Як позначають перпендикулярні прямі. Перпендикулярність прямих у просторі. Візуальний гід (2020). Дивитися що таке "перпендикулярні прямі" в інших словниках
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Пряма a перетинається з прямою b під прямим кутом в точці A. Можна зависати використовуючи значок перпендикулярності: a ⊥ b. Це читається так: пряма а перпендикулярна прямий b.
Слід зауважити, що суміжний кут і вертикальний кут з прямим кутом теж прямі.
Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну їй пряму, і тільки одну.
Доведення.
Нехай b - дана пряма, а точка A належить цій прямій. Візьмемо деякий промінь b1 на прямий b з початковою точкою в A. Відкладемо від променя b1 кут (a1b1), рівний 90 °. За визначенням пряма містить промінь a1 буде перпендикулярна прямий b.
Припустимо, існує інша пряма перпендикулярна прямий b і проходить через точку A. Візьмемо на цій прямій промінь з1, що виходить із точки A і лежить в тій же півплощині, що і промінь a1. Тоді ∠ (a1b1) \u003d ∠ (c1b1) \u003d 90 º. Але за аксіомою 8, в дану полуплоскость можна відкласти тільки один кут, рівний 90 º. Отже, не можна провести іншу пряму перпендикулярну прямий b через точку A в задану полуплоскость. Теорема доведена. 
Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярної даній, що має одним з кінців їх точку перетину. Цей кінець відрізка називається підставою перпендикуляра. AB - перпендикуляр до прямої a. Точка A - підстава перпендикуляра.
Перпендикулярні прямі утворюють собою цілий пласт фігур, побудов і обчислень в геометрії. Без розуміння перпендикулярних прямих не вийде вирішувати такі фігури, як прямокутний трикутник, Прямокутник, квадрат або прямокутна трапеція. Тому варто особливу увагу приділити цим поняттям.
Що таке перпендикулярні прямі
При перетині двох прямих утворюється 4 кута. Визначення перпендикулярних прямих звучить так: це прямі, кут між якими дорівнює 90 градусам. Кутів всього 4, повний кут це 360 градусів. Якщо один з кутів дорівнює 90 градусам, то і 3 інших будуть по 90.
Щоб відрізки називалися перпендикулярними, так само повинно виконуватися дві умови: відрізки повинні перетинатися, а кут перетину між ними повинен дорівнювати 90 градусам.
Рис. 1. Перпендикулярні лінії.
властивості
У перпендикулярних прямих не так багато властивостей. Всі вони не вимагають доказів, так як виходять з визначення перпендикулярності.
- Якщо кожна з двох прямих перпендикулярні третій, то ці прямі паралельні. А паралельні вони в силу того, що отримані односторонні кути будуть в сумі давати 180 градусів. А значить, прямі паралельні по 3 ознакою паралельності. Це властивість можна довести за допомогою одного з трьох ознак паралельності.
- Перпендикулярний відрізок від точки до прямої або відрізка буде називатися відстанню від точки до прямої.
- Відстань від прямої до прямої так само є перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу пряму.
- Якщо протягом всієї довгі двох прямих відстань між ними не змінюється, то прямі будуть паралельними.
Фігури з перпендикулярними прямими
Однією з перших фігур, з якими знайомиться людина, є квадрат і прямокутник.
Прямі кути приємні людському погляду, тому дуже часто квадрат або прямокутник використовують як форму для стільниць, стільців, тумбочок і інших предметів. Весь навколишній світ людини складається з паралельних і перпендикулярних ліній.
Рис. 2. Квадрат.
Ще з часів Стародавньої Греції відомий прямокутний трикутник. Форму прямокутного трикутника брали різні прилади для навігації, крім того багато часу вивченню властивостей прямокутного трикутника приділив Піфагор. Саме його авторству належить Теорема Піфагора, яка вкрай затребувана в рішеннях задач.
Існує прямокутна трапеція, у якої одна зі сторін прямокутна обом підставою. А планометрія і зовсім рясніє перпендикулярами в просторі: правильна призма, прямокутна піраміда і самий звичайний куб.
До того ж, в будь-якому трикутнику можна провести висоту, що необхідно для знаходження площі фігури. Перпендикуляр для знаходження площі стане в нагоді і в параллелограмме, а прямокутний трикутник і квадрат мають висоту в складі своїх сторін, через що площа цих фігур набагато простіше знайти.
