Bir juft xayoliy kesishuvchi chiziqlar. Tenglamaning kanonik shakli nima? Ellips va uning kanonik tenglamasi

8.3.15. A nuqta chiziq ustida joylashgan. A nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa

8.3.16. To‘g‘ri chiziqqa simmetrik bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini yozing

samolyotga nisbatan .

8.3.17. Tekislikdagi proyeksiyalar tenglamalarini tuzing quyidagi qatorlar:

a) ;

b)

ichida) .

8.3.18. Tekislik va chiziq orasidagi burchakni toping:

a) ;

b) .

8.3.19. Nuqta toping simmetrik nuqta chiziqlardan o'tadigan tekislikka nisbatan:

va

8.3.20. A nuqta chiziq ustida joylashgan

A nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa teng. A nuqtaning koordinatalarini toping.

§ 8.4. IKKINCHI TARTIBLI Egri chiziqlar

Keling, tekislikda to'rtburchaklar koordinatalar tizimini o'rnatamiz va ikkinchi darajali umumiy tenglamani ko'rib chiqamiz

unda .

Koordinatalari (8.4.1) tenglamani qanoatlantiradigan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami deyiladi. qiyshiq (chiziq) ikkinchi tartib.

Ikkinchi tartibli har qanday egri chiziq uchun kanonik deb ataladigan to'rtburchaklar koordinatalar tizimi mavjud bo'lib, unda bu egri chiziqning tenglamasi quyidagi shakllardan biriga ega:

1) (ellips);

2) (xayoliy ellips);

3) (bir juft xayoliy kesishuvchi chiziqlar);

4) (giperbola);

5) (kesishgan bir juft chiziq);

6) (parabola);

7) (parallel chiziqlar juftligi);

8) (bir juft xayoliy parallel chiziqlar);

9) (bir-biriga mos keladigan bir juft chiziq).

1) - 9) tenglamalar chaqiriladi ikkinchi tartibli egri chiziqlarning kanonik tenglamalari.

Ikkinchi tartibli egri chiziq tenglamasini ga kamaytirish masalasini yechish kanonik shakl topishni o'z ichiga oladi kanonik tenglama egri chiziq va kanonik koordinatalar tizimi. Kanonik shaklga qisqartirish egri chiziqning parametrlarini hisoblash va uning asl koordinata tizimiga nisbatan joylashishini aniqlash imkonini beradi. Asl nusxadan o'tish to'rtburchaklar tizimi koordinatalar kanonikga dastlabki koordinatalar sistemasining o‘qlarini O nuqta atrofida qandaydir j burchak bilan aylantirish va keyinchalik koordinata tizimini parallel ravishda o‘tkazish yo‘li bilan amalga oshiriladi.

Ikkinchi tartibli egri chiziqli invariantlar(8.4.1) uning tenglamasi koeffitsientlarining shunday funktsiyalari deb ataladi, ularning qiymatlari bir xil tizimning bir to'rtburchaklar koordinata tizimidan boshqasiga o'tishda o'zgarmaydi.

Ikkinchi tartibli egri chiziq uchun (8.4.1) kvadrat koordinatadagi koeffitsientlar yig'indisi.

,

yetakchi hadlar koeffitsientlaridan tuzilgan determinant

va uchinchi tartibli determinant

invariantlardir.

s, d, D invariantlarining qiymati ikkinchi tartibli egri chiziqning turini aniqlash va kanonik tenglamasini tuzish uchun ishlatilishi mumkin.

8.1-jadval.

Invariantlarga asoslangan ikkinchi tartibli egri chiziqlar tasnifi

Elliptik egri chiziq		SD<0. Эллипс
		SD>0. xayoliy ellips
		Haqiqiy nuqtada kesishgan xayoliy chiziqlar juftligi
Giperbolik tipdagi egri chiziq		Giperbola
		Bir juft kesishuvchi chiziqlar
Parabolik egri chiziq		Parabola
		Bir juft parallel chiziqlar (turli xil, xayoliy yoki mos keladigan)

Keling, ellips, giperbola va parabolani batafsil ko'rib chiqaylik.

Ellips(8.1-rasm) - tekislikdagi nuqtalarning joylashuvi bo'lib, ular uchun masofalar yig'indisi ikkita sobit nuqtagacha bo'ladi. deb nomlangan bu samolyot ellips fokuslari, doimiy qiymat (fokuslar orasidagi masofadan kattaroq). Bu ellips o'choqlarining mos kelishini istisno qilmaydi. Agar fokuslar bir xil bo'lsa, u holda ellips aylana bo'ladi.

