Прямокутна система координат. Декартова система координат: основні поняття та приклади Робота з координатною площиною

Прямокутна система координат на площині визначається двома взаємно перпендикулярними прямими. Прямі називають осями координат (або координатними осями). Точку перетину цих прямих називають початком відліку та позначають буквою O.

Зазвичай одна з прямих горизонтальна, інша вертикальна. Горизонтальну пряму позначають як вісь x (або Ox) і називають віссю абсцис, вертикальну - вісь y (Oy), називають віссю ординат. Всю систему координат позначають xOy.

Точка O розбиває кожну осі на дві півосі, одну з яких вважають позитивною (її позначають стрілкою), іншу — негативною.

Кожній точці F площині ставиться у відповідність пари чисел (x; y) - її координати.

Координата x називається абсцисою. Вона дорівнює Ox, взятому з відповідним знаком.

Координата y називається ординатою і дорівнює відстані від точки F до осі Oy (з відповідним знаком).

Відстань до осей зазвичай (але не завжди) вимірюють однією і тією самою одиницею довжини.

Крапки, розташовані праворуч від осі y, мають позитивні абсциси. У точок, які лежать ліворуч від осі ординат, абсциси негативні. Для будь-якої точки, що лежить на осі Oy, її координата дорівнює нулю.

Крапки з позитивною ординатою лежать вище від осі x, з негативною — нижче. Якщо точка лежить на осі Ox, то її координата y дорівнює нулю.

Координатні осі розбивають площину на чотири частини, які називають координатними чвертями (або координатними кутами чи квадрантами).

1 координатна чвертьрозташована у правому верхньому кутку координатної площини xOy. Обидві координати точок, розташованих у першій чверті, позитивні.

Перехід від однієї чверті в іншу ведеться проти годинникової стрілки.

2 координатна чвертьзнаходиться у лівому верхньому кутку. Крапки, що лежать у II чверті, мають негативну абсцис і позитивну ординату.

3 координатна чвертьлежить у лівому нижньому квадранті площини xOy. Обидві координати точок, що належать III координатному куту, негативні.

4 координатна чверть- Це правий нижній кут координатної площини. Будь-яка точка з IV чверті має позитивну першу координату та негативну другу.

Приклад розташування точок у прямокутній системі координат:

Математика – наука досить складна. Вивчаючи її, доводиться як вирішувати приклади і завдання, а й працювати з різними постатями, і навіть площинами. Однією з найбільш використовуваних математики є система координат на площині. Правильної роботи з нею дітей навчають не один рік. Тому важливо знати, що це таке та як правильно з нею працювати.

Давайте ж розберемося, що є дана система, які дії можна виконувати з її допомогою, а також дізнаємося про її основні характеристики та особливості.

Визначення поняття

Координатна площина - це площина, де задана певна система координат. Така площина задається двома прямими, що перетинаються під прямим кутом. У точці перетину цих прямих знаходиться початок координат. Кожна точка на координатній площині визначається парою чисел, які називають координатами.

У шкільному курсі математики школярам доводиться досить тісно працювати з системою координат - будувати на ній фігури та точки, визначати, якій площині належить та чи інша координата, а також визначати координати точки та записувати чи називати їх. Тому поговоримо докладніше про всі особливості координат. Але перш зачепимо історію створення, а потім вже поговоримо про те, як працювати на координатній площині.

Історична довідка

Ідеї ​​створення системи координат були ще за часів Птоломея. Вже тоді астрономи та математики думали про те, як навчитися ставити положення точки на площині. На жаль, тоді ще не було відомої нам системи координат, і вченим доводилося користуватися іншими системами.

Спочатку вони задавали точки за допомогою вказівки широти та довготи. Довгий час це був один із найбільш використовуваних способів нанесення на карту тієї чи іншої інформації. Але в 1637 Рене Декарт створив власну систему координат, названу згодом на честь "декартової".

Вже наприкінці XVII ст. Поняття «координатна площина» стало широко використовуватися у світі математики. Незважаючи на те, що з моменту створення даної системи пройшло вже кілька століть, вона досі широко використовується в математиці і навіть у житті.

Приклади координатної площини

Перш ніж говорити про теорію, наведемо кілька наочних прикладів координатної площини, щоб ви змогли її уявити. Насамперед координатна система використовується у шахах. На дошці кожен квадрат має свої координати – одну координату літерну, другу – цифрову. З її допомогою можна визначити положення тієї чи іншої фігури на дошці.

