Рівняння по теоремі пифагора. Способи доведення теореми Піфагора. Подібні геометричні фігури на трьох сторонах

Переконайтеся, що даний вам трикутник є прямокутним, так як теорема Піфагора може бути застосована тільки до прямокутним трикутниках. У прямокутних трикутниках один з трьох кутів завжди дорівнює 90 градусам.

Прямий кут в прямокутному трикутнику позначається значком у вигляді квадрата, а не у вигляді кривої, яка позначає непрямі кути.

Позначте боку трикутника. Катети позначте як «а» і «b» (катети - сторони, що перетинаються під прямим кутом), а гіпотенузу - як «с» (гіпотенуза - найбільша сторона прямокутного трикутника, Що лежить навпроти прямого кута).

Визначте, яку сторону трикутника потрібно знайти. Теорема Піфагора дозволяє знайти будь-яку сторону прямокутного трикутника (якщо відомі дві інші сторони). Визначте, яку сторону (a, b, c) необхідно знайти.

Наприклад, дана гіпотенуза, що дорівнює 5, і дано катет, що дорівнює 3. У цьому випадку необхідно знайти другий катет. Ми повернемося до цього прикладу пізніше.
Якщо дві інші сторони невідомі, необхідно знайти довжину однієї з невідомих сторін, щоб мати можливість застосувати теорему Піфагора. Для цього використовуйте основні тригонометричні функції (Якщо вам дано значення одного з непрямих кутів).

Підставте у формулу a 2 + b 2 \u003d c 2 дані вам значення (або знайдені вами значення). Пам'ятайте, що a і b - це катети, а с - гіпотенуза.

У нашому прикладі напишіть: 3² + b² \u003d 5².

Зведіть в квадрат кожну відому сторону. Або ж залиште ступеня - ви можете звести числа в квадрат пізніше.

У нашому прикладі напишіть: 9 + b² \u003d 25.

Обособьте невідому сторону на одному боці рівняння. Для цього перенесіть відомі значення на іншу сторону рівняння. Якщо ви знаходите гіпотенузи, то в теоремі Піфагора вона вже відособлена на одній стороні рівняння (тому робити нічого не потрібно).

У нашому прикладі перенесіть 9 на праву сторону рівняння, щоб відокремити невідоме b². Ви отримаєте b² \u003d 16.

вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння. На даному етапі на одній стороні рівняння присутній невідоме (в квадраті), а на іншій стороні - вільний член (число).

У нашому прикладі b² \u003d 16. Вийміть квадратний корінь з обох частин рівняння і отримаєте b \u003d 4. Таким чином, другий катет дорівнює 4 .

Використовуйте теорему Піфагора в повсякденному житті, так як її можна застосовувати у великому числі практичних ситуацій. Для цього навчитеся розпізнавати прямокутні трикутники в повсякденному житті - в будь-якій ситуації, в якій два предмета (або лінії) перетинаються під прямим кутом, а третій предмет (або лінія) з'єднує (по діагоналі) верхівки двох перших предметів (або ліній), ви можете використовувати теорему Піфагора, щоб знайти невідому сторону (якщо дві інші сторони відомі).

Приклад: дана сходи, притулені до будівлі. Нижня частина сходів знаходиться в 5 метрах від підстави стіни. Верхня частина сходів знаходиться в 20 метрах від землі (вгору по стіні). Яка довжина сходів?
- «В 5 метрах від підстави стіни» означає, що а \u003d 5; «Знаходиться в 20 метрах від землі» означає, що b \u003d 20 (тобто вам дано два катета прямокутного трикутника, так як стіна будівлі і поверхня Землі перетинаються під прямим кутом). Довжина сходів є довжина гіпотенузи, яка невідома.
  - a² + b² \u003d c²
  - (5) ² + (20) ² \u003d c²
  - 25 + 400 \u003d c²
  - 425 \u003d c²
  - з \u003d √425
  - з \u003d 20,6. Таким чином, приблизна довжина сходів дорівнює 20,6 метрів.

