Відносні величини. Відносна величина – це результат розподілу (порівняння) двох абсолютних величин. Які величини можна порівнювати між собою
Відносна величина- Це результат розподілу (порівняння) двох абсолютних величин. У чисельнику дробу стоїть величина, яку порівнюють, а знаменнику – величина, з якою порівнюють (база порівняння). Наприклад, якщо порівняти величини експорту навіть Росії, які у 2005 року становили 904,383 і 243,569 млрд. дол. відповідно, то відносна величина покаже, що величина експорту США у 3,71 разу (904,383/243,569) більше експорту Росії, у своїй баз Порівняння є величиною експорту Росії. Отримана відносна величина виражена як коефіцієнта, Який показує, у скільки разів порівнювана абсолютна величина більша за базисну. У цьому прикладі база порівняння прийнято за одиницю. Якщо підстава приймається за 100, відносна величина виражається в відсотках (% ), якщо за 1000 – в проміле (‰ ). Вибір тієї чи іншої форми відносної величини залежить від її абсолютного значення:
- якщо порівнювана величина більша за базу порівняння в 2 рази і більше, то вибирають форму коефіцієнта (як у наведеному вище прикладі);
– якщо відносна величина близька до одиниці, то, як правило, її виражають у відсотках (наприклад, порівнявши величини експорту Росії у 2006 та 2005 роках, які склали 304,5 та 243,6 млрд. дол. відповідно, можна сказати, що експорт у 2006 році становить 125% від 2005 року);
– якщо відносна величина значно менше одиниці (близька до нуля), її виражають у промілі (наприклад, у 2004 році Росія експортувала до країн-СНД лише 4142 тис. т нафтопродуктів, у тому числі до Грузії 10,7 тис. т, що становить 0,0026, або 2,6 ‰ від усього експорту нафтопродуктів до країн СНД).
Розрізняють відносні величини динаміки, структури, координації, порівняння та інтенсивності, для стислості звані надалі індексами.
Індекс динамікихарактеризує зміна будь-якого явища у часі. Він є відношення значень однієї і тієї ж абсолютної величини в різні періоди часу. Цей індекс визначається за формулою (2):
де цифри означають: 1 – звітний чи аналізований період, 0 – минулий чи базисний період.
Критеріальним значенням індексу динаміки служить одиниця (або 100%), тобто якщо >1, має місце зростання (збільшення) явища в часі; якщо = 1 – стабільність; якщо<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – індекс зміни, віднімаючи з якого одиницю (100%), отримують темп зміни (динаміки)з критеріальним значенням 0, що визначається за формулою (3):
Якщо T>0, має місце зростання явища; Т=0 - стабільність, Т<0 – спад.
У розглянутому вище прикладі для експорту Росії у 2006 та 2005 році було розраховано саме індекс динаміки за формулою (2): i Д= 304,5/243,6*100% = 125%, що більше критеріального значення 100%, що свідчить про збільшення експорту. Використовуючи формулу (3), отримаємо темп зміни: Т= 125% - 100% = 25%, який показує, що експорт збільшився на 25%.
Різновидами індексу динаміки є індекси планового завдання та виконання плану, що розраховуються для планування різних величин та контролю їх виконання.
Індекс планового завдання- Це відношення планового значення ознаки до базисного. Він визначається за формулою (4):
де X’ 1- Заплановане значення; X 0- Базисне значення ознаки.
Наприклад, митне управління перерахувало до федерального бюджету 2006 року 160 млрд.руб., але в наступного року запланували перерахувати 200 млрд.руб., отже за формулою (4): i пз= 200/160 = 1,25, тобто планове завдання митного управління на 2007 рік становить 125% від попереднього року.
Для визначення відсотка виконання плану необхідно розрахувати індекс виконання плану, тобто відношення значення ознаки до планового (оптимального, максимально можливого) значення за формулою (5):
Наприклад, на січень-листопад 2006 року митні органи запланували перерахувати до федерального бюджету 1,955 трлн. руб., але фактично перерахували 2,59 трлн. руб., означає за формулою (5): i ВП= 2,59/1,955 = 1,325, чи 132,5%, тобто планове завдання виконали на 132,5%.
Індекс структури (частка) – це ставлення будь-якої частини об'єкта (сукупності) до всього об'єкту. Він визначається за формулою (6):
У розглянутому вище прикладі для експорту нафтопродуктів до країн СНД була розрахована частка цього експорту до Грузії за формулою (6): d=10,7/4142 = 0,0026, або 2,6 ‰ .
