Olasılık almak. Olasılık teorisi. Bir olayın olasılığı, rastgele olaylar (olasılık teorisi). Olasılık teorisinde bağımsız ve uyumsuz olaylar. Klasik olasılık ile ilgili problemlere çözüm örnekleri

o zaman rastgele değişken diyoruz ξ sahip olasılık dağılım yoğunluğu f(x).

Tanım.İzin vermek . Sürekli dağıtım fonksiyonu için F teorik α-kuantil denklemin çözümü denir.

Bu çözüm tek olmayabilir.

seviye niceliği ½ teorik olarak adlandırılan medyan , seviye nicelikleri ¼ ve ¾ -alt ve üst çeyrekler sırasıyla.

Aktüeryal uygulamalarda önemli bir rol oynar. Chebyshev eşitsizliği:

herhangi

Matematiksel beklenti sembolü.

Şöyle yazıyor: modülün, modülün beklentisine eşit veya daha küçük olma olasılığı bölü .

Rastgele bir değişken olarak yaşam süresi

Ölüm anının belirsizliği, hayat sigortalarında önemli bir risk faktörüdür.

Bir bireyin ölüm anı hakkında kesin bir şey söylenemez. Ancak, büyük bir homojen insan grubuyla uğraşıyorsak ve bu gruptan tek tek insanların kaderiyle ilgilenmiyorsak, frekans kararlılığı özelliğine sahip bir yığın rastgele fenomen bilimi olarak olasılık teorisi çerçevesindeyiz.

Sırasıyla, yaşam beklentisi hakkında rastgele bir değişken T olarak konuşabiliriz.

hayatta kalma fonksiyonu

Olasılık teorisinde, herhangi bir rastgele değişkenin stokastik doğasını tanımlarlar. T dağıtım işlevi F(x), rastgele değişkenin olma olasılığı olarak tanımlanan T sayıdan az x:

.

Aktüeryal matematikte, bir dağıtım fonksiyonu ile değil, ek bir dağıtım fonksiyonu ile çalışmak hoştur. . Uzun ömür açısından, bir kişinin yaşına kadar yaşama olasılığıdır. x yıllar.

isminde hayatta kalma fonksiyonu(hayatta kalma fonksiyonu):

Hayatta kalma işlevi aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Yaşam tablolarında, genellikle bazı şeylerin olduğu varsayılır. yaş sınırı (sınırlama yaşı) (kural olarak, yıllar) ve buna göre x>.

Ölümlülüğü analitik yasalarla tanımlarken, genellikle yaşam süresinin sınırsız olduğu varsayılır, ancak yasaların türü ve parametreleri, belirli bir yaşın üzerindeki yaşam olasılığının ihmal edilebilir olacağı şekilde seçilir.

Hayatta kalma fonksiyonunun basit bir istatistiksel anlamı vardır.

Diyelim ki gözlemlediğimiz ve ölüm anlarını kaydedebildiğimiz bir grup yenidoğanı (genellikle ) gözlemliyoruz.

Bu grubun yaşlarına göre yaşayan temsilcilerinin sayısını gösterelim. Sonra:

.

sembol E burada ve aşağıda matematiksel beklentiyi belirtmek için kullanılır.

Dolayısıyla, hayatta kalma işlevi, belirli bir sabit yenidoğan grubundan yaşa kadar hayatta kalanların ortalama oranına eşittir.

Aktüeryal matematikte, genellikle bir hayatta kalma fonksiyonuyla değil, yeni tanıtılan bir değerle (ilk grup büyüklüğünü sabitleyerek) çalışır.

Hayatta kalma fonksiyonu yoğunluktan yeniden oluşturulabilir:

Yaşam süresi özellikleri

Pratik bir bakış açısından, aşağıdaki özellikler önemlidir:

1 . Ortalamaömür

,
2 . Dağılımömür

,
nerede
,

Çözümü, olasılığın klasik bir tanımı olan tek bir formüle dayanan matematikteki (mathege.ru) açık USE problem bankasında bugüne kadar sunulmuştur.

