Bölünmüş olsun. Sıfıra bölebilir misin? Matematikçi cevaplar. Sıfır göründüğünde

"Sıfıra bölemezsiniz!" - çoğu öğrenci bu kuralı soru sormadan ezbere öğrenir. Tüm çocuklar neye "izin verilmediğini" bilir ve ona yanıt olarak "Neden?" Diye sorarsa ne olur? Ama aslında bunun neden imkansız olduğunu bilmek çok ilginç ve önemlidir.

Mesele şu ki, aritmetiğin dört işlemi - toplama, çıkarma, çarpma ve bölme - aslında eşit değildir. Matematikçiler sadece ikisini tam olarak tanır - toplama ve çarpma. Bu işlemler ve özellikleri, sayı kavramının tam tanımına dahil edilmiştir. Diğer tüm eylemler, bu ikisinden bir şekilde veya başka şekilde oluşturulur.

Örneğin çıkarmayı düşünün. 5-3 ne anlama geliyor? Öğrenci bunu basitçe cevaplayacaktır: beş nesne almanız, üç tanesini almanız (kaldırmanız) ve kaç tane kaldığını görmeniz gerekir. Ancak matematikçiler bu probleme tamamen farklı bir şekilde bakıyor. Çıkarma yok, sadece toplama var. Bu nedenle, 5 - 3 yazmak, 3 sayısına eklendiğinde 5 sayısını veren bir sayı anlamına gelir. Yani 5 - 3, denklemin kısaltılmış bir gösterimidir: x + 3 \u003d 5. Bu denklemde çıkarma yoktur. Sadece bir görev var - uygun bir numara bulmak.

Aynısı çarpma ve bölme için de geçerlidir. 8: 4 notasyonu, sekiz öğeyi dört eşit yığına bölmenin sonucu olarak anlaşılabilir. Fakat gerçekte bu, 4 x \u003d 8 denkleminin kısaltılmış bir şeklidir.

Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşir. Gösterim 5: 0, 0 x \u003d 5'in kısaltmasıdır. Yani, bu görev, 0 ile çarpıldığında 5 veren bir sayı bulmaktır. Ancak, 0 ile çarpıldığında her zaman 0 elde edeceğinizi biliyoruz. Bu, sıfırın doğal bir özelliğidir, kesinlikle konuşursak, tanımının bir parçası.

0 ile çarpıldığında sıfırdan başka bir şey verecek böyle bir sayı yoktur. Yani görevimizin çözümü yok. (Evet, bu olur, her sorunun bir çözümü yoktur.) Dolayısıyla, 5: 0 gösterimi belirli bir sayıya karşılık gelmez ve basitçe hiçbir şey ifade etmez ve bu nedenle bir anlam ifade etmez. Bu kaydın anlamsızlığı kısaca ifade edilerek sıfıra bölünemezsiniz.

Bu yerdeki en özenli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: sıfır sıfıra bölünebilir mi? Gerçekten de, 0 x \u003d 0 denklemi başarıyla çözüldü. Örneğin, x \u003d 0 alırsınız ve sonra 0 0 \u003d 0 elde ederiz. Yani, 0: 0 \u003d 0? Ama acele etmeyelim. X \u003d 1 almaya çalışalım. 0 1 \u003d 0 elde ederiz değil mi? Yani 0: 0 \u003d 1? Ancak bu şekilde herhangi bir sayıyı alabilir ve 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 vb. Elde edebilirsiniz.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa, herhangi birini seçmek için hiçbir nedenimiz yok. Yani, 0: 0 girişinin hangi sayıya karşılık geldiğini söyleyemeyiz ve eğer öyleyse, bu girişin de bir anlam ifade etmediğini kabul etmeliyiz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (Matematiksel analizde, problemin ek koşulları nedeniyle, 0 x \u003d 0 denklemine olası çözümlerden birinin tercih edilebileceği durumlar vardır; bu gibi durumlarda, matematikçiler “belirsizliği açıklamadan” söz eder, ancak aritmetikte bu tür durumlar ortaya çıkmaz.)

Bu, bölme işleminin özelliğidir. Daha doğrusu, çarpma işlemi ve ilgili sayı sıfıra sahiptir.

Pekala, ve en titiz olanı, şimdiye kadar okuduktan sonra sorabilir: neden sıfıra bölmek imkansız, ama sıfır çıkarabilirsin? Bir anlamda, gerçek matematiğin başladığı yer burasıdır. Buna ancak sayısal kümelerin biçimsel matematiksel tanımlarını ve bunların üzerindeki işlemlerini öğrendikten sonra cevap verebilirsiniz. O kadar zor değil, ama nedense okulda öğretilmiyor. Ancak üniversitedeki matematik derslerinde, her şeyden önce size tam olarak bu öğretileceksiniz.

Okula döndüğümüzde, öğretmenler en basit kuralı kafamıza sokmaya çalıştılar: "Sıfırla çarpılan herhangi bir sayı sıfıra eşittir!", - ama yine de çevresinde pek çok tartışma var. Birisi sadece kuralı hatırladı ve “neden?” Sorusuyla uğraşmıyor. "Yapamazsın ve hepsi bu, çünkü okulda kural kuraldır dediler!" Birisi bu kuralı veya tersine mantıksızlığını kanıtlayan yarım bir defteri formüllerle doldurabilir.

Temas halinde

Sonunda kim haklı

Bu anlaşmazlıklar sırasında zıt bakış açılarına sahip olan her iki kişi de birbirlerine koç gibi bakar ve haklı olduklarını tüm güçleriyle ispat ederler. Bununla birlikte, yan taraftan bakarsanız, bir değil, iki koçun boynuzları birbirine dayadığını görebilirsiniz. Aralarındaki tek fark, birinin diğerinden biraz daha az eğitimli olmasıdır.

Çoğu zaman, bu kuralın yanlış olduğuna inananlar mantığı şu şekilde çağırmaya çalışırlar:

Masamda iki elma var, eğer onlara sıfır elma koyarsam, yani tek bir tane koymazsam, iki elmam bundan kaybolmaz! Kural mantıksız!