Індекс координації- Це ставлення будь-якої частини об'єкта до іншої його частини, прийнятої за основу (базу порівняння). Він визначається за формулою (7):
Наприклад, імпорт Росії 2006 року становив 163,9 млрд.дол., тоді, порівнявши його з експортом (база порівняння), розрахуємо індекс координації за такою формулою (7): i До= 163,9/304,5 = 0,538, який показує співвідношення між двома складовими частинами зовнішньоторговельного обороту, тобто величина імпорту Росії у 2006 року становить 53,8% від величини експорту. Змінюючи базу порівняння на імпорт, за тією самою формулою отримаємо: i До= 304,5/163,9 = 1,858, тобто експорт Росії 2006 року у 1,858 разу більше імпорту, чи експорт становить 185,8% від імпорту.
Індекс порівняння- Це порівняння (співвідношення) різних об'єктів за однаковими ознаками. Він визначається за формулою (8):
де А, Б- Порівнювані об'єкти.
У розглянутому вище прикладі, в якому зіставлялися величини експорту США та Росії, розрахували саме індекс порівняння за формулою (8): i з= 904,383/243,569 = 3,71. Змінюючи базу порівняння (тобто експорт Росії – об'єкт А, а експорт США – об'єкт Б), за тією самою формулою отримаємо: i з= 243,569/904,383 = 0,27, тобто експорту Росії становить 27% від експорту США.
Індекс інтенсивності- Це співвідношення різних ознак одного об'єкта між собою. Він визначається за формулою (9):
де X- Одна ознака об'єкта; Y- Інша ознака цього ж об'єкта
Наприклад, показники виробітку продукції в одиницю робочого часу, витрат на одиницю продукції, ціни одиниці продукції і т.д.
З давніх-давен людей серйозно цікавило питання про те, як зручніше всього порівняти величини, виражені в різних значеннях. І справа тут не лише у природній допитливості. Людина найдавніших земних цивілізацій надавала цій досить непростій справі суто прикладне значення. Коректно виміряти землю, визначити вагу продукту на ринку, розрахувати необхідне співвідношення товарів при бартері, визначити правильну норму винограду при заготівлі вина - ось лише мала дещиця завдань, які часто спливали в і без того нелегкому житті наших предків. Тому малоосвічені і неписьменні люди при необхідності порівняти величини йшли за порадою до своїх досвідченіших товаришів, а ті нерідко брали за таку послугу відповідну винагороду, і досить непогану, до речі.
Що можна порівнювати
Нині цьому заняття також приділяється чимала роль процесі вивчення точних наук. Всім, звичайно, відомо, що порівнювати необхідно однорідні величини, тобто яблука – з яблуками, а буряки – з буряками. Нікому і на думку не спаде спробувати виразити градуси Цельсія в кілометрах або кілограми в децибелах, зате довжину удава в папугах ми знаємо з самого дитинства (для тих, хто не пам'ятає: в одному удаві – 38 папуг). Хоча папуги теж бувають різні, і насправді довжина удава відрізнятиметься залежно від підвиду папуги, але це вже деталі, в яких ми спробуємо розібратися.
Розмірності
Коли в завданні зазначено: "Порівняй значення величин", необхідно ці самі величини привести до одного знаменника, тобто висловити в одних і тих же значення для зручності порівняння. Зрозуміло, що порівняти значення, виражене в кілограмах, зі значенням, вираженим у центнерах або в тоннах, для багатьох з нас не складе особливих труднощів. Проте існують однорідні величини, висловити які можна у різних розмірностях і, більше, у різних системах виміру. Спробуйте, наприклад, порівняти величини кінематичної в'язкості і визначити, яка рідина є більш в'язкою в сантистоксах і квадратних метрах в секунду. Не виходить? І не вийде. Для цього потрібно обидва значення відобразити в одних і тих же величинах, а вже за числовим значенням визначити, яке з них перевершує суперника.
Система виміру
Щоб зрозуміти, які величини можна порівнювати, спробуємо згадати існуючі системи вимірювання. Для оптимізації та прискорення розрахункових процесів у 1875 році сімнадцятьма країнами (у тому числі Росією, США, Німеччиною та ін.) було підписано метричну конвенцію та визначено метричну систему заходів. Для розробки та закріплення еталонів метра та кілограма було засновано Міжнародний комітет заходів та терезів, а в Парижі облаштовано Міжнародне бюро мір та терезів. Ця система згодом еволюціонувала до Міжнародної системи одиниць, СІ. В даний час ця система прийнята більшістю країн у галузі технічних розрахунків, у тому числі і тими країнами, де традиційно у повсякденному житті використовуються національні (наприклад, США та Англія).
