Parallel olamlar. Ehtimollar nazariyasi, yechilgan masalalar Boshqa matematik tuzilmalar

1. Ō = (11,12,13,14,15,16, 21, 22,..., 66),

2. Ō = (2,3,4,5,6, 7,8,9,10,11,12)

3. ● A = (16,61,34, 43, 25, 52);

● B = (11,12, 21,13,31,14, 41,15, 51,16, 61)

● C = (12, 21,36,63,45, 54,33,15, 51, 24,42,66).

● D= (BALLAR Yig'indisi 2 YOKI 3);

● E= (BALLAR Yig'indisi 10).

Hodisani tasvirlab bering: BILAN= Har bir holat uchun (DIREKTI YOPIQ).

Yechim. Keling, quyidagi belgini kiritamiz: voqea A- kontakt 1 yopiq; voqea IN- kontakt 2 yopiq; voqea BILAN- sxema yopiq, chiroq yonadi.

1. Parallel ulanish uchun kontaktlarning kamida bittasi yopilganda kontaktlarning zanglashiga olib keladi, shuning uchun C = A + B;

2. Seriyali ulanish uchun, har ikkala kontakt ham yopilganda sxema tugallanadi, shuning uchun C = A B.

Vazifa. 1.1.4 Ikkita elektr diagrammasi tuzilgan:

A hodisasi - sxema yopiq, A i hodisasi - I- aloqa yopiq. Ulardan qaysi biri uchun munosabat o'rinli?

A1 · (A2 + A3 · A4) · A5 = A?

Yechim. Birinchi sxema uchun A = A1 · (A2 · A3 + A4 · A5), chunki parallel ulanish hodisalar yig'indisiga, ketma-ket ulanish esa hodisalar mahsulotiga mos keladi. Ikkinchi sxema uchun A = A1 (A2+A3 A4 A5). Shuning uchun bu munosabatlar ikkinchi sxema uchun amal qiladi.

Vazifa. 1.1.5(A + B)(B + C)(C+ A) ifodasini soddalashtiring.

Yechim. Hodisalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallarining xossalaridan foydalanamiz.

(A+ B)(B + C)(A + C) =

(AB+ AC + B B + BC)(A + C) =

= (AB+ AC + B + BC)(A + C) =

(AB + AC + B) (A + C) = (B + AC) (A + C) =

= BA + BC + ACA + ACC = B A + BC + AC.

Vazifa. 1.1.6A, AB va hodisalarni isbotlang A+B To'liq guruh tuzing.

Yechim. Masalani yechishda hodisalar ustida amallar xossalaridan foydalanamiz. Birinchidan, biz bu hodisalarning juftlik bilan mos kelmasligini ko'rsatamiz.

Endi bu hodisalar yig'indisi elementar hodisalar maydonini berishini ko'rsatamiz.

Vazifa. 1.1.7Eyler-Venn diagrammasidan foydalanib, de Morgan qoidasini tekshiring:

A) AB hodisasi soyalanadi.

B) A hodisasi - vertikal lyukka; B hodisasi - gorizontal lyukirovka. Tadbir

(A+B) - soyali maydon.

a) va c) raqamlarini taqqoslashdan quyidagicha xulosa chiqariladi:

Vazifa. 1.2.18 kishini nechta usulda joylashtirish mumkin?

1. Bir qatorda?

2. Davra suhbatidami?

Yechim.

1. Kerakli yo'llar soni 8 tadan almashtirishlar soniga teng, ya'ni.

P8 = 8! = 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320

2. Davra suhbatida birinchi shaxsning tanlovi elementlarning almashinishiga ta'sir qilmagani uchun, har kim birinchi bo'lib olinishi mumkin, qolganlari esa tanlangan kishiga nisbatan buyurtma qilinadi. Bu harakatni 8!/8 = 5040 usulda bajarish mumkin.

Vazifa. 1.2.2Kurs 5 ta mavzuni o'z ichiga oladi. Agar o'sha kuni ikki xil juftlik bo'lsa, shanba kuni uchun jadvalni necha xil usulda yaratishingiz mumkin?

Yechim. Yo'llarning kerakli soni - joylashtirishlar soni

5 dan 2 gacha, chunki siz juftlik tartibini hisobga olishingiz kerak:

Vazifa. 1.2.37 kishidan iborat nechta imtihon komissiyasi 15 nafar o‘qituvchidan iborat bo‘lishi mumkin?

Yechim. Kerakli komissiyalar soni (buyurtmani hisobga olmagan holda) 15 dan 7 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soni:

Vazifa. 1.2.4 Yigirmata raqamlangan to'pdan iborat savatdan omad uchun 5 ta to'p tanlanadi. Ushbu tajribaning elementar hodisalar fazosi elementlari sonini aniqlang, agar:

To'plar ketma-ket tanlanadi, har bir durangdan keyin qaytib keladi;

To'plar qaytarilmasdan birma-bir tanlanadi;

Bir vaqtning o'zida 5 ta to'pni tanlang.

Yechim.

Birinchi to'pni savatdan olib tashlash usullari soni 20. Chiqarilgan to'p savatga qaytgani uchun ikkinchi to'pni olib tashlash usullari soni ham 20 va hokazo. Keyin bunda 5 ta to'pni olib tashlash usullari soni. holat 20 20 20 20 20 = 3200000.

Birinchi to'pni savatdan olib tashlash usullari soni 20. Chiqarilgan to'p olib tashlangandan keyin savatga qaytmagani uchun ikkinchi to'pni olib tashlash usullari soni 19 ta bo'ldi va hokazo. Keyin olib tashlash usullari soni 5 ta. qaytmasdan to'plar 20 19 18 17 16 = A52 0

Savatdan 5 ta to'pni olish usullari soni darhol 20 dan 5 gacha bo'lgan kombinatsiyalar soniga teng:

Vazifa. 1.2.5 Ikkita zar tashlanadi. A hodisasining kamida bittasi paydo bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim. Har bir zar 1 dan 6 gacha bo'lgan istalgan miqdordagi ballni o'rashi mumkin. Shunday qilib, elementar hodisalar maydoni 36 ta teng natijani o'z ichiga oladi. A hodisasi 11 ta natija bilan ma'qullanadi: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1 ,5), (5,1), (1,6), (6,1), shuning uchun

Vazifa. 1.2.6 Qizil kartochkalarga u, i, i, k, c, f, n harflari, ko'k rangli kartochkalarga a, a, o, t, t, s, h harflari yoziladi.. To'liq aralashtirgandan keyin ehtimoli ko'proq: harflardan birinchi marta "funktsiya" so'zini yaratish uchun qizil kartochkalardan yoki "chastota" so'zini hosil qilish uchun ko'k kartalardagi harflardan foydalaning?

Yechim. A hodisasi tasodifiy 7 ta harfdan tashkil topgan “funksiya” so‘zi, B hodisasi esa 7 ta harfdan tashkil topgan “chastota” so‘zi bo‘lsin. 7 ta harfdan iborat ikkita to'plam buyurtma qilinganligi sababli, A va B hodisalari uchun barcha natijalar soni n = 7 ga teng! A hodisasi bitta natija m = 1 tomonidan ma'qullanadi, chunki qizil kartochkalardagi barcha harflar boshqacha. B hodisasi m = 2 tomonidan afzal ko'riladi! · 2! natijalar, chunki "a" va "t" harflari ikki marta paydo bo'ladi. Keyin P (A) = 1/7! , P(B) = 2! 2! /7! , P(B) > P(A).

Vazifa. 1.2.7 Imtihon vaqtida talabaga 30 ta chipta taklif etiladi; Har bir chipta ikkita savoldan iborat. Biletlarga kiritilgan 60 ta savoldan talaba 40 tasini biladi.

1. o‘ziga ma’lum bo‘lgan masalalardan;

2. o‘ziga noma’lum savollardan;

3. bitta ma'lum va bitta noma'lum savoldan.

Yechim. O‘quvchi ikkala savolga javobni bilishi hodisasi A bo‘lsin; B - ikkala savolga ham javobni bilmaydi; C - bir savolga javobni biladi, boshqa savolga javobni bilmaydi. 60 ta savoldan ikkita savolni tanlash n = C260 = 60 2·59 = 1770 usulda amalga oshirilishi mumkin.

1. Talabaga ma'lum bo'lgan savollarni tanlash uchun m = C240 ​​= 40 2·39 = 780 imkoniyatlar mavjud. Keyin P (A) = M N = 17 78 70 0 = 0,44

2. 20 ta noma'lum savoldan ikkitasini tanlash m = C220 = 20 2·19 = 190 usulda amalga oshirilishi mumkin. Unday bo `lsa

P (B) = M N = 11 79 70 0 = 0,11

3. Bitta ma'lum va bitta noma'lum savol bilan chipta tanlashning m = C14 0 ·C21 0 = 40·20 = 800 ta usuli mavjud. Keyin P (C) = 18 70 70 0 = 0,45.

Vazifa. 1.2.8Ba'zi ma'lumotlar uchta kanal orqali yuborildi. Kanallar bir-biridan mustaqil ishlaydi. Axborotning maqsadga erishish ehtimolini toping

1. Faqat bitta kanalda;

2. Hech bo'lmaganda bitta kanalda.

Yechim. Axborotning faqat bitta kanal orqali maqsadga yetib borishi hodisasi A bo‘lsin; B - kamida bitta kanal. Tajriba - bu uchta kanal orqali ma'lumot uzatish. Tajribaning natijasi shundaki, ma'lumot o'z maqsadiga erishdi. Ai ni belgilaymiz - ma'lumot i-kanal orqali maqsadga erishadi. Elementar hodisalar fazosi quyidagi shaklga ega:

B hodisasi 7 ta natija bilan ma'qullanadi: Keyin n = 8 dan tashqari barcha natijalar; mA = 3; mB = 7; P(A) = 3 8 ; P(B) = 7 8.

Vazifa. 1.2.9Birlik uzunlikdagi segmentda tasodifiy nuqta paydo bo'ladi. Nuqtadan segmentning uchlarigacha bo‘lgan masofa 1/8 dan katta bo‘lish ehtimolini toping.