Aslında, elmalar hiçbir yerde yok olmayacak, ancak kural mantıksız olduğu için değil, burada biraz farklı bir denklem kullanıldığı için: 2 + 0 \u003d 2. Bu nedenle, böyle bir sonucu hemen atıyoruz - mantıksız, ancak bunun tersi bir amacı olsa da - aramak mantığa.

Çarpma nedir

Orijinal çarpma kuralı sadece doğal sayılar için tanımlanmıştır: çarpma, kendisine belirli sayıda eklenen bir sayıdır, bu da sayının doğal olduğunu gösterir. Böylece, çarpma ile herhangi bir sayı bu denkleme indirgenebilir:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

Sonuç bu denklemden çıkar, bu çarpmanın basitleştirilmiş bir toplamadır.

Sıfır nedir

Çocukluktan herhangi biri bilir: sıfır boşluktur, Bu boşluğun bir tanımı olmasına rağmen, hiçbir şey taşımaz. Eski doğu bilginleri farklı düşünüyorlardı - konuya felsefi bir şekilde yaklaştılar ve boşluk ile sonsuzluk arasında bazı paralellikler çizdiler ve bu sayının derin bir anlamını gördüler. Sonuçta, herhangi bir doğal sayının yanında duran, boşluk anlamına gelen sıfır, onu on kez çarpar. Dolayısıyla, çarpma konusundaki tüm tartışmalar - bu sayı o kadar tutarsızlık taşır ki, kafanızın karışmaması zorlaşır. Ek olarak, ondalık kesirlerdeki boş yerleri tanımlamak için sürekli olarak sıfır kullanılır, bu hem ondalık noktadan önce hem de sonra yapılır.

Boşlukla çarpabilir misin

Sıfırla çarpabilirsiniz, ancak bu işe yaramaz, çünkü ne derse desin, ama negatif sayıları çarparken bile yine de sıfır elde edeceksiniz. Bu basit kuralı hatırlamak ve bu soruyu bir daha asla sormamak yeterlidir. Aslında, her şey ilk bakışta göründüğünden daha basittir. Eski bilim adamlarının inandığı gibi gizli anlamlar ve sırlar yoktur. Aşağıda, en mantıklı açıklama, bu çarpmanın yararsız olduğu verilecektir, çünkü bir sayı onunla çarpıldığında, aynı şey yine elde edilecektir - sıfır.

En başa dönersek, iki elma hakkındaki tartışmaya dönersek, 2 çarpı 0 şuna benzer:

Beş kez iki elma yerseniz, 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 elma yersiniz
Üç kez iki kez yerseniz, 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 elma yenir
İki elmayı sıfır kez yerseniz, hiçbir şey yenmez - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

Sonuçta, 0 kez bir elma yemek, tek bir tane yememek anlamına gelir. En küçük çocuk bile bunu anlayacaktır. Her ne derse desin, 0 çıkacak, bir iki veya üç kesinlikle herhangi bir sayı ile değiştirilebilir ve kesinlikle aynısı çıkacaktır. Basitçe söylemek gerekirse, o zaman sıfır hiçbir şeydirve sahip olduğun zaman hiç birşey yok, o zaman ne kadar çarparsan yap, önemli değil sıfır olacak... Sihir yoktur ve 0'ı bir milyonla çarpsanız bile hiçbir şey bir elma yapamaz. Bu, sıfırla çarpma kuralının en basit, en anlaşılır ve mantıklı açıklamasıdır. Tüm formüllerden ve matematikten uzak bir kişi için böyle bir açıklama kafadaki uyumsuzluğun dağılması için yeterli olacak ve her şey yerine oturacaktır.

Bölünme

Yukarıdakilerin hepsinden bir başka önemli kural şöyledir:

Sıfıra bölemezsiniz!

Bu kural aynı zamanda çocukluğumuzdan beri inatla kafamıza vurulmuştur. Sadece bunun imkansız olduğunu ve kafamızı gereksiz bilgilerle doldurmadan her şeyin olduğunu biliyoruz. Beklenmedik bir şekilde neden sıfıra bölmenin yasak olduğu sorusu sorulursa, çoğunluğun kafası karışacak ve okul müfredatındaki en basit soruyu net bir şekilde yanıtlayamayacaktır, çünkü bu kural etrafında çok fazla tartışma ve çelişki yoktur.

Herkes kuralı ezberledi ve cevabın yüzeyde olduğundan şüphelenmeden sıfıra bölmedi. Toplama, çarpma, bölme ve çıkarma eşit değildir, yalnızca çarpma ve toplama yukarıdakilerden tamamlanır ve sayılarla yapılan diğer tüm manipülasyonlar bunlardan yapılır. Yani, 10: 2 yazmak, 2 * x \u003d 10 denkleminin bir kısaltmasıdır. Yani, 10: 0 yazmak, 0 * x \u003d 10 ile aynı kısaltmadır. Sıfıra bölmenin bir sayıyı bulma görevi olduğu, onu 0 ile çarparak 10 elde edeceğiniz ortaya çıktı. Ve biz zaten böyle bir sayının olmadığını anladık, bu da bu denklemin çözümü olmadığı anlamına gelir ve a priori yanlış olacaktır.

Sana söyleyeyim

0'a bölmemek için!

Boyuna 1'i istediğiniz gibi kesin,

Sadece 0'a bölmeyin!

Evgeny SHIRYAEV, Öğretim Görevlisi ve Politeknik Müzesi Matematik Laboratuvarı Başkanı, "AiF" e sıfıra bölmeden bahsetti:

1. Sorunun yargı yetkisi

Kabul ediyorum, yasak kurala özel bir provokasyon veriyor. Nasıl imkansızdır? Kim yasakladı? Medeni haklarımız ne olacak?

