini belirlemek için aşağıdakileri hesaplamak gerekir: plan yürütme dizini, yani, özniteliğin gözlemlenen değerinin, formül (5)'e göre planlanan (en uygun, mümkün olan maksimum) değere oranı:
Örneğin, Ocak-Kasım 2006 için gümrük makamları federal bütçeye 1.955 trilyon ruble aktarmayı planladı. ruble, ama aslında 2,59 trilyon transfer etti. ovmak., formül (5) ile ifade edilir: ben başkan yardımcısı= 2.59 / 1.955 = 1.325 veya %132.5, yani planlanan görev %132.5 oranında tamamlandı.
Yapı indeksi (pay) nesnenin (küme) herhangi bir bölümünün tüm nesneye oranıdır. Formül (6) ile belirlenir:
Petrol ürünlerinin BDT ülkelerine ihracatı ile ilgili yukarıdaki örnekte, bu ihracatın Gürcistan'a olan payı formül (6) kullanılarak hesaplanmıştır: d\u003d 10.7 / 4142 \u003d 0.0026 veya 2.6 ‰ .
koordinasyon endeksi- bu, nesnenin herhangi bir bölümünün, temel alınan (karşılaştırma temeli) başka bir bölümüne oranıdır. Formül (7) ile belirlenir:
Örneğin, Rusya'nın 2006'daki ithalatı 163.9 milyar dolardı, daha sonra ihracatla (karşılaştırma tabanı) karşılaştırarak, formül (7) kullanarak koordinasyon endeksini hesaplıyoruz: ben K Dış ticaret cirosunun iki bileşeni arasındaki oranı gösteren = 163.9/304,5 = 0,538, yani 2006 yılında Rusya'nın ithalatının değeri, ihracat değerinin %53.8'idir. Aynı formülü kullanarak karşılaştırma tabanını içe aktarmak için değiştirerek şunu elde ederiz: ben K= 304.5/163.9 = 1.858, yani Rusya'nın 2006'daki ihracatı, ithalatın 1.858 katıdır veya ihracat, ithalatın %185.8'ini oluşturmaktadır.
Karşılaştırma Endeksi- bu, aynı özelliklere göre farklı nesnelerin bir karşılaştırmasıdır (oran). Formül (8) ile belirlenir:
nerede ANCAK, B- nesneleri karşılaştırdı.
Amerika Birleşik Devletleri ve Rusya'nın ihracatının karşılaştırıldığı yukarıda tartışılan örnekte, formül (8) kullanılarak hesaplanan karşılaştırma endeksiydi: dır-dir= 904.383/243.569 = 3.71. Karşılaştırma tabanını değiştirerek (yani, Rus ihracatı A nesnesidir ve ABD ihracatı B nesnesidir), aynı formülü kullanarak şunları elde ederiz: dır-dir= 243.569 / 904.383 = 0.27, yani Rus ihracatı ABD ihracatının %27'sini oluşturuyor.
Yoğunluk endeksi- bu, bir nesnenin farklı özelliklerinin birbirine oranıdır. Formül (9) ile belirlenir:
nerede X– nesnenin bir özelliği; Y- aynı nesnenin başka bir işareti
Örneğin, birim çalışma süresi başına üretim çıktısı, üretim birimi başına maliyet, birim fiyatlar vb.
En eski zamanlardan beri insanlar, farklı değerlerle ifade edilen miktarları karşılaştırmanın en uygun nasıl olduğu sorusuyla ciddi şekilde ilgilendiler. Ve bu sadece doğal bir merak değil. En eski karasal uygarlıkların adamı, bu oldukça zor meseleye tamamen uygulamalı bir anlam yükledi. Araziyi doğru ölçmek, ürünün pazardaki ağırlığını belirlemek, takasta gerekli mal oranını hesaplamak, şarap hasadı sırasında doğru üzüm oranını belirlemek - bunlar zaten zor olan hayatta sıklıkla ortaya çıkan görevlerden sadece birkaçı. atalarımızdan. Bu nedenle, zayıf eğitimli ve okuma yazma bilmeyen insanlar, gerekirse, değerleri karşılaştırmak için daha deneyimli yoldaşlarına tavsiye için gittiler ve bu arada, böyle bir hizmet için genellikle uygun bir rüşvet aldılar ve bu arada oldukça iyi.
Ne karşılaştırılabilir
Günümüzde, bu ders aynı zamanda kesin bilimleri çalışma sürecinde de önemli bir rol oynamaktadır. Elbette herkes homojen değerleri, yani elmaları elmalarla ve pancarları pancarlarla karşılaştırmanın gerekli olduğunu bilir. Santigrat derecesini kilometre veya kilogram cinsinden desibel cinsinden ifade etmeye çalışmak kimsenin aklına gelmez, ancak papağanlarda boa yılanının uzunluğunu çocukluktan beri biliyoruz (hatırlamayanlar için: bir boa yılanının içinde 38 papağan vardır) . Papağanlar da farklı olsalar ve aslında boa yılanının uzunluğu papağanın alt türlerine göre değişiklik gösterecek olsa da, anlamaya çalışacağımız detaylar bunlar.