СГС
Однак паралельно із загальноприйнятим стандартом еталонів розвивалася й інша, менш зручна система СГС (сантиметр-грам-секунда). Вона була запропонована в 1832 німецьким фізиком Гауссом, а в 1874 модернізована Максвеллом і Томпсоном, в основному в галузі електродинаміки. У 1889 році була запропонована зручніша система МКС (метр-кілограм-секунда). Порівняння предметів за величиною еталонних значень метра і кілограма для інженерів набагато зручніше, ніж використання їх похідних (санти-, мілі-, деци- та ін). Однак дана концепція також не знайшла масового відгуку в серцях тих, для кого вона призначалася. У всьому світі активно розвивалася і використовувалася тому розрахунки в СГС проводили все рідше, а після 1960 року, з введенням системи СІ, СГС взагалі практично вийшла з вживання. В даний час СГС реально застосовують на практиці лише при розрахунках у теоретичній механіці та астрофізиці, і то через простіший вид запису законів електромагнетизму.
Покрокова інструкція
Докладно розберемо приклад. Допустимо, завдання звучить так: "Порівняйте величини 25 т і 19570 кг. Яка з величин більша?" Що потрібно зробити насамперед, це визначити, у яких величинах у нас задані значення. Отже, перша величина у нас задана у тоннах, а друга – у кілограмах. На другому кроці ми перевіряємо, чи не намагаються ввести в оману укладачі завдання, намагаючись змусити порівнювати різнорідні величини. Бувають і такі завдання-пастки, особливо у швидких тестах, де на відповідь до кожного питання дається 20-30 секунд. Як бачимо, значення однорідні: й у кілограмах, й у тоннах ми вимірюється маса і вага тіла, тому друга перевірка пройдено з позитивним результатом. Третій крок, переводимо кілограми на тонни або, навпаки, тонни - на кілограми для зручності порівняння. У першому варіанті виходить 25 та 19,57 тонн, а у другому: 25 000 та 19 570 кілограм. І тепер можна зі спокійною душею порівняти величини цих значень. Як видно, перше значення (25 т) в обох випадках більше, ніж друге (19 570 кг).
Пастки
Як згадувалося вище, сучасні тести містять дуже багато завдань-обманок. Це необов'язково розібрані нами завдання, пасткою може виявитися досить невинне на увазі питання, особливо таке, де напрошується цілком логічна відповідь. Проте підступність, як правило, криється в деталях або маленькому нюансі, які укладачі завдання намагаються всіляко замаскувати. Наприклад, замість вже знайомого вам з розібраних завдань із постановкою питання: "Порівняй величини там, де це можливо" - укладачі тесту можуть просто попросити вас порівняти зазначені величини, а самі величини вибрати вражаюче схожі один на одного. Наприклад, кг*м/с 2 та м/с 2 . У першому випадку це сила, що діє на об'єкт (ньютони), а в другому – прискорення тіла, або м/с 2 та м/с, де вас просять порівняти прискорення зі швидкістю тіла, тобто абсолютно різнорідні величини.
Складні порівняння
Проте дуже часто у завданнях наводять два значення, виражені у різних одиницях виміру й у різних системах обчислення, а й відмінні друг від друга за специфікою фізичного сенсу. Наприклад, у постановці задачі сказано: "Порівняй значення величин динамічної та кінематичної в'язкостей і визнач, яка рідина більш в'язка". При цьому значення вказані в одиницях СІ, тобто м2 /с, а динамічної - в СГС, тобто в пуазах. Як вчинити у цьому випадку?
Для вирішення таких завдань можна скористатися наданою вище інструкцією з невеликим її доповненням. Визначаємось, у якій із систем працюватимемо: нехай це буде загальноприйнята серед інженерів. Другим кроком ми також перевіряємо, чи це не пастка? Але в цьому прикладі теж все чисто. Ми порівнюємо дві рідини за параметром внутрішнього тертя (в'язкості), тому обидві величини однорідні. Третім кроком переводимо з пуазів у паскаль-секунду, тобто у загальноприйняті одиниці системи СІ. Далі переводимо кінематичну в'язкість в динамічну, помножуючи її на відповідне значення густини рідини (табличне значення), і порівнюємо отримані результати.
Поза системою
Існують також позасистемні одиниці виміру, тобто одиниці, що не увійшли до СІ, але згідно з результатами рішень скликання Генеральних конференцій щодо заходів та ваг (ДКВМ), допустимі для спільного використання з СІ. Порівнювати такі величини між собою можна тільки при їх приведенні до загального вигляду стандарту СІ. До позасистемних відносяться такі одиниці, як хвилина, година, доба, літр, електрон-вольт, вузол, гектар, бар, ангстрем та багато інших.
