Teskari matritsani algebraik qo`shimchalar yordamida hisoblash algoritmi: qo`shma matritsa usuli. Arifmetik progressiya: bu nima? a1ni qanday formula yordamida aniqlash mumkin

Masalan, ketma-ketlik \(2\); \(5\); \(8\); \(o'n bir\); \(14\)... arifmetik progressiyadir, chunki har bir keyingi element oldingisidan uch ga farq qiladi (oldingi elementdan uchtasini qoʻshish orqali olish mumkin):

Ushbu progressiyada \(d\) farq ijobiy (\(3\) ga teng) va shuning uchun har bir keyingi had oldingisidan kattaroqdir. Bunday progressiyalar deyiladi ortib boradi.

Biroq, \(d\) manfiy son ham bo'lishi mumkin. Masalan, arifmetik progressiyada \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progressiya farqi \(d\) minus oltiga teng.

Va bu holda, har bir keyingi element avvalgisidan kichikroq bo'ladi. Bu progressiyalar deyiladi kamaymoqda.

Arifmetik progressiya belgilari

Progression kichik lotin harfi bilan ko'rsatilgan.

Progressiya hosil qiluvchi sonlar deyiladi a'zolari(yoki elementlar).

Ular arifmetik progressiya bilan bir xil harf bilan, lekin tartibdagi element soniga teng sonli indeks bilan belgilanadi.

Masalan, arifmetik progressiya \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14...\right\)\) \(a_1=2\) elementlaridan iborat; \(a_2=5\); \(a_3=8\) va boshqalar.

Boshqacha qilib aytganda, progressiya uchun \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\o'ng\)\)

Arifmetik progressiya masalalarini yechish

Aslida, yuqorida keltirilgan ma'lumotlar deyarli har qanday arifmetik progressiya muammosini hal qilish uchun etarli (shu jumladan OGEda taklif qilinganlar).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(b_1=7; d=4\) shartlar bilan belgilanadi. \(b_5\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_5=23\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadi berilgan: \(62; 49; 36…\) Bu progressiyaning birinchi manfiy hadining qiymatini toping.
Yechim:

	Bizga ketma-ketlikning birinchi elementlari berilgan va bu arifmetik progressiya ekanligini bilamiz. Ya'ni, har bir element qo'shnisidan bir xil raqam bilan farq qiladi. Keyingi elementdan oldingisini ayirish orqali qaysi biri ekanligini aniqlaymiz: \(d=49-62=-13\).
	Endi biz kerakli (birinchi salbiy) elementga o'tishimizni tiklashimiz mumkin.
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(-3\)

Misol (OGE). Arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket elementlari berilgan: \(…5; x; 10; 12,5...\) \(x\) harfi bilan belgilangan elementning qiymatini toping.
Yechim:

	\(x\) ni topish uchun keyingi element oldingisidan qanchalik farq qilishini, boshqacha aytganda progressiya farqini bilishimiz kerak. Uni ikkita ma'lum qo'shni elementlardan topamiz: \(d=12,5-10=2,5\).
	Va endi biz izlayotgan narsani osongina topishimiz mumkin: \(x=5+2,5=7,5\).
	Tayyor. Javob yozishingiz mumkin.

Javob: \(7,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan aniqlanadi: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Bu progressiyaning dastlabki olti hadining yig‘indisini toping.
Yechim:

Progressiyaning dastlabki olti hadining yig'indisini topishimiz kerak. Lekin biz ularning ma'nolarini bilmaymiz, bizga faqat birinchi element beriladi. Shuning uchun, biz birinchi navbatda bizga berilgan narsalardan foydalanib, qiymatlarni birma-bir hisoblaymiz: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Va bizga kerak bo'lgan oltita elementni hisoblab, ularning yig'indisini topamiz.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Kerakli miqdor topildi.

Javob: \(S_6=9\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiyada \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Bu progressiyaning farqini toping.
Yechim:

Javob: \(d=7\).