Ellips nuqtasidan uning o'choqlarigacha bo'lgan masofalarning yarim yig'indisi a, fokuslar orasidagi masofaning yarmi - c bilan belgilanadi. Agar tekislikdagi to'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi tanlansa, ellips fokuslari Ox o'qida koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo'lsa, u holda bu koordinatalar tizimida ellips tenglama bilan beriladi.

, (8.4.2)

chaqirdi ellipsning kanonik tenglamasi, qayerda .

Guruch. 8.1

To'g'ri to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlash bilan ellips koordinata o'qlari va boshiga nisbatan nosimmetrikdir. Ellipsning simmetriya o'qlari uni chaqiradi boltalar, simmetriya markazi esa ellipsning markazi. Shu bilan birga, 2a va 2b raqamlari ko'pincha ellipsning o'qlari deb ataladi va a va b raqamlari deyiladi. katta va yarim kichik o'q mos ravishda.

Ellipsning o'qlari bilan kesishish nuqtalari deyiladi ellipsning uchlari. Ellipsning uchlari (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b) koordinatalariga ega.

Ellips ekssentrikligi raqam chaqirdi

0£c dan beri

.

Bu shuni ko'rsatadiki, ekssentriklik ellips shaklini tavsiflaydi: e nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips aylanaga o'xshaydi; e oshgani sayin ellips cho'zilib ketadi.

Endi biz ikkinchi tartibli egri chiziqlarning affin klassifikatsiyasi egri chiziqlarning nomlari bilan berilishini, ya'ni ikkinchi tartibli egri chiziqlarning afin sinflari sinflar ekanligini ko'rsatamiz:

haqiqiy ellipslar;

xayoliy ellipslar;

giperbola;

haqiqiy kesishuvchi chiziqlar juftlari;

xayoliy (konjugat) juftlari kesishadi;

parallel real chiziqlar juftlari;

parallel xayoliy konjugat chiziqlar juftlari;

bir-biriga mos keladigan haqiqiy chiziqlar juftlari.

Biz ikkita bayonotni isbotlashimiz kerak:

A. Xuddi shu nomdagi barcha egri chiziqlar (ya’ni barcha ellipslar, barcha giperbolalar va boshqalar) bir-biriga afinal ekvivalentdir.

B. Turli nomdagi ikkita egri chiziq hech qachon affin ekvivalenti bo‘lmaydi.

A fikrni isbotlaymiz. XV bobning 3-bandida hamma ellipslar ulardan biriga afinal ekvivalent, ya’ni doiralar va barcha giperbolalar giperbola ekanligi isbotlangan edi.Demak, barcha ellipslar, mos ravishda, barcha giperbolalar, afinal ekvivalentdir. bir-biri. Barcha xayoliy ellipslar radiusi - - 1 bo'lgan aylanaga afinal ekvivalent bo'lib, bir-biriga ham afinal ekvivalentdir.

Keling, barcha parabolalarning affin ekvivalentligini isbotlaylik. Biz ko'proq isbotlaymiz, ya'ni barcha parabolalar bir-biriga o'xshash. Parabola qandaydir koordinatalar sistemasida berilganligini uning kanonik tenglamasi bilan isbotlash kifoya

parabola kabi

Buning uchun biz tekislikni koeffitsient bilan o'xshashlik o'zgarishiga duchor qilamiz - :

Shunday qilib, bizning transformatsiyamiz ostida egri chiziq

egri chiziqqa kiradi

ya'ni parabolaga

Q.E.D.

Keling, chirigan egri chiziqlarga o'taylik. § formulalarda (9) va (11), 401 va 402-betlarda ba'zi (hatto to'rtburchaklar) koordinatalar tizimida kesishuvchi chiziqlar juftligiga ajraladigan egri chiziq tenglamaga ega ekanligi isbotlangan.

Qo'shimcha koordinatani o'zgartirish

Biz bir juft kesishuvchi haqiqiy, mos ravishda xayoliy konjugat, to'g'ri chiziqlarga ajraladigan har qanday egri chiziq qandaydir afin koordinatalar tizimida tenglamaga ega ekanligini ko'ramiz.

Bir juft parallel chiziqlarga bo'linadigan egri chiziqlarga kelsak, ularning har biri (hatto ba'zi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida ham) tenglama bilan berilishi mumkin.

mos ravishda haqiqiy uchun

xayoliy, to'g'ridan-to'g'ri uchun. Koordinatalarni o'zgartirish bizga ushbu tenglamalarni (yoki to'g'ri keladigan chiziqlar uchun) qo'yish imkonini beradi.Bu bir xil nomga ega bo'lgan barcha yemirilayotgan ikkinchi tartibli egri chiziqlarning affin ekvivalentligini bildiradi.

