Nuqtadagi funksiya grafigiga tangens. Tangens tenglamasi. Hosilning geometrik ma'nosi. Ikki tangensning tangens chiziq xossasi

Dars maqsadlari

• Ta'lim - takrorlash, umumlashtirish va "Ayraga teginish" mavzusidagi bilimlarni tekshirish; asosiy ko'nikmalarni rivojlantirish.
• Rivojlantiruvchi - o'quvchilarning diqqatini, qat'iyatliligini, qat'iyatliligini, mantiqiy fikrlashini, matematik nutqini rivojlantirish.
• Tarbiyaviy - dars orqali bir-biriga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lish, o'rtoqlarni tinglash, o'zaro yordam va mustaqillik qobiliyatini tarbiyalash.
• Tangens, aloqa nuqtasi tushunchasi bilan tanishtiring.
• Tangensning xossasini va uning belgisini ko'rib chiqing va ularning tabiat va texnologiya masalalarini hal qilishda qo'llanilishini ko'rsating.

Dars maqsadlari

• Masshtab o‘lchagich, transport vositasi va uchburchak chizmasi yordamida tangenslar yasash ko‘nikmalarini shakllantirish.
• Talabalarning muammoni yechish qobiliyatlarini tekshirish.
• Aylanaga tegish yasashning asosiy algoritmik usullarini egallashini ta’minlash.
• Nazariy bilimlarni muammoni hal qilishda qo'llash qobiliyatini rivojlantirish.
• Talabalarning fikrlash va nutqini rivojlantirish.
• Kuzatish, naqshlarni payqash, umumlashtirish va o‘xshatish bo‘yicha fikr yuritish ko‘nikmalarini rivojlantirish ustida ishlang.
• Matematikaga qiziqish uyg'otish.

Dars rejasi

1. Tangens tushunchasining paydo bo'lishi.
2. Tangens tarixi.
3. Geometrik ta'riflar.
4. Asosiy teoremalar.
5. Aylanaga teginish yasash.
6. Mustahkamlash.

Tangens tushunchasining paydo bo'lishi

Tangens tushunchasi matematikadagi eng qadimgi tushunchalardan biridir. Geometriyada aylanaga teguvchi chiziq shu aylana bilan aynan bitta kesishish nuqtasiga ega bo‘lgan chiziq sifatida aniqlanadi. Qadimgi odamlar sirkul va o'lchagichlardan foydalanib, aylanaga, keyinroq konus kesimlariga teglar chizishga muvaffaq bo'lishdi: ellips, giperbola va parabolalar.

Tangens tarixi

Tangentlarga qiziqish zamonaviy davrda qayta tiklandi. Keyin qadimgi olimlarga noma'lum bo'lgan egri chiziqlar topildi. Masalan, Galiley sikloidni kiritdi, Dekart va Ferma esa unga teginish yasadilar. 17-asrning birinchi uchdan birida. Ular tangens - bu ma'lum bir nuqtaning kichik qo'shnisidagi egri chiziqqa "eng yaqin qo'shni" to'g'ri chiziq ekanligini tushunishni boshladilar. Berilgan nuqtada (rasm) egri chiziqqa tangens qurish mumkin bo'lmagan vaziyatni tasavvur qilish oson.

Geometrik ta'riflar

Doira- berilgan nuqtadan teng masofada joylashgan tekislikdagi nuqtalarning geometrik joylashuvi uning markazi deb ataladi.

doira.

Tegishli ta'riflar

• Doira markazini uning istalgan nuqtasi bilan bog'laydigan segment (shuningdek, ushbu segmentning uzunligi) deyiladi radius doiralar.
• Tekislikning aylana bilan chegaralangan qismi deyiladi butun atrofda.
• Doiradagi ikkita nuqtani bog'laydigan segment uning deyiladi akkord. Doira markazidan o'tuvchi akkord deyiladi diametri.
• Doiradagi har qanday ikki xil nuqta uni ikki qismga ajratadi. Ushbu qismlarning har biri deyiladi yoy doiralar. Yoyning o'lchami uning mos keladigan markaziy burchagining o'lchovi bo'lishi mumkin. Yoy, agar uning uchlarini birlashtiruvchi segment diametrga teng bo'lsa, yarim doira deyiladi.
• Aylana bilan aynan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq deyiladi tangens aylanaga, ularning umumiy nuqtasi esa chiziq va aylananing teginish nuqtasi deyiladi.
• Aylananing ikkita nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi sekant.
• Doiradagi markaziy burchak - uning markazida tepasi bo'lgan tekis burchak.
• Cho'qqisi aylana ustida joylashgan va tomonlari shu aylana bilan kesishgan burchak deyiladi yozilgan burchak.
• Umumiy markazga ega bo'lgan ikkita doira deyiladi konsentrik.

Tangens chizig'i- egri chiziqdagi nuqtadan o'tuvchi va shu nuqtada birinchi tartibgacha to'g'ri keladigan to'g'ri chiziq.

Aylanaga teginish aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq.

Shu nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar bir xil tekislikdagi aylananing nuqtasidan o'tuvchi to'g'ri chiziq tangens deb ataladi. Bunda aylanadagi bu nuqta teginish nuqtasi deb ataladi.

