Ikki o'lchovli fazoda aylanishni Dekart koordinata tizimida quyidagi chiziqli o'zgartirish matritsasi bilan bitta burchak th bilan tasvirlash mumkin:

Ijobiy burchaklar vektorning odatdagi o'ng koordinata tizimida soat sohasi farqli o'laroq, chap koordinatalar tizimida esa soat yo'nalishi bo'yicha aylanishiga mos keladi.

Aylanishning o'zi aylanish matritsasini vektorga ko'paytirish orqali sodir bo'ladi

Uch o'lchovli fazoda aylanish matritsasi

Dekart to'g'ri koordinata tizimining o'qi atrofida burchak bilan aylanish matritsalari α uch o'lchovli fazoda:

x o'qi atrofida aylanish:

,

Y o'qi atrofida aylanish:

,

Z o'qi atrofida aylanish:

,

Uch o'lchamli kosmosda siz foydalanishingiz mumkin

Dekart koordinata tizimidagi vektor aylanish matritsalari aylanishni belgilashning dastlabki ikkita usuliga mos keladi:

Biroq, matritsalarni ko'paytirish kommutativ emasligi sababli, ya'ni: shuning uchun uchta o'q atrofida aylangandan keyin koordinata tizimining holati aylanishlar ketma-ketligiga bog'liq bo'ladi, 6 xil turdagi aylanish matritsasi mavjud:

1) O'qlar atrofida aylanish: X -> Y -> Z

2) Shunga ko‘ra: X -> Z -> Y

3) Y -> X -> Z

4) Y -> Z -> X

5) Z -> X -> Y

6) Z -> Y -> X

Kerakli matritsani aylanish matritsalarini bir o'q atrofida (yuqorida berilgan) kerakli tartibda ketma-ket ko'paytirish orqali olish mumkin.

33-bilet. Teskari matritsaning xossalari

33) Teskari matritsa- bunday matritsa A −1 , asl matritsaga ko'paytirilganda A identifikatsiya matritsasi hosil bo'ladi E:

1), bu yerda aniqlovchini bildiradi.

2) har qanday ikkita teskari matritsa uchun A Va B.

3) qayerda * T transpozitsiya qilingan matritsani bildiradi.

4) har qanday koeffitsient uchun.

5) Agar chiziqli tenglamalar tizimini yechish kerak bo'lsa Ax = b, (b nolga teng bo'lmagan vektor) bu erda x kerakli vektor va agar A− 1 mavjud, demak x = A − 1 b. Aks holda, yoki yechim maydonining o'lchami noldan katta bo'ladi yoki umuman echimlar mavjud emas.

Matritsa usuli determinanti nolga teng bo'lmagan chiziqli algebraik tenglamalar sistemalarining yechimlari (teskari matritsa orqali yechish usuli) quyidagicha.

bilan chiziqli tenglamalar sistemasi berilsin n noma'lum (ixtiyoriy maydonda):

Keyin uni matritsa shaklida qayta yozish mumkin:

AX = B, Qayerda A- tizimning asosiy matritsasi; B Va X- mos ravishda tizimning bepul shartlari va echimlari ustunlari:

Ushbu matritsa tenglamasini chapdan ko'paytiramiz A− 1 - matritsa matritsaga teskari A:

Chunki A − 1 A = E, olamiz X = A − 1 B. Ushbu tenglamaning o'ng tomoni dastlabki tizimning yechim ustunini beradi. Ushbu usulni qo'llash sharti (shuningdek, tenglamalar soni noma'lumlar soniga teng bo'lgan bir jinsli chiziqli tenglamalar tizimi yechimining umumiy mavjudligi) A matritsasining degenerativ emasligidir. Zarur va etarli shart. chunki A matritsaning determinanti nolga teng emas:

Chiziqli tenglamalarning bir hil sistemasi uchun, ya'ni vektor bo'lganda B= 0, qarama-qarshi qoida to'g'ri: tizim AX= 0 faqat det bo'lsa, notrivial (ya'ni nolga teng bo'lmagan) yechimga ega A= 0. Bir jinsli va bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemalarining yechimlari orasidagi bunday bog`lanish Fredgolm alternativi deyiladi.

34-bilet. Bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan SLAE eritmalari orasidagi bog'lanish teoremasi.

