Ifodaning qiymatini hisoblashda oxirgi bajariladigan arifmetik amal "asosiy" hisoblanadi.

Ya'ni, agar siz harflar o'rniga ba'zi (har qanday) raqamlarni almashtirsangiz va ifoda qiymatini hisoblashga harakat qilsangiz, u holda oxirgi amal ko'paytirish bo'lsa, unda bizda mahsulot bor (ifoda omillarga bo'linadi).

Agar oxirgi amal qo'shish yoki ayirish bo'lsa, bu ifoda faktorlarga ajratilmaganligini bildiradi (shuning uchun qisqartirish mumkin emas).

Buni o'zingiz tuzatish uchun bir nechta misollar:

Misollar:

Yechimlar:

1. Umid qilamanki, siz darhol kesishga shoshilmadingiz va? Bu kabi birliklarni "kamaytirish" hali ham etarli emas edi:

Birinchi qadam faktorizatsiya bo'lishi kerak:

4. Kasrlarni qo‘shish va ayirish. Kasrlarni umumiy maxrajga keltirish.

Oddiy kasrlarni qo'shish va ayirish hammaga ma'lum bo'lgan amaldir: biz umumiy maxrajni qidiramiz, har bir kasrni etishmayotgan koeffitsientga ko'paytiramiz va sonlarni qo'shamiz / ayitamiz.

Keling, eslaylik:

Javoblar:

1. va maxrajlari ko‘paytma, ya’ni umumiy omillarga ega emas. Shuning uchun bu raqamlarning LCM ko'paytmasiga teng. Bu umumiy maxraj bo'ladi:

2. Bu yerda umumiy maxraj:

3. Bu erda, birinchi navbatda, aralash kasrlarni noto'g'ri bo'lganlarga aylantiramiz, keyin esa - odatdagi sxema bo'yicha:

Agar kasrlarda harflar bo'lsa, bu boshqa masala, masalan:

Oddiydan boshlaylik:

a) maxrajlarda harflar bo‘lmaydi

Bu erda hamma narsa oddiy sonli kasrlar bilan bir xil: biz umumiy maxrajni topamiz, har bir kasrni etishmayotgan omilga ko'paytiramiz va hisoblagichlarni qo'shamiz / ayitamiz:

Endi hisoblagichda siz shunga o'xshashlarni, agar mavjud bo'lsa, olib kelishingiz va ularni faktor bilan belgilashingiz mumkin:

O'zingiz sinab ko'ring:

Javoblar:

b) maxrajlarda harflar mavjud

Keling, harflarsiz umumiy maxrajni topish tamoyilini eslaylik:

Avvalo, biz umumiy omillarni aniqlaymiz;

Keyin barcha umumiy omillarni bir marta yozamiz;

va ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiring.

Maxrajlarning umumiy omillarini aniqlash uchun avval ularni oddiy omillarga ajratamiz:

Biz umumiy omillarni ta'kidlaymiz:

Endi biz umumiy omillarni bir marta yozamiz va ularga umumiy bo'lmagan (tagi chizilmagan) omillarni qo'shamiz:

Bu umumiy maxrajdir.

Keling, harflarga qaytaylik. Maxrajlar aynan bir xil tarzda berilgan:

Biz maxrajlarni omillarga ajratamiz;

umumiy (bir xil) ko'paytiruvchilarni aniqlash;

barcha umumiy omillarni bir marta yozing;

Biz ularni umumiy emas, balki boshqa barcha omillar bilan ko'paytiramiz.

Shunday qilib, tartibda:

1) maxrajlarni omillarga ajrating:

2) umumiy (bir xil) omillarni aniqlang:

3) barcha umumiy omillarni bir marta yozing va ularni boshqa barcha (tagi chizilmagan) omillarga ko'paytiring:

Demak, umumiy maxraj shu yerda. Birinchi kasrni ko'paytirish kerak, ikkinchisini - quyidagicha:

Aytgancha, bitta hiyla bor:

Masalan: .

Biz maxrajlarda bir xil omillarni ko'ramiz, faqat barchasi turli ko'rsatkichlarga ega. Umumiy maxraj quyidagicha bo'ladi:

darajada

darajada

darajada

darajada.

Keling, vazifani murakkablashtiramiz:

Qanday qilib kasrlar bir xil maxrajga ega bo'ladi?

Kasrning asosiy xususiyatini eslaylik:

Hech bir joyda bir xil sonni kasrning pay va maxrajidan ayirish (yoki qo‘shish) mumkinligi aytilmagan. Chunki bu haqiqat emas!

O'zingiz ko'ring: masalan, har qanday kasrni oling va raqam va maxrajga bir nechta son qo'shing, masalan, . Nima o'rganildi?

Shunday qilib, yana bir qat'iy qoida:

Kasrlarni umumiy maxrajga keltirganingizda, faqat ko'paytirish amalidan foydalaning!

Lekin olish uchun nimani ko'paytirish kerak?

Bu erda va ko'paytiring. Va ko'paytiring:

Koeffitsientlarga ajratish mumkin bo'lmagan iboralar "elementar omillar" deb ataladi.

Masalan, elementar omil. - Bir xil. Ammo - yo'q: u omillarga bo'linadi.

Ifodasi haqida nima deyish mumkin? Bu boshlang'ichmi?

Yo'q, chunki uni faktorlarga ajratish mumkin:

(siz "" mavzusida faktorizatsiya haqida o'qigansiz).

Shunday qilib, siz harflar bilan ifodani ajratadigan elementar omillar raqamlarni ajratadigan oddiy omillarning analogidir. Va biz ular bilan ham xuddi shunday qilamiz.

Biz ikkala maxrajning ham omili borligini ko'ramiz. U kuchdagi umumiy maxrajga boradi (nega esingizdami?).

Ko'paytiruvchi elementardir va ularda umumiylik yo'q, ya'ni birinchi kasr shunchaki unga ko'paytirilishi kerak bo'ladi:

Yana bir misol:

Yechim:

Vahima ichida bu denominatorlarni ko'paytirishdan oldin, ularni qanday qilib faktorga kiritish haqida o'ylash kerakmi? Ularning ikkalasi ham quyidagilarni ifodalaydi:

Ajoyib! Keyin:

Yana bir misol:

Yechim:

Odatdagidek, biz maxrajlarni faktorlarga ajratamiz. Birinchi maxrajda biz uni oddiygina qavs ichidan chiqaramiz; ikkinchisida - kvadratlar farqi:

Ko'rinib turibdiki, umumiy omillar yo'q. Ammo diqqat bilan qarasangiz, ular allaqachon juda o'xshash ... Va haqiqat:

Shunday qilib, yozamiz:

Ya'ni, shunday bo'ldi: qavs ichida biz atamalarni almashtirdik va shu bilan birga, kasr oldidagi belgi teskari tomonga o'zgardi. E'tibor bering, buni tez-tez qilishingiz kerak bo'ladi.