Bizning holatlarimizda "a" berilgan aylanaga teguvchi to'g'ri chiziq bo'lsa, "A" nuqtasi teginish nuqtasidir. Bunda a⊥OA (to'g'ri chiziq a OA radiusiga perpendikulyar).

Ular shunday deyishadi ikkita aylana tegadi, agar ular bitta umumiy nuqtaga ega bo'lsa. Bu nuqta deyiladi doiralarning aloqa nuqtasi. Aloqa nuqtasi orqali siz aylanalardan biriga teginish chizishingiz mumkin, bu ham boshqa doiraga teginishdir. Tegishli doiralar ichki yoki tashqi bo'lishi mumkin.

Agar aylana markazlari tangensning bir tomonida bo'lsa, teginish ichki deyiladi.

Agar aylana markazlari tangensning qarama-qarshi tomonlarida bo'lsa, teginish tashqi deyiladi.

a - ikkita aylananing umumiy tangensi, K - teginish nuqtasi.

Asosiy teoremalar

Teorema tangens va sekant haqida

Agar aylanadan tashqarida yotgan nuqtadan tangens va sekant chizilgan bo'lsa, u holda tangens uzunligining kvadrati sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasiga teng bo'ladi: MC 2 = MA MB.

Teorema. Doiraning tangens nuqtasiga chizilgan radius tegga perpendikulyar.

Teorema. Agar radius aylana bilan kesishgan nuqtada chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, u holda bu chiziq bu doiraga tegib turadi.

Isbot.

Bu teoremalarni isbotlash uchun nuqtadan chiziqqa perpendikulyar nima ekanligini eslab qolishimiz kerak. Bu nuqtadan bu chiziqgacha bo'lgan eng qisqa masofa. Faraz qilaylik, OA tangensga perpendikulyar emas, lekin tangensga perpendikulyar OS to'g'ri chiziq mavjud. Uzunlik OS radiusning uzunligini va ma'lum bir BC segmentini o'z ichiga oladi, bu albatta radiusdan kattaroqdir. Shunday qilib, har qanday chiziq uchun buni isbotlash mumkin. Biz radius, aloqa nuqtasiga tortilgan radius, O nuqtadan tangensgacha bo'lgan eng qisqa masofa, ya'ni degan xulosaga kelamiz. OS tangensga perpendikulyar. Qarama-qarshi teoremani isbotlashda biz tangensning aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtasiga ega ekanligidan kelib chiqamiz. Ushbu to'g'ri chiziqning aylana bilan yana bitta umumiy B nuqtasi bo'lsin. AOB uchburchagi to'rtburchak va uning ikki tomoni radiuslarga teng, bunday bo'lishi mumkin emas. Shunday qilib, biz bu to'g'ri chiziqning A nuqtadan tashqari aylana bilan umumiy nuqtalari yo'qligini aniqlaymiz, ya'ni. tangens hisoblanadi.

Teorema. Bir nuqtadan aylanaga chizilgan tangens segmentlar teng bo'lib, bu nuqtani aylananing markazi bilan bog'laydigan to'g'ri chiziq tangenslar orasidagi burchakni ajratadi.

Isbot.

Buning isboti juda oddiy. Oldingi teoremadan foydalanib, OB ning AB ga perpendikulyar, OS esa AC ga perpendikulyar ekanligini tasdiqlaymiz. To'g'ri burchakli ABO va ACO uchburchaklar oyoq va gipotenuzada teng (OB=OS - radiuslar, AO - jami). Demak, ularning tomonlari AB=AC va OAC va OAB burchaklari teng.

Teorema. Aylanada umumiy nuqtaga ega bo'lgan tangens va akkord tomonidan hosil qilingan burchakning kattaligi uning tomonlari orasiga o'ralgan yoyning burchak kattaligining yarmiga teng.

Isbot.

Tangens va akkord tomonidan hosil qilingan NAB burchagini ko'rib chiqing. AC diametrini chizamiz. Tangens aloqa nuqtasiga chizilgan diametrga perpendikulyar, shuning uchun ∠CAN=90 o. Teoremani bilib, biz alfa (a) burchagi BC yoyining burchak qiymatining yarmiga yoki BOS burchagining yarmiga teng ekanligini ko'ramiz. ∠NAB=90 o -a, bu yerdan ∠NAB=1/2(180 o -∠BOC)=1/2∠AOB yoki = BA yoyining burchak qiymatining yarmini olamiz. va boshqalar.

Teorema. Agar nuqtadan aylanaga tangens va sekant chizilgan bo'lsa, u holda ma'lum nuqtadan teginish nuqtasigacha bo'lgan teginish segmentining kvadrati berilgan nuqtadan nuqtalargacha bo'lgan sekant segmentlarining uzunliklarining ko'paytmasiga teng bo'ladi. uning doira bilan kesishishi.

Isbot.

Rasmda bu teorema quyidagicha ko'rinadi: MA 2 = MV * MC. Keling, buni isbotlaylik. Oldingi teoremaga ko'ra, MAC burchagi AC yoyining burchak qiymatining yarmiga teng, ammo ABC burchagi teorema bo'yicha AC yoyining burchak qiymatining yarmiga teng, shuning uchun bu burchaklar har biriga teng. boshqa. AMC va BMA uchburchaklari M cho'qqisida umumiy burchakka ega ekanligini hisobga olib, bu uchburchaklarning ikki burchakdagi o'xshashligini bildiramiz (ikkinchi belgi). O'xshashlikdan biz bor: MA/MB=MC/MA, undan MA 2 =MB*MC olamiz

Aylanaga teglar yasash

Keling, buni aniqlashga harakat qilaylik va aylanaga teginish qurish uchun nima qilish kerakligini bilib olaylik.