Geterogen sistema: Ax=B, B≠0.

Bir jinsli sistema: Ax=0.

Teorema: 1. Bir jinsli bo lmagan sistemaning ikkita yechimini ayirib tashlasangiz, bir jinsli sistemaning yechimini olasiz.

2. Agar bir jinsli sistemaning eritmasini bir jinsli bo lmagan sistemaning eritmasiga qo shsangiz, bir jinsli bo lmagan sistemaning eritmasi olinadi.

Isbot:

1) c 1, c 2 – geterogen sistemaning ikkita eritmasi.

Ac 1 =B; Ac 2 = B. Birinchi sistemadan ikkinchi sistemani ayiramiz: Ac 1 -Ac 2 = 0; A(c 1 -c 2)=0; s 1 -s 2 – bir jinsli sistemaning eritmasi.

2) Ac n =B – geterogen sistemaning eritmasi.

Ac o =0 - bir jinsli sistemaning eritmasi.

n + As o = B sifatida. A(c n + c o) = B. c n + c o - bir jinsli bo'lmagan sistemaning eritmasi.

Bilet 35. SLAE ning nomuvofiqligi. Gauss usuli.

Agar tizimning yechimlari bo'lmasa, u nomuvofiq deb ataladi.

Gauss usuli yordamida SLAE ni hal qilish algoritmi ikki bosqichga bo'lingan:

1) Birinchi bosqichda to'g'ridan-to'g'ri harakat deb ataladigan narsa, satrlar bo'ylab elementar o'zgartirishlar orqali tizim bosqichli yoki uchburchak shaklga keltirilsa yoki tizim mos kelmasligi aniqlanganda amalga oshiriladi. Ya'ni, matritsaning birinchi ustuni elementlari orasidan nolga teng bo'lmagan birini tanlang, satrlarni qayta tartiblash orqali uni eng yuqori holatga o'tkazing va hosil bo'lgan birinchi qatorni qayta tartiblashdan keyin qolgan qatorlardan ayirib, uni qiymatga ko'paytiring. ushbu satrlarning har birining birinchi elementining birinchi qatorning birinchi elementiga nisbatiga teng bo'lib, uning ostidagi ustunni nolga tenglashtiradi. Ko'rsatilgan o'zgartirishlar bajarilgandan so'ng, birinchi qator va birinchi ustun aqliy ravishda kesib tashlanadi va nol o'lchamdagi matritsa qolguncha davom ettiriladi. Agar biron bir iteratsiyada birinchi ustunning elementlari orasida nolga teng bo'lmagan element bo'lmasa, keyingi ustunga o'ting va shunga o'xshash amalni bajaring.

2) Ikkinchi bosqichda teskari harakat deb ataladigan harakat amalga oshiriladi, uning mohiyati barcha olingan asosiy o'zgaruvchilarni asosiy bo'lmaganlar nuqtai nazaridan ifodalash va asosiy echimlar tizimini qurish yoki agar barcha o'zgaruvchilar bo'lsa. asosiy bo‘lsa, chiziqli tenglamalar sistemasining yagona yechimini son bilan ifodalang. Ushbu protsedura oxirgi tenglamadan boshlanadi, undan mos keladigan asosiy o'zgaruvchi ifodalanadi (va faqat bittasi mavjud) va oldingi tenglamalarga almashtiriladi va hokazo, "qadamlar" ga ko'tariladi. Har bir satr aynan bitta asosiy o'zgaruvchiga to'g'ri keladi, shuning uchun oxirgi (eng yuqori)dan tashqari har bir qadamda vaziyat oxirgi satr holatini aynan takrorlaydi.

y=kx+b tenglama qiyalikli to‘g‘ri chiziq tenglamasi deyiladi; k - burchak koeffitsienti, b - Oy o'qi bo'yicha to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentning boshlang'ich nuqtasidan hisoblangan qiymati. To'g'ri chiziqning Ox o'qiga moyillik burchagi tangensi to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti deyiladi. k=tg(alfa).

Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak:

Birinchi qator: L 1, n 1 (p 1,q 1,r 1).

Ikkinchi to'g'ri chiziq: L 0, n 0 (p, q, r).

L 1 // L 0; n 1 // n 0 ; p 1 /r=q 1 /q= r 1 /r – 2 chiziqning parallellik sharti.