Спочатку розглянемо завдання порівняння величини що вимірюється в експерименті, з константою а. Величину можна визначити лише приблизно, обчислюючи середнє за вимірами. Потрібно дізнатися, чи виконується співвідношення . У цьому випадку ставлять два завдання, пряме та зворотне:
а) за відомою величиною знайти константу а, яку перевершує із заданою ймовірністю
б) визначити можливість те, що , де а - задана константа.
Очевидно, якщо ймовірність того, що менше 1/2. Цей випадок не становить інтересу, і далі вважатимемо, що
Завдання зводиться до завдань, розібраних у п. 2. Нехай за вимірами визначено X та його стандарт
Число вимірювань будемо вважати не дуже малим, тому є випадкова величина з нормальним розподілом. Тоді з критерію Стьюдента (9) при врахуванні симетрії нормального розподілу випливає, що для довільно обраної ймовірності виконується умова
Вважаючи перепишемо цей вислів у такому вигляді:
де - Задані в таблиці 23 коефіцієнти Стьюдента. Тим самим, пряме завдання вирішено: знайдено константу а, яку з ймовірністю перевищує
Зворотне завдання вирішується за допомогою прямої. Перепишемо формули (23) таким чином:
Це означає, що треба обчислити t за відомими значеннями а, вибрати в таблиці 23 рядок з даним - і знайти за величиною t відповідне значення Воно визначає ймовірність
Дві випадкові величини. Часто потрібно встановити вплив деякого фактора на досліджувану величину - наприклад, чи збільшує (і наскільки) міцність металу певна присадка. Для цього треба виміряти міцність вихідного металу і міцність легованого металу і порівняти ці дві величини, тобто знайти
Порівнювані величини є випадковими; так, властивості металу певної марки змінюються від плавки до плавки, оскільки сировину та режим плавки не строго однакові. Позначимо ці величини через . Величина досліджуваного ефекту дорівнює і потрібно визначити, чи виконується умова
Таким чином, завдання звелося до порівняння випадкової величини з константою а, розібраному вище. Пряме та зворотне завдання порівняння в цьому випадку формулюються таким чином:
а) за результатами вимірювань визначити константу а, яку перевершує із заданою ймовірністю (тобто оцінити величину досліджуваного ефекту);
б) визначити ймовірність того, що де - бажана величина ефекту; при цьому означає, що треба визначити ймовірність, з якої
Для вирішення цих завдань треба обчислити z та дисперсію цієї величини. Розглянемо два способи їх знаходження.
Незалежні виміри. Виміряємо величину експериментах, а величину експериментах, незалежних від перших експериментів. Обчислимо середні значення за звичайними формулами:
Ці середні самі є випадковими величинами, причому їх стандарти (не плутати зі стандартами одиничних вимірів!) приблизно визначаються незміщеними оцінками:
Оскільки експерименти незалежні, то випадкові величини х і також незалежні, так що при обчисленні їх математичні очікування віднімаються, а дисперсії складаються:
Дещо точніша оцінка дисперсії така:
Таким чином, її дисперсія знайдені, і подальші обчислення проводяться за формулами (23) або (24).
Узгоджені виміри. Більш високу точність дає інший спосіб обробки, як у кожному з експериментів одночасно вимірюють . Наприклад, після випуску половини плавки залишився в печі метал додають присадку, а потім порівнюють зразки металу з кожної половини плавки.
У цьому, сутнісно, у кожному експерименті вимірюють відразу значення однієї випадкової величини , що треба порівняти з константою а. Обробка вимірювань тоді проводиться за формулами (21)-(24), де замість треба скрізь підставити z.
Дисперсія при узгоджених вимірах буде меншою, ніж при незалежних, оскільки вона обумовлена лише частиною випадкових факторів: ті фактори, які узгоджено змінюють, не впливають на розкид їх різниці. Тому такий спосіб дозволяє отримати достовірніші висновки.
приклад. Цікавою ілюстрацією порівняння величин є визначення переможця у тих видах спорту, де суддівство ведеться «на око» – гімнастика, фігурне катання тощо.
Таблиця 24. Суддівські оцінки у балах
У таблиці 24 наведено протокол змагань з виїздки на Олімпійських іграх 1972 р. Видно, що розкид суддівських оцінок великий, причому жодну оцінку не можна визнати грубо помилковою і відкинути. На погляд здається, що достовірність визначення переможця невелика.