Arifmetik progressiya uchun muhim formulalar

Ko'rib turganingizdek, arifmetik progressiya bo'yicha ko'plab muammolarni asosiy narsani tushunish orqali hal qilish mumkin - arifmetik progressiya raqamlar zanjiri va bu zanjirning har bir keyingi elementi xuddi shu sonni oldingisiga qo'shish orqali olinadi ( progressiyaning farqi).

Biroq, ba'zida "boshqa" qaror qabul qilish juda noqulay bo'lgan holatlar mavjud. Misol uchun, tasavvur qiling-a, birinchi misolda biz beshinchi elementni \(b_5\) emas, balki uch yuz sakson oltinchi \(b_(386)\) ni topishimiz kerak. To'rt \(385\) marta qo'shishimiz kerakmi? Yoki tasavvur qiling-a, oxirgi misolda siz birinchi yetmish uchta elementning yig'indisini topishingiz kerak. Hisoblashdan charchadingiz...

Shuning uchun, bunday hollarda ular narsalarni "boshqa" hal qilmaydi, balki arifmetik progressiya uchun olingan maxsus formulalardan foydalanadi. Asosiylari esa progressiyaning n-chi hadi formulasi va \(n\) birinchi hadlar yig‘indisi formulasi.

\(n\)-chi hadning formulasi: \(a_n=a_1+(n-1)d\), bu erda \(a_1\) progressiyaning birinchi hadi;
\(n\) - kerakli elementning soni;
\(a_n\) – progressiyaning \(n\) raqami bilan atamasi.

Bu formula bizga progressiyaning faqat birinchi va farqini bilgan holda hatto uch yuzinchi yoki millioninchi elementni ham tezda topishga imkon beradi.

Misol. Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). \(b_(246)\) toping.
Yechim:

Javob: \(b_(246)=1850\).

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), bu yerda

\(a_n\) - oxirgi yig'indisi;

Misol (OGE). Arifmetik progressiya \(a_n=3,4n-0,6\) shartlar bilan belgilanadi. Bu progressiyaning birinchi \(25\) hadlarining yig‘indisini toping.
Yechim:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Birinchi yigirma besh shartning yig'indisini hisoblash uchun biz birinchi va yigirma beshinchi shartlarning qiymatini bilishimiz kerak. Bizning progressiyamiz uning soniga qarab n-sonning formulasi bilan beriladi (batafsil ma'lumot uchun qarang). Birinchi elementni \(n\) o‘rniga bitta element qo‘yib hisoblaymiz.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Endi \(n\) o'rniga yigirma beshni qo'yib, yigirma beshinchi hadni topamiz.
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		Xo'sh, endi biz kerakli miqdorni osongina hisoblashimiz mumkin.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(25)=1090\).

Birinchi shartlarning \(n\) yig'indisi uchun siz boshqa formulani olishingiz mumkin: shunchaki \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) oʻrniga \(a_n\) formulasini qoʻying \(a_n=a_1+(n-1)d\). Biz olamiz:

Birinchi n ta atamalar yig‘indisi formulasi: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), bu yerda

\(S_n\) - \(n\) birinchi elementlarning kerakli yig'indisi;
\(a_1\) - birinchi yig'indisi;
\(d\) – progressiya farqi;
\(n\) - jami elementlar soni.

Misol. Arifmetik progressiyaning birinchi \(33\)-ex hadlari yig'indisini toping: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
Yechim:

Javob: \(S_(33)=-231\).

Murakkab arifmetik progressiya masalalari

Endi siz deyarli har qanday arifmetik progressiya masalasini hal qilish uchun zarur bo'lgan barcha ma'lumotlarga egasiz. Keling, nafaqat formulalarni qo'llash, balki biroz o'ylash kerak bo'lgan muammolarni ko'rib chiqish bilan mavzuni tugatamiz (matematikada bu foydali bo'lishi mumkin ☺)

