Паралелограм у задачах. Як знайти площу паралелограма, трикутника, трапеції Як розрахувати площу паралелограма

Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць.

Формули площі трикутника

1. Формула площі трикутника по стороні та висоті
   Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
   
2. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола
   
3. Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
   Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
   
де S - площа трикутника,
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола,

Формули площі квадрата

1. Формула площі квадрата по довжині сторони
   Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
2. Формула площі квадрата за довжиною діагоналі
   Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі.
   

   S =	1	2
   	2

де S - Площа квадрата,
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.

Формула площі прямокутника

Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін

де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника.

Формули площі паралелограма

1. Формула площі паралелограма по довжині сторони та висоті
   Площа паралелограма
2. Формула площі паралелограма по обидва боки та кут між ними
   Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
   

   a · b · sin α

де S - Площа паралелограма,
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.

Формули площі ромба

1. Формула площі ромба по довжині сторони та висоті
   Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
2. Формула площі ромба по довжині сторони та куту
   Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
3. Формула площі ромба за довжинами його діагоналей
   Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
де S - Площа ромба,
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.

Формули площі трапеції

1. Формула Герону для трапеції

   Де S - Площа трапеції,
   - Довжини основ трапеції,
   - Довжини бічних сторін трапеції,
   

Паралелограм- Це чотирикутник, у якого сторони попарно паралельні.

У цій фігурі протилежні сторони та кути рівні між собою. Діагоналі паралелограма перетинаються в одній точці та діляться їй навпіл. Формули площі паралелограма дозволяють знайти значення через сторони, висоту та діагоналі. Паралелограм також може бути представлений у окремих випадках. Ними вважаються прямокутник, квадрат та ромб.
Для початку розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма за висотою та стороною, до якої вона опущена.

Цей випадок вважається класичним і вимагає додаткового розгляду. Краще розглянемо формулу обчислення площі через дві сторони та кут між ними. Той самий спосіб застосовується у розрахунку . Якщо дано сторони та кут між ними, то площа розраховується так:

Припустимо, дано паралелограм зі сторонами a = 4 см, b = 6 см. Кут між ними α = 30 °. Знайдемо площу:

Площа паралелограма через діагоналі

Формула площі паралелограма через діагоналі дозволяє швидко знайти значення.
Для обчислень знадобиться величина кута, розташованого між діагоналями.

Розглянемо приклад розрахунку площі паралелограма через діагоналі. Нехай дано паралелограм із діагоналями D = 7 см, d = 5 см. Кут, що лежить між ними α =30°. Підставимо дані у формулу:

Приклад розрахунку площі паралелограма через діагональ дав чудовий результат – 8,75.

Знаючи формулу площі паралелограма через діагональ, можна вирішувати безліч цікавих завдань. Давайте розглянемо одну з них.

Завдання:Дано паралелограм із площею 92 кв. див. Точка F розташована на середині його боку ПС. Давайте знайдемо площу трапеції ADFB, яка лежатиме в нашому паралелограмі. Спочатку намалюємо все, що отримали за умовами.
Приступаємо до вирішення:

За нашими умовами ah = 92, а відповідно, площа нашої трапеції дорівнюватиме

Перш ніж дізнатися, як знайти площу паралелограма, нам необхідно згадати, що таке паралелограм і що називається його висотою. Паралелограм – чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні (лежать на паралельних прямих). Перпендикуляр, проведений з довільної точки протилежної сторони до прямої, що містить цю сторону, називається висотою паралелограма.

Квадрат, прямокутник і ромб – це окремі випадки паралелограма.

Площа паралелограма позначається як (S).

Формули знаходження площі паралелограма

S = a * h , де а - це основа, h - це висота, яка проведена до основи.

S=a*b*sinα , де a та b – це основи, а α - кут між основами а та b.

S = p * r, де р - це напівпериметр, r - це радіус кола, яке вписано в паралелограм.

Площа паралелограма, який утворений векторами a та b дорівнює модулю добутку заданих векторів, а саме:

Розглянемо приклад №1: Даний паралелограм, сторона якого дорівнює 7 см, а висота 3 см. Як знайти площу паралелограма, формула для вирішення нам необхідна.

Таким чином, S = 7x3. S=21. Відповідь: 21 см 2 .

Розглянемо приклад №2: Дано основи 6 і 7 см, а також дано кут між основами 60 градусів. Як знайти площу паралелограма? Формула, яка використовується для вирішення:

Отже, спочатку знайдемо синус кута. Синус 60 = 0,5, відповідно S = 6 * 7 * 0,5 = 21 Відповідь: 21 см 2 .

Сподіваюся, що ці приклади Вам допоможуть під час вирішення завдань. І пам'ятайте, головне – це знання формул та уважність

Що таке паралелограм? Паралелограм називається чотирикутник, у якого протилежні сторони попарно паралельні.