Yechim. Masalaning shartlariga ko'ra, talab qilinadigan hodisa (a; b) oraliqda paydo bo'lgan barcha nuqtalar bilan qanoatlantiriladi.

Uning uzunligi s = 1 - 1 8 + 1 8 = 3 4 va butun segmentning uzunligi S = 1 bo'lgani uchun, kerakli ehtimollik P = s / S = 3/14 = 0,75 ga teng.

Vazifa. 1.2.10PartiyadaNmahsulotlarKmahsulotlar nuqsonli. m mahsulot nazorat qilish uchun tanlangan. Buning ehtimolini toping M Mahsulotlar L Ular nuqsonli bo'lib chiqadi (A hodisasi).

Yechim. n dan m mahsulot tanlash yo'llar bilan amalga oshirilishi mumkin, va tanlash L nuqsonli dan k nuqsonli - yo'llar bilan. Tanlovdan keyin L nuqsonli mahsulotlar qoladi (m - L) mos, (n - k) mahsulotlar orasida joylashgan. Keyin A hodisasi uchun qulay natijalar soni teng bo'ladi

Va kerakli ehtimollik

Vazifa. 1.3.1BIdishda 30 ta shar bor: 15 ta qizil, 10 ta ko'k va 5 ta oq. Tasodifiy chizilgan to'pning rangli bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. A hodisasi - qizil shar, B hodisasi - ko'k to'p chizilgan bo'lsin. Keyin hodisalar (A + B) - rangli to'p chiziladi. Bizda P(A) = 1 3 5 0 = 1 2, P(B) = 1 3 0 0 = 1 3. Chunki

A va B hodisalar mos kelmaydi, keyin P(A + B) = P (A) + P (B) = 1 2 + 1 3 = 5 6 = 0,83.

Vazifa. 1.3.2Qor yog'ishi ehtimoli (hodisa A ), ga teng 0.6, Va yomg'ir yog'ishi haqiqati (voqea B ), ga teng 0.45. Yomg'ir va qor yog'ishi ehtimoli bo'lsa, yomon ob-havo ehtimolini toping (hodisa AB ) ga teng 0.25.

Yechim. A va B hodisalari bir vaqtda sodir bo'ladi, shuning uchun P(A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) = 0,6 + 0,45 - 0,25 = 0,8

Vazifa. 1.3.3BBirinchi qutida 2 ta oq va 10 ta qora shar, ikkinchi qutida 3 ta oq va 9 ta qora shar, uchinchi qutida 6 ta oq va 6 ta qora shar bor. Har bir qutidan to'p olindi. Barcha chizilgan sharlarning oq bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. A hodisasi - birinchi qutidan oq to'p, ikkinchi qutidan B, uchinchi qutidan C. Keyin P(A) = 12 2 = 1 6; P(B) = 13 2 = 1 4; P(C) = 16 2 = 1 2. ABC hodisasi - hammasi chiqarib tashlandi

To'plar oq rangda. Demak, A, B, C hodisalar mustaqildir

P(ABC) = P(A) P(B)· P(C) = 1 6 1 4 1 2 = 41 8 = 0,02

Vazifa. 1.3.4Bketma-ket ulangan elektr zanjiri 5 Bir-biridan mustaqil ishlaydigan elementlar. Birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi elementlarning ishdan chiqish ehtimoli mos ravishda tengdir. 0.1; 0.2; 0.3; 0.2; 0.1. Zanjirda oqim bo'lmasligi ehtimolini toping (hodisa A ).

Yechim. Elementlar ketma-ket ulanganligi sababli, kamida bitta element ishlamay qolsa, zanjirda oqim bo'lmaydi. Voqea Ai(i =1...5) - muvaffaqiyatsiz I- element. Voqealar

Vazifa. 1.3.5Sxema bitta kirish va bitta chiqish bilan tizimga ulangan mustaqil bloklardan iborat.

Turli xil sxema elementlarining T vaqt ichida ishdan chiqishi quyidagi ehtimolliklarga ega bo'lgan mustaqil hodisalardirP 1 = 0,1; P 2 = 0,2; P 3 = 0,3; P 4 = 0,4. Elementlarning birortasining ishlamay qolishi, ushbu element joylashgan kontaktlarning zanglashiga olib keladigan filialida signalning uzilishiga olib keladi. Tizimning ishonchliligini toping.

Yechim. Agar A hodisasi - (TIZIM ISHONCHLI bo'lsa), Ai - (i --chi BLOK SIZNAR ISHLASA), u holda A = (A1 + A2) (A3 + A4). A1+A2, A3+A4 hodisalar mustaqil, A1 va A2, A3 va A4 hodisalar qo‘shma. Ehtimollarni ko'paytirish va qo'shish formulalaridan foydalanish

Vazifa. 1.3.6Bir ishchi 3 ta mashinani boshqaradi. Mashinaning bir soat ichida ishchining e'tiborini talab qilmasligi ehtimoli birinchi mashina uchun 0,9 ga, ikkinchi mashina uchun 0,8 ga va uchinchi mashina uchun 0,7 ga teng.

Bir soat ichida bo'lish ehtimolini toping

1. Ikkinchi mashina e'tibor talab qiladi;

2. Ikki mashina e'tibor talab qiladi;

3. Kamida ikkita mashina e'tibor talab qiladi.

Yechim. Ai ishchining e'tiborini talab qiladigan i-chi mashina bo'lsin; i-chi mashina ishchining e'tiborini talab qilmaydi. Keyin

Elementar hodisalar maydoni:

1. Hodisa A - ikkinchi mashina diqqatni talab qiladi: Keyin

Hodisalar bir-biriga mos kelmaydigan va mustaqil bo'lgani uchun. P(A) = 0,9 0,8 0,7 + 0,1 0,8 0,7 + 0,9 0,8 0,3 + 0,1 0,8 0,3 = 0,8

2. B hodisasi - ikkita mashina e'tiborni talab qiladi:

3. Voqea C - kamida ikki bosqich e'tibor talab qiladi
kov:

Vazifa. 1.3.7B“Imtihonchi” mashinasi joriy etildi 50 Savollar. Talaba taklif qilinadi 5 Agar barcha savollarga to'g'ri javob berilsa, savollar va "a'lo" bahosi qo'yiladi. Agar talaba faqat tayyorlansa, "a'lo" bo'lish ehtimolini toping 40 Savollar.

Yechim. A - («A'lo» baho OLDI), Ai - (i --SAVOLGA JAVOB). Keyin A = A1A2A3A4A5, bizda:

Yoki boshqa yo'l bilan - klassik ehtimollik formulasidan foydalanib: VA

Vazifa. 1.3.8Assemblerga kerak bo'lgan qismning bo'lish ehtimoliI, II, III, IVquti mos ravishda teng 0.6; 0.7; 0.8; 0.9. Kollektor barcha 4 ta katakchani (hodisaA).

Yechim. Ai bo'lsin - (Assemblerga kerak bo'lgan qism i-chi qutida.) Keyin

Hodisalar bir-biriga mos kelmaydigan va mustaqil bo'lgani uchun

Vazifa. 1.4.1 60 yoshdan oshgan 10 ming kishidan iborat guruh tekshirildi. Ma'lum bo'lishicha, 4000 kishi doimiy chekuvchilardir. 1800 ta chekuvchi o'pkada jiddiy o'zgarishlarni ko'rsatdi. Chekmaydiganlar orasida 1500 kishining o'pkasida o'zgarishlar bo'lgan. O'pkasida o'zgarishlar bo'lgan tasodifiy tekshirilgan odamning chekuvchi bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Gipotezalarni kiritamiz: H1 - tekshirilayotgan shaxs doimiy chekuvchi, H2 - chekmaydigan. Keyin, muammoning shartlariga ko'ra

P(H1)= ------- =0,4, P(H2)=--------- =0,6

Tekshirilayotgan odamning o'pkasida o'zgarishlar bo'lgan hodisani A bilan belgilaymiz. Keyin, muammoning shartlariga ko'ra

(1.15) formuladan foydalanib topamiz

Tekshirilayotgan shaxsning chekuvchi bo'lish ehtimoli Bayes formulasiga ko'ra tengdir

Vazifa. 1.4.2Uchta zavodning televizorlari sotuvga chiqariladi: birinchi zavoddan 30%, ikkinchidan 20%, uchinchidan 50%. Birinchi zavodning mahsulotlarida yashirin nuqsonli televizorlarning 20%, ikkinchisida - 10%, uchinchisida - 5% mavjud. Ishlaydigan televizorni sotib olish ehtimoli qanday?

Yechim. Keling, voqealarni ko'rib chiqaylik: A - ishlaydigan televizor sotib olindi; H1, H2, H3 gipotezalari - televizor mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi zavoddan sotuvga chiqdi. Muammoning shartlariga ko'ra

(1.15) formuladan foydalanib topamiz

Vazifa. 1.4.3Uchta bir xil ko'rinishdagi qutilar mavjud. Birinchisida 20 ta oq shar, ikkinchisida 10 ta oq va 10 ta qora shar, uchinchisida 20 ta qora shar bor. Tasodifiy tanlangan qutidan oq to'p olinadi. Ushbu to'p ikkinchi qutidan bo'lish ehtimolini toping.

Yechim. A hodisasi - oq shar chiqarilsin, H1, H2, H3 gipotezalari - mos ravishda birinchi, ikkinchi, uchinchi qutidan to'p chiqarilsin. Muammoli sharoitlardan biz topamiz

Keyin
(1.15) formuladan foydalanib topamiz

(1.16) formuladan foydalanib topamiz

Vazifa. 1.4.4Telegraf xabari nuqta va chiziqli signallardan iborat. Shovqinning statistik xususiyatlari shundayki, ular o'rtacha buziladi 2/5 Xabarlar "nuqta" va 1/3 Xabarlar "chiziq". Ma'lumki, uzatilgan signallar orasida "nuqta" va "chiziq" nisbatda paydo bo'ladi 5: 3. Uzatilgan signalni qabul qilish ehtimolini aniqlang, agar:

A) “nuqta” signali qabul qilinadi;

B)"chiziq" signali qabul qilindi.

