Kanonik kvadratik shakl. Kvadratik shaklning kanonik shakli. Kvadratik shaklni kanonik shaklga kamaytirish

Kvadratik shakl berilgan (2) A(x, x) \u003d, qaerda x = (x 1 , x 2 , …, x n). Kosmosdagi kvadratik shaklni ko'rib chiqing R 3, ya'ni x = (x 1 , x 2 , x 3), A(x, x) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(biz shaklning simmetriya holatidan foydalanganmiz, ya'ni va 12 = va 21 , va 13 = va 31 , va 23 = va 32). Kvadratik shaklning matritsasini yozamiz A asosda ( e}, A(e) =
... Asos o'zgarganda, kvadrat shaklning matritsasi formulaga muvofiq o'zgaradi A(f) = C t A(e)Cqayerda C - bazadan o'tish matritsasi ( e) asosga ( f) va C t - ko'chirilgan matritsa C.

Ta'rif11.12. Diagonali matritsali kvadratik shaklning shakli deyiladi kanonik.

Shunday qilib, ruxsat bering A(f) =
keyin A"(x, x) =
+
+
qayerda x" 1 , x" 2 , x"3 - vektor koordinatalari x yangi asosda ( f}.

Ta'rif11.13. Kiring n V shunday asos tanlangan f = {f 1 , f 2 , …, f n ), unda kvadratik shaklga ega

A(x, x) =
+
+ … +
, (3)

qaerda y 1 , y 2 , …, y n - vektor koordinatalari x asosda ( f). Ifoda (3) deyiladi kanonik ko'rinish kvadratik shakl.  1, λ 2,…, Co koeffitsientlari n deyiladi kanonik; kvadratik shakl kanonik shaklga ega bo'lgan asos deyiladi kanonik asos.

Izoh... Agar kvadrat shakli bo'lsa A(x, x) kanonik shaklga tushiriladi, demak, umuman olganda, hamma koeffitsientlar  emas men nolga teng. Kvadratik shaklning darajasi har qanday asosda uning matritsasi darajasiga teng.

Kvadratik shaklning darajasi bo'lsin A(x, x) tengdir rqayerda r ≤ n... Kanonik shaklda kvadratik shakl matritsasi diagonal shaklga ega. A(f) =
chunki uning darajasi r, keyin  koeffitsientlari orasida men bo `lish kerak rnolga teng emas. Demak, nolga teng bo'lmagan kanonik koeffitsientlar soni kvadratik shaklning darajasiga teng.

Izoh... Koordinatalarning chiziqli o'zgarishi o'zgaruvchilardan o'tishdir x 1 , x 2 , …, x n o'zgaruvchiga y 1 , y 2 , …, y n , unda eski o'zgaruvchilar ba'zi bir koeffitsientlar bilan yangi o'zgaruvchilar bilan ifodalanadi.

x 1 \u003d a 11 y 1 + a 12 y 2 + ... + a 1 n y n ,

x 2 \u003d a 2 1 y 1 + a 2 2 y 2 + ... + a 2 n y n ,

………………………………

x 1 \u003d a n 1 y 1 + a n 2 y 2 + ... + a nn y n .

Asosning har bir o'zgarishi koordinatalarning degenerativ bo'lmagan chiziqli o'zgarishiga to'g'ri kelganligi sababli, kvadratik shaklni kanonik shaklga kamaytirish masalasi koordinatalarning mos keladigan degenerativ bo'lmagan o'zgarishini tanlash orqali hal qilinishi mumkin.

Teorema 11.2 (kvadratik shakllar haqidagi asosiy teorema). Har qanday kvadratik shakl A(x, x) berilgan n- o'lchovli vektor maydoni V, koordinatalarning noaniq chiziqli o'zgarishini ishlatib, kanonik shaklga keltirish mumkin.

Dalillar... (Lagranj usuli) Ushbu usulning g'oyasi har bir o'zgaruvchida kvadrat trinomialni to'liq kvadratga ketma-ket to'ldirishdir. Biz buni taxmin qilamiz A(x, x) ≠ 0 va asosda e = {e 1 , e 2 , …, e n ) (2) shaklga ega:

A(x, x) =
.

