Ters fonksiyon 10 hücre Mordkovich. Konuyla ilgili bir cebir dersi (10. sınıf) için ters fonksiyon sunumu. Ders sırasında ilgimi çekti…………………

“Bir fonksiyonun tersi” konulu ders notları

Ders 1. Konuyla ilgili anlatım "Ters fonksiyon"

Hedef: Konuyla ilgili teorik bir aparat oluşturun. Girmek

Tersinir fonksiyon kavramı;

Ters fonksiyon kavramı;

Tersinirlik için yeterli koşulu formüle edin ve kanıtlayın

işlevler;

Karşılıklı ters fonksiyonların temel özellikleri.

Ders ders planı

Zamanı organize etmek.

Öğrencilerin yeni bir konuyu algılamaları için gerekli bilgilerinin güncellenmesi.

Yeni materyalin sunumu.

Dersi özetlemek.

Ders anlatımının ilerlemesi

1. Zamanı organize etmek.

2. Bilginin güncellenmesi. ( Önceki dersin konusuyla ilgili ön anket.)

Öğrencilere yönelik interaktif beyaz tahtada fonksiyonun bir grafiği gösterilmektedir (Şekil 1). Öğretmen bir görev formüle eder - bir fonksiyonun grafiğini düşünün ve fonksiyonun incelenen özelliklerini listeleyin. Öğrenciler araştırma tasarımına uygun olarak bir fonksiyonun özelliklerini listelerler. Öğretmen, fonksiyonun grafiğinin sağ tarafına, isimlendirilen özellikleri etkileşimli tahtaya bir işaretleyici ile yazar.

Pirinç. 1

Fonksiyon özellikleri:

3. Öğrenciler için hedefler belirlemek.

Çalışmanın sonunda öğretmen bugün derste bir fonksiyonun başka bir özelliği olan tersinirlik hakkında bilgi sahibi olacaklarını bildirdi. Yeni materyali anlamlı bir şekilde incelemek için öğretmen çocukları dersin sonunda öğrencilerin cevaplaması gereken ana soruları tanımaya davet eder. Her öğrencinin çalışma notları şeklinde soruları vardır (dersten önce dağıtılır).

Sorular:

1. Hangi fonksiyona tersinir denir?

2. Hangi fonksiyona tersi denir?

3. Doğrudan ve ters fonksiyonların tanım alanları ve değer kümeleri birbirleriyle nasıl ilişkilidir?

4. Bir fonksiyonun tersinirliği için yeterli koşulu formüle edin.

5. Artan bir fonksiyonun tersi azalıyor mu yoksa artıyor mu?

6. Tek bir fonksiyonun tersi çift mi yoksa tek mi?

7. Karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri nasıl yerleştirilmiştir?

4. Yeni materyalin sunumu.

1) Tersinir fonksiyon kavramı. Tersinirlik için yeterli koşul.

Öğretmen etkileşimli tahtada tanım alanları ve değer kümeleri aynı olan ancak fonksiyonlardan biri monoton, diğeri monoton olmayan iki fonksiyonun grafiklerini karşılaştırır (Şekil 2). Bu nedenle, fonksiyon, fonksiyonun özelliği olmayan bir özelliğe sahiptir: fonksiyon değerleri kümesinden hangi sayı olursa olsun.F ( X ) ne olursa olsun bir fonksiyonun tek noktadaki değeridir, böylece öğretmen öğrencileri tersinir fonksiyon kavramına yönlendirir.

Pirinç. 2

Öğretmen daha sonra tersinir fonksiyonun tanımını formüle eder ve interaktif beyaz tahtada monoton bir fonksiyonun grafiğini kullanarak tersinir fonksiyon teoreminin kanıtını yapar.

Tanım 1. Fonksiyon çağrılırgeri dönüşümlü değerlerinden herhangi birini kümenin yalnızca bir noktasında alıyorsaX .

Teorem. Eğer fonksiyon sette monoton iseX , o zaman geri dönüşümlüdür.

Kanıt:

Fonksiyona izin ver y=f(x) sette artarX bırak gitsin X 1 ≠х 2 – setin iki noktasıX .

Spesifik olmak gerekirse, izin verX 1 < X 2 . O zaman gerçeğinden yola çıkarakX 1 < X 2 fonksiyonun artması nedeniyle şu şekilde olurf(x 1 ) < f(x 2 ) .

Dolayısıyla argümanın farklı değerleri, fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelir; fonksiyon tersinirdir.