Ne anayasa, ne Ceza Kanunu, ne de okulunuzun tüzüğü bizi ilgilendiren fikri eyleme itiraz etmez. Bu, yasağın hiçbir yasal gücü olmadığı anlamına gelir ve burada, "AiF" sayfalarında bir şeyi sıfıra bölmeye çalışmak için hiçbir şey engellemez. Örneğin bin.

2. Öğretildiği gibi bölün

Unutmayın, nasıl bölüneceğini ilk öğrendiğinizde, ilk örnekler çarpma testiyle çözüldü: bölenle çarpılan sonuç, temettü ile aynı olmalıydı. Eşleşmedi - karar vermedi.

Örnek 1. 1000: 0 =...

Yasak kuralı bir dakikalığına unutalım ve cevabı tahmin etmek için birkaç girişimde bulunalım.

Çek yanlış olanları kesecektir. Şu seçenekleri gözden geçirin: 100, 1, −23, 17, 0, 10.000. Her biri için çek aynı sonucu verecektir:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10000 0 \u003d 0

Çarpma ile sıfır, her şeyi kendine dönüştürür ve asla bine dönüştürmez. Sonucu formüle etmek zor değil: hiçbir sayı testi geçemeyecek. Yani, sıfır olmayan bir sayının sıfıra bölünmesinin sonucu hiçbir sayı olamaz. Böyle bir bölünme yasak değildir, ancak hiçbir sonucu yoktur.

3. Nüans

Yasağı çürütmek için neredeyse bir fırsatı kaçırdık. Evet, sıfırdan farklı bir sayının 0'a bölünemeyeceğini kabul ediyoruz. Ama belki 0'ın kendisi olabilir?

Örnek 2. 0: 0 = ...

Özel için önerileriniz? yüz? Lütfen: bölüm 0'ın bölen 0'ın 100 katı bölünebilir 0'a eşittir.

Daha fazla seçenek! bir? Ayrıca uyuyor. Ve -23 ve 17 ve hepsi-hepsi. Bu örnekte, test herhangi bir sayı için pozitif olacaktır. Ve dürüst olmak gerekirse, bu örnekteki çözüm bir sayı değil, bir dizi sayı olarak adlandırılmalıdır. Herkes. Ve Alice'in Alice değil, Mary Ann olduğu ve her ikisinin de bir tavşanın rüyası olduğu noktasında anlaşmak uzun sürmeyecek.

4. Yüksek matematik ne olacak?

Sorun çözüldü, nüanslar dikkate alındı, noktalar yerleştirildi, her şey netleşti - sıfıra bölünmüş örneğin cevabı tek bir sayı olamaz. Bu tür sorunları çözmek umutsuz ve imkansız bir iştir. Bunun anlamı ... ilginç! İki tane al.

Örnek 3. 1000'i 0'a nasıl böleceğinizi bulun.

Asla. Ancak 1000, diğer sayılara kolayca bölünebilir. Pekala, görevi değiştirsek bile en azından aldığımızı yapalım. Ve orada, görüyorsunuz, kendimizi kaptıracağız ve cevap kendiliğinden görünecek. Bir dakikalığına sıfırı unutup yüze böleriz:

Yüz sıfırdan uzaktır. Bölüneni azaltarak ona doğru bir adım atalım:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Açık dinamikler: Bölen sıfıra ne kadar yakınsa bölüm o kadar büyük olur. Trend, kesirlere hareket ederek ve payı azaltmaya devam ederek daha da gözlemlenebilir:

Sıfıra istediğimiz kadar yaklaşarak bölümü istediğimiz kadar büyük hale getirebileceğimizi belirtmek gerekir.

Bu süreçte sıfır ve son bölüm yoktur. Onlara doğru hareketi belirledik, sayıyı ilgilendiğimiz sayıya yakınsayan bir sıra ile değiştirdik:

Bu, temettü için benzer bir ikame anlamına gelir:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Oklar boşuna değildir çift taraflı: bazı diziler sayılara yakınlaşabilir. Ardından diziyi sayısal limitine atayabiliriz.

Bölüm sırasına bakalım:

Süresiz olarak büyür, herhangi bir sayı için çabalamadan ve herhangi birini aşarak. Matematikçiler sembolü sayılara ekler ∞ Böyle bir dizinin yanına çift başlı bir ok koyabilmek için:

Sınırı olan dizi sayılarının karşılaştırılması, üçüncü örneğe bir çözüm sunmamızı sağlar:

1000'e yakınsayan bir diziyi, eleman bazında 0'a yakınsayan bir pozitif sayı dizisine bölerek, ∞'a yakınsayan bir dizi elde ederiz.

5. Ve işte iki sıfırlı bir nüans

Sıfıra yakınsayan iki pozitif sayı dizisinin bölünmesinin sonucu ne olur? Eğer aynıysa, o zaman aynı birimdir. Temettü dizisi daha hızlı sıfıra yaklaşırsa, o zaman bölümde sıfır limitli bir dizidir. Ve bölenin öğeleri, temettününkinden çok daha hızlı azaldığında, bölüm dizisi güçlü bir şekilde büyüyecektir:

Belirsiz durum. Ve adı: türlerin belirsizliği 0/0 ... Matematikçiler böyle bir belirsizliğe uygun diziler gördüklerinde, iki özdeş sayıyı birbirine bölmek için acele etmezler, ancak dizilerden hangisinin daha hızlı sıfıra doğru ve tam olarak nasıl gittiğini bulurlar. Ve her örneğin kendine özgü bir cevabı olacak!

6. Hayatta

Ohm Yasası, bir devredeki akım gücü, voltaj ve direnci ilişkilendirir. Genellikle şu biçimde yazılır:

Doğru fiziksel anlayışı ihmal edelim ve resmi olarak sağ tarafa iki sayının bir bölümü olarak bakalım. Okuldaki bir elektrik problemini çözdüğümüzü hayal edin. Koşul, volt cinsinden voltaj ve ohm cinsinden direnç verir. Soru açıktır, tek adımlı bir çözüm.

Şimdi süperiletkenliğin tanımına bakalım: Bu, bazı metallerin sıfır elektrik direncine sahip olma özelliğidir.