Agar a A(x, x) \u003d 0, keyin ( a ij) \u003d 0, ya'ni shakl allaqachon kanonikdir. Formula A(x, x) koeffitsienti o'zgarishi mumkin a 11 ≠ 0. Agar a 11 \u003d 0 bo'lsa, u holda boshqa o'zgaruvchining kvadratik koeffitsienti nolga teng bo'ladi, keyin o'zgaruvchilarni qayta raqamlash orqali bunga erishish mumkin a 11 ≠ 0. O'zgaruvchilarni qayta raqamlash - bu degeneratsiz chiziqli o'zgarish. Agar o'zgaruvchilar kvadratlarining barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, unda kerakli transformatsiyalar quyidagicha olinadi. Masalan, a 12 ≠ 0 (A(x, x) ≠ 0, shuning uchun kamida bitta koeffitsient a ij ≠ 0). Transformatsiyani ko'rib chiqing

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x men = y men , da men = 3, 4, …, n.

Ushbu o'zgarish degenerativ emas, chunki uning matritsasining determinanti nolga teng
= = 2 ≠ 0.

Keyin 2 a 12 x 1 x 2 = 2 a 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, ya'ni shaklda A(x, x) ikkita o'zgaruvchidan kvadratchalar paydo bo'ladi.

A(x, x) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

Ajratilgan summani quyidagi shaklga o'tkazamiz:

A(x, x) = a 11
, (5)

koeffitsientlar esa a ij ga o'zgartirish ... Degenerativ bo'lmagan o'zgarishni ko'rib chiqing

y 1 = x 1 + + … + ,

y 2 = x 2 ,

y n = x n .

Keyin olamiz

A(x, x) =
. (6).

Agar kvadrat shakli bo'lsa
\u003d 0, keyin kamaytirish masalasi A(x, x) kanonik shaklga hal qilindi.

Agar bu shakl nolga teng bo'lmasa, biz koordinatalarning o'zgarishini hisobga olgan holda mulohazani takrorlaymiz y 2 , …, y n va koordinatani o'zgartirmasdan y 1. Shubhasiz, bu transformatsiyalar degenerativ bo'lmaydi. Sonli sonli qadamlarda kvadratik shakl A(x, x) kanonik shaklga keltiriladi (3).

Izoh1. Asl koordinatalarni kerakli o'zgartirish x 1 , x 2 , …, x n fikrlash jarayonida topilgan degenerativ bo'lmagan o'zgarishlarni ko'paytirish orqali olish mumkin: [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], keyin [ x] = AB[z] = ABC[t], ya'ni [ x] = M[t], qaerda M = ABC.

Izoh 2. Keling A(x, x) = A(x, x) =
+
+ …+
, qaerda  men ≠ 0, men = 1, 2, …, r, bu erda  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ q > 0, λ q +1 < 0, …, λ r < 0.

Degenerativ bo'lmagan o'zgarishni ko'rib chiqing

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y q = z q , y q +1 =
z q +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y n = z n ... Natijada A(x, x) quyidagi shaklga ega bo'ladi: A(x, x) = + + … + – – … – deb nomlangan normal kvadrat shakli.

Misol11.1. Kvadratik shaklni kanoniklashtirish A(x, x) = 2x 1 x 2 – 6x 2 x 3 + 2x 3 x 1 .

Qaror... Sifatida a 11 \u003d 0, biz transformatsiyadan foydalanamiz

x 1 = y 1 – y 2 ,

x 2 = y 1 + y 2 ,

x 3 = y 3 .

Ushbu o'zgarish matritsaga ega A =
, ya'ni [ x] = A[y] biz olamiz A(x, x) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

At koeffitsienti beri nolga teng emas, bitta noma'lum kvadratni tanlashingiz mumkin, bo'lsin y 1. O'z ichiga olgan barcha a'zolarni tanlaylik y 1 .

A(x, x) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

Matritsasi teng bo'lgan transformatsiyani amalga oshiramiz B.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

B =
, [y] = B[z].