Biz B tasdiqining isbotiga murojaat qilamiz.

Avvalo shuni ta'kidlaymizki, tekislikning affin o'zgarishida algebraik egri chiziqning tartibi o'zgarishsiz qoladi. Keyinchalik: ikkinchi tartibdagi har qanday yemiruvchi egri chiziq juft chiziq bo'lib, affin konvertatsiya ostida chiziq chiziqqa o'tadi, kesishgan bir juft chiziq kesishgan juftlikka va bir juft parallel chiziqlar juftlikka o'tadi. parallel bo'lganlar; bundan tashqari, haqiqiy chiziqlar real, xayoliy chiziqlar esa xayoliy bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, (3) formulalardagi (XI bob, 3-§) afinik transformatsiyani aniqlovchi barcha koeffitsientlar haqiqiy sonlardir.

Yuqorida aytilganlardan kelib chiqadiki, berilgan emiruvchi ikkinchi tartibli egri chiziqqa affin ravishda ekvivalent bo'lgan chiziq bir xil nomdagi yemiruvchi egri chiziqdir.

Biz parchalanmaydigan egri chiziqlarga o'tamiz. Shunga qaramay, affin transformatsiya bilan haqiqiy egri xayoliyga kira olmaydi va aksincha. Demak, xayoliy ellipslar sinfi affin invariantdir.

Haqiqiy parchalanmaydigan egri chiziqlar sinflarini ko'rib chiqing: ellips, giperbola, parabolalar.

Ikkinchi tartibdagi barcha egri chiziqlar orasida har bir ellips va faqat ellips qandaydir to'rtburchakda yotadi, parabola va giperbolalar (shuningdek, barcha parchalanuvchi egri chiziqlar) cheksizgacha cho'ziladi.

Affin transformatsiyada berilgan ellipsni o'z ichiga olgan ABCD to'rtburchaklar o'zgartirilgan egri chiziqni o'z ichiga olgan parallelogrammaga o'tadi, shuning uchun u abadiylikka chiqa olmaydi va shuning uchun ellipsdir.

Shunday qilib, ellipsga afinal ekvivalent egri chiziq albatta ellipsdir. Isbotlangan narsadan kelib chiqadiki, giperbola yoki parabolaga affin ekvivalent bo‘lgan egri chiziq ellips bo‘la olmaydi (biz bilganimizdek, u yemiruvchi egri chiziq ham bo‘la olmaydi. Shuning uchun faqat affin ostida ekanligini isbotlashgina qoladi. tekislikning o'zgarishi natijasida giperbola parabolaga o'tolmaydi va aksincha, bu, ehtimol, parabolaning simmetriya markaziga ega emasligidan kelib chiqadi, giperbolada esa simmetriya markazi yo'qligi sababli. parabola faqat keyingi bobda isbotlanadi, endi giperbola va parabolaning afin ekvivalent emasligining ikkinchi, shuningdek, juda oddiy isbotini keltiramiz.

Lemma. Agar parabola berilgan d to'g'rining tekisligida aniqlangan ikkita yarim tekislikning har biri bilan umumiy nuqtalarga ega bo'lsa, u holda u chiziq bilan kamida bitta umumiy nuqtaga ega bo'ladi.

Haqiqatan ham, berilgan parabola tenglamaga ega bo'lgan koordinatalar tizimi mavjudligini ko'rdik

Bu koordinatalar sistemasiga nisbatan d to'g'ri chiziq tenglamaga ega bo'lsin

Farazga ko'ra, parabolada ikkita nuqta mavjud bo'lib, ulardan biri (1) tenglamaga nisbatan musbat, ikkinchisi esa manfiy yarim tekislikda yotadi. Shuning uchun, biz yozishimiz mumkinligini yodda tuting

Buni aniq misol bilan ko'rsatish uchun men ushbu talqinda quyidagi gapga nima mos kelishini ko'rsataman: (haqiqiy yoki xayoliy) P nuqtasi g (haqiqiy yoki xayoliy) chiziqda yotadi. Bunday holda, albatta, quyidagi holatlarni ajratib ko'rsatish kerak:

1) haqiqiy nuqta va haqiqiy chiziq;

2) haqiqiy nuqta va xayoliy chiziq;

1-holat) bizdan hech qanday maxsus tushuntirishni talab qilmaydi; bu yerda biz oddiy geometriyaning asosiy munosabatlaridan biriga egamiz.