Yechim. A hodisasi “nuqta” signali qabul qilinganligini va B hodisasi “chiziq” signali qabul qilinishini bildirsin.

Ikkita faraz qilish mumkin: H1 - "nuqta" signali uzatiladi, H2 - "chiziq" signali uzatiladi. P(H1) sharti bo‘yicha: P(H2) =5: 3. Bundan tashqari, P(H1 ) + P(H2)= 1. Shuning uchun P( H1 ) = 5/8, P (H2 ) = 3/8. Ma'lumki

Voqealarning ehtimoli A VA B Umumiy ehtimollik formulasidan foydalanib topamiz:

Kerakli ehtimollar quyidagilar bo'ladi:

Vazifa. 1.4.510 ta radiokanaldan 6 ta kanal shovqinlardan himoyalangan. Vaqt o'tishi bilan xavfsiz kanal paydo bo'lishi ehtimoliTmuvaffaqiyatsiz bo'lmaydi, 0,95 ga teng, himoyalanmagan kanal uchun - 0,8. Tasodifiy tanlangan ikkita kanalning vaqt o'tishi bilan ishlamay qolish ehtimolini topingT, va ikkala kanal ham shovqinlardan himoyalanmagan.

Yechim. A hodisasi bo'lsin - ikkala kanal ham t vaqtida, hodisada ishlamay qolsin A1 - Himoyalangan kanal tanlandi A2 - Himoyalanmagan kanal tanlandi.

Tajriba uchun elementar hodisalar maydonini yozamiz - (ikkita kanal tanlangan):

Ō = (A1A1, A1A2, A2A1, A2A2)

Gipotezalar:

H1 - ikkala kanal ham shovqinlardan himoyalangan;

H2 - birinchi tanlangan kanal himoyalangan, ikkinchi tanlangan kanal shovqinlardan himoyalanmagan;

H3 - birinchi tanlangan kanal himoyalanmagan, ikkinchi tanlangan kanal shovqinlardan himoyalangan;

H4 - ikkala tanlangan kanal ham shovqinlardan himoyalanmagan. Keyin

VA

Vazifa. 1.5.1Aloqa kanali uzatadi 6 Xabarlar. Har bir xabar ehtimollik bilan aralashib, buzib ko'rsatilishi mumkin 0.2 Boshqalardan qat'iy nazar. Buning ehtimolini toping

1. 6 ta xabardan 4 tasi buzilmagan;

2. 6 tadan kamida 3 tasi buzilgan;

3. 6 ta xabardan kamida bittasi buzilgan;

4. 6 tadan 2 tadan ko'pi buzilmagan;

5. Barcha xabarlar buzilishsiz uzatiladi.

Yechim. Buzilish ehtimoli 0,2 bo'lganligi sababli, xabarni shovqinsiz uzatish ehtimoli 0,8 ga teng.

1. Bernulli formulasidan (1.17) foydalanib, ehtimollikni topamiz
6 ta xabardan 4 tasini aralashuvsiz uzatish imkoniyati:

2. 6 tadan kamida 3 tasi buzilgan holda uzatiladi:

3. 6 ta xabardan kamida bittasi buzilgan:

4. 6 ta xabardan kamida bittasi buzilgan:

5. barcha xabarlar buzilmagan holda uzatiladi:

Vazifa. 1.5.2Yozda bir kunning aniq bo'lish ehtimoli 0,42; bulutli kun ehtimoli 0,36 va qisman bulutli 0,22. 59 kundan necha kun tiniq va bulutli bo'lishini kutish mumkin?

Yechim. Muammoning shartlaridan ko'rinib turibdiki, biz aniq va bulutli kunlarning eng ehtimoliy sonini izlashimiz kerak.

Aniq kunlar uchun P= 0.42, N= 59. Tengsizliklarni tuzamiz (1.20):

59 0.42 + 0.42 - 1 < m0 < 59 0.42 + 0.42.

24.2 ≤ Mo≤ 25.2 → Mo= 25.

Bulutli kunlar uchun P= 0.36, N= 59 va

0.36 59 + 0.36 - 1 ≤ M0 ≤ 0.36 59 + 0.36;

Shuning uchun 20.16 ≤ M0 ≤ 21.60; → M0 = 21.

Shunday qilib, aniq kunlarning eng ehtimol soni Mo=25, bulutli kunlar - M0 = 21. Keyin yozda siz kutishingiz mumkin Mo+ M0 =46 ochiq va bulutli kun.

Vazifa. 1.5.3Ehtimollar nazariyasi bo'yicha ma'ruzada 110 nafar talaba qatnashmoqda. Buning ehtimolini toping

1. hozir bo'lganlarning k o'quvchisi (k = 0,1,2) birinchi sentyabrda tug'ilgan;

2. kursning kamida bitta talabasi birinchi sentyabrda tug'ilgan.

P =1/365 juda kichik, shuning uchun biz Puasson formulasidan foydalanamiz (1.22). Puasson parametrini topamiz. Chunki

N= 110, keyin l = np = 110 1 /365 = 0,3.

Keyin, Puasson formulasiga ko'ra

Vazifa. 1.5.4Qismning standart bo'lmasligi ehtimoli teng 0.1. P = ehtimoli bilan qancha qismlarni tanlash kerak 0.964228 Nostandart qismlarning paydo bo'lishining nisbiy chastotasi doimiy p = ehtimollikdan chetga chiqadi, deb bahslashish mumkin. 0.1 Mutlaq qiymatda dan ortiq emas 0.01 ?

Yechim.

Majburiy raqam N Uni (1.25) formuladan foydalanib topamiz. Bizda ... bor:

P = 1,1; q = 0,9; P= 0,96428. Keling, ma'lumotlarni formulaga almashtiramiz:

Uni qayerdan topamiz?

Funktsiya qiymatlari jadvaliga ko'ra Φ( X) buni topamiz

Vazifa. 1.5.5T vaqtida bitta kondansatör ishdan chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Vaqt o'tishi bilan T 100 kondansatkichlarining ishdan chiqishi ehtimolini aniqlang

1. Aniq 10 ta kondansatör;

2. Kamida 20 ta kondansatör;

3. 28 dan kam kondansatör;

4. 14 dan 26 gacha kondensatorlar.

Yechim. Bizda ... bor P = 100, P= 0.2, Q = 1 - P= 0.8.

1. Aynan 10 ta kondansatör.

Chunki P Ajoyib, keling, Moivre - Laplasning mahalliy teoremasidan foydalanamiz:

Keling, hisoblaylik

Funktsiyadan beri ph(x)- juft, u holda ph(-2,5) = ph(2,50) = 0,0175 (funksiya qiymatlari jadvalidan topamiz. ph(x). Kerakli ehtimollik

2. Kamida 20 ta kondansatör;

100 ta kondansatkichdan kamida 20 tasi ishlamay qolishi talabi 20, yoki 21, ... yoki 100 tasi ishdan chiqishini bildiradi. T1 = 20, T 2 = 100. Keyin

Funktsiya qiymatlari jadvaliga muvofiq PH(x) PH(x1) = PH(0) = 0, PH(x2) = PH(20) = 0,5 ni topamiz. Kerakli ehtimollik:

3. 28 dan kam kondansatör;

(bu yerda Laplas funksiyasi F(x) toq ekanligi hisobga olindi).

4. 14 dan 26 gacha kondensatorlar. Shart bo'yicha M1= 14, m2 = 26.
X 1,x2 ni hisoblaymiz:

Vazifa. 1.5.6Bitta tajribada qandaydir hodisaning yuzaga kelish ehtimoli 0,6 ga teng. Ushbu hodisaning 60 ta tajribaning ko'pchiligida sodir bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim. Miqdori M Sinov qatorida hodisaning sodir bo'lishi orasida. "Ko'pgina tajribalarda" shuni anglatadiki M Shart bo'yicha intervalga tegishli N= 60, P= 0.6, Q = 0.4, M1 = 30, m2 = 60. X1 va x2 ni hisoblaymiz:

Tasodifiy o'zgaruvchilar va ularning taqsimlanishi

Vazifa. 2.1.1Tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari yuqori qatorda ko'rsatilgan jadval berilgan X , va pastki qismida - ularning ehtimolliklari.

Ushbu jadval tarqatish qatori bo'lishi mumkinmi? X ?

Javob: Ha, chunki p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

Vazifa. 2.1.2Chiqarilgan 500 Lotereya chiptalari va 40 Chiptalar o'z egalariga yutuq olib keladi 10000 Rub., 20 Chiptalar - boshiga 50000 Rub., 10 Chiptalar - boshiga 100000 Rub., 5 Chiptalar - boshiga 200000 Rub., 1 Chipta - 500000 Rub., qolganlari - yutuq yo'q. Bitta chipta egasi uchun yutuqni taqsimlash qonunini toping.

Yechim.

X uchun mumkin bo'lgan qiymatlar: x5 = 10000, x4 = 50000, x3 = 100000, x2 = 200000, x1 = 500000, x6 = 0. Ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimolliklari:

Kerakli tarqatish qonuni:

Vazifa. 2.1.3Shooter bor 5 Patronlar, nishonga birinchi zarbasigacha o'q uzadi. Har bir zarba bilan urish ehtimoli 0.7. Ishlatilgan patronlar soni uchun taqsimot qonunini tuzing, taqsimlash funksiyasini topingF(X) va uning grafigini tuzing, P(2) ni toping< x < 5).

Yechim.

Tajribaning elementar hodisalari maydoni

Ω = {1, 01, 001, 0001, 00001, 11111},

Bu erda (1) hodisa - nishonga tegdi, hodisa (0) - nishonga tegmadi. Amaldagi patronlar sonining tasodifiy o'zgaruvchisining quyidagi qiymatlari elementar natijalarga to'g'ri keladi: 1, 2, 3, 4, 5. Har bir keyingi otishni o'rganish natijasi avvalgisiga bog'liq bo'lmagani uchun, mumkin bo'lgan ehtimolliklar. qadriyatlar quyidagilardir:

P1 = P(x1= 1) = P(1)= 0.7; P2 = P(x2= 2) = P(01)= 0,3 · 0,7 = 0,21;

P3 = P(x3= 3) = P(001) = 0,32 · 0,7 = 0,063;

P4 = P(x4= 4) = P(0001) = 0,33 · 0,7 = 0,0189;

P5 = P(x5= 5) = P(00001 + 00000) = 0,34 · 0,7 + 0,35 = 0,0081.

