Kare ur. İkinci dereceden denklemler. Tam ikinci dereceden denklemleri çözme. İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

Umarım, bu makaleyi okuduktan sonra, tam bir ikinci dereceden denklemin köklerini nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz.

Ayırımcının yardımıyla, yalnızca tam ikinci dereceden denklemler çözülür, "Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme" makalesinde bulacağınız tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözmek için başka yöntemler kullanılır.

Hangi ikinci dereceden denklemlere tam denir? o ax 2 + b x + c \u003d 0 formundaki denklemlerburada a, b ve c katsayıları sıfıra eşit değildir. Bu nedenle, tam ikinci dereceden denklemi çözmek için, ayrımcı D'yi hesaplamanız gerekir.

D \u003d b 2 - 4ac.

Ayrımcının sahip olduğu değere bağlı olarak, cevabı yazacağız.

Ayrımcı negatifse (D< 0),то корней нет.

Ayırıcı sıfır ise, x \u003d (-b) / 2a. Ayrımcı pozitif bir sayı olduğunda (D\u003e 0),

sonra x 1 \u003d (-b - √D) / 2a ve x 2 \u003d (-b + √D) / 2a.

Örneğin. Denklemi çözün x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2-4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Cevap: 2.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1 2-4 2 3 \u003d - 23

Cevap: kök yok.

Denklem 2'yi Çöz x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2-4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Cevap: - 3.5; 1.

Böylece, tam ikinci dereceden denklemlerin çözümünü Şekil 1'deki devre ile sunacağız.

Herhangi bir tam ikinci dereceden denklem, bu formüller kullanılarak çözülebilir. Sadece dikkatli olmalısın. denklem standart bir polinom olarak yazılmıştır

ve x 2 + bx + c, aksi takdirde hata yapabilirsiniz. Örneğin, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 denklemini yazarken, yanlışlıkla buna karar verebilirsiniz

a \u003d 1, b \u003d 3 ve c \u003d 2. Sonra

D \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 ve denklemin iki kökü olur. Ve bu doğru değil. (Yukarıdaki Örnek 2'nin çözümüne bakın).

Bu nedenle, denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmamışsa, önce tam ikinci dereceden denklem standart formun bir polinomu olarak yazılmalıdır (ilk etapta en büyük üslü tek terimli olmalıdır, yani ve x 2 , sonra daha azıyla – bxve sonra ücretsiz üye dan.

İndirgenmiş ikinci dereceden bir denklemi ve ikinci terimde çift katsayılı ikinci dereceden bir denklemi çözerken, diğer formüller de kullanılabilir. Bu formülleri de tanıyalım. İkinci terimle tam ikinci dereceden denklemde katsayı çift ise (b \u003d 2k), o zaman denklem Şekil 2'deki diyagramda gösterilen formüller kullanılarak çözülebilir.

Tam bir ikinci dereceden denklem, katsayısı aşağıdaki ise indirgenmiş olarak adlandırılır. x 2 bire eşittir ve denklem şeklini alır x 2 + piksel + q \u003d 0... Çözüm için böyle bir denklem verilebilir veya denklemin tüm katsayılarının katsayıya bölünmesiyle elde edilir. veayakta x 2 .

Şekil 3, küçültülmüş kareyi çözmek için bir şemayı göstermektedir
denklemleri. Bu makalede tartışılan formüllerin uygulanmasının bir örneğine bakalım.

Misal. Denklemi çözün

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Bu denklemi Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formülleri kullanarak çözelim.

D \u003d 6 2-4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

Cevap: -1 - √3; –1 + √3

Bu denklemde x'deki katsayının çift sayı olduğu, yani b \u003d 6 veya b \u003d 2k olduğu, dolayısıyla k \u003d 3 olduğu not edilebilir. Daha sonra denklemi D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6) diyagramında gösterilen formüllerle çözmeye çalışacağız. ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Cevap: -1 - √3; –1 + √3... Bu ikinci dereceden denklemdeki tüm katsayıların 3'e bölündüğünü ve bölme yaptığımızı fark ederek, indirgenmiş ikinci dereceden denklem elde ederiz x 2 + 2x - 2 \u003d 0 İndirgenmiş ikinci dereceden formül kullanarak bu denklemi çözün
denklem şekil 3.

D 2 \u003d 2 2-4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

Cevap: -1 - √3; –1 + √3.

Gördüğünüz gibi bu denklemi farklı formüller kullanarak çözerken aynı cevabı aldık. Bu nedenle, Şekil 1'deki diyagramda gösterilen formüllere hakim olduktan sonra, herhangi bir ikinci dereceden denklemi her zaman çözebilirsiniz.

site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanması ile kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Konuyu incelemeye devam ediyoruz " denklem çözme". Doğrusal denklemlerle zaten tanıştık ve tanımaya devam ediyoruz. ikinci dereceden denklemler.

İlk olarak, ikinci dereceden bir denklemin ne olduğunu, genel formda nasıl yazıldığını inceleyeceğiz ve ilgili tanımları vereceğiz. Bundan sonra, örnekleri kullanarak, eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü ayrıntılı olarak analiz edeceğiz. Daha sonra tüm denklemleri çözmeye, kökler için formülü elde etmeye, ikinci dereceden denklemin ayırt edicisini tanımaya ve tipik örneklerin çözümlerini ele almaya devam ediyoruz. Son olarak, kökler ve katsayılar arasındaki ilişkiyi izleyelim.

Sayfada gezinme.