Misol (OGE). Progressiyaning barcha manfiy hadlari yig'indisini toping: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Yechim:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Vazifa avvalgisiga juda o'xshash. Xuddi shu narsani hal qilishni boshlaymiz: birinchi navbatda \(d\) topamiz.
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Endi biz yig'indining formulasiga \(d\) ni qo'ymoqchimiz ... va bu erda kichik bir nuance paydo bo'ladi - biz \(n\) bilmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz qancha atama qo'shish kerakligini bilmaymiz. Qanday aniqlash mumkin? Keling, o'ylab ko'raylik. Biz birinchi ijobiy elementga yetganimizda elementlarni qo'shishni to'xtatamiz. Ya'ni, siz ushbu elementning sonini topishingiz kerak. Qanaqasiga? Arifmetik progressiyaning istalgan elementini hisoblash formulasini yozamiz: bizning holatimiz uchun \(a_n=a_1+(n-1)d\).
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Noldan katta bo'lish uchun bizga \(a_n\) kerak. Keling, \(n\) bu nima sodir bo'lishini bilib olaylik.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Tengsizlikning ikkala tomonini \(0,3\) ga ajratamiz.
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Biz minus birini o'tkazamiz, belgilarni o'zgartirishni unutmaymiz
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Keling, hisoblab chiqaylik ...
\(n>65,333…\)		...va ma'lum bo'lishicha, birinchi musbat element \(66\) raqamiga ega bo'ladi. Shunga ko'ra, oxirgi manfiyda \(n=65\) mavjud. Har holda, buni tekshirib ko'ramiz.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Shunday qilib, biz birinchi \(65\) elementlarni qo'shishimiz kerak.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Javob tayyor.

Javob: \(S_(65)=-630,5\).

Misol (OGE). Arifmetik progressiya quyidagi shartlar bilan belgilanadi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)-chi elementdan \(42\) elementgacha boʻlgan summani toping.
Yechim:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Bu masalada siz elementlarning yig'indisini ham topishingiz kerak, lekin birinchisidan emas, balki \(26\)-dan boshlab. Bunday holat uchun bizda formula yo'q. Qanday qaror qilish kerak? Bu oson - yig'indini \(26\)-dan \(42\)-chigacha olish uchun avval \(1\)-chidan \(42\)gacha bo'lgan summani topib, keyin ayirish kerak. undan birinchidan \(25\)gacha bo'lgan summa (rasmga qarang).
	Bizning progressiyamiz \(a_1=-33\) va farq \(d=4\) uchun (oxir-oqibat, keyingi elementni topish uchun oldingi elementga to'rttasini qo'shamiz). Buni bilib, birinchi \(42\)-y elementlarning yig'indisini topamiz.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Endi birinchi \(25\) elementlarning yig'indisi.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Va nihoyat, biz javobni hisoblaymiz.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Javob: \(S=1683\).

Arifmetik progressiya uchun yana bir nechta formulalar mavjudki, biz ushbu maqolada ularning amaliy foydasi pastligi sababli ko'rib chiqmadik. Biroq, siz ularni osongina topishingiz mumkin.

Ha, ha: arifmetik progressiya siz uchun o'yinchoq emas :)

Xo'sh, do'stlar, agar siz ushbu matnni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda ichki dalillar menga arifmetik progressiya nima ekanligini hali bilmasligingizni aytadi, lekin siz haqiqatan ham (yo'q, shunday: SOOOOO!) bilishni xohlaysiz. Shuning uchun men sizni uzoq tanishtirishlar bilan qiynamayman va to'g'ridan-to'g'ri mavzuga o'taman.

Birinchidan, bir nechta misol. Keling, bir nechta raqamlar to'plamini ko'rib chiqaylik:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Ushbu to'plamlarning barchasida qanday umumiylik bor? Bir qarashda, hech narsa. Lekin aslida nimadir bor. Aynan: har bir keyingi element avvalgisidan bir xil raqam bilan farq qiladi.

O'zingiz uchun hukm qiling. Birinchi to'plam oddiy ketma-ket raqamlar bo'lib, ularning har biri oldingisidan bittadan ko'p. Ikkinchi holda, qo'shni raqamlar orasidagi farq allaqachon beshta, ammo bu farq hali ham doimiy. Uchinchi holatda, umuman ildiz yo'q. Biroq, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ va $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, ya'ni. va bu holda, har bir keyingi element oddiygina $\sqrt(2)$ ga ortadi (va bu raqam mantiqiy emasligidan qo'rqmang).

