"Kardano formulasi: tarix va qo'llanilishi" tadqiqot loyihasi. Kub tenglamalarni yechish Kardano teoremasi kub tenglamalarni yechish

MUNITIPAL VII “YOSHLAR: IJOD, IZLANISH, MUVAFFAQIYAT” TALABALAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI

Anninskiy shahar okrugi

Voronej viloyati

Bo'lim:MATEMATIKA

Mavzu:"Kardano formulasi: tarix va qo'llanilishi"

MKOU Anninskaya 3-sonli o'rta maktab, 9 "B" sinf

Niccolò Fontana Tartaglia (ital. NiccolòFontanaTartaglia, 1499-1557) - italyan matematiki.

Umuman olganda, tarix formulani dastlab Tartalya tomonidan kashf etilgani va Kardanoga tugallangan holda topshirilganligi haqida gapiradi, ammo Kardanoning o'zi bu faktni rad etdi, garchi u Tartalyaning formulani yaratishda ishtirok etganini inkor qilmasa ham.

"Kardano formulasi" nomi uni haqiqatda tushuntirgan va ommaga taqdim etgan olim sharafiga formula ortida mustahkam ildiz otgan.

1. O'rta asrlarda matematik bahslar.

O'rta asrlardagi bahslar har doim bo'sh shahar aholisini, yoshu qarilarni o'ziga tortadigan qiziqarli tomoshalarni taqdim etgan. Munozaralar mavzulari xilma-xil, ammo har doim ilmiy edi. Shu bilan birga, ilm-fan deganda, albatta, ilohiyot bo'lgan ettita liberal san'at ro'yxatiga kiritilgan narsa tushunilgan. Teologik tortishuvlar eng tez-tez sodir bo'lgan. Ular hamma narsa haqida bahslashdilar. Masalan, sichqonni muqaddas ruh bilan bog'lash kerakmi yoki yo'qmi, agar u marosimni iste'mol qilsa, Cumae Sibil Iso Masihning tug'ilishini bashorat qilishi mumkinmi, nima uchun Najotkorning aka-uka va opa-singillari kanonizatsiya qilinmaganligi va hokazo.

Mashhur matematik va unchalik mashhur bo'lmagan shifokor o'rtasida bo'lishi kerak bo'lgan bahs haqida faqat eng umumiy taxminlar qilingan, chunki hech kim hech narsani bilmas edi. Ularning biri ikkinchisini aldaganini aytishdi (aniq kimga va kimga ekani noma'lum). Maydonga yig‘ilganlarning deyarli barchasida matematika haqida eng noaniq fikrlar bor edi, lekin hamma bahs boshlanishini intiqlik bilan kutayotgan edi. Bu har doim qiziq edi, yutqazganning ustidan kulish mumkin edi, u to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishidan qat'i nazar.

Shahar ma'muriyatining soati beshga borganida, darvozalar ochilib, olomon soborga yugurdi. Qurbongohga kirish eshigini tutashtiruvchi markaziy chiziqning ikki tomonida ikki yon ustunlar yonida bahs yurituvchilar uchun moʻljallangan ikkita baland minbar oʻrnatilgan. Yig'ilganlar cherkovda ekanligiga e'tibor bermay, baland ovozda shovqin ko'tarishdi. Nihoyat, ikonostazni markaziy nefning qolgan qismidan ajratib turuvchi temir panjara oldida qora va binafsha rangli plash kiygan shahar qichqiruvchisi paydo bo'ldi va shunday dedi: “Milan shahrining taniqli fuqarolari! Endi siz bilan Breniyalik mashhur matematik Nikolo Tartalya gapiradi. Uning raqibi matematik va shifokor Geronimo Kardano bo'lishi kerak edi. Nikkolo Tartaglia Kardanoni uning "Arsmagna" kitobida unga tegishli Tartalyaga tegishli 3-darajali tenglamani yechish usulini nashr etganlikda ayblaydi. Biroq Kardanoning o'zi bahsga kela olmadi va shuning uchun shogirdi Luige Ferrarini yubordi. Shunday qilib, munozara ochiq deb e'lon qilindi, uning ishtirokchilari kafedralarga taklif qilindi. Kirish eshigining chap tomonidagi minbarga burni ilmoqli, jingalak soqolli, noqulay odam, qarama-qarshi minbarga esa yigirma yoshlardagi, kelishgan, o‘ziga ishongan chehrali yigit ko‘tarildi. Uning butun xatti-harakati uning har bir ishorasi va har bir so'zini mamnuniyat bilan qabul qilishiga to'liq ishonchni aks ettirdi.

Tartaliya boshlandi.

Hurmatli janoblar! Bilasizmi, 13 yil oldin men 3-darajali tenglamani yechish yo‘lini topib, keyin bu usuldan foydalanib, Fiori bilan bahsda g‘alaba qozondim. Mening usulim yurtdoshingiz Kardanoning e’tiborini tortdi va u mendan sirni bilish uchun bor makkorlik san’atini ishga soldi. U yolg'ondan ham, soxtalikdan ham to'xtamadi. Bundan 3 yil oldin Kardanoning algebra qoidalariga bag'ishlangan kitobi Nyurnbergda nashr etilganini ham bilasiz, u yerda uyatsiz o'g'irlangan mening metodim hamma uchun ochiq bo'lgan. Men Kardano va uning shogirdini musobaqaga chaqirdim. Men 31 ta masalani hal qilishni taklif qilganman, xuddi shu sonni menga raqiblarim taklif qilishgan. Muammolarni hal qilish uchun muddat belgilandi - 15 kun. 7 kun ichida men Kardano va Ferrari tomonidan tuzilgan ko'pgina muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Men ularni chop etdim va kurer orqali Milana yubordim. Biroq, men topshiriqlarimga javob olguncha to'liq besh oy kutishim kerak edi. Ular noto'g'ri hal qilindi. Bu ikkalasini ham ommaviy munozaraga chaqirishimga asos bo'ldi.