Bunday holda, qoida tariqasida, masala doira va nuqta beradi. Va siz va men aylanaga tangens qurishimiz kerak, shunda bu tangens berilgan nuqtadan o'tadi.

Agar biz nuqtaning joylashishini bilmasak, keling, nuqtalarning mumkin bo'lgan joylarini ko'rib chiqaylik.

Birinchidan, nuqta berilgan doira bilan chegaralangan doira ichida bo'lishi mumkin. Bunday holda, bu doira orqali tangens qurish mumkin emas.

Ikkinchi holda, nuqta aylana ustida joylashgan bo'lib, bizga ma'lum bo'lgan nuqtaga o'tkaziladigan radiusga perpendikulyar chiziq o'tkazish orqali tangens qurishimiz mumkin.

Uchinchidan, nuqta aylana bilan chegaralangan doiradan tashqarida joylashgan deb faraz qilaylik. Bunday holda, tangensni qurishdan oldin, aylanada teginish o'tishi kerak bo'lgan nuqtani topish kerak.

Birinchi holda, umid qilamanki, siz uchun hamma narsa tushunarli, lekin ikkinchi variantni hal qilish uchun biz radius yotadigan to'g'ri chiziqda segmentni qurishimiz kerak. Bu segment radiusga va qarama-qarshi tomonda aylanada yotgan segmentga teng bo'lishi kerak.

Bu erda aylanadagi nuqta radiusning ikki barobariga teng bo'lgan segmentning o'rtasi ekanligini ko'ramiz. Keyingi qadam ikkita doira qurish bo'ladi. Bu doiralarning radiusi asl aylana radiusining ikki barobariga teng bo'ladi, markazlari segmentning uchlarida joylashgan bo'lib, bu radiusning ikki barobariga teng. Endi bu aylanalarning istalgan kesishish nuqtasi va berilgan nuqta orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazishimiz mumkin. Bunday to'g'ri chiziq dastlab chizilgan aylananing radiusiga perpendikulyar medianadir. Shunday qilib, biz bu chiziq aylanaga perpendikulyar ekanligini ko'ramiz va shundan kelib chiqadiki, u aylanaga tegadi.

Uchinchi variantda biz aylanadan tashqarida yotgan nuqtaga egamiz, u doira bilan chegaralanadi. Bunday holda, biz birinchi navbatda taqdim etilgan aylananing markazi va berilgan nuqtani bog'laydigan segmentni quramiz. Va keyin biz uning o'rtasini topamiz. Lekin buning uchun perpendikulyar bissektrisa qurish kerak. Va siz uni qanday qurishni allaqachon bilasiz. Keyin biz aylana yoki hech bo'lmaganda uning bir qismini chizishimiz kerak. Endi biz berilgan aylana va yangi qurilgan aylananing kesishish nuqtasi tangens o'tadigan nuqta ekanligini ko'ramiz. Shuningdek, muammoning shartlariga ko'ra ko'rsatilgan nuqtadan o'tadi. Va nihoyat, siz bilgan ikkita nuqta orqali siz tangens chiziq chizishingiz mumkin.

Va nihoyat, biz qurgan to'g'ri chiziq tangens ekanligini isbotlash uchun biz aylananing radiusi va sharti bilan ma'lum bo'lgan segment tomonidan hosil qilingan burchakka e'tibor berishimiz kerak va aylanalarning kesishish nuqtasini bog'lashimiz kerak. masala sharti bilan berilgan nuqta bilan. Endi biz hosil bo'lgan burchak yarim doira ustida joylashganligini ko'ramiz. Va shundan kelib chiqadiki, bu burchak to'g'ri. Binobarin, radius yangi qurilgan chiziqqa perpendikulyar bo'ladi va bu chiziq tangensdir.

Tangensning qurilishi.

Tangens chiziqlarni qurish differensial hisobning paydo bo'lishiga olib kelgan muammolardan biridir. Leybnits tomonidan yozilgan differensial hisoblash bilan bog'liq birinchi nashr etilgan asar "Maksima va minimalarning yangi usuli, shuningdek, na kasr, na irratsional miqdorlar, na hisobning maxsus turi to'sqinlik qilmaydigan tangenslar" deb nomlangan.

Qadimgi misrliklarning geometrik bilimlari.

Agar Dajla va Furot va Kichik Osiyo o'rtasidagi vodiyning qadimgi aholisining juda kamtarona hissasini hisobga olmasak, geometriya miloddan avvalgi 1700 yilgacha Qadimgi Misrda paydo bo'lgan. Tropik yomg'irli mavsumda Nil suv zaxirasini to'ldirib, to'lib toshgan. Suv ekin maydonlarini qoplagan, soliqqa tortish uchun esa qancha yer yo'qolganligini aniqlash kerak edi. Geodeziyachilar o'lchov vositasi sifatida mahkam cho'zilgan arqondan foydalanganlar. Misrliklar tomonidan geometrik bilimlarni to'plashning yana bir rag'batlantiruvchisi ularning piramidalar qurish va tasviriy san'at kabi faoliyati edi.