Kerakli tarqatish qonuni:

Tarqatish funksiyasini topamiz F(X), Formuladan foydalanish (2.5)

X≤1, F(x)= P(X< x) = 0

1 < x ≤2, F(x)= P(X< x) = P1(X1 = 1) = 0.7

2 < x ≤ 3, F(x) = P1(X= 1) + P2(x = 2) = 0,91

3 < x ≤ 4, F(x) = P1 (x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) =

= 0.7 + 0.21 + 0.063 = 0.973

4 < x ≤ 5, F(x) = P1(x = 1) + P2(x = 2) + P3(x = 3) +

+ P4(x = 4) = 0,973 + 0,0189 = 0,9919

X>5.F(x) = 1

P(2) ni topamiz< x < 5). Применим формулу (2.4): P(2 < X< 5) = F(5) - F(2) = 0.9919 - 0.91 = 0.0819

Vazifa. 2.1.4DanaF(X) ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilar:

X uchun taqsimot seriyasini yozing.

Yechim.

Xususiyatlardan F(X) Bundan kelib chiqadiki, tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari X - Funktsiyaning uzilish nuqtalari F(X), Va mos keladigan ehtimolliklar funksiya sakrashlaridir F(X). X=(0,1,2,3,4) tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlarini topamiz.

Vazifa. 2.1.5Qaysi funktsiyani belgilang

Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot funktsiyasi.

Agar javob ha bo'lsa, mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olish ehtimolini toping[-3,2].

Yechim. F1(x) va F2(x) funksiyalarining grafigini tuzamiz:

F2(x) funksiyasi taqsimot funksiyasi emas, chunki u kamayuvchi emas. F1(x) funksiyasi

Ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning taqsimot funktsiyasi, chunki u kamaymaydi va (2.3) shartni qondiradi. Intervalga tushish ehtimoli topilsin:

Vazifa. 2.1.6Uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik zichligi berilgan X :

Toping:

1. Koeffitsient C ;

2. Tarqatish funksiyasi F(x) ;

3. Tasodifiy o'zgaruvchining intervalga tushish ehtimoli(1, 3).

Yechim. Normallashtirish shartidan (2.9) topamiz

Demak,

(2.10) formuladan foydalanib, biz quyidagilarni topamiz:

Shunday qilib,

(2.4) formuladan foydalanib topamiz

Vazifa. 2.1.7Elektron uskunaning tasodifiy ishlamay qolishi ba'zi hollarda ehtimollik zichligiga ega

Qayerda M = lge = 0,4343...

Tarqatish funksiyasini toping F(x) .

Yechim. (2.10) formuladan foydalanib topamiz

Qayerda

Vazifa. 2.2.1Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qatori berilgan X :

Matematik kutish, dispersiya, standart og'ish, M, D[-3X + 2].

Yechim.

(2.12) formuladan foydalanib, biz matematik taxminni topamiz:

M[X] = x1p1 + x2p2 + x3p3 + x4p4 = 10 0,2 + 20 0,15 + 30 0,25 + 40 0,4 = 28,5

M = 2M[X] + M = 2M[X] + 5 = 2 28,5 + 5 = 62. (2.19) formuladan foydalanib dispersiyani topamiz:

Vazifa. 2.2.2Uzluksiz tasodifiy miqdorning kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping X , ularning taqsimlash funktsiyasi

.

Yechim. Keling, ehtimollik zichligini topamiz:

(2.13) formuladan foydalanib, matematik taxminni topamiz:

(2.19) formuladan foydalanib dispersiyani topamiz:

Avval tasodifiy miqdor kvadratining matematik kutilmasini topamiz:

Standart og'ish

Vazifa. 2.2.3Xtarqatish seriyasiga ega:

Tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va dispersiyasini topingY = EX .

Yechim. M[ Y] = M[ EX ] = e-- 1 · 0,2 + e0 · 0,3 + e1 · 0,4 + e2 · 0,1 =

0,2 · 0,3679 + 1 · 0,3 + 2,71828 · 0,4 + 7,389 · 0,1 = 2,2.

D[Y] = D = M[(eX)2 - M2[E X] =

[(e-1)2 0,2 ​​+ (e0)2 0,3 + (e1)2 0,4 + (e2)2 0,1] - (2,2)2 =

= (e--2 0,2 ​​+ 0,3 + e2 0,4 + e4 0,1) - 4,84 = 8,741 - 4,84 = 3,9.

Vazifa. 2.2.4Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X Faqat ikkita qiymatni qabul qilishi mumkin X1 VA X2 , va X1< x2. Ma'lum ehtimollik P1 = 0,2 Mumkin ma'no X1 , kutilgan qiymat M[X] = 3,8 Va farq D[X] = 0,16. Tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping.

Yechim. X tasodifiy o'zgaruvchisi faqat ikkita x1 va x2 qiymatlarini olganligi sababli, ehtimollik p2 = P(X = x2) = 1 - p1 = 1 - 0,2 = 0,8.

Muammoning shartlariga ko'ra bizda:

M[X] = x1p1 + x2p2 = 0,2x1 + 0,8x2 = 3,8;

D [X] = (x21p1 + x22p2) - M2 [X] = (0,2x21 + 0,8x22) - (0,38)2 = 0,16.

Shunday qilib, biz tenglamalar tizimini oldik:

Vaziyat x1

Vazifa. 2.2.5X tasodifiy o'zgaruvchisi taqsimot qonuniga bo'ysunadi, uning zichlik grafigi quyidagi shaklga ega:

Kutilayotgan qiymat, dispersiya va standart og'ishlarni toping.

Yechim. Differensial taqsimot funksiyasi f(x) topilsin. (0, 3) oraliqdan tashqarida f(x) = 0. (0, 3) oraliqda zichlik grafigi qiyaligi k = 2/9 boʻlgan toʻgʻri chiziq koordinata boshidan oʻtadi. Shunday qilib,

Kutilayotgan qiymat:

Dispersiya va standart og‘ish topilsin:

Vazifa. 2.2.6Bir otishda to'rtta zarda paydo bo'ladigan ballar yig'indisining matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Yechim. A - bir otishda bitta o'limdagi ochkolar sonini, B - ikkinchi o'limdagi ochkolar sonini, C - uchinchi o'limda, D - to'rtinchi o'limni belgilaymiz. A, B, C, D tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonuni bitta.

Keyin M[A] = M[B] = M[C] = M[D] = (1+2+3+4+5+6) / 6 = 3,5

Vazifa. 2.3.1Radioaktiv manbadan chiqarilgan zarrachaning hisoblagich tomonidan qayd etilishi ehtimoli teng 0.0001. Kuzatish davrida u manbadan uchib chiqdi 30000 Zarrachalar Hisoblagich ro'yxatdan o'tish ehtimolini toping:

1. Aynan 3 ta zarracha;

2. Bitta zarracha emas;

3. Kamida 10 ta zarracha.

Yechim. Shart bo'yicha P= 30000, P= 0,0001. Aniqlanayotgan radioaktiv manbadan chiqadigan zarrachalardan tashkil topgan hodisalar mustaqildir; raqam P Ajoyib, lekin ehtimollik P Kichik, shuning uchun biz Puasson taqsimotidan foydalanamiz: l ni topamiz: λ = n P = 30000 0,0001 = 3 = M[X]. Qidirilgan ehtimolliklar:

Vazifa. 2.3.2Partiyada 5% nostandart qismlar mavjud. Tasodifiy ravishda 5 qism tanlandi. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini yozing X - tanlangan beshtadan nostandart qismlar soni; Matematik kutilma va dispersiyani toping.

Yechim. Diskret tasodifiy miqdor X - nostandart qismlar soni - binomial taqsimotga ega va quyidagi qiymatlarni qabul qilishi mumkin: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3, x5 = 4, x6 = 5. Ehtimollik partiyadagi nostandart qismning p = 5 /100 = 0,05. Keling, ushbu mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimollarini topamiz:

Kerakli taqsimot qonunini yozamiz:

Raqamli xususiyatlarni topamiz:

0 0.7737809 + 1 0.2036267 + 2 0.0214343+

3 0.0011281 + 4 0.0000297 + 5 0.0000003 = 0.2499999 ≈ 0.250

M[X] = Np= 5 0.05 = 0.25.

D[X] = M– M2 [X]= 02 0.7737809 + 12 0.2036267+

22 0.0214343 + 32 0.0011281 + 42 0.0000297 + 52 0.0000003- 0.0625 =

0.2999995 - 0.0625 = 0.2374995 ≈ 0.2375

Yoki D[ X] = n p (1 - P) = 5 0.05 0.95 = 0.2375.

Vazifa. 2.3.3Radar tomonidan nishonni aniqlash vaqti eksponensial qonunga muvofiq taqsimlanadi

Qayerda1/ l = 10 Sek. - maqsadni aniqlashning o'rtacha vaqti. Maqsadni o'z vaqtida aniqlash ehtimolini toping5 Oldin15 Sek. qidiruvni boshlagandan keyin.

Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli X Intervalda (5, 15) (2.8) formuladan foydalanib topamiz:

Da olamiz

0.6065(1 - 0.3679) = 0.6065 0.6321 = 0.3834

Vazifa. 2.3.4Tasodifiy o'lchash xatolari a = parametrlari bilan normal qonunga bo'ysunadi 0, s = 20 Mm. Differensial taqsimot funksiyasini yozingF(X) va gacha bo'lgan diapazonda o'lchashda xatolik bo'lish ehtimolini toping 5 Oldin 10 Mm.