Tartalya jim qoldi. Yigit baxtsiz Tartalyaga qarab:

Hurmatli janoblar! Mening munosib raqibim o'z nutqining birinchi so'zlaridayoq menga va ustozimga shunchalik tuhmat aytishga ruxsat berdi; uning dalillari shunchalik asossiz ediki, birinchisini rad etish va sizning fikringizning nomuvofiqligini ko'rsatish menga qiyinchilik tug'dirmaydi. ikkinchisi. Avvalo, agar Nikkolo Tartalya o'z usulini ikkalamiz bilan ham ixtiyoriy ravishda baham ko'rsa, qanday aldamchilik haqida gapirish mumkin? Jeonimo Kardano esa algebraik qoidani ochishda raqibimning roli haqida shunday yozadi. Uning so'zlariga ko'ra, u emas, Kardano, "mening do'stim Tartalya shunday go'zal va hayratlanarli narsani kashf qilish sharafiga muyassar bo'lib, inson aql-zakovati va inson ruhining barcha iste'dodlaridan ustun turadi. Bu kashfiyot haqiqatan ham samoviy ne'mat, uni idrok etgan aql kuchining shunday ajoyib dalilidirki, uning uchun hech narsani erishib bo'lmaydigan deb hisoblab bo'lmaydi”.

Raqibim meni va ustozimni o'z muammolariga noto'g'ri yechim berganlikda aybladi. Ammo tenglamaning ildizi qanday qilib noto'g'ri bo'lishi mumkin, agar uni tenglamaga almashtirib, ushbu tenglamada ko'rsatilgan barcha amallarni bajarib, biz bir xillikka erishamiz? Agar senor Tartalya izchil bo'lishni istasa, biz, uning so'zlariga ko'ra, o'z ixtirosini o'g'irlab, taklif qilingan muammolarni hal qilish uchun ishlatganimiz, nima uchun noto'g'ri qaror qabul qilganimizga javob berishi kerak edi. Biz - ustozim va men Signor Tartalyaning ixtirosini unchalik ahamiyatli deb hisoblamaymiz. Bu ixtiro ajoyib. Bundan tashqari, asosan unga tayanib, men 4-darajali tenglamani echish yo'lini topdim va Arsmagnada o'qituvchim bu haqda gapiradi. Senor Tartalya bizdan nimani xohlaydi? U bahs bilan nimaga erishmoqchi?

Janoblar, janoblar, - qichqirdi Tartalya, - meni tinglashingizni so'rayman! Yosh raqibimning mantiqiy va so‘zli nutqi juda kuchli ekanini inkor etmayman. Ammo bu haqiqiy matematik dalilning o'rnini bosa olmaydi. Kardano va Ferrariga bergan muammolarim noto'g'ri hal qilindi, lekin buni ham isbotlayman. Darhaqiqat, masalan, yechilganlar orasidan tenglamani olaylik. Bu aniq...

Cherkovda aql bovar qilmaydigan shovqin ko'tarilib, baxtsiz matematik boshlagan jumlaning oxirini butunlay o'ziga singdirdi. Unga davom etishiga ruxsat berilmadi. Olomon undan jim turishini va Ferrari navbatni egallashini talab qilishdi. Tartalya bahsni davom ettirish mutlaqo befoyda ekanini ko'rib, shoshib minbardan tushdi va shimoliy ayvon orqali maydonga chiqdi. Olomon bahsning "g'olibi" Luidji Ferrarini vahshiyona kutib oldi.

Shunday qilib, tobora ko'proq yangi tortishuvlarga sabab bo'layotgan bu bahs tugadi. 3-darajali tenglamani yechish usuli aslida kimga tegishli? Biz hozir gaplashamiz - Nikolo Tartaglie. U buni kashf qildi va Kardano uni aldab, kashfiyot qilishdi. Va endi biz 3-darajali tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalovchi formulani Kardano formulasi deb atasak, bu tarixiy adolatsizlikdir. Biroq, bu adolatsizlikmi? Har bir matematikning kashfiyotdagi ishtiroki darajasini qanday hisoblash mumkin? Balki vaqt o'tishi bilan kimdir bu savolga mutlaqo to'g'ri javob bera oladi yoki balki sir bo'lib qolar...

1. Kardano formulasi

Zamonaviy matematik til va zamonaviy simvolizmdan foydalangan holda, Kardano formulasini quyidagi juda oddiy mulohazalar yordamida topish mumkin:

Bizga 3-darajali umumiy tenglama berilsin:

x 3 + bolta 2 + bx + c = 0,

(1)

Qayerdaa, b, c – ixtiyoriy haqiqiy sonlar.

(1) tenglamadagi o‘zgaruvchini almashtiramiz.X yangi o'zgaruvchiga yformula bo'yicha:

x 3 +ax 2 +bx+c = (y ) 3 + a(y ) 2 + b(y ) + c = y 3 3y 2 + 3y+ a(y 2 2y+ tomonidan = y 3 y 3 + (b

u holda (1) tenglama shaklni oladiy 3 + ( b

Agar yozuvni kiritsakp = b, q = ,

keyin tenglama shaklni oladiy 3 + py + q = 0.

Bu mashhur Kardano formulasi.

Kub tenglamaning ildizlariy 3 + py + q = 0 diskriminantga bog'liq

D=

AgarD> 0, keyinkub polinom uch xil haqiqiy ildizga ega.

AgarD< 0, то kub polinom bitta haqiqiy ildiz va ikkita murakkab ildizga ega (ular murakkab konjugat).

AgarD = 0, u koʻp ildizga ega (yoki koʻplikning bitta ildizi 2 va koʻplikning bir ildizi, ikkalasi ham haqiqiydir; yoki koʻplikning bitta haqiqiy ildizi 3).