Boyutlar
Görev “Miktarların değerlerini karşılaştır” dediğinde, bu aynı miktarları aynı paydaya getirmek, yani karşılaştırma kolaylığı için aynı değerlerde ifade etmek gerekir. Kilogram cinsinden ifade edilen değeri, centner veya ton cinsinden ifade edilen değerle karşılaştırmanın birçoğumuz için zor olmayacağı açıktır. Ancak, farklı boyutlarda ve ayrıca farklı ölçüm sistemlerinde ifade edilebilen homojen nicelikler vardır. Örneğin, kinematik viskoziteleri karşılaştırmayı ve hangi sıvının santistok ve metrekare/saniye cinsinden daha viskoz olduğunu belirlemeyi deneyin. Çalışmıyor? Ve işe yaramayacak. Bunu yapmak için, her iki değeri de aynı değerlerde ve hangisinin rakibe üstün olduğunu belirlemek için zaten sayısal değere yansıtmanız gerekir.
Ölçüm sistemi
Hangi niceliklerin karşılaştırılabileceğini anlamak için mevcut ölçüm sistemlerini hatırlamaya çalışalım. 1875'te uzlaşma süreçlerini optimize etmek ve hızlandırmak için on yedi ülke (Rusya, ABD, Almanya vb. dahil) bir metrik sözleşme imzaladı ve metrik ölçü sistemini tanımladı. Metre ve kilogram standartlarını geliştirmek ve pekiştirmek için Uluslararası Ağırlıklar ve Ölçüler Komitesi kuruldu ve Paris'te Uluslararası Ağırlıklar ve Ölçüler Bürosu kuruldu. Bu sistem sonunda Uluslararası Birimler Sistemine (SI) dönüştü. Şu anda, bu sistem, ulusal olanların geleneksel olarak günlük yaşamda kullanıldığı ülkeler (örneğin, ABD ve İngiltere) dahil olmak üzere, teknik hesaplamalar alanında çoğu ülke tarafından benimsenmektedir.
GHS
Ancak, genel kabul görmüş standartlar standardına paralel olarak, daha az uygun başka bir CGS sistemi (santimetre-gram-saniye) geliştirildi. 1832'de Alman fizikçi Gauss tarafından önerildi ve 1874'te Maxwell ve Thompson tarafından esas olarak elektrodinamik alanında modernize edildi. 1889'da daha uygun bir ISS (metre-kilogram-saniye) sistemi önerildi. Nesneleri metre ve kilogramın referans değerlerinin boyutuna göre karşılaştırmak, mühendisler için türevlerini (santi-, milli-, desi-, vb.) kullanmaktan çok daha uygundur. Ancak bu kavram, amaçlananların kalbinde de kitlesel bir karşılık bulamadı. Tüm dünyada aktif olarak geliştirildi ve kullanıldı, bu nedenle CGS'deki hesaplamalar giderek daha az yapıldı ve 1960'dan sonra SI sisteminin tanıtılmasıyla CGS pratik olarak kullanım dışı kaldı. Şu anda, CGS pratikte sadece teorik mekanik ve astrofizikteki hesaplamalarda ve daha sonra elektromanyetizma yasalarını yazmanın daha basit biçimi nedeniyle kullanılmaktadır.
Adım adım talimat
Bir örneği ayrıntılı olarak analiz edelim. Sorunun şu olduğunu varsayalım: "25 ton ve 1970 kg değerlerini karşılaştırın. Değerlerden hangisi daha büyük?" Yapılacak ilk şey, hangi miktarlarda değer verdiğimizi belirlemektir. Böylece, ilk değer ton, ikincisi - kilogram olarak verilir. İkinci adımda, problemin derleyicilerinin bizi heterojen nicelikleri karşılaştırmaya zorlayarak bizi yanıltmaya çalışıp çalışmadığını kontrol ederiz. Özellikle hızlı testlerde, her soruyu cevaplamak için 20-30 saniyenin verildiği bu tür tuzak görevleri de vardır. Gördüğümüz gibi değerler homojen: hem kilogram hem de ton olarak vücudun kütlesini ve ağırlığını ölçüyoruz, bu nedenle ikinci test olumlu bir sonuçla geçti. Üçüncü adımda, karşılaştırma kolaylığı için kilogramı tona veya tersine tonu kilograma çeviriyoruz. İlk versiyonda 25 ve 19.57 ton, ikincisinde ise 25.000 ve 19.570 kilogram elde ediliyor. Ve şimdi bu değerlerin büyüklüklerini gönül rahatlığı ile karşılaştırabilirsiniz. Açıkça görüldüğü gibi, her iki durumda da birinci değer (25 ton), ikinci değerden (19,570 kg) daha büyüktür.