2-holatda, berilgan xayoliy chiziq bilan bir qatorda unga chiziq kompleksi konjugati ham berilgan haqiqiy nuqtadan o'tishi shart; demak, bu nuqta biz xayoliy chiziqni ifodalash uchun foydalanadigan nurlar to'plamining tepasiga to'g'ri kelishi kerak.

Xuddi shunday, 3) holatda haqiqiy chiziq berilgan xayoliy nuqtaning vakili bo'lib xizmat qiladigan nuqtalarning to'g'ri chiziqli involyutsiyasi bilan bir xil bo'lishi kerak.

Eng qiziqarli holat 4) (96-rasm): bu yerda, aniqki, murakkab konjugat nuqta ham murakkab konjugat chiziqda yotishi kerak va bundan kelib chiqadiki, P nuqtani ifodalovchi nuqtalar involyutsiyasining har bir juft juftligi yotishi kerak. g to'g'ri chiziqni ifodalovchi chiziqlar involyutsiyasining ba'zi bir juft chiziqlarida, ya'ni bu ikkala involyutsiya bir-biriga nisbatan perspektiv joylashgan bo'lishi kerak; bundan tashqari, ikkala involyutsiyaning o'qlari ham istiqbolda joylashganligi ma'lum bo'ladi.

Umuman olganda, murakkab sohaga ham e'tibor qaratiladigan tekislikning analitik geometriyasida, agar biz uning barcha real nuqtalari va chiziqlari to'plamiga yangi elementlar sifatida involyutsiya to'plamini qo'shsak, biz bu tekislikning to'liq haqiqiy rasmini olamiz. yuqorida ko'rib chiqilgan raqamlar, ularning yo'nalishlari strelkalari bilan birga. Bu erda murakkab geometriyaning bunday haqiqiy rasmini qurish qanday shaklda bo'lishini umumiy tavsiflab bersam etarli bo'ladi. Bunda men elementar geometriyaning birinchi takliflari odatda taqdim etiladigan tartibda amal qilaman.

1) Ular mavjudlik aksiomalaridan boshlanadi, ularning maqsadi oddiy geometriya bilan solishtirganda kengaytirilgan sohada yuqorida aytib o'tilgan elementlarning mavjudligining aniq formulasini berishdir.

2) Keyin 1) bandda belgilangan kengaytirilgan maydonda ham shuni bildiradigan ulanish aksiomalari! bitta va faqat bitta chiziq (har bir) ikkita nuqtadan o'tadi va bu (har qanday) ikkita chiziq bitta va faqat bitta umumiy nuqtaga ega.

Shu bilan birga, xuddi yuqorida aytib o'tganimizdek, berilgan elementlarning haqiqiyligiga qarab har safar to'rtta holatni ajratib ko'rsatishga to'g'ri keladi va nuqta va chiziqlar involyutsiyasi bilan qaysi haqiqiy konstruktsiyalar tasvir bo'lib xizmat qilishi haqida o'ylash juda qiziq tuyuladi. bu murakkab munosabatlar.

3) tartibga solish (tartib) aksiomalariga kelsak, bu yerda real munosabatlarga nisbatan mutlaqo yangi holatlar yuzaga keladi; xususan, bitta qo'zg'almas chiziqda yotgan barcha haqiqiy va murakkab nuqtalar, shuningdek, bitta qo'zg'almas nuqtadan o'tadigan barcha nurlar ikki o'lchovli kontinuumni hosil qiladi. Axir, har birimiz funktsiyalar nazariyasini o'rganishdan murakkab o'zgaruvchining qiymatlari yig'indisini tekislikning barcha nuqtalari bilan ifodalash odatini o'rgandik.

4) Nihoyat, uzluksizlik aksiomalariga kelsak, men bu yerda faqat qandaydir real nuqtaga xohlagancha yaqin joylashgan murakkab nuqtalarni qanday tasvirlashni ko'rsataman. Buni amalga oshirish uchun olingan haqiqiy P nuqta orqali (yoki unga yaqin bo'lgan boshqa haqiqiy nuqta orqali) siz qandaydir to'g'ri chiziq chizishingiz va unda bir-birini ajratib turadigan ikkita juft nuqtani ko'rib chiqishingiz kerak (ya'ni, "kesishgan tarzda yotgan" ") juft nuqtalar (97-rasm), shuning uchun turli juftliklardan olingan ikkita nuqta bir-biriga va P nuqtaga yaqin yotadi; agar hozir nuqtalarni cheksiz birlashtirsak, unda nomlangan juft nuqtalar bilan aniqlangan involyutsiya degeneratsiyaga uchraydi, ya’ni uning shu paytgacha murakkab bo‘lgan ikkala qo‘sh nuqtasi ham nuqtaga to‘g‘ri keladi.Ushbu involyutsiya bilan ifodalangan ikkita xayoliy nuqtaning har biri (bitta yoki bilan birga) boshqa o'q) o'tadi, shuning uchun P ga yaqin bo'lgan bir nuqtaga yoki hatto to'g'ridan-to'g'ri P ga qadar davom etadi. Albatta, bu davomiylik tushunchalaridan yaxshi foydalanish uchun foydalana olish uchun ular bilan batafsil ishlash kerak.