2.4. Kub tenglamalarni yechishning universal usullariga misollar

Keling, Kardan formulasini aniq tenglamalarni echishda qo'llashga harakat qilaylik.

1-misol: x 3 +15 x+124 = 0

Bu yergap = 15; q = 124.

Javob:X

Kardano formulasi

Mostovoy

Odessa

O'rta asrlardagi bahslar har doim bo'sh shahar aholisini, yoshu qarilarni o'ziga tortadigan qiziqarli tomoshalarni taqdim etgan. Munozaralar mavzulari xilma-xil, ammo har doim ilmiy edi. Shu bilan birga, ilm-fan deganda, albatta, ilohiyot bo'lgan ettita liberal san'at ro'yxatiga kiritilgan narsa tushunilgan. Teologik tortishuvlar eng tez-tez sodir bo'lgan. Ular hamma narsa haqida bahslashdilar. Masalan, sichqonni muqaddas ruh bilan bog'lash kerakmi yoki yo'qmi, agar u marosimni iste'mol qilsa, Cumae Sibil Iso Masihning tug'ilishini bashorat qilishi mumkinmi, nima uchun Najotkorning aka-uka va opa-singillari kanonizatsiya qilinmaganligi va hokazo.

Mashhur matematik va unchalik mashhur bo'lmagan shifokor o'rtasida bo'lishi kerak bo'lgan bahs haqida faqat eng umumiy taxminlar qilingan, chunki hech kim hech narsani bilmas edi. Ularning biri ikkinchisini aldaganini aytishdi (aniq kimga va kimga ekani noma'lum). Maydonga yig‘ilganlarning deyarli barchasida matematika haqida eng noaniq fikrlar bor edi, lekin hamma bahs boshlanishini intiqlik bilan kutayotgan edi. Bu har doim qiziq edi, yutqazganning ustidan kulish mumkin edi, u to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishidan qat'i nazar.

Shahar ma'muriyatining soati beshga borganida, darvozalar ochilib, olomon soborga yugurdi. Qurbongohga kirish eshigini tutashtiruvchi markaziy chiziqning ikki tomonida ikki yon ustunlar yonida bahs yurituvchilar uchun moʻljallangan ikkita baland minbar oʻrnatilgan. Yig'ilganlar cherkovda ekanligiga e'tibor bermay, baland ovozda shovqin ko'tarishdi. Nihoyat, ikonostazni markaziy nefning qolgan qismidan ajratib turuvchi temir panjara oldida qora va binafsha rangli plash kiygan shahar qichqiruvchisi paydo bo'ldi va shunday dedi: “Milan shahrining taniqli fuqarolari! Endi siz bilan Breniyalik mashhur matematik Nikolo Tartalya gapiradi. Uning raqibi matematik va shifokor Geronimo Kardano bo'lishi kerak edi. Nikkolo Tartalya Kardanoni o'zining "Ars magna" kitobida unga tegishli Tartalyaga tegishli 3-darajali tenglamani yechish usulini oxirgi bo'lib nashr etganlikda ayblaydi. Biroq Kardanoning o'zi bahsga kela olmadi va shuning uchun shogirdi Luige Ferrarini yubordi. Shunday qilib, munozara ochiq deb e'lon qilindi, uning ishtirokchilari kafedralarga taklif qilindi. Kirish eshigining chap tomonidagi minbarga burni ilmoqli, jingalak soqolli noqulay bir yigit chiqdi, qarama-qarshi minbarga esa yigirma yoshlardagi chiroyli, o‘ziga ishongan chehrali yigit chiqdi. Uning butun xatti-harakati uning har bir ishorasi va har bir so'zini mamnuniyat bilan qabul qilishiga to'liq ishonchni aks ettirdi.

Tartaliya boshlandi.

Hurmatli janoblar! Bilasizmi, 13 yil oldin men 3-darajali tenglamani yechish yo‘lini topib, keyin bu usuldan foydalanib, Fiori bilan bahsda g‘alaba qozondim. Mening usulim yurtdoshingiz Kardanoning e’tiborini tortdi va u mendan sirni bilish uchun bor makkorlik san’atini ishga soldi. U yolg'ondan ham, soxtalikdan ham to'xtamadi. Bundan 3 yil oldin Kardanoning algebra qoidalariga bag'ishlangan kitobi Nyurnbergda nashr etilganini ham bilasiz, u yerda uyatsiz o'g'irlangan mening metodim hamma uchun ochiq bo'lgan. Men Kardano va uning shogirdini musobaqaga chaqirdim. Men 31 ta masalani hal qilishni taklif qilganman, xuddi shu sonni menga raqiblarim taklif qilishgan. Muammolarni hal qilish uchun muddat belgilandi - 15 kun. 7 kun ichida men Kardano va Ferrari tomonidan tuzilgan ko'pgina muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Men ularni chop etdim va kurer orqali Milana yubordim. Biroq, men topshiriqlarimga javob olguncha to'liq besh oy kutishim kerak edi. Ular noto'g'ri hal qilindi. Bu ikkalasini ham ommaviy munozaraga chaqirishimga asos bo'ldi.

Tartalya jim qoldi. Yigit baxtsiz Tartalyaga qarab:

Hurmatli janoblar! Mening munosib raqibim o'z nutqining birinchi so'zlaridayoq menga va ustozimga shunchalik tuhmat aytishga ruxsat berdi; uning dalillari shunchalik asossiz ediki, birinchisini rad etish va sizning fikringizning nomuvofiqligini ko'rsatish menga qiyinchilik tug'dirmaydi. ikkinchisi. Avvalo, agar Nikkolo Tartalya o'z usulini ikkalamiz bilan ham ixtiyoriy ravishda baham ko'rsa, qanday aldamchilik haqida gapirish mumkin? Jeonimo Kardano esa algebraik qoidani ochishda raqibimning roli haqida shunday yozadi. Uning so'zlariga ko'ra, u emas, Kardano, "mening do'stim Tartalya shunday go'zal va hayratlanarli narsani kashf qilish sharafiga muyassar bo'lib, inson aql-zakovati va inson ruhining barcha iste'dodlaridan ustun turadi. Bu kashfiyot haqiqatan ham samoviy ne'mat, uni idrok etgan aql kuchining shunday ajoyib dalilidirki, uning uchun hech narsani erishib bo'lmaydigan deb hisoblab bo'lmaydi”.