Teorem azalan fonksiyon durumunda da benzer şekilde kanıtlanır.

(Teoremin ispatı ilerledikçe öğretmen çizim üzerinde gerekli tüm açıklamaları yapmak için keçeli kalem kullanır)

Ters fonksiyonun tanımını formüle etmeden önce öğretmen öğrencilerden önerilen fonksiyonlardan hangisinin tersinir olduğunu belirlemelerini ister. İnteraktif beyaz tahta, fonksiyon grafiklerini gösterir (Şekil 3, 4) ve analitik olarak tanımlanmış birkaç fonksiyonu yazar:

A ) B )

Pirinç. 3 Şek. 4

V ) y = 2x + 5; G ) y = - + 7.

Yorum. Fonksiyonun monotonluğuyeterli Ters fonksiyonun varlığı için koşul. Ama odeğil gerekli bir koşul.

Öğretmen bir fonksiyonun monoton değil de tersinir olduğu, bir fonksiyonun monoton olmadığı ve tersinir olmadığı, monoton ve tersinir olduğu çeşitli durumlara örnekler verir.

2) Ters fonksiyon kavramı. Ters fonksiyon oluşturma algoritması.

Tanım 2. Tersine çevrilebilir fonksiyona izin veriny=f(x) sette tanımlanmışX ve değer aralığıE(f)=Y . Her birini eşleştirelimsen itibaren e tek anlamı buX, hangi f(x)=y. Daha sonra üzerinde tanımlanan bir fonksiyon elde ederiz.e, A X – fonksiyon değerleri aralığı. Bu işlev belirlenmişx=f -1 (y), ve Çağrı yap tersi fonksiyonla ilgili olaraky=f(x), .

Daha sonra öğretmen öğrencilere analitik olarak verilen bir ters fonksiyonu bulma yöntemini öğretir.

Bir fonksiyon için ters fonksiyon oluşturmaya yönelik algoritma sen = F ( X ), .

İşlevden emin oluny=f(x) aralıkta tersine çevrilebilirX .

Ekspres değişkenX başından sonuna kadar en Denklem'den. y=f(x), dikkate alınarak.

Ortaya çıkan eşitlikte yerleri değiştirinX Ve en. Yerine x=f -1 (y) yazmak y=f -1 (X).

Öğretmen belirli örnekler kullanarak bu algoritmanın nasıl kullanılacağını gösterir.

Örnek 1. Bunu bir fonksiyon için göstery=2x-5

Çözüm . Doğrusal fonksiyony=2x-5üzerinde belirlendi R, şu kadar artar: R ve değer aralığıR. Bu, ters fonksiyonun mevcut olduğu anlamına gelirR . Analitik ifadesini bulmak için denklemi çözerizy=2x-5 nispeten X ; onu alacağız. Değişkenleri yeniden tasarlayalım ve istenilen ters fonksiyonu elde edelim. R üzerinde tanımlıdır ve artmaktadır.

Örnek 2. Bunu bir fonksiyon için göstery=x 2 , x ≤ 0 Ters bir fonksiyon var ve onun analitik ifadesini bulun.

Çözüm . Fonksiyon süreklidir, tanım alanında monotondur, dolayısıyla tersinirdir. Fonksiyonun tanım alanlarını ve değer kümelerini analiz ettikten sonra, forma sahip olan ters fonksiyonun analitik ifadesi hakkında karşılık gelen bir sonuca varılır.

3) Karşılıklı ters fonksiyonların özellikleri.

Mülk 1. Eğer G – fonksiyonun tersi F , Daha sonra F – fonksiyonun tersi G (fonksiyonlar karşılıklı olarak terstir), oysaD ( G )= e ( F ), e ( G )= D ( F ) .

Mülk 2. Bir fonksiyon X kümesinde artarsa ​​(azalırsa) ve Y, fonksiyonun değer aralığıysa, o zaman ters fonksiyon Y üzerinde artar (azalır).

Mülk 3. Bir fonksiyonun tersi olan bir fonksiyonun grafiğini elde etmek için fonksiyonun grafiğini düz çizgiye göre simetrik olarak dönüştürmeniz gerekir.y=x .

Mülk 4. Tek bir fonksiyon tersinirse, tersi de tektir.

Mülk 5. Eğer işlevler F ( X ) Ve karşılıklı olarak ters ise, bu herkes için doğrudur ve herkes için doğrudur.

Örnek 3. Mümkünse ters fonksiyonun grafiğini çizin.