Formülü anlamanın en kolay yolu örneklerle.
örnek 1 Sepette 9 kırmızı, 3 mavi top vardır. Toplar sadece renk olarak farklılık gösterir. Rastgele (bakmadan) bunlardan birini alıyoruz. Bu şekilde seçilen topun mavi olma olasılığı nedir?

Yorum. Olasılık teorisindeki problemlerde, farklı bir sonuca - bir sonuca - sahip olabilecek bir şey olur (bu durumda, topu çekme eylemimiz). Sonucun farklı şekillerde görüntülenebileceği unutulmamalıdır. "Bir top çıkardık" da bir sonuçtur. Sonuç "Mavi topu çıkardık". "Bu özel topu tüm olası toplardan çıkardık" - sonuca ilişkin bu en az genelleştirilmiş görüşe temel sonuç denir. Olasılığı hesaplama formülünde kastedilen temel sonuçlardır.

Karar.Şimdi mavi bir top seçme olasılığını hesaplıyoruz.
Olay A: "seçilen top mavi çıktı"
Tüm olası sonuçların toplam sayısı: 9+3=12 (çekebileceğimiz tüm topların sayısı)
A olayı için uygun sonuçların sayısı: 3 (A olayının gerçekleştiği bu tür sonuçların sayısı - yani mavi topların sayısı)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Cevap: 0.25

Aynı problem için kırmızı bir top seçme olasılığını hesaplayalım.
Olası sonuçların toplam sayısı aynı kalacaktır, 12. Olumlu sonuçların sayısı: 9. İstenen olasılık: 9/12=3/4=0.75

Herhangi bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır.
Bazen günlük konuşmada (olasılık teorisinde değil!) Olayların olasılığı yüzde olarak tahmin edilir. Matematiksel ve sözlü değerlendirme arasındaki geçiş, %100 ile çarpılarak (veya bölünerek) yapılır.
Böyle,
Bu durumda, gerçekleşemeyecek olaylar için olasılık sıfırdır - olasılık dışıdır. Örneğin, örneğimizde bu, sepetten yeşil bir top çekme olasılığı olacaktır. (Eğer formüle göre sayılırsa olumlu sonuçların sayısı 0, P(A)=0/12=0'dır)
Olasılık 1, seçenekleri olmadan kesinlikle kesinlikle olacak olaylara sahiptir. Örneğin, "seçilen topun kırmızı veya mavi olması" olasılığı problemimiz içindir. (Olumlu sonuç sayısı: 12, P(A)=12/12=1)

Olasılığın tanımını gösteren klasik bir örneğe baktık. Olasılık teorisindeki tüm benzer USE problemleri bu formül kullanılarak çözülür.
Kırmızı ve mavi toplar yerine elma ve armut, kız ve erkek çocuklar, öğrenilmiş ve öğrenilmemiş biletler, belirli bir konuda soru içeren ve içermeyen biletler (prototipler), arızalı ve kaliteli çantalar veya bahçe pompaları (prototipler) olabilir. , ) - ilke aynı kalır.

Belirli bir günde meydana gelen bir olayın olasılığını hesaplamanız gereken USE olasılık teorisi probleminin formülasyonunda biraz farklılık gösterirler. ( , ) Önceki görevlerde olduğu gibi, temel sonucun ne olduğunu belirlemeniz ve ardından aynı formülü uygulamanız gerekir.

Örnek 2 Konferans üç gün sürer. Birinci ve ikinci gün 15'er konuşmacı, üçüncü gün - 20. Raporların sırası piyango ile belirlenirse, Profesör M.'nin raporunun üçüncü güne düşme olasılığı nedir?

