"Vektörlerin iç çarpımı" etiketli kayıtlar. Vektörlerin nokta çarpımı Vektörlerin 6 iç çarpımını test edin
Bu test, öğrencilerin bilgilerinin orta, genelleme veya son kontrolü sınıflarında kullanılabilir. Testin düzgün çalışması için düşük bir güvenlik seviyesi (servis-makro-güvenlik) ayarlamalısınız.
İndir:
Ön izleme:
Sunuların önizlemesini kullanmak için kendinize bir Google hesabı (hesabı) oluşturun ve giriş yapın: https://accounts.google.com
Slayt başlıkları:
Seçenek 1 Seçenek 2 PowerPoint MCOU "Pogorel ortaokulu" MM Koscheev'de testler oluşturmak için bir şablon kullandık
Test sonucu Doğru: 14 Hata: 0 İşaret: 5 Süre: 3 dak. 29 saniye hala düzelt
Seçenek 1 b) 360 ° a) 180 ° c) 246 ° d) 274 ° e) 454 °
Seçenek 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 e) 1
Seçenek 1 e) 5 d) 0 a) 7
Seçenek 1 b) künt e) kökenleri çakışmadığından mevcut değildir c) 0 ° d) akut a) düz
Seçenek 1 b) 10.5 e) hayır a) -10.5
Seçenek 1 a) -10.5 b) 10.5 e) hiçbir koşulda
Seçenek 1 e) 0 b) belirlemek imkansızdır a) -6 d) 4 c) 6
Seçenek 1 b) 28 e) belirlemek imkansız a) 70 d) -45.5 c) 91
Seçenek 1 9. Üçgenin iki kenarı 16 ve 5 ve aralarındaki açı 120 ° 'dir. Belirtilen aralıklardan hangisi üçüncü kenar uzunluğuna aittir? d) e) (19; 31] a) (0; 7] b) (7; 11] c) a) (0; 7] b) (7; 11] d)
Seçenek 1 13. ABC üçgeni ile çevrelenen dairenin yarıçapı 0,5'tir. B açısının sinüsünün AC tarafının uzunluğuna oranını bulun. e) 1 c) 1, 3 a) 0,5 d) 2
Seçenek 1 14. Bir ABC üçgeninde, BC ve AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla 5 ve 7'dir ve
Seçenek 2 c) 360 ° a) 180 ° b) 246 ° d) 274 ° e) 454 °
Seçenek 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4
Seçenek 2 a) 10 d) 17 e) 15
Seçenek 2 c) 0 ° 'ye eşittir e) kökenleri çakışmadığı için mevcut değildir c) kör d) akut a) düz
Seçenek 2 b) 10.5 e) hayır a) -10.5
Seçenek 2 a) - 10.5 e) hayır c) 10.5
Seçenek 2 d) 0 b) belirlemek imkansızdır a) -6 e) 4 c) 6
Seçenek 2 a) 70 e) belirlemek imkansız b) 28 d) -45.5 c) 91
Seçenek 2 9. Üçgenin iki kenarı 12 ve 7'dir ve aralarındaki açı 60 ° 'dir. Belirtilen aralıklardan hangisi üçüncü kenar uzunluğuna aittir? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7] b) c) e) (19; 31] c)
Seçenek 2 13. ABC üçgeni etrafında belirtilen dairenin yarıçapı 2'ye eşittir. B açısının sinüsünün AC tarafının uzunluğuna oranını bulun. a) 0.25 c) 1, 3 e) 1 d) 2
Seçenek 2 14. Bir ABC üçgeninde, AC ve AB kenarlarının uzunlukları sırasıyla 9 ve 7'dir ve
Testin anahtarları: “Vektörlerin nokta çarpımı. Üçgen teoremleri ”. Seçenek 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Repl. b c e b c a e b d a c c e d 2 seçenek 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a d Literatür L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Geometri, 9. Sınıf ders kitabı L.S. Atanasyan ve diğerleri M .: "Sınav" yayınevi 2013 - 128 s.
