Рух пл. Кінематіка. Рівномірний рух по колу. Період та частота

Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю- це рух, у якому тіло за будь-які рівні проміжки часу визначає однакові дуги.

Положення тіла на колі визначається радіусом-вектором\(~\vec r\), проведеним із центру кола. Модуль радіуса-вектора дорівнює радіусу кола R(Рис. 1).

За час Δ tтіло, рухаючись з точки Ав ціль В, Здійснює переміщення \(~\Delta \vec r\), рівне хорді АВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l.

Радіус-вектор повертається на кут Δ φ . Кут виражають у радіанах.

Швидкість \(~\vec \upsilon\) руху тіла по траєкторії (коло) спрямована по дотичній до траєкторії. Вона називається лінійною швидкістю. Модуль лінійної швидкості дорівнює відношенню довжини дуги кола lдо проміжку часу Δ tза який ця дуга пройдено:

\(~\upsilon = \frac(l)(\Delta t).\)

Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається кутовою швидкістю:

\(~\omega = \frac(\Delta \varphi)(\Delta t).\)

У СІ одиницею кутової швидкості є радіан за секунду (рад/с).

При рівномірному русі по колу кутова швидкість та модуль лінійної швидкості - величини постійні: ω = const; υ = const.

Положення тіла можна визначити, якщо відомий модуль радіусу-вектора \(~\vec r\) та кут φ , який він складає з віссю Ox(кутова координата). Якщо у початковий момент часу t 0 = 0 кутова координата дорівнює φ 0 , а в момент часу tвона дорівнює φ , то кут повороту Δ φ радіусу-вектора за час \(~\Delta t = t - t_0 = t\) дорівнює \(~\Delta \varphi = \varphi - \varphi_0\). Тоді з останньої формули можна отримати кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:

\(~\varphi = \varphi_0 + \omega t.\)

Воно дозволяє визначити положення тіла у будь-який момент часу t. Враховуючи, що \(~\Delta \varphi = \frac(l)(R)\), отримуємо\[~\omega = \frac(l)(R \Delta t) = \frac(\upsilon)(R) \Rightarrow\]

\(~\upsilon = \omega R\) - формула зв'язку між лінійною та кутовою швидкістю.

Проміжок часу Τ , протягом якого тіло здійснює один повний оборот, називається періодом обертання:

\(~T = \frac(\Delta t)(N),\)

де N- Число оборотів, скоєних тілом за час Δ t.

За час Δ t = Τ тіло проходить шлях \(~l = 2 \pi R\). Отже,

\(~\upsilon = \frac(2 \pi R)(T); \ \omega = \frac(2 \pi)(T) .\)

Величина ν , зворотна періоду, що показує, скільки оборотів здійснює тіло за одиницю часу, називається частотою обертання:

\(~\nu = \frac(1)(T) = \frac(N)(\Delta t).\)

Отже,

\(~\upsilon = 2 \pi \nu R; \ \omega = 2 \pi \nu .\)

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти/Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – C. 18-19.

На цьому уроці ми розглянемо криволінійний рух, саме рівномірний рух тіла по колу. Ми дізнаємося, що таке лінійна швидкість, доцентрове прискорення при русі тіла по колу. Також введемо величини, які характеризують обертальний рух (період обертання, частота обертання, кутова швидкість) і зв'яжемо ці величини між собою.

Під рівномірним рухом по колу розуміють, що за будь-який однаковий проміжок часу повертається на однаковий кут (див. рис. 6).

Рис. 6. Рівномірний рух по колу

Тобто модуль миттєвої швидкості не змінюється:

Таку швидкість називають лінійної.

Хоча модуль швидкості не змінюється, напрямок швидкості змінюється безперервно. Розглянемо вектори швидкості у точках Aі B(див. мал. 7). Вони спрямовані у різні боки, тому не рівні. Якщо відняти з швидкості в точці Bшвидкість у точці A, отримуємо вектор.

Рис. 7. Вектори швидкості

Відношення зміни швидкості () до часу, протягом якого ця зміна відбулася (), є прискоренням.

Отже, будь-який криволінійний рух є прискореним.

Якщо розглянути трикутник швидкостей, отриманий малюнку 7, то за дуже близькому розташуванні точок Aі Bодин до одного кут (α) між векторами швидкості буде близьким до нуля:

Також відомо, що цей трикутник рівнобедрений, тому модулі швидкостей рівні (рівномірний рух):

Отже, обидва кути при підставі цього трикутника необмежено близькі до:

Це означає, що прискорення, яке спрямоване вздовж вектора фактично перпендикулярно дотичної. Відомо, що лінія в колі, перпендикулярна дотичній, є радіусом, тому прискорення направлено вздовж радіусу до центру кола. Називається таке прискорення доцентровим.

На малюнку 8 зображені розглянутий раніше трикутник швидкостей та рівнобедрений трикутник (дві сторони є радіусами кола). Ці трикутники є подібними, так як у них рівні кути, утворені взаємно перпендикулярними прямими (радіус, як і вектор, перпендикулярні до дотичної).