Çözüm. Tüm tanım alanı boyunca bu fonksiyonun tersi yoktur çünkü monoton değildir. Bu nedenle fonksiyonun monoton olduğu aralığı ele alalım: bu, tersinin var olduğu anlamına gelir. Bulacağızo . Bunu yapmak için ifade ediyoruzX başından sonuna kadarsen : . Bunu ters fonksiyon olarak yeniden tanımlayalım. Fonksiyonları çizelim (Şekil 5) ve düz çizgiye göre simetrik olduklarından emin olalım.sen = X .

Pirinç. 5

Örnek 4. Eğer biliniyorsa karşılıklı fonksiyonların her birinin değer kümesini bulun.

Çözüm. Özellik 1'e göre karşılıklı ters fonksiyonlara sahibiz.

5 . Özetleme

Teşhis çalışmasının yürütülmesi. Bu çalışmanın amacı derste tartışılan eğitim materyallerine hakimiyet düzeyini belirlemektir. Öğrencilerden dersin başında oluşturulan soruları cevaplamaları istenir.

6 . Ev ödevi ayarlama.

1. Ders materyalini anlayın, temel tanımları ve teorem ifadelerini öğrenin.

2. Karşılıklı ters fonksiyonların özelliklerini kanıtlayın.

Ders 2. “Ters fonksiyonun tanımı” konulu atölye çalışması. Bir fonksiyonun tersinirliği için yeterli koşul

Hedef: problem çözerken konuyla ilgili teorik bilgiyi uygulama becerisini geliştirmek, bir fonksiyonu tersinirlik açısından incelemek, ters bir fonksiyon oluşturmak için ana problem türlerini dikkate almak.

Atölye ders planı:

1. Organizasyon anı.

2. Bilginin güncellenmesi (öğrencilerin ön çalışması).

3. Çalışılan materyalin pekiştirilmesi (problemlerin çözülmesi).

4. Dersi özetlemek.

5. Ödev verme.

Dersler sırasında.

1. Zamanı organize etmek.

Öğretmeni selamlamak, öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol etmek.

2. Bilginin güncellenmesi. ( öğrencilerin ön çalışmaları).

Öğrencilerden aşağıdaki görevleri sözlü olarak tamamlamaları istenir:

1. Bir fonksiyonun tersinirliği için yeterli koşulu formüle edin.

2. Şekilde grafikleri gösterilen fonksiyonlardan tersinir olanları işaretleyiniz.

3. Verilen bir fonksiyonun tersini oluşturmak için bir algoritma formüle edin.

4. Verilerin ters fonksiyonları var mı? Cevabınız evet ise bunları bulun:

A) ; B ) ; C ) .

5. Şekilde grafikleri gösterilen fonksiyonlar birbirinin tersi midir (Şekil 6)? Cevabınızı gerekçelendirin.

Pirinç. 6

3. Öğrenilen materyalin pekiştirilmesi (problem çözme).

Çalışılan materyalin konsolidasyonu iki aşamadan oluşur:

Öğrencilerin bireysel bağımsız çalışmaları;

Bireysel çalışmanın sonuçlarını özetlemek.

İlk aşamada öğrencilere bağımsız olarak tamamlayacakları görevlerin yer aldığı kartlar sunulur.

1. Egzersiz.

Fonksiyonlar tüm etki alanlarında tersine çevrilebilir mi? Cevabınız evet ise bunun tersini bulun.

A) ; B) ; C) .

Görev 2.

Fonksiyonlar karşılıklı olarak ters midir?

A) ;

B ) .

Görev 3.

Belirtilen aralıkların her birinde fonksiyonu düşünün; eğer bu aralıkta fonksiyon tersinebilirse, analitik olarak tersini tanımlayın, tanım alanını ve değer aralığını belirtin:

A ) R ; B ) ; D ) [-2;0].

Görev 4.

Fonksiyonun geri döndürülemez olduğunu kanıtlayın. Aralığın ters fonksiyonunu bulun ve grafiğini çizin.

Görev 5.

Fonksiyonun grafiğini çizin ve ters fonksiyonun olup olmadığını belirleyin. Cevabınız evet ise, aynı çizimde ters fonksiyonu çizin ve analitik olarak tanımlayın:

A ) ; B ) .

Öğrencilerin bireysel çalışmalarının sonuçlarının toplanması aşamasında, görevler yalnızca ara sonuçların kaydedilmesiyle kontrol edilir. En çok zorluğa neden olan problemler tahtada ele alınır, ya çözüm arayışı ortaya çıkarılır ya da çözümün tamamı kaydedilir.