Raqibim meni va ustozimni o'z muammolariga noto'g'ri yechim berganlikda aybladi. Ammo tenglamaning ildizi qanday qilib noto'g'ri bo'lishi mumkin, agar uni tenglamaga almashtirib, ushbu tenglamada ko'rsatilgan barcha amallarni bajarib, biz bir xillikka erishamiz? Agar senor Tartalya izchil bo'lishni istasa, nega biz o'g'irlagan, lekin uning so'zlariga ko'ra, uning ixtirosi va uni taklif qilingan muammolarni hal qilish uchun ishlatganimiz noto'g'ri qaror qabul qilganimizga javob berishi kerak edi. Biz - o'qituvchim va men - Signor Tartalyaning ixtirosini unchalik ahamiyatli deb hisoblamaymiz. Bu ixtiro ajoyib. Bundan tashqari, asosan unga tayanib, men 4-darajali tenglamani echish yo'lini topdim va Ars Magna-da o'qituvchim bu haqda gapiradi. Senor Tartalya bizdan nimani xohlaydi? U bahs bilan nimaga erishmoqchi?

Janoblar, janoblar, - qichqirdi Tartalya, - meni tinglashingizni so'rayman! Yosh raqibimning mantiqiy va so‘zli nutqi juda kuchli ekanini inkor etmayman. Ammo bu haqiqiy matematik dalilning o'rnini bosa olmaydi. Kardano va Ferrariga bergan muammolarim to'g'ri hal qilinmadi, lekin buni ham isbotlayman. Darhaqiqat, masalan, yechilganlar orasidan tenglamani olaylik. Bu aniq...

Cherkovda aql bovar qilmaydigan shovqin ko'tarilib, baxtsiz matematik boshlagan jumlaning oxirini butunlay o'ziga singdirdi. Unga davom etishiga ruxsat berilmadi. Olomon undan jim turishini va Ferrari navbatni egallashini talab qilishdi. Tartalya bahsni davom ettirish mutlaqo befoyda ekanini ko'rib, shoshib minbardan tushdi va shimoliy ayvon orqali maydonga chiqdi. Olomon bahsning "g'olibi" Luidji Ferrarini vahshiyona kutib oldi.

...Borgan sari yangi-yangi tortishuvlarga sabab bo‘layotgan bu bahs shu tariqa tugadi. 3-darajali tenglamani yechish usuli aslida kimga tegishli? Biz hozir gaplashamiz - Nikolo Tartaglie. U buni kashf qildi va Kardano uni aldab, kashfiyot qilishdi. Va endi biz 3-darajali tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalovchi formulani Kardano formulasi deb atasak, bu tarixiy adolatsizlikdir. Biroq, bu adolatsizlikmi? Har bir matematikning kashfiyotdagi ishtiroki darajasini qanday hisoblash mumkin? Balki vaqt o'tishi bilan kimdir bu savolga mutlaqo to'g'ri javob bera oladi yoki balki sir bo'lib qolar...

Kardano formulasi

Zamonaviy matematik til va zamonaviy simvolizmdan foydalangan holda, Kardano formulasini quyidagi juda oddiy mulohazalar yordamida topish mumkin:

Bizga 3-darajali umumiy tenglama berilsin:

ax 3 +3bx 2 +3cx+d=0 (1)

Agar qo'ysangiz

, keyin tenglamani beramiz (1) aqlga

(2) , .

Keling, yangi noma'lum narsani kiritamiz U tenglikdan foydalanish

.

Ushbu iborani kiritish orqali (2) , olamiz

(3) ,

shuning uchun

Agar ikkinchi hadning son va maxraji ifodaga ko'paytirilsa

va natijada uchun ifodasini hisobga oling u"+" va "-" belgilariga nisbatan nosimmetrik bo'lib chiqadi, keyin biz nihoyat .

(Oxirgi tenglikdagi kubik radikallarning mahsuloti teng bo'lishi kerak p).

Bu mashhur Kardano formulasi. dan ketsangiz y Orqaga x, keyin 3-darajali umumiy tenglamaning ildizini aniqlovchi formulani olamiz.

Tartalyaga shafqatsiz munosabatda bo'lgan yigit matematikani qanday oson tushungan bo'lsa, oddiy maxfiylik huquqlarini tushundi. Ferrari 4-darajali tenglamani yechish yo'lini topadi. Kardano bu usulni o'z kitobiga kiritgan. Bu qanday usul?

(1)

– 4-darajali umumiy tenglama.(2)

Qayerda p,q,r– qarab ba’zi koeffitsientlar a,b,c,d,e. Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkinligini tushunish oson:

(3)

Aslida, qavslarni ochish kifoya, keyin barcha shartlarni o'z ichiga oladi t, bekor qiladi va biz tenglamaga qaytamiz (2) .

Keling, parametrni tanlaylik t Shunday qilib, tenglamaning o'ng tomoni (3) ga nisbatan mukammal kvadrat edi y. Ma'lumki, buning uchun zarur va etarli shart - bu trinomial koeffitsientlarning diskriminantining yo'qolishi (bo'limga nisbatan). y) o'ng tomonda.