L 1 ﬩ L 0 ; n 1 fin 0; (n 1 ,n)=0; pp 1 +qq 1 +rr 1 =0 – 2 chiziq parallellik sharti.

Cosph=(n 1 ,n)/|n 1 |*|n 0 |

Lobachevskiy tekisligida ikkita to'g'ri chiziq kesishishi yoki qaysidir yo'nalishda parallel bo'lishi yoki bir-biridan farq qilishi mumkin. Shuning uchun, Lobachevskiy tekisligida uch turdagi chiziqlar qalamlari mavjud:

1) to'plamning markazi deb ataladigan bir nuqtada kesishgan chiziqlar to'plami; bunday nur markaziy yoki elliptik deb ataladi;

2) ma'lum bir to'g'ri chiziqqa berilgan yo'nalishda parallel bo'lgan to'g'ri chiziqlar to'plami, to'plamning o'qi deb ataladi; bunday nur parabolik deb ataladi;

3) qandaydir chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan divergent chiziqlar to‘plami, to‘plamning asosi deb ataladi; bunday qalam giperbolik deb ataladi.

Tekislikdagi chiziqlarning nisbiy holati.

Fazodagi to'g'ri chiziqlar parallel, kesishuvchi va kesishuvchi bo'lishi mumkin. Keling, har bir ishni batafsil ko'rib chiqaylik.

1. Parallel to‘g‘ri chiziqlar.

Parallel chiziqlar - bir tekislikda joylashgan va umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita chiziq.

Parallel chiziqlarning istalgan tekislikka proyeksiyalari (bu chiziqlarga perpendikulyar emas) paralleldir. Agar AB//CD bo'lsa, A 1 B 1 //C 1 D 1; A 2 B 2 //C 2 D 2; A 3 B 3 //C 3 D 3 (33-rasm). Umumiy holatda qarama-qarshilik ham to'g'ri.

Kuchlar, momentlar va hokazolar vektorlarini bir koordinata sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish uchun elementlari dastlabki va aylangan koordinatalar sistemalarining o'qlari orasidagi burchaklarning kosinuslari bo'lgan o'tish matritsasini hisoblash kerak. Ushbu matritsa bir koordinata tizimidan boshqasiga o'tishga imkon beruvchi aylanish burchaklarining ketma-ketligi bilan belgilanadi. Bunday o'tishni amalga oshirish uchun koordinata tizimining uchtadan ko'p bo'lmagan aylanishi kerak. Burilish burchaklarining ketma-ketligini tanlash odatda muammoning fizik mazmuni bilan belgilanadi. Bu boshqaruv tizimining asboblari yordamida o'lchanadigan burchaklar, aerodinamik yuklar bog'liq bo'lgan burchaklar va boshqalar bo'lishi mumkin.

Misol tariqasida boshlang'ich (inertial) 0o,x/„_u/„2/„ o'qlari orasidagi burchaklarning yo'nalish kosinuslari matritsasini hisoblashni ko'rib chiqing. xyg koordinata tizimlari. Ikkala tizimning boshlanishi mos kelsin. Birinchi burilish burchak ostida amalga oshiriladi f inersiya o'qi atrofida Oo,u7„ (1.5-rasm). Ikkinchi aylanish oraliq o'q 0(),2 atrofida sodir bo'ladi " burchak ostida d. Nihoyat, uchinchi aylanish Ox o'qi atrofida 7 burchak orqali amalga oshiriladi. Shunday qilib, natijada

Guruch. 1.5. Burchaklar bo'yicha ketma-ket aylanishlar orqali boshlang'ich koordinatalar tizimidan bog'langan tizimga o'tish f, d, 7 bilan bog'langan Ook boshlang'ich koordinata tizimidan o'tish mavjud Ohu g(1.5-rasm). Aynan shu burchaklar odatda boshqaruv tizimining sensorlari yordamida o'lchanadi.