İkinci Dereceden Denklem nedir? Türleri

İlk önce ikinci dereceden bir denklemin ne olduğunu açıkça anlamanız gerekir. Bu nedenle, ikinci dereceden denklemler hakkında ikinci dereceden bir denklemin tanımıyla ve onunla ilişkili tanımlarla konuşmaya başlamak mantıklıdır. Bundan sonra, ana ikinci dereceden denklem türlerini düşünebilirsiniz: indirgenmiş ve indirgenmemiş denklemlerin yanı sıra tam ve eksik denklemler.

İkinci dereceden denklemlerin tanımı ve örnekleri

Tanım.

İkinci dereceden denklem Formun bir denklemidir bir x 2 + b x + c \u003d 0 , burada x bir değişkendir, a, b ve c bazı sayılardır ve a sıfırdan farklıdır.

Hemen ikinci dereceden denklemlere genellikle ikinci dereceden denklemler dendiğini varsayalım. Bunun nedeni ikinci dereceden denklemin cebirsel denklem ikinci derece.

Sesli tanım, ikinci dereceden denklemlere örnekler vermemize izin verir. Yani 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 \u003d 0, vb. İkinci dereceden denklemlerdir.

Tanım.

sayılar a, b ve c denir ikinci dereceden denklemin katsayıları a x 2 + b x + c \u003d 0 ve a katsayısına birinci veya en yüksek katsayı denir veya x 2'deki katsayı, b ikinci katsayı veya x'teki katsayıdır ve c serbest terimdir.

Örneğin, 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 biçiminde ikinci dereceden bir denklem alalım, burada baş katsayı 5, ikinci katsayı −2 ve kesme noktası −3. Az önce verilen örnekte olduğu gibi b ve / veya c katsayıları negatif olduğunda, ikinci dereceden denklemin kısa formunun 5 x 2 + (- 2 değil 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 olduğuna dikkat edin. ) X + (- 3) \u003d 0.

A ve / veya b katsayıları 1 veya −1'e eşit olduğunda, bu tür yazımın özelliklerinden kaynaklanan ikinci dereceden denklemde genellikle açık bir şekilde mevcut olmadıklarına dikkat edilmelidir. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemde y 2 −y + 3 \u003d 0, baştaki katsayı birdir ve y'deki katsayı −1'dir.

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler

İndirgenmiş ve indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, öncü katsayının değerine bağlı olarak ayırt edilir. Karşılık gelen tanımları verelim.

Tanım.

Önde gelen katsayının 1 olduğu ikinci dereceden bir denklem denir indirgenmiş ikinci dereceden denklem... Aksi takdirde ikinci dereceden denklem yerine konmamış.

Göre bu tanımikinci dereceden denklemler x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, vb. - verilen, her birinde ilk katsayı bire eşittir. Ve 5 x 2 −x - 1 \u003d 0, vb. - indirgenmemiş ikinci dereceden denklemler, önde gelen katsayıları 1'den farklıdır.

Herhangi bir indirgenmemiş ikinci dereceden denklemden, her iki bölümünü öncü katsayıya bölerek, indirgenmiş olana gidebilirsiniz. Bu eylem eşdeğer bir dönüşümdür, yani bu şekilde elde edilen indirgenmiş ikinci dereceden denklem orijinal indirgenmemiş ikinci dereceden denklemle aynı köklere sahiptir veya bunun gibi kökleri yoktur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden bir denklemden indirgenmiş olana geçişin nasıl yapıldığına bir örnek verelim.

Misal.

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 denkleminden ilgili indirgenmiş ikinci dereceden denkleme gidin.

Karar.

Orijinal denklemin her iki tarafını da ana faktör 3'e bölmemiz yeterlidir, sıfırdan farklıdır, böylece bu eylemi gerçekleştirebiliriz. (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, bu aynıdır, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 ve ötesi (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, buradan. Böylece, orjinaline eşdeğer olan indirgenmiş ikinci dereceden denklemi elde ettik.

Cevap:

Tam ve eksik ikinci dereceden denklemler

İkinci dereceden bir denklemin tanımı a ≠ 0 koşulunu içerir. Bu koşul, a x 2 + b x + c \u003d 0 denkleminin tam olarak ikinci dereceden olması için gereklidir, çünkü a \u003d 0'da aslında b x + c \u003d 0 biçiminde doğrusal bir denklem haline gelir.

B ve c katsayılarına gelince, hem ayrı ayrı hem de birlikte sıfıra eşit olabilirler. Bu durumlarda, ikinci dereceden denklem eksik olarak adlandırılır.

Tanım.

İkinci dereceden denklem a x 2 + b x + c \u003d 0 denir tamamlanmamışb katsayılarından en az biri, c sıfıra eşittir.

Sırasıyla

Tanım.

Tam ikinci dereceden denklem Tüm katsayıların sıfır olmadığı bir denklemdir.

Bu isimler tesadüfen verilmemiştir. Bu, aşağıdaki hususlardan anlaşılacaktır.

B katsayısı sıfıra eşitse, ikinci dereceden denklem a x 2 + 0 x + c \u003d 0 biçimini alır ve a x 2 + c \u003d 0 denklemine eşdeğerdir. C \u003d 0 ise, yani ikinci dereceden denklem a x 2 + b x + 0 \u003d 0 biçimine sahipse, o zaman x 2 + b x \u003d 0 olarak yeniden yazılabilir. Ve b \u003d 0 ve c \u003d 0 ile, ikinci dereceden denklemi a · x 2 \u003d 0 elde ederiz. Ortaya çıkan denklemler, tam ikinci dereceden denklemden farklıdır çünkü sol tarafları, x değişkenli bir terim veya serbest bir terim veya her ikisini birden içermemektedir. Dolayısıyla isimleri - eksik ikinci dereceden denklemler.

Dolayısıyla, x 2 + x + 1 \u003d 0 ve −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 denklemleri, tam ikinci dereceden denklemlere örneklerdir ve x 2 \u003d 0, −2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerdir.

