Bir koninin içine yazılmış bir küre. Yazılı ve sınırlı koniler

Beğenmek Paylaşmak 885 Görüntüleme

Geometri 11. sınıf konu anlatımı. Küre. Belediye Eğitim Kurumu Lisesi No. 18'in matematik öğretmeni I.V. Sunumu 11-4. sınıf öğrencisi Katerina Svintsova yaptı. İçindekiler:. 2. içindekiler 3. giriş 13. kapsam tanımları

Sunumu İndir

Küre

SON - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

İlgili sunum yok.

Sunum Metni

Küre) Kürenin çeşitli tanımları vardır: 1. Kapalı bir yüzey. 2. Kapsam, bir şeyin dağılımının sınırları. (Örneğin yer çekiminin etki alanı). 3. Ortam, çevre, sosyal çevre. (Örneğin hizmet sektörü)

Bu noktaya kürenin merkezi (O noktası) adı verilir ve bu mesafeye kürenin yarıçapı (Latince R) denir. Bkz. 1 Bir kürenin iki noktasını birleştiren ve merkezinden geçen doğru parçasına kürenin çapı denir. Küre, belirli bir noktadan belirli bir mesafede bulunan uzaydaki tüm noktalardan oluşan bir yüzeydir. Pirinç. 1

Bir yarım dairenin bir çap etrafında döndürülmesiyle bir küre elde edilebileceğini unutmayın. Bkz. 2 Uzayın kürenin içinde bulunan kısmına top denir. Bkz. 3 Şek. 2 Kürenin merkezi, yarıçapı ve çapına topun merkezi, çapı ve yarıçapı da denir. Pirinç. 3

Tıpkı planimetrinin bir düzlem üzerinde bulunan geometrik görüntüleri incelemesi gibi, bir küre üzerinde yer alan geometrik görüntüleri inceleyen bir matematik disiplini.

Bir küre, kesitinde belli bir daire verir; İki büyük daire bir küre üzerinde kesiştiğinde dört küresel bir köşegen oluştururlar. Şekil 4'teki gibi. Pirinç. 4

Bir çift halinde kesişen taban tabana zıt noktalar, küre üzerinde sekiz küresel üçgen oluşturur. pirinç. 5 Şek. 5

Bir üçgende (Eulerian), her bir kenar diğer ikisinin toplamından küçük ve farkından büyüktür; tüm tarafların toplamı her zaman 2P'den küçüktür. Küresel bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 3P'den küçük ve P'den büyüktür. s'nin küresel bir üçgenin açılarının toplamı olduğu s-P=E farkına küresel fazlalık denir.

Tamamen iki sayı belirtilerek belirlenir - bu sayılar koordinatlardır. Küreye koordinatların eklenmesi, benzer geometri yöntemleri kullanılarak küresel şekillerin incelenmesine olanak tanır. Yani iki denklem

Küre üzerinde belirli bir çizgi belirleyin. Bu çizginin M1 ve M2 yayının uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır. Burada t1 ve t2, M1M2 yayının M1 ve M2 uçlarına karşılık gelen t parametresinin değeridir. İncirde. 6 Şek. 6

Küresel üçgenlerin açıları ve kenarları arasındaki ilişkileri inceleyen matematik disiplini. A, B, C açıları a, b, c olsun; küresel üçgen ABC'nin karşıt kenarları. Küresel bir üçgenin açıları ve kenarları aşağıdaki temel formüllerle ilişkilidir: sin a / sin A=sin b / sin. B=sin c /sin C, cos a =cos b cos c + sin b sin c cos A, sin a cos B=cos b sin c – sin b cos c cos A, Sin A cos b=cos B sin C + günah B cos C cos a;

Karşılık gelen merkezi açılarla ölçülürler, bu kenarların uzunlukları sırasıyla aR, bR, cR'ye eşittir; burada R, kürenin yarıçapıdır. Açıların ve kenarların tanımlarını dairesel permütasyon kuralına göre değiştirerek, belirtilenlere benzer diğer küresel trigonometri formüllerini yazabilirsiniz. Bu formüller, küresel bir üçgenin diğer üç elemanını belirlemenizi (üçgeni çözmenizi) sağlar. küresel bir üçgenin herhangi üç elemanı.