Другим найяскравішим прикладом може бути улюблена багатьма гра «Морський бій». Згадайте, як, граючи, ви називаєте координату, наприклад В3, таким чином вказуючи, куди саме цілитеся. При цьому, розставляючи кораблі, ви задаєте точки на координатній площині.

Ця система координат широко застосовується у математиці, логічних іграх, а й у військовій справі, астрономії, фізиці та багатьох інших науках.

Осі координат

Як мовилося раніше, у системі координат виділяють дві осі. Поговоримо трохи про них, тому що вони мають неабияке значення.

Перша вісь – абсцис – горизонтальна. Вона позначається як ( Ox). Друга вісь - ординат, яка проходить вертикально через точку відліку і позначається як ( Ой). Саме ці дві осі утворюють систему координат, розбиваючи площину чотирма чверті. Початок відліку знаходиться в точці перетину цих двох осей і набуває значення 0 . Тільки якщо площина утворена двома осями, що перетинаються перпендикулярно, що мають точку відліку, це координатна площина.

Також зазначимо, що кожна з осей має свій напрямок. Зазвичай при побудові системи координат прийнято вказувати напрямок осі у вигляді стрілочки. Крім того, при побудові координатної площини кожна осі підписується.

Чверть

Тепер скажемо кілька слів про таке поняття, як чверті координатної площини. Площина розбивається двома осями чотири чверті. Кожна з них має свій номер, причому нумерація площин ведеться проти годинникової стрілки.

Кожна із чвертей має свої особливості. Так, у першій чверті абсцис і ординату позитивна, у другій чверті абсцис негативна, ордината - позитивна, у третій і абсцисса, і ордината негативні, в четвертій ж позитивною є абсцисса, а негативної - ордината.

Запам'ятавши ці особливості, можна легко визначити, до якої чверті належить та чи інша точка. Крім того, ця інформація може стати вам у нагоді і в тому випадку, якщо доведеться робити обчислення, використовуючи декартову систему.

Робота з координатною площиною

Коли ми розібралися з поняттям площини та поговорили про її чверті, можна перейти до такої проблеми, як робота з цією системою, а також поговорити про те, як наносити на неї точки, координати фігур. На координатній площині зробити це не так важко, як може здатися на перший погляд.

Насамперед будується сама система, на неї наносяться всі важливі позначення. Потім уже йде робота безпосередньо з точками чи фігурами. При цьому навіть при побудові фігур спочатку на площину наносяться точки, а потім вже промальовуються фігури.

Правила побудови площини

Якщо ви вирішили почати відзначати на папері фігури та крапки, вам знадобиться координатна площина. Координати точок наносяться саме на неї. Для того, щоб побудувати координатну площину, знадобиться лише лінійка та ручка або олівець. Спочатку малюється горизонтальна вісь абсцис, потім вертикальна – ординат. У цьому важливо пам'ятати, що осі перетинаються під прямим кутом.

Наступним обов'язковим пунктом є нанесення розмітки. На кожній осі в обох напрямках відзначаються і підписуються одиниці-відрізки. Це робиться для того, щоб потім можна було працювати з площиною з максимальною зручністю.

Відзначаємо точку

Тепер поговоримо про те, як завдати координати точок на координатній площині. Це основа, яку слід знати, щоб успішно розміщувати на площині різноманітні фігури і навіть відзначати рівняння.

При побудові точок слід пам'ятати, як правильно записуються їх координати. Так, зазвичай ставлячи крапку, у дужках пишуть дві цифри. Перша цифра означає координату точки по осі абсцис, друга - по осі ординат.

Будувати крапку слід у такий спосіб. Спочатку відзначити на осі Oxзадану точку, потім відзначити точку на осі Ой. Далі провести уявні лінії від даних позначень і знайти місце їх перетину - це буде задана точка.

Вам залишиться лише відзначити її та підписати. Як бачите, все досить просто і не потребує особливих навичок.

Розміщуємо фігуру

Тепер перейдемо до такого питання, як побудова фігур на координатній площині. Для того, щоб побудувати на координатній площині будь-яку фігуру, слід знати, як розміщувати на ній точки. Якщо ви вмієте це робити, то розмістити фігуру на площині не так вже й складно.

Насамперед вам знадобляться координати точок фігури. Саме за ними ми і наноситимемо на нашу систему координат обрані вами Розглянемо нанесення прямокутника, трикутника та кола.

Почнемо із прямокутника. Наносити його досить легко. Спочатку на площину наносяться чотири точки, що позначають кути прямокутника. Потім усі точки послідовно з'єднуються між собою.