2. Her iki tarafı da 7 ile çarparak denklemi basitleştirin. 7y 2 -9y + 2 \u003d 0 elde ederiz. Vieta teoremine göre, ikinci dereceden denklem ax 2 + bx + c \u003d 0'ın köklerinin toplamı –b / a'dır. Anlamına geliyor:
3. Toplam 880 yolcu. Bunların% 35'i erkek, yani kadın ve çocuk% 100 -% 35 \u003d% 65. 880'in% 65'ini bulun. Sayının yüzdesini bulmak için, yüzdeyi ondalık sayıya dönüştürmeniz ve verilen sayıyla çarpmanız gerekir.
% 65 \u003d 0.65; 880'i 0,65 ile çarparsak 572 elde ederiz. Pek çok kadın ve çocuk ve bunların% 75'i kadın, 572'nin geri kalan% 25'i çocuk. Yine sayının yüzdesini buluyoruz. 572'nin% 25'i.% 25'i ondalık kesire dönüştürüyoruz (0.25 olacak) ve 572 ile çarpıyoruz. Şunları dikkate alıyoruz: 572 · 0.25 \u003d 143. Bunlar çocuklar. Kadınlar: 572-143 \u003d 429 .
Daha kısa mı?
% 25,% 100'ün çeyreğidir, bu nedenle şöyle düşünürüz: 572'yi 4'e bölün, 143 (4'e bölmek 0,25 ile çarpmaktan daha kolaydır) - bunlar çocuklar ve kadınların% 75'i dörtte üçü, bu nedenle 143'ü 3 ile çarpılır ve 429.
4. Koşullara göre eşitsizliği oluşturuyoruz:
11x + 3<5x-6; слагаемые с переменной х соберем в левой части неравенства, а свободные члены — в правой:
11x-5x<-6-3; приводим подобные слагаемые:
6 kat<-9; делим обе части неравенства на 6:
x<-1,5. Ответ: E).
5. 990 ° 2 · 360 ° + 270 ° olarak yazıyoruz. Sonra çünkü 990 °\u003d cos (2360 ° + 270 °) \u003d cos 270 ° \u003d 0.
6. En basit denklemi çözmek için formülü uygulayalım tg t \u003d a.
t \u003d arktan a + πn, nєZ. T \u003d 4x'e sahibiz.
7. Elimizde: aritmetik ilerlemenin ilk terimi bir 1 \u003d 25... Aritmetik ilerlemenin farkı d\u003d a 2 -a 1 \u003d 30-25 =5. İlkinin toplamını bulmak için formülü uygulayalım n aritmetik ilerlemenin üyeleri ve değerlerimizi ona ikame ederler bir 1 \u003d 25, d \u003d 5 ve n \u003d 22miktarın bulunması gerektiğinden 22 ilerlemenin üyeleri.
8. Bu ikinci dereceden fonksiyonun grafiği y \u003d x 2 -x-6 dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol görevi görür ve parabolün tepesi noktada O '(m; n)... Bu grafiğin en düşük noktası, bu nedenle en düşük değeri n fonksiyonun sahip olacağı x \u003d m \u003d -b / (2a) \u003d 1/2. Cevap: D).
9. İkizkenar üçgende kenarlar birbirine eşittir. Tabanı şu şekilde gösteriyoruz: x... O zaman her iki taraf da eşit olacak (x + 3)... Bir üçgenin çevresinin 15,6 cm, denklemi oluşturun:
x + (x + 3) + (x + 3) \u003d 15,6;
3x \u003d 9,6 → x \u003d 3.2 Üçgenin tabanıdır ve her bir kenar 3.2 + 3 \u003d olacaktır. 6,2 ... Cevap: üçgenin kenarları eşittir 6,2 cm; 6,2 cm ve 3,2 cm.
10. Sistemin ilk eşitsizliği ile her şey açıktır. İkinci eşitsizliği aralıklar yöntemiyle çözüyoruz. Bunu yapmak için, üç terimli karenin köklerini buluruz 4x 2 + 5x-6 ve onu doğrusal faktörlere genişletir.