Buradaki temel sonuç nedir? - Bir konuşma için olası tüm seri numaralarından birine bir profesörün raporunu atamak. Çekilişe 15+15+20=50 kişi katılacaktır. Böylece Profesör M.'nin raporu 50 sayıdan birini alabilir. Bu, yalnızca 50 temel sonuç olduğu anlamına gelir.
Olumlu sonuçlar nelerdir? - Profesörün üçüncü gün konuşacağı ortaya çıkanlar. Yani, son 20 sayı.
Formüle göre, olasılık P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Cevap: 0.4

Buradaki kura çekimi, insanlar ve düzenli yerler arasında rastgele bir yazışma kurulmasıdır. Örnek 2'de eşleştirme, belirli bir kişinin hangi yerlerden alabileceğine göre değerlendirildi. Aynı duruma diğer taraftan da yaklaşabilirsiniz: belirli bir yere hangi olasılıkla insanlardan hangisi gelebilir (prototipler , , , ):

Örnek 3Çekilişe 5 Alman, 8 Fransız ve 3 Estonyalı katılıyor. Birincinin (/saniye/yedinci/son - önemli değil) bir Fransız olma olasılığı nedir?

Temel sonuçların sayısı, belirli bir yere kura ile ulaşabilecek tüm olası insanların sayısıdır. 5+8+3=16 kişi.
Olumlu sonuçlar - Fransızlar. 8 kişi.
İstenen olasılık: 8/16=1/2=0,5
Cevap: 0,5

Prototip biraz farklı. Madeni paralar () ve zarlar () hakkında biraz daha yaratıcı görevler var. Bu sorunların çözümleri prototip sayfalarında bulunabilir.

İşte bozuk para atma veya zar atma ile ilgili bazı örnekler.

Örnek 4 Yazı-tura attığımızda yazı gelme olasılığı kaçtır?
Sonuçlar 2 - yazı veya tura. (madeni paranın asla kenara düşmediğine inanılır) Olumlu sonuç - tura, 1.
Olasılık 1/2=0.5
Cevap: 0,5.

Örnek 5 Bir madeni parayı iki kez atarsak ne olur? Her iki seferde de tura gelme olasılığı nedir?
Ana şey, iki madeni parayı atarken hangi temel sonuçları dikkate alacağımızı belirlemektir. İki jeton atıldıktan sonra aşağıdaki sonuçlardan biri ortaya çıkabilir:
1) PP - iki kere yazı geldi
2) PO - ilk tura, ikinci tur tura
3) OP - ilk tura, ikinci tur tura
4) OO - iki seferde de uyarı verir
Başka seçenek yok. Bu, 4 temel sonuç olduğu anlamına gelir.Yalnızca ilki olumlu, 1.
Olasılık: 1/4=0.25
Cevap: 0.25

Bir madeni paranın iki atışının tura gelme olasılığı kaçtır?
Temel çıktıların sayısı aynı, 4. Olumlu çıktılar ikinci ve üçüncü, 2.
Bir kuyruk gelme olasılığı: 2/4=0.5

Bu tür problemlerde başka bir formül işe yarayabilir.
Bir yazı turasında 2 olası sonucumuz varsa, o zaman iki sonuç için 2 2=2 2 =4 (örnek 5'te olduğu gibi), üç atış için 2 2 2=2 3 =8, dört için : 2·2·2·2=2 4 =16, … olası sonuçların N atışları için 2·2·...·2=2 N olacaktır.

Böylece, 5 yazı turadan 5 yazı gelme olasılığını bulabilirsiniz.
Temel sonuçların toplam sayısı: 2 5 =32.
Olumlu sonuçlar: 1. (RRRRRR - 5 kez turaların tümü)
Olasılık: 1/32=0.03125

Aynısı zar için de geçerlidir. Bir atışla 6 olası sonuç vardır.Yani, iki atış için: 6 6=36, üç atış için 6 6 6=216, vb.

Örnek 6 Bir zar atıyoruz. Çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Toplam sonuç: 6, yüz sayısına göre.
Olumlu: 3 sonuç. (2, 4, 6)
Olasılık: 3/6=0.5

Örnek 7İki zar atın. Toplamın 10 yuvarlanma olasılığı nedir? (yüzde birine yuvarlanır)

Bir zar için 6 olası sonuç vardır. Dolayısıyla, yukarıdaki kurala göre iki kişilik, 6·6=36.
Toplamda 10'un düşmesi için hangi sonuçlar olumlu olacak?
10, 1'den 6'ya kadar olan iki sayının toplamına ayrıştırılmalıdır. Bu iki şekilde yapılabilir: 10=6+4 ve 10=5+5. Yani, küpler için seçenekler mümkündür:
(6 birinci ve 4 ikinci)
(4'ü birinci, 6'sı ikinci)
(birincisinde 5 ve ikincisinde 5)
Toplamda 3 seçenek. İstenen olasılık: 3/36=1/12=0.08
Cevap: 0.08