Рис. 8. Ілюстрація до висновку формули доцентрового прискорення

Відрізок ABє переміщенням (). Ми розглядаємо рівномірний рух по колу, тому:

Підставимо отриманий вираз для ABу формулу подоби трикутників:

Понять «лінійна швидкість», «прискорення», «координата» замало у тому, щоб описати рух кривою траєкторії. Тому необхідно запровадити величини, що характеризують обертальний рух.

1. Періодом обертання (T ) називається час одного повного обороту. Вимірюється у системі СІ в секундах.

Приклади періодів: Земля обертається навколо осі за 24 години (), а навколо Сонця - за 1 рік ().

Формула для обчислення періоду:

де – повний час обертання; - число обертів.

2. Частота обертів (n ) - Число оборотів, яке тіло здійснює в одиницю часу. Вимірюється в системі СІ у зворотних секундах.

Формула для знаходження частоти:

де – повний час обертання; - число обертів

Частота і період - обернено пропорційні величини:

3. Кутовою швидкістю () називають відношення зміни кута, на який повернулося тіло, на час, за який цей поворот стався. Вимірюється у системі СІ в радіанах, поділених на секунди.

Формула для знаходження кутової швидкості:

де - Зміна кута; - Час, за який відбувся поворот на кут.

Олександрова Зінаїда Василівна, вчитель фізики та інформатики

Освітній заклад: МБОУ ЗОШ №5 п. Печенга, Мурманська обл.

Предмет: фізика

Клас : 9 клас

Тема уроку : Рух тіла по колу з постійною за модулем швидкістю

Мета уроку:

дати уявлення про криволінійний рух, ввести поняття частоти, періоду, кутової швидкості, доцентрового прискорення і доцентрової сили.

Завдання уроку:

Освітні:

Повторити види механічного руху, познайомити з новими поняттями: рух по колу, доцентрове прискорення, період, частота;

Виявити на практиці зв'язок періоду, частоти та доцентрового прискорення з радіусом звернення;

Використовувати учбове лабораторне обладнання для вирішення практичних завдань.

Розвиваючі :

Розвивати вміння застосовувати теоретичні знання на вирішення конкретних завдань;

Розвивати культуру логічного мислення;

Розвивати інтерес до предмета; пізнавальну діяльність при постановці та проведенні експерименту.

Виховні :

Формувати світогляд у процесі вивчення фізики та аргументувати свої висновки, виховувати самостійність, акуратність;

Виховувати комунікативну та інформаційну культуру учнів

Оснащення уроку:

комп'ютер, проектор, екран, презентація до урокуРух тіла по колу», роздрук карток із завданнями;

тенісна куля, волан для бадмінтону, іграшковий автомобіль, кулька на нитці, штатив;

набори для експерименту: секундомір, штатив з муфтою та лапкою, кулька на нитці, лінійка.

Форма організації навчання: фронтальна, індивідуальна, групова.

Тип уроку: вивчення та первинне закріплення знань.

Навчально-методичне забезпечення: фізика. 9 клас. Підручник Перишкін А.В., Гутнік О.М. 14-те вид., стер. - М: Дрофа, 2012 р.

Час реалізації уроку : 45 хвилин

1. Редактор, у якому виконано мультимедіа ресурс:MSPowerPoint

2. Вид мультимедіа ресурсу: презентація навчального матеріалу з використанням тригерів, вбудованого відео та інтерактивного тесту.

План проведення уроку

Організаційний момент. Мотивація до навчальної діяльності.

Актуалізація опорних знань.

Вивчення нового матеріалу.

Розмова з питань;

Розв'язання задач;

Виконання дослідницької практичної роботи.

Підбиття підсумків уроку.

Хід уроку

Етапи уроку

Тимчасова реалізація

Організаційний момент. Мотивація до навчальної діяльності.

Слайд 1 ( Перевірка готовності до уроку, оголошення теми та цілей уроку.)

Вчитель. Сьогодні на уроці ви дізнаєтесь, що таке прискорення при рівномірному русі тіла по колу та як його визначити.

2 хв

Актуалізація опорних знань.

Слайд 2

Фізотичний диктант:

Зміна положення тіла у просторі з часом.(Рух)

Фізична величина, яка вимірюється в метрах.(Переміщення)

Фізична векторна величина, що характеризує швидкість руху.(Швидкість)

Основна одиниця виміру довжини у фізиці.(Метр)

Фізична величина, одиницями виміру якої служать рік, добу, годину.(Час)

Фізична векторна величина, яку можна виміряти за допомогою акселерометра.(Прискорення)

Довжина траєкторії. (Шлях)

Одиниці виміру прискорення(м/с 2 ).

(Проведення диктанту з подальшою перевіркою, самооцінка робіт учнями)

5 хв

Вивчення нового матеріалу.

Слайд 3

Вчитель. Ми досить часто спостерігаємо такий рух тіла, за якого його траєкторією є коло. По колу рухається, наприклад, точка обода колеса при його обертанні, точки деталей верстатів, що обертаються, кінець стрілки годинника.