tuzaklar
Yukarıda belirtildiği gibi, modern testler birçok aldatma görevi içerir. Bunlar mutlaka analiz ettiğimiz görevler değil, oldukça zararsız görünen bir soru, özellikle tamamen mantıklı bir cevabın kendini gösterdiği bir tuzak haline gelebilir. Bununla birlikte, hile, kural olarak, görevin derleyicilerinin mümkün olan her şekilde gizlemeye çalıştığı ayrıntılarda veya küçük bir nüansta yatmaktadır. Örneğin, sorunun formülasyonu ile analiz edilen problemlerden zaten aşina olduğunuz soru yerine: "Mümkünse değerleri karşılaştırın" - testin derleyicileri sadece belirtilen değerleri karşılaştırmanızı ve değerleri seçmenizi isteyebilir. birbirlerine çarpıcı biçimde benzerler. Örneğin, kg * m / s 2 ve m / s 2. İlk durumda, bu nesneye (newton) etki eden kuvvettir ve ikincisinde - vücudun ivmesi veya m / s 2 ve m / s, burada ivmeyi hızıyla karşılaştırmanız istenir. beden, yani kesinlikle heterojen nicelikler.
Karmaşık karşılaştırmalar
Bununla birlikte, çoğu zaman görevlerde, yalnızca farklı ölçüm birimlerinde ve farklı hesaplama sistemlerinde değil, aynı zamanda fiziksel anlamın özelliklerinde birbirinden farklı olarak ifade edilen iki değer verilir. Örneğin, sorunun ifadesi şöyle diyor: "Dinamik ve kinematik viskozitelerin değerlerini karşılaştırın ve hangi sıvının daha viskoz olduğunu belirleyin." Bu durumda, değerler SI birimlerinde, yani m 2 / s cinsinden ve dinamik - CGS'de, yani dengede gösterilir. Bu durumda nasıl devam edilir?
Bu tür sorunları çözmek için yukarıda sunulan talimatları küçük bir ekleme ile kullanabilirsiniz. Hangi sistemlerde çalışacağımıza biz karar veririz: bırakın mühendisler arasında genel kabul görsün. İkinci adımda bunun bir tuzak olup olmadığını da kontrol ediyoruz? Ancak bu örnekte de her şey temiz. İki sıvıyı iç sürtünme (viskozite) açısından karşılaştırıyoruz, bu nedenle her iki değer de homojen. Üçüncü adım, dengeden pascal saniyeye, yani SI sisteminin genel kabul görmüş birimlerine dönüştürmektir. Daha sonra, kinematik viskoziteyi dinamiğe çeviririz, onu sıvının yoğunluğunun karşılık gelen değeriyle (tablo değeri) çarparız ve elde edilen sonuçları karşılaştırırız.
sistem dışı
Sistemik olmayan ölçü birimleri de vardır, yani SI'da yer almayan, ancak Ağırlıklar ve Ölçüler Genel Konferansı'nın (GCVM) toplanma kararlarının sonuçlarına göre, paylaşılması kabul edilebilir birimler vardır. Sİ. Bu tür büyüklükleri ancak SI standardında genel bir forma indirgendiklerinde birbirleriyle karşılaştırmak mümkündür. Sistemik olmayan birimler, dakika, saat, gün, litre, elektron volt, düğüm, hektar, bar, angstrom ve diğerleri gibi birimleri içerir.
İlk olarak, deneyde ölçülen değeri a sabitiyle karşılaştırma problemini düşünün. Değer ancak ölçümler üzerinden ortalama hesaplanarak yaklaşık olarak belirlenebilir. İlişkinin geçerli olup olmadığını öğrenmemiz gerekiyor. Bu durumda, doğrudan ve ters olmak üzere iki görev ortaya çıkar:
a) bilinen bir değerden, belirli bir olasılıkla aşılmış olan a sabitini bulun
b) a'nın verilen bir sabit olduğu olasılığı bulun.
Açıkçası, eğer öyleyse, olasılık 1/2'den küçüktür. Bu dava ilgi çekici değil ve ayrıca şunu varsayacağız:
Problem, Bölüm 2'de tartışılan problemlere indirgenmiştir. X ve standardı ölçümlerle tanımlansın.
Ölçüm sayısı çok küçük kabul edilmeyecektir, bu nedenle normal dağılıma sahip rastgele bir değişken vardır. Daha sonra, Öğrenci kriterinden (9) normal dağılımın simetrisini hesaba katarak, keyfi olarak seçilen bir olasılık için koşul şu şekildedir:
Bu ifadeyi aşağıdaki biçimde yeniden yazalım:
Tablo 23'te verilen Öğrenci katsayıları nerede? Böylece, doğrudan sorun çözülür: olasılıkla aşan bir sabit a bulunur.
Ters problem doğrudan olan kullanılarak çözülür. Formülleri (23) aşağıdaki gibi yeniden yazalım:
Bu, a'nın bilinen değerlerinden t'yi hesaplamanız, tablo 23'teki verileri içeren satırı seçmeniz ve t değerinden karşılık gelen değeri bulmanız gerektiği anlamına gelir.İstenen olasılığı belirler.