Diğer B6 sorunları türleri, aşağıdaki "Nasıl Çözülür" makalelerinden birinde tartışılacaktır.

olasılık 0 ile 1 arasında, rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını yansıtan bir sayıdır, burada 0, olayın meydana gelme olasılığının tamamen yokluğudur ve 1, söz konusu olayın kesinlikle gerçekleşeceği anlamına gelir.

Bir E olayının olasılığı ile 1 arasında bir sayıdır.
Birbirini dışlayan olayların olasılıklarının toplamı 1'dir.

ampirik olasılık- Geçmiş verilerin analizinden çıkarılan, geçmişteki olayın göreceli sıklığı olarak hesaplanan olasılık.

Çok nadir olayların olasılığı ampirik olarak hesaplanamaz.

öznel olasılık- tarihsel verilere bakılmaksızın, olayın kişisel öznel değerlendirmesine dayanan olasılık. Hisse senedi alıp satma kararı veren yatırımcılar genellikle subjektif olasılık temelinde hareket ederler.

ön olasılık -

Olasılık kavramı aracılığıyla bir olayın meydana gelmesinden 1'i… (oranlar). Bir olayın meydana gelme olasılığı, olasılık cinsinden şu şekilde ifade edilir: P/(1-P).

Örneğin, bir olayın olasılığı 0,5 ise, o olayın olasılığı 2'de 1'dir, çünkü 0,5/(1-0.5).

Olayın gerçekleşmeme olasılığı (1-P)/P formülü ile hesaplanır.

Tutarsız Olasılık- örneğin, A şirketinin hisselerinin fiyatında olası E olayının %85'i, B şirketinin hisselerinin fiyatında ise sadece %50'si dikkate alınır. Buna uyumsuz olasılık denir. Hollanda Bahis Teoremi'ne göre, eşleşmeyen olasılık, kâr için fırsatlar yaratır.

Koşulsuz Olasılık"Olayın olma olasılığı nedir?" sorusunun cevabı nedir?

Şartlı olasılık"B olayı gerçekleşirse A olayının olasılığı nedir?" sorusunun cevabıdır. Koşullu olasılık P(A|B) olarak gösterilir.

Bileşik olasılık A ve B olaylarının aynı anda olma olasılığıdır. P(AB) olarak gösterilir.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Olasılık toplama kuralı:

A olayının veya B olayının gerçekleşme olasılığı

P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

A ve B olayları birbirini dışlarsa, o zaman

P(A veya B) = P(A) + P(B)

Bağımsız etkinlikler- A ve B olayları aşağıdaki durumlarda bağımsızdır:

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Yani, olasılık değerinin bir olaydan diğerine sabit olduğu bir sonuç dizisidir.
Yazı tura atışı böyle bir olaya örnektir - sonraki her atışın sonucu bir öncekinin sonucuna bağlı değildir.

Bağımlı olaylar Bunlar, birinin olma olasılığının diğerinin olma olasılığına bağlı olduğu olaylardır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı:
A ve B olayları bağımsız ise,

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Toplam Olasılık Kuralı:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S ve S" birbirini dışlayan olaylardır

beklenen değer rastgele değişken, rastgele değişkenin olası sonuçlarının ortalamasıdır. X olayı için beklenti E(X) olarak gösterilir.

Belirli bir olasılığa sahip 5 adet birbirini dışlayan olay değerine sahip olduğumuzu varsayalım (örneğin, şirketin geliri böyle bir olasılıkla böyle bir miktardır). Beklenti, olasılıklarıyla çarpılan tüm sonuçların toplamıdır:

Bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin beklenen değerinden sapmalarının karelerinin beklenen değeridir:

s 2 = E( 2 ) (6)

Koşullu beklenen değer - S olayının zaten gerçekleşmiş olması koşuluyla, rastgele bir X değişkeninin beklentisi.