4. Dersi özetlemek (yansıtma).

Öğrencilere mini bir anket sunulur:

Dersin neyi hoşuma gitti?______________________________

Dersin nesini beğenmedim?______________________________

_________________________________________________________________

Lütfen size en uygun olan ifadeyi işaretleyiniz:

1) Bir fonksiyonun tersinirliğini bağımsız olarak inceleyebilir, tersini oluşturabilir ve sonucun doğruluğundan eminim.

2) Bir fonksiyonun tersinirliğini inceleyebilir, tersini oluşturabilirim ancak sonucun doğruluğundan her zaman emin olamıyorum, arkadaşlarımın yardımına ihtiyacım var.

3) Tersinirlik fonksiyonunu pratikte inceleyemiyorum, tersini oluşturamıyorum, öğretmenin ek tavsiyesine ihtiyacım var.

Edinilen bilgiyi nerede uygulayabilirim?____________________ ___________________________________________________________________

5. Ev ödevi ayarlama.

№ 10.3, 10.6(c, d), 10.7 (c, d), 10.9(c, d), 10.13(c, d), 10.18.(Mordkovich, A.G. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı 10. sınıf. Saat 14.00'te 2.bölüm. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için problem kitabı (profil düzeyi) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - M .: Mnemosyne, 2014. - 384 s.)

Konu: “Karşılıklı ters fonksiyonlar.”

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

9. sınıfta işlenen “Fonksiyon” konusuyla ilgili öğrencilerin bilgilerini tekrarlayın ve özetleyin. Karşılıklı ters fonksiyonlarla tanışın, ters bir fonksiyonun varlığının koşullarını ve özelliklerini inceleyin, ters fonksiyonların grafiklerinin nasıl oluşturulacağını öğrenin.

Eğitici:

Öğrencilerin yaratıcı ve zihinsel aktivitelerini, entelektüel niteliklerini geliştirmek: problemi “görme” yeteneği.

Düşüncelerinizi açık ve net bir şekilde ifade etme, araştırma, analiz etme, karşılaştırma ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirin.

Öğrencilerin bağımsız yaratıcılığa olan ilgisini geliştirmek.

Öğrencilerin mekansal hayal gücünü geliştirin.

Eğitici:

Olağandışı bir durumda mevcut bilgilerle çalışma yeteneğini geliştirmek.

Doğruluğu ve vicdanlılığı geliştirin.

Estetik eğitimi verin.

Ders türü: birleştirildi.

Teçhizat:

• multimedya projektörü;

  ders eki: (Sunum) – elektronik ortamda;

Eğitim araçları: bilgisayarlar, programexcel, medya projektörü, slayt sunumu.

Demolar: Bir koordinat sisteminde oluşturulmuş fonksiyonların grafikleri.

Eğitim faaliyetlerini düzenleme biçimleri: Bireysel, diyalog, slayt metniyle çalışma, not defterinde araştırma çalışması.

Yöntemler: görsel, sözlü, grafik, araştırma.

Dersler sırasında.

1. Öğretmenin giriş konuşması. Giriş konuşması. Öğrencilerin psikolojik ruh hali.

Ders sırasında, siz ve ben 9. sınıfta çalışılan "Fonksiyon" konusuyla ilgili bilgileri tekrarlamalı ve genelleştirmeli, karşılıklı ters fonksiyonlarla tanışmalı, ters bir fonksiyonun varlığının koşullarını ve özelliklerini incelemeli, grafiklerin nasıl oluşturulacağını öğrenmeliyiz. ters fonksiyonlar. Birbirimize başarı ve verimli çalışmalar diliyoruz.

2. “Fonksiyonlar ve grafikleri” konusuyla ilgili materyalin tekrarı. Sunum.

2-10 arası slaytlar. Sınıfla ön çalışma.

3. Yeni materyalin incelenmesi. Araştırma ve gösteri unsurları içeren eğitici konuşma (slayt 11-24)

Bir bağımlılık örneği. Her işlev değeri bir bağımsız değişken değerine karşılık gelir.

Bu tür fonksiyonlar için argüman değerlerinin fonksiyon değerlerine ters bağımlılığını ifade etmek mümkündür.

Egzersiz yapmak.

Karşılıklı ters fonksiyonların tanım alanını ve değer aralığını bulun.

4. Bilginin pekiştirilmesi.

Karşılıklı ters fonksiyonlar ve grafikleri

(kapsanan konunun genel tekrarı)

Hangi grafik fonksiyonun grafiğine karşılık gelir? y=x 3 bunun tersi var mı?