11. Sağda ana logaritmik kimliğin yanında, 7 ... Derecelerin temellerini atlamak (7) eşitliğin sol ve sağ tarafında. Kalan: x 2 \u003d 1, buradan x \u003d ± 1. Cevap: C).
12. Eşitliğin her iki tarafını da kare yapalım. Derecenin logaritması ve ürünün logaritması için formülleri uygulayarak, sayının logaritmasına göre ikinci dereceden bir denklem elde ederiz. 5 Sebeple x... Değişkeni tanıtalım -deikinci dereceden denklemi şu şekilde çözüyoruz: -de ve değişkene geri dönün x... Değerleri bulun x ve cevapları analiz edin.
13. Görev: sistemi çözün. Karar vermeyeceğiz - bir kontrol yapacağız. Önerilen cevapları sistemin ikinci denklemi ile değiştirelim, çünkü daha basit: x + y \u003d 35... Önerilen tüm sistem çözümü çiftlerinden yalnızca cevap uygundur D).
8+27=35 ve 27+8=35 ... Bu çiftleri sistemin ilk denklemine koymaya değmez, ancak ikinci denkleme bir cevap daha gelirse, sistemin ilk eşitliğine bir ikame yapmanız gerekir.
14. İşlev kapsamı, bağımsız değişken değerleri kümesidir x, bunun için eşitliğin sağ tarafı mantıklı. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan bir sayıdan çıkarılabildiğinden, aşağıdaki koşul karşılanmalıdır: 6 + 2x≥02x≥-6 veya x≥-3. Kesrin paydası sıfırdan farklı olması gerektiğinden, o zaman şunu yazıyoruz: x ≠ 5... Tüm sayıları büyük veya eşit alabileceğiniz ortaya çıktı. -3 ama eşit değil 5 . Cevap: [-3; 5) U (5; + ∞).
15. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için, segmentin sonlarında ve bu segmente ait olan kritik noktalarda bu fonksiyonun değerlerini bulmanız ve ardından en büyük olanı seçmeniz gerekir. ve fonksiyonun elde edilen tüm değerlerinden en küçüğü.
16 ... Düzenli bir altıgen içine yazılmış bir daire düşünün ve yazılı bir dairenin yarıçapının nasıl ifade edildiğini hatırlayın. r normal bir altıgenin yanında ve... Yarıçapı, ardından altıgenin kenarını ve çevresini bulun.
17 ... Piramidin tüm yan kenarları tabana aynı açıda eğimli olduğu için piramidin tepesi bir noktaya doğru çıkıntı yapmaktadır. HAKKINDA - piramidin tabanında yatan dikdörtgenin köşegenlerinin kesişimi, çünkü nokta HAKKINDA piramidin tabanının tüm tepelerinden eşit uzaklıkta olmalıdır.
ABCD dikdörtgeninin çapraz AC değerini bulun. AC2 \u003d AD2 + CD2;
AC 2 \u003d 32 2 +24 2 \u003d 1024 + 576 \u003d 1600 → AC \u003d 40cm. OS \u003d 20cm. Δ MOS dikdörtgen ve ikizkenar olduğundan (/ OSM \u003d 45 °), MO \u003d OS \u003d 20cm. Gerekli değerleri değiştirerek piramidin hacmi için formülü uygulayalım.
18. Bir kürenin düzlem tarafından herhangi bir bölümü bir çemberdir.
O 1 noktasında ve OA yarıçapında ortalanmış bir daire OB bilyesinin yarıçapına dik olsun ve O 1 orta noktasından geçsin. Sonra dik açılı bir üçgende AO 1 O hipotenüs OA \u003d 10 cm (top yarıçapı), bacak OO 1 \u003d 5 cm. Pisagor teoremine göre О 1 А 2 \u003d ОА 2 -ОО 1 2. Dolayısıyla O 1 A 2 \u003d 10 2-5 2 \u003d 100-25 \u003d 75. Kesit alanı, dairemizin alanıdır, S \u003d πr 2 \u003d π ∙ O 1 A 2 \u003d 75π cm2 formülüyle buluyoruz.