Аназа. взаємно перпендикулярними, якщо lперпендікулярна до всякої прямої, що лежить на a. Про узагальнення поняття перпендикулярності см. Ст. Ортогональность.
Математична енциклопедія. - М .: Радянська енциклопедія. І. М. Виноградов. 1977-1985.
Дивитися що таке "перпендикулярні прямі" в інших словниках:
Бінарне відношення між різними об'єктами (векторами, прямими, підпросторами і т. Д.) В евклідовому просторі. Окремий випадок ортогональності. Зміст 1 На площині 1.1 Перпендикулярні ... Вікіпедія
Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (точок, ліній, кутів, двовимірних і тривимірних об'єктів), їх розмірів і взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію підрозділяють на планиметрию і стереометрию. В ... ... Енциклопедія Кольєра
Декартовій системі координат, прямолінійна система координат на площині або в просторі (зазвичай з взаємно перпендикулярними осями і однаковими масштабами по осях). Названа по імені Р. Декарта (див. ДЕКАРТ Рене). Декарт вперше ввів ... ... енциклопедичний словник
Розділ геометрії, який досліджує найпростіші геометричні об'єкти засобами елементарної алгебри на основі методу координат. Створення аналітичної геометрії зазвичай приписують Р. Декарт, виклавши її основи в останньому розділі свого ... ... Енциклопедія Кольєра
Простір, що має число вимірів (розмірність) більше трьох. Реальне простір трехмерно. Через кожну його точку можна провести три взаємно перпендикулярні прямі, але вже не можна провести чотири. Якщо прийняти зазначені три прямі за осі ... ... енциклопедичний словник
Навколишній нас світ динамічний і різноманітний, і далеко не кожен об'єкт можна просто обмірити лінійкою. Для подібного перенесення використовуються спеціальні техніки, як то тріангуляція. Потреба в складанні складних розгорток, як правило, ... ... Вікіпедія
Геометрія, подібна до геометрією Евкліда в тому, що в ній визначено рух фігур, але відрізняється від евклідової геометрії тим, що один з п'яти її постулатів (другий або п'ятий) замінений його запереченням. Заперечення одного з евклідових постулатів ... ... Енциклопедія Кольєра
- (істор.) Первісне поняття про К. можна зустріти навіть у дикунів, особливо що живуть по берегах і про вас і мають більш-менш чітке уявлення про оточуючих їх територію місцевостях. Мандрівники, розпитували ескімосів С. Америки і ... Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза і І.А. Ефрона
Розділ геометрії. Основними поняттями А. р є найпростіші геометричні образи (точки, прямі, площини, криві і поверхні другого порядку). Основними засобами дослідження в А. р служать метод координат (див. Нижче) і методи ... ... Велика Радянська Енциклопедія
Розділ геометрії. Основними поняттями А. р є найпростіші геометричні. образи (точки, прямі, площини, криві і поверхні 2 го порядку). Основними засобами дослідження в А. р служать метод координат і методи елементарної алгебри. ... ... математична енциклопедія
книги
- Комплект таблиць. Геометрія. 7 клас. 14 таблиць + методика,. Таблиці віддруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціями для вчителя. Навчальний альбом з 14 аркушів. Луч і кут. ...
Попередні відомості про прямих
Поняття прямого, так само як і поняття точки є основними поняттями геометрії. Як відомо основні поняття не визначається. Це не є і винятком для поняття прямої. Тому розглянемо суть цього поняття через його побудова.
Візьмемо лінійку і, не відриваючи олівця, проведемо лінію довільної довжини. Отриману лінію ми і будемо називати прямою. Однак тут необхідно відзначити, що це не вся пряма, а тільки її частину. Сама ж пряма є нескінченною на обох своїх кінцях.
Прямі будемо позначати маленькою латинською літерою, або двома її точками в круглих дужках (рис. 1).
Поняття прямої і точки пов'язані трьома аксіомами геометрії:
Аксіома 1: Для кожної довільної прямої існує як мінімум дві точки, які на ній лежать.
Аксіома 2: Можна знайти як мінімум три точки, які не будуть лежати на одній і тій же прямій.
Аксіома 3: Через 2 довільні точки завжди проходить пряма, причому ця пряма єдина.
Для двох прямих актуально їх взаємне розташування. Можливі три випадки:
- Дві прямі збігаються. У цьому випадку кожна точка однієї буде також і точкою іншої прямої.
- Дві прямі перетинаються. У цьому випадку тільки якась одна точка з однієї прямої буде також належати і інший прямий.