Нанесення трикутника нічим не відрізняється. Єдине – кутів у нього три, а значить, на площину наносяться три крапки, що позначають його вершини.

Щодо кола тут слід знати координати двох точок. Перша точка - центр кола, друга - точка, що позначає її радіус. Ці дві точки наносяться на площину. Потім береться циркуль, вимірюється відстань між двома точками. Вістря циркуля ставиться в точку, що позначає центр, і описується коло.

Як бачите, тут також немає нічого складного, головне, щоб під рукою завжди були лінійка та циркуль.

Тепер ви знаєте, як наносити координати фігур. На координатній площині це робити не так вже й складно, як може здатися на перший погляд.

Висновки

Отже, ми розглянули з вами одне з найцікавіших і найбагатших для математики понять, з яким доводиться стикатися кожному школяру.

Ми з вами з'ясували, що координатна площина – це площина, утворена перетином двох осей. З її допомогою можна задавати координати точок, наносити на неї фігури. Площина поділена на чверті, кожна з яких має особливості.

Основна навичка, яку слід виробити під час роботи з координатною площиною, - уміння правильно наносити на неї задані точки. І тому слід знати правильне розташування осей, особливості чвертей, і навіть правила, якими задаються координати точок.

Сподіваємося, що викладена нами інформація була доступна і зрозуміла, а також була корисною для вас і допомогла краще розібратися в цій темі.

• Дві взаємно перпендикулярні координатні прямі, що перетинаються в точці О - початку відліку, утворюють прямокутну систему координат, що називається також декартовою системою координат.
• Площина, де обрана система координат, називається координатною площиною.Координатні прямі називаються координатними осями. Горизонтальна – вісь абсцис (Ох), вертикальна – вісь ординат (Оy).
• Координатні осі розбивають координатну площину на чотири частини – чверті. Порядкові номери чвертей прийнято рахувати проти годинникової стрілки.
• Будь-яка точка в координатній площині задається своїми координатами - абсцисою та ординатою. Наприклад, А(3; 4). Читають: точка А з координатами 3 та 4. Тут 3 – абсцисса, 4 – ордината.

I. Побудова точки А (3; 4).

Абсцисса 3 показує, що з початку відліку — точки О потрібно відкласти праворуч 3 одиничних відрізка, а потім вгору відкладемо 4 одиничних відрізка і поставимо крапку.

Це і є крапка А(3; 4).

Побудова точки В(-2; 5).

Від нуля відкладемо вліво 2 одиничних відрізка, а потім вгору 5 одиничних відрізків.

Ставимо крапку В.

Зазвичай за одиничний відрізок приймають 1 клітку.

ІІ. У координатній площині xOy побудувати точки:

A (-3; 1);B (-1; -2);

C (-2: 4);D (2; 3);

F (6: 4);K (4; 0)

ІІІ. Визначити координати збудованих точок: A, B, C, D, F, K.

А(-4; 3);В(-2; 0);

З(3; 4);D (6; 5);

F (0; -3);K (5; -2).

Упорядкована система двох або трьох перпендикулярних один одному осей із загальним початком відліку (початком координат) і загальною одиницею довжини називається прямокутною декартовою системою координат .

Загальна декартова система координат (афінна система координат) може містити і не обов'язково перпендикулярні осі. На честь французького математика Рене Декарта (1596-1662) названо саме таку систему координат, у якій усім осях відраховується загальна одиниця довжини і осі є прямими.

Прямокутна декартова система координат на площині має дві осі, а прямокутна декартова система координат у просторі - Три осі. Кожна точка на площині чи просторі визначається упорядкованим набором координат - чисел відповідно до одиниці довжини системи координат.

Зауважимо, що, як випливає з визначення, існує декартова система координат і на прямій, тобто в одному вимірі. Введення декартових координат на прямий є одним із способів, за допомогою якого будь-якій точці прямий ставиться у відповідність цілком певне речовинне число, тобто координата.

Метод координат, що у роботах Рене Декарта, ознаменував собою революційну перебудову всієї математики. З'явилася можливість тлумачити рівняння алгебри (або нерівності) у вигляді геометричних образів (графіків) і, навпаки, шукати рішення геометричних завдань за допомогою аналітичних формул, систем рівнянь. Так, нерівність z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOyі вище цієї площини на 3 одиниці.

За допомогою декартової системи координат належність точки заданої кривої відповідає тому, що числа xі yзадовольняють деякому рівнянню. Так, координати точки кола з центром у заданій точці ( a; b) задовольняють рівняння (x - a)² + ( y - b)² = R² .

