Муніципальне Автономне Загальноосвітній Установа «Ярковская середня загальноосвітня школа»

навчальний проект

Рішення логарифмічних нерівностей методом раціоналізації

МАОУ «Ярковская ЗОШ»

шанских Дар'я

Керівник: вчитель математики

МАОУ «Ярковская ЗОШ»

Ярково 2013 р

1) Введення .................................................................. .2

2) Основна частина ...................................................... ..3

3) Висновок ............................................................ ..9

4) Список використаної літератури ............... .10

5) Додатки ......................................................... 11-12

1. Вступ

Часто, при вирішенні завдань ЄДІ з частини «С», а особливо в завданнях С3, зустрічаються нерівності, що містять логарифмічні вирази з невідомим в підставі логарифма. Ось, наприклад, стандартне нерівність:

Як правило, для вирішення подібних завдань використовують класичний метод, тобто застосовується перехід до еквівалентної сукупності систем

При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менше нуля, коли співмножники різних знаків. Т. е. Розглядається сукупність двох систем нерівностей, в яких кожне нерівність розпадається ще на сім. Тому, можна запропонувати менш трудомісткий метод вирішення цього стандартного нерівності. Це метод раціоналізації, відомий в математичній літературі під назвою декомпозиції.

При виконанні проекту мною поставлені наступні цілі :

1) Опанувати даними прийомом рішення

2) Відпрацювати навички рішення на завданнях С3 з тренувальних і діагностичних робіт 2013 р

завданням проектує вивчення теоретичного обгрунтування методу раціоналізації.

актуальність роботи полягає в тому, що даний метод дозволяє успішно вирішувати логарифмічні нерівності частини С3 ЄДІ з математики.

2. Основна частина

Розглянемо логарифмічна нерівність виду

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e, (1)

де font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e Стандартний метод вирішення такого нерівності передбачає розбір двох випадків на області допустимих значень нерівності.

У першому випадку, Коли підстави логарифмів задовольняють умові

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e, знак нерівності звертається: font-size: 14.0pt; line-height: 150%"\u003e У другому випадку , Коли підстава задовольняє умові, Знак нерівності зберігається:.

На перший погляд - все логічно, розглянемо два випадки і потім об'єднаємо відповіді. Правда, при розгляді другого випадку виникає певний дискомфорт - доводиться на 90 відсотків повторювати викладки з першого випадку (перетворювати, знаходити коріння допоміжних рівнянь, визначати проміжки монотонності знака). Виникає природне запитання - чи можна все це як-небудь об'єднати?

Відповідь на це питання міститься в наступній теоремі.

Теорема 1. логарифмічні нерівність

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e рівносильно наступній системі нерівностей :

font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e (2)

Доведення.

1. Почнемо з того, що перші чотири нерівності системи (2) задають безліч допустимих значень вихідного логарифмічного нерівності. Звернемо тепер увагу на п'яте нерівність. якщо font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e, то перший множник цієї нерівності буде від'ємний. При скороченні на нього доведеться змінити знак нерівності на протилежний, тоді вийде нерівність .

Якщо ж , то перший множник п'ятого нерівності позитивний, скорочуємо його без зміни знака нерівності, отримуємо нерівністьfont-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e. Таким чином, п'яте нерівність системи включає в себе обидва випадки попереднього методу.

Терема доведена.

Основні положення теорії методу раціоналізації.

Метод раціоналізації полягає в заміні складного виразуF (x ) На більш простий вислівG (x ), При якому нерівністьG (x ) EN-US "style \u003d" font-size: 14.0pt; line-height: 150%; font-family: Calibri "\u003e F(x ) 0 в області визначення виразуF (x).

Виділимо деякі виразиF і відповідні їм раціоналізующіе вираженняG, де u, v,, p, q - вирази з двома змінними (u\u003e 0; u ≠ 1; v\u003e 0,\u003e 0), a - фіксоване число (a > 0, a ≠ 1).

	вираз F	вираз G
		(а -1) ( v - φ)
1 б
		)
2 б

Доведення

1. Нехай logav - logaφ\u003e 0, тобто logav\u003e logaφ, причому a\u003e 0, a ≠ 1, v\u003e 0,

φ > 0.

якщо 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмічною функції маємоv < φ . Значить, виконується система нерівностей

a -1<0

v – φ < 0

Звідки випливає нерівність (a – 1)( v – φ ) > 0 вірне на області визначення виразуF = logav - logaφ.