Endi biz umumiy maxrajga kelamiz:

Tushundim? Endi tekshiramiz.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar:

Javoblar:

Bu erda yana bir narsani esga olishimiz kerak - kublar farqi:

E'tibor bering, ikkinchi kasrning maxrajida "yig'indi kvadrati" formulasi mavjud emas! Yig'indining kvadrati quyidagicha ko'rinadi:

A yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati deb ataladi: undagi ikkinchi a'zo birinchi va oxirgining ko'paytmasi bo'lib, ularning ikki barobar ko'paytmasi emas. Yig'indining to'liq bo'lmagan kvadrati kublar farqining kengayishi omillaridan biridir:

Agar allaqachon uchta kasr bo'lsa-chi?

Ha, xuddi shunday! Avvalo, biz maxrajdagi omillarning maksimal soni bir xil ekanligiga ishonch hosil qilamiz:

E'tibor bering: agar siz bitta qavs ichidagi belgilarni o'zgartirsangiz, kasr oldidagi belgi teskarisiga o'zgaradi. Ikkinchi qavsdagi belgilarni almashtirsak, kasr oldidagi belgi yana teskari bo'ladi. Natijada, u (kasr oldidagi belgi) o'zgarmadi.

Biz birinchi maxrajni umumiy maxrajda to'liq yozamiz, so'ngra unga hali yozilmagan barcha omillarni ikkinchidan, keyin uchinchidan (agar ko'proq kasr bo'lsa va hokazo) qo'shamiz. Ya'ni, bu shunday bo'ladi:

Hmm ... Kasrlar bilan nima qilish kerakligi aniq. Ammo ikkalasi haqida nima deyish mumkin?

Hammasi oddiy: kasrlarni qanday qo'shishni bilasiz, to'g'rimi? Shunday qilib, siz deuce kasrga aylanishiga ishonch hosil qilishingiz kerak! Esingizda bo'lsin: kasr - bu bo'linish amalidir (agar siz to'satdan unutgan bo'lsangiz, hisoblagich maxrajga bo'linadi). Va raqamni bo'lishdan osonroq narsa yo'q. Bunday holda, raqamning o'zi o'zgarmaydi, lekin kasrga aylanadi:

Aynan nima kerak!

5. Kasrlarni ko`paytirish va bo`lish.

Xo'sh, eng qiyin qismi endi tugadi. Va oldimizda eng oddiy, lekin ayni paytda eng muhimi:

Jarayon

Raqamli ifodani hisoblash tartibi qanday? Esda tutingki, bunday iboraning qiymatini hisobga olgan holda:

Hisobladingizmi?

Bu ishlashi kerak.

Xullas, eslataman.

Birinchi qadam darajani hisoblashdir.

Ikkinchisi - ko'paytirish va bo'lish. Agar bir vaqtning o'zida bir nechta ko'paytirish va bo'linish mavjud bo'lsa, ularni istalgan tartibda bajarishingiz mumkin.

Va nihoyat, qo'shish va ayirish amallarini bajaramiz. Yana, har qanday tartibda.

Lekin: qavs ichidagi ifoda tartibsiz baholanadi!

Agar bir nechta qavslar bir-biriga ko'paytirilsa yoki bo'linsa, biz birinchi navbatda qavslarning har biridagi ifodani baholaymiz, so'ngra ularni ko'paytiramiz yoki bo'lamiz.

Qavslar ichida boshqa qavslar bo'lsa-chi? Keling, o'ylab ko'raylik: qavs ichida qandaydir ifoda yozilgan. Ifodani baholashda birinchi navbatda nima qilish kerak? To'g'ri, qavslarni hisoblang. Xo'sh, biz buni aniqladik: birinchi navbatda biz ichki qavslarni hisoblaymiz, keyin hamma narsa.

Shunday qilib, yuqoridagi ifoda uchun harakatlar tartibi quyidagicha (joriy harakat qizil rang bilan ajratilgan, ya'ni men hozir bajarayotgan harakat):

OK, hammasi oddiy.

Lekin bu harflar bilan ifodalash bilan bir xil emas, shunday emasmi?

Yo'q, xuddi shunday! Faqat arifmetik amallar o'rniga algebraik amallarni, ya'ni oldingi bo'limda tasvirlangan amallarni bajarish kerak: o'xshash olib kelish, kasrlarni qo'shish, kasrlarni kamaytirish va hokazo. Yagona farq polinomlarni faktoring qilish harakati bo'ladi (biz uni ko'pincha kasrlar bilan ishlashda ishlatamiz). Ko'pincha faktorizatsiya uchun siz i dan foydalanishingiz yoki oddiy koeffitsientni qavs ichidan olib tashlashingiz kerak.

Odatda bizning maqsadimiz ifodani mahsulot yoki qism sifatida ifodalashdir.

Masalan:

Keling, ifodani soddalashtiraylik.

1) Avval qavs ichidagi ifodani soddalashtiramiz. U erda biz kasrlar farqiga egamiz va bizning maqsadimiz uni mahsulot yoki qism sifatida ko'rsatishdir. Shunday qilib, biz kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz va qo'shamiz:

Bu iborani yanada soddalashtirishning iloji yo'q, bu erda barcha omillar elementardir (bu nimani anglatishini hali ham eslaysizmi?).

2) Biz olamiz:

Kasrlarni ko'paytirish: nima osonroq bo'lishi mumkin.

3) Endi siz qisqartirishingiz mumkin:

OK, endi hammasi tugadi. Hech qanday murakkab narsa yo'q, to'g'rimi?

Yana bir misol:

Ifodani soddalashtiring.

Birinchidan, uni o'zingiz hal qilishga harakat qiling va shundan keyingina yechimga qarang.

Yechim:

Avvalo, protsedurani aniqlaymiz.

Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni qo'shamiz, ikkita kasr o'rniga bittasi chiqadi.

Keyin kasrlarni bo'linishni qilamiz. Xo'sh, biz natijani oxirgi kasr bilan qo'shamiz.