Hangi grafik fonksiyonun grafiğine karşılık gelir ve tersi var mı?

Grafiklerden hangisi grafikle eşleşiyor?

ters fonksiyonu var mı?

Hangi grafik fonksiyona karşılık gelir?

Grup 1: cevap a) nedenini açıklayın

Grafik hangi fonksiyona karşılık geliyor? 1. y = x 3 2. 3. y = x 4 4. y = x -2 5 . 6. y = x -1

fonksiyon grafiğinde

D(y)=(-:0) U(0;+)

Bu tanımın kapsamını belirtin

fonksiyon grafiğinde

Bunun için değer aralığını belirtin fonksiyon grafiğinde

E (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Verilen bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulun en = G ( X )

Eğer fonksiyon (2), fonksiyon (1)'in tersi ise, bu tür fonksiyonlara karşılıklı olarak ters denir.

Bu işlevler için tanım alanını ve değer kümesini bulun.

• D(y)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D(y)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Ters fonksiyonun alanı g(x) orijinalin değer kümesiyle çakışıyor işlevler F ( X ) ve ters fonksiyonun değer kümesi g(x) orijinal fonksiyonun tanım alanıyla çakışır f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )) E( g(x )) = D( f(x )).

• Monoton bir fonksiyon tersinirdir:

• eğer fonksiyon F (X) artarsa ​​ters fonksiyonu G (X) ayrıca artar;
• Eğer fonksiyon F (X) azalırsa ters fonksiyonu G (X) da azalır.

Verilen: y = x 3

Verilen bir fonksiyonun grafiğini oluşturun, verilen bir fonksiyonun ters fonksiyonunun formülünü ifade edin ve grafiğini oluşturun.

3. Bir fonksiyonun tersi varsa, ters fonksiyonun grafiği bu fonksiyonun grafiğine y = x düz çizgisine göre simetriktir.

Verilen fonksiyonun tersinin grafiğini oluşturun.

Eğitimsel bağımsız çalışma

Seçenek II

Seçenek I

• Verilen fonksiyonun tersini bulun:

2. Verilenin tersi olan fonksiyonun tanım alanını ve değer kümesini bulun:

3. Verilen fonksiyonun tersinin grafiğini oluşturun:

Seçenek II

Seçenek I

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

E (y)=(- ; +)

Ev ödevi:

çöz No. 579, No. 576(c,d)

isteğe bağlı No. 581(1,2)

• Derste öğrendiğim ………………………………….
• Ders sırasında ilgimi çeken …………………....
• O zordu………………………………………….
• Derste edindiğim bilgileri kullanabilirim……………………………………………

Yansımalar:

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

• program materyaline uygun olarak yeni bir konu hakkında bilgi geliştirmek;
• bir fonksiyonun tersinirlik özelliğini incelemek ve belirli bir fonksiyonun ters fonksiyonunun nasıl bulunacağını öğretmek;

Gelişimsel:

• öz kontrol becerilerini ve anlamlı konuşmayı geliştirmek;
• ters fonksiyon kavramında uzmanlaşın ve ters fonksiyonu bulma yöntemlerini öğrenin;

Eğitimsel: İletişimsel yeterliliği geliştirmek.

Teçhizat: bilgisayar, projektör, ekran, interaktif beyaz tahta SMART Board, grup çalışması için çalışma notları (bağımsız çalışma).

Dersler sırasında.

1. Organizasyon anı.

Hedef – öğrencileri sınıfta çalışmaya hazırlamak:

Devamsızlık tanımı,

Öğrencileri çalışma havasına sokmak, dikkati düzenlemek;

Dersin konusunu ve amacını belirtin.

2. Öğrencilerin temel bilgilerinin güncellenmesi.Ön anket.

Hedef - Çalışılan teorik materyalin doğruluğunu ve farkındalığını, kapsanan materyalin tekrarını oluşturmak.<Приложение 1 >

Öğrencilere yönelik interaktif beyaz tahtada bir fonksiyonun grafiği gösterilir. Öğretmen bir görev formüle eder - bir fonksiyonun grafiğini düşünün ve fonksiyonun incelenen özelliklerini listeleyin. Öğrenciler araştırma tasarımına uygun olarak bir fonksiyonun özelliklerini listelerler. Öğretmen, fonksiyonun grafiğinin sağ tarafına, isimlendirilen özellikleri etkileşimli tahtaya bir işaretleyici ile yazar.