Теорема Піфагора говорить:

У прямокутному трикутнику сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи:

a 2 + b 2 \u003d c 2,

a і b - катети, що утворюють прямий кут.
з - гіпотенуза трикутника.

Формули теореми Піфагора

a \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b \u003d \\ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c \u003d \\ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Доказ теореми Піфагора

Площа прямокутного трикутника обчислюється за формулою:

S \u003d \\ frac (1) (2) ab

Для обчислення площі довільного трикутника формула площі:

p - напівпериметр. p \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c),
r - радіус вписаного кола. Для прямоугольнікаr \u003d \\ frac (1) (2) (a + b-c).

Потім прирівнюємо праві частини обох формул для площі трикутника:

\\ Frac (1) (2) ab \u003d \\ frac (1) (2) (a + b + c) \\ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab \u003d (a + b + c) (a + b-c)

2 ab \u003d \\ left ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \\ right)

2 ab \u003d a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 \u003d a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) \u003d a ^ (2) + b ^ (2)

Зворотній теорема Піфагора:

Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний. Тобто для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що

a 2 + b 2 \u003d c 2,

існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Доведено вона вченим математиком і філософом Піфагором.

значення теореми в тому, що з її допомогою можна довести інші теореми і вирішувати завдання.

Додатковий матеріал:

теорема Піфагора: Сума площ квадратів, що спираються на катети ( a і b), Дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі ( c).

Геометрична формулювання:

Спочатку теорема була сформульована таким чином:

Алгебраїчна формулювання:

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c , А довжини катетів через a і b :

a 2 + b 2 = c 2

Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотній теорема Піфагора:

докази

Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (наприклад за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.

нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. трикутник ACH подібний трикутнику ABC за двома кутами. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. ввівши позначення

отримуємо

що еквівалентно

Склавши, отримуємо

Докази методом площ

Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

Доказ через равнодополняемость

Розташуємо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на малюнку 1.
Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і двох внутрішніх квадратів.

Що і потрібно було довести.

Докази через равносоставленності

Елегантне доказ за допомогою перестановки

Приклад одного з таких доказів вказано на кресленні праворуч, де квадрат, побудований на гіпотенузі, перестановкою перетворюється в два квадрата, побудованих на катетах.

доказ Евкліда

Креслення до доказу Евкліда

Ілюстрація до доказу Евкліда

Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах.

Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (НЕ зображеного на малюнку), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK.

Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно, трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними. Саме - AB \u003d AK, AD \u003d AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 ° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (з огляду на те, що кут при вершині квадрата - 90 °).

Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно.

Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах. Ідея даного докази додатково проілюстрована за допомогою анімації, розташованої вище.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи докази - симетрія і рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB . Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.

Доказ методом нескінченно малих

Наступний доказ за допомогою диференціальних рівнянь часто приписують відомому англійському математику Харді, який жив у першій половині XX століття.

Розглядаючи креслення, показаний на малюнку, і спостерігаючи зміна боку a, Ми можемо записати наступне співвідношення для нескінченно малих збільшень сторін з і a (Використовуючи подобу трикутників):

Доказ методом нескінченно малих

Користуючись методом поділу змінних, знаходимо

Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи в разі збільшень обох катетів

Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо

c 2 = a 2 + b 2 + constant.

Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді

c 2 = a 2 + b 2 .

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними вкладами від збільшення різних катетів.

Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення (в даному випадку катет b ). Тоді для константи інтегрування отримаємо

Варіації і узагальнення

Якщо замість квадратів побудувати на катетах інші подібні фігури, то вірно наступне узагальнення теореми Піфагора: У прямокутному трикутнику сума площ подібних фігур, побудованих на катетах, дорівнює площі фігури, побудованої на гіпотенузі. Зокрема:
- Сума площ правильних трикутників, побудованих на катетах, дорівнює площі правильного трикутника, побудованого на гіпотенузі.
- Сума площ півкіл, побудованих на катетах (як на діаметрі), дорівнює площі півкола, побудованого на гіпотенузі. Цей приклад використовується при доказі властивостей фігур, обмежених дугами двох кіл і носять ім'я Гиппократова луночек.

