Funktsiyaning mavzu chegarasi bo'yicha taqdimot. Funksiya chegarasi Funksiyaning nuqtadagi chegarasi Bir tomonlama chegaralar Funksiyaning chegarasi x cheksizlikka intiladi kabi Limitlar haqida asosiy teoremalar Limitlarni hisoblash. Limitlarning asosiy xossalari

Limitlarni hisoblash qoidalari Agar lim f(x) = b va lim g(x) =c bo'lsa, x 1) yig'indining chegarasi chegaralar yig'indisiga teng: lim (f(x)+ g(x) ) = lim f(x)+ lim g(x) = b+ c x x x 2) Ko‘paytmaning chegarasi chegaralar ko‘paytmasiga teng: lim f(x) g(x) = lim f(x) * lim g. (x) = b c x x x 3) Bo'lim chegarasi chegaralar qismiga teng: lim f(x):g(x) = lim f(x) : lim g(x)= b:c x x x = k b x x.

Abstrakt rejasi y=1/x va y=1/x funksiyalar grafiklari 2. y=1/x m funksiyalar grafiklari, m juft va toq uchun. Gorizontal asimptota haqida tushuncha. Funksiyaning +, -, ustidagi chegarasi haqida tushuncha. Funksiya chegarasining +, -, ustidagi geometrik ma'nosi. Funktsiya chegaralarini hisoblash qoidalari. Funktsiya chegarasini hisoblash uchun formulalar. Funksiya chegaralarini hisoblash texnikasi.

Darsning qisqacha mazmuni Funksiya chegarasining cheksizlikda mavjudligi nimani anglatadi? y=1/ x 4 funksiya qanday asimptotaga ega? Funksiya chegaralarini cheksizlikda hisoblashning qanday qoidalarini bilasiz? Cheklarni cheksizlikda hisoblash uchun qanday formulalar bilan tanishdingiz? Limni (5-3x 3) / (6x 3 +2) qanday topish mumkin? x

Adabiyotlar: - A.G. Mordkovich. Algebra va dastlabki hisoblash darslari. Mnemosin. M A. G. Mordkovich., P. V. Semenov. O'qituvchi uchun uslubiy qo'llanma. Algebra va dastlabki hisoblash sinfi. Asosiy daraja. M. Mnemozina. 2010 yil

Dars maqsadlari:

• Tarbiyaviy:
  • son chegarasi, funksiya chegarasi tushunchasini kiritish;
  • noaniqlik turlari haqida tushunchalar berish;
  • funktsiya chegaralarini hisoblashni o'rganish;
  • olingan bilimlarni tizimlashtirish, o'z-o'zini nazorat qilish, o'zaro nazoratni faollashtirish.
• Rivojlanayotgan:
  • chegaralarni hisoblash uchun olingan bilimlarni qo'llay olish.
  • matematik fikrlashni rivojlantirish.
• Tarbiyaviy: matematika va aqliy mehnat fanlariga qiziqishni rivojlantirish.

Dars turi: birinchi dars

Talabalar ishining shakllari: frontal, individual

Kerakli jihozlar: interfaol doska, multimedia proyektori, og'zaki va tayyorgarlik mashqlari yozilgan kartalar.

Dars rejasi

1. Tashkiliy davr (3 min.)
2. Funksiya chegarasi nazariyasi bilan tanishish. tayyorgarlik mashqlari. (12 daqiqa)
3. Funksiya chegaralarini hisoblash (10 min.)
4. Mustaqil mashqlar (15 min.)
5. Darsni yakunlash (2 min.)
6. Uyga vazifa (3 min.)

Darslar davomida

1. Tashkiliy moment

O'qituvchi bilan salomlashish, yo'qlarni belgilash, darsga tayyorgarlikni tekshirish. Darsning mavzusi va maqsadini ayting. Kelajakda barcha vazifalar interfaol doskada ko'rsatiladi.

2. Funksiya chegarasi nazariyasi bilan tanishish. tayyorgarlik mashqlari.

Funktsiya chegarasi (funktsiya chegarasi) berilgan nuqtada, funktsiyani aniqlash sohasi uchun cheklovchi, ko'rib chiqilayotgan funktsiya o'z argumenti berilgan nuqtaga moyil bo'lganida shunday qiymatdir.
Limit quyidagicha yoziladi.

Keling, chegarani hisoblaylik:
Biz x - 3 o'rniga almashtiramiz.
E'tibor bering, raqamning chegarasi raqamning o'ziga teng.