Geometrik bilimlar darajasini, ayniqsa, matematikaga bag'ishlangan qadimiy qo'lyozmalardan baholash mumkin va ular darsliklarga o'xshaydi, to'g'rirog'i, turli amaliy masalalarning yechimlari berilgan muammoli kitoblar.

Misrliklarning eng qadimgi matematik qo'lyozmasi ma'lum bir talaba tomonidan 1800-1600 yillar oralig'ida ko'chirilgan. Miloddan avvalgi. eski matndan. Papirusni rus Misrshunosi Vladimir Semenovich Golenishchev topdi. U Moskvada - A.S. nomidagi Tasviriy san'at muzeyida saqlanadi. Pushkin va Moskva papirusi deb ataladi.

Moskvadan ikki-uch yuz yil keyin yozilgan yana bir matematik papirus Londonda saqlanadi. Bu shunday deyiladi: "Barcha qorong'u narsalarni, narsalar o'zida yashiradigan barcha sirlarni bilishga qanday erishish bo'yicha ko'rsatma ... Eski yodgorliklarga ko'ra, kotib Ahmes buni yozgan." Qo'lyozma "Ahmes papirusi" deb ataladi yoki Rhind papirusi - bu papirusni Misrda topib sotib olgan ingliz nomidan. Ahmes papirusida amalda zarur bo'lishi mumkin bo'lgan turli xil hisob-kitoblarni o'z ichiga olgan 84 ta muammoning echimi mavjud.

To'g'ridan-to'g'ri ( MN), aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtaga ega ( A), chaqirdi tangens doiraga.

Bu holda umumiy nuqta deyiladi aloqa nuqtasi.

Mavjud bo'lish imkoniyati tangens, va bundan tashqari, har qanday nuqta orqali chizilgan doira, teginish nuqtasi sifatida quyidagicha isbotlanadi teorema.

Amalga oshirish talab qilinsin doira markaz bilan O tangens nuqta orqali A. Buni nuqtadan qilish uchun A, markazdan boshlab, biz tasvirlab beramiz yoy radius A.O., va nuqtadan O, markaz sifatida biz bu yoyni nuqtalarda kesib o'tamiz B Va BILAN berilgan aylana diametriga teng kompas yechimi.

Keyin sarflagandan keyin akkordlar O.B. Va OS, nuqtani ulang A nuqta bilan D Va E, bu akkordlar berilgan doira bilan kesishadi. To'g'ridan-to'g'ri AD Va A.E. - aylanaga tegishlar O. Darhaqiqat, qurilishdan ma'lum bo'ladi uchburchaklar AOB Va AOC teng yon tomonlar(AO = AB = AC) asoslar bilan O.B. Va OS, aylananing diametriga teng O.

Chunki O.D. Va O.E.- radiuslar, keyin D - o'rtada O.B., A E- o'rtada OS, anglatadi AD Va A.E. - medianlar, teng yonli uchburchaklar asoslariga chizilgan va shuning uchun bu asoslarga perpendikulyar. To'g'ri bo'lsa D.A. Va E.A. radiuslarga perpendikulyar O.D. Va O.E., keyin ular - tangenslar.

Natija.

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan ikkita tangens teng va bu nuqtani markazga bog'laydigan to'g'ri chiziq bilan teng burchak hosil qiladi..

Shunday qilib AD=AE va ∠ OAD = ∠OAE chunki to'g'ri uchburchaklar AOD Va AOE, umumiy xususiyatga ega gipotenuza A.O. va teng oyoqlar O.D. Va O.E.(radiusi sifatida) teng. E'tibor bering, bu erda "tangens" so'zi aslida " tangens segmenti” berilgan nuqtadan aloqa nuqtasiga.

Chiziq va aylananing nisbiy joylashuvi holatlarini eslaylik.

Markazi O, radiusi r bo‘lgan aylana berilgan. P to'g'ri chiziq, markazdan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa, ya'ni OM ga perpendikulyar d ga teng.

1-holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan kichik:

Biz isbotladikki, d masofa aylana radiusidan kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq va aylana faqat ikkita umumiy nuqtaga ega (1-rasm).

Guruch. 1. 1-holat uchun rasm

Ikkinchi holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusiga teng:

Biz bu holatda faqat bitta umumiy nuqta borligini isbotladik (2-rasm).

Guruch. 2. 2-holat uchun rasm

3-holat- aylana markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylananing radiusidan katta bo'lsa:

Biz bu holatda aylana va to'g'ri chiziqning umumiy nuqtalari yo'qligini isbotladik (3-rasm).

Guruch. 3. 3-holat uchun rasm

Ushbu darsda biz chiziq va aylana bitta umumiy nuqtaga ega bo'lgan ikkinchi holatga qiziqamiz.

Ta'rif:

Aylana bilan bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi, umumiy nuqta esa chiziq va doiraning teginish nuqtasi deb ataladi.

To'g'ri chiziq p - tangens, A nuqta - teginish nuqtasi (4-rasm).

Guruch. 4. Tangens

Teorema:

Aylanaga tegish kontakt nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar (5-rasm).