Eksik ikinci dereceden denklemleri çözme

Önceki paragraftaki bilgilerden şu sonuca varılır: üç çeşit tamamlanmamış ikinci dereceden denklem:

• a x 2 \u003d 0, b \u003d 0 ve c \u003d 0 katsayıları buna karşılık gelir;
• b \u003d 0 olduğunda a x 2 + c \u003d 0;
• ve c \u003d 0 olduğunda a x 2 + b x \u003d 0.

Bu türlerin her birinin eksik ikinci dereceden denklemlerinin nasıl çözüldüğünü analiz edelim.

bir x 2 \u003d 0

B ve c katsayılarının sıfıra eşit olduğu, yani a · x 2 \u003d 0 formundaki denklemlerle tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözerek başlayalım. A · x 2 \u003d 0 denklemi x 2 \u003d 0 denklemine denktir; bu, orijinalden her iki parçasını da sıfır olmayan bir a sayısına bölerek elde edilir. Açıkçası, x 2 \u003d 0 denkleminin kökü sıfırdır, çünkü 0 2 \u003d 0. Bu denklemin başka hiçbir kökü yoktur, bu gerçekte sıfır olmayan herhangi bir p sayısı için p 2\u003e 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu açıklanır, bu nedenle p ≠ 0 için eşitlik p 2 \u003d 0 asla elde edilemez.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a · x 2 \u003d 0'ın tek bir x \u003d 0 kökü vardır.

Örnek olarak, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −4 · x 2 \u003d 0'ın çözümünü verelim. Denklem x 2 \u003d 0 ona eşdeğerdir, tek kökü x \u003d 0'dır, bu nedenle, orijinal denklemin de benzersiz bir kök sıfır değeri vardır.

Bu durumda kısa bir çözüm şu şekilde formüle edilebilir:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

bir x 2 + c \u003d 0

Şimdi tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüldüğünü ele alacağız, burada b katsayısı sıfırdır ve c ≠ 0, yani a · x 2 + c \u003d 0 formundaki denklemler. Denklemin bir tarafından diğerine zıt işaretli bir terimin aktarılmasının yanı sıra denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir sayıya böldüğünün eşdeğer bir denklem verdiğini biliyoruz. Bu nedenle, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + c \u003d 0'ın aşağıdaki eşdeğer dönüşümlerini gerçekleştirebiliriz:

• c'yi sağ tarafa hareket ettirin, bu denklemdeax 2 \u003d −c,
• ve her iki parçayı da a ile bölersek, elde ederiz.

Ortaya çıkan denklem, kökleri hakkında sonuçlar çıkarmamıza izin verir. A ve c'nin değerlerine bağlı olarak, ifadenin değeri negatif (örneğin, a \u003d 1 ve c \u003d 2 ise) veya pozitif olabilir (örneğin, a \u003d −2 ve c \u003d 6 ise), sıfıra eşit değildir , c 0 koşuluna göre. Davaları ayrı ayrı inceleyelim ve.

Eğer, o zaman denklemin kökü yoktur. Bu ifade, herhangi bir sayının karesinin negatif olmayan bir sayı olduğu gerçeğinden kaynaklanır. Bundan, herhangi bir p sayısı için eşitliğin doğru olamayacağı sonucu çıkar.

Eğer, o zaman denklemin kökleriyle ilgili durum farklıdır. Bu durumda, hatırlarsanız, denklemin kökü hemen belli olur, çünkü bu bir sayıdır. Aslında, sayının aynı zamanda denklemin kökü olduğunu tahmin etmek kolaydır. Bu denklemin, örneğin çelişki ile gösterilebilecek başka kökleri yoktur. Haydi Yapalım şunu.

Şimdi x 1 ve −x 1 olarak seslendirilen denklemin köklerini gösterelim. Denklemin, belirtilen x 1 ve −x 1 köklerinden farklı bir x 2 kökü daha olduğunu varsayalım. Köklerinin x yerine denklemde yer değiştirmesinin denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştürdüğü bilinmektedir. X 1 ve −x 1 için, x 2 için biz var. Sayısal eşitliklerin özellikleri, gerçek sayısal eşitliklerden terime göre çıkarma yapmamıza izin verir, bu nedenle eşitliklerin karşılık gelen kısımlarını çıkarmak x 1 2 - x 2 2 \u003d 0 verir. Sayılarla eylemlerin özellikleri, elde edilen eşitliği (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 olarak yeniden yazmanıza izin verir. İki sayının çarpımının sıfıra eşit olduğunu, ancak ve ancak bunlardan en az birinin sıfıra eşit olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, elde edilen eşitlikten x 1 - x 2 \u003d 0 ve / veya x 1 + x 2 \u003d 0, ki bu aynıdır, x 2 \u003d x 1 ve / veya x 2 \u003d −x 1 çıkar. Bu şekilde bir çelişkiye vardık, çünkü başlangıçta x 2 denkleminin kökünün x 1 ve −x 1'den farklı olduğunu söylemiştik. Bu, denklemin ve dışında hiçbir kökü olmadığını kanıtlar.

Bu öğenin bilgilerini özetleyelim. Eksik ikinci dereceden denklem a x 2 + c \u003d 0 aşağıdaki denkleme eşdeğerdir:

• kökü yoksa,
• iki kökü vardır ve eğer.

A · x 2 + c \u003d 0 biçimindeki tamamlanmamış ikinci dereceden denklemleri çözme örneklerini düşünün.