Misollar: hisoblash chegaralari

Agar funksiya sohasining qaysidir nuqtasida chegara mavjud bo‘lsa va bu chegara berilgan nuqtadagi funksiya qiymatiga teng bo‘lsa, u holda funksiya uzluksiz (berilgan nuqtada) deyiladi.

Funksiyaning x 0 = 3 nuqtadagi qiymatini va shu nuqtadagi chegara qiymatini hisoblaymiz.

Bu nuqtadagi limitning qiymati va funksiyaning qiymati mos keladi, shuning uchun funksiya x 0 = 3 nuqtada uzluksizdir.

Ammo chegaralarni hisoblashda ko'pincha qiymati aniqlanmagan iboralar paydo bo'ladi. Bunday iboralar deyiladi noaniqliklar.

Noaniqlikning asosiy turlari:

Noaniqliklarni oshkor qilish

Noaniqliklarni hal qilish uchun quyidagilar qo'llaniladi:

• funktsiya ifodasini soddalashtiring: faktorlarga ajratish, qisqartirilgan ko'paytirish formulalari, trigonometrik formulalar yordamida funktsiyani o'zgartirish, yanada kamaytirish imkonini beruvchi konjugatga ko'paytirish va hokazo va hokazo;
• agar noaniqliklarni ochishda chegara mavjud bo'lsa, u holda funktsiya belgilangan qiymatga yaqinlashadi, agar bunday chegara mavjud bo'lmasa, u holda funksiya ajratiladi.

Misol: chegarani hisoblang.
Numeratorni koeffitsientlarga ajratamiz

3. Funksiya chegaralarini hisoblash

1-misol. Funktsiya chegarasini hisoblang:

To'g'ridan-to'g'ri almashtirish bilan noaniqlik olinadi:

4. Mustaqil mashqlar

Cheklovlarni hisoblash:

5. Darsni yakunlash

Bu dars birinchi

Ushbu loyihada nazariy materiallar bilan bir qatorda amaliy materiallar ham ko'rib chiqildi. Amaliy qo'llashda biz chegaralarni hisoblashning barcha turlarini ko'rib chiqdik. Oliy matematikaning ikkinchi bo'limini o'rganish allaqachon katta qiziqish uyg'otmoqda, chunki o'tgan yildan beri "Matritsalar. Matritsa xossalarini tenglamalar tizimlarini yechishda qo‘llash”. Bu erda bunday nazorat yo'q. Oliy matematika bo'limlarini o'rganish o'zining ijobiy natijasini beradi. Ushbu kurs bo'yicha mashg'ulotlar o'z natijalarini berdi: - katta hajmdagi nazariy va amaliy materiallarni o'rgandi; - limitni hisoblash usulini tanlash qobiliyati ishlab chiqilgan; - har bir hisoblash usulidan malakali foydalanish ishlab chiqilgan; - vazifa algoritmini loyihalash qobiliyati belgilangan. Biz oliy matematika bo'limlarini o'rganishni davom ettiramiz. Uni o'rganishdan maqsad oliy matematika kursini qayta o'rganishga yaxshi tayyorlanamiz.

I reja Funksiya chegarasi tushunchasi II Chegaraning geometrik ma’nosi III Cheksiz kichik va katta funksiyalar va ularning xossalari IV Limitlarni hisoblash: 1) Ko’p qo’llaniladigan chegaralardan ba’zilari; 2) Uzluksiz funksiyalar chegaralari; 3) Murakkab funksiyalarning chegaralari; 4) Noaniqliklar va ularni hal qilish usullari