R yarıçaplı ve merkezi C olan bir kürenin denklemini (x0;y0;z0) türetelim. (Şekil 7) Rastgele bir M (x;y;z) noktasından c noktasına olan mesafe şu formülle hesaplanır: M noktası belirli bir küre üzerinde yer alıyorsa, o zaman MC=R veya MC2=R2, yani. M noktasının koordinatları (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 denklemini sağlar (1) M (x; y; z) noktası belirli bir düz üzerinde yer almıyorsa küre ise MC2, R2'ye eşit değildir, yani. M noktasının koordinatları denklem (1)'i karşılamamaktadır. Pirinç. 7

Koordinat sisteminde, yarıçapı R olan ve merkezi C (x0; y0; z0) olan bir kürenin denklemi (x – x0)2 + (y – y0)2 + (z – z0)2 = R2 biçimindedir.

Yüzeyleri

Merkezinden a düzlemine olan mesafe d harfidir. Bir koordinat sistemi tanıtalım: Oksi düzlemi a düzlemiyle çakışır ve kürenin C merkezi Oz pozitif yarı ekseni üzerinde yer alır. Bu koordinat sisteminde C noktasının koordinatları (0; 0; d) olduğundan kürenin denklemi x2 + y2 + (z – d)2 = R2'dir (1) Ve a düzlemi Oksi'nin koordinatlarıyla çakışmaktadır. düzlemdir ve dolayısıyla denkleminin görünümü z = 0'dır.(2)(nedenini açıklayın)

M (x; y; z) noktaları (1) ve (2) denklemlerini karşılıyorsa, M noktası hem a düzleminde hem de küre üzerinde yer alır, yani. Bir düzlemin ve bir kürenin bir noktası için ortaktır. Bu iki denklem (1) ve (2)'den oluşan sistemin çözümü yoksa, küre ile düzlemin ortak noktaları yoktur. Böylece, kürenin ve düzlemin göreceli konumu sorunu, Z = 0 X2 + y2 + (z – d)2 = R2 denklem sisteminin incelenmesine gelir. İkinci denklemde z = 0'ı yerine koyarsak, X2 + elde ederiz. y2 = R2 – d2 (3) Olası üç durumu ele alalım.

Merkezi Oxy düzleminin She noktasında olan, yarıçapı r = R2 – d2'nin karekökü olan bir dairenin denklemidir. Bu dairenin herhangi bir M(x; y; 0) noktasının koordinatları hem düzlem denklemini hem de küre denklemini sağlar; bu çemberin tüm noktaları düzlemin ve kürenin ortak noktalarıdır. Şekil (8) Dolayısıyla bu durumda küre ve düzlem bir daire boyunca kesişir. Yani, eğer kürenin merkezinden düzleme olan uzaklık kürenin yarıçapından küçükse, o zaman kürenin kesiti olur. uçağın yanında bir daire var. Şekil(8)

Yalnızca x = 0, y = 0 sayıları karşılanır. Sonuç olarak, yalnızca O (0; 0; 0) noktasının koordinatları her iki denklemi de sağlar; O kürenin ve düzlemin tek ortak noktasıdır. Şekil (9) Yani, eğer kürenin merkezinden düzleme olan mesafe kürenin yarıçapına eşitse, o zaman küre ve düzlemin yalnızca bir ortak noktası vardır. Pirinç. (9)

Herhangi bir noktanın koordinatları uymamaktadır. Sonuç olarak, eğer kürenin merkezinden düzleme olan mesafe kürenin yarıçapından büyükse, toosfer ve düzlemin ortak noktaları yoktur. Pirinç. (10) Şek. (10)

Küre ile tek ortak noktası olan düzleme küreye teğet düzlem, ortak noktalarına da düzlem ile küre arasındaki teğet nokta adı verilir.