İkinci dereceden denklem 9 x 2 + 7 \u003d 0 ile başlayalım. Serbest terimi denklemin sağ tarafına aktardıktan sonra 9 · x 2 \u003d −7 biçimini alacaktır. Elde edilen denklemin her iki tarafını 9'a bölerek ulaşıyoruz. Sağ tarafta negatif bir sayı olduğu için, bu denklemin kökleri yoktur, bu nedenle, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklem 9 · x 2 + 7 \u003d 0'ın kökü yoktur.

Başka bir tamamlanmamış ikinci dereceden denklemi x 2 + 9 \u003d 0 çözün. Dokuzunu sağa hareket ettirin: −x 2 \u003d −9. Şimdi her iki tarafı da −1'e bölersek, x 2 \u003d 9 elde ederiz. Sağ tarafta pozitif bir sayı var, bunu sonuçlandırıyoruz veya. Sonra son cevabı yazıyoruz: tamamlanmamış ikinci dereceden denklem −x 2 + 9 \u003d 0'ın iki kökü var x \u003d 3 veya x \u003d −3.

bir x 2 + b x \u003d 0

C \u003d 0 için son tip tamamlanmamış ikinci dereceden denklemlerin çözümü ile uğraşmaya devam etmektedir. A x 2 + b x \u003d 0 biçimindeki eksik ikinci dereceden denklemler çözmenize izin verir çarpanlara ayırma yöntemi... Açıkçası, denklemin sol tarafında yer alan, x ortak faktörünü çarpanlarına ayırmak yeterli. Bu, orijinal tamamlanmamış ikinci dereceden denklemden x · (a · x + b) \u003d 0 formundaki eşdeğer bir denkleme geçmemizi sağlar. Ve bu denklem, sonuncusu doğrusal ve kökü x \u003d equb / a olan iki denklem x \u003d 0 ve bir x + b \u003d 0 kombinasyonuna eşdeğerdir.

Dolayısıyla, tamamlanmamış ikinci dereceden denklem a x 2 + b x \u003d 0, x \u003d 0 ve x \u003d −b / a olmak üzere iki köke sahiptir.

Malzemeyi pekiştirmek için belirli bir örneğin çözümünü analiz edeceğiz.

Misal.

Denklemi çözün.

Karar.

X'in parantez dışına taşınması denklemi verir. İki denkleme eşittir x \u003d 0 ve. Alınanları çözeriz doğrusal Denklem: ve karışık sayıyı sıradan bir kesire böldükten sonra buluyoruz. Bu nedenle, orijinal denklemin kökleri x \u003d 0 ve.

Gerekli uygulama yapıldıktan sonra bu tür denklemlerin çözümleri kısaca yazılabilir:

Cevap:

x \u003d 0 ,.

Ayrımcı, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül

İkinci dereceden denklemleri çözmek için bir kök formül var. Hadi yaz ikinci dereceden formül:, nerede D \u003d b 2 −4 bir c - Lafta ikinci dereceden ayırt edici... Gösterim aslında bunun anlamı.

Kök formülün nasıl elde edildiğini ve ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulurken nasıl uygulandığını bilmek faydalıdır. Hadi çözelim.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formülün türetilmesi

A x 2 + b x + c \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmemiz gerektiğini varsayalım. Bazı eşdeğer dönüşümleri gerçekleştirelim:

• Bu denklemin her iki tarafını da sıfır olmayan bir a sayısı ile bölebiliriz, bunun sonucunda indirgenmiş ikinci dereceden denklem elde ederiz.
• şimdi tam bir kare seçin sol tarafında :. Bundan sonra denklem şeklini alacaktır.
• Bu aşamada karşımızdaki işaret ile son iki terimin sağ tarafa aktarımını gerçekleştirmek mümkündür.
• Ayrıca sağ taraftaki ifadeyi de dönüştürüyoruz:

Sonuç olarak, orijinal ikinci dereceden denklem a x 2 + b x + c \u003d 0'a eşdeğer bir denkleme geliriz.

Önceki paragraflarda benzer formdaki denklemleri, onları analiz ettiğimizde zaten çözmüştük. Bu, denklemin kökleriyle ilgili aşağıdaki sonuçları çıkarmamıza izin verir:

• eğer denklemin gerçek bir çözümü yoksa;
• eğer denklem biçime sahipse, bu nedenle tek kökü buradan görülebilir;
• eğer, o zaman veya, hangisi aynı veya, yani, denklemin iki kökü var.

Dolayısıyla, denklemin köklerinin ve dolayısıyla orijinal ikinci dereceden denklemin varlığı veya yokluğu, sağ taraftaki ifadenin işaretine bağlıdır. Sırayla, bu ifadenin işareti pay işareti tarafından belirlenir, çünkü payda 4 · a 2 her zaman pozitiftir, yani b 2 −4 · a · c ifadesinin işareti. Bu ifade b 2 −4 a c olarak adlandırıldı ikinci dereceden denklemin ayırt edici ve harfle işaretlenmiş D... Bundan, ayırt edicinin özü açıktır - değeri ve işareti ile, ikinci dereceden denklemin gerçek köklere sahip olup olmadığı ve eğer öyleyse, sayıları nedir - bir veya iki.

Denkleme dönersek, onu ayırt edici gösterimi kullanarak yeniden yazıyoruz: Ve sonuçlar çıkarıyoruz:

• eğer D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• d \u003d 0 ise, bu denklemin tek bir kökü vardır;
• son olarak, eğer D\u003e 0 ise, denklemin iki kökü vardır veya bu nedenle, formda yeniden yazılabilir veya ve kesirleri genişleyip ortak bir paydaya indirgedikten sonra elde ederiz.

Bu yüzden ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formüller türettik, formları var, burada ayırt edici D D \u003d b 2 −4 · a · c formülü ile hesaplanır.