Розрахуємо, наскільки правильно визначено переможця, тобто яка ймовірність події. Оскільки оцінки обом вершницям виставлялися одними й тими самими суддями, можна скористатися способом узгоджених вимірів. По таблиці 24 обчислюємо підставляючи у формулу (24) ці значення та отримаємо .
Вибираючи в таблиці 23 рядок знаходимо, що цьому значенню t відповідає Звідси, тобто з ймовірністю 90% золота медаль присуджена правильно.
Порівняння за способом незалежних вимірів дасть дещо гіршу оцінку, оскільки воно не використовує інформацію про те, що оцінки виставляли ті самі судді.
Порівняння дисперсії. Нехай потрібно порівняти дві методики експерименту. Очевидно, точніше та методика, у якої дисперсія одиничного виміру менша (зрозуміло, якщо при цьому не збільшується систематична помилка). Отже, треба встановити, чи виконується нерівність.
Середні величини
У клінічній медицині та практиці охорони здоров'я ми часто стикаємося з ознаками, що мають кількісну характеристику (зростання, число днів непрацездатності, рівень кров'яного тиску, відвідування поліклініки, чисельність населення дільниці тощо). Кількісні значення можуть бути дискретними чи безперервними. Приклад дискретного значення – кількість дітей у сім'ї, пульс; приклад безперервного значення – артеріальний тиск, зростання, вага (число може бути дробовим, що переходить у наступне)
Кожне числове значення одиниці спостереження називається варіантом(x). Якщо всі варіанти побудувати у зростаючому чи спадному порядку та вказати частоту кожної варіанти (p), то можна отримати так званий варіаційний ряд.
Варіаційний ряд, що має нормальний розподіл, графічно є дзвіном (гістограма, полігон).
Для характеристики варіаційного ряду, що має нормальний розподіл (або розподіл Гаус-Ляпунова), завжди використовуються дві групи параметрів:
1. Параметри, що характеризують основну тенденцію ряду: середня величина (х), мода (Мо), медіана (Ме).
2. Параметри, що характеризують розсіяність низки: середнє квадратичне відхилення (d), коефіцієнт варіації (V).
Середня величина(`x) – це величина, що визначає одним числом кількісну характеристику якісно однорідної сукупності.
Мода (Мо)- Найчастіше зустрічається варіанти варіаційного ряду.
Медіана (Ме)– варіанти, що ділить варіаційний ряд на рівні половини.
Середнє квадратичне відхилення(d) показує, як у середньому відхиляється кожен варіант від середньої величини.
Коефіцієнт варіації (V) визначає мінливість варіаційного ряду у відсотках і дає можливість судити про якісну однорідність досліджуваної сукупності. Доцільно використовувати для порівняння варіації різних ознак (а також ступеня мінливості груп, особин різних видів, наприклад, вага новонароджених і семирічних дітей).
Ліміти чи межі(lim) – мінімальне та максимальне значення варіант. найпростіший спосіб дати характеристику варіаційного ряду, вказати його розмах, мінімальне та максимальне значення ряду, тобто його ліміти. Однак ліміти не вказують на те, як розподіляються за ознакою, що вивчається, окремі члени сукупності, тому використовують зазначені вище дві групи параметрів варіаційного ряду.
Існують різні модифікації обчислення параметрів варіаційного ряду. Їх вибір залежить від самого варіаційного ряду та технічних засобів.
Залежно від того, як варіює ознака – дискретно чи безперервно, у широкому чи вузькому діапазоні розрізняють простий невважений, простий зважений (для дискретних величин) та інтервальний варіаційний ряд (для безперервних величин).
Угруповання рядів проводять при великій кількості спостережень наступним шляхом:
1. Визначають розмах ряду відніманням мінімальної варіанти з максимальної.
2. Отримане число поділяють на бажану кількість груп (мінімальне число – 7, максимальне – 15). Так визначається інтервал.
3. Починаючи з мінімального варіанта, будують варіаційний ряд. Межі інтервалів мають бути чіткі, що виключають попадання однієї й тієї ж варіанти до різних груп.
Обчислення параметрів варіаційного ряду ведеться від центрального варіанта. Якщо ряд безперервний, то центральна варіанта обчислюється як напівсума початкових варіантів попередньої та наступної груп. Якщо це перервний ряд, то центральна варіанта обчислюється як напівсума початкової та кінцевої варіант у групі.