19. İzin vermek bir 1ve bir 2 - vektörün gerekli koordinatları. Vektörler karşılıklı olarak dik olduğundan, iç çarpımları sıfırdır. Yazalım: 2a 1 + 7a 2 \u003d 0. 1'den 2'ye kadar ifade edelim. O zaman bir 1 \u003d -3,5a 2. Vektörlerin uzunlukları eşit olduğundan, eşitliğe sahibiz: bir 1 2 + bir 2 2 \u003d 2 2 +7 2... Bu eşitlikte 1 değerini değiştirin. Anladığımız: (3.5a 2) 2 + a 2 2 \u003d 4 + 49; sadeleştirin: 12.25a 2 2 + a 2 2 \u003d 53;
13.25a 2 2 \u003d 53, dolayısıyla 2 2 \u003d 53: 13.25 \u003d 4. İki değer ortaya çıkıyor bir 2 \u003d ± 2. Eğer bir 2 \u003d -2 ise, o zaman bir 1 \u003d -3,5 ∙ (-2) \u003d 7. 2 \u003d 2 ise, 1 \u003d -7 olur. Koordinatlar arandı (7; -2) veya (-7; 2) ... Cevap: İÇİNDE).
20. Kesirin paydasını basitleştirelim. Bunu yapmak için, parantezleri açıyoruz ve kök işaretinin altındaki kesirleri ortak bir paydaya getiriyoruz.
21. Parantez içindeki ifadeyi ortak bir paydaya getirelim. Bölme, bölenin tersiyle çarpılarak değiştirilir. İki ifade arasındaki farkın karesi ve iki ifadenin kareleri arasındaki farkın formüllerini uygularız. Kesri azaltalım.
22. Bu eşitsizlikler sistemini çözmek için her eşitsizliği ayrı ayrı çözmeniz ve iki eşitsizliğe genel bir çözüm bulmanız gerekir. Çözeriz 1 inci eşitsizlik. Tüm terimleri sola kaydırın, ortak faktörü parantezin dışına alın.
x 2 ∙ 4 x -4 x +1\u003e 0;
x 2 ∙ 4 x -4 x ∙ 4\u003e 0;
4 x (x 2-4)\u003e 0. Herhangi bir gösterge için üstel fonksiyon yalnızca pozitif değerler aldığından, 4 x\u003e 0, dolayısıyla x 2 -4\u003e 0.
(x-2) (x + 2)\u003e 0.
Çözeriz 2. eşitsizlik.
Sol ve sağ tarafları, taban 2 ile derece olarak temsil edin.
2 - x ≥2 3. Tabanı birden büyük olan üstel fonksiyon şu kadar arttığından Reşitsizlik işaretini koruyarak üsleri atlıyoruz.
X≥3 → x≤-3.
Genel bir çözüm buluyoruz.
Cevap: (-∞; -3].
23. Döküm formülüne göre kosinüs sinüs 3 kat... Benzer terimleri azalttıktan ve eşitsizliğin her iki tarafını da 2 , formun en basit eşitsizliğini elde ederiz: günah t\u003e a... Bu eşitsizliğin çözümünü şu formülle buluyoruz:
arcsin a + 2πn
24. Bu işlevi basitleştirelim. Vieta teoremine göre, kare trinomialin köklerini buluyoruz x 2 -x-6 (x 1 \u003d -2 , x 2 \u003d 3 ), kesirin paydasını doğrusal faktörlere genişletiriz (x-3) (x + 2) ve kesri şu şekilde iptal edin: (x-3)... Ters türevi bul H (x) sonuçta ortaya çıkan fonksiyon 1 / (x + 2).
25. Yani 126 oyuncu oynayacak 63 63 katılımcının ikinci turda kazanan olarak nitelendirileceği oyunlar. Toplamda 63 + 1 \u003d 64 katılımcı ikinci turda mücadele edecek. Onlar oynayacaklar 32 oyunlar, dolayısıyla oynayacak 32 kazanan daha 16 oyunlar. 16 kazanan oynayacak 8 oyun, 8 kazanan oynayacak 4 oyunlar. Dört kazanan oynayacak 2 oyunlar ve son olarak, iki kazananın oynaması gerekecek son Oyun... Maçları sayıyoruz: 63+32+16+8+4+2+1=126.
Seçenek 1.
Seçenek 2.
e) Bu açı keskin mi, düz mü yoksa geniş mi (cevabı doğrulayın)?
Seçenek 1.
1. Verilen noktalar A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
a) AB ve CD vektörlerinin koordinatlarını bulun.
b) AB ve CD vektörlerinin uzunluklarını bulun.
c) AB ve CD vektörlerinin iç çarpımını bulun.
d) AB ve CD vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.
e) Bu açı keskin mi, düz mü yoksa geniş mi (cevabı doğrulayın)?
f) CB ve DQ vektörleri x'in hangi değerinde diktir?
2. İkizkenar üçgen ABC'de, B açısı düzdür, AC \u003d 2√2, BD üçgenin medyanıdır. BD AC, BD BC, BD BD vektörlerinin nokta ürünlerini hesaplayın.
Seçenek 2.
1. Verilen noktalar M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
a) МР ve ОК vektörlerinin koordinatlarını bulun.
b) МР ve ОК vektörlerinin uzunluklarını bulun.
c) МР ve OK vektörlerinin iç çarpımını bulun.
d) МР ve OK vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.
e) Bu açı keskin mi, düz mü yoksa geniş mi (cevabı doğrulayın)?
f) RK ve MR vektörleri y'nin hangi değerinde diktir?
2. Eşkenar üçgende МНР НК - bisektör, МН \u003d 2. Vektörlerin skaler çarpımlarını hesaplayın НК МР, НК НР, РМ РМ
Seçenek 1.
1. Verilen noktalar A (1; 3), B (4; 7), C (-1; -1), D (7; 5), Q (x; 3)
a) AB ve CD vektörlerinin koordinatlarını bulun.
b) AB ve CD vektörlerinin uzunluklarını bulun.
c) AB ve CD vektörlerinin iç çarpımını bulun.
d) AB ve CD vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.
e) Bu açı keskin mi, düz mü yoksa geniş mi (cevabı doğrulayın)?
f) CB ve DQ vektörleri x'in hangi değerinde diktir?
2. İkizkenar üçgen ABC'de, B açısı düzdür, AC \u003d 2√2, BD üçgenin medyanıdır. BD AC, BD BC, BD BD vektörlerinin nokta ürünlerini hesaplayın.
Seçenek 2.
1. Verilen noktalar M (2; 3), P (-2; 0), O (0; 0), K (-5; -12), R (4; y).
a) МР ve ОК vektörlerinin koordinatlarını bulun.
b) МР ve ОК vektörlerinin uzunluklarını bulun.
c) МР ve OK vektörlerinin iç çarpımını bulun.
d) МР ve OK vektörleri arasındaki açının kosinüsünü bulun.
e) Bu açı keskin mi, düz mü yoksa geniş mi (cevabı doğrulayın)?
f) RK ve MR vektörleri y'nin hangi değerinde diktir?
2. Eşkenar üçgende МНР НК - bisektör, МН \u003d 2. Vektörlerin skaler çarpımlarını hesaplayın НК МР, НК НР, РМ РМ
Nokta ürün a b sıfır olmayan iki vektör a ve b bu vektörlerin uzunluklarının aralarındaki açının kosinüsü ile çarpımına eşit bir sayıdır. Bu vektörlerden en az biri sıfıra eşitse, skaler ürün sıfıra eşittir. Böylece, tanım gereği elimizde
vektörler arasındaki açı a ve b .
Vektörlerin nokta çarpımı a , b ayrıca sembollerle gösterilir ab .
İç çarpımın işareti değeriyle belirlenir:
eğer 0 
sonra a
b
0,
eğer 
, sonra a
b
0.
İç çarpım yalnızca iki vektör için tanımlanmıştır.