Pratik açıdan, olay olasılığı söz konusu olayın meydana geldiği gözlemlerin sayısının toplam gözlem sayısına oranıdır. Yeterince fazla sayıda gözlem veya deney olması durumunda böyle bir yorum kabul edilebilir. Örneğin, sokakta tanıştığınız kişilerin yaklaşık yarısı kadınsa, sokakta karşılaştığınız kişinin kadın olma olasılığının 1/2 olduğunu söyleyebilirsiniz. Başka bir deyişle, rastgele bir deneyin uzun bir dizi bağımsız tekrarında meydana gelme sıklığı, bir olayın olasılığının bir tahmini olarak hizmet edebilir.

matematikte olasılık

Modern matematiksel yaklaşımda, klasik (yani kuantum değil) olasılık Kolmogorov'un aksiyomatiği tarafından verilir. Olasılık bir ölçüdür P, sette ayarlanan X, olasılık uzayı denir. Bu ölçü aşağıdaki özelliklere sahip olmalıdır:

Bu koşullardan olasılık ölçüsünün P ayrıca mülkü var toplanabilirlik: eğer ayarlarsa A 1 ve A 2 kesişmez, o zaman . Kanıtlamak için her şeyi koymalısın A 3 , A 4 , … boş kümeye eşittir ve sayılabilir toplamsallık özelliğini uygular.

Olasılık ölçüsü, kümenin tüm alt kümeleri için tanımlanmayabilir. X. Kümenin bazı alt kümelerinden oluşan sigma cebiri üzerinde tanımlamak yeterlidir. X. Bu durumda rastgele olaylar uzayın ölçülebilir alt kümeleri olarak tanımlanır. X, yani sigma cebirinin öğeleri olarak.

olasılık duygusu

Bazı olası olguların fiilen meydana gelmesinin nedenlerinin karşıt nedenlere ağır bastığını bulduğumuzda, bu gerçeği dikkate alırız. muhtemel, aksi durumda - inanılmaz. Pozitif bazların negatif olanlar üzerindeki bu baskınlığı ve bunun tersi, belirsiz bir dereceler kümesini temsil edebilir, bunun sonucu olarak olasılık(ve olasılıksızlık) olur daha fazla veya az .

Karmaşık tekil gerçekler, olasılık derecelerinin tam olarak hesaplanmasına izin vermez, ancak burada bile bazı büyük alt bölümler oluşturmak önemlidir. Dolayısıyla, örneğin hukuk alanında, tanık ifadesine dayalı olarak yargılamaya konu olan kişisel bir olgu tespit edildiğinde, her zaman kesin olarak söylemek gerekirse, yalnızca olası olarak kalır ve bu olasılığın ne kadar önemli olduğunu bilmek gerekir; Roma hukukunda burada dörtlü bir bölünme kabul edildi: deneme süresi(olasılığın pratikte özgünlük), Daha ileri - probatio eksi plena, o zamanlar - probatio semiplena majör ve sonunda probatio semiplena minör .

Durumun olasılığı sorusuna ek olarak, hem hukuk alanında hem de ahlak alanında (belirli bir etik bakış açısıyla), belirli bir olgunun ne kadar olası olduğu sorusu ortaya çıkabilir. genel hukuka aykırıdır. Talmud'un dini fıkhında ana güdü olarak hizmet eden bu soru, Roma Katolik ahlaki teolojisinde (özellikle 16. yüzyılın sonundan itibaren) çok karmaşık sistematik yapılara ve dogmatik ve polemik muazzam bir literatüre yol açtı (bkz. ).