Onların yardımıyla, pozitif bir ayrımcı ile, ikinci dereceden denklemin her iki gerçek kökünü de hesaplayabilirsiniz. Ayırıcı sıfıra eşit olduğunda, her iki formül de ikinci dereceden denkleme benzersiz bir çözüme karşılık gelen aynı kök değerini verir. Ve negatif bir ayırt edici ile, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanmaya çalışırken, çıkarma ile karşı karşıyayız kare kök bizi ötesine götüren negatif bir sayıdan okul müfredatı... Negatif ayırt edici ile, ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur, ancak bir çifti vardır karmaşık eşlenik elde ettiğimiz aynı kök formülleri kullanılarak bulunabilen kökler.

Kök formüllerini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma

Pratikte, ikinci dereceden denklemleri çözerken, değerlerini hesaplayabileceğiniz kök formülünü hemen kullanabilirsiniz. Ancak bu daha çok karmaşık kökler bulmakla ilgili.

Bununla birlikte, okul cebir dersinde, genellikle karmaşık değil, ikinci dereceden bir denklemin gerçek kökleri hakkındadır. Bu durumda, ikinci dereceden denklemin kökleri için formülleri kullanmadan önce ayırıcıyı bulmanız, negatif olmadığından emin olmanız (aksi takdirde, denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varabiliriz) ve ancak bundan sonra köklerin değerlerini hesaplamanız önerilir.

Yukarıdaki mantık yazmamızı sağlar ikinci dereceden denklem çözücü... İkinci dereceden denklemi a x 2 + b x + c \u003d 0 çözmek için ihtiyacınız olan:

• ayırıcı formül D \u003d b 2 −4 · a · c değerini hesaplar;
• ayrımcı negatifse ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri olmadığı sonucuna varmak;
• d \u003d 0 ise denklemin tek kökünü formülle hesaplayın;
• ayırıcı pozitifse, kök formülü kullanarak ikinci dereceden bir denklemin iki gerçek kökünü bulun.

Burada, ayırt edici sıfıra eşitse, formülün de kullanılabileceğini, aynı değeri vereceğini not ediyoruz.

İkinci dereceden denklemleri çözmek için algoritma kullanma örneklerine geçebilirsiniz.

İkinci dereceden denklem çözme örnekleri

Pozitif, negatif ve sıfır ayırıcılı üç ikinci dereceden denklemin çözümlerini düşünün. Çözümleriyle uğraştıktan sonra, başka herhangi bir ikinci dereceden denklemi çözmek mümkün olacaktır. Hadi başlayalım.

Misal.

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 denkleminin köklerini bulun.

Karar.

Bu durumda, ikinci dereceden denklemin aşağıdaki katsayılarına sahibiz: a \u003d 1, b \u003d 2 ve c \u003d −6. Algoritmaya göre, önce ayırıcıyı hesaplamanız gerekir, bunun için belirtilen a, b ve c'yi diskriminant formülüne koyarız. D \u003d b 2 −4 a c \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... 28\u003e 0 olduğundan, yani ayırt edici sıfırdan büyük olduğundan, ikinci dereceden denklemin iki gerçek kökü vardır. Onları kök formülle buluyoruz, burada yaparak elde edilen ifadeleri basitleştirebilirsiniz kökün işaretini çarpanlarına ayırmak daha sonra kesrin azaltılmasıyla:

Cevap:

Bir sonraki tipik örneğe geçelim.

Misal.

İkinci dereceden denklemi −4x2 + 28x - 49 \u003d 0 çözün.

Karar.

Ayrımcıyı bularak başlıyoruz: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... Bu nedenle, bu ikinci dereceden denklemin tek bir kökü var, yani şu şekilde buluyoruz:

Cevap:

x \u003d 3.5.

Negatif ayrımcı ile ikinci dereceden denklemlerin çözümünü düşünmeye devam ediyor.

Misal.

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 denklemini çözün.

Karar.

İkinci dereceden denklemin katsayıları: a \u003d 5, b \u003d 6 ve c \u003d 2. Bu değerleri diskriminant formülüne koyarsak, elimizde D \u003d b 2 −4 a c \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... Ayırıcı negatiftir, bu nedenle bu ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri yoktur.

Karmaşık kökleri belirtmeniz gerekiyorsa, ikinci dereceden denklemin kökleri için iyi bilinen formülü uygularız ve gerçekleştiririz karmaşık sayı işlemleri:

Cevap:

gerçek kökler yoktur, karmaşık kökler aşağıdaki gibidir:

Bir kez daha, ikinci dereceden denklemin ayırt edicisi negatifse, o zaman okulda genellikle gerçek köklerin olmadığını ve karmaşık köklerin bulunmadığını belirttikleri bir cevabı hemen yazdıklarını not ediyoruz.

Hatta ikinci katsayılar için kök formülü

D \u003d b 2 −4 a c olduğu ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formül, ikinci dereceden denklemlerin x'de çift katsayılı (veya basitçe 2 n şeklinde bir katsayı ile, örneğin, veya 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). Hadi çıkaralım.

Diyelim ki a x 2 + 2 n x + c \u003d 0 biçimindeki ikinci dereceden bir denklemi çözmemiz gerekiyor. Köklerini bildiğimiz formülü kullanarak bulalım. Bunu yapmak için ayırıcıyı hesaplayın D \u003d (2 n) 2 −4 a c \u003d 4 n 2 −4 a c \u003d 4 (n 2 −a c)ve sonra kök formülü kullanın:

N 2 −a · c ifadesini D 1 olarak gösterelim (bazen D "ile gösterilir) Sonra ikinci katsayısı 2 n olan ikinci dereceden denklemin kökleri formülü alır , burada D 1 \u003d n 2 - a · c.