Обчислення параметрів варіаційного ряду
Алгоритм обчислення параметрів простого невваженого варіаційного ряду:
1. Мають у своєму розпорядженні варіанти у зростаючому порядку
2. Підсумовують усі варіанти (Sx);
3. Розділивши суму на число спостережень, одержують незважену середню;
4. Обчислюють порядковий номер медіани (Ме);
5. Визначають варіант медіани (Ме)
6. Знаходять відхилення (d) кожної варіанти від середньої (d = x - x)
7. Зводять відхилення квадрат (d 2);
8. Підсумовують d 2 (Sd 2);
9. Обчислюють середнє квадратичне відхилення за формулою: ±;
10. Визначають коефіцієнт варіації за такою формулою: 
.
11. Роблять висновок про отримані результати.
Примітка:в однорідній статистичній сукупності коефіцієнт варіації буває 5-10%, 11-20% - середня варіація, понад 20% - висока варіація.
Приклад:
У відділенні реанімації та інтенсивної терапії було проведено лікування 9 хворих із судинним ураженням мозку. Тривалість лікування кожного хворого днями: 7, 8, 12, 6, 4, 10, 9, 5,11.
1. Будуємо варіаційний ряд (x): 4,5,6,7,8,9,10,11,12
2. Обчислюємо суму варіант: Sx = 72
3. Обчислюємо середнє значення варіаційного низки: =72/9=8 днів;
4. 
;
5. Ме n =5 = 8 днів;
| x | d | d 2 |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| +1 | ||
| +2 | ||
| +3 | ||
| +4 | ||
| S=72 | S=0 | Sd 2 = 60 |
9. 
(Днів);
10. Коефіцієнт варіації дорівнює: ;
Алгоритм обчислення параметрів простого виваженого варіаційного ряду:
1. Мають у своєму розпорядженні варіанти у зростаючому порядку із зазначенням їх частоти (p);
2. Перемножують кожний варіант на свою частоту (x * p);
3. Підсумовують твори xp (Sxp);
4. Обчислюють середню величину за формулою (x) = ;
5. Знаходять порядковий номер медіани;
6. Визначають варіант медіани (Ме);
7. Найчастіше зустрічається варіанту приймають за моду (Мо);
8. Знаходять відхилення d кожної варіанти від середньої (d = x - x);
9. Зводять відхилення квадрат (d 2);
10. Перемножують d 2 на p (d 2 * p);
11. Підсумовують d 2 *p (Sd 2 *p);
12. Обчислюють середнє квадратичне відхилення (s) за формулою: ±;
13. Визначають коефіцієнт варіації за такою формулою: .
приклад.
Вимірювався систолічний артеріальний тиск у дівчат віком 16 років.
| Систолічний артеріальний тиск, мм рт. x | Число обстежених, p | x*p | d | d 2 | d 2 *p |
| -11.4 | 130.0 | 260.0 | |||
| -9.4 | 88.4 | 265.2 | |||
| -7.4 | 54.8 | 219.2 | |||
| -5.4 | 29.2 | 175.2 | |||
| -1.4 | 2.0 | 20.0 | |||
| +0.6 | 0.4 | 9.6 | |||
| 2.6 | 6.8 | 40.8 | |||
| 4.6 | 21.2 | 84.8 | |||
| 6.6 | 43.6 | 130.8 | |||
| 10.6 | 112.4 | 337.2 | |||
| 12.6 | 158.8 | 317.6 | |||
| n=67 | Sxp=7194 | Sd 2 p=1860.4 |
мм рт.ст.;
Мм рт.ст.
;
Ме=108 мм рт.ст.; Мо = 108 мм рт.
Алгоритм обчислення параметрів згрупованого варіаційного ряду способом моментів:
1. Розташувати варіанти у зростаючому порядку із зазначенням їх частоти (р)
2. Провести угруповання варіант
3. Обчислити центральний варіант
4. Варіанту з найвищою частотою сприймають за умовну середню (А)
5. Обчислити умовне відхилення (а) кожної центральної варіанти від умовної середньої (А)
6. Перемножують а на р (а * р)
7. Підсумовують твори ар
8. Визначають величину інтервалу y відніманням центральної варіанти з попередньої
9. Обчислюють середню величину за такою формулою:
;
10. Для обчислення умовного відхилення квадратного умовні відхилення зводять у квадрат (а 2)
11. Перемножують а 2 *р
12. Підсумовують твори а*р 2
13. Обчислюють середнє квадратичне відхилення за формулою
Приклад
Є дані чоловіків віком 30-39 років
| маса, кг х | Число обстежених р | Серединна варіанта х з | а | а 2 | а 2 *р | а*р | Накопичені частоти |
| 45-49 | 47,5 | -4 | -4 | ||||
| 50-54 | 52,5 | -3 | -9 | ||||
| 55-59 | 57,5 | -2 | -14 | ||||
| 60-64 | 62,5 | -1 | -10 | ||||
| 65-69 | 67,5 | ||||||
| 70-74 | 72,5 | ||||||
| 75-79 | 77,5 | ||||||
| 80-84 | 82,5 | ||||||
| 85-89 | 87,5 | ||||||
| сума |
- середня арифметична
; - Середнє квадратичне відхилення; 
- помилка середньої
Оцінка достовірності
Статистична оцінка достовірності результатів медико-статистичного дослідження складається із низки етапів – точність результатів залежить окремих етапів.