Munozara

Kardano formulasi

O'rta asrlardagi bahslar har doim bo'sh shahar aholisini, yoshu qarilarni o'ziga tortadigan qiziqarli tomoshalarni taqdim etgan. Munozaralar mavzulari xilma-xil, ammo har doim ilmiy edi. Shu bilan birga, ilm-fan deganda, albatta, ilohiyot bo'lgan ettita liberal san'at ro'yxatiga kiritilgan narsa tushunilgan. Teologik tortishuvlar eng tez-tez sodir bo'lgan. Ular hamma narsa haqida bahslashdilar. Masalan, sichqonni muqaddas ruh bilan bog'lash kerakmi yoki yo'qmi, agar u marosimni iste'mol qilsa, Cumae Sibil Iso Masihning tug'ilishini bashorat qilishi mumkinmi, nima uchun Najotkorning aka-uka va opa-singillari kanonizatsiya qilinmaganligi va hokazo.
Mashhur matematik va unchalik mashhur bo'lmagan shifokor o'rtasida bo'lishi kerak bo'lgan bahs haqida faqat eng umumiy taxminlar qilingan, chunki hech kim hech narsani bilmas edi. Ularning biri ikkinchisini aldaganini aytishdi (aniq kimga va kimga ekani noma'lum). Maydonga yig‘ilganlarning deyarli barchasida matematika haqida eng noaniq fikrlar bor edi, lekin hamma bahs boshlanishini intiqlik bilan kutayotgan edi. Bu har doim qiziq edi, yutqazganning ustidan kulish mumkin edi, u to'g'ri yoki noto'g'ri bo'lishidan qat'i nazar.
Shahar ma'muriyatining soati beshga borganida, darvozalar ochilib, olomon soborga yugurdi. Qurbongohga kirish eshigini tutashtiruvchi markaziy chiziqning ikki tomonida ikki yon ustunlar yonida bahs yurituvchilar uchun moʻljallangan ikkita baland minbar oʻrnatilgan. Yig'ilganlar cherkovda ekanligiga e'tibor bermay, baland ovozda shovqin ko'tarishdi. Nihoyat, ikonostazni markaziy nefning qolgan qismidan ajratib turuvchi temir panjara oldida qora va binafsha rangli plash kiygan shahar qichqiruvchisi paydo bo'ldi va shunday dedi: “Milan shahrining taniqli fuqarolari! Endi siz bilan Breniyalik mashhur matematik Nikolo Tartalya gapiradi. Uning raqibi matematik va shifokor Geronimo Kardano bo'lishi kerak edi. Nikolo Tartaglia Kardanoni o'zining "Ars magna" kitobida unga tegishli bo'lgan uchinchi darajali tenglamani yechish usulini oxirgi bo'lib nashr etganlikda ayblaydi, Tartalya. Biroq Kardanoning o'zi bahsga kela olmadi va shuning uchun shogirdi Luige Ferrarini yubordi. Shunday qilib, munozara ochiq deb e'lon qilindi, uning ishtirokchilari kafedralarga taklif qilindi. Kirish eshigining chap tomonidagi minbarga burni ilmoqli, jingalak soqolli, noqulay odam, qarama-qarshi minbarga esa yigirma yoshlardagi, kelishgan, o‘ziga ishongan chehrali yigit ko‘tarildi. Uning butun xatti-harakati uning har bir ishorasi va har bir so'zini mamnuniyat bilan qabul qilishiga to'liq ishonchni aks ettirdi.
Tartaliya boshlandi.

• Hurmatli janoblar! Bilasizmi, 13 yil oldin men 3-darajali tenglamani yechish yo‘lini topib, keyin bu usuldan foydalanib, Fiori bilan bahsda g‘alaba qozondim. Mening usulim yurtdoshingiz Kardanoning e’tiborini tortdi va u mendan sirni bilish uchun bor makkorlik san’atini ishga soldi. U yolg'ondan ham, soxtalikdan ham to'xtamadi. Bundan 3 yil oldin Kardanoning algebra qoidalariga bag'ishlangan kitobi Nyurnbergda nashr etilganini ham bilasiz, u yerda uyatsiz o'g'irlangan mening metodim hamma uchun ochiq bo'lgan. Men Kardano va uning shogirdini musobaqaga chaqirdim. Men 31 ta masalani hal qilishni taklif qilganman, xuddi shu sonni menga raqiblarim taklif qilishgan. Muammolarni hal qilish uchun muddat belgilandi - 15 kun. 7 kun ichida men Kardano va Ferrari tomonidan tuzilgan ko'pgina muammolarni hal qilishga muvaffaq bo'ldim. Men ularni chop etdim va kurer orqali Milana yubordim. Biroq, men topshiriqlarimga javob olguncha to'liq besh oy kutishim kerak edi. Ular noto'g'ri hal qilindi. Bu ikkalasini ham ommaviy munozaraga chaqirishimga asos bo'ldi.

Tartalya jim qoldi. Yigit baxtsiz Tartalyaga qarab:

• Hurmatli janoblar! Mening munosib raqibim o'z nutqining birinchi so'zlaridayoq menga va ustozimga shunchalik tuhmat aytishga ruxsat berdi; uning dalillari shunchalik asossiz ediki, birinchisini rad etish va sizning fikringizning nomuvofiqligini ko'rsatish menga qiyinchilik tug'dirmaydi. ikkinchisi. Avvalo, agar Nikkolo Tartalya o'z usulini ikkalamiz bilan ham ixtiyoriy ravishda baham ko'rsa, qanday aldamchilik haqida gapirish mumkin? Jeonimo Kardano esa algebraik qoidani ochishda raqibimning roli haqida shunday yozadi. Uning so'zlariga ko'ra, u emas, Kardano, "mening do'stim Tartalya shunday go'zal va hayratlanarli narsani kashf qilish sharafiga muyassar bo'lib, inson aql-zakovati va inson ruhining barcha iste'dodlaridan ustun turadi. Bu kashfiyot haqiqatan ham samoviy ne'matdir, uni idrok etgan aql qudratining shunday ajoyib isbotidirki, unga erishib bo'lmaydigan hech narsa deb bo'lmaydi”.
• Raqibim meni va ustozimni o'z muammolariga noto'g'ri yechim berganlikda aybladi. Ammo tenglamaning ildizi qanday qilib noto'g'ri bo'lishi mumkin, agar uni tenglamaga almashtirib, ushbu tenglamada ko'rsatilgan barcha amallarni bajarib, biz bir xillikka erishamiz? Agar senor Tartalya izchil bo'lishni istasa, nega biz o'g'irlagan, lekin uning so'zlariga ko'ra, uning ixtirosi va uni taklif qilingan muammolarni hal qilish uchun ishlatganimiz noto'g'ri qaror qabul qilganimizga javob berishi kerak edi. Biz - ustozim va men Signor Tartalyaning ixtirosini unchalik ahamiyatli deb hisoblamaymiz. Bu ixtiro ajoyib. Bundan tashqari, asosan unga tayanib, men 4-darajali tenglamani echish yo'lini topdim va Ars Magna-da o'qituvchim bu haqda gapiradi. Senor Tartalya bizdan nimani xohlaydi? U bahs bilan nimaga erishmoqchi?
• Janoblar, janoblar, - qichqirdi Tartalya, - meni tinglashingizni so'rayman! Yosh raqibimning mantiqiy va so‘zli nutqi juda kuchli ekanini inkor etmayman. Ammo bu haqiqiy matematik dalilning o'rnini bosa olmaydi. Kardano va Ferrariga bergan muammolarim to'g'ri hal qilinmadi, lekin buni ham isbotlayman. Darhaqiqat, masalan, yechilganlar orasidan tenglamani olaylik. Bu aniq...

Cherkovda aql bovar qilmaydigan shovqin ko'tarilib, baxtsiz matematik boshlagan jumlaning oxirini butunlay o'ziga singdirdi. Unga davom etishiga ruxsat berilmadi. Olomon undan jim turishini va Ferrari navbatni egallashini talab qilishdi. Tartalya bahsni davom ettirish mutlaqo befoyda ekanini ko'rib, shoshib minbardan tushdi va shimoliy ayvon orqali maydonga chiqdi. Olomon bahsning "g'olibi" Luidji Ferrarini vahshiyona kutib oldi.
Shunday qilib, tobora ko'proq yangi tortishuvlarga sabab bo'layotgan bu bahs tugadi. 3-darajali tenglamani yechish usuli aslida kimga tegishli? Biz hozir gaplashamiz - Nikolo Tartaglie. U buni kashf qildi va Kardano uni aldab, kashfiyot qilishdi. Va endi biz 3-darajali tenglamaning ildizlarini uning koeffitsientlari orqali ifodalovchi formulani Kardano formulasi deb atasak, bu tarixiy adolatsizlikdir. Biroq, bu adolatsizlikmi? Har bir matematikning kashfiyotdagi ishtiroki darajasini qanday hisoblash mumkin? Balki vaqt o'tishi bilan kimdir bu savolga mutlaqo to'g'ri javob bera oladi yoki balki sir bo'lib qolar...

Kardano formulasi

Zamonaviy matematik til va zamonaviy simvolizmdan foydalangan holda, Kardano formulasini quyidagi juda oddiy mulohazalar yordamida topish mumkin:
Bizga 3-darajali umumiy tenglama berilsin:

ni qo'ysak, (1) tenglamani shaklga keltiramiz

, (2)

Qayerda, .
Tenglikdan foydalanib yangi noma'lumni kiritamiz.
Ushbu ifodani (2) ga kiritib, biz hosil qilamiz

. (3)

Bu yerdan
,

shuning uchun,
.

Agar ikkinchi hadning son va maxraji ifodaga ko'paytirilsa va natijada uchun ifodasi "" va "" belgilariga nisbatan nosimmetrik bo'lib chiqishini hisobga olsak, biz nihoyat olamiz

.

(Oxirgi tenglikdagi kubik radikallarning mahsuloti teng bo'lishi kerak).
Bu mashhur Kardano formulasi. Agar yana dan ga o'tsak, 3-darajali umumiy tenglamaning ildizini aniqlaydigan formulaga ega bo'lamiz.
Tartalyaga shafqatsiz munosabatda bo'lgan yigit matematikani qanday oson tushungan bo'lsa, oddiy maxfiylik huquqlarini tushundi. Ferrari 4-darajali tenglamani yechish yo'lini topadi. Kardano bu usulni o'z kitobiga kiritgan. Bu qanday usul?
Mayli
- (1)

4-darajali umumiy tenglama.
Agar ni o'rnatsak, (1) tenglamani ko'rinishga keltirish mumkin

, (2)

bu yerda , , , , , , ga bog'liq ba'zi koeffitsientlar. Bu tenglamani quyidagicha yozish mumkinligini tushunish oson:

. (3)

Aslida, qavslarni ochish kifoya, keyin ni o'z ichiga olgan barcha atamalar bir-birini bekor qiladi va biz (2) tenglamaga qaytamiz.
(3) tenglamaning o'ng tomoni ga nisbatan mukammal kvadrat bo'lishi uchun parametr tanlaylik. Ma'lumki, buning zarur va etarli sharti o'ng tomonda trinomial koeffitsientlarning diskriminantining (ga nisbatan) yo'qolishidir:
. (4)

Biz to'liq kubik tenglamaga ega bo'ldik, uni endi hal qilishimiz mumkin. Keling, uning har qanday ildizini topamiz va uni (3) tenglamaga kiritamiz, endi u shaklni oladi

.

Bu yerdan
.