Peki, süperiletken devre problemini çözelim mi? Sadece ikame R \u003d0 işe yaramazsa, fizik ilginç bir problem ortaya çıkarır, bunun arkasında belli ki bilimsel bir keşif vardır. Ve bu durumda sıfıra bölünmeyi başaran insanlar Nobel Ödülü'nü aldı. Herhangi bir yasağı atlayabilmek faydalıdır!

Ve işte başka bir ilginç ifade. "Sıfıra bölemezsiniz!" - çoğu öğrenci bu kuralı soru sormadan ezbere öğrenir. Tüm çocuklar neye "izin verilmediğini" bilir ve ona yanıt olarak "Neden?" Diye sorarsa ne olacağını bilir. Bu ne olacaksa

Ama aslında bunun neden imkansız olduğunu bilmek çok ilginç ve önemlidir.

Aynısı çarpma ve bölme için de geçerlidir. 8: 4 notasyonu, sekiz öğeyi dört eşit yığına bölmenin sonucu olarak anlaşılabilir. Ama gerçekte 4 x \u003d 8 denkleminin kısaltılmış bir şeklidir.

Sıfıra bölmenin neden imkansız (veya daha doğrusu imkansız) olduğu burada netleşir. Gösterim 5: 0, 0 x \u003d 5'in kısaltmasıdır. Yani, bu görev, 0 ile çarpıldığında 5 veren bir sayı bulmaktır. Ancak, 0 ile çarpıldığında her zaman 0 elde edeceğinizi biliyoruz. Bu, kesinlikle sıfırın doğal bir özelliğidir. , tanımının bir parçası.

0 ile çarpıldığında sıfırdan başka bir şey verecek böyle bir sayı yoktur. Yani görevimizin çözümü yok. (Evet, bu olur, her sorunun bir çözümü yoktur.) Bu, 5: 0 gösteriminin belirli bir sayıya karşılık gelmediği ve basitçe hiçbir şey ifade etmediği ve bu nedenle hiçbir anlamı olmadığı anlamına gelir. Bu kaydın anlamsızlığı kısaca ifade edilerek sıfıra bölünemezsiniz.

Bu yerdeki en özenli okuyucular kesinlikle şunu soracaktır: sıfır sıfıra bölünebilir mi? Gerçekten de, 0 x \u003d 0 denklemi başarıyla çözülebilir. Örneğin, x \u003d 0 alırsınız ve sonra 0 · 0 \u003d 0 elde ederiz. 0: 0 \u003d 0? Ama acele etmeyelim. X \u003d 1 almaya çalışalım. 0 · 1 \u003d 0 elde ederiz değil mi? Yani 0: 0 \u003d 1? Ancak bu şekilde herhangi bir sayıyı alabilir ve 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317, vb. Elde edebilirsiniz.

Ancak herhangi bir sayı uygunsa, herhangi birini seçmek için hiçbir nedenimiz yok. Yani, 0: 0 girişinin hangi sayıya karşılık geldiğini söyleyemeyiz ve eğer öyleyse, o zaman bu girişin de bir anlam ifade etmediğini kabul etmeliyiz. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı. (Matematiksel analizde, problemin ek koşulları nedeniyle, 0 · x \u003d 0 denklemine olası çözümlerden birinin tercih edilebileceği durumlar vardır; bu gibi durumlarda, matematikçiler "belirsizliğin açıklanmasından" söz eder, ancak aritmetikte bu tür durumlar meydana gelmez.)

Bu, bölme işleminin özelliğidir. Daha doğrusu, çarpma işlemi ve ilgili sayı sıfıra sahiptir.

0 sayısı, gerçek sayılar dünyasını hayali veya negatif olanlardan ayıran bir tür sınır olarak gösterilebilir. Belirsiz konum nedeniyle, bu sayısal değere sahip birçok işlem matematiksel mantığa uymaz. Sıfıra bölmenin imkansızlığı bunun en iyi örneğidir. Sıfır ile izin verilen aritmetik işlemler, genel kabul görmüş tanımlar kullanılarak gerçekleştirilebilir.

Sıfır hikaye

Sıfır, tüm standart hesaplama sistemlerinde referans noktasıdır. Avrupalılar bu sayıyı nispeten yakın zamanda kullanmaya başladılar, ancak eski Hindistan bilgeleri, boş sayı Avrupalı \u200b\u200bmatematikçiler tarafından düzenli olarak kullanılmadan önce sıfır kullandı. Kızılderililerden önce bile, Maya sayı sisteminde sıfır zorunlu bir değerdi. Bu Amerikan halkı duodecimal sayı sistemini kullandı ve her ayın ilk günü sıfırla başladı. İlginç bir şekilde, Maya "sıfır" işareti, "sonsuzluk" işareti ile tamamen aynıydı. Böylece antik Maya, bu değerlerin aynı ve bilinemez olduğu sonucuna vardı.

Sıfır ile matematik işlemleri

Sıfır ile standart matematik işlemleri birkaç kurala indirgenebilir.

Ekleme: rastgele bir sayıya sıfır eklerseniz, değerini değiştirmez (0 + x \u003d x).

Çıkarma: Herhangi bir sayıdan sıfırı çıkarırken, çıkarılanın değeri değişmeden kalır (x-0 \u003d x).

Çarpma: 0 ile çarpılan herhangi bir sayı üründe 0 verir (a * 0 \u003d 0).

Bölme: sıfır, sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Bu durumda, böyle bir kesrin değeri 0 olacaktır ve sıfıra bölmek yasaktır.

Üs alma. Bu işlem herhangi bir numara ile yapılabilir. Sıfır kuvvetine yükseltilmiş rastgele bir sayı 1 (x 0 \u003d 1) verecektir.

Herhangi bir güce sıfır 0'dır (0 a \u003d 0).

Bu durumda, hemen bir çelişki ortaya çıkar: 0 0 ifadesinin hiçbir anlamı yoktur.