İki rastgele değişken. Genellikle, incelenen miktar üzerindeki bazı faktörlerin etkisinin belirlenmesi gerekir - örneğin, belirli bir katkı maddesinin metalin gücünü artırıp artırmadığı (ve ne kadar)? Bunu yapmak için, orijinal metalin mukavemetini ve alaşımlı metalin mukavemetini y ölçmek ve bu iki miktarı karşılaştırmak, yani bulmak gerekir.
Karşılaştırılan değerler rastgeledir; Bu nedenle, belirli bir derecedeki metalin özellikleri, hammaddeler ve erime rejimi kesinlikle aynı olmadığı için ısıdan ısıya değişir. Bu miktarları ile gösterelim. İncelenen etkinin büyüklüğü eşittir ve koşulun karşılanıp karşılanmadığının belirlenmesi gerekir.
Böylece problem, yukarıda tartışılan bir sabit a ile rastgele bir değişkenin karşılaştırılmasına indirgenmiştir. Bu durumda doğrudan ve ters karşılaştırma problemleri aşağıdaki gibi formüle edilmiştir:
a) ölçüm sonuçlarına göre, belirli bir olasılıkla aşan a sabitini bulun (yani, incelenen etkinin büyüklüğünü tahmin edin);
b) a'nın istenen etki büyüklüğü olduğu yerde olasılığını belirleyin; bu, olasılığın belirlenmesinin gerekli olduğu anlamına gelir.
Bu problemleri çözmek için z'yi ve bu miktarın varyansını hesaplamak gerekir. Onları bulmanın iki yoluna bakalım.
Bağımsız ölçümler. Deneylerdeki değeri ve ilk deneylerden bağımsız deneylerdeki değeri ölçelim. Normal formülleri kullanarak ortalama değerleri hesaplıyoruz:
Bu araçların kendileri rastgele değişkenlerdir ve standartları (tek ölçümlerin standartlarıyla karıştırılmamalıdır!) yaklaşık olarak tarafsız tahminlerle belirlenir:
Deneyler bağımsız olduğundan, x ve y rastgele değişkenleri de bağımsızdır, böylece matematiksel beklentileri hesaplanırken çıkarılır ve varyanslar eklenir:
Varyansın biraz daha doğru bir tahmini:
Böylece, dağılımı da bulunur ve (23) veya (24) formülleri kullanılarak başka hesaplamalar yapılır.
Tutarlı ölçümler. Deneylerin her birinde aynı anda ölçüldüğünde, başka bir işleme yöntemiyle daha yüksek bir doğruluk elde edilir. Örneğin, eriyiğin yarısının serbest bırakılmasından sonra, fırında kalan metale bir katkı maddesi eklenir ve ardından eriyiğin her yarısından metal numuneleri karşılaştırılır.
Bu durumda, özünde, her deneyde, sabit a ile karşılaştırılması gereken bir rastgele değişkenin değeri hemen ölçülür. Ölçümler daha sonra (21)–(24) formüllerine göre işlenir, burada z her yerde ikame edilmelidir.
Tutarlı ölçümler için varyans, bağımsız olanlardan daha küçük olacaktır, çünkü bu sadece rastgele faktörlerin bir kısmından kaynaklanmaktadır: sürekli değişen bu faktörler, farklılıklarının yayılmasını etkilemez. Bu nedenle, bu yöntem daha güvenilir sonuçlar elde edilmesini sağlar.
Örnek. Değerlerin karşılaştırılmasının ilginç bir örneği, yargılamanın "gözle" yapıldığı sporlarda kazananın belirlenmesidir - jimnastik, artistik patinaj vb.
Tablo 24. Değerlendirme puanları
Tablo 24, 1972 Olimpiyatları'ndaki at terbiyesi müsabakalarının protokolünü göstermektedir.Hakem notlarının dağılımının büyük olduğu ve tek bir işaretin büyük ölçüde hatalı olarak tanınıp atılamayacağı görülebilir. İlk bakışta, kazananı belirlemenin güvenilirliği düşük görünüyor.
Kazananın ne kadar doğru belirlendiğini yani olayın olasılığının ne olduğunu hesaplayalım. Her iki binici de aynı hakemler tarafından puanlandığından, eşleşen ölçüm yöntemi kullanılabilir. Tablo 24'e göre bu değerleri formül (24)'de yerine koyarak hesaplıyoruz ve elde ediyoruz.
Tablo 23'te bir satır seçerek, bu t değerinin şuna tekabül ettiğini görüyoruz.
Bağımsız ölçüm yöntemiyle yapılan karşılaştırma, puanların aynı hakemler tarafından verildiği bilgisini kullanmadığından biraz daha kötü bir puan verecektir.