Bu kvadrat tenglama. Uni yechish orqali (2) tenglamaning ildizini va demak, (1) ni topish mumkin.
O'limidan 4 oy oldin Kardano o'zining tarjimai holini tugatdi, u o'tgan yil davomida shiddat bilan yozgan va uning og'ir hayotini yakunlashi kerak edi. U o'lim yaqinlashayotganini his qildi. Ba'zi ma'lumotlarga ko'ra, o'z munajjimlar bashorati uning o'limini 75 yoshga to'lishi bilan bog'lagan. U yubileyga 2 kun qolganda, 1576 yil 21 sentyabrda vafot etdi. U yaqinlashib kelayotgan o'limni kutish yoki hatto munajjimlar bashoratini tasdiqlash uchun o'z joniga qasd qilgan degan versiya mavjud. Har holda, munajjim Kardano munajjimlar bashoratini jiddiy qabul qildi.

Kardano formulasi haqida eslatma

Tenglamani yechish formulasini tahlil qilaylik haqiqiy mintaqada. Shunday qilib,
.

Kubik tenglama shakl tenglamasi deyiladi

• ax 3 + bx 2 + cx +d = 0, (1)
• bu erda a, b,c,d o'zgarmas koeffitsientlar, x esa o'zgaruvchidir.

Biz koeffitsientlar haqiqiy sonlar bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz.

Kub tenglamaning ildizlari. Kub tenglamaning ildizlarini (yechimi) topish.

x raqami deyiladi kub tenglamaning ildizi(1), agar uni almashtirganda (1) tenglama haqiqiy tenglikka aylanadi.

Kub tenglama eng ko'p uchta ildizga ega (murakkab maydonda ko'plikni hisobga olgan holda har doim uchta ildiz mavjud). Va har doim kamida 1 bor (haqiqiy) ildiz. Ildiz tarkibining barcha mumkin bo'lgan holatlari belgi yordamida osongina aniqlanishi mumkin kub tenglamaning diskriminanti , ya'ni:

D= -4 b 3 d + b 2 c 2 - 4ac 3 + 18a B C D - 27a 2 d 2 (Ha, bu kub tenglamaning diskriminantidir)

Shunday qilib, faqat quyidagi 3 ta holat mumkin:

• D > 0 - u holda tenglama 3 xil ildizga ega. (Murakkablar uchun - uch xil haqiqiy ildiz)
• Δ < 0 - уравнение имеет лишь 1 корень. (1 haqiqiy va bir juft murakkab konjugat ildiz)
• D = 0 - tenglamaning kamida 2 ta ildizi mos keladi. Bular. Biz yo 2 ta mos keladigan ildizli va ulardan yana 1 tasi farqli tenglama bilan yoki 3 ta mos keladigan ildizli tenglama bilan ishlaymiz. (Har qanday holatda ham barcha ildizlar haqiqiydir. Va tenglamaning 3 ta mos ildizi bor, agar uning va uning ikkinchi hosilasi nolga teng bo'lsa)

Kub tenglamalarni yechish uchun Kardano formulasi (ildizlarni topish).

Bu kubik tenglamaning kanonik shaklining ildizlarini topish formulasi. (Kompleks sonlar maydoni tepasida).

Kanonik shakl kub tenglamasi shakldagi tenglamadir

y 3 + py + q = 0 (2)

(1) shakldagi har qanday kub tenglamani quyidagi almashtirish yordamida bu shaklga keltirish mumkin:

Shunday qilib, ildizlarni hisoblashni boshlaylik. Keling, quyidagi miqdorlarni topamiz:

Bu holda (2) tenglamaning diskriminanti ga teng

Dastlabki (1) tenglamaning diskriminanti yuqoridagi diskriminant bilan bir xil belgiga ega bo'ladi. (2) tenglamaning ildizlari quyidagicha ifodalanadi:

Shunga ko'ra, agar Q>0 bo'lsa, (2) va (1) tenglamalar faqat 1 ga ega bo'ladi (haqiqiy) ildiz, y 1 . Uni (3) ga almashtiramiz va (1) tenglama uchun x ni topamiz. (agar siz xayoliy ildizlarga ham qiziqsangiz, shunchaki y 2 , y 3 ni hisoblang va ularni (3) ga almashtiring..

Agar Q<0, то уравнение (2), как и уравнение (1) имеет три различных вещественных корня, но для их вычисления нужно уметь извлекать квадратный корень из отрицательного числа. Если вы это умеете, то проделайте расчеты, получите три корня y 1 , y 2 , y 3 и подставьте их в (3).

Agar Q =0 bo'lsa, (1) va (2) tenglamalarning barcha ildizlari haqiqiy bo'lib, har bir tenglamaning kamida 2 ta ildizi mos keladi. Bu holatda bizda bor

• a = b, va
• y 1 =2a,
• y 2 = y 3 = - a.

Xuddi shunday, biz (3) ni almashtiramiz va javobni olamiz.

Kubik tenglamalarni yechish uchun Vieta trigonometrik formulasi (ildizlarni topish).

Bu formula yechimlarni topadi qisqartirilgan kub tenglama, ya'ni shakldagi tenglamalar

x 3 + ax 2 + bx +c = 0 (4)

Shubhasiz, (1) turdagi har qanday tenglamani a koeffitsientiga bo'lish orqali (4) ko'rinishga keltirish mumkin.

Shunday qilib, ushbu formulani qo'llash algoritmi:

1. Hisoblang

2. Hisoblang

3. a) Agar S>0 bo'lsa, hisoblang

ph=(arccos(R/Q 3/2))/3

Va bizning tenglamamiz 3 ta ildizga ega (haqiqiy):

b) Agar S<0, то заменим тригонометрические функции гиперболическими.