Demak: bunday ketma-ketliklarning barchasi arifmetik progressiyalar deyiladi. Keling, qat'iy ta'rif beraylik:

Ta'rif. Har bir keyingisi oldingisidan aynan bir xil miqdorda farq qiladigan raqamlar ketma-ketligiga arifmetik progressiya deyiladi. Raqamlar bir-biridan farq qiladigan miqdor progressiya farqi deb ataladi va ko'pincha $d$ harfi bilan belgilanadi.

Belgilash: $\left(((a)_(n)) \right)$ - progressiyaning o'zi, $d$ - uning farqi.

Va faqat bir nechta muhim eslatmalar. Birinchidan, faqat rivojlanish hisobga olinadi buyurdi raqamlar ketma-ketligi: ularni yozilish tartibida qat'iy o'qishga ruxsat beriladi - va boshqa hech narsa. Raqamlarni qayta tartibga solish yoki almashtirish mumkin emas.

Ikkinchidan, ketma-ketlikning o'zi chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin. Masalan, (1; 2; 3) to'plam aniq arifmetik progressiyadir. Ammo agar siz ruhda biror narsa yozsangiz (1; 2; 3; 4; ...) - bu allaqachon cheksiz progress. To'rttadan keyingi ellips, oldinda yana bir nechta raqamlar borligini ko'rsatadi. Masalan, cheksiz ko'p. :)

Shuni ham ta'kidlashni istardimki, progressiyaning ortishi yoki kamayishi mumkin. Biz allaqachon ortib borayotganlarni ko'rdik - bir xil to'plam (1; 2; 3; 4; ...). Quyida progressiyaning pasayishiga misollar keltirilgan:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Yaxshi, yaxshi: oxirgi misol juda murakkab ko'rinishi mumkin. Ammo qolganlari, menimcha, tushunasiz. Shuning uchun biz yangi ta'riflarni kiritamiz:

Ta'rif. Arifmetik progressiya deyiladi:

1. har bir keyingi element avvalgisidan kattaroq bo'lsa, ortib boradi;
2. kamayishi, agar, aksincha, har bir keyingi element avvalgisidan kamroq bo'lsa.

Bundan tashqari, "statsionar" ketma-ketliklar mavjud - ular bir xil takrorlanuvchi raqamdan iborat. Masalan, (3; 3; 3; ...).

Faqat bitta savol qoladi: ortib borayotgan progressiyani kamayib borayotganidan qanday ajratish mumkin? Yaxshiyamki, bu erda hamma narsa faqat $ d$ raqamining belgisiga bog'liq, ya'ni. Progressiv farqlar:

1. Agar $d \gt 0$ bo'lsa, progressiya oshadi;
2. Agar $d \lt 0$ bo'lsa, progressiya aniq pasaymoqda;
3. Va nihoyat, $d=0$ holati bor - bu holda butun progressiya bir xil sonlarning statsionar ketma-ketligiga tushiriladi: (1; 1; 1; 1; ...) va hokazo.

Yuqorida keltirilgan uchta kamayuvchi progressiya uchun $d$ farqini hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun har qanday ikkita qo'shni elementni (masalan, birinchi va ikkinchi) olish va o'ngdagi raqamdan chapdagi raqamni ayirish kifoya. Bu shunday ko'rinadi:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ko'rib turganimizdek, har uch holatda ham farq aslida salbiy bo'lib chiqdi. Va endi biz ko'proq yoki kamroq ta'riflarni aniqladik, progressiyalar qanday tasvirlanganligini va ular qanday xususiyatlarga ega ekanligini aniqlash vaqti keldi.

Progressiya shartlari va takrorlanish formulasi

Bizning ketma-ketliklarimizning elementlarini almashtirib bo'lmagani uchun ularni raqamlash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\(((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \o'ng\)\]

Bu to'plamning alohida elementlari progressiya a'zolari deb ataladi. Ular raqam bilan ko'rsatiladi: birinchi a'zo, ikkinchi a'zo va boshqalar.