Прямокутна декартова система координат на площині

Дві перпендикулярні осі на площині із загальним початком та однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат на площині . Одна з цих осей називається віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат . Ці осі називаються також координатними осями. Позначимо через Mxі Myвідповідно проекції довільної точки Мна осі Oxі Ой. Як отримати проекції? Проведемо через точку М Ox. Ця пряма перетинає вісь Oxу точці Mx. Проведемо через точку Мпряму, перпендикулярну до осі Ой. Ця пряма перетинає вісь Ойу точці My. Це показано на малюнку нижче.

xі yточки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMxі OMy. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 і y = y0 - 0 . Декартові координати xі yточки М абсцисою і ординатою . Той факт, що точка Ммає координати xі y, позначається так: M(x, y) .

Координатні осі розбивають площину на чотири квадранта нумерація яких показана на малюнку нижче. На ньому вказана розстановка знаків координат точок залежно від їх розташування в тому чи іншому квадранті.

Крім декартових прямокутних координат на площині, часто розглядається також полярна система координат. Про спосіб переходу від однієї системи координат до іншої – в уроці полярна система координат .

Прямокутна декартова система координат у просторі

Декартові координати у просторі вводяться у повній аналогії з декартовими координатами на площині.

Три взаємно перпендикулярні осі у просторі (координатні осі) із загальним початком Oі однаковою масштабною одиницею утворюють декартову прямокутну систему координат у просторі .

Одну із зазначених осей називають віссю Ox, або віссю абсцис , іншу - віссю Ой, або віссю ординат третю - віссю Oz, або віссю аплікат . Нехай Mx, My Mz- проекції довільної точки Мпростору на осі Ox , Ойі Ozвідповідно.

Проведемо через точку М OxOxу точці Mx. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Ой. Ця площина перетинає вісь Ойу точці My. Проведемо через точку Мплощину, перпендикулярну до осі Oz. Ця площина перетинає вісь Ozу точці Mz.

Декартові прямокутні координати x , yі zточки Мназиватимемо відповідно величини спрямованих відрізків OMx, OMyі OMz. Величини цих спрямованих відрізків розраховуються відповідно як x = x0 - 0 , y = y0 - 0 і z = z0 - 0 .

Декартові координати x , yі zточки Мназиваються відповідно до неї абсцисою , ординатою і аплікати .

Попарно взяті координатні осі розташовані в координатних площинах. xOy , yOzі zOx .

Завдання про точки в декартовій системі координат

приклад 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь абсцис.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, а отже має абсцису, рівну абсцисі самої точки, і ординату (координату на осі Ой, Яку вісь абсцис перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь абсцис:

Ax (2; 0);

Bx (3; 0);

Cx (-5; 0).

приклад 2.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Знайти координати проекцій цих точок на вісь ординат.

Рішення. Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, а отже має ординату, рівну ординаті самої точки, і абсцису (координату на осі Ox, Яку вісь ординат перетинає в точці 0), рівну нулю. Отже отримуємо наступні координати даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 2);

By (0; 1);

Cy (0; -2).

Приклад 3.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Ox .

Ox Ox Ox, матиме таку ж абсцису, що і дана точка, і ординату, рівну за абсолютною величиною ординаті цієї точки, і протилежну їй за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ox :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Вирішити завдання на декартову систему координат самостійно, а потім переглянути рішення

Приклад 4.Визначити, у яких квадрантах (чвертях, малюнок з квадрантами - наприкінці параграфа "Прямокутна декартова система координат на площині") може бути розташована точка M(x; y) , якщо

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) x − y = 0 ;

4) x + y = 0 ;

5) x + y > 0 ;

6) x + y < 0 ;

7) x − y > 0 ;

8) x − y < 0 .

Приклад 5.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Продовжуємо вирішувати завдання разом

Приклад 6.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой .

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо осі Ойспрямований відрізок, що йде від осі Ойдо цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Ой, матиме таку ж ординату, що і дана точка, і абсцис, рівну за абсолютною величиною абсцис даної точки, і протилежну їй по знаку. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо осі Ой :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Приклад 7.У декартовій системі координат на площині дані точки

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат.

Рішення. Повертаємо на 180 градусів навколо початку координат спрямований відрізок, що йде від початку координат до цієї точки. На малюнку, де позначені квадранти площини, бачимо, що точка, симетрична даної щодо початку координат, матиме абсцису та ординату, рівні за абсолютною величиною абсцисі та ординаті даної точки, але протилежні їм за знаком. Отже отримуємо наступні координати точок, симетричних цим точкам щодо початку координат:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Приклад 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Знайти координати проекцій цих точок:

1) на площину Oxy ;

2) на площину Oxz ;

3) на площину Oyz ;

4) на вісь абсцис;

5) на вісь ординат;

6) на вісь аплікат.

1) Проекція точки на площину Oxyрозташована на самій цій площині, а отже має абсцис і ординату, рівні абсцис і ординаті даної точки, і аплікату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxy :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy (2; -3; 0).

2) Проекція точки на площину Oxzрозташована на самій цій площині, а отже має абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, та ординату, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Проекція точки на площину Oyzрозташована на самій цій площині, а отже має ординату та аплікату, рівні ординаті та аплікату даної точки, та абсцису, рівну нулю. Отже, отримуємо наступні координати проекцій даних точок на Oyz :

Ayz (0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Як випливає з теоретичної частини цього уроку, проекція точки на вісь абсцис розташована на самій осі абсцис, тобто осі Ox, А отже має абсцис, рівну абсцис самої точки, а ордината і апліката проекції дорівнюють нулю (оскільки осі ординат і аплікат перетинають вісь абсцис в точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь абсцис:

Ax (4; 0; 0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx (2; 0; 0).

5) Проекція точки на вісь ординат розташована на самій осі ординат, тобто осі Ой, отже має ординату, рівну ординаті самої точки, а абсцисса і апліката проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і аплікат перетинають вісь ординат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь ординат:

Ay (0; 3; 0);

By (0; 2; 0);

Cy (0; -3; 0).

6) Проекція точки на вісь аплікат розташована на самій осі аплікат, тобто осі Oz, отже має аплікату, рівну аплікату самої точки, а абсцисса і ордината проекції дорівнюють нулю (оскільки осі абсцис і ординат перетинають вісь аплікат у точці 0). Отримуємо наступні координати проекцій даних точок на вісь аплікат:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz (0; 0; 0).

Приклад 9.У декартовій системі координат у просторі дані точки

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Знайти координати точок, симетричних цим точкам щодо:

1) площині Oxy ;

2) площині Oxz ;

3) площині Oyz ;

4) осі абсцис;

5) осі ординат;

6) осі аплікат;

7) початку координат.

1) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxy Oxy, матиме абсцис і ординату, рівні абсцис і ординаті даної точки, і аплікату, рівну за величиною аплікату даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxy :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oxzна ту ж відстань. На малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oxz, матиме абсцису та аплікату, рівні абсцисі та аплікату даної точки, та ординату, рівну за величиною ординаті даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) "Просуваємо" точку з іншого боку осі Oyzна ту ж відстань. На малюнку, що відображає координатний простір, бачимо, що точка, симетрична даної щодо осі Oyz, матиме ординату і аплікату, рівні ординаті і аплікату даної точки, і абсцис, рівну за величиною абсцис даної точки, але протилежну їй за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо площини Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

За аналогією з симетричними точками на площині та точками простору, симетричними даними щодо площин, помічаємо, що у разі симетрії щодо деякої осі декартової системи координат у просторі, координата на осі, щодо якої задана симетрія, збереже свій знак, а координати на двох інших осях будуть тими ж за абсолютною величиною, як і координати цієї точки, але протилежними за знаком.

4) Свій знак збереже абсцисса, а ордината та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі абсцис:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) Свій знак збереже ордината, а абсцисса та апліката поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даним щодо осі ординат:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) Свій знак збереже апліката, а абсцисса та ордината поміняють знаки. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо осі:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) За аналогією з симетрією у випадку з точками на площині, у разі симетрії щодо початку координат усі координати точки, симетричної даної, будуть рівними по абсолютній величині координатам даної точки, але протилежними їм за знаком. Отже, отримуємо наступні координати точок, симетричних даних щодо початку координат.

Нехай поставлено рівняння із двома змінними F(x; y). Ви вже познайомилися зі способами розв'язання таких рівнянь аналітично. Безліч рішень таких рівнянь можна у вигляді графіка.

Графіком рівняння F(x; y) називають безліч точок координатної площини xOy, координати яких задовольняють рівняння.

Для побудови графіка рівняння із двома змінними спочатку виражають у рівнянні змінну y через змінну x.

Напевно, ви вже вмієте будувати різноманітні графіки рівнянь з двома змінними: ax + b = c – пряма, yx = k – гіпербола, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – коло, радіус якого дорівнює R, а центр знаходиться у точці O(a; b).