Guruch. 5. Teorema uchun rasm

Isbot:

Aksincha, OA r to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lmasin. Bunday holda, biz O nuqtadan p to'g'ri chiziqqa perpendikulyar tushiramiz, bu aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa bo'ladi:

To'g'ri burchakli uchburchakdan OH gipotenuzasi OA oyog'idan kichik, ya'ni to'g'ri chiziq va aylana ikkita umumiy nuqtaga ega, p to'g'ri chiziq sekant deb aytishimiz mumkin. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikni oldik, ya'ni teorema isbotlangan.

Guruch. 6. Teorema uchun rasm

Qarama-qarshi teorema ham to'g'ri.

Teorema:

Agar chiziq aylana ustida yotgan radiusning uchidan o'tsa va shu radiusga perpendikulyar bo'lsa, u tangens hisoblanadi.

Isbot:

To'g'ri chiziq radiusga perpendikulyar bo'lgani uchun OA masofa to'g'ri chiziqdan aylana markazigacha bo'lgan masofa va u radiusga teng: . Ya'ni va bu holda, biz ilgari isbotlaganimizdek, chiziq va aylana yagona umumiy nuqta - A nuqtaga ega, shuning uchun p chiziq ta'rifi bo'yicha aylanaga tegib turadi (7-rasm).

Guruch. 7. Teorema uchun rasm

To'g'ridan-to'g'ri va teskari teoremalarni quyidagicha birlashtirish mumkin (8-rasm):

Markazi O, to'g'ri chiziq p, radiusi OA bo'lgan aylana berilgan

Guruch. 8. Teorema uchun rasm

Teorema:

To'g'ri chiziq aylanaga teginish nuqtasiga o'tkazilgan radius unga perpendikulyar bo'lgandagina tangens hisoblanadi.

Bu teorema shuni anglatadiki, agar chiziq tangens bo'lsa, u holda teginish nuqtasiga o'tkazilgan radius unga perpendikulyar bo'ladi va aksincha, OA va p ning perpendikulyarligidan p tangens, ya'ni to'g'ri chiziq bo'lib chiqadi. va aylana bitta umumiy nuqtaga ega.

Bir nuqtadan aylanaga chizilgan ikkita tangensni ko'rib chiqing.

Teorema:

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng va shu nuqtadan o'tkazilgan to'g'ri chiziq va aylananing markazi bilan teng burchaklar hosil qiladi.

Aylana berilgan, markaz O, aylanadan tashqarida A nuqta. A nuqtadan ikkita tangens chizilgan, B va C nuqtalar teginish nuqtalari. 3 va 4 burchaklar teng ekanligini isbotlashingiz kerak.

Guruch. 9. Teorema uchun rasm

Isbot:

Isbot uchburchaklarning tengligiga asoslanadi . Keling, uchburchaklar tengligini tushuntiramiz. Ular to'rtburchaklardir, chunki aloqa nuqtasiga chizilgan radius tangensga perpendikulyar. Bu burchaklar to'g'ri va teng ekanligini anglatadi. OB va OS oyoqlari teng, chunki ular aylananing radiusi. Gipotenuza AO umumiydir.

Shunday qilib, uchburchaklar oyoq va gipotenuzaning tengligi bo'yicha tengdir. Bu yerdan AB va AC oyoqlari ham teng ekanligi ko'rinadi. Shuningdek, teng tomonlarga qarama-qarshi yotgan burchaklar teng, ya'ni burchaklar va , tengdir.

Teorema isbotlangan.

Shunday qilib, biz aylanaga tegish tushunchasi bilan tanishdik, keyingi darsda aylana yoyining daraja o'lchovini ko'rib chiqamiz.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Aleksandrov A.D. va hokazo Geometriya 8-sinf. - M.: Ta'lim, 2006 yil.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometriya 8. - M.: Ta'lim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonskiy V.B., Yakir S.M. Geometriya 8-sinf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 yil.

1. Univer.omsk.su ().
2. Oldskola1.narod.ru ().
3. School6.aviel.ru ().

Uy vazifasi

1. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. va boshqalar, Geometriya 7-9, No 634-637, p. 168.

Isbot

Agar akkord diametr bo'lsa, u holda teorema aniq.

287-rasmda markazi O bo'lgan doira ko'rsatilgan, M - CD diametri va AB, CD ⊥ AB akkordasining kesishish nuqtasi. Biz AM = MB ekanligini isbotlashimiz kerak.

OA va OB radiuslarini chizamiz. AOB (OA = OB) teng burchakli uchburchakda OM segmenti balandlik, shuning uchun mediana, ya'ni AM = MB.

20.2 teorema

Diametrdan boshqa akkordni yarmiga bo'luvchi aylananing diametri bu akkordga perpendikulyar.

Ushbu teoremani o'zingiz isbotlang. Agar akkord diametrli bo'lsa, bu bayonot to'g'ri bo'ladimi yoki yo'qligini ko'rib chiqing.

288-rasmda to'g'ri chiziq va aylananing o'zaro joylashuvining barcha mumkin bo'lgan holatlari ko'rsatilgan. 288-rasmda a ularning umumiy nuqtalari yo'q, 288-rasmda b - ikkita umumiy nuqta, 288-rasmda c - bitta.

Guruch. 288

Ta'rif

Aylana bilan faqat bitta umumiy nuqtasi bo'lgan to'g'ri chiziq aylanaga teguvchi deyiladi.