Історія

Чу-пей 500-200 до нашої ери. Зліва напис: сума квадратів довжин висоти і підстави є квадрат довжини гіпотенузи.

В старокитайської книзі Чу-пей йдеться про Піфагора трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5: У цій же книзі запропоновано малюнок, який збігається з одним з креслень індуської геометрії Басхари.

Кантор (найбільший німецький історик математики) вважає, що рівність 3 ² + 4 ² \u003d 5² було відомо вже єгиптянам ще близько 2300 р. До н.е. е., за часів царя Аменемхета I (згідно папірусу 6619 Берлінського музею). На думку Кантора гарпедонапти, або "натягівателі мотузок", будували прямі кути за допомогою прямокутних трикутників зі сторонами 3, 4 і 5.

Дуже легко можна відтворити їх спосіб побудови. Візьмемо мотузку довжиною в 12 м. І прив'яжемо до неї по кольоровий смужці на відстані 3м. від одного кінця і 4 метри від іншого. Прямий кут виявиться укладеним між сторонами довжиною в 3 і 4 метри. Гарпедонаптам можна було б заперечити, що їх спосіб побудови ставати зайвим, якщо скористатися, наприклад, дерев'яним косинцем, застосовуваним усіма теслями. І дійсно, відомі єгипетські малюнки, на яких зустрічається такий інструмент, наприклад малюнки, що зображають столярну майстерню.

Дещо більше відомо про теорему Піфагора у вавилонян. В одному тексті, относимом до часу Хаммурабі, т. Е. До 2000 р до н. е., наводиться наближене обчислення гіпотенузи прямокутного трикутника. Звідси можна зробити висновок, що в Дворіччя вміли робити обчислення з прямокутними трикутниками, по крайней мере в деяких випадках. Грунтуючись, з одного боку, на сьогоднішньому рівні знань про єгипетській і вавилонській математиці, а з іншого-на критичному вивченні грецьких джерел, Ван-дер-Варден (голландський математик) зробив наступний висновок:

література

Російською мовою

Скопець З. А. Геометричні мініатюри. М., 1990.
Еленьскій Щ. Слідами Піфагора. М., 1961
Ван-дер-Варден Б. Л. Пробуджує наука. Математика Стародавнього Єгипту, Вавилона і Греції. М., 1959
Глейзер Г. І. Історія математики в школі. М., 1982
В.Літцман, «Теорема Піфагора» М., 1960.
- Сайт про теорему Піфагора з великим числом доказів матеріал взято з книги В.Літцмана, велике число креслень представлено у вигляді окремих графічних файлів.
Теорема Піфагора і піфагорові трійки глава з книги Д. В. Аносова «Погляд на математику і щось з неї»
Про теорему Піфагора і способах її докази Г. Глейзер, академік РАО, Москва

Англійською

Теорема Піфагора на WolframMathWorld (англ.)
Cut-The-Knot, секція присвячена теоремі пифагора, близько 70 доказів і велика додаткова інформація (англ.)

Wikimedia Foundation. 2010 року.

теорема Піфагора - одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення

між сторонами прямокутного трикутника.

Вважається, що доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого і названа.

Геометрична формулювання теореми Піфагора.

Спочатку теорема була сформульована таким чином:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів,

побудованих на катетах.

Алгебраїчна формулювання теореми Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.

Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, А довжини катетів через a і b:

обидві формулювання теореми Піфагораеквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не

вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і

вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.

Зворотній теорема Піфагора.

Якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то

трикутник прямокутний.

Або, іншими словами:

Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, Такий, що

існує прямокутний трикутник з катетами a і bі гіпотенузою c.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника.

Теорема Піфагора для рівностороннього трикутника.

Доведення теореми Піфагора.

На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема

Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. таке різноманіття

можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.

Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них:

докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (Наприклад,

за допомогою диференціальних рівнянь).

1. Доказ теореми Піфагора через подібні трикутники.

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються

безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.

нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо

її підстава через H.

трикутник ACH подібний трикутнику ABC за двома кутами. Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC.