Guruch. 1.6. Burchaklar orqali ketma-ket burilishlar f, &, 7

Burchak f Ox samolyotining uzunlamasına o'qining Oo tekisligiga proyeksiyasi o'rtasida ?x/„g1 „ boshlang'ich koordinatalar sistemasi va o'qi Oo,.t/„ deyiladi egilish burchagi. Burchak d Samolyotning uzunlamasına o'qi va tekislik orasidagi OO/L7„2/„ deyiladi. burchak burchagi. Bog'langan Oy o'qi va Oo tekisligi orasidagi 7-burchak ?hu" chaqirdi burilish burchagi. Ko'pincha ballistika muammolarida ishlatiladigan bu burchaklar mahalliy vertikal bilan bog'liq bo'lgan inertial koordinatalar tizimida GOST 20058-74 bo'yicha aniqlangan mos keladigan burchaklardan farq qiladi.

Yo'nalish kosinus matritsasi elementlari /, /, birlik vektorlarining mos keladigan proyeksiyalarini ifodalaydi. Kimga, tegishli o'qlar bo'ylab, boshlang'ich o'qlarga yo'naltirilgan. Ushbu proektsiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash juda qiyin, shuning uchun biz birinchi navbatda burchaklar orqali individual aylanishlar natijasida hosil bo'lgan o'tish matritsalarini ko'rib chiqamiz. f, g), 7. Ta'riflangan metodologiyaga ko'ra, biz har safar aylantirilgan koordinatalar tizimining o'qlari bo'ylab yo'naltirilgan birlik vektorlarini dastlabki koordinatalar tizimining o'qlariga loyihalashtiramiz (1.6-rasm). Keyin burchaklar bo'yicha ketma-ket aylanishlarga mos keladigan yo'nalish kosinuslarining matritsalarini hisoblash juda oddiy f, d, 7:

Ko'rib chiqilayotgan koordinatalar tizimini o'zgartirishga ko'ra, dastlabki boshlanishdan bog'langan koordinatalar tizimiga o'tishga mos keladigan yo'nalish kosinuslari matritsasi alohida matritsalarning mahsuloti sifatida hisoblanadi:

Matritsalarni ko'paytirish orqali biz olamiz

Agar boshlang'ich koordinatalar tizimida ma'lum bir vektor uning komponentlari bilan ko'rsatilgan bo'lsa

keyin bog'langan koordinatalar tizimidagi ushbu vektorning komponentlari

matritsa yordamida hisoblash mumkin b: yoki

Formula (1.2.2) vektorning dastlabki boshlang'ichdan bog'langan koordinatalar tizimiga o'zgarishini aniqlaydi.

Bog'langandan boshlang'ich koordinatalar tizimiga o'tish teskari matritsa yordamida amalga oshiriladi L~l(yoki transpozitsiyalangan matritsa // matritsaning ortonormalligi tufayli L):

Ushbu usuldan foydalanib, tezlik koordinata tizimidan bog'langan tizimga o'tish matritsasini topishingiz mumkin. Bunday holda, biz samolyot simmetriya tekisligiga ega bo'lgan holat bilan cheklanamiz va tezlik vektorining yo'nalishi hujum burchaklari a va yon tomonga siljish bilan belgilanadi. ?3:

Ixtiyoriy vektorni qayta hisoblash av, uning komponentlari bo'yicha tezlik koordinatalari tizimida ko'rsatilgan

bog'langan koordinatalar tizimiga formula bo'yicha amalga oshiriladi

Shunday qilib, bir koordinata tizimining boshqasiga nisbatan o'rnini aniqlaydigan berilgan burchaklar uchun har doim bu burchaklar orqali ketma-ket aylanishlarga mos keladigan alohida matritsalarning mahsuloti sifatida o'tish matritsasini hisoblash mumkin.

Aylanish matritsasi(yoki yo'nalish kosinus matritsasi) - Evklid fazosida o'zining ortogonal o'zgarishini amalga oshirish uchun ishlatiladigan ortogonal matritsa. Har qanday vektor aylanish matritsasi bilan ko'paytirilsa, vektorning uzunligi saqlanib qoladi. Aylanish matritsasining determinanti bittaga teng.
Odatda, koordinatalar tizimini (asosini) aylantirishda o'tish matritsasidan farqli o'laroq, ustun vektorining aylanish matritsasiga ko'paytirilganda vektorning koordinatalari vektorning o'zi (va) aylanishiga mos ravishda o'zgaradi, deb ishoniladi. koordinata o'qlarining aylanishi emas, ya'ni aylantirilgan vektorning koordinatalari bir xil qo'zg'almas koordinatalar tizimida olinadi). Shu bilan birga, ikkala matritsa orasidagi farq faqat aylanish burchagi belgisida bo'lib, ikkinchisidan aylanish burchagini teskarisiga almashtirish orqali olish mumkin; ikkalasi ham oʻzaro teskari va bir-biridan transpozitsiya yoʻli bilan olinishi mumkin.