якщо a > 1, то v > φ . Отже, має місце нерівність ( a – 1)( v – φ )> 0. Назад, якщо виконується нерівність ( a – 1)( v – φ )> 0 на області допустимих значень ( a > 0, a ≠ 1, v \u003e 0, φ\u003e 0),то воно на цій області рівносильно сукупності двох систем.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

З кожної системи слід нерівністьlogav > logaφ, тобто logav - logaφ > 0.

Аналогічно, розглядаються нерівностіF< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Нехай деяке число а\u003e 0 і а ≠ 1, тоді маємо

logu v- loguφ = EN-US "style \u003d" font-size: 14.0pt; line-height: 150% "\u003e v - 1)( u - 1) (φ -u).

4.Із нерівності uv- uφ > 0 слід uv > uφ. Нехай число а\u003e 1, тодіloga uv > logauφ або

( u – φ) loga u > 0.

Звідси з урахуванням заміни 1б і умовиa > 1 отримуємо

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Аналогічно, доводяться нерівностіF< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Доказ проводиться аналогічно доведенню 4.

6. Доказ заміни 6 випливає з равносильности нерівностей |p | \u003e | q | і p 2\u003e q 2

(| P |< | q | и p 2 < q 2 ).

Порівняємо обсяг рішення нерівності, що містять змінну в підставі логарифма класичним методом і методом раціоналізації

3. висновок

Вважаю, що завдання, які поставила перед собою при виконанні роботи, досягнуті. Проект має практичне значення, так як запропонований в роботі метод дозволяє значно спростити рішення логарифмічних нерівностей. В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно в два рази, що економить не тільки час, але і дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок і помилок «через неуважність». Тепер при вирішенні задач С3 я використовую цей метод.

4. Список використаної літератури

1. , - Методи рішення нерівностей з однією змінною. - 2011 року.

2. - Посібник з математики. - одна тисяча дев'ятсот сімдесят дві.

3. - Математика абітурієнту. Москва: МЦНМО, 2008.

Метод раціоналізації дозволяє перейти від нерівності, що містить складні показникові, логарифмічні і т.п. вираження, до рівносильному йому більш простому раціональному нерівності.

Тому перш ніж ми почнемо розмову про раціоналізацію в нерівностях, поговоримо про равносильности.

равносильность

Рівносильними або еквівалентними називаються рівняння (нерівності), безлічі коренів яких збігаються. Рівносильними також вважаються рівняння (нерівності), які не мають коренів.

Приклад 1. Рівняння і рівносильні, так як мають одні і ті ж коріння.

Приклад 2. Рівняння і також рівносильні, так як рішенням кожного з них є порожня множина.

Приклад 3. Нерівності і рівносильні, так як рішенням і того, і іншого є безліч.

Приклад 4. і - нерівносильні. Рішення другого рівняння є тільки 4, а рішенням першого - і 4, і 2.

Приклад 5. Нерівність рівносильна нерівності, так як і в тому, і в іншому нерівностях - рішення - це 6.

Тобто по виду рівносильні нерівності (рівняння) можуть бути дуже далекі від подібності.

По суті, коли ми вирішуємо складні, довгі рівняння (нерівності), на зразок цього, і отримуємо відповідь, у нас адже в руках опиняється ні що інше, як рівняння (нерівність), рівносильне вихідному. Вид різний, а суть одна!

Приклад 6. Давайте згадаємо, як ми вирішували нерівність до знайомства з методом інтервалів. Ми замінювали вихідне нерівність сукупністю двох систем:

Тобто нерівність і остання сукупність - рівносильні між собою.

Також, ми могли б, маючи в руках сукупність

замінити її нерівністю, яке за дві секунди вирішується методом інтервалів.

Ми впритул підійшли до методу раціоналізації в логарифмічних нерівностях.

Метод раціоналізації в логарифмічних нерівностях

Розглянемо нерівність.

Представляємо 4 у вигляді логарифма:

Ми маємо справу зі змінним підставою у логарифма, тому, залежно від того, більше 1 або менше 1 основа логарифма (тобто зі зростаючою або спадною функцією ми маємо справу), знак нерівності збережеться або зміниться на «». Тому виникає сукупність (об'єднання) двох систем:

Але, УВАГА, ця система повинна вирішуватися з урахуванням ОДЗ! Я спеціально не став навантажувати систему ОДЗ, щоб не загубилася головна думка.

Дивіться, ось ми зараз перепишемо нашу систему так (перенесемо в кожному рядку нерівності все в ліву сторону):

Вам це нічого не нагадує? За аналогією з прикладом 6 ми цю сукупність систем замінимо нерівністю:

Вирішивши дане нерівність на ОДЗ ми і отримаємо рішення нерівності.