Matematiğin paradoksları

Pek çok insan sıfıra bölmenin okuldan imkansız olduğunu bilir. Ama nedense böyle bir yasağın nedenini açıklamak imkansız. Gerçekten, sıfıra bölme formülü neden mevcut değil, ancak bu sayıya sahip diğer eylemler oldukça makul ve mümkün? Bu sorunun cevabı matematikçiler tarafından verilmektedir.

Mesele şu ki, okul çocuklarının ilkokullarda öğrendikleri olağan aritmetik işlemler aslında düşündüğümüz kadar eşit olmaktan uzaktır. Sayılarla yapılan tüm basit işlemler ikiye indirilebilir: toplama ve çarpma. Bu eylemler, sayı kavramının özüdür ve işlemlerin geri kalanı bu ikisinin kullanımına dayanır.

Toplama ve çarpma

Standart bir çıkarma örneği alalım: 10-2 \u003d 8. Okulda, basitçe kabul edilir: eğer ikisi on konudan çıkarılırsa, sekiz kalır. Ancak matematikçiler bu işleme tamamen farklı bir şekilde bakıyor. Sonuçta, çıkarma gibi bir işlem onlar için mevcut değildir. Bu örnek başka bir şekilde yazılabilir: x + 2 \u003d 10. Matematikçiler için bilinmeyen fark, sekiz yapmak için ikiye eklenmesi gereken bir sayıdır. Ve burada çıkarmaya gerek yok, sadece uygun bir sayısal değer bulmanız gerekiyor.

Çarpma ve bölme aynı şekilde ele alınır. Örnek 12: 4 \u003d 3'te, sekiz nesneyi iki eşit yığına bölmekten bahsettiğimizi anlayabilirsiniz. Ama gerçekte bu, 3x4 \u003d 12 yazmak için ters çevrilmiş bir formüldür. Sonsuz bölünme örnekleri vardır.

0 örnekle bölme

Bu, neden sıfıra bölünemeyeceğinizin biraz netleştiği yerdir. Sıfırla çarpma ve bölme kendi kurallarına uyar. Bu miktarın bölünmesine ilişkin tüm örnekler 6: 0 \u003d x olarak formüle edilebilir. Ancak bu, 6 * x \u003d 0 ifadesinin ters çevrilmiş bir gösterimidir. Ancak, bildiğiniz gibi, 0 ile çarpılan herhangi bir sayı, üründe yalnızca 0 verir. Bu özellik, sıfır değeri kavramının doğasında vardır.

Öyle bir sayı ki 0 ile çarpıldığında somut bir değer verir, yoktur, yani bu sorunun çözümü yoktur. Böyle bir cevaptan korkmamalısınız, bu tür problemler için doğal bir cevaptır. Sadece 6-0 hiçbir anlam ifade etmiyor ve hiçbir şeyi açıklayamıyor. Kısaca bu ifade ölümsüz "sıfıra bölmek imkansızdır" ile açıklanabilir.

0: 0 işlemi var mı? Gerçekten de, 0 ile çarpma işlemi yasal ise, sıfır sıfıra bölünebilir mi? Sonuçta, 0x 5 \u003d 0 formundaki bir denklem tamamen yasaldır. 5 rakamı yerine 0 koyabilirsiniz, bundan ürün değişmeyecektir.

Gerçekten, 0x0 \u003d 0. Ama yine de 0'a bölemezsiniz. Söylendiği gibi bölme, çarpmanın tersidir. Dolayısıyla, 0x5 \u003d 0 örneğinde, ikinci faktörü belirlemeniz gerekiyorsa, 0x0 \u003d 5 elde ederiz. Veya 10. Veya sonsuzluk. Sonsuzluğu sıfıra bölmek - bunu nasıl buluyorsunuz?

Ancak ifadeye herhangi bir sayı uyuyorsa, bu bir anlam ifade etmiyor, sonsuz sayılar kümesinden birini seçemeyiz. Ve eğer öyleyse, 0: 0 ifadesinin bir anlam ifade etmediği anlamına gelir. Sıfırın bile sıfıra bölünemeyeceği ortaya çıktı.

Yüksek Matematik

Sıfıra bölme, okul matematiği için bir baş ağrısıdır. Teknik üniversitelerde incelenen matematiksel analiz, çözümü olmayan problemler kavramını biraz genişletiyor. Örneğin, zaten bilinen 0: 0 ifadesine, okul matematik derslerinde çözümü olmayan yenileri eklenir:

sonsuzluğun sonsuza bölünmesi:?:?;
sonsuz eksi sonsuz: ???;
sonsuz bir güce yükseltildi: 1? ;
sonsuz kez 0 :? * 0;
bazı diğerleri.

Bu tür ifadeleri temel yöntemlerle çözmek imkansızdır. Ancak daha yüksek matematik, bir dizi benzer örnek için ek olanaklar sayesinde, nihai çözümler verir. Bu, özellikle sınırlar teorisindeki problemlerin ele alınmasında belirgindir.

Belirsizliğin ifşası

Sınırlar teorisinde, 0 değeri koşullu sonsuz küçük bir değişkenle değiştirilir. Ve istenen değer ikame edildiğinde sıfıra bölmenin elde edildiği ifadeler dönüştürülür. Aşağıda sıradan cebirsel dönüşümleri kullanan standart bir limit genişletme örneği verilmiştir:

Örnekte görebileceğiniz gibi, kesrin basit bir şekilde azaltılması, onun değerini tamamen mantıklı bir cevaba götürür.

Trigonometrik fonksiyonların sınırları düşünüldüğünde, ifadeleri ilk dikkat çekici limite indirgenme eğilimindedir. Limit ikame edildiğinde paydanın 0'a gittiği limitler dikkate alındığında, ikinci bir önemli limit kullanılır.

Lopital yöntemi

Bazı durumlarda, ifadelerin sınırları, türevlerinin sınırı ile değiştirilebilir. Guillaume Lopital - Fransız matematikçi, Fransız matematiksel analiz okulunun kurucusu. İfadelerin sınırlarının, bu ifadelerin türevlerinin sınırlarına eşit olduğunu kanıtladı. Matematiksel gösterimde kuralı aşağıdaki gibidir.