Демонстрації дослідів 1. Падіння тенісної кулі, політ волана для бадмінтону, переміщення іграшкового автомобіля, коливання кульки на нитці, закріпленої у штативі. Що спільного та чим відрізняються ці рухи на вигляд?(Відповіді учнів)

Вчитель. Прямолінійний рух – це рух, траєкторія якого – пряма лінія, криволінійний – крива. Наведіть приклади прямолінійного та криволінійного руху, з якими ви зустрічалися у житті.(Відповіді учнів)

Рух тіла по колу єокремим випадком криволінійного руху.

Будь-яку криву можна уявити, як суму дуг кілрізного (або однакового) радіусу.

Криволинійним рухом називають такий рух, який відбувається за дугами кіл.

Введемо деякі характеристики криволінійного руху.

Слайд 4 (перегляд відео " швидкість.avi» за посиланням на слайді)

Криволінійний рух із постійною за модулем швидкістю. Рух із прискоренням, т.к. швидкість змінює напрямок.

Слайд 5 . (перегляд відео «Залежність доцентрового прискорення від радіусу та швидкості. аvi » за посиланням на слайді)

Слайд 6 Напрямок векторів швидкості та прискорення.

(Робота з матеріалами слайду та аналіз малюнків, раціональне використання ефектів анімації, закладених в елементи малюнків, рис 1.)

Рис.1.

Слайд 7.

При рівномірному русі тіла по колу вектор прискорення постійно перпендикулярний вектору швидкості, який спрямований по дотичній до окружності.

Тіло рухається по колу за умови, що вектор лінійної швидкості перпендикулярний вектору доцентрового прискорення.

Слайд 8. (робота з ілюстраціями та матеріалами слайду)

Центрошвидке прискорення - прискорення, з яким тіло рухається по колу з постійною за модулем швидкістю, завжди спрямоване вздовж радіуса кола до центру.

a ц =

Слайд 9.

При русі по колу тіло через певний проміжок часу повернеться до початкової точки. Рух по колу – періодичний.

Період звернення - Це проміжок часуТ , Протягом якого тіло (точка) здійснює один оборот по колу.

Одиниця виміру періоду -секунда

Частота обертання  - Число повних оборотів в одиницю часу.

[  ] = с -1 = Гц

Одиниця виміру частоти

Повідомлення учня 1. Період - це величина, яка часто зустрічається у природі, науці та техніці. Земля обертається навколо осі, середній період цього обертання становить 24 години; повний оборот Землі навколо Сонця відбувається приблизно за 365,26 діб; гвинт вертольота має середній період обертання від 0,15 до 0,3; період кровообігу у людини дорівнює приблизно 21 – 22 с.

Повідомлення учня 2. Частоту вимірюють спеціальними приладами – тахометрами.

Частота обертання технічних пристроїв: ротор газової турбіни обертається із частотою від 200 до 300 1/с; куля, що вилетіла з автомата Калашникова, обертається із частотою 3000 1/с.

Слайд 10 Зв'язок періоду із частотою:

Якщо за час t тіло зробило N повних оборотів, то період обігу дорівнює:

Період і частота – це взаємозворотні величини: частота обернено пропорційна періоду, а період обернено пропорційна частоті

Слайд 11. Швидкість обігу тіла характеризують кутовою швидкістю.

Кутова швидкість(Циклічна частота)- число оборотів за одиницю часу, що у радіанах.

Кутова швидкість - кут повороту, на який повертається точка за часt.

Кутова швидкість вимірюється в рад/с.

Слайд 12 (перегляд відео «Шлях та переміщення при криволінійному русі.avi» за посиланням на слайді)

Слайд 13 . Кінематика руху по колу.

Вчитель. При рівномірному русі колом модуль його швидкості не змінюється. Але швидкість - векторна величина, і вона характеризується як числовим значенням, а й напрямом. При рівномірному русі по колу постійно змінюється напрям вектора швидкості. Тому такий рівномірний рух є прискореним.

Лінійна швидкість: ;

Лінійна та кутова швидкості пов'язані співвідношенням:

Центрошвидке прискорення: ;

Кутова швидкість: ;

Слайд 14 (Робота з ілюстраціями на слайді)

Напрямок вектор швидкості.Лінійна (миттєва швидкість) завжди спрямована по дотичній до траєкторії, проведеної до тієї її точки, де в даний момент знаходиться фізичне тіло, що розглядається.

Вектор швидкості спрямований по дотичній до описаного кола.

Рівномірний рух тіла по колу є рухом із прискоренням. При рівномірному русі тіла по колу величини і ω залишаються незмінними. У цьому випадку під час руху змінюється лише напрямок вектора.

Слайд 15 Відцентрова сила.

Сила, що утримує тіло, що обертається на колі і спрямована до центру обертання, називається доцентровою силою.

Щоб отримати формулу для розрахунку величини доцентрової сили, треба скористатися другим законом Ньютона, який застосовується і до будь-якого криволінійного руху.