Yechim. a va s parametrlarining qiymatlarini differentsial taqsimot funksiyasiga almashtiramiz (2.35):

(2.42) formuladan foydalanib, biz tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimolini topamiz X Intervalda, ya'ni. A= 0, B= 0.1. Keyin differentsial taqsimot funktsiyasi F(x) O'xshash bo'ladi

"Sizning raqamingiz o'n ikki", dedi Fir kitobga nimadir yozar ekan. Fash odamga rahmat aytib, uyiga uchib ketdi. ,Endi asosiy narsa uni buzmaslikdir. Umid qilamanki, biz ijro etganimizda, peri bizni tushkunlikka solmaydi ... "" - bu o'ylar bilan qoramag'iz ayvon yonidagi shoxga tushdi, u erda uni allaqachon ikki kishi kutib turgan edi. “Nihoyat yetib kelding”, deb kutib turganlardan biri Nik qoʻlini silkitib qoʻydi. Ikkinchi shaxs bo‘lgan, to‘q tusli kulrang ko‘zli qiz salomlashish belgisi sifatida faqat bosh irg‘ab, to‘g‘ri gapga o‘tdi: — Va biz qaysi raqam ostida kontsert beramiz? - so'radi u stolga xushbo'y kofe qo'yib. - O'n ikki, - deb javob berdi yigit stolga o'tirib. - Biz mashq qilishimiz kerak: biz uchalamiz qanday ovoz berishimizni bilishimiz kerak. "Biz juda yaxshi o'ynashimiz shart emas, Dragotsy," qiz darhol uni sovutdi, - bu qopqoq. Spektakldan so'ng, siz va'da qilinganidek, xo'jayinimizning kalitini olasiz, - bu so'zlarni eshitgandan so'ng, Fash limon yegandek jilmayib qo'ydi, "va Nik inisiatsiyadan o'tadi. "Men butun sud oldida obro'imni yo'qotishni xohlamayman", deb javob berdi Dragotsiy. "Fash, Diana," deb yolvordi Nik bu ikkisiga navbatma-navbat qarab, "iltimos, to'xtating." Menimcha, biz chindan ham mashq qilishimiz kerak. "Men qo'shiq kuylayotgan kayfiyatim yo'q", deb g'o'ldiradi Fash va hatto ovqatlanmay, xonasiga ketdi. *bir necha kun oldin* "Demak," dedi Konstantin quvnoq tabassum bilan Fash va Nikni ustaxonada yig'ib, "Menda ikkita yangilik bor." Birinchisi: Men Oq qirolicha bilan sizning tashabbusingiz haqida rozi bo'ldim, Nik. - Buni qanday qilding? – Fash hayrat bilan Lazarevga qaradi. "Men sizga keyinroq aytaman", deb jilmayib qo'ydi Nikning otasi. - o'g'lim, bizni tashlab keta olasizmi? - sarg'ish eshikni orqasidan yopgancha xonadan chiqib ketdi. Konstantin jiddiy qaradi va qoramag'izga qaradi: "Fash, Astarius mendan Oq malika unga Kumush kalitni va'da qilganini aytishimni so'radi." Sehrgarning oldiga borib, Sehrda ishtirok etishingiz va malikadan kumush kalitni olishingiz kerak, - Dragotiy bu kalitni ikkinchi marta eshitgan bo'lsa ham, Astarius tomonidan ishonib topshirilganidan hayratda qoldi. . Domla allaqachon uni ogohlantirib, qoramag'izning Astrogordan qochib ketganini tushuntirgan edi... *** Ularning ijrosi parilar shohligida shov-shuv tug'dirdi: olti qanotli mavjudotlar soat qo'llarini yuqoriga ko'tarib, olqishlar va hayajon bilan baqirishdi. Fashning qo'rquvlari behuda edi, u bundan xursand edi. Ko'p o'tmay, soatiga xat keldi, u sehr g'olibi sifatida yarim tunda Oq qasrga kelishi kerakligini aytdi. qoramag'iz, Nik va Diana allaqachon o'tirgan gazeboga yaqinlashdi, ular ham spektakl muvaffaqiyatli o'tganidan xursand edilar. - Xo'sh, - u hazil bilan Freyzerga o'girildi, - biz bilan Oq qasrga borasizmi, xizmatkor xonim? - Nik piyola ichiga pichirladi va Diana shunchaki jilmayib qo'ydi. -Nega fahriy kanizak ekanligingizni aytmadingiz? - Fash stolga o'tirdi - ular mening oldimga kelib, Janobi Oliylarining faxriy xizmatkori Diana Freyzer xonim bilan qilgan chiqishim sensatsiya yaratganini aytishganida, o'zimni ahmoqdek his qildim! - Nik ham, Diana ham kulgisini ushlab turolmadi... *yarmi tun* -Fashiyar Dragotius, - orqa tomoni zumrad barglari bilan tilla novdalar bilan bezatilgan taxtdan turgan Oq qirolicha qo'lini zumrad barglaridan biriga silkitdi. qizlar, - sehrni yutganingiz va Astariusga bergan va'dalari uchun men sizga Kumush kalitni beraman. O'ylaymanki, bu juda katta mas'uliyat ekanini bilasiz. Uni asrang, ko'z qorachig'idek asrang. - Va'da beraman, - Fash bosh irg'ab, Peri malikasiga ishonch bilan qaradi. Eshik ochildi va qiz qizil ipak yostiqqa suyanib Kumush kalitni olib keldi. Peri unga yaqinlashdi va kaliti bilan yostiqni uzatib, kamonda to'xtadi. Fash kalitni ehtiyotkorlik bilan oldi va qirolichaga ta'zim qildi: "Menga ko'rsatgan hurmatingiz uchun kamtarlik bilan minnatdorman." Peri hukmdori bosh irg'ab, qo'lini silkitib, Fashning dam olish uyiga borishiga ruxsat berdi. Nik boshida inisiatsiyaga kirishishi uchun olingan. *** -...va ular menga qandaydir soatlik iksir berishdi. Xo'sh, men uni ichdim. Natijada, uchinchi soat daraja, - Nik do'stiga Oq qal'ada nima bo'lganini aytib, quvonch bilan jilmayib qo'ydi. Diana ular bilan birga o'tirdi va bulochka yeyayotganda xotirjam qahva ichdi. -Aytgancha, mening ham yangiligim bor, kosani chetga surib, jilmayib qo'ydi Diana kichkina temir kalitni stolga qo'yib. Bir soniya davomida Fash va Nik avval kalitga, keyin qizga hayron bo'lishdi, ammo keyingi lahzada Dragotsy o'rnidan sakrab turdi va Dianani quchoqlashga shoshildi va quvonch bilan jilmayib qo'ydi. -Men bilardim! – qichqirdi u. Qizarib ketgan peri yigitning quchog'idan zo'rg'a qutulib qoldi: "Avval qo'yib yubor, meni bo'g'ib o'ldirasan!" Ikkinchidan, siz qayerdan bildingiz? "Taxmin qilish qiyin emas edi, albatta," dedi mamnun Fash. - Sud perisi, eng yaxshi talaba, shuningdek, umidsiz... Sizni ko'rgan zahotiyoq siz ham uy bekasi ekanligingizni taxmin qildim. - Ha, - hayratdan uzoqlashdi Nik, - siz bilan o'rmonda uchrashish biroz kutilmagan bo'ldi. - Nima kutilmagan bo'ldi? - Diana do'stiga qiziqish bilan qaradi. "Masalan, siz to'satdan bizga qorong'ulikdan otilib chiqdingiz", dedi Fash. - Ha, - boshini qimirlatib qo'ydi hozir kichik soatsoz Lazarev, - biz, albatta, biz siz bilan o'rmonda uchrashishimizni bilardik, lekin siz zulmatdan bizga kutilmaganda otmasligingiz kerak edi. "Ammo biz darhol Charodolga borganimiz yaxshi", deb kuldi Dragotsy. Yigitlar rozilik bildirishdi va nonushta qilishni davom ettirdilar...

Ehtimollik nima?

Men bu atamani birinchi marta uchratganimda, bu nima ekanligini tushunmagan bo'lardim. Shuning uchun men aniq tushuntirishga harakat qilaman.

Ehtimollik - bu biz xohlagan voqea sodir bo'lish ehtimoli.

Misol uchun, siz do'stingizning uyiga borishga qaror qildingiz, siz kirish joyini va hatto u yashaydigan qavatni eslaysiz. Lekin kvartiraning raqamini va manzilini unutibman. Va endi siz zinapoyada turibsiz va oldingizda tanlash uchun eshiklar bor.

Agar siz birinchi eshik qo'ng'irog'ini bossangiz, do'stingiz siz uchun eshikni ochishi ehtimoli (ehtimoli) qanday? Faqat kvartiralar bor va do'st ulardan faqat bittasining orqasida yashaydi. Teng imkoniyat bilan biz har qanday eshikni tanlashimiz mumkin.

Lekin bu qanday imkoniyat?

Eshik, o'ng eshik. Birinchi eshik qo'ng'irog'ini chalish orqali taxmin qilish ehtimoli: . Ya'ni, uchtadan bir marta siz aniq taxmin qilasiz.

Biz bilmoqchimizki, bir marta qo'ng'iroq qilib, eshikni qanchalik tez-tez taxmin qilamiz? Keling, barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

1. Siz qo'ng'iroq qildingiz 1-chi eshik
2. Siz qo'ng'iroq qildingiz 2 eshik
3. Siz qo'ng'iroq qildingiz 3 eshik

Keling, do'st bo'lishi mumkin bo'lgan barcha variantlarni ko'rib chiqaylik:

A. Orqada 1-chi eshik
b. Orqada 2 eshik
V. Orqada 3 eshik

Keling, jadval ko'rinishidagi barcha variantlarni taqqoslaylik. Belgilangan belgi sizning tanlovingiz do'stingizning joylashuviga to'g'ri kelganda variantlarni ko'rsatadi, xoch - mos kelmasa.

Siz hamma narsani qanday ko'rasiz Balki variantlari do'stingizning joylashuvi va qaysi eshikni qo'ng'iroq qilishni tanlash.

A hamma uchun ijobiy natijalar . Ya'ni, siz eshik qo'ng'irog'ini bir marta chalish orqali bir marta taxmin qilasiz, ya'ni. .

Bu ehtimollik - ijobiy natijaning (sizning tanlovingiz do'stingiz joylashgan joyga to'g'ri kelganda) mumkin bo'lgan voqealar soniga nisbati.