Biz olamiz A(x, x) = 2– 2–– 8z 2 z 3. Tarkibidagi a'zolarni tanlaymiz z 2018-04-02 121 2. Bizda ... bor A(x, x) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

Matritsa bilan transformatsiyani amalga oshirish C:

t 1 = z 1 ,  z 1 = t 1 ,

t 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = t 2 – 2t 3 ,

t 3 = z 3 ;  z 3 = t 3 .

C =
, [z] = C[t].

Bor: A(x, x) = 2– 2+ 6 kvadratik shaklning kanonik shakli, shu bilan birga [ x] = A[y], [y] = B[z], [z] = C[t], bu erdan [ x] = ABC[t];

ABC =


=
... Transformatsiya formulalari quyidagicha

x 1 = t 1 – t 2 + t 3 ,

x 2 = t 1 + t 2 – t 3 ,

Kvadratik shakl kanonik deb ataladi, agar hamma narsa, ya'ni.

Har qanday kvadratik shaklni chiziqli transformatsiyalar yordamida kanonik shaklga keltirish mumkin. Amalda odatda quyidagi usullardan foydalaniladi.

1. Fazoning ortogonal o'zgarishi:

qaerda - matritsaning o'ziga xos qiymatlari A.

2. Lagranj usuli - mukammal kvadratlarni ketma-ket tanlash. Masalan, agar

Keyin shunga o'xshash protsedura kvadratik shakl bilan amalga oshiriladi va hokazo. Agar kvadratik shaklda hamma narsa bo'lsa keyin dastlabki transformatsiyadan so'ng ish ko'rib chiqilgan tartibda qisqartiriladi. Shunday qilib, agar, masalan, biz qo'yamiz

3. Jakobining usuli (barcha katta voyaga etmaganlar uchun) nolga teng):

Tekislikdagi har qanday to'g'ri chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ax + Wu + C \u003d 0,

va A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Ushbu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi.A, B va C sobit qiymatlariga qarab, quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - chiziq boshidan o'tadi

A \u003d 0, B-0, C-0 (By + C \u003d 0) - to'g'ri chiziq Ox o'qiga parallel

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C \u003d 0) - to'g'ri chiziq Oy o'qiga parallel

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday boshlang'ich shartlarga qarab turli shakllarda taqdim etilishi mumkin.

Kosmosda to'g'ri chiziq ko'rsatilishi mumkin:

1) ikkita tekislikning kesishish chizig'i sifatida, ya'ni. tenglamalar tizimi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (3.2)

2) uning ikkita M 1 (x 1, y 1, z 1) va M 2 (x 2, y 2, z 2) nuqtalari bo'yicha, keyin ular orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamalar bilan berilgan:

= ; (3.3)

3) unga tegishli bo'lgan M 1 (x 1, y 1, z 1) nuqta va vektor a(m, n, p), unga kollinear. Keyin to'g'ri chiziq tenglamalar bilan aniqlanadi:

. (3.4)

(3.4) tenglamalar deyiladi chiziqning kanonik tenglamalari.

Vektor a deb nomlangan to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori.

To'g'ri parametrning har bir nisbatini (3.4) t parametrga tenglashtirib, to'g'ri chiziqning parametrli tenglamalarini olamiz:

x \u003d x 1 + mt, y \u003d y 1 + nt, z \u003d z 1 + pt. (3.5)

(3.2) sistemani noma'lumlarga nisbatan chiziqli tenglamalar tizimi sifatida echish x va y, biz chiziqning tenglamalariga etib boramiz proektsiyalar yoki ga to'g'ri chiziqning kamaytirilgan tenglamalari:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b. (3.6)

(3.6) tenglamalardan topish orqali kanonik tenglamalarga o'tishimiz mumkin z har bir tenglamadan va olingan qiymatlarni tenglashtirishdan:

.

Umumiy tenglamalardan (3.2) kanonikka o'tish mumkin va boshqa yo'l bilan, agar biz ushbu chiziqning biron bir nuqtasini va uning yo'nalish vektorini topsak n= [n 1 , n 2], qaerda n 1 (A 1, B 1, C 1) va n 2 (A 2, B 2, C 2) berilgan tekisliklarning normal vektorlari. Agar maxrajlardan biri bo'lsa m, n yoki r (3.4) tenglamalarda nolga teng bo'lib chiqadi, keyin mos keladigan kasrning numeratori nolga tenglashtirilishi kerak, ya'ni. tizim

tizimga tengdir ; bunday to'g'ri chiziq Ox o'qiga perpendikulyar.