Fonksiyon özellikleri:

Çalışmanın sonunda öğretmen bugün derste bir fonksiyonun başka bir özelliği olan tersinirlik hakkında bilgi sahibi olacaklarını bildirdi. Yeni materyali anlamlı bir şekilde incelemek için öğretmen çocukları dersin sonunda öğrencilerin cevaplaması gereken ana soruları tanımaya davet eder. Sorular normal bir tahtaya yazılır ve her öğrenciye dağıtılır (dersten önce dağıtılır).

1. Hangi fonksiyona tersinir denir?
2. Herhangi bir fonksiyon tersine çevrilebilir mi?
3. Bir verinin tersi hangi fonksiyona denir?
4. Bir fonksiyonun tanım alanı ile değer kümesi ve bunun tersi nasıl ilişkilidir?
5. Bir fonksiyon analitik olarak veriliyorsa, ters fonksiyon bir formülle nasıl tanımlanabilir?
6. Bir fonksiyon grafiksel olarak verilmişse, ters fonksiyonunun grafiği nasıl çizilir?

3. Yeni materyalin açıklanması.

Hedef - program materyaline uygun olarak yeni bir konu hakkında bilgi üretmek; bir fonksiyonun tersinirlik özelliğini incelemek ve belirli bir fonksiyonun ters fonksiyonunun nasıl bulunacağını öğretmek; anlamlı konuşma geliştirin.

Öğretmen paragraftaki materyale uygun olarak materyali sunar. Etkileşimli beyaz tahtada öğretmen, tanım alanları ve değer kümeleri aynı olan ancak fonksiyonlardan biri monoton olan ve diğeri olmayan iki fonksiyonun grafiklerini karşılaştırır ve böylece öğrencilere tersinir fonksiyon kavramını tanıtır. .

Öğretmen daha sonra tersinir fonksiyonun tanımını formüle eder ve interaktif beyaz tahtada monoton bir fonksiyonun grafiğini kullanarak tersinir fonksiyon teoreminin kanıtını yapar.

Tanım 1: y=f(x), x X fonksiyonu çağrılır geri dönüşümlü değerlerinden herhangi birini X kümesinin yalnızca bir noktasında alıyorsa.

Teorem: Eğer bir y=f(x) fonksiyonu bir X kümesi üzerinde monoton ise, o zaman tersinirdir.

Kanıt:

1. Fonksiyona izin ver y=f(x) kadar artar X bırak gitsin x 1 ≠x 2- setin iki noktası X.
2. Spesifik olmak gerekirse, izin ver x 1< x 2.
   O zaman gerçeğinden yola çıkarak x 1< x 2 bunu takip ediyor f(x1) < f(x2).
3. Dolayısıyla argümanın farklı değerleri, fonksiyonun farklı değerlerine karşılık gelir; fonksiyon tersinirdir.

(Teoremin ispatı ilerledikçe öğretmen çizim üzerinde gerekli tüm açıklamaları yapmak için keçeli kalem kullanır)

Ters fonksiyonun tanımını formüle etmeden önce öğretmen öğrencilerden önerilen fonksiyonlardan hangisinin tersinir olduğunu belirlemelerini ister. İnteraktif beyaz tahta, fonksiyonların grafiklerini gösterir ve analitik olarak tanımlanmış birçok fonksiyonu yazar:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x 2 + 7

Öğretmen ters fonksiyonun tanımını tanıtır.

Tanım 2: Tersine çevrilebilir fonksiyon olsun y=f(x) sette tanımlanmış X Ve E(f)=Y. Her birini eşleştirelim sen itibaren e tek anlamı bu X, hangi f(x)=y. Daha sonra üzerinde tanımlanan bir fonksiyon elde ederiz. e, A X– fonksiyon aralığı

Bu işlev belirlenmiş x=f -1 (y) ve fonksiyonun tersi denir y=f(x).

Öğrencilerden ters fonksiyonların tanım alanı ile değer kümesi arasındaki bağlantı hakkında bir sonuç çıkarmaları istenir.

Belirli bir fonksiyonun tersinin nasıl bulunacağı sorusunu düşünmek için öğretmen iki öğrenciyi yanına çekti. Bir gün önce çocuklara, belirli bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmanın analitik ve grafiksel yöntemlerini bağımsız olarak analiz etmeleri için öğretmenden bir görev verildi. Öğretmen öğrencilerin derse hazırlanmasında danışmanlık yaptı.

İlk öğrenciden mesaj.

