Bir kürenin ve elementlerinin bir topunun tanımını formüle edin. Küre, top, segment ve sektör. Kürenin formülleri ve özellikleri. Kürenin sekant, kiriş, sekant düzlemi ve özellikleri

Çoğumuz futbol oynamayı severiz ya da en azından hemen hemen hepimiz bu ünlü spor oyununu duymuşuzdur. Futbolun topla oynandığını herkes bilir.

Yoldan geçen birine topun geometrik şeklinin ne olduğunu sorarsanız, bazıları top şekli, bazıları ise küre şekli diyecektir. Peki hangisi doğru? Ve bir küre ile küre arasındaki fark nedir?

Önemli!

Top bir uzay cismidir. Topun içi bir şeyle dolu. Bu nedenle, küre hacmi bulabilir.

Hayattaki top örnekleri: karpuz ve çelik top.

Bir daire ve bir daire gibi bir top ve kürenin bir merkezi, bir yarıçapı ve bir çapı vardır.

Önemli!

küre kürenin yüzeyidir. Bir kürenin yüzey alanını bulabilirsiniz.

Hayattaki küre örnekleri: voleybol ve masa tenisi topu.

Bir kürenin alanı nasıl bulunur

Unutma!

Küre alanı formülü: S=4 π R2

Bir kürenin alanını bulmak için bir sayının kuvvetinin ne olduğunu hatırlamanız gerekir. Derecenin tanımını bilerek, bir kürenin alan formülünü aşağıdaki gibi yazabiliriz.
S=4 π R2 \u003d 4π R R;

Edinilen bilgileri pekiştirmek ve kürenin alanı için problemi çöz.

Zubareva 6. sınıf. Sayı 692(a)

Görev:

• Yarıçapı ise bir kürenin alanını hesaplayın 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Önemli!

Sevgili ebeveynler!

Yarıçapın son hesaplanmasında, çocuğu küp kökünü hesaplamaya zorlamak gerekli değildir. 6. sınıf öğrencileri henüz geçmemiş ve matematikte köklerin tanımını bilmiyorlar.

6. sınıfta böyle bir problemi çözerken numaralandırma yöntemini kullanın.

Öğrenciye kendisi ile 3 kez çarpılırsa hangi sayının 1 vereceğini sorun.

Bir küre ve bir top, üç boyutlu uzayda bir daire ve bir dairenin bir analogudur. Bu rakamların her biri hakkında konuşmaya değer, benzerlikleri ve farklılıkları ve ayrıca bu rakamların doğasında bulunan formülleri vurgulamaya değer.

Geometrik yapıların çoğu bir düzlemde yapılır, ancak lisede üç boyutlu figürleri incelemeye başlarlar. İki boyutlu uzayın yalnızca iki özelliği vardır: uzunluk ve genişlik. 3B bölgelerde yükseklik eklenir. 6. sınıf matematikte, bireysel 3B figürler incelenir.

Düzlemde, şekil alan ve çevre ile karakterize edildi. Üç boyutlu nesnelerde bunlara hacim eklenir.

Pirinç. 1. Üç boyutlu uzay.

Ek olarak, 3B şekillerin bir takım belirli özellikleri vardır. Düz bir çizgi ve bir düzlem ile geçilebilirler, başka figürler şeklini alan kesen düzlemler olabilir.

Görevleri oluşturmak için 3B şekillerin kullanılması onları büyük ölçüde karmaşıklaştırır, ancak aynı zamanda onları çok daha ilginç hale getirir. Top ve küre tanımlarını verdikten sonra bu rakamlar arasındaki farkları vurgulamaya çalışacağız.

Top

Bir küre ve bir küre, bir dairenin ve bir düzlemdeki bir dairenin analogudur. Top, bir nokta etrafında yarım daire döndürülerek elde edilen bir şekildir.

Topun bir yüzey alanı var: $S=4pir^2$

Yarıçap, topun merkezini ve yüzeyindeki herhangi bir noktayı birleştiren bir doğru parçası.

Bir küre için hacim formülü$V=(4pir^3\over3)$

Hacim, bir figürün ne kadar yer kapladığını gösterir. Hacmin ne olduğunu anlamak için içi boş bir figür hayal etmeniz gerekir. O halde hacim bu şekle dökülebilecek su miktarıdır.