Küre ile düzlem arasındaki temas noktasına çizilen kürenin yarıçapı teğet düzleme diktir

A noktasında O merkezli bir küreye teğet olan bir düzlem. Kanıtlayın: OA bir Kanıta diktir: Yöntemi çelişkili olarak ele alalım. O zaman OA yarıçapı düzleme eğimlidir ve dolayısıyla kürenin merkezinden düzleme olan mesafe kürenin yarıçapından daha azdır. Bu nedenle düzlem ve küre bir daire boyunca kesişir. Ancak bu durumla çelişiyor, yani. Küre ve düzlemin tek bir ortak noktası vardır. Bu, OA yarıçapının düzleme dik olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı.

Teorem: Eğer yarıçap, kürenin üzerinde bulunan ucundan geçen bir düzleme dikse, bu düzlem küreye teğettir.

A noktasında O merkezli küreye teğet bir düzlem. Kanıtlayın: OA bir İspat'a diktir: Teoremin koşullarından, verilen yarıçapın kürenin merkezinden verilen düzleme çizilen bir dik olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla kürenin merkezinden düzleme olan uzaklık kürenin yarıçapına eşit olduğundan küre ile düzlemin tek bir ortak noktası vardır. Bu, bu düzlemin küreye teğet olduğu anlamına gelir. Teorem kanıtlandı

Eğer küre tüm yüzlerine değiyorsa, bir çokyüzlünün bir küre (top) etrafında çevrelendiği söylenir. Yüzün düzlemi küreye teğet ise ve temas noktası yüze aitse, kürenin bir çokgenin yüzüne değdiği söylenir. Bu durumda kürenin çokyüzlüye yazılı olduğu söylenir.

Bir küre etrafında tanımlanan çokyüzlülerin yüzey alanlarının dizileri, her yüzün en büyük boyutu sıfıra meyillidir. Yarıçaplı bir kürenin alanı için formül R: S = 4ПR2.

Dümdüz. Düzlem, küreyi, merkezi O ve yarıçapı R olan bir L çemberi boyunca keser. Kürenin ve a çizgisinin (varsa) tüm ortak noktalarının a düzleminde ve dolayısıyla L çemberi üzerinde yer aldığı açıktır. olası:

A noktasından çizilen teğet parçalar şu özelliklere sahiptir: Bir noktadan çizilen bir küreye teğet olan parçalar eşittir ve bu noktadan ve kürenin merkezinden geçen düz bir çizgi ile eşit açılar yapar.

Silindirik yüzey Bir küre, kendisini oluşturan tüm bileşenlere temas ediyorsa, silindirik bir yüzeye yazılı olduğu söylenir. Şunu kanıtlayalım: a düzlemine ve silindirik yüzeye teğet bir küre vardır.

OH, a düzlemine diktir ve OH ışınıyla S küresinin kesişme noktasını A harfiyle belirtiriz. (Şekil 11) A ve H noktası çakışırsa, A noktasından geçen, küreye paralel düz bir çizgi çizeriz. jeneratörler ve B harfi ile düzlem a ile kesişme noktasını belirtin. AB vektörlerinin paralel transferi ile S küresi, O' merkezi OO1 düz çizgisi üzerinde yer alan r yarıçaplı bir S' küresine dönüşür (Şekil 12), böylece bu küre silindirik yüzeye temas eder. O' ile a düzlemi arasındaki mesafe O'B = OA'ya eşittir (nedenini açıklayın), yani. yarıçapa eşit r. Sonuç olarak, S' küresi a düzlemine temas eder, yani. İstenilen ifadedir. Pirinç. 11 Şek. 12

YÜZEY Bir küre, tüm bileşenlerine temas ediyorsa, konik bir yüzeye yazıldığı söylenir. RA koninin üreteçlerinden biri olsun. RA ışını üzerinde bulunan B noktasında konik yüzeyin RA genatrisini kesen bir a düzlemini düşünelim. a düzlemine ve konik yüzeye teğet bir kürenin var olduğunu kendi başımıza kanıtlayalım. Bkz. 13 Şek. 13

SABCD piramidini düşünün. Kürenin (topun sınırı) ABCD düzlemine göre kesitinden elde edilen dairenin içinde yer alan ABCD tabanının çevresi P olsun. Bu dairenin yarıçapı r'dir<=1. Продолжим отрезки АВ, ВС, CDи DA соответственно за точки B, C, Dи А до пересечения с окружностью в точках В1, С1, D1 и А1 соответственно. По неравенству треугольника