Şu anda, L'Hôpital'in yöntemi 0: 0 veya?:? Gibi belirsizlikleri çözmek için başarıyla kullanılmaktadır.

0,1 ile nasıl bölünür ve çarpılır; 0.01; 0.001 vb.

Bölme ve çarpma kurallarını yazın.

Bir sayıyı 0.1 ile çarpmak için virgülü taşımanız yeterlidir.

Örneğin öyleydi 56 oldu 5,6 .

Aynı sayıya bölmek için virgülü ters yönde hareket ettirin:

Örneğin öyleydi 56 oldu 560 .

0.01 sayısıyla her şey aynıdır, ancak bunu bir değil 2 karakterle aktarmanız gerekir.

Genel olarak, sıfırlar kadar aktarın.

Örneğin, 123456789 numarası var.

Bunu 0.000000001 ile çarpmanız gerekiyor

0.000000001 sayısında dokuz tane sıfır vardır (virgülün solundaki sıfır da sayılır), bu nedenle 123456789 sayısını 9 basamak değiştiririz:

Şimdi 123456789'du 0.123456789.

Çarpmamak, aynı sayıya bölmek için diğer tarafa geçiyoruz:

Şimdi 123456789 idi 123456789000000000.

Bir tamsayıyı bu şekilde kaydırmak için ona sıfır atamanız yeterlidir. Ve kesirli olarak virgülü hareket ettiririz.

Bir sayıyı 0.1'e bölmek, bu sayıyı 10 ile çarpmakla aynıdır.

Bir sayıyı 0,01'e bölmek, o sayının 100 ile çarpılmasıyla aynıdır.

0,001 ile bölme, 1000 ile çarpılır.

Hatırlamayı kolaylaştırmak için - sağdan sola bölmemiz gereken sayıyı okuruz, virgülü yok sayarız ve elde edilen sayı ile çarpılırız.

Örnek: 50: 0.0001. 50 kere (sağdan sola virgül olmadan okuyun - 10000) 10000. Bu 500000.

Çarpmada da durum aynı, tam tersi:

400 x 0.01, 400'ü (sağdan sola virgül olmadan okuyun - 100) 100: 400: 100 \u003d 4'e bölmekle aynıdır.

Bu sayılarla çarparken ve bölerken virgülleri bölerken sağa ve çarparken sola aktarmak daha uygun olanı, bunu yapabilirsiniz.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Ondalık bölüm

BEN. Bir sayıyı ondalık kesire bölmek için, bölünendeki virgülleri ve bölendeki virgülden sonra olduğu kadar çok basamak sağa taşımanız ve ardından doğal bir sayıya bölmeniz gerekir.

Hadi alalımry.

Bölme gerçekleştirin: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Karar.

Misal 1) 16,38: 0,7.

Bölücüde 0,7 virgülden sonra bir rakam vardır, bu nedenle, bölünen içindeki virgülleri bir basamak sağa kaydırın.

O zaman ayrılmamız gerekecek 163,8 açık 7 .

Ondalık kesiri doğal sayıya bölme kuralına böleceğiz.

Doğal sayılar bölündükçe bölün. Bir rakam nasıl yıkılır 8 - ondalık noktadan sonraki ilk rakam (yani onuncu basamaktaki rakam), yani hemen özel virgül koymak ve bölmeye devam edin.

Cevap: 23.4.

Misal 2) 15,6: 0,15.

Temettüde virgül taşıyoruz ( 15,6 ) ve bölen ( 0,15 ) sağdaki iki hane, bölen 0,15 ondalık noktadan sonra iki hane vardır.

Sağdaki ondalık sayıya istediğiniz kadar sıfır atanabileceğini ve bunun ondalık sayıyı değiştirmeyeceğini unutmayın.

15,6:0,15=1560:15.

Doğal sayıların bölünmesini gerçekleştiriyoruz.

Cevap: 104.

Misal 3) 3,114: 4,5.

Bölünen ve bölenteki virgülleri bir basamak sağa taşıyın ve bölün 31,14 açık 45 ondalık kesiri doğal sayıya bölme kuralına göre.

3,114:4,5=31,14:45.

Özelde, bir rakamı yok eder etmez virgül koyarız 1 onuncu sırada. Sonra bölünmeye devam ediyoruz.

Bölünmeyi tamamlamak için atamamız gerekiyordu sıfır numaraya 9 - sayıların farkı 414 ve 405 . (sıfırların ondalık kesire doğru atanabileceğini biliyoruz)

Cevap: 0.692.

Misal 4) 53,84: 0,1.

Bölme ve bölen içindeki virgülleri taşıma 1 sağdaki rakam.

Biz alırız: 538,4:1=538,4.

Eşitliği inceleyelim: 53,84:0,1=538,4. Bu örnekte temettüdeki virgül ve ortaya çıkan bölümdeki virgüllere dikkat edin. Temettüdeki virgülün şu adrese taşındığına dikkat edin: 1 sağdaki rakam, sanki çarpıyormuşuz gibi 53,84 açık 10. ("Bir ondalık sayıyı 10, 100, 1000, vb. İle çarpma" videosunu izleyin) Bu nedenle, ondalık sayıları 0,1; 0,01; 0,001 vb.

II. Ondalık sayıyı 0,1'e bölmek için; 0.01; 0.001 ve benzeri, virgülü sağa 1, 2, 3, vb. Rakamlarla taşımanız gerekir. (Ondalık bir kesri 0,1; 0,01; 0,001 vb. İle bölmek, bu ondalık kesri 10, 100, 1000 vb. İle çarpmaya eşdeğerdir)

Örnekler.

Bölme gerçekleştirin: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Karar.

Misal 1) 617,35: 0,1.