Ta'rif formuladir. Ehtimollik odatda p bilan belgilanadi, shuning uchun:

Bunday formulani yozish unchalik qulay emas, shuning uchun biz uchun - qulay natijalar sonini va uchun - natijalarning umumiy sonini olamiz.

Ehtimollik foiz sifatida yozilishi mumkin, buning uchun natijani quyidagiga ko'paytirish kerak:

"Natijalar" so'zi, ehtimol, sizning e'tiboringizni tortdi. Matematiklar har xil harakatlarni (bizning holatlarimizda bunday harakat eshik qo'ng'irog'i) tajribalar deb ataganligi sababli, bunday tajribalarning natijasi odatda natija deb ataladi.

Xo'sh, ijobiy va salbiy natijalar mavjud.

Keling, misolimizga qaytaylik. Aytaylik, biz eshiklardan birini qo'ng'iroq qildik, lekin biz uchun begona odam ochdi. Biz to'g'ri taxmin qilmadik. Qolgan eshiklardan birini qo'ng'iroq qilsak, do'stimiz biz uchun eshikni ochishi ehtimoli qanday?

Agar siz shunday deb o'ylasangiz, bu xato. Keling, buni aniqlaylik.

Bizda ikkita eshik qoldi. Shunday qilib, bizda mumkin bo'lgan qadamlar mavjud:

1) Qo'ng'iroq qiling 1-chi eshik
2) Qo'ng'iroq qiling 2 eshik

Do'st, bularning barchasiga qaramay, ulardan birining orqasida, albatta, (oxir-oqibat, u biz chaqirganning orqasida emas edi):

a) Do'st uchun 1-chi eshik
b) Do'st uchun 2 eshik

Jadvalni yana chizamiz:

Ko'rib turganingizdek, faqat qulay variantlar mavjud. Ya'ni, ehtimollik teng.

Nega yo'q?

Biz ko'rib chiqqan vaziyat bog'liq hodisalarga misol. Birinchi hodisa - birinchi eshik qo'ng'irog'i, ikkinchi voqea - ikkinchi eshik qo'ng'irog'i.

Va ular qaram deb ataladi, chunki ular quyidagi harakatlarga ta'sir qiladi. Axir, agar birinchi jiringlagandan keyin eshik qo'ng'irog'iga do'stingiz javob bergan bo'lsa, u qolgan ikkitadan birining orqasida bo'lish ehtimoli qanday bo'ladi? To'g'ri, .

Ammo agar qaram hodisalar mavjud bo'lsa, unda ham bo'lishi kerak mustaqil? To'g'ri, ular sodir bo'ladi.

Darslik misoli tanga tashlashdir.

1. Bir marta tanga tashlang. Masalan, boshni olish ehtimoli qanday? To'g'ri - chunki barcha variantlar mavjud (bosh yoki quyruq, biz tanganing uning chetiga tushish ehtimolini e'tiborsiz qoldiramiz), lekin bu faqat bizga mos keladi.
2. Lekin boshiga tushdi. Mayli, uni yana tashlaylik. Endi boshni olish ehtimoli qanday? Hech narsa o'zgarmadi, hammasi bir xil. Qancha variant? Ikki. Biz qanchadan xursandmiz? Bir.

Va u ketma-ket kamida ming marta boshga chiqsin. Bir vaqtning o'zida boshlarni olish ehtimoli bir xil bo'ladi. Har doim variantlar va qulaylar mavjud.

Bog'liq hodisalarni mustaqil hodisalardan ajratish oson:

1. Agar tajriba bir marta o'tkazilsa (ular bir marta tanga tashlaydilar, eshik qo'ng'irog'ini bir marta chaladilar va hokazo), unda voqealar doimo mustaqil bo'ladi.
2. Agar tajriba bir necha marta o'tkazilsa (tanga bir marta tashlanadi, eshik qo'ng'irog'i bir necha marta chalinadi), unda birinchi hodisa har doim mustaqil bo'ladi. Va keyin, agar qulay bo'lganlar soni yoki barcha natijalar soni o'zgarsa, voqealar bog'liq, agar bo'lmasa, ular mustaqildir.

Keling, ehtimollikni aniqlashni biroz mashq qilaylik.

1-misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Ketma-ket ikki marta bosh olish ehtimoli qanday?

Yechim:

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqaylik:

1. Burgut-burgut
2. Bosh-dumlar
3. Dumlar - boshlar
4. Quyruq-dumlar

Ko'rib turganingizdek, faqat variantlar mavjud. Bulardan biz faqat qanoatlanamiz. Ya'ni, ehtimollik:

Agar shart shunchaki ehtimollikni topishni so'rasa, u holda javob o'nlik kasr shaklida berilishi kerak. Agar javob foiz sifatida berilishi kerakligi ko'rsatilgan bo'lsa, biz ko'paytiramiz.

Javob:

2-misol.

Bir quti shokoladda barcha shokoladlar bir xil o'ramga qadoqlangan. Biroq, shirinliklardan - yong'oq bilan, konyak bilan, gilos bilan, karamel va nougat bilan.

Bitta konfet olib, yong‘oqli konfet olish ehtimoli qanday? Javobingizni foiz sifatida bering.

Yechim:

Qancha mumkin bo'lgan natijalar mavjud? .

Ya'ni, agar siz bitta konfetni olsangiz, u qutidagi mavjud bo'lganlardan biri bo'ladi.

Qancha ijobiy natijalar?

Chunki qutida faqat yong‘oqli shokoladlar bor.

Javob:

3-misol.

Bir quti sharlar ichida. ulardan oq va qora.

1. Oq sharni chizish ehtimoli qanday?
2. Biz qutiga yana qora to'p qo'shdik. Endi oq to'pni chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

a) Qutida faqat to'plar bor. Ulardan oq.

Ehtimollik quyidagicha:

b) Endi qutida ko'proq to'p bor. Va shuncha oqlar qolgan - .

Javob:

Umumiy ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli () ga teng.

Aytaylik, qutida qizil va yashil sharlar bor. Qizil sharni chizish ehtimoli qanday? Yashil to'p? Qizil yoki yashil to'p?

Qizil to'pni chizish ehtimoli

Yashil to'p:

Qizil yoki yashil to'p:

Ko'rib turganingizdek, barcha mumkin bo'lgan hodisalar yig'indisi () ga teng. Ushbu fikrni tushunish sizga ko'p muammolarni hal qilishga yordam beradi.

4-misol.

Qutida markerlar mavjud: yashil, qizil, ko'k, sariq, qora.

Qizil markerni EMAS chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

Keling, raqamni hisoblaylik qulay natijalar.

Qizil marker EMAS, bu yashil, ko'k, sariq yoki qora degan ma'noni anglatadi.

Barcha hodisalarning ehtimoli. Va biz noqulay deb hisoblagan hodisalarning ehtimoli (qizil markerni olib tashlaganimizda) .

Shunday qilib, EMAS qizil flomasterni tortib olish ehtimoli .

Javob:

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Siz mustaqil hodisalar nima ekanligini allaqachon bilasiz.

Ikki (yoki undan ortiq) mustaqil hodisaning ketma-ket sodir bo'lish ehtimolini topish kerak bo'lsa-chi?

Aytaylik, biz bilmoqchimizki, agar biz tangani bir marta aylantirsak, boshni ikki marta ko'rish ehtimoli qancha?

Biz allaqachon ko'rib chiqdik - .

Agar biz bir marta tanga tashlasak nima bo'ladi? Burgutni ketma-ket ikki marta ko'rish ehtimoli qanday?

Jami mumkin bo'lgan variantlar:

1. Burgut-burgut-burgut
2. Bosh-bosh-dumlar
3. Boshlar-dumlar-boshlar
4. Boshlar-dumlar-dumlar
5. Dumlar-boshlar-boshlar
6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
7. Quyruqlar-dumlar-boshlar
8. Quyruq-quyruq-dumlar

Siz haqingizda bilmayman, lekin men ushbu ro'yxatni tuzishda bir necha bor xato qildim. Voy-buy! Va faqat variant (birinchi) bizga mos keladi.

5 ta otish uchun siz o'zingiz mumkin bo'lgan natijalar ro'yxatini tuzishingiz mumkin. Ammo matematiklar siz kabi mehnatkash emas.

Shuning uchun ular birinchi navbatda ma'lum bir mustaqil hodisalar ketma-ketligining ehtimoli har safar bitta hodisaning ehtimoli bilan kamayishini payqashdi va keyin isbotladilar.

Boshqa so'z bilan,

Keling, xuddi shu baxtsiz tanga misolini ko'rib chiqaylik.

Qiyinchilikda bosh tortish ehtimoli bormi? . Endi biz tangani bir marta aylantiramiz.

Ketma-ket boshlarni olish ehtimoli qanday?

Bu qoida bizdan bir xil hodisaning ketma-ket bir necha marta sodir boʻlish ehtimolini topish soʻralgandagina ishlamaydi.

Agar biz ketma-ket otishlar uchun TAILS-HEADS-TAILS ketma-ketligini topmoqchi bo'lsak, biz ham xuddi shunday qilamiz.

Dumlarni olish ehtimoli , boshlar - .

TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ketma-ketligini olish ehtimoli:

Jadval tuzib, uni o'zingiz tekshirishingiz mumkin.

Mos kelmaydigan hodisalar ehtimolini qo'shish qoidasi.

Shunday qilib, to'xtang! Yangi ta'rif.

Keling, buni aniqlaylik. Keling, eskirgan tangamizni olib, bir marta tashlaylik.
Mumkin variantlar:

1. Burgut-burgut-burgut
2. Bosh-bosh-dumlar
3. Boshlar-dumlar-boshlar
4. Boshlar-dumlar-dumlar
5. Dumlar-boshlar-boshlar
6. Quyruqlar-boshlar-dumlar
7. Quyruqlar-dumlar-boshlar
8. Quyruq-quyruq-dumlar

Demak, mos kelmaydigan hodisalar ma'lum, berilgan hodisalar ketma-ketligidir. - bular mos kelmaydigan hodisalar.

Agar ikkita (yoki undan ortiq) mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli nima ekanligini aniqlamoqchi bo'lsak, biz ushbu hodisalarning ehtimolini qo'shamiz.