Not: fonksiyonun monotonluğu yeterli Ters fonksiyonun varlığı için koşul. Ama o değil gerekli bir koşul.

Öğrenci, bir fonksiyonun monoton değil tersinir olduğu, bir fonksiyonun monoton olmadığı ve tersinir olmadığı, monoton ve tersinir olduğu çeşitli durumlara örnekler verdi.

Öğrenci daha sonra öğrencilere analitik olarak verilen ters fonksiyonu bulma yöntemini tanıtır.

Algoritma bulma

1. Fonksiyonun monoton olduğundan emin olun.
2. X değişkenini y cinsinden ifade edin.
3. Değişkenleri yeniden adlandırın. x=f -1 (y) yerine y=f -1 (x) yazın

Daha sonra verilen bir fonksiyonun ters fonksiyonunu bulmak için iki örneği çözer.

Örnek 1: y=5x-3 fonksiyonu için ters bir fonksiyonun olduğunu gösterin ve analitik ifadesini bulun.

Çözüm. Doğrusal fonksiyon y=5x-3 R üzerinde tanımlanır, R üzerinde artar ve değer aralığı R'dir. Bu, ters fonksiyonun R üzerinde mevcut olduğu anlamına gelir. Analitik ifadesini bulmak için y=5x- denklemini çözün. x için 3; Bu gerekli ters fonksiyondur. R üzerinde tanımlıdır ve artmaktadır.

Örnek 2: y=x 2, x≤0 fonksiyonu için ters bir fonksiyonun olduğunu gösterin ve analitik ifadesini bulun.

Fonksiyon süreklidir, tanım alanında monotondur, dolayısıyla tersinirdir. Fonksiyonun tanım alanlarını ve değer kümelerini analiz ettikten sonra, ters fonksiyonun analitik ifadesi hakkında karşılık gelen bir sonuca varılır.

İkinci öğrenci konuyla ilgili bir sunum yapar. grafik Ters fonksiyonu bulma yöntemi. Açıklama sırasında öğrenci etkileşimli tahtanın olanaklarından yararlanır.

y=f -1 (x) fonksiyonunun y=f(x) fonksiyonunun tersi olan bir grafiğini elde etmek için, y=f(x) fonksiyonunun grafiğini düz çizgiye göre simetrik olarak dönüştürmek gerekir. y=x.

İnteraktif beyaz tahtada anlatım sırasında aşağıdaki görev gerçekleştirilir:

Aynı koordinat sisteminde bir fonksiyonun grafiğini ve ters fonksiyonunun grafiğini oluşturun. Ters fonksiyonun analitik ifadesini yazın.

4. Yeni malzemenin birincil konsolidasyonu.

Hedef - Çalışılan materyalin anlaşılmasının doğruluğunu ve farkındalığını oluşturmak, materyalin temel anlayışındaki boşlukları tespit etmek ve bunları düzeltmek.

Öğrenciler çiftlere ayrılır. Onlara işi çiftler halinde yapacakları görev sayfaları verilir. İşin tamamlanma süresi sınırlıdır (5-7 dakika). Bir çift öğrenci bilgisayarda çalışıyor, bu süre zarfında projektör kapanıyor ve geri kalan çocuklar öğrencilerin bilgisayarda nasıl çalıştıklarını göremiyor.

Süre sonunda (öğrencilerin çoğunluğunun çalışmayı tamamladığı varsayılır) öğrencilerin çalışmaları interaktif tahtada gösterilir (projektör tekrar açılır), burada görevin yapılıp yapılmadığı kontrol sırasında belirlenir. çiftler halinde doğru bir şekilde tamamlandı. Gerekirse öğretmen düzeltici ve açıklayıcı çalışmalar yapar.

Çiftler halinde bağımsız çalışma<Ek 2 >

5. Ders özeti. Ders öncesi sorulan sorulara gelince. Ders notlarının ilanı.

Ödev §10. 10.6(a,c) 10.8-10.9(b) 10.12 (b)

Cebir ve analizin başlangıcı. 10. Sınıf Genel eğitim kurumları için 2 bölüm halinde (profil düzeyi) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova, vb.; tarafından düzenlendi A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

Mohrenschildt I.K. tarafından tamamlandı. grup 1.45.36 Frunzensky bölgesi Okulu No. 314 Öğretmen O.P. Koroleva St.Petersburg 2006 * St. Petersburg BİLGİ Teknolojileri ve Telekomünikasyon MERKEZİ KARŞILIKLI TERS İŞLEVLER