Varyansların karşılaştırılması. İki deneysel yöntemin karşılaştırılması gereksin. Açıkçası, daha doğru yöntem, tek bir ölçümün varyansının daha küçük olduğu yöntemdir (tabii ki, sistematik hata artmazsa). Dolayısıyla eşitsizliğin sağlanıp sağlanmadığını belirlememiz gerekiyor.
Ortalama değerler
Klinik tıp ve halk sağlığı uygulamalarında, sıklıkla nicel özelliklerle (boy, iş göremezlik gün sayısı, kan basıncı seviyeleri, kliniğe ziyaretler, sahadaki nüfus vb.) karşılaşırız. Nicel değerler ayrık veya sürekli olabilir. Ayrık değere bir örnek, bir ailedeki çocuk sayısı, nabız; sürekli bir değerin bir örneği kan basıncı, boy, kilodur (sayı bir kesir olabilir, bir sonrakine dönüşebilir)
Gözlem biriminin her sayısal değerine denir. seçenek(x). Tüm seçenekleri artan veya azalan düzende oluşturursanız ve her seçeneğin sıklığını (p) belirtirseniz, sözde alabilirsiniz. varyasyon serisi.
Normal dağılıma sahip bir varyasyon serisi grafiksel olarak bir zili (histogram, çokgen) temsil eder.
Normal dağılıma (veya Gauss-Lyapunov dağılımına) sahip bir varyasyon serisini karakterize etmek için her zaman iki grup parametre kullanılır:
1. Serinin ana eğilimini karakterize eden parametreler: ortalama değer (`x), mod (Mo), medyan (Me).
2. Serinin dağılımını karakterize eden parametreler: standart sapma (d), varyasyon katsayısı (V).
ortalama değer(`x), niteliksel olarak homojen bir popülasyonun nicel özelliğini bir sayı ile belirleyen bir değerdir.
Moda (Ay)- varyasyon serisinin en yaygın varyantı.
Medyan (Ben)- varyasyon serisini eşit yarıya bölen bir varyant.
Standart sapma(d) ortalama olarak her seçeneğin ortalamadan nasıl saptığını gösterir.
Varyasyon katsayısı (V) varyasyon serisinin değişkenliğini yüzde olarak belirler ve çalışılan popülasyonun nitel homojenliğini yargılamayı mümkün kılar. Çeşitli karakterlerin varyasyonlarının karşılaştırılması için kullanılması tavsiye edilir (ayrıca çok farklı grupların değişkenlik derecesi, farklı türlerdeki birey grupları, örneğin yenidoğanların ve yedi yaşındaki çocukların ağırlığı).
Limitler veya limitler(lim) – seçeneğin minimum ve maksimum değeri. bir varyasyon dizisini karakterize etmenin en basit yolu, kapsamını, dizinin minimum ve maksimum değerlerini, yani. onun sınırları. Ancak sınırlar, popülasyonun bireysel üyelerinin incelenen özelliğe göre nasıl dağıldığını göstermez, bu nedenle varyasyon serisinin yukarıdaki iki parametre grubu kullanılır.
Varyasyon serilerinin parametrelerinin hesaplanmasında farklı modifikasyonlar vardır. Seçimleri, varyasyon serisinin kendisine ve teknik araçlara bağlıdır.
İşaretin nasıl değiştiğine bağlı olarak - ayrık veya sürekli, geniş veya dar bir aralıkta, basit bir ağırlıksız, basit ağırlıklı (ayrık değerler için) ve bir aralık varyasyon serisi (sürekli değerler için) ayırt edilir.
Serilerin gruplandırılması, aşağıdaki şekilde çok sayıda gözlem ile gerçekleştirilir:
1. Minimum seçeneği maksimumdan çıkararak serinin aralığını belirleyin.
2. Ortaya çıkan sayı istenen grup sayısına bölünür (minimum sayı 7, maksimum 15). Aralık bu şekilde tanımlanır.
3. Minimum seçenekten başlayarak bir varyasyon serisi oluşturun. Aynı seçeneğin farklı gruplara girişi hariç, aralıkların sınırları net olmalıdır.
Varyasyon serisinin parametrelerinin hesaplanması, merkezi varyanttan gerçekleştirilir. Seri sürekli ise, merkezi varyant önceki ve sonraki grupların ilk varyantının toplamının yarısı olarak hesaplanır. Bu süreksiz bir seri ise, merkezi değişken, gruptaki ilk ve son değişkenin toplamının yarısı olarak hesaplanır.
Varyasyon serisi parametrelerinin hesaplanması
Basit bir ağırlıksız varyasyon serisinin parametrelerini hesaplamak için algoritma:
1. Seçenekleri artan sırada düzenleyin
2. Tüm seçenekleri toplayın (Sx);
3. Toplamın gözlem sayısına bölünmesiyle ağırlıksız bir ortalama elde edilir;
4. Medyanın (Me) seri numarasını hesaplayın;
5. Ortanca değişkeni (Me) belirleyin
6. Ortalamadan (d = x -`x) her seçeneğin sapmasını (d) bulun
7. Sapmanın karesini alın (d 2);
8. Toplam 2 (Sd 2);
9. Standart sapmayı aşağıdaki formülle hesaplayın: ± ;
10. Varyasyon katsayısını aşağıdaki formüle göre belirleyin: 
.