Garchi bu qurilishning barchasi oddiy haqiqiy geometriyaga nisbatan ancha og'ir va zerikarli bo'lsa-da, u beqiyos ko'proq narsani berishi mumkin. Xususan, u haqiqiy va murakkab elementlar to'plami sifatida tushuniladigan algebraik tasvirlarni to'liq geometrik ravshanlik darajasiga ko'tarishga qodir va uning yordami bilan raqamlarning o'zida algebraning asosiy teoremasi kabi teoremalarni aniq tushunish mumkin. yoki Bezout teoremasi, ikkita egri chiziq tartibi, umuman olganda, aynan umumiy nuqtalarga ega. Buning uchun, albatta, asosiy qoidalarni hozirgacha qilinganidan ko'ra ancha aniqroq va tasviriy shaklda tushunish kerak bo'ladi; ammo adabiyotda bunday tekshiruvlar uchun zarur bo'lgan barcha materiallar allaqachon mavjud.

Ammo ko'p hollarda, ushbu geometrik talqinni qo'llash, barcha nazariy afzalliklari bilan, shunga qaramay, shunday murakkabliklarga olib keladiki, uning asosiy imkoniyati bilan qanoatlanish va aslida soddaroq nuqtai nazarga qaytish kerak, ya'ni quyidagicha: murakkab nuqta uchta murakkab koordinatalar yig'indisi bo'lib, u bilan haqiqiy nuqtalar bilan bir xil tarzda ishlashi mumkin. Haqiqatan ham, har qanday fundamental fikrlashdan voz kechgan holda, xayoliy elementlarning bunday kiritilishi biz xayoliy tsiklik nuqtalar yoki sohalar doirasi bilan shug'ullanishimiz kerak bo'lgan holatlarda har doim samarali bo'lgan. Yuqorida aytib o'tilganidek, Ponsele bu ma'noda birinchi marta xayoliy elementlardan foydalana boshladi; Bu borada uning izdoshlari boshqa frantsuz geometriyalari, asosan Chall va Darboux edi; Germaniyada bir qancha geometriyachilar, xususan, Li ham xayoliy elementlar haqidagi bu tushunchani katta muvaffaqiyat bilan qo'llaganlar.

Xayoliy sohaga bunday chekinish bilan men kursimning ikkinchi qismini yakunlayman va yangi bobga murojaat qilaman,

Ikkinchi tartibli qatorlar

Dekart to'rtburchaklar koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

(*) tenglama haqiqiy geometrik tasvirni aniqlamasligi mumkin, ammo umumiylik uchun bunday hollarda xayoliy chiziqli tasvirni aniqlaydi, deyiladi. n. Umumiy tenglama (*) koeffitsientlarining qiymatlariga qarab, u koordinata tizimining kelib chiqishi va aylanishini har biri quyida joylashgan 9 ta kanonik shakldan biriga biron bir burchak bilan parallel ravishda aylantirish orqali o'zgartirilishi mumkin. chiziqlarning ma'lum bir sinfiga mos keladi. Aynan,

Buzilmaydigan chiziqlar:

y 2 = 2px - parabolalar,

kesish chiziqlari:

x 2 - a 2 \u003d 0 - juft parallel chiziqlar,

x 2 + a 2 \u003d 0 - xayoliy parallel chiziqlar juftligi,

x 2 = 0 - bir-biriga mos keladigan parallel chiziqlar juftlari.