D \u003d 4 · D 1 veya D 1 \u003d D / 4 olduğunu görmek kolaydır. Başka bir deyişle D 1, ayrımcının dördüncü kısmıdır. D 1'in işaretinin D'nin işareti ile aynı olduğu açıktır. Yani, D1'in işareti aynı zamanda ikinci dereceden bir denklemin köklerinin varlığının veya yokluğunun bir göstergesidir.

Yani, ikinci katsayı 2 n olan ikinci dereceden denklemi çözmek için,

• D 1 \u003d n 2 −a · c'yi hesaplayın;
• D 1 ise<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• D 1 \u003d 0 ise, denklemin tek kökünü formülle hesaplayın;
• D 1\u003e 0 ise, formüle göre iki gerçek kök bulun.

Bu paragrafta elde edilen kök formülü kullanarak bir örneğin çözümünü ele alalım.

Misal.

İkinci dereceden denklemi 5x2 −6x - 32 \u003d 0 çözün.

Karar.

Bu denklemin ikinci katsayısı 2 · (−3) olarak temsil edilebilir. Yani, orijinal ikinci dereceden denklemi 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, burada a \u003d 5, n \u003d −3 ve c \u003d −32 biçiminde yeniden yazabilir ve ayrımcının dördüncü bölümünü hesaplayabilirsiniz: D 1 \u003d n 2 −a c \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... Değeri pozitif olduğu için denklemin iki gerçek kökü vardır. Bunları karşılık gelen kök formülü kullanarak bulalım:

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için olağan formülü kullanmanın mümkün olduğunu, ancak bu durumda daha fazla hesaplama çalışması yapılması gerekeceğini unutmayın.

Cevap:

İkinci Dereceden Denklemleri Basitleştirme

Bazen, ikinci dereceden bir denklemin köklerini formüllerle hesaplamaya başlamadan önce şu soruyu sormaktan zarar gelmez: "Bu denklemin şeklini basitleştirmek mümkün müdür?" Hesaplamalar açısından, 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi çözmenin 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0'dan daha kolay olacağını kabul edin.

Genellikle, ikinci dereceden bir denklem biçiminin basitleştirilmesi, her iki bölümünü de bir sayı ile çarparak veya bölerek elde edilir. Örneğin, önceki paragrafta, 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 denklemini her iki tarafı da 100'e bölerek basitleştirmeyi başardık.

Benzer bir dönüşüm, katsayıları olmayan ikinci dereceden denklemlerle gerçekleştirilir. Bu durumda, denklemin her iki tarafı genellikle şu şekilde bölünür: mutlak değerler katsayıları. Örneğin, 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 ikinci dereceden denklemi alın. katsayılarının mutlak değerleri: OBEB (12, 42, 48) \u003d OBEB (OBEB (12, 42), 48) \u003d OBEB (6, 48) \u003d 6. Orijinal ikinci dereceden denklemin her iki tarafını da 6'ya bölerek, eşdeğer ikinci dereceden denklem 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0'a ulaşırız.

İkinci dereceden denklemin her iki tarafının da çarpımı genellikle kesirli katsayılardan kurtulmak için yapılır. Bu durumda, çarpma, katsayılarının paydaları tarafından gerçekleştirilir. Örneğin, ikinci dereceden denklemin her iki tarafı LCM (6, 3, 1) \u003d 6 ile çarpılırsa, daha basit olan x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 şeklini alacaktır.

Bu paragrafın sonucunda, hemen hemen her zaman, ikinci dereceden denklemin baş katsayısındaki eksi, tüm terimlerin işaretlerini değiştirerek, yani her iki parçayı da −1 ile çarpmaya (veya bölüp) karşılık gelen eksi değerinden kurtulur. Örneğin, genellikle −2x2 −3x + 7 \u003d 0 ikinci dereceden denkleminden biri 2x2 + 3x - 7 \u003d 0 çözümüne gider.

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki

İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül, bir denklemin köklerini katsayıları cinsinden ifade eder. Kökler için formüle bağlı olarak, kökler ve katsayılar arasında başka ilişkiler elde edebilirsiniz.

En ünlü ve uygulanabilir formüller Vieta'nın form teoremindendir ve. Özellikle, verilen ikinci dereceden denklem için, köklerin toplamı zıt işaretli ikinci katsayıya eşittir ve köklerin çarpımı serbest terime eşittir. Örneğin, ikinci dereceden denklem 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 biçiminde, köklerinin toplamının 7/3 ve köklerin çarpımının 22/3 olduğunu hemen söyleyebilirsiniz.

Önceden yazılmış formülleri kullanarak, ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayıları arasında bir dizi başka ilişki elde edebilirsiniz. Örneğin, ikinci dereceden bir denklemin köklerinin karelerinin toplamını katsayılarıyla ifade edebilirsiniz:

Referans listesi.

• Cebir: ders çalışma. 8 cl için. Genel Eğitim. kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. baskı. - M .: Eğitim, 2008. - 271 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Cebir. 8. sınıf. Öğleden sonra 2'de Bölüm 1. Eğitim kurumları öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 11. baskı, Silindi. - M: Mnemosina, 2009. - 215 s .: hasta. Mayıs ISBN 978-5-346-01155-2.

Sadece. Formüller ve açık, basit kurallarla. İlk aşamada

verilen denklemi düşürmek gerekiyor standart görünümyani bakmak:

Denklem zaten size bu formda verilmişse ilk adımı atmanıza gerek yoktur. En önemli şey doğru

tüm katsayıları belirle, ve, b ve c.

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için formül.