11. Sonuçlar hakkında bir sonuca varın.
Not: homojen bir istatistiksel popülasyonda, varyasyon katsayısı %5-10, %11-20 - orta varyasyon, %20'den fazla - yüksek varyasyondur.
Örnek:
Canlandırma ve yoğun bakım ünitesinde beyin damar lezyonları olan 9 hasta tedavi edildi. Her hasta için gün olarak tedavi süresi: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5.11.
1. Bir varyasyon serisi oluşturuyoruz (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Toplam seçeneğini hesaplayın: Sx = 72
3. Varyasyon serisinin ortalama değerini hesaplayın: =72/9=8 gün;
4. 
;
5. Me n =5 =8 gün;
| x | d | d2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd2=60 |
9. 
(gün);
10. Varyasyon katsayısı: ;
Basit ağırlıklı bir varyasyon serisinin parametrelerini hesaplamak için algoritma:
1. Seçenekleri, sıklıklarını (p) belirterek artan sırada düzenleyin;
2. Her seçeneği frekansıyla çarpın (x * p);
3. Toplam ürünler xp (Sxp);
4. Ortalama değeri (`x)= formülüyle hesaplayın;
5. Medyanın seri numarasını bulun;
6. Medyanın (Me) varyantını belirleyin;
7. En yaygın değişken moda (Mo) olarak alınır;
8. Ortalamadan (d = x - `x) her seçeneğin d sapmalarını bulun;
9. Sapmaların karesini alın (d 2);
10. d 2'yi p (d 2 *p) ile çarpın;
11. Toplam d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Standart sapmayı (s) aşağıdaki formüle göre hesaplayın: ± ;
13. Varyasyon katsayısını aşağıdaki formüle göre belirleyin: .
Örnek.
Sistolik kan basıncı 16 yaşındaki kızlarda ölçüldü.
| Sistolik kan basıncı, mm Hg x | İncelenen sayısı, p | x*p | d | d2 | d2*p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860.4 |
mmHg.;
MmHg.
;
Me=108 mm Hg; Mo=108 mmHg
Momentler yöntemiyle gruplanmış bir varyasyon serisinin parametrelerini hesaplamak için algoritma:
1. Seçenekleri, sıklıklarını (p) belirterek artan sırada düzenleyin.
2. Gruplandırma seçeneğini basılı tutun
3. Merkezi varyantı hesaplayın
4. En yüksek frekansa sahip değişken koşullu ortalama olarak alınır (A)
5. Her bir merkezi seçeneğin koşullu ortalamadan (A) koşullu sapmasını (a) hesaplayın.
6. a'yı p ile çarpın (a * p)
7. ar ürünlerini özetleyin
8. Merkezi seçeneği önceki seçenekten çıkararak y aralığının değerini belirleyin.
9. Ortalama değeri aşağıdaki formüle göre hesaplayın:
;
10. Koşullu sapmanın karesini hesaplamak için koşullu sapmaların karesi alınır (a 2)
11. 2 * p ile çarpın
12. Ürünleri toplayın a * p 2
13. Standart sapmayı formülle hesaplayın
Örnek
30-39 yaş arası erkekler için mevcut veriler
| kütle, kg x | Anket sayısı p | Orta seçenek x s | a | 2 | 2 * p | a*r | Birikmiş Frekanslar |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| toplam |
- aritmetik ortalama
; - standart sapma; 
- ortalama hata
Güvenilirlik değerlendirmesi
Bir tıbbi istatistiksel çalışmanın sonuçlarının güvenilirliğinin istatistiksel değerlendirmesi, birkaç aşamadan oluşur - sonuçların doğruluğu, bireysel aşamalara bağlıdır.
Bu durumda, iki hata kategorisi vardır: 1) matematiksel yöntemlerle önceden dikkate alınamayan hatalar (doğruluk hataları, dikkat, tipiklik, metodolojik hatalar vb.); 2) örnek araştırmayla ilgili temsiliyet hataları.
Temsil hatasının büyüklüğü hem örneklem büyüklüğü hem de özelliğin çeşitliliği ile belirlenir ve ortalama hata olarak ifade edilir. Göstergenin ortalama hatası aşağıdaki formülle hesaplanır:
burada m, göstergenin ortalama hatasıdır;
p istatistiksel bir göstergedir;
q, p'nin tersidir (1-p, 100-p, 1000-p, vb.)
n, gözlem sayısıdır.
Gözlem sayısı 30'dan az olduğunda, formülde bir değişiklik yapılır:
Ortalama değerin hatası aşağıdaki formüllerle hesaplanır:
; 
;
burada s standart sapmadır;
n, gözlem sayısıdır.