Знайдемо спочатку ОДЗ вихідного нерівності:

тепер вирішимо

Рішення останнього нерівності з урахуванням ОДЗ:

Отже, ось вона, ця «чарівна» таблиця:

Зауважимо, таблиця працює за умови

де - функції від,

- функція або число,

- один із знаків

Зауважимо також, друга і третя рядки таблиці - наслідки першої. У другому рядку 1 представлена \u200b\u200bперш як, а в третій - 0 представлений як.

І ще парочка корисних наслідків (сподіваюся, вам нескладно зрозуміти звідки вони випливають):

де - функції від,

- функція або число,

- один із знаків

Метод раціоналізації в показових нерівностях

Вирішимо нерівність.

Рішення вихідної нерівності рівносильне рішенню нерівності

Відповідь:.

Таблиця для раціоналізації в показових нерівностейах:

- функції від, - функція або число, - один із знаків Таблиця працює за умови. Також в третій, четвертій рядках - додатково -

Знову ж, по суті, потрібно запам'ятати першу і третю сходинки таблиці. Другий рядок -Приватні випадок першої, а четвертий рядок - окремий випадок третьої.

Метод раціоналізації в нерівностях, що містять модуль

Працюючи з нерівностями типу, де функції від деякої змінної, можемо керуватися наступними рівносильними переходами:

Вирішимо нерівність ".

Атут пропоную ще розглянути кілька прикладів по темі "Раціоналізація нерівностей".

розділи: Математика

Практика перевірки екзаменаційних робіт показує, що найбільшу складність для школярів представляє рішення трансцендентних нерівностей, особливо, логарифмічних нерівностей зі змінним підставою. Тому пропонований вашій увазі конспект уроку являє виклад методу раціоналізації (інші назви - метод декомпозиції (Моденов В.П.), метод заміни множників (Голубєв В.І.)), що дозволяє звести складні логарифмічні, показові, комбіновані нерівності до системи більш простих раціональних нерівностей. Як правило, метод інтервалів стосовно раціональним неравенствам до моменту вивчення теми «Рішення логарифмічних нерівностей» добре засвоєний і відпрацьований. Тому учні з великим інтересом і ентузіазмом сприймають ті методи, які дозволяють їм спростити рішення, зробити його коротше і, в кінцевому підсумку, заощадити час на ЄДІ для вирішення інших завдань.

Мета уроку:

• освітня: Актуалізація опорних знань при вирішенні логарифмічних нерівностей; введення нового способу розв'язання нерівностей; вдосконалення навичок вирішення
• розвиваюча: Розвиток математичного кругозору, математичної мови, аналітичного мислення
• Виховна: Виховання акуратності і самоконтролю.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент. Привітання. Постановка цілей уроку.

2. Підготовчий етап:

Вирішити нерівності:

3. Перевірка домашнього завдання (№11.81 * а)

При вирішенні нерівності

Вам довелося скористатися наступною схемою рішення логарифмічних нерівностей зі змінним підставою:

Тобто треба розглянути 2 випадки: основа більше 1 або підставу менше 1.

4. Пояснення нового матеріалу

Якщо подивитися на ці формули уважно, то можна помітити, що знак різниці g(x) – h(x) Збігається зі знаком різниці log f(x) g(x) - log f(x) h(x) В разі зростаючої функції ( f(x)\u003e 1, тобто f(x) - 1\u003e 0) і протилежний знаку різниці log f(x) g(x) - log f(x) h(x) В разі спадання функції (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

Отже, дану сукупність можна звести до системи раціональних нерівностей:

В цьому і полягає суть методу раціоналізації - замінити більш складне вираз А на більш простий вислів В, що є раціональним. При цьому нерівність В V 0 буде рівносильна нерівності А V 0 на області визначення виразу А.

Приклад 1. Перепишемо нерівність у вигляді еквівалентної системи раціональних нерівностей.

Зауважу, що умови (1) - (4) є умовами області визначення нерівності, яку я рекомендую знайти на початку рішення.

Приклад 2.Вирішити нерівність методом раціоналізації:

Область визначення нерівності задається умовами:

отримаємо:

Залишилося записати нерівність (5)

З урахуванням області визначення

Відповідь: (3; 5)

5. Закріплення вивченого матеріалу

I. Запишіть нерівність у вигляді системи раціональних нерівностей:

II. Уявіть праву частину нерівності у вигляді логарифма за потрібною основи і перейдіть до равносильной системі:

Учитель викликає до дошки учнів, які записали системи з групи I і II, і пропонує одному з найбільш сильних учнів вирішити домашнє нерівність (№11.81 * а) методом раціоналізації.