Boshlar yoki quyruqlar ikkita mustaqil hodisa ekanligini tushunishingiz kerak.

Agar biz ketma-ketlikning (yoki boshqa har qanday) sodir bo'lish ehtimolini aniqlamoqchi bo'lsak, unda biz ehtimollarni ko'paytirish qoidasidan foydalanamiz.
Birinchi otishda boshlar, ikkinchi va uchinchi otishlarda esa dumlar olish ehtimoli qanday?

Ammo agar biz bir nechta ketma-ketliklardan birini olish ehtimoli qanday ekanligini bilmoqchi bo'lsak, masalan, boshlar aynan bir marta kelganda, ya'ni. variantlar va, keyin biz bu ketma-ketliklarning ehtimolliklarini qo'shishimiz kerak.

Jami variantlar bizga mos keladi.

Har bir ketma-ketlikning paydo bo'lish ehtimolini qo'shib, xuddi shu narsani olishimiz mumkin:

Shunday qilib, biz aniq, mos kelmaydigan, hodisalar ketma-ketligining ehtimolini aniqlamoqchi bo'lganimizda, ehtimollarni qo'shamiz.

Qachon ko'paytirish va qachon qo'shish kerakligi haqida chalkashmaslikka yordam beradigan ajoyib qoida mavjud:

Keling, bir marta tanga tashlagan va boshlarni bir marta ko'rish ehtimolini bilmoqchi bo'lgan misolga qaytaylik.
Nima bo'ladi?

Chiqib ketishi kerak:
(boshlar VA dumlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA boshlar VA quyruqlar) YOKI (dumlar VA dumlar VA boshlar).
Bu shunday chiqadi:

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

5-misol.

Qutida qalamlar bor. qizil, yashil, to'q sariq va sariq va qora. Qizil yoki yashil qalamlarni chizish ehtimoli qanday?

Yechim:

Nima bo'ladi? Biz tortishimiz kerak (qizil YOKI yashil).

Endi tushunarli, keling, ushbu hodisalarning ehtimolini qo'shamiz:

Javob:

6-misol.

Agar zar ikki marta tashlansa, jami 8 tani olish ehtimoli qanday?

Yechim.

Qanday qilib ochko olishimiz mumkin?

(va) yoki (va) yoki (va) yoki (va) yoki (va).

Bitta (har qanday) yuzni olish ehtimoli .

Biz ehtimollikni hisoblaymiz:

Javob:

Trening.

O'ylaymanki, endi siz ehtimollarni qachon hisoblashingiz kerakligini, ularni qachon qo'shishni va qachon ko'paytirishni tushunasiz. Shunday emasmi? Keling, biroz mashq qilaylik.

Vazifalar:

Keling, kartalarni o'z ichiga olgan belkurak, yurak, 13 ta klub va 13 olmosni olaylik. Har bir kostyumdan Acegacha.

1. Klublarni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (biz birinchi chiqarilgan kartani kemaga qo'yamiz va aralashtiramiz)?
2. Qora kartochka (belkurak yoki to'qmoq) chizish ehtimoli qanday?
3. Rasm chizish ehtimoli qanday (jak, malika, qirol yoki eys)?
4. Ikkita rasmni ketma-ket chizish ehtimoli qanday (biz pastki chizilgan birinchi kartani olib tashlaymiz)?
5. Ikkita kartani olib, kombinatsiyani (jak, malika yoki qirol) va eysni yig'ish ehtimoli qanday? Kartochkalar chizilgan ketma-ketligi muhim emas.

Javoblar:

1. Har bir qiymatdagi kartalar to'plamida bu quyidagilarni anglatadi:
2. Voqealar bog'liq, chunki birinchi karta chiqarilgandan so'ng, kemadagi kartalar soni ("rasmlar" soni kabi) kamaydi. Dastlab kemada jami jaklar, malikalar, qirollar va eyslar mavjud, bu birinchi karta bilan "rasm" chizish ehtimolini anglatadi:

   Biz kemadan birinchi kartani olib tashlaganimiz sababli, bu kemada allaqachon kartalar, shu jumladan rasmlar qolganligini anglatadi. Ikkinchi karta bilan rasm chizish ehtimoli:

   Biz palubadan "rasm" va "rasm" ni chiqargan vaziyatga qiziqqanimiz sababli, ehtimolliklarni ko'paytirishimiz kerak:

   Javob:

3. Birinchi karta chiqarilgandan so'ng, palubadagi kartalar soni kamayadi, shuning uchun bizga ikkita variant mos keladi:
   1) Birinchi karta - Ace, ikkinchisi - Jek, Qirolicha yoki Qirol
   2) Birinchi karta bilan jek, malika yoki qirolni, ikkinchisi bilan esa eysni chiqaramiz. (ace va (jak yoki malika yoki qirol)) yoki ((jak yoki malika yoki qirol) va ace). Deckdagi kartalar sonini kamaytirishni unutmang!

Agar siz barcha muammolarni o'zingiz hal qila olgan bo'lsangiz, unda siz ajoyibsiz! Endi siz Yagona Davlat imtihonida ehtimollik nazariyasi muammolarini yong'oq kabi yorib olasiz!

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. O'RTACHA DARAJASI

Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik. Aytaylik, biz o'limni tashladik. Bu qanday suyak, bilasizmi? Buni ular yuzlarida raqamlari bo'lgan kub deb atashadi. Qancha yuz, shuncha raqam: nechtadan? Oldin.

Shunday qilib, biz zarlarni tashlaymiz va biz uning yuqoriga kelishini xohlaymiz yoki. Va biz tushunamiz.

Ehtimollar nazariyasida ular nima bo'lganini aytishadi xayrli hodisa(farovon bilan adashtirmaslik kerak).

Agar shunday bo'lsa, voqea ham qulay bo'lar edi. Hammasi bo'lib, faqat ikkita qulay voqea sodir bo'lishi mumkin.

Qanchalik noqulay? Jami mumkin bo'lgan hodisalar mavjud bo'lganligi sababli, bu noqulay hodisalar hodisalar ekanligini anglatadi (agar bu sodir bo'lsa yoki tushib qolsa).

Ta'rif:

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati. Ya'ni, ehtimollik barcha mumkin bo'lgan hodisalarning qaysi nisbati qulay ekanligini ko'rsatadi.

Ular ehtimollikni lotin harfi bilan ifodalaydi (aftidan inglizcha probability - probability so'zidan).

Ehtimollikni foiz sifatida o'lchash odatiy holdir (qarang va mavzular). Buning uchun ehtimollik qiymatini ko'paytirish kerak. Zar misolida, ehtimollik.

Va foizda: .

Misollar (o'zingiz qaror qiling):

1. Tanga uloqtirganda bosh paydo bo'lish ehtimoli qanday? Boshlarning qo'nish ehtimoli qanday?
2. Zarb otishda juft sonni olish ehtimoli qanday? Qaysi biri g'alati?
3. Oddiy, ko'k va qizil qalamlar qutisida. Biz tasodifiy bitta qalam chizamiz. Oddiysini olish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

1. Qancha variant bor? Bosh va quyruq - faqat ikkita. Ulardan qanchasi qulay? Faqat bittasi burgut. Shunday qilib, ehtimollik

   Quyruqlar bilan ham xuddi shunday: .

2. Jami variantlar: (kubning nechta tomoni bor, juda ko'p turli xil variantlar). Qulay bo'lganlar: (bularning barchasi juft raqamlar :).
   Ehtimollik. Albatta, bu toq raqamlar bilan bir xil.
3. Jami: . Qulay: . Ehtimollik: .

Umumiy ehtimollik

Qutidagi barcha qalamlar yashil rangda. Qizil qalam chizish ehtimoli qanday? Hech qanday imkoniyat yo'q: ehtimollik (axir, qulay voqealar -).

Bunday hodisa imkonsiz deb ataladi.

Yashil qalam chizish ehtimoli qanday? Jami hodisalar bo'lgani kabi, bir xil miqdordagi qulay hodisalar mavjud (barcha hodisalar qulay). Demak, ehtimollik yoki ga teng.

Bunday hodisa ishonchli deb ataladi.

Agar qutida yashil va qizil qalamlar bo'lsa, yashil yoki qizil rangni chizish ehtimoli qanday? Yana. Shuni ta'kidlaymiz: yashil rangni tortib olish ehtimoli teng, qizil esa teng.

Xulosa qilib aytganda, bu ehtimollar to'liq tengdir. Ya'ni, barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimolliklari yig'indisi yoki ga teng.

Misol:

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil rangni chizmaslik ehtimoli qanday?

Yechim:

Biz barcha ehtimollar qo'shilishini eslaymiz. Va yashil rangga ega bo'lish ehtimoli teng. Bu yashil rangni chizmaslik ehtimoli teng ekanligini anglatadi.

Ushbu hiylani eslang: Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar va ko'paytirish qoidasi

Siz tangani bir marta aylantirasiz va u ikkala marta ham yuqoriga chiqishini xohlaysiz. Buning ehtimoli qanday?

Keling, barcha mumkin bo'lgan variantlarni ko'rib chiqamiz va ularning qanchaligini aniqlaymiz:

Boshlar-boshlar, dumlar-boshlar, boshlar-dumlar, dumlar-dumlar. Yana nima?

Jami variantlar. Ulardan faqat bittasi bizga mos keladi: Eagle-Eagle. Umuman olganda, ehtimollik teng.

Yaxshi. Endi tangani bir marta aylantiramiz. Matematikani o'zingiz bajaring. Bo'ldimi? (javob).

Siz har bir keyingi otish qo'shilishi bilan ehtimollik ikki baravar kamayganini payqadingiz. Umumiy qoida deyiladi ko'paytirish qoidasi:

Mustaqil hodisalarning ehtimoli o'zgaradi.

Mustaqil hodisalar nima? Hammasi mantiqiy: bular bir-biriga bog'liq bo'lmaganlar. Misol uchun, tangani bir necha marta tashlaganimizda, har safar yangi otish amalga oshiriladi, uning natijasi avvalgi barcha otishlarga bog'liq emas. Biz bir vaqtning o'zida ikki xil tangani osongina tashlashimiz mumkin.

Ko'proq misollar:

1. Zarlar ikki marta tashlanadi. Ikkala marta ham uni olish ehtimoli qanday?
2. Tanga bir marta tashlanadi. Uning birinchi marta tepaga, keyin esa ikki marta dumga tushishi ehtimoli qanday?
3. O'yinchi ikkita zar tashlaydi. Ulardagi sonlar yig‘indisi teng bo‘lish ehtimoli qanday?

Javoblar:

1. Hodisalar mustaqil, ya'ni ko'paytirish qoidasi ishlaydi: .
2. Boshlarning ehtimoli teng. Quyruqlarning ehtimoli bir xil. Ko'paytirish:
3. 12 ni faqat ikkita -ki o'ralgan holda olish mumkin: .

Mos kelmaydigan hodisalar va qo'shish qoidasi

To'liq ehtimollik darajasiga qadar bir-birini to'ldiradigan hodisalar mos kelmaydigan deb ataladi. Nomidan ko'rinib turibdiki, ular bir vaqtning o'zida sodir bo'lmaydi. Misol uchun, agar biz tangani aylantirsak, u bosh yoki dumga chiqishi mumkin.

Misol.

Bir quti qalam ichida, ular orasida ko'k, qizil, yashil, oddiy, sariq, qolganlari to'q sariq rangga ega. Yashil yoki qizil rangni chizish ehtimoli qanday?

Yechim.

Yashil qalam chizish ehtimoli teng. Qizil -.

Hammasi uchun qulay voqealar: yashil + qizil. Bu yashil yoki qizil chizish ehtimoli teng ekanligini anglatadi.

Xuddi shu ehtimollik quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin: .

Bu qo'shimcha qoida: mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

Aralash turdagi muammolar

Misol.

Tanga ikki marta tashlanadi. Rulolarning natijalari boshqacha bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim.

Bu shuni anglatadiki, agar birinchi natija boshlar bo'lsa, ikkinchisi quyruq bo'lishi kerak va aksincha. Ma’lum bo‘lishicha, ikki juft mustaqil hodisa mavjud bo‘lib, bu juftliklar bir-biriga mos kelmaydi. Qaerga ko'paytirish va qaerga qo'shish haqida qanday qilib chalkashmaslik kerak.

Bunday holatlar uchun oddiy qoida mavjud. “VA” yoki “YOKI” birikmalari yordamida nima sodir bo‘lishini tasvirlashga harakat qiling. Masalan, bu holatda:

U (boshlar va quyruqlar) yoki (dumlar va boshlar) chiqishi kerak.

“va” bog‘lovchisi bo‘lgan joyda ko‘paytirish, “yoki” bo‘lgan joyda esa qo‘shilish bo‘ladi:

O'zingiz sinab ko'ring:

1. Agar tanga ikki marta tashlansa, tanga ikki marta bir tomonga tushishi ehtimoli qanday?
2. Zarlar ikki marta tashlanadi. Umumiy ball olish ehtimoli qanday?

Yechimlar:

1. (Boshlar tushdi va dumlar tushdi) yoki (dumlar tushdi va quyruq tushdi): .
2. Variantlar qanday? Va. Keyin:
   Tushgan (va) yoki (va) yoki (va): .

Yana bir misol:

Bir marta tanga tashlang. Boshlarning kamida bir marta paydo bo'lish ehtimoli qanday?

Yechim:

Oh, qanday qilib variantlardan o'tishni istamayman ... Bosh-quyruq-dumlar, Eagle-bosh-dumlar, ... Lekin bunga hojat yo'q! Keling, umumiy ehtimollik haqida eslaylik. Esingizdami? Burgutning ehtimoli qanday hech qachon tushmaydi? Bu oddiy: boshlar doimo uchib ketadi, shuning uchun.

EHTIMOLLAR NAZARIYASI. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

Ehtimollik - qulay hodisalar sonining barcha mumkin bo'lgan hodisalar soniga nisbati.

Mustaqil hodisalar

Agar birining sodir bo'lishi ikkinchisining sodir bo'lish ehtimolini o'zgartirmasa, ikkita hodisa mustaqildir.

Umumiy ehtimollik

Barcha mumkin bo'lgan hodisalarning ehtimoli () ga teng.

Voqea sodir bo'lmasligi ehtimoli minusga teng.

Mustaqil hodisalar ehtimolini ko'paytirish qoidasi

Mustaqil hodisalarning ma'lum bir ketma-ketligining ehtimoli har bir hodisaning ehtimolliklari ko'paytmasiga teng

Mos kelmaydigan hodisalar

Mos kelmaydigan hodisalar - tajriba natijasida bir vaqtning o'zida sodir bo'lishi mumkin bo'lmagan hodisalar. Bir qator bir-biriga mos kelmaydigan hodisalar voqealarning to'liq guruhini tashkil qiladi.

Mos kelmaydigan hodisalarning ehtimoli qo'shiladi.

Nima bo'lishini tasvirlab, "VA" yoki "YOKI" birikmalaridan foydalanib, "VA" o'rniga ko'paytirish belgisini qo'yamiz va "OR" o'rniga qo'shimcha belgisini qo'yamiz.

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever darsligiga cheklovlarsiz kiring...

Guruch. 7.2. Voqea natijalarining ehtimolini hisobga olgan holda to'lov matritsasi

p i – hodisalarning i-oqibati ehtimoli.

M j – mat. Quyidagi formula bo'yicha aniqlanadigan harakat muqobillarining j-variantini tanlashda mezonni kutish:

Yuqoridagi ikkita yondashuv to'rt xil yechim tanlash algoritmini amalga oshirish imkonini beradi.

1. Maksimal ehtimollik qoidasiga asoslangan qaror - mezonning (foyda yoki daromad) eng mumkin bo'lgan qiymatlarini maksimallashtirish.

2. Maksimal ehtimollik qoidasiga asoslangan qaror - mezonning eng ehtimoliy qiymatlarini minimallashtirish (mumkin bo'lgan yo'qotishlar yoki to'g'ridan-to'g'ri yo'qotishlar).

3. Mezon (foyda yoki daromad) ning matematik kutishini (o'rtacha qiymatini) maksimallashtirish qoidasiga asoslangan qaror.

4. Mezonning (yo'qotishlar yoki zararlar) matematik kutilishini (o'rtacha qiymatini) minimallashtirish qoidasiga asoslangan qaror.

Ushbu bobda biz hozirgacha ko'rib chiqqan misollar bitta yechimni o'z ichiga oladi. Biroq, amalda, bitta qarorning natijasi bizni keyingi qarorni qabul qilishga majbur qiladi va hokazo. Ushbu ketma-ketlikni to'lov matritsasi bilan ifodalash mumkin emas, shuning uchun boshqa qaror qabul qilish jarayonidan foydalanish kerak.

Sxema qaror daraxti noaniqlik sharoitida bir nechta qarorlar qabul qilish zarur bo'lganda, har bir qaror avvalgisining natijasiga yoki voqealar natijasiga bog'liq bo'lganda qo'llaniladi.

Qaror daraxtini yaratishda siz muammoning tuzilishini aks ettiruvchi "magistral" va "novdalar" ni chizishingiz kerak.

· "Daraxtlar" chapdan o'ngga joylashgan. "Filiallar" qabul qilinishi mumkin bo'lgan muqobil qarorlar va bu qarorlardan kelib chiqadigan mumkin bo'lgan natijalarni ifodalaydi.

· Tugunlardan "filiallar" chiqadi. Ikki turdagi tugunlar mavjud.

Kvadrat tugun qaror qabul qilinadigan joyni ifodalaydi.

Dumaloq tugun turli xil mumkin bo'lgan natijalar paydo bo'ladigan joyni ifodalaydi.

· Diagrammada ikki turdagi "filiallar" qo'llaniladi:

Birinchisi, mumkin bo'lgan echimlar kvadratlaridan chiqadigan nuqta chiziqlar; ular bo'ylab harakatlanish qabul qilingan qarorlarga bog'liq. Qaror bilan bog'liq barcha xarajatlar tegishli nuqtali "filial" da ko'rsatilgan.

Ikkinchisi - mumkin bo'lgan natijalar doiralaridan chiqadigan qattiq chiziqlar. Ular bo'ylab harakatlanish voqealar natijasi bilan belgilanadi. Qattiq chiziq ma'lum bir natijaning ehtimolini ko'rsatadi.

qaror qabul qilish tugun.

hodisalarning mumkin bo'lgan natijalari uchun dallanadigan tugun.

novdalar, ular bo'ylab harakatlanish qabul qilinayotgan qarorga bog'liq.

novdalar, ular bo'ylab harakatlanish voqealar natijasiga bog'liq.

Yechim izlash uch bosqichga bo'lingan.

1-bosqich."Daraxt" qurilmoqda (misol amaliy mashg'ulotlarda muhokama qilinadi). Barcha qarorlar va ularning natijalari "daraxt" da ko'rsatilganda, variantlarning har biri hisoblab chiqiladi va oxirida uning pul daromadi ko'rsatiladi.

2-bosqich. Ular hisoblab chiqiladi va har bir natija ehtimolining tegishli tarmoqlariga joylashtiriladi.

3-bosqich. Ushbu bosqichda har bir "tugun" ning pul natijalari hisoblab chiqiladi va o'ngdan chapga kiritiladi. Har qanday xarajatlar kutilayotgan daromaddan chegiriladi.

"Yechim" kvadratlari to'ldirilgandan so'ng, ma'lum bir qaror uchun kutilayotgan eng yuqori daromadga olib keladigan "filial" tanlanadi (ushbu filialga o'q qo'yilgan).

Boshqa "filial" kesib tashlanadi va kutilgan daromad yechim kvadratining tepasida yoziladi.

Shunday qilib, uchinchi bosqichning oxirida maksimal daromadga olib keladigan qarorlar ketma-ketligi shakllanadi.

Printsipial jihatdan, mezon matni maksimal darajada oshirish bo'lishi mumkin. daromad kutishlari va so'kinishlarni minimallashtirish. yo'qotishlarni kutish.