Підставляючи у формулу значення доцентрового прискоренняa ц = , Отримаємо формулу доцентрової сили:

F =

З першої формули видно, що з однієї й тієї ж швидкості що менше радіус кола, то більше вписувалося центростремительная сила. Так, на поворотах дороги на тіло, що рухається (поїзд, автомобіль, велосипед) повинна діяти у напрямку до центру закруглення тим більша сила, чим крутіший поворот, тобто чим менше радіус закруглення.

Відцентрова сила залежить від лінійної швидкості: зі збільшенням швидкості вона збільшується. Це добре відомо всім ковзанярам, лижникам та велосипедистам: чим з більшою швидкістю рухаєшся, тим важче зробити поворот. Шофери дуже добре знають, як небезпечно круто повертати автомобіль на великій швидкості.

Слайд 16

Зведена таблиця фізичних величин, що характеризують криволінійний рух(аналіз залежностей між величинами та формулами)

Слайди 17, 18, 19. Приклади руху по колу.

Круговий рух на дорогах. Рух супутників довкола Землі.

Слайд 20 Атракціони, каруселі.

Повідомлення учня 3. У середні віки каруселями (слово тоді мало чоловічий рід) називали лицарські турніри. Пізніше, у XVIII столітті, для підготовки до турнірів, замість сутичок з реальними суперниками, стали використовувати платформу, що обертається, прообраз сучасної розважальної каруселі, яка тоді ж з'явилася на міських ярмарках.

У Росії її перший карусель був побудований 16 червня 1766 року перед Зимовим палацом. Карусель складався з чотирьох кадрил: Слов'янської, Римської, Індійської, Турецької. Вдруге карусель була побудована на тому самому місці, того ж року 11 липня. Детальний опис цих каруселів наводяться у газеті Санкт-Петербурзькі відомості 1766 року.

Карусель, поширена у дворах за радянських часів. Карусель може рухатися як двигуном (зазвичай електричним), і силами самих обертових, які перед тим як сісти на карусель, розкручують її. Такі каруселі, які потрібно розкручувати тим, хто катається, часто встановлюють на дитячих ігрових майданчиках.

Крім атракціонів, каруселями часто називають інші механізми, що мають подібну поведінку - наприклад, в автоматизованих лініях розливу напоїв, упаковці сипких речовин або виробництві друкованої продукції.

У переносному сенсі каруселлю називають низку швидко змінюються предметів або подій.

18 хв

Закріплення нового матеріалу. Застосування знань та умінь у новій ситуації.

Вчитель. Сьогодні на цьому уроці ми познайомилися з описом криволінійного руху, з новими поняттями та новими фізичними величинами.

Розмова з питань:

Що таке період? Що таке частота? Як пов'язані між собою ці величини? У яких одиницях вимірюються? Як можна їх визначити?

Що таке кутова швидкість? У яких одиницях вона вимірюється? Як можна її розрахувати?

Що називають кутовою швидкістю? Що є одиницею кутової швидкості?

Як пов'язані кутова та лінійна швидкості руху тіла?

Як спрямоване доцентрове прискорення? За якою формулою воно розраховується?

Слайд 21.

Завдання 1. Заповніть таблицю, розв'язавши завдання за вихідними даними (Мал.2), потім ми звіримо відповіді. (Учні працюють самостійно з таблицею, необхідно заздалегідь приготувати роздрук таблиці для кожного учня)

Рис.2

Слайд 22. Завдання 2.(усно)

Зверніть увагу на анімаційні ефекти малюнку. Порівняйте характеристики рівномірного руху синьої та червоної кулі. (Робота з ілюстрацією на слайді).

Слайд 23. Завдання 3.(усно)

Колеса представлених видів транспорту за те саме час здійснюють рівну кількість оборотів. Порівняйте їх доцентрові прискорення.(Робота з матеріалами слайду)

(Робота у групі, проведення експерименту, роздруківка інструкції для проведення експерименту є на кожному столі)

Обладнання: секундомір, лінійка, кулька, закріплена на нитці, штатив з муфтою та лапкою.

Ціль: досліджуватизалежність періоду, частоти та прискорення від радіусу обертання.

План роботи

Виміряйтечас t 10 повних обертів обертального руху та радіус R обертання, кульки, закріпленої на нитці у штативі.

Обчислітьперіод Т і частоту, швидкість обертання, доцентрове прискорення Результати оформіть у вигляді завдання.

Змінітьрадіус обертання (довжину нитки), повторіть досвід ще 1 разу, намагаючись зберегти колишню швидкість,прикладаючи колишнє зусилля.

Зробіть висновокпро залежність періоду, частоти та прискорення від радіусу обертання (чим менше радіус обертання, тим менший період обігу та більше значення частоти).

Слайди 24-29.

Передня робота з інтерактивним тестом.

Необхідно вибрати одну відповідь із трьох можливих, якщо була обрана правильна відповідь, то вона залишається на слайді, і починає блимати зелений індикатор, невірні відповіді зникають.