Olasılık kavramı, yalnızca belirli homojen serilerin parçası olan gerçeklere uygulanmasında belirli bir sayısal ifadeye izin verir. Yani (en basit örnekte), biri art arda yüz kez madeni para attığında, burada iki özel veya daha küçükten oluşan bir genel veya büyük seri (bir madeni paranın tüm düşüşlerinin toplamı) buluruz. durum sayısal olarak eşit, diziler ("kartal" düşer ve düşen "kuyruklar"); Madeni paranın bu sefer tura gelme olasılığı, yani genel satırın bu yeni üyesinin iki küçük satırdan birine ait olma olasılığı, bu küçük sıra ile büyük olan arasındaki sayısal oranı ifade eden bir kesre eşittir, yani 1/2, yani aynı olasılık iki özel seriden birine veya diğerine aittir. Daha az basit örneklerde, sorunun verilerinden doğrudan sonuç çıkarılamaz, ancak önceden tümevarım gerektirir. Örneğin, sorulur: Belirli bir yenidoğanın 80 yıla kadar yaşama olasılığı nedir? Burada, benzer koşullarda doğan ve farklı yaşlarda ölen bilinen sayıda insandan oluşan genel veya büyük bir seri olmalıdır (bu sayı, rastgele sapmaları ortadan kaldıracak kadar büyük ve serinin homojenliğini koruyacak kadar küçük olmalıdır, çünkü örneğin, St. Petersburg'da varlıklı bir kültürel ailede doğan bir kişi, şehrin milyonluk nüfusunun tamamı, önemli bir kısmı erken ölebilecek çeşitli gruplardan insanlardan oluşuyor - askerler, gazeteciler , tehlikeli mesleklerde çalışanlar - gerçek bir olasılık tanımı için fazla heterojen bir grubu temsil eder); bu genel dizi on bin insan hayatından oluşsun; şu ya da bu yaşa kadar yaşayanların sayısını temsil eden daha küçük satırlar içerir; bu küçük sıralardan biri 80 yaşına kadar yaşayanların sayısını temsil ediyor. Ancak bu küçük serinin (diğerlerinin yanı sıra) boyutunu belirlemek imkansızdır. Önsel; bu, istatistikler aracılığıyla tamamen tümevarımsal bir şekilde yapılır. İstatistiksel çalışmaların, orta sınıftaki 10.000 Petersburgludan sadece 45'inin 80 yaşına kadar hayatta kaldığını ortaya koyduğunu varsayalım; dolayısıyla bu küçük sıra büyük olanla 45 ila 10.000 arasında ilişkilidir ve belirli bir kişinin bu küçük sıraya ait olma, yani 80 yaşına kadar yaşama olasılığı 0,0045'in bir kesri olarak ifade edilir. Olasılığın matematiksel bir bakış açısıyla incelenmesi, özel bir disiplin olan olasılık teorisini oluşturur.

Ayrıca bakınız

notlar

Edebiyat

Wikimedia Vakfı. 2010 .

zıt anlamlı kelimeler:

Diğer sözlüklerde "Olasılık" ın ne olduğunu görün:

Genel bilimsel ve felsefi. sabit gözlem koşulları altında kitlesel rastgele olayların meydana gelme olasılığının nicel derecesini gösteren ve göreceli frekanslarının kararlılığını karakterize eden bir kategori. Mantıkta, anlamsal derece ... ... Felsefi Ansiklopedi

OLASILIK, bu olayın olma olasılığını temsil eden, sıfırdan bire kadar (dahil) aralığında bir sayı. Bir olayın olasılığı, bir olayın meydana gelme olasılığının toplam olası olasılık sayısına oranı olarak tanımlanır ... ... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Her ihtimalde .. Rusça eş anlamlılar ve anlam bakımından benzer ifadeler sözlüğü. altında. ed. N. Abramova, M.: Rusça sözlükler, 1999. olasılık, olasılık, olasılık, şans, nesnel olasılık, maza, kabul edilebilirlik, risk. Karınca. imkansızlık... ... eşanlamlı sözlük

olasılık- Bir olayın meydana gelebileceğinin bir ölçüsü. Not Olasılığın matematiksel tanımı "rastgele bir olayla ilgili 0 ile 1 arasında gerçek bir sayı" şeklindedir. Sayı, bir dizi gözlemdeki nispi frekansı yansıtabilir ... ... Teknik Çevirmenin El Kitabı

olasılık- "herhangi bir olayın belirli özel koşullarda sınırsız sayıda tekrarlanabilen olasılık derecesinin matematiksel, sayısal özelliği." Bu klasikten yola çıkarak… … Ekonomik ve Matematiksel Sözlük