R<=Р1, где Р1 – периметр четырехугольника А1В1С1D1..Периметр любого выпуклого многоугольника, вписанного в окружность, меньше длинны этой окружности, поэтому р1<2Пr<=2ПДлинна каждого из ребер SA, SB, SC, SDне превосходит 2. поэтому если L – сумма длин всех сторон пирамиды, тоL=SA + SB + SC + SD + P < 2 + 2 + 2 + 2 + P1 < 8 + 2П< 15

Bu yazıda stereometrideki dört problemi ele alacağız. Bir koni ve bir top olmak üzere bir gövde kombinasyonu verilmiştir. Tüm görevlerde bir koniden bahsediyoruz. Bu cisimlerin göreceli konumlarının farklı şekillerde ifade edilebileceğine dikkat çekiyorum, örneğin: "Koni bir topun içine yazılmıştır" veya "Koninin etrafında bir küre tanımlanmıştır."

Öz aynıdır - basit (matematiksel olmayan) bir dille ifade etmek gerekirse, koni kürenin "içindedir", tabanının ve tepesinin dairesini içerir. Taslağa bakın:

Çözerken küre ve koninin hacim formüllerini bilmeniz gerekir.

Top hacmi:

Koni hacmi:

*Bu formülleri bilmeniz gerekiyor!

Koninin tabanının alanı bir dairedir, şuna eşittir:

Özel bir durumu ele alalım! Koninin yüksekliği tabanının yarıçapına eşitse, koninin hacminin formülü şöyle görünecektir:

Taslak:

Böyle bir koninin orta bölümünün dik açılı bir ikizkenar üçgen olacağı ve dik açıdan çizilen yüksekliğin de onu iki dik açılı ikizkenar üçgene böleceği açıktır:

Jeneratör kavramını hatırlayalım, genellikle koni problemlerinde kullanılır ve aşağıdaki görevlerde de kullanılacaktır.

Biçimlendirici koni, koninin tepesini tabanının noktasına bağlayan bir bölümdür. Önceki çizimde harfle belirtilmiştir. ben .

Basit bir sonuç ortaya çıkıyor: Koninin sonsuz sayıda üreteci var ve hepsi eşit.

Bu arada, blogda zaten toplarla ilgili birkaç makale var, onlara "" ve "" bakabilirsiniz.

Şimdi görevlere bakalım:

245351. Bir topun içine bir koni yazılmıştır. Koninin tabanının yarıçapı topun yarıçapına eşittir. Kürenin hacmi 28'dir. Koninin hacmini bulun.

Koninin tabanının yarıçapının topun yarıçapına eşit olduğu söylendiğinden, koninin tabanının topun orta bölümünün düzlemiyle çakıştığı anlaşılmaktadır.

Açıklık sağlamak için bu kombinasyonun bir taslağını çizelim (bu eksenel bir bölümdür):

Bir koninin yüksekliğinin tabanının yarıçapına (ve tabii ki topun yarıçapına) eşit olduğu söylenir. Küre ve koninin hacim formüllerini yazalım:

Topun hacmi bilindiğinden (28'e eşittir) yarıçapı hesaplayabiliriz. Daha doğrusu, yarıçapın kendisine değil küpüne ihtiyacımız var:

Böylece koninin hacmi şuna eşit olacaktır:

*Hesaplama yapmadan yapmak mümkündü. Bakın, iki formülü karşılaştırırsanız:

kürenin hacminin koninin hacminin 4 katı olduğu açıktır.

Bu, koninin hacminin 28/4 = 7 olacağı anlamına gelir.

Yani sorun pratik olarak sözlü olarak çözülür.

Cevap: 7

245352. Bir topun içine bir koni yazılmıştır. Koninin tabanının yarıçapı topun yarıçapına eşittir. Koninin hacmi 6'dır. Kürenin hacmini bulun.

Görev bir öncekinin tam tersi, çizim aynı.

Formüller:

Formüllerden topun hacminin koninin hacminin 4 katı olduğu açıktır:

Dolayısıyla gerekli hacim 24'tür.