Bir top, diğer üç boyutlu şekiller gibi, bir düzlem tarafından kesilebilir. Topun sekant düzlemi, merkezi topun merkezinden dairenin üzerine bir dikey düşürülerek bulunabilen bir dairedir.

Pirinç. 2. Topun bölümü.

Küre, uzayda kürenin merkezinden eşit uzaklıkta bulunan bir dizi nokta olan bir şekildir. küre:

• Küre ile aynı hacim ve yüzey alanı formüllerine sahiptir.
• Bir kürenin kesme düzlemi bir dairedir
• Kesen dairenin merkezi, top durumunda olduğu gibi bulunur.

Pirinç. 3. Küre.

Fark ne

O zaman soru ortaya çıkıyor, tanım dışında bir top ile bir küre arasındaki fark nedir? Gerçek şu ki, bir top ile bir küre arasındaki farklar, bir daire ile bir daire arasındaki farklardan çok daha bulanıktır. Kürenin ayrıca hacmi ve yüzey alanı vardır.

Belki de tanım dışında, fark, kürenin hacminin hiçbir zaman problemlerde bulunmaması gerçeğinde yatmaktadır. Kural olarak, topun hacmini arıyorlar. Bu, kürenin hacminin olmadığı anlamına gelmez. Bu üç boyutlu bir şekil, dolayısıyla hacmi var.

Bir benzetme, alanı olmayan bir daire ile basitçe çizilir. Bu bir kural değil, daha çok hatırlanması gereken bir gelenek: geometride bir kürenin hacminin formülasyonu hoş karşılanmaz.

Az çok önemli sayılabilecek başka bir fark: bir kürenin kesme düzlemi: iç boşluğu olmayan, ancak bir uzunluğu olan bir daire. Bir Kürenin Kesit Düzlemi: Alanı olan ve çevresi olmayan bir daire. Bu nedenle, bu tür önemsemelerden kaynaklanan herhangi bir hata olmaması için sorunun ifadesinde dikkatli olmaya değer.

Ne öğrendik?

Küre ve topun ne olduğunu öğrendik. Benzerliklerini ve farklılıklarını konuştuk. Bu rakamlar arasında neredeyse hiç fark olmadığını öğrendik. Kürenin hacmi gibi bir formül vermenin gerekli olmadığına karar verdik.

Konu testi

Makale değerlendirmesi

Ortalama puanı: 4.7. Alınan toplam puan: 105.

Tanım.

küre (top yüzeyi) üç boyutlu uzayda tek bir noktadan aynı uzaklıkta bulunan tüm noktaların toplamına denir. kürenin merkezi(Ö).

Bir küre, bir daireyi kendi çapı etrafında 180° veya bir yarım daireyi kendi çapı etrafında 360° döndürerek oluşturulan üç boyutlu bir şekil olarak tanımlanabilir.

Tanım.

Top olarak adlandırılan bir noktaya olan uzaklığı belirli bir mesafeyi aşmayan üç boyutlu uzaydaki tüm noktaların toplamıdır. top merkezi(O) (bir küre ile sınırlandırılmış üç boyutlu uzayın tüm noktalarının kümesi).

Bir top, bir dairenin çapı etrafında 180 ° döndürülmesi veya bir yarım dairenin kendi çapı etrafında 360 ° döndürülmesiyle oluşturulan üç boyutlu bir şekil olarak tanımlanabilir.

Tanım. Küre (top) yarıçapı(R) kürenin (top) merkezinden olan uzaklıktır. Ö kürenin herhangi bir noktasına (topun yüzeyi).

Tanım. Küre (top) çapı(D) kürenin iki noktasını (topun yüzeyi) birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçası.

formül. top hacmi:

V =	4	π R3 =	1	π D3
	3		6

formül. Bir kürenin yüzey alanı yarıçap veya çap aracılığıyla:

S = 4π R 2 = π D 2

küre denklemi

1. Kartezyen koordinat sisteminin orijininde yarıçapı R ve merkezi olan bir kürenin denklemi:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Kartezyen koordinat sisteminde koordinatları (x 0 , y 0 , z 0) olan bir noktada yarıçapı R ve merkezi olan bir kürenin denklemi:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Tanım. taban tabana zıt noktalar bir topun (kürenin) yüzeyinde bir çapla birbirine bağlanan herhangi iki noktadır.