L.ga qarashni tadqiq qilish. umumiy tenglamani kanonik shaklga keltirmasdan amalga oshirish mumkin. Bunga atalgan qiymatlarni birgalikda ko'rib chiqish orqali erishiladi. L.v.ning asosiy invariantlari. n. - (*) tenglama koeffitsientlaridan tashkil topgan ifodalar, ularning qiymatlari koordinata tizimining parallel ko'chirilishi va aylanishi bilan o'zgarmaydi:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

Shunday qilib, masalan, ellipslar, yemirmaydigan chiziqlar sifatida, ular uchun D ≠ 0; d o'zgarmasning musbat qiymati ellipslarni boshqa turdagi yemirmaydigan chiziqlardan ajratib turadi (giperbolalar d uchun)

D, d va S uchta asosiy invariant LV ni aniqlaydi. (parallel chiziqlardan tashqari) Evklid tekisligining harakatiga qadar (Qarang: Harakat): agar ikkita toʻgʻri chiziqning mos keladigan D, d va S invariantlari teng boʻlsa, bunday chiziqlarni harakat orqali qoʻshish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, bu chiziqlar tekislikning harakatlar guruhiga nisbatan ekvivalentdir (metrik jihatdan ekvivalent).

L.ning tasniflari mavjud. boshqa o'zgarishlar guruhlari nuqtai nazaridan. Shunday qilib, harakatlar guruhiga qaraganda nisbatan umumiyroq - afin o'zgarishlar guruhi (Qarang: Affin o'zgarishlari) - bir xil kanonik shakldagi tenglamalar bilan aniqlangan har qanday ikkita chiziq ekvivalentdir. Masalan, ikkita oʻxshash L. in. n (oʻxshashlikka qarang) ekvivalent hisoblanadi. Chiziqli c.v.ning turli afin sinflari orasidagi bogʻlanishlar. cheksizlikdagi elementlar alohida rol o'ynamaydigan proyektiv geometriya nuqtai nazaridan tasnifni o'rnatishga imkon beradi (qarang proyektiv geometriya). Haqiqiy parchalanmaydigan L. in. va boshqalar: ellipslar, giperbolalar va parabolalar bitta proyektiv sinfni - haqiqiy oval chiziqlar (ovals) sinfini tashkil qiladi. Haqiqiy oval chiziq cheksizlikdagi chiziqqa nisbatan qanday joylashganiga qarab ellips, giperbola yoki parabola bo'ladi: ellips noto'g'ri chiziqni ikkita xayoliy nuqtada, giperbola ikki xil haqiqiy nuqtada, parabola noto'g'ri chiziqqa tegadi. ; bu chiziqlarni bir-biriga olib keladigan proyektiv transformatsiyalar mavjud. L.v ning atigi 5 ta proektiv ekvivalentlik sinflari mavjud. n. Aniqrogʻi,

degenerativ bo'lmagan chiziqlar

(x 1 , x 2 , x 3- bir hil koordinatalar):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - haqiqiy oval,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - xayoliy oval,

degenerativ chiziqlar:

x 1 2 - x 2 2= 0 - haqiqiy chiziqlar juftligi,

x 1 2 + x 2 2= 0 - bir juft xayoliy chiziqlar,

x 1 2= 0 - bir-biriga mos keladigan haqiqiy chiziqlar juftligi.

A. B. Ivanov.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasi. - M.: Sovet Entsiklopediyasi. 1969-1978 .

Boshqa lug'atlarda "Ikkinchi tartibli satrlar" nima ekanligini ko'ring:

To'g'ri burchakli nuqta koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar. Ikkinchi tartibli chiziqlar orasida ellipslar (xususan, doiralar), giperbolalar, parabolalar ... Katta ensiklopedik lug'at

To'g'ri burchakli nuqta koordinatalari 2-darajali algebraik tenglamani qanoatlantiradigan tekis chiziqlar. Ikkinchi tartibli chiziqlar orasida ellipslar (xususan, doiralar), giperbolalar, parabolalar mavjud. * * * IKKINCHI TARTIBI SATIRLAR IKKINCHI TARTIBI SATIRLAR,… … ensiklopedik lug'at

Yassi chiziqlar, to'rtburchaklar nuqtalarning koordinatalari k px algebralarni qanoatlantiradi. 2-darajali urniy. L. orasida. n. ellipslar (ayniqsa doiralar), giperbolalar, parabolalar… Tabiiy fan. ensiklopedik lug'at

Yassi chiziq, kartezian to'rtburchaklar koordinatalari algebraikni qondirish uchun. 2-darajali tenglama (*) tenglama haqiqiy geometrikni aniqlay olmaydi. tasvir, lekin bunday hollarda umumiylikni saqlab qolish uchun ular buni aniqlaydi, deyishadi ... ... Matematik entsiklopediya

Dekart tizimidagi koordinatalari algebraikni qanoatlantiradigan 3 o'lchovli haqiqiy (yoki murakkab) fazoning nuqtalari to'plami. 2-darajali tenglama (*) Tenglama (*) haqiqiy geometrikni aniqlamasligi mumkin. tasvirlar, shunday ...... Matematik entsiklopediya