örnek 1
289 kişi hastaneden ayrıldı, 12 kişi öldü.
Ölümcül olacak:
; ;
Tekrarlanan çalışmalar yürütülürken, vakaların %68'indeki ortalama (M) ±m içinde dalgalanacaktır, yani. ortalama için bu tür güven sınırlarını elde ettiğimiz olasılık derecesi (p) 0.68'dir. Ancak, bu olasılık derecesi genellikle araştırmacıları tatmin etmemektedir. Ortalamanın dalgalanması (güven sınırları) için belirli sınırlar elde etmek istedikleri en küçük olasılık derecesi 0,95'tir (%95). Bu durumda, hata (m) ile güven faktörü (t) çarpılarak ortalamanın güven sınırları genişletilmelidir.
Güven katsayısı (t) - belirli bir sayıda gözlemle, istenen olasılık derecesi (p) ile ortalama değerin sınırları aşmayacağını iddia etmek için ortalama değerin hatasının kaç katına çıkarılması gerektiğini gösteren bir sayı bu şekilde elde edilir.
p=0.95 (%95) t=2'de, yani. M±tm=M+2m;
p=0.99 (%99) t=3'te, yani. M±tm=M+3m;
ortalamaların karşılaştırılması
Farklı zaman dilimleri için veya biraz farklı koşullar altında hesaplanan iki aritmetik ortalamayı (veya iki göstergeyi) karşılaştırırken, aralarındaki farkların önemi belirlenir. Bu durumda, aşağıdaki kural geçerlidir: ortalamalar (veya göstergeler) arasındaki fark, karşılaştırılan ortalamalar (veya göstergeler) arasındaki aritmetik fark, bu ortalamaların karesel hatalarının toplamının iki karekökünden büyükse, önemli kabul edilir ( veya göstergeler), yani .
(karşılaştırılan ortalamalar için);
(karşılaştırılabilir göstergeler için).
Valery Galasyuk- Ukrayna AES Akademisyeni, COWPERWOOD denetim firmasının (Dnepropetrovsk) Genel Müdürü, Ukrayna Denetçiler Birliği Konseyi Başkanlığı Üyesi, Ukrayna Denetim Odası Üyesi, Ukrayna Denetim Komisyonu Başkanı Değerleme Uzmanları Derneği, Ukrayna Mükellefler Birliği Yönetim Kurulu Başkan Vekili, Ukrayna Finansal Analistler Derneği'nin Verimlilik Yatırım Faaliyetlerinin Değerlendirilmesi Komisyonu Başkan Yardımcısı, Ukrayna Değerleme Uzmanları Derneği'nin önde gelen değerleme uzmanı
Victor Galasyuk– Bilgi ve danışmanlık şirketi “INCON-CENTER” (danışma grubu “COWPERWOOD”) Kredi Danışmanlığı Departmanı Direktörü, İşletme Ekonomisi Yüksek Lisansı, Ukrayna Değerleme Derneği'nin genç değerleme uzmanları için yarışma ödülü sahibi
Matematik tek mükemmel yöntemdir
burun tarafından yönlendirilmesine izin vermek
Einstein
Benim işim doğruyu söylemek, seni buna inandırmak değil.
Rousseau
Bu makale, niceliklerin sayısal olarak karşılaştırılması sürecinde ortaya çıkan temel soruna ayrılmıştır. Bu sorunun özü, belirli koşullar altında, aynı niceliklerin çeşitli sayısal karşılaştırma yöntemlerinin, eşitsizliklerinin farklı bir derecesini belirlemesinde yatmaktadır. Bu sorunun benzersizliği, sayısal karşılaştırma prosedürlerinin kapsamlı bir şekilde incelendiği ve okul çocukları arasında bile soru sormadığı görünse de, henüz çözülmemiş olması gerçeğinde değil, henüz kamu bilincine ve daha da önemlisi pratiğe yeterince yansımamıştır.
Bildiğiniz gibi “Bir değer diğerinden ne kadar büyüktür?” sorusuna cevap vererek ya da “Bir değer diğerinden kaç kat büyüktür?” sorusuna cevap vererek iki değeri sayısal olarak karşılaştırabilirsiniz. Yani, iki niceliği sayısal olarak karşılaştırmak için ya birini diğerinden çıkarmanız () ya da diğerine bölmeniz gerekir (). Aynı zamanda, çalışmaların gösterdiği gibi, niceliklerin sayısal olarak karşılaştırılması için yalnızca iki başlangıç kriteri türü vardır: ve ve bunların hiçbiri münhasır var olma hakkına sahip değildir.
Karşılaştırılan iki X ve Y değerlerinin değerlerinin sayısal eksenindeki oranın yalnızca 13 niteliksel olarak farklı varyantı mümkündür (bkz. Şekil 1) .
Karşılaştırma kriterine göre iki X ve Y değerini karşılaştırırken sayı eksenindeki oranlarının herhangi bir varyantı ile sorun yoktur. Gerçekten de, X ve Y değerlerinden bağımsız olarak, karşılaştırma kriteri, gerçek eksende X ve Y noktaları arasındaki mesafeyi benzersiz bir şekilde karakterize eder.