Aylanaga teguvchi aylana bilan chegaralangan bitta umumiy nuqtaga ega. 288-rasmda a chiziq markazi O nuqtada bo'lgan aylanaga teginish nuqtasi, A - teginish nuqtasi.

Agar segment (nur) aylanaga teguvchiga tegishli bo'lsa va bu doira bilan umumiy nuqtaga ega bo'lsa, u holda segment (nur) aylanaga teguvchi deyiladi. Masalan, 289-rasmda S nuqtadagi aylanaga tegib turgan AB segmenti ko‘rsatilgan.

20.3 teorema

(tangens xususiyat)

Aylanaga tegish teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Isbot

290-rasmda markazi O bo'lgan aylana ko'rsatilgan, A to'g'ri chiziq a va aylana orasidagi teginish nuqtasidir. Biz OA ⊥ a ekanligini isbotlashimiz kerak.

Guruch. 289	Guruch. 290	Guruch. 291

Faraz qilaylik, bunday emas, ya'ni OA segmenti a to'g'ri chiziqqa moyil. Keyin O nuqtadan OM perpendikulyarni a to'g'ri chiziqqa tushiramiz (291-rasm). A nuqta a chiziq va markazi O bo'lgan doiraning yagona umumiy nuqtasi bo'lganligi sababli, M nuqta bu aylanaga tegishli emas. Demak, OM = MB + OB, bu erda B nuqta aylananing va OM perpendikulyarning kesishish nuqtasidir. OA va OB segmentlari aylananing radiuslariga teng. Shunday qilib, OM > OA. Biz qarama-qarshilikka erishdik: perpendikulyar OM qiyshiq OA dan kattaroqdir. Shuning uchun OA ⊥ a.

20.4 teorema

(aylanaga teginish belgisi)

Agar aylanadagi nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq shu nuqtaga oʻtkazilgan radiusga perpendikulyar boʻlsa, bu toʻgʻri chiziq shu aylanaga tangens boʻladi.

Isbot

Guruch. 292

290-rasmda markazi O nuqtada joylashgan aylana ko'rsatilgan, OA segmenti uning radiusi, A nuqta a chiziqqa, OA ⊥ a ga tegishli. a chiziq aylanaga tegishini isbotlaylik.

a to'g'ri chiziq tangens bo'lmasin, aylana bilan yana bir umumiy B nuqtasiga ega bo'lsin (292-rasm). U holda ∆ AOB teng yon tomonlardir (radius sifatida OA = OB). Demak, ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Biz qarama-qarshilikni olamiz: AOB uchburchagi ikkita to'g'ri burchakka ega. Demak, a chiziq aylanaga tegib turadi.

Natija

Agar aylananing markazidan ma'lum bir to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa aylana radiusiga teng bo'lsa, u holda bu to'g'ri chiziq ushbu aylanaga tegadi.

Guruch. 293

Bu natijani o'zingiz isbotlang.

Vazifa. Agar berilgan nuqta orqali aylanaga ikkita tangens o'tkazilsa, bu nuqtani teginish nuqtalari bilan bog'laydigan teglar teng ekanligini isbotlang.

Yechim. 293-rasmda markazi O bo'lgan doira ko'rsatilgan. AB va AC chiziqlar tangens, B va C nuqtalari teginish nuqtalari. Biz AB = AC ekanligini isbotlashimiz kerak.

OB va OC radiuslarini aloqa nuqtalariga chizamiz. Tangens xususiyatiga ko'ra, OB ⊥ AB va OC ⊥ AC. AOB va AOC to'g'ri burchakli uchburchaklarda OB va OC oyoqlari bir aylana radiuslariga teng, AO umumiy gipotenuzadir. Demak, AOB va AOC uchburchaklari gipotenuza va oyog'i bo'yicha teng. Demak, AB = AC.

1. Unga perpendikulyar diametr akkordni qanday ajratadi?
2. Ushbu akkordni yarmiga bo'luvchi diametr va diametrdan tashqari akkord orasidagi burchak qanday?
3. Chiziq va aylananing nisbiy holatining barcha mumkin bo'lgan holatlarini tavsiflang.
4. Qanday chiziq aylanaga teguvchi deyiladi?
5. Chiziq va aylananing teginish nuqtasiga chizilgan radius qanday xususiyatga ega?
6. Aylanaga tegish uchun testni tuzing.
7. Bir nuqta orqali aylanaga tortilgan tangenslar qanday xususiyatga ega?

Amaliy topshiriqlar

507. Markazi O bo'lgan doira chizing, AB akkordni chizing. Kvadrat yordamida bu akkordni yarmiga bo'ling.

508. Markazi O bo'lgan doira chizing, akkord CD chizing. Masshtabli o'lchagich yordamida CD akkordga perpendikulyar diametr chiziladi.

509. Doira chizing, uning ustida A va B nuqtalarni belgilang.Chizgich va kvadrat yordamida A va B nuqtalarda aylanaga tegib turuvchi to‘g‘ri chiziqlar chizing.

510. a chiziq chizing va uning ustiga M nuqtani belgilang.Kvadrat, chizg‘ich va sirkuldan foydalanib, M nuqtadagi a chiziqqa tegib turgan radiusi 3 sm bo‘lgan aylana chizing.Bunday nechta aylana chizish mumkin?

Mashqlar

511. 294-rasmda O nuqta aylananing markazi, CD diametri AB akkordasiga perpendikulyar. ∠AOD = ∠BOD ekanligini isbotlang.