Tizim x \u003d x 1, y \u003d y 1 tizimiga teng; to'g'ri chiziq Oz o'qiga parallel.

Koordinatalarga nisbatan birinchi darajadagi har qanday tenglama x, y, z

Ax + By + Cz + D \u003d 0 (3.1)

tekislikni belgilaydi va aksincha: har qanday tekislikni (3.1) tenglama bilan ifodalash mumkin, u deyiladi tekislik tenglamasi.

Vektor n (A, B, C) tekislikka ortogonal deyiladi normal vektor samolyot. (3.1) tenglamada A, B, C koeffitsientlari bir vaqtning o'zida 0 ga teng emas.

Maxsus tenglama holatlari (3.1):

1. D \u003d 0, Ax + By + Cz \u003d 0 - tekislik boshidan o'tadi.

2. C \u003d 0, Ax + By + D \u003d 0 - tekislik Oz o'qiga parallel.

3. C \u003d D \u003d 0, Ax + By \u003d 0 - tekislik Oz o'qidan o'tadi.

4. B \u003d C \u003d 0, Ax + D \u003d 0 - tekislik Oyz tekisligiga parallel.

Koordinata tekisliklarining tenglamalari: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0.

Chiziq samolyotga tegishli bo'lishi yoki bo'lmasligi mumkin. Agar uning kamida ikkitasi tekislikda yotsa, u tekislikka tegishli.

Agar chiziq tekislikka tegishli bo'lmasa, u unga parallel bo'lishi yoki uni kesib o'tishi mumkin.

To'g'ri chiziq, agar u shu tekislikda yotgan boshqa to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, tekislikka parallel bo'ladi.

To'g'ri chiziq tekislikni turli burchaklarda kesib o'tishi va xususan, unga perpendikulyar bo'lishi mumkin.

Samolyotga nisbatan nuqta quyidagicha joylashishi mumkin: unga tegishli yoki tegishli emas. Agar nuqta shu tekislikda joylashgan to'g'ri chiziqda joylashgan bo'lsa, tekislikka tegishli.

Kosmosda ikkita chiziq kesishishi yoki parallel bo'lishi yoki kesib o'tilishi mumkin.

Proektsiyalarda chiziq segmentlarining parallelligi saqlanib qoladi.

Agar chiziqlar kesishgan bo'lsa, unda ularning bir xil nomdagi proektsiyalarining kesishish nuqtalari bir xil aloqa chizig'ida bo'ladi.

Kesilgan chiziqlar bir tekislikka tegishli emas, ya'ni. kesma yoki parallel qilmang.

rasmda alohida olingan bir xil nomdagi chiziqlarning proektsiyalari kesishgan yoki parallel chiziqlarning belgilariga ega.

Ellips. Ellips - bu ikki sobit nuqtaga (fokuslarga) bo'lgan masofalar yig'indisi ellipsning barcha nuqtalari uchun bir xil doimiy qiymatga teng bo'lgan nuqta (bu doimiy qiymat fokuslar orasidagi masofadan katta bo'lishi kerak).

Eng oddiy ellips tenglamasi

qaerda a - ellipsning yarim katta o'qi, b ellipsning yarim kichik o'qi. Agar 2 v fokuslar orasidagi masofa, keyin orasidagi masofa a, b va v (agar a a > b) munosabat mavjud

a 2 - b 2 = v 2 .

Ellipsning ekssentrikligi - bu ellips fokuslari orasidagi masofaning uning katta o'qi uzunligiga nisbati.

Ellips ekssentriklikka ega e < 1 (так как v < a) va uning markazlari katta o'qda joylashgan.

Rasmda ko'rsatilgan giperbolaning tenglamasi.

Parametrlar:
a, b - yarim o'qlar;
- fokuslar orasidagi masofa,
- ekssentriklik;
- asimptotlar;
- rejissyorlar.
Rasmning markazida ko'rsatilgan to'rtburchak asosiy to'rtburchak, uning diagonallari asimptotlardir.