Men bosqichlarni sxematik raqamlayman:

Endi men joriy harakatni qizil rangga bo'yab, butun jarayonni ko'rsataman:

1. Agar shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish kerak. Qaysi vaqtda bizda shunga o'xshashlar bo'lsa, ularni darhol olib kelish tavsiya etiladi.

2. Kasrlarni kamaytirish uchun ham xuddi shunday: kamaytirish imkoniyati paydo bo'lishi bilanoq, uni ishlatish kerak. Istisno - bu siz qo'shadigan yoki ayiradigan kasrlar: agar ular hozir bir xil maxrajlarga ega bo'lsa, unda kamaytirishni keyinroq qoldirish kerak.

O'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan ba'zi vazifalar:

Va boshida va'da berdi:

Javoblar:

Yechimlar (qisqacha):

Agar siz hech bo'lmaganda dastlabki uchta misolni engib o'tgan bo'lsangiz, unda siz mavzuni o'zlashtirgan deb hisoblang.

Endi o'rganishga!

FOYDALANISHNI AYLANTIRISH. XULOSA VA ASOSIY FORMULA

Asosiy soddalashtirish operatsiyalari:

• O'xshashlarni olib kelish: kabi atamalarni qo'shish (kamaytirish) uchun ularning koeffitsientlarini qo'shish va harf qismini belgilash kerak.
• Faktorizatsiya: umumiy omilni qavs ichidan chiqarish, qo‘llash va h.k.
• Fraksiyani kamaytirish: kasrning ayiruvchisi va maxraji bir xil nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirilishi yoki bo'linishi mumkin, undan kasrning qiymati o'zgarmaydi.
  1) son va maxraj faktorizatsiya qilish
  2) sanoq va maxrajda umumiy ko‘rsatkichlar bo‘lsa, ularni kesib tashlash mumkin.

  MUHIM: faqat multiplikatorlarni kamaytirish mumkin!

• Kasrlarni qo'shish va ayirish:
  ;
• Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish:
  ;

a (m/n) ko'rinishdagi ifoda, bu erda n - qandaydir natural son, m - qandaydir butun son va a daraja asosi noldan katta, kasr darajali daraja deyiladi. Bundan tashqari, quyidagi tenglik to'g'ri. n√(a m) = a (m/n) .

Bizga ma'lumki, n - qandaydir natural son, m - qandaydir butun son bo'lgan m/n ko'rinishdagi sonlar kasr yoki ratsional sonlar deyiladi. Yuqoridagilardan biz daraja aniqlanganligini olamiz, har qanday ratsional ko'rsatkich va darajaning har qanday musbat bazasi uchun.

Har qanday ratsional sonlar p,q va har qanday a>0 va b>0 uchun quyidagi tengliklar to‘g‘ri bo‘ladi:

• 1. (a p)*(a q) = a (p+q)
• 2. (a p): (b q) = a (p-q)
• 3. (a p) q = a (p*q)
• 4. (a*b) p = (a p)*(b p)
• 5. (a/b) p = (a p)/(b p)

Bu xususiyatlar kasr ko'rsatkichlari bilan darajalarni o'z ichiga olgan turli ifodalarni o'zgartirishda keng qo'llaniladi.

Darajani kasr ko'rsatkichi bilan o'z ichiga olgan ifodalarni o'zgartirishga misollar

Keling, ushbu xususiyatlardan ifodalarni o'zgartirish uchun qanday foydalanish mumkinligini ko'rsatadigan bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1. 7 (1/4) * 7 (3/4) ni hisoblang.

• 7 (1/4) * 7 (3/4) = z (1/4 + 3/4) = 7.

2. 9 (2/3) ni hisoblang: 9 (1/6) .

• 9 (2/3) : 9 (1/6) = 9 (2/3 - 1/6) = 9 (1/2) = √9 = 3.

3. Hisoblang (16 (1/3)) (9/4) .

• (16 (1/3)) (9/4) = 16 ((1/3)*(9/4)) =16 (3/4) = (2 4) (3/4) = 2 (4*3/4) = 2 3 = 8.

4. 24 (2/3) ni hisoblang.

• 24 (2/3) = ((2 3)*3) (2/3) = (2 (2*2/3))*3 (2/3) = 4*3√(3 2)=4*3√9.

5. Hisoblang (8/27) (1/3) .

• (8/27) (1/3) = (8 (1/3))/(27 (1/3)) = ((2 3) (1/3))/((3 3) (1/3))= 2/3.

6. ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) ifodani soddalashtiring.

• ((a (4/3))*b + a*b (4/3))/(3√a + 3√b) = (a*b*(a (1/3) + b (1/3) )))/(1/3) + b (1/3)) = a*b.

7. Hisoblang (25 (1/5))*(125 (1/5)).

• (25 (1/5))*(125 (1/5)) =(25*125) (1/5) = (5 5) (1/5) = 5.

8. Ifodani soddalashtiring

• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)).
• (a (1/3) - a (7/3))/(a (1/3) - a (4/3)) - (a (-1/3) - a (5/3))/( a(2/3) + a(-1/3)) =
• = ((a (1/3))*(1-a 2))/((a (1/3))*(1-a)) - ((a (-1/3))*(1- a 2))/ ((a (-1/3))*(1+a)) =
• = 1 + a - (1-a) = 2*a.

Ko'rib turganingizdek, ushbu xususiyatlardan foydalanib, darajalarni o'z ichiga olgan ba'zi ifodalarni kasr ko'rsatkichlari bilan sezilarli darajada soddalashtirishingiz mumkin.

Keling, iboralarni kuchlar bilan o'zgartirish mavzusini ko'rib chiqaylik, lekin avval biz har qanday iboralar, shu jumladan kuch bilan ham amalga oshirilishi mumkin bo'lgan bir qator o'zgarishlarga to'xtalib o'tamiz. Qavslarni ochish, o‘xshash atamalar berish, asos va ko‘rsatkich bilan ishlash, darajalar xossalaridan foydalanishni o‘rganamiz.

Quvvat ifodalari nima?

Maktab kursida kam odam "kuch ifodalari" iborasini ishlatadi, ammo bu atama doimiy ravishda imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamlarda uchraydi. Ko'pgina hollarda, ibora o'z yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralarni bildiradi. Buni biz ta'rifimizda aks ettiramiz.

Ta'rif 1

Quvvat ifodasi darajalarni o'z ichiga olgan ifodadir.

Biz kuch ifodalariga bir nechta misollarni keltiramiz, ular tabiiy ko'rsatkichli darajadan boshlanib, haqiqiy darajali daraja bilan tugaydi.