У цьому зустрічаються дві категорії помилок: 1) помилки, які заздалегідь не врахувати математичними методами (помилки точності, уваги, типовості, методичні помилки тощо.); 2) помилки репрезентативності, пов'язані з вибірковим дослідженням.
Величина помилки репрезентативності визначається як обсягом вибірки, так і різноманітністю ознаки та виражається середньою помилкою. Середня помилка показника обчислюється за такою формулою:
де m – середня помилка показника;
p – статистичний показник;
q - величина зворотна p (1-p, 100-p, 1000-p, і т.д.)
n – кількість спостережень.
При числі спостережень менше 30 формулу вводиться поправка:
Помилка середньої величини обчислюється за формулами:
; 
;
де s – середнє квадратичне відхилення;
n – кількість спостережень.
приклад 1.
Зі стаціонару вибуло 289 осіб, померло – 12.
Летальність становитиме:
; ;
При проведенні повторних досліджень середня (М) у 68% випадків коливатиметься в межах ±m, тобто. ступінь ймовірності (p), з якою ми отримаємо такі довірчі межі середньої, дорівнює 0,68. Однак такий ступінь ймовірності зазвичай не задовольняє дослідників. Найменшою мірою ймовірності, з якою хочуть отримати певні межі коливання середньої (довірчі межі), є 0,95 (95%). У цьому випадку довірчі межі середньої мають бути розширені шляхом множення помилки (m) на довірчий коефіцієнт (t).
Довірчий коефіцієнт (t) - число, що показує, у скільки разів потрібно збільшити помилку середньої величини, щоб при даному числі спостережень з бажаним ступенем ймовірності (p) стверджувати, що середня величина не вийде за межі, що отримуються таким чином.
p=0.95 (95%) t=2, тобто. M±tm=M+2m;
p=0.99 (99%) t=3, тобто. M±tm=M+3m;
Порівняння середніх показників
При порівнянні двох середніх арифметичних (або двох показників), обчислених за різні періоди часу або в умовах, що відрізняються, визначається суттєвість відмінностей між ними. При цьому застосовується таке правило: різниця між середніми (або показниками) вважається істотною в тому випадку, якщо арифметична різниця між порівнюваними середніми (або показниками) буде більшою, ніж два квадратні корені із суми квадратів помилок цих середніх (або показників), тобто .
(Для порівнюваних середніх);
(Для порівнюваних показників).
Валерій Галасюк– академік АЕН України, генеральний директор аудиторської фірми “КАУПЕРВУД” (м. Дніпропетровськ), член Президії Ради Спілки аудиторів України, член Аудиторської Палати України, голова ревізійної комісії Українського товариства оцінювачів, заступник голови Правління Асоціації платників податків України, заступник голови комісії з оцінки інвестиційної діяльності Українського товариства фінансових аналітиків, провідний оцінювач Українського товариства оцінювачів
Віктор Галасюк– директор департаменту кредитного консалтингу інформаційно-консалтингової фірми “ІНКОН-ЦЕНТР” (консалтингова група “КАУПЕРВУД”), магістр економіки підприємства, лауреат конкурсів молодих оцінювачів Українського товариства оцінювачів
Математика – єдиний досконалий метод,
дозволяє провести самого себе за ніс
Ейнштейн
Моя справа сказати правду, а не змусити вірити в неї
Руссо
Ця стаття присвячена фундаментальній проблемі, що виникає у процесі чисельного порівняння величин. Сутність цієї проблеми полягає в тому, що за певних умов різні способи чисельного порівняння тих самих величин фіксують різний ступінь їх нерівності. Унікальність даної проблеми полягає не стільки в тому, що вона досі не була вирішена, хоча, здавалося б, процедури чисельного порівняння досконально вивчені і не викликають запитань навіть у школярів, скільки в тому, що вона досі не знайшла належного відображення. суспільної свідомості та, що ще важливіше, у практичній діяльності.