Ввівши позначення:

отримуємо:

що відповідає -

склавши a 2 і b 2, отримуємо:

або, що й треба було довести.

2. Доказ теореми Піфагора методом площ.

Нижче наведені докази, незважаючи на їх позірну простоту, зовсім не такі прості. Всі вони

використовують властивості площі, докази яких складніше докази самої теореми Піфагора.

Доказ через равнодополняемость.

Розташуємо чотири рівних прямокутних

трикутника так, як показано на малюнку

праворуч.

Чотирикутник зі сторонами c - квадратом,

так як сума двох гострих кутів 90 °, а

розгорнутий кут - 180 °.

Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку,

площі квадрата зі стороною ( a + b), А з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і

Що і потрібно було довести.

3. Доказ теореми Піфагора методом нескінченно малих.

Розглядаючи креслення, показаний на малюнку, і

спостерігаючи зміна бокуa, ми можемо

записати наступне співвідношення для нескінченно

малих збільшень сторінз і a (Використовуючи подобу

трикутників):

Використовуючи метод поділу змінних, знаходимо:

Більш загальний вираз для зміни гіпотенузи в разі збільшень обох катетів:

Інтегруючи це рівняння і використовуючи початкові умови, отримуємо:

Таким чином, ми приходимо до бажаного відповіді:

Як неважко бачити, квадратична залежність в остаточній формулі з'являється завдяки лінійної

пропорційності між сторонами трикутника і приростами, тоді як сума пов'язана з незалежними

вкладами від збільшення різних катетів.

Більш просте доказ можна отримати, якщо вважати, що один з катетів не відчуває збільшення

(В даному випадку катет b). Тоді для константи інтегрування отримаємо:

Своєрідна доля інших теорем і завдань ... Як пояснити, наприклад, настільки виняткову увагу з боку математиків і любителів математики до теоремі Піфагора? Чому багато хто з них не задовольнялися вже відомими доказами, а знаходили свої, довівши за двадцять п'ять порівняно доступних для огляду століть кількість доказів до декількох сотень?
Коли мова йде про теорему Піфагора, незвичайне починається вже з її назви. Вважається, що сформулював її вперше аж ніяк не Піфагор. Сумнівним вважають і те, що він дав її доказ. Якщо Піфагор - реальна особа (деякі сумніваються навіть в цьому!), То жив він, швидше за все, в VI-V ст. до н. е. Сам він нічого не писав, називав себе філософом, що означало, в його розумінні, «прагне до мудрості», заснував піфагорійський союз, члени якого займалися музикою, гімнастикою, математикою, фізикою та астрономією. Мабуть, був він і чудовим оратором, про що свідчить наступна легенда, що відноситься до перебування його в місті Кротоні: «Перша поява Піфагора перед народом в Кротоні почалося промовою до юнаків, в якій він так суворо, але разом з тим і так захоплююче виклав обов'язки юнаків, що найстаріші в місті просили не залишити і їх без повчання. У цій другій промові він вказував на законність і на чистоту моралі, як на основи сімейства; в наступних двох він звернувся до дітей і жінок. наслідком останній промові, В якій він особливо засуджував розкіш, було те, що в храм Гери доставлені були тисячі дорогоцінних суконь, бо жодна жінка не наважувалася більше показуватися в них на вулиці ... »Проте ще в другому столітті нашої ери, т. Е . через 700 років, жили і творили цілком реальні люди, неабиякі вчені, що знаходилися явно під впливом пифагорейского союзу і пов'язані з великою повагою до того, що згідно з легендою створив Піфагор.
Безсумнівно також, що інтерес до теоремі викликається і тим, що вона займає в математиці одне з центральних місць, і задоволенням авторів доказів, що подолали труднощі, про які добре сказав жив до нашої ери римський поет Квінт Горацій Флакк: «Важко добре висловити загальновідомі факти» .
Спочатку теорема встановлювала співвідношення між площами квадратів, побудованих на гіпотенузі і катетах прямокутного трикутника:
.
Алгебраїчна формулювання:
У прямокутному трикутнику квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Тобто, позначивши довжину гіпотенузи трикутника через c, а довжини катетів через a і b: a 2 + b 2 \u003d c 2. Обидві формулювання теореми еквівалентні, але друга формулювання більш елементарна, вона не вимагає поняття площі. Тобто друге твердження можна перевірити, нічого не знаючи про площу і вимірявши тільки довжини сторін прямокутного трикутника.
Зворотній теорема Піфагора. Для будь-якої трійки позитивних чисел a, b і c, такий, що
a 2 + b 2 \u003d c 2, існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