Koordinat formundaki vektörler üzerinde işlemler
Koordinat sistemine girelim Oohverilen vektörler a = (x 1 ; y 1) = x 1 ben + y 1 j ve b = (x 2 ; y 2) = x 2 ben + y 2 j .
1. İki (veya daha fazla) vektörün toplamının her bir koordinatı, vektör zirvelerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamına eşittir, yani a + b = = (x 1 + x 2 ; y 1 + y 2).
2. İki vektör arasındaki farkın her bir koordinatı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının farkına eşittir, yani. a – b = (x 1 – x 2 ; y 1 – y 2).
3. Bir vektörün ve bir coordin sayısının çarpımının her bir koordinatı, bu vektörün karşılık gelen koordinatının ile çarpımına eşittir, yani ve = ( x 1 ; -de 1).
4. İki vektörün skaler çarpımı, bu vektörlerin karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir, yani. a b = x 1 x 2 + + y 1 y 2 .
Sonuç. Vektör uzunluğu ve = (x; y) koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküne eşittir, yani.
=
(5)
Örnek 4.
Verilen vektörler 
b
= 3ben
– j
.
Gereklidir:
1. Bul 
2. Vektörlerin iç çarpımını bulun itibaren , d .
3. Vektörün uzunluğunu bulun itibaren .
Karar
1. 3 özelliğine göre, 2 vektörlerinin koordinatlarını buluruz ve , –ve , 3b , 2b : 2ve = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –ve = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).
2, 1 özellikleriyle, vektörlerin koordinatlarını buluruz itibaren , d : itibaren = 2a – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –a + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).
2. Mülke göre 4 cD = –13 8 + 9 (–5) = –104 – 45 = –149.
3. Mülkiyet 4'ün sonucuna göre |
itibaren
|
=
=
.
Test 3 . Vektör koordinatlarını belirle ve + b , Eğer bir ve = (–3; 4), b = = (5; –2):
Test 4. Vektör koordinatlarını belirle ve – b , Eğer bir ve = (2; –1), b = = (3; –4):
Test 5 . Vektör 3'ün koordinatlarını bulun ve , Eğer bir ve = (2; –1):
Test 6 . Nokta ürünü bulun a , b vektörler ve = (1; –4), b = (–2; 3):
Test 7 . Bir vektörün uzunluğunu bulun ve = (–12; 5):
3) 
;
Test görevlerine cevaplar
1.3. Uzayda analitik geometrinin unsurları
Uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemi, aynı noktada kesişen (başlangıç \u200b\u200b0) ve bir yöne sahip karşılıklı olarak dikey üç koordinat ekseninden ve her eksen boyunca bir ölçek biriminden oluşur (Şekil 17).
Figür 17
Nokta pozisyonu M düzlemde benzersiz bir şekilde üç sayı ile belirlenir - koordinatları M(x t ; -de t ; z t), nerede x t - apsis, -de t - ordinat, z t - başvur.
Her biri bir noktadan bir mesafe verir M bu düzlemin hangi tarafında bulunduğunu hesaba katan bir işarete sahip koordinat düzlemlerinden birine: üçüncü eksenin pozitif veya negatif yönünde alınıp alınmadığı.
Üç koordinat düzlemi, alanı 8 parçaya (oktanda) böler.
İki nokta arasındaki mesafe Bir(x VE ; -de VE ; z VE) ve B(x İÇİNDE ; -de İÇİNDE ; z İÇİNDE) formülle hesaplanır
Verilen puanlar Bir(x 1 ;
-de 1 ;
z 1) ve B(x 2 ;
-de 2 ;
z 2). Sonra noktanın koordinatları FROM(x;
-de;
z) segmenti bölme 
ile ilgili olarak, aşağıdaki formüllerle ifade edilir:
örnek 1 . Mesafe bul AB, Eğer bir VE(3; 2; –10) ve İÇİNDE(–1; 4; –5).
Karar
Mesafe AB formülle hesaplandı
Koordinatları üç değişkenli denklemi sağlayan tüm noktaların kümesi belirli bir yüzey oluşturur.