Egri chiziqlar geometriyasida juda tez-tez ishlatiladigan bu so'z unchalik aniq bo'lmagan ma'noga ega. Agar bu so'z yopiq bo'lmagan va tarmoqlanmagan egri chiziqlarga nisbatan qo'llanilsa, u holda egri chiziq har bir uzluksiz individual ... ... Entsiklopedik lug'at F.A. Brockhaus va I.A. Efron

Ikkinchi tartibli chiziqlar, ikkita diametrli, ularning har biri bu egri chiziqning akkordlarini ikkiga bo'lib, boshqasiga parallel. SDlar ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy nazariyasida muhim rol o'ynaydi. Ellipsning S. aylanasiga parallel proyeksiyasi bilan ... ...

To'g'ri dumaloq Konusni uning uchidan o'tmaydigan tekisliklarga bo'lish yo'li bilan olingan chiziqlar. K. s. uch xil bo'lishi mumkin: 1) kesish tekisligi konusning barcha generatorlarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesib o'tadi; qator …… Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

To'g'ri dumaloq konusni uning cho'qqisidan o'tmaydigan tekisliklarga bo'lish orqali olingan chiziqlar. K. s. uch xil bo'lishi mumkin: 1) kesish tekisligi konusning barcha generatorlarini uning bo'shlig'idan birining nuqtalarida kesishadi (rasm, a): kesishish chizig'i ... ... Matematik entsiklopediya

Geometriya bo'limi. Algebraik geometriyaning asosiy tushunchalari eng oddiy geometrik tasvirlar (nuqtalar, chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va ikkinchi tartibli sirtlar). A.g.da tadqiqotning asosiy vositalari koordinatalar usuli (pastga qarang) va usullardir ... ... Buyuk Sovet Entsiklopediyasi

Kitoblar

• Analitik geometriya bo'yicha qisqa kurs, Efimov Nikolay Vladimirovich. Analitik geometriyani o'rganish predmeti dekart koordinatalarida birinchi yoki ikkinchi darajali tenglamalar bilan berilgan raqamlardir. Samolyotda bu to'g'ri chiziqlar va ikkinchi tartibli chiziqlar. ...

Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari, kanonik shakl ko'plab amaliy vazifalarni hal qilish uchun juda qulaydir. Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra "tekis" tekis, birinchidan, bu to'g'ri chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish vektori oddiygina ko'rinadi.

Shubhasiz, har qanday 1-tartib qatori to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi. Ikkinchi qavatda bizni endi farrosh emas, balki to'qqizta haykaldan iborat ancha xilma-xil kompaniya kutmoqda:

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi

Maxsus harakatlar to'plami yordamida har qanday ikkinchi tartibli chiziqli tenglama quyidagi turlardan biriga qisqartiriladi:

(va musbat haqiqiy sonlar)

1) ellipsning kanonik tenglamasi;

2) giperbolaning kanonik tenglamasi;

3) parabolaning kanonik tenglamasi;

4) – xayoliy ellips;

5) - kesishuvchi chiziqlar juftligi;

6) - juftlik xayoliy kesishuvchi chiziqlar (boshidagi yagona haqiqiy kesishish nuqtasi bilan);

7) - bir juft parallel chiziqlar;

8) - juftlik xayoliy parallel chiziqlar;

9) bir-biriga mos keladigan juft chiziqlar.

Ba'zi o'quvchilar ro'yxat to'liq emas degan taassurot qoldirishi mumkin. Masalan, 7-bandda tenglama juftlikni o'rnatadi bevosita, o'qiga parallel va savol tug'iladi: y o'qiga parallel bo'lgan chiziqlarni aniqlaydigan tenglama qayerda? Javob: bu kanon hisoblanmaydi. To'g'ri chiziqlar 90 gradusga aylantirilgan bir xil standart holatni ifodalaydi va tasnifdagi qo'shimcha yozuv ortiqcha bo'ladi, chunki u tubdan yangi narsalarni olib kelmaydi.

Shunday qilib, to'qqiz va faqat to'qqiz xil turdagi 2-tartibli chiziqlar mavjud, ammo amalda eng keng tarqalganlari ellips, giperbola va parabola.

Keling, avval ellipsni ko'rib chiqaylik. Odatdagidek, men muammolarni hal qilishda katta ahamiyatga ega bo'lgan fikrlarga e'tibor qarataman va agar sizga formulalarni batafsil chiqarish, teoremalarni isbotlash kerak bo'lsa, masalan, Bazylev / Atanasyan yoki Aleksandrovning darsligiga murojaat qiling ..