6. Перевірочна робота

Варіант 1

Варіант 2

1. Записати систему раціональних нерівностей для вирішення нерівностей:

2. Вирішити нерівність методом раціоналізації

Критерії виставлення оцінок:

3-4 бали - «задовільно»;
5-6 балів - «добре»;
7 балів - «відмінно».

7. Рефлексія

Дайте відповідь на питання: який з відомих вам методів вирішення логарифмічних нерівностей зі змінним підставою дозволить вам раціональніше використовувати час на іспиті?

8. Домашнє завдання: №№11.80 * (а, б), 11.81 * (а, б), 11.84 * (а, б) вирішити методом раціоналізації.

Список використаної літератури:

1. Алгебра і початки аналізу: Учеб. Для 11 кл. загальноосвіт. Установ /[С.М. Нікольський, М.К. Потапов, М.М. Решетніков, А.В. Шовкун] - 5-е изд. - М .: Просвещение, ВАТ «Московські підручники», 2006.
2. А.Г. Корянов, А.А. Прокоф'єв. Матеріали курсу «Готуємо до ЄДІ хорошистів і відмінників»: лекції 1-4. - М .: Педагогічний університет «Первое сентября», 2012.

розділи: Математика

Часто, при вирішенні логарифмічних нерівностей, зустрічаються завдання зі змінним підставою логарифма. Так, нерівність виду

є стандартним шкільним нерівністю. Як правило, для його вирішення застосовується перехід до еквівалентної сукупності систем:

Недоліком даного методу є необхідність вирішення семи нерівностей, не рахуючи двох систем і однієї сукупності. Уже при даних квадратичних функціях рішення сукупності може зажадати багато часу.

Можна запропонувати альтернативний, менш трудомісткий спосіб вирішення цього стандартного нерівності. Для цього врахуємо наступну теорему.

Теорема 1. Нехай безперервна зростаюча функція на безлічі X. Тоді на цій множині знак приросту функції буде збігатися зі знаком збільшення аргументу, тобто , де .

Примітка: якщо безперервна спадна функція на множині X, то.

Повернемося до нерівності. Перейдемо до десяткового логарифму (можна переходити до будь-якого з постійним підставою більше одиниці).

Тепер можна скористатися теоремою, помітивши в чисельнику приріст функцій і в знаменнику. Таким чином, вірно

В результаті кількість обчислень, що призводять до відповіді, зменшується приблизно в два рази, що економить не тільки час, але і дозволяє потенційно зробити менше арифметичних помилок і помилок "через неуважність".

Приклад 1.

Порівнюючи з (1) знаходимо , , .

Переходячи до (2) будемо мати:

Приклад 2.

Порівнюючи з (1) знаходимо,,.

Переходячи до (2) будемо мати:

Приклад 3.

Оскільки ліва частина нерівності - зростаюча функція при і , То відповіддю буде безліч.

Безліч прикладів, в яких можна застосовувати терему 1 може бути легко розширено, якщо врахувати терему 2.

Нехай на безлічі X визначені функції,,, і на цій множині знаки і збігаються, тобто , Тоді буде справедливо.

Приклад 4.

Приклад 5.

При стандартному підході приклад вирішується за схемою: твір менше нуля, коли співмножники різних знаків. Тобто розглядається сукупність двох систем нерівностей, в яких, як було зазначено на початку, кожне нерівність розпадається ще на сім.

Якщо ж врахувати терему 2, то кожен із співмножників, враховуючи (2), можна замінити на іншу функцію, що має той же знак на даному прикладом О.Д.З.

Метод заміни приросту функції збільшенням аргументу з урахуванням теореми 2, виявляється дуже зручним при вирішенні типових завдань С3 ЄДІ.

Приклад 6.

Приклад 7.

. Позначимо. отримаємо

. Зауважимо, що з заміни слід:. Повертаючись до рівняння, отримаємо .

Приклад 8.

У використовуваних нами теореми немає обмеження на класи функцій. У даній статті, для прикладу, теореми були застосовані до вирішення логарифмічних нерівностей. Кілька наступних прикладів продемонструють перспективність методу при вирішенні інших видів нерівностей.

Єжова Олена Сергіївна
Посада: вчитель математики
Навчальний заклад: МОУ "СОШ №77"
Населений пункт: г.Саратов
Найменування матеріалу: методична розробка
Тема: Метод раціоналізації при вирішенні нерівностей при підготовці до ЄДІ "
Дата публікації: 16.05.2018
розділ: повну освіту

Очевидно, що одне і те ж нерівність можна вирішити кількома способами. вдало

обраним способом або, як ми звикли говорити, раціональним способом будь

нерівність вирішиться швидко і легко, рішення його вийде гарним і цікавим.