512. Aylananing teng akkordlari uning markazidan bir xil masofada joylashganligini isbotlang.

513. Agar aylana akkordlari uning markazidan teng masofada joylashgan bo'lsa, ular teng ekanligini isbotlang.

514. Aylana radiusiga perpendikulyar to'g'ri chiziq bu aylanaga tegishi to'g'rimi?

515. Streyt CD A nuqtada markazi O bo'lgan doiraga tegadi, AB segmenti aylananing akkordi, ∠ BAD = 35 ° (295-rasm). ∠AOB ni toping.

516. Streyt CD A nuqtada markazi O bo'lgan doiraga tegadi, AB segmenti aylananing akkordi, ∠ AOB = 80 ° (295-rasmga qarang). ∠BAC ni toping.

517. Diametri 6 sm bo'lgan aylana berilgan a chiziq uning markazidan: 1) 2 sm; 2) 3 sm; 3) 6 sm.Qanday holatda chiziq aylanaga tangens hisoblanadi?

518. ABC uchburchagida ∠ C = 90° ekanligini bilamiz. Buni isbotlang:

1) tekis BC A markazi C nuqtadan o'tuvchi aylanaga teginish;

2) tekis AB markazi C A nuqtadan o'tuvchi aylanaga tegmaydi.

519. Doira diametri diametrdan boshqa har qanday akkorddan katta ekanligini isbotlang.

520. Markazi O bo'lgan aylanada radiusning o'rtasidan unga perpendikulyar bo'lgan AB akkordasi o'tkaziladi. ∠ AOB = 120° ekanligini isbotlang.

521. Doiraning O markazidan AB akkordasigacha bo'lgan masofa quyidagidan 2 marta kichik bo'lsa, aylananing OA va OB radiuslari orasidagi burchakni toping: 1) AB akkordasining uzunligi; 2) aylana radiusi.

522. AB diametri va AC va CD akkordlari AC = 12 sm, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD bo'lishi uchun aylana chizilgan. CD akkord uzunligini toping.

523. Nuqta orqali M markazi O bo'lgan aylanaga MA va MB tangenslarini chizamiz, A va B teginish nuqtalari, ∠ OAB = 20°. ∠AMB ni toping.

524. Aylana radiusiga teng AB akkordaning uchlari orqali C nuqtada kesishuvchi ikkita tangens o'tkaziladi. ∠ ACB ni toping.

525. Nuqta orqali Markazi O bo'lgan aylanadan bu aylanaga teginish chizamiz, AB aylananing diametri. A nuqtadan tangensga perpendikulyar AD tushiriladi. AC nurining BAD burchagining bissektrisasi ekanligini isbotlang.

526. Streyt AC A nuqtada markazi O bo'lgan aylanaga tegadi (296-rasm). BAC burchagi AOB burchagidan 2 marta kichik ekanligini isbotlang.

Guruch. 294	Guruch. 295	Guruch. 296

527. Segmentlar AB va BC mos ravishda aylananing akkord va diametri, ∠ ABC = 30 °. A nuqta orqali BC chiziqni D nuqtada kesishgan aylanaga teginish chizing. ∆ ABD teng yon tomonli ekanligini isbotlang.

528. Ma'lumki, AB diametri CD akkordni ikkiga bo'ladi, lekin unga perpendikulyar emas. CD ning ham diametri ekanligini isbotlang.

529. Berilgan nuqtada berilgan chiziqqa tegib turgan doiralar markazlarining joylashishini toping.

530. Berilgan burchakning ikkala tomoniga tegib turgan aylana markazlarining joylashishini toping.

531. Berilgan chiziqqa tegib turgan aylana markazlarining joylashishini toping.

532. A va B nuqtalarda markazi O bo'lgan aylanaga tegilgan chiziqlar K nuqtada kesishadi, ∠ AKB = 120°. AK + BK = OK ekanligini isbotlang.

533. Doira M nuqtada ABC uchburchakning AB tomoniga tegib, qolgan ikki tomonining kengaytmasiga tegadi. BC va BM segmentlari uzunliklarining yig‘indisi ABC uchburchak perimetrining yarmiga teng ekanligini isbotlang.

Guruch. 297

534. Nuqta orqali C aylanaga AC va BC teginishlari, A va B teginish nuqtalari (297-rasm). Aylanada AB to‘g‘riga nisbatan C nuqta bilan bir xil yarim tekislikda yotgan ixtiyoriy M nuqtani oldik va u orqali AC va BC to‘g‘rilarni mos ravishda D va E nuqtalarda kesib o‘tuvchi aylanaga teginish chizdik. DEC uchburchak perimetri M nuqtani tanlashga bog'liq emasligini isbotlang.

Takrorlash uchun mashqlar

535. Uchlari ikkita parallel to‘g‘riga tegishli bo‘lgan segmentning M o‘rta nuqtasi M nuqtadan o‘tuvchi va uchlari shu to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘lgan har qanday kesmaning o‘rta nuqtasi ekanligini isbotlang.

536. Segmentlar AB va CD bitta chiziqda yotadi va umumiy o'rta nuqtaga ega. M nuqta shunday tanlandiki, AMB uchburchagi AB asosi bilan teng yonli bo'lsin. ∆ CMD ham asosiy CD bilan teng yon tomonli ekanligini isbotlang.