Kök işaretinin altındaki bir ifade denir diskriminant ... Gördüğünüz gibi, x'i bulmak için

kullanım sadece a, b ve c. Şunlar. katsayıları ikinci dereceden denklem... Sadece dikkatlice değiştirin

anlamı a, b ve c bu formüle girin ve sayın. İle ikame onlar tarafından işaretler!

Örneğin, denklemde:

ve =1; b = 3; c = -4.

Değerleri değiştirin ve şunu yazın:

Örnek neredeyse çözüldü:

İşte cevap.

En yaygın hatalar, anlam işaretleriyle karışıklıktır. a, bve itibaren... Aksine, ikame ile

kökleri hesaplamak için formüle negatif değerler. Burada formülün ayrıntılı bir gösterimi kaydeder

belirli sayılarla. Hesaplama problemleriniz varsa, yapın!

Bu örneği çözmeniz gerektiğini varsayalım:

Buraya bir = -6; b = -5; c = -1

Tüm işaret ve köşeli parantezlerde hiçbir şeyi kaçırmadan her şeyi detaylı ve dikkatli bir şekilde boyuyoruz:

İkinci dereceden denklemler genellikle biraz farklı görünür. Örneğin, bunun gibi:

Şimdi, hataları önemli ölçüde azaltacak bazı pratik ipuçlarına dikkat edin.

İlk resepsiyon... Daha önce tembel olma ikinci dereceden denklemin çözümü standart forma getirin.

Ne anlama geliyor?

Diyelim ki herhangi bir dönüşümden sonra aşağıdaki denklemi elde ettiniz:

Kök formülü yazmak için acele etmeyin! Neredeyse kesinlikle olasılıkları karıştıracaksınız. a, b ve c.

Örneği doğru şekilde oluşturun. Önce X'in karesi alınır, sonra kare olmadan, sonra serbest terimdir. Bunun gibi:

Eksi kurtulun. Nasıl? Denklemin tamamını -1 ile çarpmalısın. Biz alırız:

Ama şimdi köklerin formülünü güvenle yazabilir, ayırıcıyı hesaplayabilir ve örneği tamamlayabilirsiniz.

Kendin Yap. 2 ve -1 köklerine sahip olmalısınız.

Alım ikinci. Kökleri kontrol edin! Tarafından vieta teoremi.

Verilen ikinci dereceden denklemleri çözmek için, yani katsayı ise

x 2 + bx + c \u003d 0,

sonra x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Tam bir ikinci dereceden denklem için a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

tüm denklemi şuna bölün: ve:

→ →

nerede x 1 ve x 2 - denklemin kökleri.

Üçüncü resepsiyon... Denkleminiz kesirli katsayılar içeriyorsa, kesirlerden kurtulun! Çarpmak

ortak payda denklemi.

Çıktı. Pratik tavsiye:

1. Çözmeden önce, ikinci dereceden denklemi standart forma getiriyoruz, inşa ediyoruz sağ.

2. Karede x'in önünde negatif bir katsayı varsa, toplamı çarparak onu eliyoruz

-1 ile denklemler.

3. Katsayılar kesirli ise, tüm denklemi karşılık gelen ile çarparak kesirleri ortadan kaldırırız.

faktörü.

4. Eğer x kare safsa, katsayı bire eşitse, çözüm kolaylıkla kontrol edilebilir.

İkinci dereceden denklemler... Genel bilgi.

İÇİNDE ikinci dereceden X karede bulunmalıdır (bu yüzden

"Meydan"). Ona ek olarak, denklem sadece x (birinci derecede) olabilir (veya olmayabilir!) Ve

sadece bir numara (Ücretsiz Üye). Ve ikiden büyük bir dereceye kadar x'ler olmamalıdır.

Genel cebirsel denklem.

nerede x - serbest değişken, bir, b, c - katsayılar ve bir≠0 .

Örneğin:

ifade aranan kare üç terimli.

İkinci dereceden denklemin elemanlarının kendi isimleri vardır:

İlk veya en yüksek katsayı olarak adlandırılan,

İkinci veya katsayı olarak adlandırılan,

· Ücretsiz üye aradı.

İkinci dereceden denklemi tamamlayın.

Bu ikinci dereceden denklemlerin solda tam bir terim kümesi vardır. X'in karesi

katsayı ve, x katsayılı ilk kuvvete b ve bedava üye dan. İÇİNDEtüm olasılıklar

sıfır olmamalıdır.

tamamlanmamış katsayılardan en az birinin olduğu ikinci dereceden denklem denir,

en yüksek olan (ikinci katsayı veya serbest terim) sıfıra eşittir.

Hadi öyleymiş gibi yapalım b \u003d 0, - x birinci derecede kaybolur. Örneğin, ortaya çıkıyor:

2x 2-6x \u003d 0,

Vb. Ve her iki katsayı da, b ve c sıfıra eşitse, her şey daha da basittir Örneğin:

2x 2 \u003d 0,

Tüm denklemlerde x karesinin mevcut olduğuna dikkat edin.

Neden ve sıfır olamaz mı? Sonra x kare kaybolur ve denklem olur doğrusal .

Ve tamamen farklı bir şekilde karar verilir ...

Eksik ikinci dereceden bir denklem, faktörlerinin veya kesişiminin sıfıra eşit olması açısından klasik (tam) denklemlerden farklıdır. Bu tür fonksiyonların grafiği parabollerdir. Genel görünümlerine göre 3 gruba ayrılırlar. Tüm denklem türlerini çözme ilkeleri aynıdır.

Eksik bir polinomun türünü belirlemede zor olan bir şey yoktur. Açıklayıcı örneklerle temel farklılıkları dikkate almak en iyisidir:

1. Eğer b \u003d 0 ise, denklem ax 2 + c \u003d 0'dır.
2. C \u003d 0 ise, ax 2 + bx \u003d 0 ifadesi çözülmelidir.
3. Eğer b \u003d 0 ve c \u003d 0 ise, polinom, ax 2 \u003d 0 türünde bir eşitlik haline gelir.