Bundan tashqari, biz allaqachon bilganimizdek, progressiyaning qo'shni shartlari quyidagi formula bilan bog'langan:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\O'ng strelka ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Xulosa qilib aytganda, progressiyaning $n$-chi hadini topish uchun siz $n-1$-chi had va $d$ farqini bilishingiz kerak. Ushbu formula takroriy deb ataladi, chunki uning yordami bilan har qanday raqamni faqat oldingisini (va aslida barcha oldingilarini) bilish orqali topishingiz mumkin. Bu juda noqulay, shuning uchun har qanday hisob-kitoblarni birinchi muddatga va farqga qisqartiradigan yanada ayyorroq formula mavjud:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\chap(n-1 \o'ng)d\]

Ehtimol, siz allaqachon ushbu formulaga duch kelgansiz. Ular buni har xil ma'lumotnomalar va muammoli kitoblarda berishni yaxshi ko'radilar. Va har qanday aqlli matematika darsligida u birinchilardan biridir.

Biroq, men sizga ozgina mashq qilishni maslahat beraman.

Vazifa № 1. $((a)_(1))=8,d=-5$ bo'lsa, $\left(((a)_(n)) \right)$ arifmetik progressiyaning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Demak, biz $((a)_(1))=8$ birinchi hadini va $d=-5$ progressiyaning farqini bilamiz. Keling, berilgan formuladan foydalanib, $n=1$, $n=2$ va $n=3$ oʻrniga qoʻyaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\chap(2-1 \o'ng)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\chap(3-1 \o'ng)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end (tekislash)\]

Javob: (8; 3; −2)

Ana xolos! Iltimos, diqqat qiling: bizning taraqqiyotimiz pasaymoqda.

Albatta, $n=1$ o‘rnini bosa olmadi – birinchi atama bizga allaqachon ma’lum. Biroq, birlikni almashtirish orqali biz formulamiz birinchi muddatda ham ishlayotganiga amin bo'ldik. Boshqa hollarda, hamma narsa banal arifmetikaga tushdi.

Vazifa № 2. Arifmetik progressiyaning yettinchi hadi −40 ga, o‘n yettinchi hadi −50 ga teng bo‘lsa, uning dastlabki uchta hadini yozing.

Yechim. Keling, muammo shartini tanish so'zlar bilan yozamiz:

\[((a)_(7))=-40;\to'rtlik ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & (a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(tekislash) \o'ngga.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & (a)_(1))+16d=-50 \\ \end(hizalang) \o'ng.\]

Men tizim belgisini qo'ydim, chunki bu talablar bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak. Endi shuni ta'kidlaymizki, agar biz ikkinchi tenglamadan birinchisini ayirsak (biz buni qilishga haqlimiz, chunki bizda tizim mavjud), biz buni olamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end (tekislash)\]

Progressiya farqini topish shunchalik oson! Faqat topilgan raqamni tizimning istalgan tenglamasiga almashtirish qoladi. Masalan, birinchisida:

\[\begin(matritsa) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end (matritsa)\]

Endi birinchi atama va farqni bilib, ikkinchi va uchinchi shartlarni topish qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end (tekislash)\]

Tayyor! Muammo hal qilindi.

Javob: (−34; −35; −36)

Progressiyaning biz kashf etgan qiziqarli xususiyatiga e'tibor bering: agar biz $n$th va $m$th shartlarini olib, ularni bir-biridan ayirish bilan, progressiyaning farqini $n-m$ soniga ko'paytiramiz:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \o'ng)\]

Siz aniq bilishingiz kerak bo'lgan oddiy, ammo juda foydali xususiyat - uning yordami bilan siz ko'plab progressiv muammolarni hal qilishni sezilarli darajada tezlashtirishingiz mumkin. Mana bunga yaqqol misol:

Vazifa № 3. Arifmetik progressiyaning beshinchi hadi 8,4 ga, o‘ninchi hadi esa 14,4 ga teng. Bu progressiyaning o‘n beshinchi hadini toping.

Yechim. $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ va biz $((a)_(15))$ topishimiz kerak ekan, biz quyidagilarni qayd qilamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end (tekislash)\]

Lekin $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, shuning uchun $5d=6$ sharti bo‘yicha bizda quyidagilar mavjud:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end (tekislash)\]

Javob: 20.4

Ana xolos! Bizga hech qanday tenglamalar tizimini yaratish va birinchi had va farqni hisoblashning hojati yo'q edi - hamma narsa bir-ikki qatorda hal qilindi.

Keling, muammoning yana bir turini ko'rib chiqaylik - progressiyaning salbiy va ijobiy shartlarini qidirish. Hech kimga sir emaski, agar progressiya kuchaysa va uning birinchi muddati salbiy bo'lsa, unda ertami-kechmi ijobiy atamalar paydo bo'ladi. Va aksincha: kamayib borayotgan progressiyaning shartlari ertami-kechmi salbiy bo'ladi.

Shu bilan birga, elementlarni ketma-ket o'tish orqali ushbu momentni "boshqa" topish har doim ham mumkin emas. Ko'pincha masalalar shunday yoziladiki, formulalarni bilmasdan, hisob-kitoblar bir necha varaq qog'ozni oladi - javobni topib, biz shunchaki uxlab qolamiz. Shuning uchun keling, ushbu muammolarni tezroq hal qilishga harakat qilaylik.

Vazifa № 4. Arifmetik progressiyada nechta manfiy had bor -38,5; -35,8; ...?

Yechim. Shunday qilib, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, bu erdan darhol farqni topamiz:

E'tibor bering, farq ijobiy, shuning uchun progressiya oshadi. Birinchi atama salbiy, shuning uchun biz bir nuqtada ijobiy raqamlarga qoqilib qolamiz. Bitta savol - bu qachon sodir bo'ladi.

Keling, atamalarning manfiyligi qancha vaqt (ya'ni, $n$ qaysi natural songacha) qolishini aniqlashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\O'ng strelka ((a)_(1))+\left(n-1 \o'ng)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \o'ng)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \o'ng. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \o'ng) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\O'ng strelka ((n)_(\max ))=15. \\ \end (tekislash)\]

Oxirgi satr ba'zi tushuntirishlarni talab qiladi. Shunday qilib, biz $n \lt 15\frac(7)(27)$ ekanligini bilamiz. Boshqa tomondan, biz raqamning faqat butun qiymatlari bilan qanoatlanamiz (bundan tashqari: $n\in \mathbb(N)$), shuning uchun ruxsat etilgan eng katta raqam aniq $n=15$ va hech qanday holatda 16 emas. .

Vazifa № 5. Arifmetik progressiyada $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Bu progressiyaning birinchi musbat hadining sonini toping.

Bu avvalgisi bilan bir xil muammo bo'ladi, lekin biz $((a)_(1))$ ni bilmaymiz. Ammo qo'shni shartlar ma'lum: $((a)_(5))$ va $((a)_(6))$, shuning uchun biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

Bundan tashqari, standart formuladan foydalanib, beshinchi atamani birinchi va farq orqali ifodalashga harakat qilaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end (tekislash)\]

Endi biz oldingi vazifaga o'xshash tarzda davom etamiz. Keling, ketma-ketlikning qaysi nuqtasida ijobiy raqamlar paydo bo'lishini bilib olaylik:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\O'ng strelka ((n)_(\min ))=56. \\ \end (tekislash)\]

Bu tengsizlikning minimal butun yechimi 56 raqamidir.

E'tibor bering: oxirgi vazifada hamma narsa qat'iy tengsizlikka tushib qoldi, shuning uchun $n=55$ varianti bizga mos kelmaydi.

Oddiy masalalarni yechishni o‘rganganimizdan so‘ng, endi murakkabroq masalalarga o‘tamiz. Ammo birinchi navbatda, arifmetik progressiyaning yana bir foydali xususiyatini o'rganamiz, bu bizga kelajakda ko'p vaqt va teng bo'lmagan hujayralarni tejaydi. :)

O'rtacha arifmetik va teng chekinishlar

$\left(((a)_(n)) \right)$ ortib boruvchi arifmetik progressiyaning bir necha ketma-ket hadlarini ko'rib chiqamiz. Keling, ularni raqamlar qatorida belgilashga harakat qilaylik:

Sonlar qatoridagi arifmetik progressiyaning shartlari

Men alohida $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ixtiyoriy shartlarni belgiladim, lekin $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ va boshqalar. Chunki men hozir aytib beradigan qoida har qanday "segmentlar" uchun bir xil ishlaydi.