- Дві прямі паралельні. В цьому випадку у кожної з цих прямих свій набір різних один від одного точок.
перпендикулярність прямих
Розглянемо дві довільні пересічні прямі. Очевидно, що в точці їх перетину утворюється 4 кута. тоді
визначення 1
Пересічні прямі будемо називати перпендикулярними, якщо хоча б один кут, утворений їх перетином дорівнює $ 90 ^ 0 $ (рис. 2).
Позначення: $ a⊥b $.
Розглянемо наступну задачу:
приклад 1
Знайти кути 1, 2 і 3 з малюнка нижче
Кут 2 є вертикальним для даного нам кута, отже
Кут 1 є суміжним для кута 2, отже
$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$
Кут 3 є вертикальним для кута 1, отже
$∠3=∠1=90^0$
З цього завдання можемо зробити наступне зауваження
зауваження 1
Всі кути між перпендикулярними прямими дорівнюють $ 90 ^ 0 $.
Основна теорема перпендикулярних прямих
Введемо наступну теорему:
теорема 1
Дві прямі, що є перпендикулярними для третьої будуть непересічними.
Доведення.
Розглянемо малюнок 3 по умові завдання.
Розділимо подумки даний малюнок на дві частини прямий $ (ZP) $. Накладемо праву частину на ліву. Тоді, так як прямі $ (NM) $ і $ (XY) $ перпендикулярні до прямої $ (PZ) $ і, отже, кути між ними прямі, то промінь $ NP $ наложется цілком на промінь $ PM $, а промінь $ XZ $ наложется цілком на промінь $ YZ $.
Тепер, припустимо противне: нехай ці прямі перетинаються. Без обмеження спільності припустимо, що вони перетинаються з лівого боку, тобто, нехай промінь $ NP $ перетинається з променем $ YZ $ в точці $ O $. Тоді, по конструкції, описаної вище, будемо отримувати, що і промінь $ PM $ перетинається з променем $ YZ $ в точці $ O "$. Але тоді ми отримуємо, що через дві точки $ O $ і $ O" $, проходить дві прямі $ (NM) $ і $ (XY) $, що суперечить аксіомі 3 прямих.
Отже, прямі $ (NM) $ і $ (XY) $ не перетинаються.
Теорема доведена.
приклад завдання
приклад 2
Дано дві прямі, які мають точку перетину. Через точку, яка не належить жодній з них проведено дві прямі, одна з яких перпендикулярна одній з вище описаних прямих, а інша - іншого з них. Довести, що вони не збігаються.
Зобразимо малюнок за умовою задачі (рис. 4).
З умови задачі матимемо, що $ m⊥k, n⊥l $.
Припустимо гидке, нехай прямі $ k $ і $ l $ збігаються. Нехай це буде прямий $ l $. Тоді, за умовою $ m⊥l $ і $ n⊥l $. Отже, за теоремою 1, прямі $ m $ і $ n $ не перетинаються. Отримали протиріччя, а значить прямі $ k $ і $ l $ не збігаються.
Пряма (відрізок прямої) позначається двома великими літерами латинського алфавіту або однієї маленької літери. Точка позначається тільки великою латинською літерою.
Прямі можуть не перетинатися, перетинатися або збігатися. Пересічні прямі мають тільки одну спільну точку, непересічні прямі - жодної спільної точки, у співпадаючих прямих всі точки загальні.
Визначення. Дві прямі, що перетинаються під прямим кутом, називаються перпендикулярними. Перпендикулярність прямих (або їх відрізків) позначають знаком перпендикулярності «⊥».
наприклад:
Ваш AB і CD (Рис. 1) перетинаються в точці Про і ∠ АОС = ∠ВОС = ∠АОD = ∠BOD \u003d 90 °, то AB ⊥ CD.
якщо AB ⊥ CD (Рис. 2) і перетинаються в точці В, То ∠ АBC = ∠ABD \u003d 90 °
Властивості перпендикулярних прямих
1. Через точку А (Рис. 3) можна провести тільки одну перпендикулярну пряму АВ до прямої СD; інші прямі, що проходять через точку А і перетинають СD, Називаються похилими прямими (рис. 3, прямі АЕ і АF).
2. З точки A можна опустити перпендикуляр на пряму CD; довжина перпендикуляра (довжина відрізка АВ), Проведеного з точки А на пряму CD, - це найкоротша відстань від A до CD (Рис. 3).