Biz hisoblaymiz

ph=(Arch(|R|/|Q| 3/2)/3

Keyin yagona ildiz (haqiqiy): x 1 = -2sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(ph) - a/3

Xayoliy ildizlarga ham qiziquvchilar uchun:

• x 2 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(ph) - a/3 +(3|Q|) 1/2 sh(ph)i
• x 3 = sgn(R)*|Q| 1/2 *ch(ph) - a/3 -(3|Q|) 1/2 sh(ph)i

QAYERDA:

• ch(x)=(e x +e -x)/2
• Arch(x) = ln(x + (x 2 -1) 1/2)
• sh(x)=(e x -e -x)/2
• sgn(x) - x belgisi

c) Agar S=0 boʻlsa, tenglama uch xil yechimdan kam boʻladi:

Keling, yig'indisi kub formulasini yana ko'rib chiqaylik, lekin uni boshqacha yozing:

Ushbu yozuvni (13) tenglama bilan solishtiring va ular o'rtasida aloqa o'rnatishga harakat qiling. Hatto maslahat bilan ham bu oson emas. Biz alifbo belgisini bilmasdan kub tenglamani yechgan Uyg'onish davri matematiklarini hurmat qilishimiz kerak. Keling, formulamizga almashtiramiz:

Endi tushunarli: (13) tenglamaning ildizini topish uchun tenglamalar tizimini yechish kifoya.

yoki

va miqdor sifatida qabul qiling va . ni almashtirish orqali ushbu tizim juda oddiy shaklga tushiriladi:

Keyin siz turli yo'llar bilan harakat qilishingiz mumkin, ammo barcha "yo'llar" bir xil kvadrat tenglamaga olib keladi. Masalan, Vyeta teoremasiga ko'ra, qisqartirilgan kvadrat tenglamaning ildizlari yig'indisi minus belgisi bo'lgan koeffitsientga, mahsulot esa erkin muddatga teng. Bundan kelib chiqadi va tenglamaning ildizlari hisoblanadi

Keling, ushbu ildizlarni yozamiz:

va oʻzgaruvchilari va ning kub ildizlariga teng va kub tenglamaning (13) kerakli yechimi bu ildizlarning yigʻindisidir:

.

Ushbu formula sifatida tanilgan Kardano formulasi.

Trigonometrik yechim

almashtirish orqali u "to'liq bo'lmagan" shaklga tushiriladi

, , . (14)

"To'liq bo'lmagan" kub tenglamaning (14) , , ildizlari teng

, ,

, ,

.

"To'liq bo'lmagan" kub tenglama (14) haqiqiy bo'lsin.

a) Agar ("qaytarib bo'lmaydigan" holat), keyin

,

,

.

(b) bo'lsa, , bo'lsa

, .

(c) bo'lsa, , bo'lsa

, ,

, .

Barcha holatlarda kub ildizining haqiqiy qiymati olinadi.

Bikvadrat tenglama

To'rtinchi darajali algebraik tenglama.

Bu erda a, b, c - ba'zi haqiqiy sonlar, deyiladi bikvadrat tenglama. Almashtirish orqali tenglama kvadrat tenglamaga keltiriladi keyin ikkita binom tenglamani yechish va (va mos kvadrat tenglamaning ildizlari).

Agar va boʻlsa, bikvadrat tenglama toʻrtta haqiqiy ildizga ega boʻladi:

Agar, ), u holda bikvadrat tenglama ikkita haqiqiy ildizga va xayoliy konjugat ildizga ega bo'ladi:

.

Agar va bo'lsa, bikvadrat tenglama to'rtta sof xayoliy juft konjugat ildizga ega:

, .

To'rtinchi darajali tenglamalar

To'rtinchi darajali tenglamalarni yechish usuli 16-asrda topilgan. Ludoviko Ferrari, Gerolamo Kardano shogirdi. Bu shunday deyiladi - usul. Ferrari.

Kub va kvadrat tenglamalarni yechishda bo'lgani kabi, to'rtinchi darajali tenglamada ham

almashtirish orqali atamadan qutulishingiz mumkin. Shuning uchun biz noma'lum kubning koeffitsienti nolga teng deb faraz qilamiz:

Ferrari g'oyasi tenglamani ko'rinishda ifodalash edi, bu erda chap tomoni ifodaning kvadrati, o'ng tomoni esa koeffitsientlari ga bog'liq bo'lgan chiziqli tenglamaning kvadratidir. Shundan so'ng ikkita kvadrat tenglamani yechish qoladi: va . Albatta, bunday vakillik faqat parametrning maxsus tanlovi bilan mumkin. Uni shaklda olish qulay , keyin tenglama quyidagicha qayta yoziladi:

Bu tenglamaning o'ng tomoni ning kvadrat trinomialidir. Uning diskriminanti nolga teng bo'lsa, u to'liq kvadrat bo'ladi, ya'ni.

, yoki

Bu tenglama deyiladi hal qiluvchi (ya'ni "ruxsat beruvchi"). Bu nisbatan kubikdir va Kardano formulasi bizga uning ba'zi ildizlarini topishga imkon beradi. (15) tenglamaning o'ng tomoni shaklni olganda

,

va tenglamaning o'zi ikkita kvadratga tushiriladi:

.

Ularning ildizlari dastlabki tenglamaning barcha yechimlarini beradi.

Masalan, tenglamani yechamiz

Bu erda tayyor formulalardan emas, balki yechimning o'zi g'oyasidan foydalanish qulayroq bo'ladi. Keling, tenglamani shaklda qayta yozamiz

va chap tomonda to'liq kvadrat hosil bo'lishi uchun ikkala tomonga ifoda qo'shing:

Endi tenglamaning o'ng tomonining diskriminantini nolga tenglashtiramiz:

yoki soddalashtirilgandan so'ng,

Hosil bo'lgan tenglamaning ildizlaridan birini erkin atamaning bo'luvchilari saralash orqali taxmin qilish mumkin: . Ushbu qiymatni almashtirgandan so'ng biz tenglamani olamiz

qayerda. Olingan kvadrat tenglamalarning ildizlari Va . Albatta, umumiy holatda murakkab ildizlar ham olinishi mumkin.