İkinci durum daha çok teorik bir olasılıktır ve ifadedeki x değişkeninin tek geçerli değeri sıfır olduğu için bilgi testi görevlerinde asla gerçekleşmez. Gelecekte, eksik ikinci dereceden denklemler 1) ve 2) türlerini çözme yöntemleri ve örnekleri ele alınacaktır.

Çözümlerle değişkenleri ve örnekleri bulmak için genel algoritma

Denklemin türüne bakılmaksızın, çözüm algoritması aşağıdaki adımlara indirgenir:

1. İfadeyi kök bulmak için uygun bir biçime indirin.
2. Hesaplamalar yapın.
3. Cevabınızı kaydedin.

Eksik denklemleri çözmenin en kolay yolu, sol tarafı çarpanlarına ayırıp sağda sıfır bırakmaktır. Böylece, kökleri bulmak için eksik ikinci dereceden bir denklem formülü, faktörlerin her biri için x'in değerini hesaplamaya indirgenmiştir.

Nasıl çözüleceğini yalnızca pratikte öğrenebilirsiniz, bu nedenle, tamamlanmamış bir denklemin köklerini bulmanın belirli bir örneğini düşünün:

Gördüğünüz gibi, bu durumda b \u003d 0. Sol tarafı çarpanlarına ayırın ve ifadeyi alın:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Açıktır ki, faktörlerden en az biri sıfır olduğunda ürün sıfırdır. X1 \u003d 0.5 ve (veya) x2 \u003d -0.5 değişkeninin değerleri bu gereksinimleri karşılar.

Bir kare üç terimliyi çarpanlara ayırma problemiyle kolay ve hızlı bir şekilde başa çıkabilmek için aşağıdaki formülü hatırlamanız gerekir:

İfadede serbest terim yoksa, görev büyük ölçüde basitleştirilmiştir. Sadece ortak paydayı bulup çıkarmak yeterli olacaktır. Netlik sağlamak için, ax2 + bx \u003d 0 biçimindeki eksik ikinci dereceden denklemlerin nasıl çözüleceğine dair bir örnek düşünün.

X değişkenini parantezlerden çıkaralım ve aşağıdaki ifadeyi alalım:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Mantığın rehberliğinde, x1 \u003d 0 ve x2 \u003d -3 olduğu sonucuna varıyoruz.

Geleneksel çözüm ve eksik ikinci dereceden denklemler

Ayrımcı formülü uygularsanız ve katsayıları sıfıra eşit olan polinomun köklerini bulmaya çalışırsanız ne olur? 2017'de matematik sınavı için tipik görevler koleksiyonundan bir örnek alalım, standart formüller ve faktoring yöntemini kullanarak çözelim.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Ayrıştırıcının değerini hesaplayalım: D \u003d (-3) 2-4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Polinomun iki köke sahip olduğu ortaya çıktı:

Şimdi denklemi çarpanlara ayırarak çözelim ve sonuçları karşılaştıralım.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Gördüğünüz gibi, her iki yöntem de aynı sonucu veriyor, ancak denklemi ikinci yöntemle çözmenin çok daha kolay ve daha hızlı olduğu ortaya çıktı.

Vieta teoremi

Ve sevgili Vieta teoremi ile ne yapmalı? Bu yöntem tamamlanmamış bir üç terimli ile kullanılabilir mi? Tamamlanmamış denklemleri klasik biçim ax2 + bx + c \u003d 0'a indirgemenin yönlerini anlamaya çalışalım.

Aslında bu durumda Vieta teoremini uygulamak mümkündür. Eksik üyeleri sıfır ile değiştirerek ifadeyi sadece genel bir forma getirmek gerekir.

Örneğin, b \u003d 0 ve a \u003d 1 için, karışıklık olasılığını ortadan kaldırmak için görev şu şekilde yazılmalıdır: ax2 + 0 + c \u003d 0. Daha sonra, polinomun kökleri ve faktörlerinin toplamının ve çarpımının oranı şu şekilde ifade edilebilir:

Teorik hesaplamalar, konunun özünü tanımaya yardımcı olur ve her zaman belirli problemleri çözme konusunda pratik beceriler gerektirir. Tekrar sınav için tipik görevlerin referans kitabına dönelim ve uygun bir örnek bulalım:

İfadeyi, Vieta teoremini uygulamak için uygun bir biçimde yazalım:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Bir sonraki adım, bir koşullar sistemi oluşturmaktır:

Açıkça, bir kare polinomun kökleri x 1 \u003d 4 ve x 2 \u003d -4 olacaktır.

Şimdi denklemi genel bir forma getirmeye çalışalım. Şu örneği ele alalım: 1/4 × x 2-1 \u003d 0

Vieta teoremini bir ifadeye uygulamak için kesirden kurtulmak gerekir. Sol ve sağ tarafları 4 ile çarpın ve sonuca bakın: x2– 4 \u003d 0. Ortaya çıkan eşitlik, Vieta teoremi ile çözülmeye hazırdır, ancak c \u003d 4'ü denklemin sağ tarafına taşıyarak cevap almak çok daha kolay ve hızlıdır: x2 \u003d 4.

Özetle, eksik denklemleri çözmenin en iyi yolunun, en basit ve en hızlı yöntem olan çarpanlara ayırma olduğu söylenmelidir. Kök bulma sürecinde zorluklarla karşılaşırsanız, ayrımcı yoluyla geleneksel kök bulma yöntemine dönebilirsiniz.