Kurala göre II bölme 0,1 ile çarpmaya eşdeğerdir 10 ve temettüdeki virgülü hareket ettirin 1 hane sağa:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Misal 2) 0,235: 0,01.

Bölüm 0,01 ile çarpmaya eşdeğerdir 100 , bu, temettüdeki virgülün transfer edildiği anlamına gelir açık Sağda 2 hane:

2) 0,235:0,01=23,5.

Misal 3) 2,7845: 0,001.

Gibi bölme 0,001 ile çarpmaya eşdeğerdir 1000 , sonra virgülü hareket ettirin sağa doğru 3 hane:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Misal 4) 26,397: 0,0001.

Ondalık sayıya böl 0,0001 - ile çarpmak gibi 10000 (virgül taşıyın 4 hane sağa). Biz alırız:

www.mathematics-repetition.com

10, 100, 0.1, 0.01 formundaki sayılarla çarpma ve bölme

Bu eğitim videosu abonelikle mevcuttur

Zaten bir aboneliğiniz var mı? İçeri gel

Bu ders, 10, 100, 0.1, 0.001 formundaki sayılarla çarpma ve bölme işleminin nasıl yapılacağını tartışacaktır. Bu konudaki çeşitli örnekler de çözülecektir.

Sayıları 10, 100 ile çarpın

Bir egzersiz. 25,78'i 10 ile nasıl çarpabilirim?

Bu sayı için ondalık gösterim, miktarın kısaltılmış gösterimidir. Daha detaylı boyamak gerekiyor:

Bu nedenle miktarı çarpmanız gerekiyor. Bunu yapmak için, her terimi çarpmanız yeterlidir:

Şekline dönüştü.

Ondalık bir kesri 10 ile çarpmanın çok basit olduğu sonucuna varabiliriz: virgülü sağa bir konum kaydırmanız gerekir.

Bir egzersiz. 25.486'yı 100 ile çarpın.

100 ile çarpmak, iki kez 10 ile çarpmakla aynıdır. Başka bir deyişle, virgülü iki kez sağa kaydırmanız gerekir:

Sayıların 10, 100'e bölümü

Bir egzersiz. 25.78'i 10'a bölün.

Önceki durumda olduğu gibi, 25.78 sayısını toplam olarak sunmak gerekir:

Toplamı bölmeniz gerektiğinden, bu, her terimi bölmeye eşdeğerdir:

10'a bölmek için virgülü sola bir konuma getirmeniz gerektiği ortaya çıktı. Örneğin:

Bir egzersiz. 124.478'i 100'e bölün.

100'e böl, 10'a iki kez bölmekle aynıdır, bu nedenle virgül 2 konum sola kaydırılır:

10, 100, 1000 ile çarpma ve bölme kuralı

Ondalık kesirin 10, 100, 1000 vb. İle çarpılması gerekiyorsa, virgül sağa, faktörde sıfır olduğu kadar çok konum kaydırmanız gerekir.

Tersine, ondalık kesirin 10, 100, 1000 vb. İle bölünmesi gerekiyorsa, virgülü sola, faktörde sıfır olduğu kadar çok sayıda konuma kaydırmanız gerekir.

Virgül kaydırmanın gerekli olduğu, ancak sayı kalmadığı durumlar

100 ile çarpmak, virgülün iki basamak sağa kaydırılmasıdır.

Vardiyadan sonra, ondalık noktadan sonra sayı olmadığını görebilirsiniz, bu da kesirli kısmın eksik olduğu anlamına gelir. O zaman virgül gerekmez, sayı bir tamsayıdır.

4 pozisyonu sağa kaydırmanız gerekiyor. Ancak ondalık noktadan sonra yalnızca iki hane vardır. 56.14 kesri için eşdeğer bir gösterim olduğunu hatırlamakta fayda var.

Şimdi 10.000 ile çarpmak çok kolay:

Önceki örnekte kesire neden iki sıfır ekleyebileceğiniz çok açık değilse, bağlantıdaki ek video bu konuda yardımcı olabilir.

Eşdeğer ondalık gösterim

52. giriş şu anlama gelir:

Başına 0 koyarsanız 052 girişini alırsınız. Bu girişler eşdeğerdir.

Önüne iki sıfır koyabilir misin? Evet, bu girişler eşdeğerdir.

Şimdi ondalık kesire bakalım:

Sıfır atarsanız, sonuç:

Bu girişler eşdeğerdir. Benzer şekilde, birden çok sıfır atayabilirsiniz.

Böylece, herhangi bir sayı kesirli bölümden sonra birkaç sıfır ve tam sayı bölümünden önce birkaç sıfır atanabilir. Bunlar aynı numara için eşdeğer girişler olacaktır.

100'e bölünme meydana geldiğinden, virgül 2 konumlarını sola kaydırmak gerekir. Virgülden kalan rakam yok. Bütün kısım eksik. Bu gösterim genellikle programcılar tarafından kullanılır. Matematikte tam bir parça yoksa onun yerine sıfır koyarlar.

Üç sıra sola gitmeniz gerekir, ancak yalnızca iki konum vardır. Numaranın önüne birkaç sıfır yazarsanız, bu eşdeğer bir kayıt olacaktır.

Yani, sola kaydırırken, sayılar biterse, onları sıfırlarla doldurmanız gerekir.

Bu durumda, virgülün her zaman tüm parçadan sonra geldiğini unutmayın. Sonra:

0.1, 0.01, 0.001 ile çarpma ve bölme

10, 100, 1000 sayılarıyla çarpma ve bölme çok basit bir işlemdir. Durum 0.1, 0.01, 0.001 sayıları ile tamamen aynıdır.

Misal... 25.34'ü 0.1 ile çarpın.

0,1 ondalık kesri sıradan olarak yazalım. Ancak ile çarpmak 10'a bölmekle aynıdır. Bu nedenle virgül 1'in konumunu sola kaydırmanız gerekir:

Benzer şekilde, 0,01 ile çarpmak 100'e bölünür:

Misal. 5.235, 0.1'e bölünür.