Eng oddiy kuch ifodalarini natural darajali sonning darajalari deb hisoblash mumkin: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 - 1 , (a 2) 3 . Shuningdek, nol darajali darajalar: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Va manfiy butun darajali darajalar: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga ega bo'lgan daraja bilan ishlash biroz qiyinroq: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2, x p · x 1 - p, 2 3 3 + 5.

Ko'rsatkich 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o'zgaruvchisi yoki logarifm bo'lishi mumkin. x 2 l g x - 5 x l g x.

Biz kuch ifodalari nima degan savolni ko'rib chiqdik. Endi ularni o'zgartiramiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Avvalo, biz kuch ifodalari bilan bajarilishi mumkin bo'lgan ifodalarning asosiy o'ziga xos o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz.

1-misol

Quvvat ifodasi qiymatini hisoblang 2 3 (4 2 - 12).

Yechim

Biz barcha o'zgarishlarni harakatlar tartibiga rioya qilgan holda amalga oshiramiz. Bunday holda, biz qavs ichidagi harakatlarni bajarishdan boshlaymiz: biz darajani raqamli qiymat bilan almashtiramiz va ikki raqam orasidagi farqni hisoblaymiz. Bizda ... bor 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Darajani almashtirish biz uchun qoladi 2 3 uning ma'nosi 8 va mahsulotni hisoblang 8 4 = 32. Mana bizning javobimiz.

Javob: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

2-misol

Kuchlar bilan ifodani soddalashtiring 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Yechim

Muammo shartida bizga berilgan ibora o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi, biz ularni keltira olamiz: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Javob: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 = 5 a 4 b - 7 - 1.

3-misol

9 - b 3 · p - 1 2 darajali ifodani hosila sifatida ifodalang.

Yechim

9 raqamini kuch sifatida ifodalaylik 3 2 va qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llang:

9 - b 3 p - 1 2 = 3 2 - b 3 p - 1 2 = = 3 - b 3 p - 1 3 + b 3 p - 1

Javob: 9 - b 3 p - 1 2 = 3 - b 3 p - 1 3 + b 3 p - 1.

Keling, kuch ifodalariga maxsus qo'llanilishi mumkin bo'lgan bir xil o'zgarishlar tahliliga o'tamiz.

Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash

Baza yoki ko'rsatkichdagi daraja raqamlar, o'zgaruvchilar va ba'zi ifodalarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 Va . Bunday yozuvlar bilan ishlash qiyin. Darajaning asosidagi ifodani yoki ko'rsatkichdagi ifodani bir xil teng ifoda bilan almashtirish ancha oson.

Darajani va ko'rsatkichni o'zgartirish bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq bir-biridan alohida amalga oshiriladi. Eng muhimi, o'zgartirishlar natijasida asl nusxaga o'xshash ifoda olinadi.

Transformatsiyalarning maqsadi asl ifodani soddalashtirish yoki muammoning echimini olishdir. Masalan, biz yuqorida keltirgan misolda (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 darajaga oʻtish amallarini bajarishingiz mumkin. 4 , 1 1 , 3 . Qavslarni ochib, biz daraja asosiga o'xshash atamalarni keltira olamiz (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) va soddaroq shakldagi kuch ifodasini oling a 2 (x + 1).

Quvvat xususiyatlaridan foydalanish

Tenglik sifatida yozilgan darajalarning xossalari iboralarni darajalar bilan o'zgartirishning asosiy vositalaridan biridir. Biz buni hisobga olgan holda asosiylarini taqdim etamiz a Va b har qanday ijobiy sonlar va r Va s- ixtiyoriy haqiqiy sonlar:

Ta'rif 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r - s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Tabiiy, butun, musbat ko'rsatkichlar bilan bog'liq bo'lgan hollarda, a va b raqamlariga nisbatan cheklovlar kamroq bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, tenglikni hisobga olsak a m a n = a m + n, Qayerda m Va n natural sonlar bo'lsa, u a ning har qanday musbat va manfiy qiymatlari uchun ham, uchun ham to'g'ri bo'ladi a = 0.

Darajalar asoslari ijobiy bo'lgan yoki qabul qilinadigan qiymatlar diapazoni asoslar faqat ijobiy qiymatlarni qabul qiladigan o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan hollarda siz darajalarning xususiyatlarini cheklovlarsiz qo'llashingiz mumkin. Darhaqiqat, matematika bo'yicha maktab o'quv dasturi doirasida o'quvchining vazifasi tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llashdir.

Universitetlarga kirishga tayyorgarlik ko'rayotganda, xususiyatlarni noto'g'ri qo'llash ODZning torayishiga va hal qilishda boshqa qiyinchiliklarga olib keladigan vazifalar bo'lishi mumkin. Ushbu bo'limda biz faqat ikkita bunday holatni ko'rib chiqamiz. Mavzu bo'yicha qo'shimcha ma'lumotni "Ko'rsatkich xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni o'zgartirish" mavzusida topishingiz mumkin.

4-misol

Ifodani ifodalang a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 bazaga ega daraja sifatida a.

Yechim

Boshlash uchun biz eksponentatsiya xususiyatidan foydalanamiz va undan foydalanib ikkinchi omilni o'zgartiramiz (a 2) − 3. Keyin bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanamiz:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - (- 5 , 5) ) = a 2.

Javob: a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 = a 2 .

Darajalar xususiyatiga ko'ra kuch ifodalarini o'zgartirish chapdan o'ngga ham, teskari yo'nalishda ham amalga oshirilishi mumkin.

5-misol

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 kuch ifodasining qiymatini toping.

Yechim

Agar tenglikni qo'llasak (a b) r = a r b r, o'ngdan chapga, keyin biz 3 7 1 3 21 2 3 va keyin 21 1 3 21 2 3 ko'rinishdagi hosilani olamiz. Bir xil asoslar bilan darajalarni ko'paytirishda ko'rsatkichlarni qo'shamiz: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

O'zgarishlarni amalga oshirishning yana bir usuli bor:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Javob: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

6-misol

Quvvat ifodasi berilgan a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, yangi o'zgaruvchini kiriting t = a 0 , 5.

Yechim

Darajani tasavvur qiling a 1, 5 Qanaqasiga a 0, 5 3. Darajada daraja xususiyatidan foydalanish (a r) s = a r s o'ngdan chapga va (a 0 , 5) 3 ni oling: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Olingan ifodada siz osongina yangi o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin t = a 0 , 5: olish t 3 - t - 6.

Javob: t 3 - t - 6.

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Biz odatda kasrlar bilan kuch ifodalarining ikkita varianti bilan shug'ullanamiz: ifoda darajali kasr yoki shunday kasrni o'z ichiga oladi. Barcha asosiy kasr konvertatsiyalari bunday iboralar uchun cheklovlarsiz qo'llaniladi. Ularni qisqartirish, yangi maxrajga olib kelish, hisoblagich va maxraj bilan alohida ishlash mumkin. Buni misollar bilan tushuntirib beraylik.

7-misol

Quvvat ifodasini soddalashtiring 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2.

Yechim

Biz kasr bilan ishlaymiz, shuning uchun biz hisoblagichda ham, maxrajda ham o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Maxraj belgisini o'zgartirish uchun kasr oldiga minus qo'ying: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Javob: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Darajani o'z ichiga olgan kasrlar ratsional kasrlar kabi yangi maxrajga keltiriladi. Buning uchun qo'shimcha ko'paytmani topib, kasrning pay va maxrajini unga ko'paytirish kerak. Asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilardan o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari yo'qolib ketmasligi uchun qo'shimcha omilni tanlash kerak.

8-misol

Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) a + 1 a 0, maxrajga 7 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 maxrajga x + 8 y 1 2.

Yechim

a) Biz yangi maxrajga kamaytirish imkonini beradigan omilni tanlaymiz. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, shuning uchun qo'shimcha omil sifatida biz olamiz a 0, 3. a o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni barcha ijobiy haqiqiy sonlar to'plamini o'z ichiga oladi. Bu sohada daraja a 0, 3 nolga tushmaydi.

Kasrning soni va maxrajini ga ko'paytiramiz a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) maxrajga e'tibor bering:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Ushbu ifodani x 1 3 + 2 · y 1 6 ga ko'paytiramiz, biz x 1 3 va 2 · y 1 6 kublar yig'indisini olamiz, ya'ni. x + 8 · y 1 2 . Bu bizning yangi maxrajimiz, unga asl kasrni keltirishimiz kerak.

Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik x 1 3 + 2 · y 1 6 . O'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida x Va y x 1 3 + 2 y 1 6 ifodasi yo'qolmaydi, shuning uchun kasrning soni va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Javob: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

9-misol

Kasrni kamaytiring: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Yechim

a) Numerator va maxrajni kamaytirish mumkin bo'lgan eng katta umumiy maxrajdan (GCD) foydalaning. 30 va 45 raqamlari uchun bu 15 ga teng. Biz ham kamaytirishimiz mumkin x 0 , 5 + 1 va x + 2 x 1 1 3 - 5 3 da.

Biz olamiz:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0 , 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0 , 5 + 1)

b) Bu erda bir xil omillarning mavjudligi aniq emas. Numerator va denominatorda bir xil omillarni olish uchun siz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajni kengaytiramiz:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Javob: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.

Kasrlar bilan bajariladigan asosiy amallarga yangi maxrajga keltirish va kasrlarni kamaytirish kiradi. Har ikkala harakat ham bir qator qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shish va ayirishda kasrlar birinchi navbatda umumiy maxrajga keltiriladi, shundan so'ng sanoqchilar bilan amallar (qo'shish yoki ayirish) bajariladi. Maxraj bir xil bo'lib qoladi. Bizning harakatlarimiz natijasi yangi kasr bo'lib, uning soni sonlarning ko'paytmasi, maxraji esa maxrajlarning mahsulotidir.

10-misol

X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 qadamlarini bajaring.

Yechim

Qavslar ichidagi kasrlarni ayirish bilan boshlaylik. Keling, ularni umumiy maxrajga keltiramiz:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Numeratorlarni ayiraylik:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Endi kasrlarni ko'paytiramiz:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Keling, bir darajaga kamaytiraylik x 1 2, biz 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 ni olamiz.

Bundan tashqari, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: kvadratlar: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Javob: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

11-misol

X 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 kuch ifodasini soddalashtiring.
Yechim

Biz kasrni kamaytirishimiz mumkin (x 2 , 7 + 1) 2. Biz x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kasrni olamiz.

X darajali x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 ni o'zgartirishni davom ettiramiz. Endi siz quvvatni taqsimlash xususiyatidan bir xil asoslar bilan foydalanishingiz mumkin: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Biz oxirgi mahsulotdan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 kasrga o'tamiz.

Javob: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Aksariyat hollarda manfiy darajali ko‘paytiruvchilarni ko‘rsatkichdan maxrajga va aksincha ko‘rsatkich belgisini o‘zgartirish orqali o‘tkazish qulayroqdir. Ushbu harakat keyingi qarorni soddalashtiradi. Misol keltiramiz: kuch ifodasi (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 ni x 3 · (x + 1) 0 , 2 bilan almashtirish mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Vazifalarda nafaqat kasr ko'rsatkichlari bo'lgan darajalarni, balki ildizlarni ham o'z ichiga olgan kuch ifodalari mavjud. Bunday iboralarni faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga qisqartirish maqsadga muvofiqdir. Darajaga o'tish afzalroq, chunki ular bilan ishlash osonroq. Bunday o'tish, ayniqsa, dastlabki ifoda uchun o'zgaruvchilarning DPV moduliga kirish yoki DPVni bir necha intervallarga bo'lish kerak bo'lmasdan, ildizlarni kuchlar bilan almashtirishga imkon berganda foydalidir.

12-misol

x 1 9 x x 3 6 ifodani daraja sifatida ifodalang.

Yechim

Oʻzgaruvchining yaroqli diapazoni x ikki tengsizlik bilan aniqlanadi x ≥ 0 va to'plamni aniqlaydigan x · x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .

Ushbu to'plamda biz ildizlardan kuchlarga o'tish huquqiga egamiz:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Darajalar xossalaridan foydalanib, hosil bo'lgan kuch ifodasini soddalashtiramiz.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Javob: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3.

Ko'rsatkichdagi o'zgaruvchilar bilan darajalarni aylantirish

Agar siz darajaning xususiyatlaridan to'g'ri foydalansangiz, bu o'zgarishlarni amalga oshirish juda oson. Masalan, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.

Biz daraja ko'paytmasini almashtirishimiz mumkin, bunda qandaydir o'zgaruvchi va sonning yig'indisi topiladi. Chap tomonda buni ifodaning chap tomonidagi birinchi va oxirgi shartlar bilan bajarish mumkin:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.

Endi tenglamaning ikkala tomonini ga ajratamiz 7 2 x. x o'zgaruvchisining ODZ dagi ushbu ifoda faqat ijobiy qiymatlarni oladi:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Kasrlarni darajalar bilan kamaytiramiz, biz olamiz: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Nihoyat, bir xil darajali darajalar nisbati nisbatlarning darajalari bilan almashtiriladi, bu 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tenglamasiga olib keladi, bu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 ga teng. x - 2 = 0.

Dastlabki ko'rsatkichli tenglamaning yechimini 5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 kvadrat tenglamaning yechimiga qisqartiruvchi yangi t = 5 7 x o'zgaruvchini kiritamiz.

Darajalar va logarifmlar bilan ifodalarni aylantirish

Masalalarda darajalar va logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalar ham uchraydi. Bunday ifodalarga misollar: 1 4 1 - 5 log 2 3 yoki log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Bunday ifodalarni o'zgartirish yuqorida ko'rib chiqilgan yondashuvlar va biz "Logarifmik ifodalarni o'zgartirish" mavzusida batafsil tahlil qilgan logarifmlarning xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi

Quvvat ifodalari (kuchli ifodalar) va ularning transformatsiyasi

Ushbu maqolada biz iboralarni kuchlar bilan o'zgartirish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz har qanday turdagi ifodalar, jumladan, qavslarni ochish, o'xshash atamalarni qisqartirish kabi kuch ifodalari bilan amalga oshiriladigan transformatsiyalarga e'tibor qaratamiz. Va keyin biz darajali ifodalarga xos bo'lgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz: asos va ko'rsatkich bilan ishlash, darajalar xususiyatlaridan foydalanish va hk.

Sahifani navigatsiya qilish.

Quvvat ifodalari nima?

"Kuch ifodalari" atamasi maktab matematika darsliklarida deyarli uchramaydi, lekin u ko'pincha, masalan, Yagona davlat imtihoniga va OGEga tayyorgarlik ko'rish uchun mo'ljallangan muammolar to'plamlarida uchraydi. Kuch ifodalari bilan har qanday harakatlarni bajarish talab qilinadigan vazifalarni tahlil qilgandan so'ng, kuch ifodalari ularning yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralar sifatida tushunilishi aniq bo'ladi. Shuning uchun, o'zingiz uchun quyidagi ta'rifni olishingiz mumkin:

Ta'rif.

Quvvat ifodalari vakolatlarni o'z ichiga olgan iboralardir.

olib kelamiz kuch ifodalariga misollar. Bundan tashqari, biz ularni tabiiy ko'rsatkichli darajadan real ko'rsatkichli darajaga qarashlarning rivojlanishi qanday sodir bo'lishiga qarab ifodalaymiz.

Ma’lumki, avvalo natural ko‘rsatkichli sonning darajasi bilan tanishasiz, bu bosqichda 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1) tipidagi birinchi eng oddiy daraja ifodalari bilan tanishasiz. ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 va hokazo.

Biroz vaqt o'tgach, butun ko'rsatkichli sonning kuchi o'rganiladi, bu manfiy butun darajali darajali iboralarning paydo bo'lishiga olib keladi, masalan: 3 -2, , a -2 +2 b -3 + c 2.

Yuqori sinflarda ular yana darajalarga qaytadilar. U erda ratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu tegishli kuch ifodalarining paydo bo'lishiga olib keladi: , , va h.k. Nihoyat, irratsional darajali darajalar va ularni o'z ichiga olgan ifodalar ko'rib chiqiladi: , .

Gap faqat sanab o'tilgan kuch ifodalari bilan cheklanmaydi: bundan keyin o'zgaruvchi ko'rsatkichga kiradi va, masalan, 2 x 2 +1 yoki bunday ifodalar mavjud. . Va tanishgandan so'ng, kuch va logarifmli iboralar paydo bo'la boshlaydi, masalan, x 2 lgx -5 x lgx.

Shunday qilib, biz kuch ifodalari nima degan savolni aniqladik. Keyinchalik, biz ularni qanday o'zgartirishni o'rganamiz.

Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari

Quvvat ifodalari bilan siz har qanday asosiy ishni bajarishingiz mumkin ifodalarning bir xil o'zgarishlari. Masalan, qavslarni kengaytirish, raqamli ifodalarni ularning qiymatlari bilan almashtirish, o'xshash shartlarni qo'shish va hokazo. Tabiiyki, bu holda qabul qilinganlarga rioya qilish kerak harakatlar tartibi. Keling, misollar keltiraylik.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 3 ·(4 2 −12) .

Yechim.

Harakatlar tartibiga ko'ra, biz birinchi navbatda qavs ichidagi amallarni bajaramiz. U erda, birinchidan, biz 4 2 kuchini uning qiymati 16 bilan almashtiramiz (agar kerak bo'lsa, qarang), ikkinchidan, farqni hisoblaymiz 16−12=4 . Bizda ... bor 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Olingan ifodada 2 3 ning kuchini uning qiymati 8 ga almashtiramiz, shundan so'ng 8·4=32 ko'paytmani hisoblaymiz. Bu kerakli qiymat.

Shunday qilib, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Javob:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Misol.

Quvvat ifodalarini soddalashtiring 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Yechim.

Shubhasiz, bu iborani o'z ichiga oladi atamalar kabi 3 a 4 b −7 va 2 a 4 b −7 , va biz ularni qisqartirishimiz mumkin: .

Javob:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misol.

Mahsulot sifatida kuchlar bilan ifodani ifodalang.

Yechim.

Vazifani engish uchun 9 raqamini 3 2 kuchi sifatida ko'rsatish va undan keyin foydalanish imkonini beradi. qisqartirilgan ko'paytirish formulalari kvadratchalar farqi:

Javob:

Quvvat ifodalariga xos bo'lgan bir qancha o'xshash o'zgarishlar ham mavjud. Keyinchalik, biz ularni tahlil qilamiz.

Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash

Darajalar mavjud bo'lib, ularning asosi va/yoki ko'rsatkichlari nafaqat raqamlar yoki o'zgaruvchilar, balki ba'zi ifodalardir. Misol tariqasida (2+0,3 7) 5−3,7 va (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) ni yozamiz.

O'xshash iboralar bilan ishlashda daraja asosidagi ifoda ham, ko'rsatkichdagi ifoda ham bir xil teng ifoda bilan almashtirilishi mumkin. ODZ uning o'zgaruvchilari. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga ko'ra, biz darajaning bazasini va alohida - ko'rsatkichni alohida o'zgartirishimiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, bu o'zgartirish natijasida asl nusxaga bir xil teng bo'lgan ifoda olinadi.