Uch o'lchovli fazoda aylanish matritsasi

Uch o'lchovli fazoda har qanday aylanish uchta ortogonal o'q atrofida aylanishlar tarkibi sifatida ifodalanishi mumkin (masalan, Dekart koordinata o'qlari atrofida). Ushbu kompozitsiya mos keladigan uchta aylanish matritsalarining mahsulotiga teng bo'lgan matritsaga mos keladi.
Dekart koordinata tizimining o'qi atrofida uch o'lchovli fazoda a burchak ostida aylanish matritsalari:
x o'qi atrofida aylanish:

Y o'qi atrofida aylanish:

Z o'qi atrofida aylanish:

Transformatsiyalardan so'ng biz formulalarni olamiz:
X o'qi
x"=x;
y":=y*cos(L)+z*sin(L) ;
z":=-y*sin(L)+z*cos(L) ;

Y o'qi
x"=x*cos(L)+z*sin(L);
y"=y;
z"=-x*sin(L)+z*cos(L);

Z o'qi
x"=x*cos(L)-y*sin(L);
y"=-x*sin(L)+y*cos(L);
z"=z;

Barcha uch burilish bir-biridan mustaqil ravishda amalga oshiriladi, ya'ni. agar Ox va Oy o'qlari atrofida aylanish zarur bo'lsa, avval Ox o'qi atrofida aylanish amalga oshiriladi, keyin hosil bo'lgan nuqtaga nisbatan Oy o'qi atrofida aylanish amalga oshiriladi.

Bunday holda, musbat burchaklar vektorning o'ng koordinatalar tizimida soat sohasi farqli o'laroq, chap koordinatalar tizimida esa mos keladigan o'qning yo'nalishiga qarama-qarshi bo'lganida soat yo'nalishi bo'yicha aylanishiga mos keladi. To'g'ri koordinatalar tizimi to'g'ri asosni tanlash bilan bog'liq (gimlet qoidasiga qarang).

8-qism - burchak tezliklarining integratsiyasi, aylanish matritsalari



11-qism - burchak tezliklarining integratsiyasi, yuqori tartibli usullar (ishlab chiqishda)






Aylanish matritsalari yordamida burchak tezliklarini integrallash

Biz saylov poygasini davom ettirmoqdamiz - qaysi burchak tezligi integratori mahsulotimiz boshqaruvida (so'zma-so'z) munosib o'rin egallaydi?

Biz Eyler-Krilov burchaklarida tuproqni allaqachon qazib oldik - bular, albatta, hurmatli va munosib ismlar, lekin ular juda keksa - ular boshlarini zenitga ko'tara olmaydilar, darhol boshlari aylana boshlaydilar va osilib qolganlar. pastga birdan ish qobiliyatini yo'qotadi. Va umuman olganda, bizga jinoyatchilar kerak emas (burchaklarga asoslangan tizimlar)!

Bugun biz aylanish matritsalarini ko'rib chiqamiz - 9 yo'nalishli kosinuslar noto'g'ri bo'lishi mumkin emas, shunday emasmi?

Birlashtirilgan o'qlar uchun kinematik tenglama (burchak tezligi mahsulotning o'qlariga proyeksiyalanganda) quyidagi shaklni oladi:

Bu yerda A - orientatsiya matritsasi.
Dt qadami uchun taxminiy integratsiya usulini yozishimiz mumkin:

Bu usul faqat chiziqli bo'lib, u faqat qo'shish va ko'paytirishdan foydalanadi, sinf sifatida yagona nuqtalar mavjud emas.
Biz darhol payqashimiz mumkin bo'lgan kamchiliklardan biri bu uning noqulayligi: biz matritsalarni ifodalash uchun 9 ta raqamdan foydalanamiz va eng oddiy usuldan foydalangan holda ("birinchi tartib") har bir integratsiya bosqichi 18 ta ko'paytirish va 18 ta qo'shishni talab qiladi ("biladigan" maxsus usulsiz). asosiy diagonal bo'ylab birliklar - jami 27 ko'paytirish). Agar biz uni komponentlar bo'yicha yozadigan bo'lsak, biz olamiz (ustki belgisi 1 - yangi qiymatlar, 0 yuqori belgisi bilan - eski):