0 boʻlsa, Ox oʻqi boʻyicha a nuqtaning d-qoʻshnisini belgilashingiz mumkin, shundayki, x=a dan tashqari ushbu qoʻshnilikdagi barcha xlar uchun y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qoʻshnisida yotadi Matematik belgilar: Uchun |x-a|" title=" Chegaraning geometrik ma'nosi Ta'rif: Har qanday e>0 uchun Ox o'qidagi a nuqtaning d-qo'shnisini ko'rsatishingiz mumkin, shunday qilib, bu qo'shnilikdan x tashqari barcha x uchun =a, y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qo'shnisida yotadi Matematik belgi: |x-a |" class="link_thumb"> 4 !} Cheklovning geometrik ma'nosi Ta'rif: Har qanday e>0 uchun Ox o'qidagi a nuqtaning d-qo'shnisini belgilashingiz mumkin, shundayki, bu qo'shnilikdan x=a dan tashqari barcha x uchun y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qo'shniligi Matematik belgi: |x-a | uchun 0 bo'lsa, Ox o'qidagi a nuqtaning d-qo'shnisini belgilashingiz mumkin, shunday qilib, bu qo'shnilikdan x=a dan tashqari barcha x uchun y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qo'shnisida yotadi. Ox o'qi shundayki, x=a dan tashqari bu qo'shnilikdagi barcha x uchun y ning mos qiymati b nuqtaning e-qo'shnisida yotadi, shundayki, x=a dan tashqari bu qo'shni barcha x uchun y ning mos qiymati yotadi. b nuqtaning e-qo'shnisida Ox o'qidagi a nuqtaning qo'shniligida, shundayki, bu qo'shnilikdan x=a bundan mustasno barcha x uchun y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qo'shnisida yotadi Matematik. belgi: |x-a| uchun"> title="Cheklovning geometrik ma'nosi Ta'rif: Har qanday e>0 uchun Ox o'qidagi a nuqtaning d-qo'shnisini belgilashingiz mumkin, shundayki, bu qo'shnilikdan x=a dan tashqari barcha x uchun y ning mos keladigan qiymati b nuqtaning e-qo'shniligi Matematik belgi: |x-a | uchun"> !}

Asosiy chegara teoremalari 1-teorema: A soni f (x) funksiyaning at chegarasi bo lishi uchun bu funksiya cheksiz kichik ko rinishda ifodalanishi zarur va yetarlidir. Xulosa 1: funktsiya bir nuqtada 2 xil chegaraga ega bo'lishi mumkin emas. 2-teorema: O'zgarmas qiymat chegarasi doimiyning o'ziga teng Teorema 3: Agar a nuqtaning o'zidan tashqari, a nuqtaning qaysidir qo'shnisidagi barcha x uchun funksiya a nuqtada chegaraga ega bo'lsa, u holda

Asosiy chegara teoremalari (davomi) 4-teorema: Agar f 1 (x) va f 2 (x) funksiyaning chegaralari at bo‘lsa, ularning yig‘indisi f 1 (x) + f 2 (x) bo‘lsa, f 1 ko‘paytmasi ham bo‘ladi. chegaralar (x)*f 2 (x) va f 1 (x)/f 2 (x) bo‘limiga bo‘ysunadi va 2-chi xulosa: Agar f(x) funksiyaning chegarasi bo‘lsa, bu yerda n a bo‘ladi. natural son. Xulosa 3: doimiy koeffitsient chegara belgisidan chiqarilishi mumkin

Mavzu:

Har qanday shaxsning rivojlanishi va tarbiyasi berish yoki bildirish mumkin emas. Ularga qo'shilishni istagan har bir kishi kerak bunga o'z faoliyati, o'z kuchi, o'z mehnati bilan erishish. Tashqi tomondan, u faqat hayajonni qabul qilishi mumkin. A. Disterveg

Darsning maqsadi va vazifalarini belgilash:

kashf qiling cheksizlik ta'rifi;

• Funksiyaning cheksizlikdagi chegarasini aniqlash;
• Funksiya chegarasini ortiqcha cheksizlikda aniqlash;
• Funksiya chegarasini minus cheksizlikda aniqlash;
• Uzluksiz funksiyalarning xossalari;

o'rganish cheksizlikda funksiyalarning oddiy chegaralarini hisoblash.

B. Bolzano

Bolzano (Bolzano) Bernard (1781-1848), chex matematiki va faylasufi. U mantiqda psixologizmga qarshi chiqdi; u ideal ob'ektiv mavjudlikni mantiq haqiqatlariga bog'lagan. Ta'sir qilgan

E . Husserl. Bir qator muhim tushunchalarni kiritdi matematik tahlil, peshqadam edi G. Kantor cheksizni o'rganishda to'plamlar .

Avgustin Lui Koshi(frantsuz Avgustin Lui Koshi; 1789 yil 21 avgust, Parij — 1857 yil 23 may, Ko, Fransiya) — buyuk fransuz matematigi va mexaniki, Parij Fanlar akademiyasi, London Qirollik jamiyati a’zosi.

y=1 /x m

Mavjudlik

lim f(x) = b

x → ∞

ega bo'lish bilan tengdir

gorizontal asimptota

y = f(x) funksiyaning grafigi

lim f(x) = b x →+∞

lim f(x) = b va lim f(x) = b x →+∞x→-∞ lim f(x) = b x → ∞

Biz nimani o'rganamiz:

Infinity nima?

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi

Minus cheksizlikda funksiya chegarasi .

Xususiyatlari .

Misollar.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Cheksizlik - cheksiz, cheksiz, tuganmas narsa va hodisalarni, bizning holimizda sonlarni tavsiflash uchun ishlatiladi.