Ancak karşılaştırma kriterinin kullanılması X ve Y değerlerini bazı durumlarda sayı eksenindeki ilişkileriyle karşılaştırmak sorunlara yol açabilir, çünkü bu durumlarda X ve Y değerlerinin değerleri sonuçları üzerinde önemli bir etkiye sahip olabilir. mukayese. Örneğin, Galasyuk boncuklarında 5. seçeneğe karşılık gelen 0.0100000001 ve 0.00000000001 değerlerini karşılaştırırken, karşılaştırma kriterinin kullanılması, ilk sayının ikinciden 0,01 daha büyük olduğunu ve karşılaştırma kriterinin kullanılması, ilk sayının olduğunu gösterir. saniyeden 100.000,001 kat daha büyüktür. Böylece, sayısal eksende belirli bir oranda karşılaştırılan değerler ile karşılaştırma kriteri şunları gösterir: hafif eşitsizlik derecesi karşılaştırılan X ve Y değerleri ve karşılaştırma noktalarının kriteri eşitsizliklerinin önemli bir derecesi.
Veya örneğin, 1.000.000.000 100 ve
"Galasyuk'un tespihinde" aynı seçeneğe 5 karşılık gelen 1 000 000 000 000, karşılaştırma kriterinin kullanılması, ilk sayının ikinciden 100'den büyük olduğunu ve karşılaştırma kriterinin kullanılması, birinci sayının sayı yaklaşık olarak saniyeye eşittir, çünkü ikinci sayıdan yalnızca 1.0000000001 kez daha büyüktür. Böylece, sayısal eksende belirli bir oranda karşılaştırılan değerler ile karşılaştırma kriteri şunları gösterir: önemli derecede eşitsizlik karşılaştırılan X ve Y değerleri ve karşılaştırma noktalarının kriteri eşitsizliklerinin hafif bir derecesi.
Bu makalede tartışılan sorun yalnızca karşılaştırma kriteri kullanıldığında ortaya çıktığından, onu incelemek için iki niceliğin karşılaştırmasını ele alıyoruz. m ve n karşılaştırma kriteri esas alınır. Bu miktarları karşılaştırmak için böleriz müzerinde n: .
Değerlerin karşılaştırılması sonuçlarının analizi m ve n iki aşamada gerçekleştirilebilir: ilk aşamada, oranın paydasını değişmeden alıyoruz - değer n, ikinci payda - değer m(bkz. şekil 2).
Analizin ilk aşamasını gerçekleştirmek için, oranın değere bağımlılığının bir grafiğini oluşturuyoruz. m(bkz. Şekil 3), şuna dikkat edilmelidir ki ne zaman n=0 ilişkisi tanımlı değil.
Şekil 3'te görüldüğü gibi, n=const, n¹0 ise |m|→∞ ilişkisi | |→∞ ve |m|→0 için ilişki | |→0.
Analizin ikinci aşamasını uygulamak için, oranın değere bağımlılığının bir grafiğini oluşturuyoruz. n(bkz. Şekil 4), şuna dikkat edilmelidir ki, n=0 ilişkisi tanımlı değil.
Şekil 4'te görüldüğü gibi, m=const, m¹0, n¹0 ise |n|→∞ için ilişki | |→0, ve |n|→0 için ilişki | |→∞. Unutulmamalıdır ki | değerleri olarak | n| eşit değişiklikler | n| tutumda her zamankinden daha küçük değişiklikler içerir | |. Ve sıfır değerlere yaklaşırken | n| eşit değişiklikler | n| tutumda her zamankinden daha büyük değişiklikler gerektirir | |.
Analizin I. ve II. aşamalarının sonuçlarını özetleyerek, bunları ilk kriter tipine dayalı karşılaştırma analizinin sonuçları dahil olmak üzere aşağıdaki tablo şeklinde sunuyoruz (bkz. Tablo 1). X=0 ve Y=0 olan durumlar burada dikkate alınmaz. Bunları gelecekte analiz etmeyi umuyoruz.
tablo 1
Değerlerin karşılaştırılması analizinin genelleştirilmiş sonuçlarıXveY
iki orijinal karşılaştırma kriteri türüne dayalı
(X¹ 0 veY¹ 0)
|
7. Galasyuk V.V. Kaç başlangıç maliyet etkinliği kriteri olmalıdır: bir, iki, üç…?//Borsa.-2000.-№3.-p.39-42. 8. Galasyuk V.V. İlk iki tür maliyet etkinliği kriteri//Değerlendirme soruları hakkında, Moscow.-2000.-№1.-p.37-40. 9. Poincare Henri. Bilim hakkında: Per. Fransızca-M.-Nauka'dan. Fiziksel ve matematiksel literatürün ana baskısı, 1983.-560 s. 20.10.2002 |