537. Yon tomonda MPK uchburchakning MK E va F nuqtalarini shunday belgiladiki, E nuqta M va F, ME = EP, PF = FK nuqtalari orasida joylashgan. ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26° boʻlsa, M burchakni toping.

538. ABC o'tkir uchburchakda BM bissektrisa, M nuqtadan BC tomoniga perpendikulyar MK, ∠ ABM = ∠ KMC chizilgan. ABC uchburchagi teng yon tomonli ekanligini isbotlang.

Kuzatib ko'ring, chizing, loyihalashtiring, tasavvur qiling

539. 298-rasmda ko'rsatilgan figuralar shakllarining naqshini tuzing.Keyingi rasmni qo'yish kerak?

Guruch. 298

Aylanaga teginish tushunchasi

Doira to'g'ri chiziqqa nisbatan uchta mumkin bo'lgan nisbiy pozitsiyaga ega:

Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan kichik bo'lsa, to'g'ri chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radiusga teng bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Agar aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radiusdan katta bo'lsa, u holda to'g'ri chiziq doira bilan kesishgan ikkita nuqtaga ega.

Keling, aylanaga teginish chizig'i tushunchasini kiritamiz.

Ta'rif 1

Aylanaga teguvchi chiziq - u bilan bitta kesishish nuqtasi bo'lgan chiziq.

Aylana va tangensning umumiy nuqtasi teginish nuqtasi deb ataladi (1-rasm).

1-rasm. Aylanaga teginish

Aylanaga teguvchi tushunchaga oid teoremalar

Teorema 1

Tangens xossa teoremasi: aylanaga teginish nuqtaga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Isbot.

Markazi $O$ bo'lgan doirani ko'rib chiqing. $A$ nuqtasida $a$ tangensini chizamiz. $OA=r$ (2-rasm).

$a\bot r$ ekanligini isbotlaylik

Teoremani qarama-qarshilik bilan isbotlaymiz. Faraz qilaylik, $a$ tangensi aylana radiusiga perpendikulyar emas.

2-rasm. 1-teoremaning tasviri

Ya'ni, $OA$ tangensga moyil. $a$ toʻgʻri chiziqqa perpendikulyar har doim bir xil toʻgʻri chiziqqa qiya chiziqdan kichik boʻlgani uchun aylananing markazidan toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofa radiusdan kichik boʻladi. Ma'lumki, bu holda to'g'ri chiziq doira bilan ikkita kesishgan nuqtaga ega. Bu tangens ta'rifiga zid keladi.

Demak, tangens aylana radiusiga perpendikulyar.

Teorema isbotlangan.

Teorema 2

Tangens xossa teoremasining teskarisi: Agar aylana radiusining uchidan oʻtuvchi chiziq radiusga perpendikulyar boʻlsa, bu chiziq shu aylanaga teginishdir.

Isbot.

Masalaning shartlariga ko'ra, bizda radius aylananing markazidan berilgan to'g'ri chiziqqa chizilgan perpendikulyardir. Shuning uchun aylananing markazidan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa radius uzunligiga teng. Ma'lumki, bu holda aylananing bu chiziq bilan faqat bitta kesishish nuqtasi mavjud. 1-ta'rifga ko'ra, biz bu chiziqning aylanaga tegishini topamiz.

Teorema isbotlangan.

Teorema 3

Bir nuqtadan chizilgan aylanaga teguvchi segmentlar teng bo'lib, bu nuqtadan va aylananing markazidan o'tadigan to'g'ri chiziq bilan teng burchaklar hosil qiladi.

Isbot.

Markazi $O$ nuqtada boʻlgan aylana berilsin. $A$ nuqtadan (butun aylanada joylashgan) ikki xil tangens chiziladi. Aloqa nuqtasidan $B$ va $C$ mos ravishda (3-rasm).

$\angle BAO=\angle CAO$ ekanligini va $AB=AC$ ekanligini isbotlaylik.

3-rasm. 3-teoremaning tasviri

1-teorema bo'yicha bizda:

Demak, $ABO$ va $ACO$ uchburchaklari toʻgʻri burchakli uchburchaklardir. $OB=OC=r$ va gipotenuza $OA$ umumiy bo'lganligi sababli, bu uchburchaklar gipotenuza va oyoq bo'yicha tengdir.

Demak, $\angle BAO=\angle CAO$ va $AB=AC$ ni olamiz.

Teorema isbotlangan.

Aylanaga teginish tushunchasiga oid masala misoli

1-misol

Markazi $O$ nuqtada va radiusi $r=3\ sm$ boʻlgan aylana berilgan. $AC$ tangensi $C$ tegish nuqtasiga ega. $AO=4\ sm$. $AC$ toping.

Yechim.

Avval rasmdagi hamma narsani tasvirlaymiz (4-rasm).

4-rasm.

$AC$ tangens va $OC$ radius boʻlgani uchun 1-teorema boʻyicha biz $\angle ACO=(90)^(()^\circ )$ olamiz. Biz $ACO$ uchburchagi to'rtburchaklar ekanligini aniqladik, ya'ni Pifagor teoremasi bo'yicha bizda:

\[(AC)^2=(AO)^2+r^2\] \[(AC)^2=16+9\] \[(AC)^2=25\] \