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar Trigonometrik fonksiyonlar

Temel tanımlar Denklem örnekleri Ters fonksiyonların grafikleri Üstel ve logaritmik fonksiyonlar Sinüs ve ark sinüs fonksiyonları Kosinüs ve ark kosinüs fonksiyonları Teğet ve ark tanjant fonksiyonları Kotanjant ve arkkotanjant fonksiyonları Test Kaynakları İçindekiler Son

Tersine çevrilebilir fonksiyon Eğer bir fonksiyon y=f(x) değerlerinin her birini yalnızca bir x değeri için alıyorsa, bu fonksiyona tersinir denir. Böyle bir fonksiyon için argüman değerlerinin fonksiyon değerlerine ters bağımlılığı ifade edilebilir.

Belirli bir fonksiyonun tersini oluşturma örneği Özel durum Verilen bir fonksiyon y=3x+5 X için denklem x'i y ile değiştirin Fonksiyonlar (1) ve (2) karşılıklı olarak terstir Genel durum y=f (x) bir Tersine çevrilebilir fonksiyon Tanımlı fonksiyon x= g (y ) x'i y ile değiştirin y= g(x) y=f (x) ve y= g(x) fonksiyonları karşılıklı olarak terstir

Ters fonksiyonların grafikleri OOF OPF OOF OOF X Y X Y

Üstel ve logaritmik fonksiyonlar y=log a x y=a x y=x a>1

Sin x ve arcsin x fonksiyonları Parça üzerinde y=sin x fonksiyonunu düşünün. Fonksiyon monoton olarak artar. OPF[-1;1]. y= arcsin x fonksiyonu, y=sinx fonksiyonunun tersidir. [ -  ;  ] 2 2

cos x ve arccos x fonksiyonları Segment üzerinde y=co s x fonksiyonunu düşünün. Fonksiyon monoton olarak azalır. OPF[-1;1]. y=arccos x fonksiyonu, y=co sx fonksiyonunun tersidir.

tg x ve arctg x fonksiyonları Aralıkta y= tg x fonksiyonunu düşünün, fonksiyon monoton olarak artar. OZF – R'yi ayarlayın. y= arctan x fonksiyonu, y= tan x fonksiyonunun tersidir. (-  ; ) 2 2

ctg x ve arcctg x fonksiyonları (0; ) aralığında y= ctg x fonksiyonunu düşünün. Fonksiyon monoton olarak azalır. OSF R'yi ayarladı. Ters fonksiyon y = arcctg x'tir.

“Karşılıklı ters fonksiyonlar” konulu test Soru No. 1 Soru No. 2 Soru No. 3 Soru No. 4 Soru No. 5 Bitiş Bitiş

Soru No. 1 Karşılıklı ters fonksiyonların grafikleri koordinat sisteminde aşağıdakilere göre simetrik olarak yerleştirilmiştir: Koordinatların orijini Düz çizgi y=x Eksenler OY Eksenleri OX

Soru No. 2 Orijinalin tanım alanı ile ters fonksiyonun değer aralığı arasında nasıl bir ilişki vardır? Aynı Bağımsız

Soru No. 3 Logaritmik fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Güç Doğrusal Kuadratik Üstel

4. Soru y=arcctg x fonksiyonu y=sin x y= tg x y= ctg x y= cos x fonksiyonunun tersidir

5. Soru “Karşılıklı Ters Fonksiyonlar” Konusu Temel En sevdiğim Kolay Anlaşılabilir

Yaşasın! Yaşasın! Yaşasın! Aferin bilim adamı!

Cevap yanlış.Baştan tekrarlayın!

Yanlış! Cevabınıza öfkelendim!

Kaynaklar Cebir ve analizin başlangıcı: Ders Kitabı. 10-11 sınıflar için. Genel Eğitim kurumlar / Ş.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov ve diğerleri – 12. baskı. – M.: Eğitim, 2004. – 384 s. 10-11. Sınıflarda cebir çalışması ve analizin başlangıcı: Kitap. öğretmenler için / N.E. Fedorova, M.V. Tkachev. – 2. baskı. – M.: Eğitim, 2004. – 205 s. 10. sınıf için cebir ve analizin başlangıcı üzerine didaktik materyaller: Öğretmenler için bir el kitabı / B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.İ. Schwartzburd. – 2. baskı, revize edildi. – M.: Eğitim, 1998. -143 s. Ters trigonometrik fonksiyonların grafikleri http://chernovskoe.narod.ru/tema13.htm