Küre ve topun temel özellikleri

1. Kürenin tüm noktaları merkezden eşit uzaklıkta.

2. Bir kürenin bir düzlem tarafından herhangi bir bölümü bir dairedir.

3. Bir kürenin bir düzlem tarafından herhangi bir bölümü bir dairedir.

4. Küre, aynı yüzey alanına sahip tüm uzamsal figürler arasında en büyük hacme sahiptir.

5. Birbirine taban tabana zıt herhangi iki noktadan, bir küre için birçok büyük daire veya bir top için daireler çizebilirsiniz.

6. Çapsal olarak zıt noktalar dışında herhangi iki noktadan, bir küre için yalnızca bir büyük daire veya bir top için büyük bir daire çizmek mümkündür.

7. Bir topun herhangi iki büyük dairesi topun merkezinden geçen düz bir çizgi boyunca kesişir ve daireler taban tabana zıt iki noktada kesişir.

8. Herhangi iki topun merkezleri arasındaki mesafe, yarıçaplarının toplamından küçük ve yarıçapları arasındaki farkın modülünden büyükse, bu tür toplar kesişmek, ve kesişim düzleminde bir daire oluşur.

Kürenin sekant, kiriş, sekant düzlemi ve özellikleri

Tanım. Kürelerin sekantı küreyi iki noktada kesen düz bir çizgidir. kesişim noktaları denir delinme noktaları yüzey veya yüzeydeki giriş ve çıkış noktaları.

Tanım. Bir kürenin akordu (top) bir kürenin (bir topun yüzeyi) iki noktasını birleştiren bir segmenttir.

Tanım. kesme düzlemi küreyi kesen düzlemdir.

Tanım. çapsal düzlem- bu, bir kürenin veya topun merkezinden geçen bir kesen düzlemdir, sırasıyla bölüm oluşur Harika daire ve büyük daire. Büyük daire ve büyük daire, kürenin (top) merkeziyle çakışan bir merkeze sahiptir.

Bir kürenin (top) merkezinden geçen herhangi bir kiriş bir çaptır.

Bir akor, bir sekant çizgisinin bir parçasıdır.

Kürenin merkezinden kesene d mesafesi her zaman kürenin yarıçapından küçüktür:

D< R

Kesme düzlemi ile kürenin merkezi arasındaki m mesafesi daima R yarıçapından küçüktür:

m< R

Kesme düzleminin küre üzerindeki bölümü her zaman küçük daire, ve topun üzerinde bölüm olacak küçük daire. Küçük bir daire ve küçük bir dairenin merkezleri, kürenin (top) merkeziyle çakışmayan merkezlere sahiptir. Böyle bir dairenin yarıçapı r aşağıdaki formülle bulunabilir:

r \u003d √ R 2 - m2,

R kürenin (top) yarıçapı olduğunda, m topun merkezinden kesme düzlemine olan mesafedir.

Tanım. yarım küre (yarım küre)- bu, çapsal bir düzlem tarafından kesildiğinde oluşan kürenin (top) yarısıdır.

Küreye teğet, teğet düzlem ve özellikleri

Tanım. küreye teğet küreye yalnızca bir noktada dokunan düz bir çizgidir.

Tanım. Küreye teğet düzlem küreye sadece bir noktada dokunan bir düzlemdir.

Teğet çizgi (düzlem) her zaman temas noktasına çizilen kürenin yarıçapına diktir.

Kürenin merkezinden teğet doğruya (düzlem) olan mesafe kürenin yarıçapına eşittir.

Tanım. top segmenti- bu, topun bir kesme düzlemi tarafından toptan kesilen kısmıdır. Segmentin omurgası bölümün yerinde oluşan daireyi arayın. segment yüksekliği h, doğru parçasının tabanının ortasından doğru parçasının yüzeyine çizilen dikmenin uzunluğudur.

formül. Bir küre parçasının dış yüzey alanı küre yarıçapı R cinsinden h yüksekliği ile:

S = 2π Rh