приклад 1.

Побудувати графік рівняння x2 – 9y2 = 0.

Рішення.

Розкладемо на множники ліву частину рівняння.

(x - 3y) (x + 3y) = 0, тобто y = x/3 або y = -x/3.

Відповідь: рисунок 1.

Особливе місце займає завдання фігур на площині рівняннями, що містять знак абсолютної величини, на яких докладно зупинимося. Розглянемо етапи побудови графіків рівнянь виду | y | = f(x) та |y| = | f (x) |.

Перше рівняння рівносильне системі

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) або y = -f(x).

Тобто його графік складається із графіків двох функцій: y = f(x) та y = -f(x), де f(x) ≥ 0.

Для побудови графіка другого рівняння будують графіки двох функцій: y = f(x) та y = -f(x).

приклад 2.

Побудувати графік рівняння | y | = 2+x.

Рішення.

Задане рівняння рівносильне системі

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 або y = -x - 2).

Будуємо безліч точок.

Відповідь: рисунок 2.

Приклад 3.

Побудувати графік рівняння | y - x | = 1.

Рішення.

Якщо y? x, то y = x + 1, якщо y ≤ x, то y = x - 1.

Відповідь: рисунок 3.

При побудові графіків рівнянь, що містять змінну під знаком модуля, зручно та раціонально використовувати метод областей, заснований на розбиття координатної площини на частини, в яких кожне підмодульне вираз зберігає свій знак.

Приклад 4.

Побудувати графік рівняння x + | x | + y + | y ​​| = 2.

Рішення.

У цьому прикладі знак кожного підмодульного виразу залежить від координатної чверті.

1) У першій координатній чверті x ≥ 0 та y ≥ 0. Після розкриття модуля задане рівняння матиме вигляд:

2x + 2y = 2 а після спрощення x + y = 1.

2) У другій чверті, де х< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) У третій чверті x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) У четвертій чверті, за x ≥ 0, а y< 0 получим, что x = 1.

Графік даного рівняння будуватимемо по чвертях.

Відповідь: рисунок 4.

Приклад 5.

Зобразити безліч точок, які координати задовольняють рівності |x – 1| + | y ​​- 1 | = 1.

Рішення.

Нулі підмодульних виразів x = 1 та y = 1 розбивають координатну площину на чотири області. Розкриємо модулі по областях. Оформимо це як таблиці.

Область	Знак підмодульного виразу	Отримане рівняння після розкриття модуля
I	x ≥ 1 та y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 та y< 1	x – y = 1

Відповідь: рисунок 5.

На координатній площині фігури можуть задаватися та нерівностями.

Графіком нерівностіз двома змінними називається безліч усіх точок координатної площини, координати яких є розв'язками цієї нерівності.

Розглянемо алгоритм побудови моделі розв'язків нерівності з двома змінними:

1. Записати рівняння, що відповідає нерівності.
2. Побудувати графік рівняння із пункту 1.
3. Вибрати довільну точку в одній із напівплощин. Перевірити, чи задовольняють координати обраної точки даної нерівності.
4. Зобразити графічно множину всіх розв'язків нерівності.

Розглянемо, насамперед, нерівність ax + bx + c > 0. Рівняння ax + bx + c = 0 задає пряму, що розбиває площину на дві півплощини. У кожному їх функція f(x) = ax + bx + c зберігає знак. Для визначення цього знака достатньо взяти будь-яку точку, що належить напівплощині, та обчислити значення функції у цій точці. Якщо знак функції збігається зі знаком нерівності, то ця напівплощина і буде розв'язанням нерівності.

Розглянемо приклади графічного рішення найчастіше зустрічаються нерівностей із двома змінними.

1) ax + bx + c≥0. Малюнок 6.

2) |х| ≤ a, a > 0. Малюнок 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Малюнок 8.

4) y ≥ x 2 . Рисунок 9.

5) xy ≤ 1. Рисунок 10.

Якщо у вас виникли питання або ви хочете попрактикуватися зображати на площині моделі безлічі всіх розв'язків нерівностей із двома змінними за допомогою математичного моделювання, ви можете провести безкоштовне 25-хвилинне заняття з онлайн репетиторомпісля того як . Для подальшої роботи з викладачем у вас буде можливість вибрати відповідний для вас

Залишились питання? Не знаєте як зобразити фігуру на координатній площині?
Щоб отримати допомогу репетитора – .
Перший урок – безкоштовно!

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.