Matritsa yozuvi bu ichki murakkablikni chiroyli hisob-kitoblar orqasida yashirishga imkon beradi, shuning uchun biz nima bilan shug'ullanayotganimizni eslab qolish uchun ba'zan hisob-kitoblarni "boshqa" yozish foydali bo'ladi.
Biroq, hatto eng qadimgi bort kompyuterlarida ham unumdorlikning pastligi bilan bog'liq muammolar bo'lmaydi - yaxshi, kompyuter uchun 36 ta operatsiya nima!?

Yo'q, aylanish matritsalarining haqiqiy Axilles tovoni shundan iboratki, vaqt o'tishi bilan ular aylanish matritsalari bo'lishni to'xtatadi va ularni yo'lga qaytarish unchalik oson emas...
Boshlang'ich orientatsiya matritsasi birlik bo'lsin, ya'ni inertial va bog'langan koordinata tizimlarining o'qlari mos kelsin:

72 qadamdan so'ng biz quyidagiga teng orientatsiya matritsasiga erishamiz:

Holbuki, ular identifikatsiya matritsasiga (360 gradusga aylanish!) etib kelishlari kerak edi.
Ushbu matritsani ikkita ko'paytma sifatida yozishimiz mumkin:

Ulardan ikkinchisi Z o'qi bo'ylab 0,9 ° burchak ostida aylanish matritsasi - bu juda katta qadam tufayli to'plangan integratsiya xatosi. Nisbiy nuqtai nazardan, xato unchalik katta emas: 0,9/360 = 0,25%, bu biz qanchalik katta qadam tashlaganimizni hisobga olsak, unchalik yomon emas.
Ammo birinchi matritsa X, Y o'qlari bo'ylab masshtablanadi.Z komponentli nolga ega vektor shunchaki uzunligini oshiradi - ko'pincha bu unchalik yomon emas - hech bo'lmaganda vektor yo'nalishini o'zgartirmaydi. Xuddi shu tarzda, vektor (0;0;1) T o'zgarishsiz qoladi - hamma narsa to'g'ri.
Eng qiziqarli narsa oraliq vektorlar bilan sodir bo'ladi.
Masalan, vektor

ga aylanadi

u nafaqat hajmini oshiradi, balki masshtablash tufayli yo'nalishni ham o'zgartiradi! Ilgari u X-Y tekisligiga 45 ° burchak ostida "qaragan" bo'lsa, endi 37 ° burchak ostida - xato endi 0,9 ° emas, balki 8 ° gacha!

Bu alohida holatda, biz aylanma va masshtabni alohida ajratib, matritsani osonlikcha faktorlarga ajrata oldik. Buni qila olsak, vaziyatni qanday tuzatish kerakligi aniq - biz faqat aylanish matritsasini qoldirib, masshtabni olib tashlashimiz kerak!
Ammo endi tasavvur qilaylik, Z o'qi atrofida aylangandan so'ng, biz asbobning X o'qi atrofida 30 daraja aylanishni ham amalga oshirdik:

Kosmosning boshqa o'zgarishlaridan xalos bo'lgan bu raqamlar to'plamidan burilishlarni eng maqbul tarzda qanday ajratish mumkin - savol hali ham ochiq ...
Eslatib o'tamiz, orientatsiya matritsasining ustunlari inertial sanoq sistemasidagi bazis vektorlarining koordinatalari hisoblanadi. Ushbu vektorlar birlik uzunligiga ega bo'lishi va o'zaro perpendikulyar bo'lishi kerak, ya'ni quyidagi "ulanish tenglamalarini" yozishimiz mumkin (bu holda, yuqoridagi ikkitasi ko'rsatkichdir):

Haqiqatan ham: 9 matritsa koeffitsienti bilan biz aniq 3 daraja erkinlikka ega bo'lishimiz kerak, shuning uchun bizga qo'shimcha 6 tenglama kerak. Keling, bu erda nima bo'layotganini tekshirib ko'raylik:
1-bazi vektorning uzunligi: 1,314
2-bazi vektorning uzunligi: 1,243
3-bazi vektorning uzunligi: 1,087
1 va 2 orasidagi burchak: 90 °
2 va 3 orasidagi burchak: 103,47 °
1 dan 3 gacha bo'lgan burchak: 90 °

Ortonormal asos bunday bo'lishni to'xtatdi! Biz buni tushunamiz, lekin uni yana ortonormal qilish uchun 9 qiymatni qanday qilib aniq sozlashimiz mumkin?