1. Площа паралелограма обчислюється за такою формулою:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

де:
a - сторона паралелограма,
h a – висота, проведена до цієї сторони.

2. Якщо відомі довжини двох суміжних сторін паралелограма та кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Якщо задані діагоналі паралелограма та відомий кут між ними, то площа паралелограма обчислюється за формулою:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Властивості паралелограма

У паралелограмі протилежні сторони дорівнюють: \(AB = CD \) , \(BC = AD \)

У паралелограмі протилежні кути рівні: \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \)

Діагоналі паралелограма в точці перетину діляться навпіл \(AO = OC \) , \(BO = OD \)

Діагональ паралелограма ділить його на два рівні трикутники.

Сума кутів паралелограма, що належать до однієї сторони, дорівнює 180 o:

\(\angle A + \angle B = 180^(o) \), \(\angle B + \angle C = 180^(o)\)

\(\angle C + \angle D = 180^(o) \), \(\angle D + \angle A = 180^(o)\)

Діагоналі та сторони паралелограма пов'язані наступним співвідношенням:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

У паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому куту: \(\angle K B H =\angle A \) .

Бісектриси кутів, що належать до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні.

Бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.

Ознаки паралелограма

Чотирьохкутник буде паралелограмом, якщо:

\(AB = CD \) та \(AB || CD \)

\(AB = CD \) та \(BC = AD \)

\(AO = OC \) та \(BO = OD \)

\(\angle A = \angle C \) і \(\angle B = \angle D \)

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Як у евклідовій геометрії точка і пряма – головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, витікають поняття прямокутника, квадрата, ромба та інших геометричних величин.

Вконтакте

Визначення паралелограма

Випуклий чотирикутник,що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий у геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм, зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються основами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині сторону - висотою (BE і BF), лінії AC і BD - діагоналями.

Увага!Квадрат, ромб і прямокутник - це окремі випадки паралелограма.

Сторони та кути: особливості співвідношення

Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорема Ці показники такі:

1. Сторони, які є протилежними - попарно однакові.
2. Кути, розташовані протилежно один до одного - попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC та ∆ADC, які виходять внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямий AC. ∠BCA=∠CAD та ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD та AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC в ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

Основна ознакацих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай т. е. - Це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірні трикутники - ∆ABE і ∆CDE.

AB=CD, оскільки вони протилежні. Відповідно до прямих і січної, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ABE і CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони пропорційні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180 °, оскільки вони лежать по один бік паралельних ліній та січній. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

1. опущені на один бік, є перпендикулярними;
2. протилежні вершини мають паралельні бісектриси;
3. трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма з теореми

Ознаки цієї постаті випливають із її основної теореми, яка свідчить наступне: чотирикутник вважається паралелограмому тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD та BC. Отже, за визначенням паралельності - AD || BC. Аналогічна властивість ліній BC та CD виводиться також. Теорему доведено.

Обчислення площі фігури

Площа цієї фігури знаходиться декількома методами,одним із найпростіших: множення висоти та підстави, до якої вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE та CF з вершин B та C. ∆ABE та ∆DCF - рівні, оскільки AB = CD та BE = CF. ABCD - рівновеликий з прямокутником EBCF, оскільки вони складаються і пропорційних фігур: S ABE і S EBCD , а також S DCF і S EBCD . З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а бік - b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

Обчислення площі через сторони паралелограма та кут, Який вони утворюють, - другий відомий метод.

,

Sпр-ма – площа;

a та b - його сторони

α - кут між відрізками a та b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у разі, якщо невідома. завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого перебувають тригонометричними тотожностями, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором та отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма та кут,який вони створюють при перетині, також можна знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючи, утворюють чотири трикутники: ABE, BEC, CDE та AED. Їхня сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площу кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d 1 і BE+DE=BD= d 2 формула площі зводиться до:

.

Застосування у векторній алгебрі

Особливості складників цього чотирикутника знайшли застосування у векторній алгебрі, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані векториінеколінеарні, то їх сума дорівнюватиме діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: із довільно обраного початку – т. о. - Будуємо вектори та . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA та OB – сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі чи сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені за таких умов:

1. a і b, α - сторони та кут між ними;
2. d 1 і d 2 , - діагоналі і в точці їх перетину;
3. h a та h b - висоти, опущені на сторони a та b;

Параметр	Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинус кута між ними
по діагоналях та стороні
через висоту та протилежну вершину
Знаходження довжини діагоналей
по сторонах та величині вершини між ними
з боків та однієї з діагоналей	 Висновок Паралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування у житті, наприклад, у будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки та способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя.