Medianlarning turlari. Uchburchakning medianasi. Uchburchak medianalariga oid teoremalar. Medianlarni topish uchun formulalar. Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Uchburchakning medianasi, xuddi balandlik kabi, butun uchburchakni, uning tomonlari va burchaklarining qiymatini aniqlaydigan grafik parametr bo'lib xizmat qiladi. Uchta qiymat: medianalar, balandliklar va bissektrisalar - bu mahsulotdagi shtrix-kodga o'xshaydi, bizning vazifamiz shunchaki hisoblash imkoniyatiga ega bo'lishdir.

Ta'rif

Median - bu qarama-qarshi tomonning balandligi va o'rtasini bog'laydigan chiziq segmenti. Uchburchakning uchta uchi bor, ya'ni uchta mediana bor. Medianlar har doim ham balandliklar yoki bissektrisalarga to'g'ri kelmaydi. Ko'pincha bu alohida segmentlardir.

Medianlarning xossalari

Asosga chizilgan teng yonli uchburchakning medianasi balandlik va bissektrisa bilan mos tushadi. Teng tomonli uchburchakda barcha medianalar bissektrisa va balandliklarga to'g'ri keladi.
Uchburchakning barcha medianalari bir nuqtada kesishadi.
Mediana uchburchakni ikkita teng maydonli uchburchakka, uchta mediana esa uchburchakni 6 ta teng maydonli uchburchakka ajratadi.

Maydonlari teng bo'lgan uchburchaklar teng maydon deyiladi.

Guruch. 1. Uch mediana 6 ta teng uchburchak hosil qiladi.

Medianlarning kesishish nuqtasi ularni 2:1 nisbatda, cho'qqidan sanab o'tadi.
To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasiga chizilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng.

Vazifalar

Bu xususiyatlarning barchasini eslab qolish oson, ular amalda osongina mustahkamlanadi. Mavzuni yaxshiroq tushunish uchun keling, bir nechta muammolarni hal qilaylik:

To'g'ri burchakli uchburchakda a=3 va b=4 ga teng bo'lgan oyoqlari ma'lum. c gipotenuzaga chizilgan mediana m qiymatini toping.

Guruch. 2. Muammoni chizish.

Mediananing qiymatini topish uchun biz gipotenuzani topishimiz kerak, chunki gipotenuzaga chizilgan mediana uning yarmiga teng. Pifagor teoremasi orqali gipotenuza: $$a^2+b^2=c^2$$

$$c=\sqrt(a^2+b^2)=\sqrt(9+16)=\sqrt(25)=5$$

Medianning qiymatini topamiz: $$m=(c\over2)=(5\over2)=2,5$$ - natijada olingan son mediananing qiymati.

Uchburchakdagi medianalar teng emas. Shuning uchun, qanday qiymatni topish kerakligini aniq tasavvur qilish juda muhimdir.

Uchburchakda tomonlarning qiymatlari ma'lum: a=7; b=8; c=9. b tomoniga tushirilgan mediananing qiymatini toping.

Guruch. 3. Muammoni chizish.

Ushbu muammoni hal qilish uchun siz uchburchakning tomonlari bo'ylab medianani topish uchun uchta formuladan birini ishlatishingiz kerak:

$$m^2 =(1\over2)*(a^2+c^2-b^2)$$

Ko'rib turganingizdek, bu erda asosiy narsa qavslar koeffitsientini va tomonlarning belgilarini eslab qolishdir. Belgilarni eslab qolish eng oson - mediana tushirilgan tomon har doim olib tashlanadi. Bizning holatlarimizda bu b, lekin boshqa har qanday bo'lishi mumkin.

Keling, qiymatlarni formulaga almashtiramiz va median qiymatini topamiz: $$m=\sqrt((1\over2)*(a^2+c^2-b^2))$$

$$m=\sqrt((1\over2)*(49+81-64))=\sqrt(33)$$ - natijani ildiz sifatida qoldiramiz.

Teng yonli uchburchakda asosga chizilgan mediana 8 ga, asosning o'zi esa 6 ga teng. Qolgan ikkitasi bilan birga bu mediana uchburchakni 6 ta uchburchakka ajratadi. Ularning har birining maydonini toping.

Medianlar uchburchakni oltita teng maydonga ajratadi. Bu kichik uchburchaklarning maydonlari bir-biriga teng bo'lishini anglatadi. Kattaroq maydonni topib, uni 6 ga bo'lish kifoya.

Asosga chizilgan medianani hisobga olsak, teng yonli uchburchakda u bissektrisa va balandlikdir. Bu uchburchakning asosi va balandligi ma'lum degan ma'noni anglatadi. Hududni topishingiz mumkin.

$$S=(1\over2)*6*8=24$$

Kichik uchburchaklarning har birining maydoni: $$(24\6 ustida)=4$$

Biz nimani o'rgandik?

Biz mediana nima ekanligini bilib oldik. Biz mediananing xususiyatlarini aniqladik va tipik muammolarning echimlarini topdik. Biz asosiy xatolar haqida gaplashdik va uchburchakning tomonlari orqali medianani topish formulasini qanday tez va oson eslab qolishni aniqladik.

Mavzu bo'yicha test

Maqola reytingi

O'rtacha reyting: 4.7. Qabul qilingan umumiy baholar: 75.

Akkordlarning xossalari

1. Akkordga perpendikulyar diametr (radius) bu akkordni va unga cho'zilgan ikkala yoyni yarmiga bo'ladi. Qarama-qarshi teorema ham to'g'ri: agar diametr (radius) akkordni ikkiga bo'lsa, u holda bu akkordga perpendikulyar bo'ladi.

2. Parallel akkordlar orasidagi yoylar teng.

3. Agar aylananing ikkita akkordi, AB Va CD bir nuqtada kesishadi M, u holda bir akkord segmentlarining mahsuloti boshqa akkord segmentlarining ko'paytmasiga teng bo'ladi: AM MB = CM MD.

Doira xossalari

1. To'g'ri chiziqning aylana bilan umumiy nuqtalari bo'lmasligi mumkin; aylana bilan bitta umumiy nuqtaga ega ( tangens); u bilan ikkita umumiy nuqta bor ( sekant).

2. Bir chiziqda yotmaydigan uchta nuqta orqali siz aylana chizishingiz mumkin va faqat bitta.

3. Ikki doiraning tutash nuqtasi ularning markazlarini tutashtiruvchi chiziqda yotadi.

Tangens va sekant teoremasi

Agar aylanadan tashqarida joylashgan nuqtadan tangens va sekant chizilgan bo'lsa, u holda tangens uzunligining kvadrati sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasiga teng bo'ladi: MC 2 = MA MB.

Sekant teoremasi

Agar aylanadan tashqarida yotgan nuqtadan ikkita sekant chizilgan bo'lsa, u holda bir sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasi ikkinchi sekant va uning tashqi qismining ko'paytmasiga teng bo'ladi. MA MB = MC MD.

Aylanadagi burchaklar

Markaziy Doiradagi burchak - tepasi markazida joylashgan tekis burchak.

Cho'qqisi aylana ustida joylashgan va tomonlari shu aylana bilan kesishgan burchak deyiladi yozilgan burchak.

Doiradagi istalgan ikkita nuqta uni ikki qismga ajratadi. Ushbu qismlarning har biri deyiladi yoy doiralar. Yoyning o'lchami uning mos keladigan markaziy burchagining o'lchovi bo'lishi mumkin.

Ark deyiladi yarim doira, agar uning uchlarini bog'laydigan segment diametr bo'lsa.

Doira bilan bog'langan burchaklarning xossalari

1. Ichkariga chizilgan burchak yoki unga mos keladigan markaziy burchakning yarmiga teng yoki bu burchakning yarmini 180 ° ga to'ldiradi.

2. Bir aylana ichiga chizilgan va bir yoyga tayangan burchaklar teng.

3. Diametri bo'ylab chizilgan burchak 90 ° ga teng.

5. Aylana va teginish nuqtasi orqali o'tkazilgan sekantga teginish natijasida hosil bo'lgan burchak uning tomonlari orasidagi yoyning yarmiga teng.

Uzunlik va maydonlar

1. Atrof C radius R formula bo'yicha hisoblanadi: C= 2 R.

2. Hudud S doira radiusi R formula bo'yicha hisoblanadi: S = R 2.

3. Doira yoy uzunligi L radius R Radianlarda o'lchangan markaziy burchak bilan, formula bo'yicha hisoblanadi: L = R .

4. Hudud S radiusli sektorlar R radianlarda markaziy burchak bilan quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: S = R 2 .

Chizilgan va chegaralangan doiralar

Doira va uchburchak

· chizilgan aylana markazi uchburchak bissektrisalarining kesishish nuqtasi, uning radiusi. r formula bo'yicha hisoblanadi:

r =, Qayerda S uchburchakning maydoni, va - yarim perimetr;

· aylananing markazi bissektrisa perpendikulyarlarining kesishish nuqtasi, uning radiusi R quyidagi formula bilan hisoblanadi:

R= , R = ;

· to'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana markazi gipotenuzaning o'rtasida joylashgan;

· uchburchakning chegaralangan va chizilgan doiralarining markazlari, agar bu uchburchak muntazam bo'lsa, bir-biriga to'g'ri keladi.

Doira va to'rtburchaklar

· Qavariq to‘rtburchak atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar uning ichki qarama-qarshi burchaklarining yig‘indisi 180° ga teng bo‘lsagina:

180°;

Agar aylana to'rtburchakka, agar uning qarama-qarshi tomonlari yig'indisi teng bo'lsa, chizilgan bo'lishi mumkin. a + c = b + d;

parallelogrammni aylana sifatida tasvirlash mumkin, agar u to'rtburchak bo'lsa;

· trapetsiya atrofida aylana tasvirlanishi mumkin, agar bu trapetsiya teng yonli bo‘lsa; aylananing markazi trapetsiya simmetriya o'qining yon tomonga perpendikulyar bissektrisa bilan kesishgan joyida yotadi;

· aylana parallelogrammga faqat va faqat romb bo'lsa, chizilgan bo'lishi mumkin.

Uchburchaklar

Uchburchak medianalarining xossalari

1. Mediana uchburchakni maydoni teng bo‘lgan ikkita uchburchakka ajratadi.

2. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi, bu nuqta ularning har birini 2:1 nisbatda ajratadi, cho'qqidan sanaladi. Bu nuqta deyiladi og'irlik markazi uchburchak.

3. Butun uchburchak medianalari bo‘yicha oltita teng uchburchakka bo‘linadi.

Uchburchak bissektrisalarining xossalari

1. Burchakning bissektrisasi - bu burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi.

2. Uchburchakning ichki burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonini qo‘shni tomonlariga proporsional bo‘laklarga ajratadi: .

3. Uchburchak bissektrisalarining kesishish nuqtasi shu uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazidir.

Uchburchak balandliklarining xossalari

1. To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchakning tepasidan chizilgan balandlik uni dastlabki uchburchakka o'xshash ikkita uchburchakka ajratadi.

2. O'tkir uchburchakda uning ikki balandligi undan o'xshash uchburchaklarni kesib tashlaydi.

Median - uchburchakning cho'qqisidan qarama-qarshi tomonning o'rtasiga chizilgan segment, ya'ni kesishish nuqtasida uni yarmiga bo'ladi. Mediana chiqadigan cho'qqiga qarama-qarshi tomonni kesib o'tadigan nuqta asos deyiladi. Uchburchakning har bir medianasi kesishish nuqtasi deb ataladigan bir nuqtadan o'tadi. Uning uzunligi formulasini bir necha usul bilan ifodalash mumkin.

Median uzunligini ifodalash uchun formulalar

Ko'pincha geometriya masalalarida talabalar uchburchakning medianasi kabi segment bilan shug'ullanishlari kerak. Uning uzunligi formulasi tomonlar bilan ifodalanadi:

bu erda a, b va c tomonlar. Bundan tashqari, c - mediana tushadigan tomon. Eng oddiy formula shunday ko'rinadi. Ba'zan yordamchi hisoblar uchun uchburchakning medianalari talab qilinadi. Boshqa formulalar mavjud.

Agar hisoblash paytida uchburchakning ikki tomoni va ular orasida joylashgan ma'lum a burchak ma'lum bo'lsa, u holda uchburchakning uchinchi tomoniga tushirilgan medianasining uzunligi quyidagicha ifodalanadi.

Asosiy xususiyatlar

Barcha medianalar bitta umumiy kesishish nuqtasi O ga ega va agar cho'qqidan hisoblangan bo'lsa, unga ikkiga bir nisbatda bo'linadi. Bu nuqta uchburchakning og'irlik markazi deb ataladi.
Mediana uchburchakni maydonlari teng bo'lgan boshqa ikkitaga ajratadi. Bunday uchburchaklar teng maydon deb ataladi.
Agar siz barcha medianalarni chizsangiz, uchburchak 6 ta teng figuraga bo'linadi, ular ham uchburchaklar bo'ladi.
Agar uchburchakning uch tomoni teng bo'lsa, medianalarning har biri ham balandlik va bissektrisa bo'ladi, ya'ni chizilgan tomonga perpendikulyar bo'ladi va u chiqadigan burchakni ikkiga bo'ladi.
Teng yon tomonli uchburchakda boshqasiga teng bo'lmagan tomonga qarama-qarshi bo'lgan cho'qqidan chizilgan mediana ham balandlik va bissektrisa bo'ladi. Boshqa cho'qqilardan tushgan medianalar tengdir. Bu ham izoskellar uchun zarur va yetarli shartdir.
Agar uchburchak muntazam piramidaning asosi bo'lsa, u holda bu asosga tushgan balandlik barcha medianalarning kesishish nuqtasiga proyeksiya qilinadi.

To'g'ri burchakli uchburchakda eng uzun tomonga chizilgan mediana uning yarmiga teng.
Uchburchak medianalarining kesishish nuqtasi O bo'lsin. Quyidagi formula har qanday M nuqta uchun to'g'ri bo'ladi.

Uchburchakning medianasi boshqa xususiyatga ega. Tomonlarning kvadratlari orqali uning uzunligi kvadratining formulasi quyida keltirilgan.

Mediana chizilgan tomonlarning xossalari

Agar siz medianalarning kesishgan har qanday ikkita nuqtasini ular tushgan tomonlari bilan bog'lasangiz, natijada olingan segment uchburchakning o'rta chizig'i bo'ladi va uchburchakning umumiy nuqtalari bo'lmagan tomonining yarmi bo'ladi.
Uchburchakdagi balandliklar va medianalarning asoslari, shuningdek, uchburchak cho'qqilarini balandliklarning kesishish nuqtasi bilan bog'laydigan segmentlarning o'rta nuqtalari bir xil doirada yotadi.

Xulosa qilib aytish mumkinki, eng muhim segmentlardan biri uchburchakning medianasidir. Uning formulasidan boshqa tomonlarning uzunliklarini topish uchun foydalanish mumkin.

Uchburchakning medianasi- bu uchburchakning uchini ushbu uchburchakning qarama-qarshi tomonining o'rtasi bilan bog'laydigan segment.

Uchburchak medianalarining xossalari

1. Mediana uchburchakni maydoni teng bo‘lgan ikkita uchburchakka ajratadi.

2. Uchburchakning medianalari bir nuqtada kesishadi, bu nuqta ularning har birini 2:1 nisbatda ajratadi, cho'qqidan sanaladi. Bu nuqta uchburchakning og'irlik markazi (markazi) deb ataladi.

3. Butun uchburchak medianalari bo‘yicha oltita teng uchburchakka bo‘linadi.

Yon tomonga chizilgan mediananing uzunligi: ( parallelogrammgacha qurish va parallelogrammadagi tenglikni tomonlar kvadratlari yig'indisi va diagonallar kvadratlari yig'indisining ikki barobaridan foydalanib isbotlash. )

T1. Uchburchakning uchta medianasi bir M nuqtada kesishadi, bu nuqta ularning har birini uchburchak uchlaridan boshlab 2:1 nisbatda ajratadi. Berilgan: ∆ ABC, SS 1, AA 1, BB 1 - medianlar
∆ABC. Isbotlang: va

D-vo: ABC uchburchakning CC 1, AA 1 medianalarining kesishish nuqtasi M bo‘lsin. A 2 - AM segmentining o'rtasi va C 2 - CM segmentining o'rtasini belgilaymiz. U holda A 2 C 2 uchburchakning o'rta chizig'idir AMS. Ma'nosi, A 2 C 2|| AC

va A 2 C 2 = 0,5*AC. BILAN 1 A 1 - ABC uchburchakning o'rta chizig'i. Shunday qilib, A 1 BILAN 1 || AC va A 1 BILAN 1 = 0,5*AC.

To'rtburchak A 2 C 1 A 1 C 2- parallelogramm, chunki uning qarama-qarshi tomonlari A 1 BILAN 1 Va A 2 C 2 teng va parallel. Demak, A 2 M = MA 1 Va C 2 M = MC 1 . Bu degani, ballar A 2 Va M medianani ajrating AA 2 uchta teng qismga, ya'ni AM = 2MA 2. CM = 2MC bilan bir xil 1 . Demak, ikkita mediana kesishuvining M nuqtasi AA 2 Va CC 2 ABC uchburchagi ularning har birini uchburchakning uchlaridan boshlab hisoblab, 2:1 nisbatda ajratadi. AA 1 va BB 1 medianalarining kesishish nuqtasi ularning har birini uchburchak cho'qqilaridan hisoblaganda 2:1 nisbatda bo'lishi mutlaqo o'xshash tarzda isbotlangan.

AA 1 medianasida bunday nuqta M nuqta, shuning uchun nuqta M va AA 1 va BB 1 medianalarining kesishish nuqtasi mavjud.

Shunday qilib, n

T2. Markazni uchburchakning uchlari bilan tutashtiruvchi segmentlar uni uchta teng qismga ajratishini isbotlang. Berilgan: ∆ABC, - uning medianasi.

Isbot qiling: S AMB =S BMC =S AMC.Isbot. IN, ularda umumiylik bor. chunki ularning asoslari teng va tepadan chizilgan balandlik M, ularda umumiylik bor. Keyin

Xuddi shunga o'xshash tarzda bu isbotlangan S AMB = S AMC. Shunday qilib, S AMB = S AMC = S CMB.n

Uchburchak bissektrisalari.Uchburchak bissektrisalariga oid teoremalar. Bissektrisalarni topish formulalari

Burchak bissektrisasi- burchakning tepasida boshi bo'lgan, burchakni ikkita teng burchakka bo'ladigan nur.

Burchakning bissektrisasi - burchakning yon tomonlaridan teng masofada joylashgan burchak ichidagi nuqtalarning joylashuvi.

Xususiyatlari

1. Bissektrisa teoremasi: Uchburchakning ichki burchagining bissektrisasi qarama-qarshi tomonini qo‘shni ikki tomoni nisbatiga teng nisbatda ajratadi.

2. Uchburchakning ichki burchaklarining bissektrisalari shu uchburchak ichiga chizilgan aylananing markazida bir nuqtada - markazda kesishadi.

3. Agar uchburchakdagi ikkita bissektrisa teng bo'lsa, u holda uchburchak teng yonli bo'ladi (Shtayner-Lemus teoremasi).

Bissektrisa uzunligini hisoblash

l c - c tomoniga chizilgan bissektrisa uzunligi,

a,b,c - uchburchakning mos ravishda A,B,C uchlariga qarama-qarshi tomonlari,

p - uchburchakning yarim perimetri,

a l , b l - l c bissektrisa c tomonini ajratadigan segmentlarning uzunliklari,

a, b, g - mos ravishda A, B, C uchlaridagi uchburchakning ichki burchaklari,

h c - uchburchakning balandligi, c tomoniga tushirilgan.

Hudud usuli.

Usulning xususiyatlari. Nomidan ko'rinib turibdiki, bu usulning asosiy ob'ekti hududdir. Bir qator raqamlar uchun, masalan, uchburchak uchun, maydon shakl (uchburchak) elementlarining turli kombinatsiyalari orqali juda oddiy tarzda ifodalanadi. Shuning uchun, ma'lum bir raqamning maydoni uchun turli xil iboralarni solishtirish juda samarali usuldir. Bunday holda, shaklning ma'lum va kerakli elementlarini o'z ichiga olgan tenglama paydo bo'ladi, uni hal qilish orqali biz noma'lumni aniqlaymiz. Aynan shu erda maydon usulining asosiy xususiyati namoyon bo'ladi - u geometrik masaladan algebraik muammoni "yaratadi", hamma narsani tenglamani (va ba'zan tenglamalar tizimini) echish uchun qisqartiradi.

1) Taqqoslash usuli: bir xil raqamlarning ko'p sonli S formulalari bilan bog'liq

2) S munosabati usuli: iz qo'llab-quvvatlash muammolariga asoslangan:

Ceva teoremasi

A", B", C" nuqtalar uchburchakning BC, CA, AB to'g'rilarida yotsin. AA", BB", CC" chiziqlar bir nuqtada kesishadi, agar shunday bo'lsa.

Isbot.

va segmentlarning kesishish nuqtasi bilan belgilaymiz. C va A nuqtalardan BB 1 chiziqqa perpendikulyarlarni mos ravishda K va L nuqtalarda kesishguncha tushiramiz (rasmga qarang).

Uchburchaklar umumiy tomonga ega bo'lganligi sababli, ularning maydonlari bu tomonga chizilgan balandliklar bilan bog'liq, ya'ni. AL va CK:

Oxirgi tenglik to'g'ri, chunki to'g'ri burchakli uchburchaklar o'tkir burchakda o'xshash.

Xuddi shunday, biz ham olamiz Va

Keling, ushbu uchta tenglikni ko'paytiramiz:

Q.E.D.

Izoh. Uchburchakning uchini qarama-qarshi tomonda yotgan nuqta yoki uning davomi bilan tutashtiruvchi segment (yoki segmentning davomi) ceviana deyiladi.

Teorema (Ceva teoremasiga teskari). A, B, C” nuqtalar ABC uchburchakning mos ravishda BC, CA va AB tomonlarida yotsin. Munosabatlar qanoatlansin.

Keyin AA,BB,CC segmentlari bir nuqtada kesishadi.

Menelaus teoremasi

Menelaus teoremasi. Chiziq ABC uchburchagi bilan kesishsin, C 1 uning AB tomoni bilan kesishgan nuqtasi, A 1 BC tomoni bilan kesishgan nuqtasi va B 1 AC tomonining kengaytmasi bilan kesishgan nuqtasi bo'lsin. Keyin

Isbot . C nuqta orqali AB ga parallel chiziq o'tkazamiz. Uning B 1 C 1 chiziq bilan kesishgan nuqtasini K bilan belgilaymiz.

AC 1 B 1 va CKB 1 uchburchaklari o'xshash (∟C 1 AB 1 = ∟KCB 1, ∟AC 1 B 1 = ∟CKB 1). Demak,

BC 1 A 1 va CKA 1 uchburchaklari ham o'xshash (∟BA 1 C 1 =∟KA 1 C, ∟BC 1 A 1 =∟CKA 1). Ma'nosi,

Har bir tenglikdan CK ifodalaymiz:

Qayerda Q.E.D.

Teorema (Menelausning teskari teoremasi). ABC uchburchagi berilgan bo'lsin. C 1 nuqta AB tomonida, A 1 nuqta BC tomonida va B 1 nuqta AC tomonining davomida yotsin va quyidagi munosabat saqlanib qolsin:

Keyin A 1, B 1 va C 1 nuqtalar bir xil to'g'rida yotadi.