Ortonormal asosni qurishning eski yaxshi usulidan foydalanishingiz mumkin. Biz boshlang'ich bazis vektorlarini belgilaymiz e 1, e 2, e 3:

O'zgartirilgan bazani chaqiraylik n 1, n 2, n 3.
Birinchi vektorni normallashtiramiz:

Ikkinchi vektordan biz uning proektsiyasini birinchisiga ayirib tashlaymiz, shundan so'ng biz ham normallashtiramiz:

Nihoyat, uchinchi vektordan uning proyeksiyasini birinchi va ikkinchisiga ayirib, keyin normallashtiramiz:

Ushbu formulalarda ma'lum bir ayyorlik bor: biz yangi 9 ni olish uchun barcha 9 asl koeffitsientdan foydalanganmiz, endi ortonormal. Aslida, dan e 3 Bu umuman muhim emas! Avval biz undan keraksiz hamma narsani ayirib tashlaymiz, shunda u to'g'ri chiziqda, o'zaro perpendikulyar bo'ladi. n 1, n 2, va keyin biz uning uzunligini normallashtiramiz - ha, bu vektordan yashash joyi qolmadi! Biz ham shunday yozishimiz mumkin:

va mutlaqo bir xil natijaga erishing! Ya'ni, aslida, bu usul dastlabki 6 koeffitsientni oladi va oxirgi 3 koeffitsientni butunlay chiqarib tashlaydi. Va birinchi 6 tasi tengsiz bo'lib chiqadi: agar biz birinchi ustunga "shartsiz" ishonsak, ikkinchisiga - faqat u shartlarga zid bo'lmaguncha. birinchi.

Keling, B matritsamizdagi normalizatsiya protsedurasini sinab ko'raylik:

Shu bilan birga, kutilgandek, n 3 Hisoblash usulidan qat'i nazar, oxirgi ifodalanadigan o'nlik kasrgacha bir xil bo'lib chiqdi - orqali e 3 yoki vektor mahsuloti orqali.

Endi biz omadlimiz - biz matritsani to'liq normallashtirdik, shunda u aynan nima kerakligini ifodalaydi - Z o'qi atrofida 0,9 ° aylanish va X o'qi atrofida 30 ° aylanish.
Ammo keling, unga boshqa tomondan yondashishga harakat qilaylik - yo'q e 1, e 2, e 3, A e 3, e 2, e 1. Siz nima olasiz:

X o'qi bo'yicha 30 ° burilish o'rniga, bu safar biz eng yomon holatni samarali amalga oshirib, 37 ° burilish oldik!
To'g'ri yondashuv optimallashtirish muammosini hal qilish bo'ladi: har bir matritsa koeffitsienti foydali signal va shovqinning yig'indisidir. Eski koeffitsientlar bilan ifodalangan yangi koeffitsientlarni toping, shunda o'rtacha kvadrat xato minimal bo'ladi. Ammo shunga qaramay, biz eng yaxshi ishlashga kafolat bera olmaymiz - taxminiy chekli aylanish matritsalaridan foydalanib, biz tasodifiy xatoni kiritamiz deb kim aytdi!?
Keling, bizning muammomiz nima ekanligini aniqlaylik. Biz aniq yakuniy aylanish matritsasini yozishni xohlamadik, chunki u quyidagicha ko'rinadi:

(aylanishlar tartibini o'zgartirib, biz turli xil W matritsalarini olamiz, ammo ularning barchasi qat'iy aylanish matritsalari bo'ladi)
Ochko'zlik tufayli biz buni soddalashtirdik:

Va biz tushirgan kichiklikning ikkinchi tartibi shartlari matritsa shaklining o'zgarishiga olib kelishini aniqladik. Z o'qi atrofida aylanish misolida biz olamiz