Тіло рухається по колу з постійною модулем швидкістю. Як зміниться його доцентрове прискорення при зменшенні радіуса кола в 3 рази?

У центрифузі пральної машини білизна при віджимі рухається по колу з постійною модулем швидкістю в горизонтальній площині. Як у своїй спрямований вектор його прискорення?

Ковзаняр рухається зі швидкістю 10 м/с по колу радіусом 20 м. Визначте його доцентрове прискорення.

Куди спрямоване прискорення тіла при його русі по колу з постійною за модулем швидкістю?

Матеріальна точка рухається по колу із постійною за модулем швидкістю. Як зміниться модуль її доцентрового прискорення, якщо швидкість точки збільшити втричі?

Колесо машини робить 20 оборотів за 10 с. Визначте період обігу колеса?

Слайд 30 Розв'язання задач(самостійна робота за наявності часу на уроці)

Варіант 1.

З яким періодом повинна обертатися карусель радіусом 6,4 м для того, щоб доцентрове прискорення людини на каруселі дорівнювало 10 м/с 2 ?

На арені цирку кінь скаче з такою швидкістю, що за 1 хвилину оббігає 2 кола. Радіус арени дорівнює 6,5 м. Визначте період і частоту обертання, швидкість та доцентрове прискорення.

Варіант 2.

Частота обігу каруселі 0,05 с -1 . Людина, яка обертається на каруселі, знаходиться на відстані 4 м від осі обертання. Визначте відцентрове прискорення людини, період обігу та кутову швидкість каруселі.

Крапка обода колеса велосипеда здійснює один оборот за 2 с. Радіус колеса 35 см. Чому дорівнює доцентрове прискорення точки обода колеса?

18 хв

Підбиття підсумків уроку.

Виставлення оцінок. Рефлексія.

Слайд 31 .

Д/з: п. 18-19, Упр.18 (2,4).

http:// www. stmary. ws/ highschool/ physics/ home/ lab/ labGraphic. gif

1.Рівномірний рух по колу

2.Кутова швидкість обертального руху.

3.Період обертання.

4. Частота обертання.

5. Зв'язок лінійної швидкості з кутовим.

6.Центрозривне прискорення.

7.Рівнозмінний рух по колу.

8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу.

9. Тангенціальне прискорення.

10. Закон рівноприскореного руху по колу.

11. Середня кутова швидкість у рівноприскореному русі по колу.

12. Формули, що встановлюють зв'язок між кутовою швидкістю, кутовим прискоренням та кутом повороту в рівноприскореному русі по колу.

1.Рівномірний рух по колу– рух, у якому матеріальна точка за рівні інтервали часу проходить рівні відрізки дуги кола, тобто. точка рухається по колу з постійною за модулем швидкістю. І тут швидкість дорівнює відношенню дуги кола, пройденої точкою на час руху, тобто.

і називається лінійною швидкістю руху по колу.

Як і в криволінійному русі, вектор швидкості спрямований по дотичній до кола в напрямку руху (Рис.25).

2. Кутова швидкість в рівномірному русі по колу- Відношення кута повороту радіусу до часу повороту:

У рівномірному русі по колу кутова швидкість стала. У системі СІ кутова швидкість вимірюється (рад/c). Один радіан – радий це центральний кут, що стягує дугу кола довжиною, що дорівнює радіусу. Повний кут містить радіан, тобто. за один оберт радіус повертається на кут радіан.

3. Період обертання- Інтервал часу Т, протягом якого матеріальна точка здійснює один повний оборот. У системі СІ період вимірюється за секунди.

4. Частота обертів- Число оборотів , що здійснюються за одну секунду. У системі СІ частота вимірюється у герцах (1Гц = 1). Один герц - частота, коли за одну секунду відбувається один оборот. Легко збагнути, що

Якщо за час t точка здійснює n оборотів по колу.

Знаючи період і частоту обертання, кутову швидкість можна обчислювати за такою формулою:

5 Зв'язок лінійної швидкості з кутовим. Довжина дуги кола дорівнює де центральний кут, виражений у радіанах, що стягує дугу радіус кола. Тепер лінійну швидкість запишемо у вигляді

Часто зручно використовувати формули: або Кутову швидкість часто називають циклічною частотою, а частоту лінійною частотою.

6. Центрошвидке прискорення. У рівномірному русі по колу модуль швидкості залишається незмінним , а напрямок її безперервно змінюється (Рис.26). Це означає, що тіло, що рухається рівномірно по колу, відчуває прискорення, яке спрямоване до центру і називається доцентровим прискоренням.