Koordinatları iki denklemi karşılayan nokta kümesi, belirli bir çizgiyi oluşturur - karşılık gelen iki yüzeyin kesişme çizgisi.
Birinci derecenin herhangi bir denklemi bir düzlemi temsil eder ve tersine, herhangi bir düzlem birinci dereceden denklemlerle temsil edilebilir.
Seçenekler Bir, B, C düzleme dik olan normal vektörün koordinatlarıdır, yani. n = (Bir; B; C).
Eksenlerde kesilen segmentlerdeki düzlemin denklemi: a - eksen boyunca ОX,
b - eksen boyunca OY,
itibaren - eksen boyunca ОZ:
İki uçak verilsin Bir 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, Bir 2 x + B 2 y + C 2 z + + D 2 = 0.
Düzlemlerin paralellik durumu: 
.
Düzlemlerin diklik durumu:
Düzlemler arasındaki açı aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Uçağın noktalardan geçmesine izin ver M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3).
Denklemi şu şekildedir:
Noktadan uzaklık M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) uçağa Balta + Tarafından + Cz + D \u003d 0, formülde bulunur
.
Test 1.
uçak 
şu noktadan geçer:
1) Bir(–1; 6; 3);
2) B(3; –2; –5);
3) C(0; 4; –1);
4) D(2; 0; 5).
Test 2 . Düzlem denklemi ОXY takip etme:
1) z = 0;
2) x = 0;
3) y = 0.
Örnek 2 . Düzleme paralel düzlemin denklemini yazın ОXY ve (2; –5; 3) noktasından geçmek.
Karar
Düzlem düzleme paralel olduğu için ОXY, denklemi forma sahip Cz + D \u003d 0 (vektör = (0; 0; FROM) OHY).
Uçak (2; –5; 3) noktasından geçtiği için C 3 + D \u003d 0 veya as D = –3C.
Böylece, CZ – 3C \u003d 0. beri FROM ≠ 0, sonra z – 3 = 0.
Cevap: z – 3 = 0.
Test 3 . Orijinden geçen ve vektöre (3; –1; –4) dik olan düzlemin denklemi şu şekildedir:
1)
2)
3)
4)
Test 4
.
Eksen boyunca kesilen çizginin değeri OY uçak 
eşittir:
Örnek 3 . Uçağın denklemini yazın:
1. Paralel düzlem 
ve noktadan geçerken Bir(2;
0; –1).
2. Dikey düzlem 
ve noktadan geçerken B(0;
2; 0).
Karar
Düzlem denklemleri şeklinde aranacak Bir 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.
1. Düzlemler paralel olduğundan, 
Buradan Bir= 3t,B= –t,C= 2tnerede tR... İzin vermek t\u003d 1. Sonra Bir
= 3, B =
–1, C \u003d 2. Bu nedenle, denklem şeklini alır 
Nokta koordinatları VEdüzleme ait olmak denklemi gerçek eşitliğe dönüştürür. Dolayısıyla 32 - 10 + 2 (–1) + D\u003d 0. Nereden D= 4.
Cevap: 
2. Düzlemler dikey olduğu için 3 Bir – 1 B + 2 C = 0.
Üç değişken olduğundan ve denklem bir olduğundan, iki değişken aynı anda sıfıra eşit olmayan keyfi değerler alır. İzin vermek Bir
= 1, B \u003d 3. Sonra C\u003d 0. Denklem formu alır 
D= –6.
Cevap: 
Test 5 . Düzleme paralel düzlem seçin x – 2y + 7z – 2 = 0:
1)
4)
Test 6 . Düzleme dik bir düzlem seçin x– 2y+ + 6z– 2 = 0:
1)
4)
Test 7 . 3 düzlemleri arasındaki açının kosinüsü x + y – z - 1 \u003d 0 ve x – 4y – – 5z + 3 \u003d 0 aşağıdaki formülle belirlenir:
1)
2)
3)
Test 8 . (3; 1; –1) noktasından düzleme olan mesafe 3 x – y + 5z + 1 \u003d 0 aşağıdaki formülle belirlenir:
1)
2)