Cevap: 24

316555. Bir koninin etrafında bir küre çevrelenmiştir (küre, koninin tabanının çevresini ve tepe noktasını içerir). Kürenin merkezi koninin tabanının merkezindedir. Koninin generatrisi eşittir. Kürenin yarıçapını bulun.

Burada durum farklı gibi görünüyor, ancak cisimler önceki problemlerde olduğu gibi tamamen aynı şekilde birbirlerine göre yerleştirilmişler - koni kürenin içine yazılmıştır, koninin tabanı kürenin merkezi bölümüyle çakışmaktadır.

Çizim aynı, yarıçapı, yarıçapa eşit yüksekliği ve generatrisi işaretleyelim:

Bir topun içine yazılmış bir koni (bir kürenin içine yazılmış koni) ile ilgili problemleri çözmek, bir veya daha fazla üçgenin dikkate alınmasına gelir.

Tepe noktası ve taban çevresi topun yüzeyinde, yani bir kürenin üzerinde bulunuyorsa, topun içine bir koni yazılıdır. Topun merkezi koninin ekseninde yer alır.

Bir topun içine yerleştirilmiş bir koniyle ilgili problemleri çözerken, cisimlerin bir kombinasyonunun koninin ekseninden ve topun merkezinden geçen bir düzlemle kesitini dikkate almak uygundur. Bölüm, içinde bir ikizkenar üçgenin yazılı olduğu büyük bir top çemberidir (yani yarıçapı topun yarıçapına eşit olan bir daire) - koninin eksenel bölümü. Bu üçgenin kenarları koninin oluşturucu kısımlarıdır, taban ise koninin çapıdır.

Jeneratörler arasındaki açı dar ise, çevrelenen dairenin merkezi üçgenin içinde yer alır (buna karşılık, koninin etrafında çevrelenen topun merkezi koninin içindedir).

Jeneratörler arasındaki açı doğruysa, dairenin merkezi üçgenin tabanının ortasında yer alır (topun merkezi, koninin tabanının merkezi ile çakışır).

Jeneratörler arasındaki açı genişse, dairenin merkezi üçgenin dışında yer alır (sınırlandırılmış topun merkezi koninin dışındadır).

Eğer problem tanımı çevrelenmiş topun merkezinin tam olarak nerede olduğunu söylemiyorsa, konumu için farklı seçeneklerin çözümü nasıl etkileyebileceğinin dikkate alınması tavsiye edilir.

Bir koni ve onun etrafında koninin ekseninden ve topun merkezinden geçen bir düzlemle çevrelenmiş bir top düşünün. Burada SO=H koninin yüksekliğidir, SB=l koninin generatrisidir, SO1=O1B=R topun yarıçapıdır, OB=r koninin taban yarıçapıdır, ∠OSB=α koninin yüksekliği ile generatrisi arasındaki açıdır.

SO1B üçgeni SB tabanlı ikizkenardır (SO1=O1B=R olduğundan). Bu, taban açılarının eşit olduğu anlamına gelir: ∠OSB=∠O1BS=α ve O1F ortanca, yükseklik ve açıortaydır. Dolayısıyla SF=1/2.

Bir topun içine yazılmış bir koniyle ilgili problemleri çözerken, SFO1 ve SOB dik üçgenlerini dikkate alabilirsiniz. Benzerdirler (S dar açısına göre). Üçgenlerin benzerliğinden

Bir dik üçgende SOB ∠OBS=90° - ∠OSB=90°-α. Pisagor teoremine göre

Bir dik üçgende O1OB ∠OBO1=90° - ∠O1BS=90° - α - α=90° - 2α.

Bir silindirin içine yazılı bir küre Bir kürenin tabanına ve yan yüzeyine (her bir generatrix'e dokunuyorsa) değiyorsa, bir silindirin içine yazılı olduğu söylenir. Bu durumda silindirin bir küre etrafında çevrelendiği söylenir. Silindirin yüksekliği tabanının çapına eşitse, silindirin içine bir küre yazılabilir. Merkezi, silindirin O 1 ve O 2 tabanlarının merkezlerini birleştiren segmentin ortası olan O noktası olacaktır. R küresinin yarıçapı, silindirin taban dairesinin yarıçapına eşit olacaktır.