Як відомо, чисельно порівнювати дві величини можна або відповідаючи на запитання «На скільки одна величина більша за іншу?», або відповідаючи на запитання «У скільки разів одна величина більша за іншу?». Тобто для того, щоб чисельно порівняти дві величини, необхідно або відняти одну з іншої (), або розділити одну на іншу (). При цьому, як показали дослідження, існує всього два вихідні типи критеріїв чисельного порівняння величин: і , і жоден з них не має виключного права на існування.
Можливі всього 13 варіантів співвідношення, що якісно розрізняються, на числовій осі значень двох порівнюваних величин X і Y (див. рис.1) .
При порівнянні двох величин X та Y на базі критерію порівняння при будь-якому варіанті їх співвідношення на числовій осі не виникає проблем.Адже незалежно від значень величин X та Y, критерій порівняння однозначно характеризує відстань між точками X та Y на числовій осі.
Водночас використання критерію порівняннядля порівняння величин X і Y при деяких варіантах їх співвідношення числової осі може призвести до виникнення проблем , так як у цих випадках значення величин X і Y можуть зробити значний вплив на результати порівняння. Наприклад, при порівнянні величин 0,0100000001 і 0,0000000001, відповідних варіанту 5 на «чітках Галасюка», використання критерію порівняння показує, що перше число більше другого на 0,01, а використання критерію порівняння показує, що перше число більше другого в 1 000001 раз. Таким чином, при певному співвідношенні порівнюваних величин на числовій осі, критерій порівняння вказує на незначний ступінь нерівностіпорівнюваних величин X і Y, а критерій порівняння вказує на значний ступінь їхньої нерівності.
Або, наприклад, при порівнянні величин 1 000 000 000 100
1 000 000 000 000, відповідних тому ж варіанту 5 на «чітки Галасюка», використання критерію порівняння показує, що перше число більше другого на 100, а використання критерію порівняння показує, що перше число приблизно дорівнює другому, оскільки воно більше другого числа лише в 1,0000000001 разів. Таким чином, при певному співвідношенні порівнюваних величин на числовій осі, критерій порівняння вказує на значний ступінь нерівностіпорівнюваних величин X і Y, а критерій порівняння вказує на незначний ступінь їх нерівності.
Оскільки проблема, про яку йдеться у цій статті, виникає лише при використанні критерію порівняння, то для її вивчення розглянемо порівняння двох величин mі nна основі критерію порівняння. Для порівняння цих величин розділимо mна n: .
Аналіз результатів порівняння величин mі nздійснимо у два етапи: на першому незмінним приймемо знаменник відношення – величину n, на другому чисельнику - величину m(Див.рис.2).
Для здійснення першого етапу аналізу збудуємо графік залежності відношення від величини m(див. рис.3), при цьому слід зазначити, що при n=0 відношення не визначено.
Як видно на малюнку 3, якщо n=const, n¹0, то при |m|→∞ відношення | |→∞, а при |m|→0 відношення | |→0.
Для здійснення другого етапу аналізу, побудуємо графік залежності відношення від величини n(див. рис.4), при цьому слід зазначити, що при n=0 відношення не визначено.
Як видно з рисунку 4, якщо m=const, m¹0, n¹0, то при |n|→∞ відношення | |→0, а при |n|→0 відношення | |→∞. Слід звернути увагу, що з зростання значень | n| рівні зміни | n| тягнуть дедалі менші зміни | |. А при наближенні до нуля значень | n| рівні зміни | n| тягнуть все більші зміни відносин | |.
Узагальнивши результати I та II етапів аналізу, представимо їх у вигляді наступної таблиці, включивши в неї також результати аналізу порівняння на базі вихідного типу критеріїв (див. табл.1). Ситуації, у яких X=0 і Y=0 нами тут розглядаються. Ми сподіваємося проаналізувати їх у майбутньому.
Таблиця 1
Узагальнені результати аналізу порівняння величинXіY
на основі двох вихідних типів критеріїв порівняння
(X¹ 0 таY¹ 0)
|
7. Галасюк В.В. Скільки має бути вихідних типів критеріїв економічної ефективності витрат: один, два, три ...? / / Фондовий ринок.-2000. - № 3. - С.39-42. 8. Галасюк В.В. Про два вихідні типи критеріїв економічної ефективності витрат// Питання оцінки, Москва.-2000.-№1.-С.37-40. 9. Пуанкаре Анрі. Про науку: Пер. з франц.-М.-Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983.-560 с. 20.10.2002 |