- (olasılık) Bir olayın veya belirli bir sonucun meydana gelme olasılığı. 0'dan 1'e kadar bölümleri olan bir ölçek olarak temsil edilebilir. Bir olayın olasılığı sıfırsa, gerçekleşmesi imkansızdır. 1'e eşit bir olasılıkla, başlangıcı ... İş terimleri sözlüğü

Matematikteki KULLANIM ödevlerinde, toplama kuralını, olasılıkların çarpımını uygulamanız ve ortak ve uyumsuz olayları ayırt etmeniz gereken daha karmaşık olasılık problemleri de vardır (Bölüm 1'de düşündüğümüzden).

Yani teori.

Ortak ve ortak olmayan etkinlikler

Olaylardan birinin meydana gelmesi, diğerlerinin meydana gelmesini dışlıyorsa, olayların bağdaşmadığı söylenir. Yani, yalnızca belirli bir olay veya başka bir olay meydana gelebilir.

Örneğin, bir zar atarak, çift sayıda puan ve tek sayıda puan gibi olayları ayırt edebilirsiniz. Bu olaylar uyumsuz.

Olaylardan birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelmesini engellemiyorsa, olaylara ortak denir.

Örneğin, bir zar atarken, tek sayıda puanın ortaya çıkması ve üçün katı olan puanların kaybı gibi olayları ayırt edebilirsiniz. Üçü yuvarlandığında her iki olay da gerçekleşir.

Olayların toplamı

Birkaç olayın toplamı (veya birleşimi), bu olaylardan en az birinin meydana gelmesinden oluşan bir olaydır.

nerede iki ayrık olayın toplamı bu olayların olasılıklarının toplamı:

Örneğin, bir atışta bir zarda 5 veya 6 puan alma olasılığı, her iki olayın da (5 düşürme, 6 düşürme) uyumsuz olması ve bir veya ikinci olayın olasılığı aşağıdaki gibi hesaplandığından olacaktır:

Olasılık iki ortak olayın toplamı ortak oluşumları dikkate alınmadan bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir:

Örneğin, bir alışveriş merkezinde iki özdeş otomat kahve satıyor. Gün sonunda makinenin kahvesinin bitme olasılığı 0,3'tür. Her iki makinede de kahvenin bitme olasılığı 0.12'dir. Günün sonunda kahve makinelerinden en az birinde (yani, birinde veya diğerinde veya aynı anda her ikisinde) bitme olasılığını bulalım.

Birinci olayın "kahve birinci makinede bitecek" olasılığı ile ikinci olayın "kahve ikinci makinede bitecek" koşulunun olasılığı 0,3'e eşittir. Etkinlikler işbirlikçidir.

İlk iki olayın ortak gerçekleşme olasılığı duruma göre 0,12'ye eşittir.

Bu, günün sonunda makinelerden en az birinde kahvenin bitme olasılığı anlamına gelir.

Bağımlı ve bağımsız olaylar

A ve B rastgele iki olaydan birinin meydana gelmesi, diğerinin meydana gelme olasılığını değiştirmiyorsa, bağımsız olarak adlandırılır. Aksi takdirde, A ve B olaylarına bağımlı denir.

Örneğin, iki zar aynı anda atıldığında, bunlardan biri diyelim 1, diğeri 5 bağımsız olaylardır.

Olasılıkların çarpımı

Birkaç olayın bir ürünü (veya kesişimi), tüm bu olayların ortak oluşumundan oluşan bir olaydır.

iki tane varsa bağımsız olaylar Sırasıyla P(A) ve P(B) olasılıklarıyla A ve B, o zaman A ve B olaylarının gerçekleşme olasılığı aynı anda olasılıkların ürününe eşittir:

Örneğin, arka arkaya iki kez bir zarda altı kaybıyla ilgileniyoruz. Her iki olay da bağımsızdır ve her birinin ayrı ayrı meydana gelme olasılığı . Bu olayların her ikisinin de meydana gelme olasılığı, yukarıdaki formül kullanılarak hesaplanacaktır: .

Konuyu çözmek için çeşitli görevlere bakın.