Bu örneğin çözümü benzer şekilde oluşturulmuştur: 0,1, sıradan bir kesir olarak ifade edilir ve bölü, 10 ile çarpmakla aynıdır:

Yani, 0,1'e bölmek için virgülü sağa doğru bir konuma kaydırmanız gerekir, bu da 10 ile çarpmaya eşdeğerdir.

0.1, 0.01, 0.001 ile çarpma ve bölme kuralı

10 ile çarpmak ve 0,1'e bölmek aynı şeydir. Virgül, 1 konum sağa kaydırılmalıdır.

10'a bölmek ve 0,1 ile çarpmak aynı şeydir. Virgül sağa doğru 1 konum kaydırılmalıdır:

Çözüm örnekleri

Sonuç

Bu derste 10, 100 ve 1000 ile bölme ve çarpma kuralları çalışılmış, ayrıca 0.1, 0.01, 0.001 ile çarpma ve bölme kuralları dikkate alınmıştır.

Bu kuralların uygulanmasına ilişkin örnekler incelenmiş ve çözümlenmiştir.

Kaynakça

1. Vilenkin N.Ya. Matematik: ders kitabı. 5 cl için. genel uchr. 17. baskı. - M: Mnemosina, 2005.

2. Shevkin A.V. Matematikte kelime problemleri: 5-6. - M: Ileksa, 2011.

3. Ershova A.P., Goloborodko V.V. Bağımsız ve test kağıtlarında tüm okul matematiği. Matematik 5-6. - M .: Ileksa, 2006.

4. Khlevnyuk NN, Ivanova MV Matematik derslerinde hesaplama becerilerinin oluşumu. 5-9 sınıf. - M .: Ileksa, 2011 .

1. İnternet portalı "Pedagojik Fikirler Festivali" (Kaynak)

2. İnternet portalı "Matematika-na.ru" (Kaynak)

3. İnternet portalı "School.xvatit.com" (Kaynak)

Ev ödevi

3. İfadelerin değerlerini karşılaştırın:

Sıfır ile eylemler

Matematikte sayı sıfır özel bir yeri vardır. Gerçek şu ki, aslında "hiçbir şey", "boşluk" anlamına geliyor, ancak anlamını abartmak gerçekten zor. Bunu yapmak için, en azından tam olarak neyle hatırlamak yeterlidir. sıfır işaretive herhangi bir koordinat sistemindeki noktanın konumunun koordinatlarını saymaya başlar.

Sıfır Ondalık kesirlerde, hem ondalık noktadan önce hem de sonra bulunan "boş" rakamların değerlerini tanımlamak için yaygın olarak kullanılır. Ek olarak, aritmetiğin temel kurallarından birinin ilişkili olduğu, sıfır bölünemez. Aslında mantığı bu sayının özünden kaynaklanmaktadır: aslında ondan farklı bir anlamın (ve kendisinin de) "hiçbir şeye" bölündüğünü hayal etmek imkansızdır.

FROM sıfır tüm aritmetik işlemler gerçekleştirilir ve bunların "ortakları" olarak tam sayılar, sıradan ve ondalık kesirler kullanılabilir ve hepsinin hem pozitif hem de negatif değerleri olabilir. İşte bunların uygulanmasına dair örnekler ve onlar için bazı açıklamalar.

Eklerken kaşımak bir sayıya kadar (hem tam hem de kesirli, hem pozitif hem de negatif) değeri kesinlikle değişmeden kalır.

Yirmi dört artı sıfır yirmi dörde eşittir.

On yedi virgül üç sekizinci artı sıfır on yedi virgül üç sekizde eşittir.

Vergi beyannamesi formları Her tür vergi ve harç için beyanname şekillerini dikkatinize sunuyoruz: 1. Gelir vergisi. Dikkat, 10.02.2014 tarihinden itibaren, Gelir Bakanlığı'nın 30.12.2013 tarih ve 872 sayılı emriyle onaylanan yeni beyanname örneklerine göre gelir vergisi raporu sunulmuştur. 1. [...] tarihindeki vergi için vergi beyannamesi
Karesel Toplamın Karesi Fark Kuralı Amaç: İfadelerin toplamının ve farkının karesini almak için formül türetmek. Beklenen sonuçlar: Toplamın karesi ve farkın karesi için formül kullanmayı öğrenin. Ders türü: problem ifadesi dersi. I. Dersin konusu ve amacının iletilmesi II. Ders konusu üzerinde çalışın Çarparken [...]
Küçük çocuklu bir dairenin özelleştirilmesi ile çocuksuz özelleştirme arasındaki fark nedir? Katılımlarının özellikleri, belgeler Her türlü gayrimenkul işlemi, katılımcıların yakın ilgisini gerektirir. Özellikle küçük çocuklu bir daireyi özelleştirmeyi planlıyorsanız. Geçerli olarak tanınması ve [...]
14 yaşın altındaki bir çocuk için eski usul bir pasaport için devlet vergisinin boyutu ve bunun nerede ödeneceği Herhangi bir hizmet almak için devlet yetkilileriyle iletişime geçme, her zaman bir devlet görevinin ödenmesi ile birlikte gelir. Yabancı bir pasaport almak için ayrıca federal bir ücret ödemeniz gerekir. Boyut ne kadar [...]
45 yaşında bir pasaport değişikliği için bir başvuru formu nasıl doldurulur Rusların pasaportları, 20 veya 45 yaş sınırına ulaşıldığında değiştirilmelidir. Bir kamu hizmeti almak için, kurulu formda bir başvuru göndermeli, gerekli belgeleri eklemeli ve devlet için ödeme yapmalısınız [...]
Bir apartman dairesinde bir hisse için bağış nasıl ve nerede yapılır Birçok vatandaş, ortak mülkiyette gayrimenkul bağışı gibi yasal bir prosedürle karşı karşıyadır. Bir apartman dairesinde bir hisse için nasıl doğru bir bağış yapılacağına dair oldukça fazla bilgi var ve her zaman güvenilir değil. Başlamadan önce, [...]