Infinity - bu o'zboshimchalik bilan katta (kichik), cheksiz son.

Agar koordinata tekisligini ko'rib chiqsak, u holda abscissa (ordinata) o'qi cheksiz ravishda chapga yoki o'ngga (pastga yoki yuqoriga) davom ettirilsa, abadiylikka boradi.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Funksiya chegarasi ortiqcha cheksizlik.

Endi funksiyaning cheksizlikdagi chegarasiga o‘tamiz:

y=f(x) funksiyaga ega bo‘lsin, funksiyamiz sohasi nurni o‘z ichiga oladi va y=b to‘g‘ri chiziq y=f(x) funksiya grafigining gorizontal asimptotasi bo‘lsin, hammasini quyidagicha yozamiz. matematik til:

y=f(x) funksiyaning x minus cheksizlikka intiluvchi chegarasi b ga teng

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Shuningdek, bizning munosabatlarimiz bir vaqtning o'zida amalga oshirilishi mumkin:

Keyin uni quyidagicha yozish odatiy holdir:

yoki

y=f(x) funksiyaning x cheksizlikka intiluvchi chegarasi b

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Misol.

Misol. y=f(x) funksiyani shunday chizing:

• Ta'rif sohasi haqiqiy sonlar to'plamidir.
• f(x) - uzluksiz funksiya

Yechim:

Biz uzluksiz funktsiyani (-∞; +∞) ustida qurishimiz kerak. Funktsiyamizga bir nechta misollarni ko'rsatamiz.

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Asosiy xususiyatlar.

Cheklovni cheksizlikda hisoblash uchun bir nechta iboralar qo'llaniladi:

1) Har qanday natural son m uchun quyidagi munosabat to‘g‘ri bo‘ladi:

2) Agar

Bu:

a) yig'indi limiti limitlar yig'indisiga teng:

b) Mahsulot chegarasi chegaralar ko'paytmasiga teng:

c) bo'limning chegarasi chegaralar qismiga teng:

d) doimiy koeffitsient chegara belgisidan chiqarilishi mumkin:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

1-misol

Toping

2-misol

.

3-misol

y=f(x) funksiyaning chegarasini toping, chunki x cheksizlikka intiladi .

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

1-misol

Javob:

2-misol

Javob:

3-misol

Javob:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

.

• y=f(x) uzluksiz funksiya grafigini tuzing. Shunday qilib, ortiqcha cheksizlikka moyil bo'lgan x uchun chegara 7 ga, minus cheksizlikka moyil bo'lgan x uchun esa 3 ga teng.
• y=f(x) uzluksiz funksiya grafigini tuzing. Shunday qilib, x kabi chegara plyus cheksizlikka 5 ga teng va funktsiya ortib bormoqda.
• Limitlarni toping:

• Limitlarni toping:

Funktsiyaning cheksizlikdagi chegarasi.

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar .

Javoblar:

• Funktsiya chegarasining mavjudligi nimani anglatadi?

cheksizlikda?

• y=1/x funksiya grafigining asimptotasi nima? 4 ?
• Limitlarni hisoblash uchun qanday qoidalarni bilasiz

cheksizlikdagi funktsiyalar?

• Limitlarni hisoblash uchun qanday formulalar mavjud

cheksizlikda uchrashdingizmi?

• Limni (5-3x3) / (6x3 +2) qanday topish mumkin?

• Darsda qanday yangi narsalarni o'rgandingiz?
• Dars boshida maqsadimiz nima edi?
• Maqsadimizga erishdimi?
• Qiyinchilikni engishga nima yordam berdi?
• Bizga qanday bilim kerak edi

sinfda topshiriqlarni bajarasizmi?

• Ishingizni qanday baholashingiz mumkin?

Bosqichlar

Nazariy savollar

Ballar soni

Old ish

Maks-chi

Doska ishi

ball

O'z-o'zidan ish

Mukofot ballari

6 ball

20 ball va undan yuqori ball - “5”

15 dan 19 ballgacha ball - "4"

10 dan 14 ballgacha ball - "3"

Uy vazifasi

§31, 1-bet, 150-151-bet - darslik;

№ 669 (c), 670 (c), 671 (c), 672 (c),

673 (c), 674 (c), 676 (c), 700 (d) - muammoli kitob.

Bugun dars yakunlandi

Siz do'stlar topa olmaysiz.

Ammo hamma bilishi kerak:

Bilim, qat'iyat, mehnat

Hayotda taraqqiyotga olib boring.