Мені хочеться більш докладно розглянути так званий метод раціоналізації при

рішенні логарифмічних і показових нерівностей, а також нерівностей, що містять

змінну під знаком модуля.

Основна ідея методу.

Методом заміни множників вирішуються нерівності, що наводяться до виду

Де символ «

»Позначає один з чотирьох можливих знаків нерівності:

При вирішенні нерівності (1) нас цікавить тільки знак будь-якого множника в чисельнику

або знаменнику, а не абсолютна його величина. Тому, якщо з якихось причин нам

незручно працювати з даними множником, ми можемо замінити його на інший

знакосовпадающій з ним в області визначення нерівності і має в цій області

ті ж коріння.

Це і визначає основну ідею методу заміни множників. Важливо зафіксувати той

факт, що заміна множників здійснюється тільки за умови приведення нерівності

до виду (1), тобто, коли потрібно порівняти твір з нулем.

Основна частина заміни обумовлена \u200b\u200bдвома наступними рівносильними твердженнями.

Твердження 1. Функція f (x) є строго зростаюча тоді і тільки тоді, коли для

будь-яких значень t

) Збігається з

знаку з різницею (f (t

)), Тобто, f<=> (t

(↔ означає знакосовпаденіе)

Твердження 2. Функція f (x) є строго спадна тоді і тільки тоді, коли для

будь-яких значень t

з області визначення функції різниця (t

) Збігається з

знаку з різницею (f (t

)), Тобто f ↓<=> (t

Обгрунтування цих тверджень безпосередньо випливає з визначення строго

монотонної функції. Згідно з цими твердженнями можна встановити, що

Різниця ступенів по одному і тій же підставі завжди по знаку збігається з

твором різниці показників цих ступенів на відхилення основи від одиниці,

Різниця логарифмів по одному і тій же підставі завжди по знаку збігається з

твором різниці чисел цих логарифмів на відхилення основи від одиниці, то

Той факт, що різниця невід'ємних величин збігається за знаком з різницею

квадратів цих величин, дозволяє здійснити наступні заміни:

Вирішіть нерівність

Рішення.

Перейдемо до равносильной системі:

З першого нерівності отримуємо

Друге нерівність виконується при всіх

З третього нерівності отримуємо

Таким чином, безліч рішень вихідного нерівності:

Вирішіть нерівність

Рішення.

Вирішимо нерівність:

Про т в е т: (-4; -3)

вирішити нерівність

Наведемо нерівність до виду, в якому явно видно різницю значень логарифмічною

Замінимо різниця значень логарифмічною функції на різницю значень аргументу. В

чисельнику функція зростаюча, а в знаменнику спадна, тому знак нерівності

зміниться на протилежний. Важливо не забути врахувати область визначення

логарифмічною функції, тому таку нерівність рівносильно системі нерівностей.

Коріння чисельника: 8; 8;

Корінь знаменника: 1

вирішити нерівність

Замінимо в чисельнику різницю модулів двох функцій різницею їх квадратів, а в

знаменнику різниця значень логарифмічною функції різницею аргументів.

У знаменнику функція спадна, значить, знак нерівності зміниться на

протилежний.

При цьому треба врахувати область визначення логарифмічної

Перше нерівність вирішимо методом інтервалів.

Коріння чисельника:

Коріння знаменника:

вирішити нерівність

Замінимо в чисельнику і знаменнику різниця значень монотонних функцій різницею

значень аргументів, враховуючи область визначення функцій і характер монотонності.

Коріння чисельника:

Коріння знаменника:

Найбільш часто використовувані заміни (без урахування Про Д З).

а) Заміна знакопостоянного множників.

б) Заміна незнакопостоянних множників з модулем.

в) Заміна незнакопостоянних множників з показовими і логарифмічними

виразами.

Рішення. ОДЗ:

Заміна множників:

Маємо систему:

У цьому нерівності вже не можна множники

розглядати як різниці невід'ємних величин, так як вираження 1

ОДЗ можуть приймати як позитивні так і негативні значення.

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

Заміна множників:

Маємо систему:

У підсумку маємо: х

метод раціоналізації(Метод декомпозиції, метод заміни множників, метод заміни

функцій, Правило знаків) полягає в заміні складного виразу F (x) на більш

простий вислів G (x), при якому нерівність G (x)

0 рівносильна нерівності F (x

0 в області визначення виразу F (x).