Нехай за проміжок часу пройшов шлях рівний дузі кола. Перенесемо вектор , залишаючи його паралельним самому собі, так щоб його початок співпав з початком вектора в точці В. Модуль зміни швидкості дорівнює , а модуль доцентрового прискорення дорівнює

На рис.26 трикутники АОВ і ДВС рівнобедрені і кути при вершинах О і В рівні, як кути із взаємно перпендикулярними сторонами АВ і ОВ Це означає, що трикутники АОВ та ДВС подібні. Отже Якщо тобто інтервал часу приймає скільки завгодно малі значення, то дугу можна приблизно вважати рівною хорді АВ, тобто. . Тому можемо записати З огляду на, що ВД= , ОА=R отримаємо Помножуючи обидві частини останньої рівності на , отримаємо і далі вираз для модуля доцентрового прискорення в рівномірному русі по колу: . Враховуючи, що отримаємо дві часто застосовувані формули:

Отже, в рівномірному русі по колу доцентрове прискорення постійно по модулю.

Легко збагнути, що у межі при , кут . Це означає, що кути на основі ДС трикутника ДВС прагнуть значення , а вектор зміни швидкості стає перпендикулярним до вектора швидкості , тобто. спрямований по радіусу до центру кола.

7. Рівноперемінний рух по колу- Рух по колу, при якому за рівні інтервали часу кутова швидкість змінюється на ту саму величину.

8. Кутове прискорення в рівнозмінному русі по колу- Відношення зміни кутової швидкості до інтервалу часу, протягом якого ця зміна відбулася, тобто.

де початкове значення кутової швидкості, кінцеве значення кутової швидкості, кутове прискорення в системі СІ вимірюється в . З останньої рівності отримаємо формули для обчислення кутової швидкості

І якщо .

Помножуючи обидві частини цих рівнів і враховуючи, що , - тангенціальне прискорення, тобто. прискорення, спрямоване по дотичному до кола, отримаємо формули для обчислення лінійної швидкості:

І якщо .

9. Тангенціальне прискореннячисельно дорівнює зміні швидкості в одиницю часу і направлено вздовж дотичної до кола. Якщо >0, >0, рух рівноприскорений. Якщо<0 и <0 – движение.

10. Закон рівноприскореного руху по колу. Шлях, пройдений по колу за час у рівноприскореному русі, обчислюється за такою формулою:

Підставляючи сюди , скорочуючи на , отримаємо закон рівноприскореного руху по колу:

Або, якщо.

Якщо рух рівнозамедленное, тобто.<0, то

11.Повне прискорення в рівноприскореному русі по колу. У рівноприскореному русі по колу доцентрове прискорення з часом зростає, т.к. завдяки тангенціальному прискоренню зростає лінійна швидкість. Дуже часто доцентрове прискорення називають нормальним і позначають як . Так як повне прискорення в даний момент визначають теорему Піфагора (Рис.27).

12. Середня кутова швидкість в рівноприскореному русі по колу. Середня лінійна швидкість в рівноприскореному русі по колу дорівнює. Підставляючи сюди і скорочуючи на отримаємо

Якщо то .

Підставляючи у формулу величини , , , ,

і скорочуючи на , отримаємо

Лекція-4. Динаміка.

1. Динаміка

2. Взаємодія тел.

3. Інерція. Принцип інерції

4. Перший закон Ньютона.

5. Вільна матеріальна точка.

6. Інерційна система відліку.

7. Неінерційна система відліку.

8. Принцип відносності Галілея.

9. Перетворення Галілея.

11. Додавання сил.

13. Щільність речовин.

14. Центр мас.

15. Другий закон Ньютона.

16. Одиниця виміру сили.

17. Третій закон Ньютона

1. ДинамікаІснує розділ механіки, що вивчає механічний рух, залежно від сил, що викликають зміну цього руху.

2.Взаємодії тіл. Тіла можуть взаємодіяти як при безпосередньому зіткненні, так і на відстані за допомогою особливого виду матерії, званого фізичним полем.

Наприклад, всі тіла притягуються одне до одного і це тяжіння здійснюється у вигляді гравітаційного поля, а сили тяжіння називаються гравітаційними.

Тіла, що несуть у собі електричний заряд, взаємодіють за допомогою електричного поля. Електричні струми взаємодіють у вигляді магнітного поля. Ці сили називають електромагнітними.

Елементарні частинки взаємодіють за допомогою ядерних полів і ці сили називають ядерними.

3.Інерція. У IV ст. до зв. е. Грецька філософ Аристотель стверджував, що причиною руху тіла є сила, що діє з боку іншого тіла або тіл. При цьому, на думку Аристотеля постійна сила повідомляє тілу постійну швидкість і з припиненням дії сили припиняється рух.

У 16 ст. італійський фізик Галілео Галілей, проводячи досліди з тілами, що скочуються по похилій площині і з тілами, що падають, показав, що постійна сила (в даному випадку вага тіла) повідомляє тілу прискорення.

Отже, на основі експериментів Галілей показав, що сила - причина прискорення тіл. Наведемо міркування Галілея. Нехай дуже гладка куля котиться по гладкій горизонтальній площині. Якщо кулі нічого не заважає, то він може котитися скільки завгодно довго. Якщо ж по дорозі кулі насипати тонкий шар піску, він дуже швидко зупиниться, т.к. на нього подіяла сила тертя піску.