докази

На даний момент в науковій літературі зафіксовано 367 доказів даної теореми. Ймовірно, теорема Піфагора є єдиною теоремою з настільки значним числом доказів. Таке різноманіття можна пояснити лише фундаментальним значенням теореми для геометрії.
Зрозуміло, концептуально всі їх можна розбити на мале число класів. Найвідоміші з них: докази методом площ, аксіоматичні і екзотичні докази (наприклад за допомогою диференціальних рівнянь).

Через подібні трикутники

Наступний доказ алгебраїчної формулювання - найбільш просте із доказів, що будуються безпосередньо з аксіом. Зокрема, вона не використовує поняття площі фігури.
Нехай ABC є прямокутний трикутник з прямим кутом C. Проведемо висоту з C і позначимо її підставу через H. Трикутник ACH подібний трикутнику ABC з двох кутах.
Аналогічно, трикутник CBH подібний ABC. ввівши позначення

отримуємо

що еквівалентно

Склавши, отримуємо

або

Докази методом площ

Доказ через равнодополняемость

1. Розмістимо чотири рівних прямокутних трикутника так, як показано на малюнку.
2. Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, так як сума двох гострих кутів 90 °, а розгорнутий кут - 180 °.
3. Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною (a + b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що і потрібно було довести.

Докази через равносоставленності

доказ Евкліда

Ідея докази Евкліда полягає в наступному: спробуємо довести, що половина площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, а тоді і площі великого і двох малих квадратів рівні. Розглянемо креслення зліва. На ньому ми побудували квадрати на сторонах прямокутного трикутника і провели з вершини прямого кута З промінь s перпендикулярно гіпотенузі AB, він розсікає квадрат ABIK, побудований на гіпотенузі, на два прямокутника - BHJI і HAKJ відповідно. Виявляється, що площі даних прямокутників в точності рівні площам квадратів, побудованих на відповідних катетах. Спробуємо довести, що площа квадрата DECA дорівнює площі прямокутника AHJK Для цього скористаємося допоміжним спостереженням: Площа трикутника з тією ж висотою і підставою, що і даний прямокутник, дорівнює половині площі заданого прямокутника. Це наслідок визначення площі трикутника як половини твори підстави на висоту. З цього спостереження випливає, що площа трикутника ACK дорівнює площі трикутника AHK (НЕ зображеного на малюнку), яка, в свою чергу, дорівнює половині площі прямокутника AHJK. Доведемо тепер, що площа трикутника ACK також дорівнює половині площі квадрата DECA. Єдине, що необхідно для цього зробити, - це довести рівність трикутників ACK і BDA (так як площа трикутника BDA дорівнює половині площі квадрата за вказаною вище властивості). Рівність це очевидно, трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними. Саме - AB \u003d AK, AD \u003d AC - рівність кутів CAK і BAD легко довести методом руху: повернемо трикутник CAK на 90 ° проти годинникової стрілки, тоді очевидно, що відповідні сторони двох розглянутих трикутників співпадуть (з огляду на те, що кут при вершині квадрата - 90 °). Міркування про рівність площ квадрата BCFG і прямокутника BHJI абсолютно аналогічно. Тим самим ми довели, що площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, складається з площ квадратів, побудованих на катетах.

Доказ Леонардо да Вінчі

Головні елементи докази - симетрія і рух.

Розглянемо креслення, як видно з симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови). Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і GDAB. Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ квадратів, побудованих на катетах, і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі квадрата, побудованого на гіпотенузі, плюс площа вихідного трикутника. Останній крок у доказі надається читачеві.