Teylor seriyasini kichiklikning 3-tartibiga qadar kengaytirsak, bizda:

Shunga o'xshash ta'sirni yana bir bor ko'ramiz: integratsiya xatosi bu safar juda kichik bo'lib, bir kamon soniyadan kamroqni tashkil qiladi, shu bilan birga o'lchovda eng sezilarli buzilish yana paydo bo'ladi. Ko'rinishidan, xato juda kichik - mingdan biridan kamroq - lekin bu XY tekisligiga 45 ° burchak ostida yo'naltirilgan vektor unga qo'shimcha 1 yoy daqiqasiga "bosilishi" uchun etarli.

Shunday qilib, hatto kichik integratsiya bosqichidan foydalanish va yuqori tartibli usullardan foydalanish ham matritsada "axlat" to'planishi muammosini hal qilmaydi. Va qancha vaqt o'tsa, matritsada shunchalik ko'p axlat bo'ladi, biz uni faqat foydali ma'lumotlar bilan birga olib tashlashimiz mumkin.

Yuqorida aytilganlarning barchasi aylanish matritsalari burchak tezliklarini birlashtirish uchun mutlaqo yaroqsiz degani emas. Agar ma'lum bir ehtiyotkorlik kuzatilsa, ularni qo'llash mumkin - "ortonormalizatsiya" protsedurasini ta'minlash juda muhim, ammo iloji bo'lsa, u bilan o'tmang - hamma joyda ikki yoki kengaytirilgan aniqlikka o'ting, integratsiya bosqichini kamaytiring, yuqori tartibli raqamli raqamlardan foydalaning. usullari.

Ammo keyingi bobda bilib olganimizdek, kvaternionlar aylanish matritsalarining ko'pgina kamchiliklaridan xoli bo'lib, bu jangda g'olib chiqadilar.

Davomi bor...

Aylanish matritsasi koordinata tizimini yoki ob'ektni, sahnani aylantirish uchun ishlatiladi.

Asosiy o'qlar atrofida aylanish matritsalari.

Ixtiyoriy o'q atrofida aylanish matritsasi.

Umumiy aylanish matritsasi.

Men ob'ektning kosmosdagi o'rnini aniq belgilashni xohlayman. Ko'rinib turibdiki, har qanday pozitsiya turli o'qlar atrofida 3 ta aylanish bilan aniq belgilanadi. Lekin qanday tartibda aylanish va o'qlarni qanday tanlash kerakligi savol tug'iladi?

Umumlashtirilgan aylanish matritsasi turli yo'llar bilan belgilanishi mumkin. Bir tomondan, biz ob'ektni sobit o'qlar atrofida aylantirishimiz mumkin. Boshqa tomondan, ob'ekt bilan bog'langan o'qlar atrofida ular mahalliy deb ham ataladi. Shuni esda tutish kerakki, matritsalarni ko'paytirish operatsiyasi kommutativ emas, shuning uchun pozitsiyani yagona aniqlash uchun siz nafaqat 3 ta burchakni, balki matritsani ko'paytirish sxemasini ham bilishingiz kerak.

2 ta mashhur sxemalar mavjud.
1) Eyler burchaklari orqali aylanish matritsasi.
2) Samolyotning burchaklari bo'ylab aylanish matritsasi: yaw, pitch va roll.
Birinchisi ko'p sonli hisob-kitoblarni talab qilganligi sababli, amalda ikkinchisi odatda qo'llaniladi.

Eyler burchaklari orqali aylanish matritsasi.

Eyler burchaklari qattiq jismning yo'nalishini yagona aniqlovchi uchta burchak bo'lib, qo'zg'almas koordinatalar tizimidan harakatlanuvchiga o'tishni belgilaydi.
Harakatlanuvchi koordinatalar tizimi jismga biriktirilgan koordinatalar tizimidir. Ba'zan ular muzqaymoq tanada deb aytishadi. Burchaklarning ta'riflarini berishdan oldin, bizga yana bir narsa kerak. Tugunlar chizig'i ON - OXY va Oxy tekisliklarining kesishish chizig'i

a (yoki ph) - Ox o'qi va ON o'qi orasidagi burchak. Qiymatlar diapazoni)