Так Галілей дійшов формулювання принципу інерції, за яким матеріальне тіло зберігає стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо не діють зовнішні сили. Часто цю властивість матерії називають інерцією, а рух тіла без зовнішніх впливів-рухом по інерції.

4. Перший закон Ньютона. У 1687 року з урахуванням принципу інерції Галілея Ньютон сформулював перший закон динаміки – перший закон Ньютона:

Матеріальна точка (тіло) перебуває у стані спокою чи рівномірного прямолінійного руху, якщо неї не діють інші тіла, чи сили, діючі із боку інших тіл, врівноважені, тобто. скомпенсовані.

5.Вільна матеріальна точка- Матеріальна точка, на яку не діють інші тіла. Іноді кажуть – ізольована матеріальна точка.

6. Інерційна система відліку (ІСО)– система відліку, щодо якої ізольована матеріальна точка рухається прямолінійно та рівномірно, або перебуває у стані спокою.

Будь-яка система відліку, яка рухається рівномірно і прямолінійно щодо ІСО є інерційною,

Наведемо ще одне формулювання першого закону Ньютона: Існують системи відліку, щодо яких вільна матеріальна точка рухається прямолінійно і рівномірно, або перебуває у стані спокою. Такі системи відліку називають інерційними. Найчастіше перший закон Ньютона називають законом інерції.

Першому закону Ньютона можна дати ще й таке формулювання: всяке матеріальне тіло чинить опір зміні його швидкості. Ця властивість матерії називається інертністю.

Із проявом цього закону ми стикаємось щодня у міському транспорті. Коли автобус різко набирає швидкість, нас притискає до спинки сидіння. Коли ж автобус гальмує, наше тіло заносить по ходу руху автобуса.

7. Неінерційна система відліку –система відліку, яка рухається нерівномірно щодо ІСО.

Тіло, яке щодо ІСО знаходиться у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху. Щодо неінерціальної системи відліку рухається нерівномірно.

Будь-яка система відліку, що обертається, є неінерційна система відліку, т.к. у цій системі тіло відчуває доцентрове прискорення.

У природі та техніці немає тіл, які могли б служити як ІСО. Наприклад, Земля обертається навколо своєї осі і будь-яке тіло на її поверхні зазнає доцентрового прискорення. Однак протягом досить коротких проміжків часу систему відліку, пов'язану з поверхнею Землі в деякому наближенні можна вважати ISO.

8.Принцип відносності Галілея. ISO може бути сіль завгодно багато. Тому виникає запитання: як виглядають одні й ті самі механічні явища у різних ІСО? Чи можна використовуючи механічні явища, виявити рух ISO, в якій вони спостерігаються.

Відповідь ці питання дає принцип відносності класичної механіки, відкритий Галілеєм.

Сенс принципу відносності класичної механіки полягає у твердженні: всі механічні явища протікають абсолютно однаково в усіх інерційних системах відліку.

Цей принцип можна сформулювати і так: всі закони класичної механіки виражаються однаковими математичними формулами. Іншими словами, ніякі механічні досліди не допоможуть нам виявити рух ISO. Це означає, що спроба виявити рух ISO не має сенсу.

З проявом принципу відносності ми стикалися, подорожуючи поїздами. У момент, коли наш поїзд стоїть на станції, а поїзд, що стояв на сусідній колії, повільно починає рух, то в перші миті нам здається, що рухається наш поїзд. Але буває і навпаки, коли наш поїзд плавно набирає хід, нам здається, що рух розпочав сусідній поїзд.

У наведеному прикладі принцип відносності проявляється протягом малих інтервалів часу. Зі збільшенням швидкості ми починаємо відчувати поштовхи розгойдування вагона, тобто наша система відліку стає неінерційною.

Отже, спроба виявити рух ISO не має сенсу. Отже, абсолютно байдуже, яку ISO вважати нерухомою, а яку - рухомою.

9. Перетворення Галілея. Нехай дві ISO та рухаються один щодо одного зі швидкістю. Відповідно до принципу відносності ми можемо покласти, що ІСО К нерухома, а ІСО рухається відносно зі швидкістю . Для простоти припустимо, що відповідні осі координат систем і паралельні, а осі збігаються. Нехай у момент початку систем збігаються і рух відбувається вздовж осей і, тобто. (Мал.28)

11. Складання сил. Якщо частинці прикладено дві сили, то результуюча сила дорівнює їхній векторної , тобто. діагоналі паралелограма, побудованого на векторах та (Рис.29).

Цим самим правилом при розкладанні цієї сили на дві складові сили. Для цього на векторі даної сили, як на діагоналі, будують паралелограм, сторони якого збігаються з напрямком складових сил, прикладених до цієї частки.

Якщо ж до частки прикладено кілька сил, то результуюча дорівнює геометричній сумі всіх сил:

12.Маса. Досвід показав, що відношення модуля сили до модуля прискорення, яке ця сила повідомляє тілу, є постійна величина для даного тіла і називається масою тіла:

З останньої рівності випливає, що чим більша маса тіла, велику силу необхідно докласти, щоб змінити його швидкість. Отже, що більше маса тіла тим більше інертно, тобто. маса є мірою інертності тіл. Масу, визначену таким чином, називають інертною масою.