Bunday o'zgarishlar bizga vakolatlar bilan ifodalarni soddalashtirish yoki bizga kerak bo'lgan boshqa maqsadlarga erishish imkonini beradi. Masalan, yuqorida aytib o'tilgan (2+0,3 7) 5−3,7 kuch ifodasida siz baza va ko'rsatkichdagi raqamlar bilan amallarni bajarishingiz mumkin, bu sizga 4,1 1,3 darajasiga o'tish imkonini beradi. Qavslarni ochib, (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) daraja asosiga o‘xshash shartlarni keltirgandan so‘ng, a 2·(x+1) oddiyroq ko‘rinishdagi daraja ifodasini olamiz. ).

Quvvat xususiyatlaridan foydalanish

Kuchlar bilan ifodalarni o'zgartirishning asosiy vositalaridan biri aks ettiruvchi tenglikdir. Keling, asosiylarini eslaylik. Har qanday musbat a va b sonlar va ixtiyoriy r va s haqiqiy sonlar uchun quyidagi quvvat xossalari amal qiladi:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Esda tutingki, natural, butun va musbat ko‘rsatkichlar uchun a va b raqamlariga cheklovlar unchalik qattiq bo‘lmasligi mumkin. Masalan, m va n natural sonlar uchun a m ·a n =a m+n tenglik faqat musbat a uchun emas, manfiy sonlar uchun ham, a=0 uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi.

Maktabda kuch ifodalarini o'zgartirishda asosiy e'tibor aynan tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llash qobiliyatiga qaratilgan. Bunday holda, darajalarning asoslari odatda ijobiy bo'lib, bu darajalarning xususiyatlaridan cheklovlarsiz foydalanishga imkon beradi. Xuddi shu narsa darajalar bazasida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish uchun ham amal qiladi - o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari diapazoni odatda shunday bo'ladiki, asoslar faqat ijobiy qiymatlarni oladi, bu sizga xususiyatlardan erkin foydalanish imkonini beradi. darajalar. Umuman olganda, siz doimo o'zingizdan bu holatda darajalarning har qanday xususiyatini qo'llash mumkinmi, deb so'rashingiz kerak, chunki xususiyatlardan noto'g'ri foydalanish ODZning torayishi va boshqa muammolarga olib kelishi mumkin. Ushbu fikrlar maqolada batafsil va misollar bilan muhokama qilinadi. kuchlar xossalari yordamida ifodalarni o'zgartirish. Bu erda biz bir nechta oddiy misollar bilan cheklanamiz.

Misol.

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifodani a asosli daraja sifatida ifodalang.

Yechim.

Birinchidan, biz ikkinchi omilni (a 2) -3 ni quvvatni kuchga ko'tarish xususiyatiga aylantiramiz: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Bunday holda, boshlang'ich kuch ifodasi a 2,5 ·a -6:a -5,5 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanish qoladi.
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Javob:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Quvvat xususiyatlari kuch ifodalarini chapdan o'ngga va o'ngdan chapga o'zgartirganda ishlatiladi.

Misol.

Quvvat ifodasining qiymatini toping.

Yechim.

Tenglik (a·b) r =a r ·b r , o'ngdan chapga qo'llaniladi, dastlabki ifodadan shakl ko'paytmasiga va undan keyingisiga o'tish imkonini beradi. Va kuchlarni bir xil asosga ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi: .

Asl ifodani o'zgartirishni boshqa yo'l bilan amalga oshirish mumkin edi:

Javob:

.

Misol.

1,5 −a 0,5 −6 quvvat ifodasi berilgan bo‘lsa, t=a 0,5 yangi o‘zgaruvchini kiriting.

Yechim.

a 1,5 darajasi 0,5 3 sifatida ifodalanishi mumkin va undan keyin daraja xossasi asosida (a r) s =a r s o'ngdan chapga qo'llaniladi, uni (a 0,5) 3 ko'rinishiga aylantiring. Shunday qilib, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Endi t=a 0,5 yangi o'zgaruvchini kiritish oson, biz t 3 −t−6 ni olamiz.

Javob:

t 3 −t−6 .

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish

Quvvat ifodalari darajali kasrlarni o'z ichiga olishi yoki bunday kasrlarni ifodalashi mumkin. Bunday kasrlarga, har qanday asosiy kasr konvertatsiyalari, har qanday turdagi kasrlarga xos bo'lgan. Ya'ni, darajalari bo'lgan kasrlar kamaytirilishi, yangi maxrajga keltirilishi, o'z hisoblagichi bilan alohida va maxraj bilan alohida ishlashi mumkin va hokazo. Yuqoridagi so'zlarni tasvirlash uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Yechim.

Bu kuch ifodasi kasrdir. Keling, uning soni va maxraji bilan ishlaymiz. Numeratorda biz qavslarni ochamiz va undan keyin olingan ifodani darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiramiz va maxrajda biz shunga o'xshash atamalarni keltiramiz:

Va kasr oldiga minus qo'yib, maxraj belgisini ham o'zgartiramiz: .

Javob:

.

Huddi o'z ichiga olgan kasrlarni yangi maxrajga kamaytirish ratsional kasrlarni yangi maxrajga qisqartirish kabi amalga oshiriladi. Shu bilan birga, qo'shimcha ko'rsatkich ham topiladi va kasrning soni va maxraji unga ko'paytiriladi. Ushbu amalni bajarayotganda, yangi maxrajga qisqartirish DPV ning torayishiga olib kelishi mumkinligini yodda tutish kerak. Bunga yo'l qo'ymaslik uchun qo'shimcha omil asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilaridagi o'zgaruvchilarning hech qanday qiymatlari uchun yo'qolmasligi kerak.

Misol.

Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) a, b) maxrajga. maxrajga.

Yechim.

a) Bunday holda, kerakli natijaga erishish uchun qanday qo'shimcha omil yordam berishini aniqlash juda oson. Bu 0,3 faktor, chunki 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . E'tibor bering, a o'zgaruvchisining qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida (bu barcha ijobiy haqiqiy sonlar to'plami), a darajasi 0,3 yo'qolmaydi, shuning uchun biz berilgan kasrning hisoblagichi va maxrajini ko'paytirish huquqiga egamiz. ushbu qo'shimcha omil bilan:

b) maxrajga diqqat bilan qarasak, buni topamiz

va bu ifodani ga ko'paytirsak, kublar yig'indisi va , ya'ni . Va bu biz asl kasrni keltirishimiz kerak bo'lgan yangi maxrajdir.

Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik. Ifoda x va y o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida yo'qolmaydi, shuning uchun biz kasrning numeratori va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:

Javob:

A) , b) .

Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni kamaytirishda ham yangilik yo'q: pay va maxraj ma'lum miqdordagi omillar sifatida ifodalanadi va pay va maxrajning bir xil omillari kamayadi.

Misol.

Kasrni kamaytiring: a) , b).

Yechim.

a) Birinchidan, pay va maxrajni 30 va 45 raqamlariga qisqartirish mumkin, bu 15 ga teng. Bundan tashqari, shubhasiz, siz x 0,5 +1 va tomonidan kamaytirishingiz mumkin . Mana bizda nima bor:

b) Bunda sanoq va maxrajdagi bir xil omillar darhol ko'rinmaydi. Ularni olish uchun siz dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak. Bunday holda, ular maxrajni kvadratlar farqi formulasiga muvofiq omillarga ajratishdan iborat:

Javob:

A)

b) .

Kasrlarni yangi maxrajga qisqartirish va kasrlarni kamaytirish asosan kasrlar ustida amallarni bajarish uchun ishlatiladi. Harakatlar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shish (ayirish) paytida ular umumiy maxrajga keltiriladi, shundan so'ng sanoqlar qo'shiladi (ayiriladi) va maxraj bir xil bo'lib qoladi. Natijada ayiruvchisi ayirmalarning ko‘paytmasiga, maxraji esa maxrajlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kasr hosil bo‘ladi. Kasrga bo'lish uning o'zaro ko'paytirishdir.

Misol.

Qadamlarni bajaring .

Yechim.

Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni ayiramiz. Buning uchun biz ularni umumiy maxrajga keltiramiz, ya'ni , keyin sanoqlarni ayirish:

Endi kasrlarni ko'paytiramiz:

Shubhasiz, quvvatni x 1/2 ga kamaytirish mumkin, shundan keyin biz bor .

Shuningdek, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: .

Javob:

Misol.

Quvvat ifodasini soddalashtiring .

Yechim.

Shubhasiz, bu kasrni (x 2,7 +1) 2 ga kamaytirish mumkin, bu kasrni beradi. . X ning kuchlari bilan yana bir narsa qilish kerakligi aniq. Buning uchun hosil bo'lgan kasrni mahsulotga aylantiramiz. Bu bizga bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash xususiyatidan foydalanish imkoniyatini beradi: . Va jarayonning oxirida biz oxirgi mahsulotdan fraktsiyaga o'tamiz.

Javob:

.

Va shuni qo'shamizki, manfiy ko'rsatkichli omillarni ko'rsatkich belgisini o'zgartirib, ayirboshlovchidan maxrajga yoki maxrajdan hisoblagichga o'tkazish mumkin va ko'p hollarda maqsadga muvofiqdir. Bunday o'zgarishlar ko'pincha keyingi harakatlarni soddalashtiradi. Masalan, kuch ifodasi bilan almashtirilishi mumkin.

Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish

Ko'pincha ba'zi transformatsiyalar talab qilinadigan iboralarda kasr ko'rsatkichlari bilan darajalar bilan bir qatorda ildizlar ham mavjud. Bunday ifodani kerakli shaklga aylantirish uchun ko'p hollarda faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga o'tish kifoya. Ammo darajalar bilan ishlash qulayroq bo'lgani uchun ular odatda ildizlardan darajaga o'tadi. Biroq, asl ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ modulga kirish yoki ODZni bir necha intervallarga bo'lish kerak bo'lmasdan ildizlarni darajalar bilan almashtirishga imkon berganda bunday o'tishni amalga oshirish tavsiya etiladi (biz buni batafsil muhokama qildik. maqola, ildizlardan darajalarga o'tish va aksincha Ratsional ko'rsatkichli daraja bilan tanishgandan so'ng, irratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu ixtiyoriy real ko'rsatkichli daraja haqida gapirishga imkon beradi.Bu bosqichda, maktab o'qishni boshlaydi eksponensial funktsiya, bu analitik ravishda daraja bilan beriladi, uning asosida raqam mavjud va ko'rsatkichda - o'zgaruvchi. Shunday qilib, biz daraja bazasida raqamlarni va ko'rsatkichni o'z ichiga olgan kuch ifodalariga duch kelamiz - o'zgaruvchili ifodalar va tabiiy ravishda bunday ifodalarni o'zgartirish zarurati tug'iladi.

Aytish kerakki, ko'rsatilgan turdagi ifodalarni o'zgartirish odatda hal qilishda amalga oshirilishi kerak eksponensial tenglamalar Va eksponensial tengsizliklar, va bu o'zgarishlar juda oddiy. Aksariyat hollarda ular darajaning xususiyatlariga asoslanadi va asosan kelajakda yangi o'zgaruvchini kiritishga qaratilgan. Tenglama bizga ularni ko'rsatishga imkon beradi 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birinchidan, ko'rsatkichlarida qandaydir o'zgaruvchi (yoki o'zgaruvchili ifoda) va sonning yig'indisi topilgan ko'rsatkichlar ko'paytmalar bilan almashtiriladi. Bu chap tomondagi ifodaning birinchi va oxirgi shartlariga taalluqlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Keyinchalik, tenglikning ikkala tomoni 7 2 x ifodasiga bo'linadi, bu asl tenglama uchun ODZ o'zgaruvchisi x bo'yicha faqat ijobiy qiymatlarni oladi (bu bunday tenglamalarni echishning standart usuli, biz bu haqda gapirmayapmiz. endi, shuning uchun kuchlar bilan ifodalarning keyingi o'zgarishlariga e'tibor qarating):

Endi kuchga ega bo'lgan kasrlar bekor qilinadi, bu beradi .

Nihoyat, bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan kuchlar nisbati nisbatlarning vakolatlari bilan almashtiriladi, bu tenglamaga olib keladi. ga teng . Amalga oshirilgan o'zgartirishlar bizga yangi o'zgaruvchini kiritish imkonini beradi, bu esa dastlabki eksponensial tenglamaning yechimini kvadrat tenglamaning yechimiga kamaytiradi.

I. V. Boikov, L. D. Romanova Imtihonga tayyorgarlik ko'rish uchun vazifalar to'plami. 1-qism. Penza 2003 yil.