Bir silindirin çevrelediği bir küre Bir silindirin taban daireleri kürenin üzerinde bulunuyorsa, bu silindire kürenin içinde yazılı olduğu söylenir. Bu durumda kürenin silindir etrafında çevrelendiği söylenir. Herhangi bir silindirin etrafında bir küre tanımlanabilir. Merkezi, silindirin O 1 ve O 2 tabanlarının merkezlerini birleştiren segmentin ortası olan O noktası olacaktır. R küresinin yarıçapı, h'nin silindirin yüksekliği, r'nin taban dairenin yarıçapı olduğu formülle hesaplanır.

Prizma içine yazılı silindir Bir silindirin tabanları silindirin tabanlarına yazılıysa prizmaya yazılı silindir denir. Bu durumda, prizmanın bir silindir etrafında çevrelendiği söylenir. Bir silindir, ancak ve ancak tabanına bir daire yazılabilirse prizmanın içine yazılabilir. Silindirin tabanının yarıçapı, prizmanın tabanına yazılan dairenin yarıçapına eşittir. Silindirin yüksekliği prizmanın yüksekliğine eşittir.

Bir prizma etrafında çevrelenmiş bir silindir Bir silindirin tabanları silindirin tabanları etrafında çevrelenmişse, bir silindirin bir prizma etrafında çevrelendiği söylenir. Bu durumda prizmanın bir silindirin içine yazıldığı söylenir. Tabanları etrafında daireler çizilebiliyorsa, bir prizmanın etrafında bir silindir de tanımlanabilir. Silindirin yüksekliği prizmanın yüksekliğine eşittir. prizmanın tabanı çevresinde tanımlanan dairenin yarıçapı. Silindirin tabanının yarıçapı

“Yazılı açı” - Verilen: __A. Materyalin tekrarı. İfadedeki hatayı bulun: Nasıl ifade edildiğini bilmek. Merkezi açının boyutu. Yazılı açının büyüklüğü. Sorun 1: Dış açının boyutunu tabandaki açıyla karşılaştırın. AOB ve ACB açıları nasıl benzer ve farklıdır? Şekil b)'ye göre. dış açının ölçüsünü bulunuz. Dikey çizgilerin inşası.

“Açıların ölçülmesi” - Dar, düz, geniş, düz açılar. Açıların ölçülmesi. Açı oluşturmak için iletki kullanılır. İletkiyi farklı şekilde takabilirsiniz. Sağ açı. Geniş açı. Açıları ölçmek için iletki kullanılır. Keskin köşe. Açılmış köşe. Saatin akrep ve yelkovanı hangi açıyı yapar?

“Yazılı Açı Teoremi” - Tepe noktası çemberin merkezinde olan açının adı nedir? Yazılı açı kavramı. Akorlar arasındaki açıyı bulun. Cevap. Çözüm. Yazılı açı teoremi. Üçgen. Çalışılan materyalin konsolidasyonu. Keskin köşe. Kendini kontrol et. Aralarındaki açıyı bulun. Doğru cevap. Öğrencilerin bilgilerinin güncellenmesi. Bir dairenin yarıçapı.

“Açı ve ölçümü” - Saatin akrep ve yelkovanı saat 5 yönünde geniş bir açı oluşturur. Açıların yapımı. Kareli kağıt üzerinde. Açılmış köşe. Geniş açı. Keskin köşe. Açıları ölçmek için iletki kullanılır. Dik açı yarım dönmüş açıdır. Açıların ölçülmesi. İletki kullanma. Açılar derece cinsinden ölçülür.

“Bir daire içine yazılmış bir açı” - Sonuçlar. Şekilde gösterilen yazılı açıları belirtiniz. Yazılı açı. Hangi açıya merkezi denir? Dersin Hedefleri. Tepe noktası çember üzerinde bulunan açı. Işın konumu vakaları. Bul onu. Yazılı bir açı, dayandığı yayın yarısıyla ölçülür. Şekilde gösterilen açılardan hangileri yazılıdır?