У системі СІ маса вимірюється у кілограмах (кг). Один кілограм – це маса дисциррованої води в обсязі одного кубічного дециметра, взятої за температури

13. Щільність речовини- маса речовини, що міститься в одиниці об'єму або відношення маси тіла до його об'єму

Щільність вимірюється в () у системі СІ. Знаючи щільність тіла та його обсяг можна обчислити його масу за формулою. Знаючи густину і масу тіла, його обсяг обчислюють за формулою .

14.Центр мас- Точка тіла, що володіє тим властивістю, що, якщо напрямок дії сили проходить через цю точку тіло рухається поступально. Якщо ж напрямок дії не проходить через центр мас, то тіло переміщається, одночасно обертаючись навколо свого центру мас

15. Другий закон Ньютона. В ІСО сума сил, що діють на тіло, дорівнює добутку маси тіла на прискорення, що повідомляється цією силою

16.Одиниця виміру сили. У системі СІ сила вимірюється у ньютонах. Один ньютон (н) – це сила, яка, діючи на тіло масою один кілограм, повідомляє йому прискорення. Тому.

17. Третій закон Ньютона. Сили, з якими два тіла діють одне на одного, рівні за модулем, протилежні за напрямом і діють вздовж однієї прямої, що з'єднує ці тіла.

Рух по колу – найпростіший випадок криволінійного руху тіла. Коли тіло рухається навколо певної точки, поряд з вектором переміщення зручно ввести кутове переміщення ∆φ (кут повороту щодо центру кола), що вимірюється в радіанах.

Знаючи кутове переміщення, можна вирахувати довжину дуги кола (шлях), яку пройшло тіло.

∆ l = R ∆ φ

Якщо кут повороту малий, то ∆ l ≈ ∆ s .

Проілюструємо сказане:

Кутова швидкість

При криволінійному русі вводиться поняття кутової швидкості , тобто швидкості зміни кута повороту.

Визначення. Кутова швидкість

Кутова швидкість в даній точці траєкторії - межа відношення кутового переміщення φ до проміжку часу t , за яке воно сталося. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

Одиниця виміру кутової швидкості - радіан в секунду (ряд).

Існує зв'язок між кутовим і лінійним швидкостями тіла при русі по колу. Формула для знаходження кутової швидкості:

При рівномірному русі по колу, швидкості v і ω залишаються незмінними. Змінюється лише напрямок вектора лінійної швидкості.

При цьому рівномірний рух по колу на тіло діє доцентрове, або нормальне прискорення, спрямоване по радіусу кола до її центру.

a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Модуль доцентрового прискорення можна обчислити за формулою:

a n = v 2 R = ω 2 R

Доведемо ці співвідношення.

Розглянемо, як змінюється вектор v → за проміжок часу ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .

У точках А і вектор швидкості спрямований по дотичній до кола, при цьому модулі швидкостей в обох точках однакові.

За визначенням прискорення:

a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0

Поглянемо на малюнок:

Трикутники OAB та BCD подібні. З цього випливає, що O A A B = B C C D .

Якщо значення кута ∆ φ мало, відстань A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Зважаючи на те, що O A = R і C D = ∆ v для розглянутих вище подібних трикутників отримаємо:

R v ∆ t = v ∆ v або ∆ v ∆ t = v 2 R

При ∆ φ → 0 , напрямок вектора ∆ v → = v B → - v A → наближається до напрямку до центру кола. Приймаючи, що ∆ t → 0 отримуємо:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t; ∆ t → 0; a n → = v 2 R .

При рівномірному русі по колу модуль прискорення залишається незмінним, а напрямок вектора змінюється з часом, зберігаючи орієнтацію на центр кола. Саме тому це прискорення називається доцентровим: вектор у будь-який момент часу спрямований до центру кола.

Запис доцентрового прискорення у векторній формі виглядає наступним чином:

a n → = - ω 2 R → .

Тут R → - радіус векторної точки на колі з початком в її центрі.

У загальному випадку прискорення при русі по колу складається з двох компонентів - нормальне та тангенціальне.

Розглянемо випадок, коли тіло рухається по колу нерівномірно. Введемо поняття тангенціального (дотикового) прискорення. Його напрямок збігається з напрямком лінійної швидкості тіла і в кожній точці кола спрямовано по дотичній до неї.

a τ = ∆ v τ ∆ t; ∆ t → 0

Тут ∆ v τ = v 2 – v 1 – зміна модуля швидкості за проміжок ∆ t

Напрямок повного прискорення визначається векторною сумою нормального та тангенціального прискорень.

Рух по колу у площині можна описувати за допомогою двох координат: x та y. У кожний момент часу швидкість тіла можна розкласти на складові v x і v y.

Якщо рух рівномірний, величини v x і v y а також відповідні координати будуть змінюватися в часі за гармонічним законом із періодом T = 2 π R v = 2 π ω