Ellips va uning kanonik tenglamasi

Imlo ... iltimos, "ellipsni qanday qurish kerak", "ellips va oval o'rtasidagi farq" va "elebs ekssentrikligi" bilan qiziqqan ba'zi Yandex foydalanuvchilarining xatolarini takrorlamang.

Ellipsning kanonik tenglamasi , bu erda musbat haqiqiy sonlar va . Ellipsning ta'rifini keyinroq shakllantiraman, ammo hozircha suhbatdan tanaffus qilish va umumiy muammoni hal qilish vaqti keldi:

Ellipsni qanday qurish mumkin?

Ha, uni oling va shunchaki chizib oling. Topshiriq keng tarqalgan bo'lib, o'quvchilarning katta qismi rasm chizishni yaxshi bajara olmaydi:

1-misol

Tenglama bilan berilgan ellipsni tuzing

Yechim: avval tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Nega olib keling? Kanonik tenglamaning afzalliklaridan biri shundaki, u bir zumda aniqlash imkonini beradi ellips uchlari nuqtalarda joylashgan. Bu nuqtalarning har birining koordinatalari tenglamani qanoatlantirayotganini ko'rish oson.

Ushbu holatda :


Chiziq segmenti chaqirdi asosiy o'q ellips;
chiziq segmenti – kichik o'q;
raqam chaqirdi yarim katta o'q ellips;
raqam – yarim kichik o'q.
bizning misolimizda: .

U yoki bu ellips qanday ko'rinishini tezda tasavvur qilish uchun uning kanonik tenglamasining "a" va "bo'lish" qiymatlariga qarang.

Hammasi yaxshi, toza va chiroyli, lekin bitta ogohlantirish bor: men dastur yordamida chizmani chizganman. Va har qanday dastur bilan chizishingiz mumkin. Biroq, qattiq haqiqatda stolda katakli qog'oz yotadi va sichqonlar bizning qo'llarimiz atrofida raqsga tushishadi. Badiiy iste'dodli odamlar, albatta, bahslasha oladilar, lekin sizda ham sichqonlar bor (kichikroq bo'lsa ham). Insoniyat chizmachilik uchun chizgich, sirkul, transportr va boshqa oddiy asboblarni ixtiro qilgani bejiz emas.

Shuning uchun biz faqat uchlarini bilgan holda ellipsni aniq chizishimiz dargumon. Hali ham yaxshi, agar ellips kichik bo'lsa, masalan, yarim o'qlar bilan. Shu bilan bir qatorda, siz o'lchovni va shunga mos ravishda chizilgan o'lchamlarini kamaytirishingiz mumkin. Ammo umumiy holatda qo'shimcha nuqtalarni topish juda ma'qul.

Ellipsni qurishda ikkita yondashuv mavjud - geometrik va algebraik. Menga kompas va o'lchagich yordamida qurish yoqmaydi, chunki qisqa algoritm va chizmaning sezilarli tartibsizligi. Favqulodda vaziyatlarda darslikka murojaat qiling, lekin aslida algebra vositalaridan foydalanish ancha oqilona. Qoralamadagi ellips tenglamasidan biz tezda ifodalaymiz:

Keyin tenglama ikki funktsiyaga bo'linadi:
– ellipsning yuqori yoyini aniqlaydi;
– ellipsning pastki yoyini belgilaydi.

Har qanday ellips koordinata o'qlariga nisbatan, shuningdek, koordinata bo'yicha simmetrikdir. Va bu juda zo'r - simmetriya deyarli har doim bepul narsaning xabarchisi. Shubhasiz, 1-koordinatali chorak bilan shug'ullanish kifoya, shuning uchun bizga funktsiya kerak . Bu abscissalar bilan qo'shimcha nuqtalarni topishni taklif qiladi . Biz kalkulyatorda uchta SMS ni urdik:

Albatta, agar hisob-kitoblarda jiddiy xatoga yo'l qo'yilgan bo'lsa, bu qurilish paytida darhol aniq bo'lishi ham yoqimli.

Chizmadagi nuqtalarni (qizil rang), boshqa yoylardagi nosimmetrik nuqtalarni (ko'k rang) belgilang va butun kompaniyani chiziq bilan ehtiyotkorlik bilan ulang:


Dastlabki eskizni ingichka va ingichka qilib chizish yaxshidir va shundan keyingina qalamga bosim o'tkazing. Natijada juda yaxshi ellips bo'lishi kerak. Aytgancha, bu egri chiziq nima ekanligini bilmoqchimisiz?