Va qoida juda oddiy. Keling, takrorlanuvchi formulani eslaylik va uni barcha belgilangan shartlar uchun yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end (tekislash)\]

Biroq, bu tengliklarni boshqacha tarzda qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & (a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, nima? Va $((a)_(n-1))$ va $((a)_(n+1))$ atamalari $((a)_(n)) $ dan bir xil masofada joylashganligi. . Va bu masofa $d$ ga teng. $((a)_(n-2))$ va $((a)_(n+2))$ atamalari haqida ham shunday deyish mumkin - ular $((a)_(n) dan ham olib tashlangan. )$ bir xil masofada $2d$ ga teng. Biz infinitumni davom ettirishimiz mumkin, ammo ma'no rasmda yaxshi ko'rsatilgan

Progressiya shartlari markazdan bir xil masofada joylashgan

Bu biz uchun nimani anglatadi? Bu shuni anglatadiki, agar qo'shni raqamlar ma'lum bo'lsa, $((a)_(n))$ topish mumkin:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)(2)\]

Biz ajoyib bayonot oldik: arifmetik progressiyaning har bir hadi qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng! Bundan tashqari: biz $((a)_(n))$ dan chapga va o'ngga bir qadam emas, balki $k$ qadamlar bilan orqaga qaytishimiz mumkin - va formula hali ham to'g'ri bo'ladi:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Bular. $((a)_(150))$ va $((a)_(100))$ va $((a)_(200))$ bilsak, biz osonlik bilan $((a)_(150))$ topishimiz mumkin, chunki $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)(2)$. Bir qarashda, bu fakt bizga hech qanday foydali narsa bermayotgandek tuyulishi mumkin. Biroq, amalda ko'plab masalalar o'rtacha arifmetikdan foydalanish uchun maxsus moslashtirilgan. Qarab qo'ymoq:

Vazifa № 6. $-6((x)^(2))$, $x+1$ va $14+4((x)^(2))$ raqamlari ketma-ket shartlar boʻlgan $x$ ning barcha qiymatlarini toping. arifmetik progressiya (ko'rsatilgan tartibda).

Yechim. Bu raqamlar progressiyaning a'zolari bo'lgani uchun ular uchun o'rtacha arifmetik shart bajariladi: markaziy element $x+1$ qo'shni elementlar bilan ifodalanishi mumkin:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end (tekislash)\]

Natijada klassik kvadrat tenglama olinadi. Uning ildizlari: $x=2$ va $x=-3$ javoblardir.

Javob: −3; 2.

Vazifa № 7. $-1;4-3;(()^(2))+1$ raqamlari arifmetik progressiya hosil qiladigan $$ qiymatlarini toping (shu tartibda).

Yechim. Keling, oʻrta atamani qoʻshni atamalarning oʻrtacha arifmetik qiymati orqali yana ifodalaylik:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \o'ng.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end (tekislash)\]

Yana kvadrat tenglama. Va yana ikkita ildiz bor: $x=6$ va $x=1$.

Javob: 1; 6.

Agar muammoni hal qilish jarayonida siz qandaydir shafqatsiz raqamlarga duch kelsangiz yoki topilgan javoblarning to'g'riligiga to'liq ishonchingiz komil bo'lmasa, unda tekshirishga imkon beradigan ajoyib texnika mavjud: biz muammoni to'g'ri hal qildikmi?

Aytaylik, 6-masalada biz −3 va 2 javoblarni oldik. Bu javoblarning to‘g‘riligini qanday tekshirish mumkin? Keling, ularni asl holatga ulab, nima bo'lishini ko'raylik. Eslatib o‘tamiz, bizda uchta raqam ($-6(()^(2))$, $+1$ va $14+4(()^(2))$ bor, ular arifmetik progressiya hosil qilishi kerak. $x=-3$ ni almashtiramiz:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(tuzalash)\]

Biz −54 raqamlarini oldik; −2; 52 ga farq qiladigan 50, shubhasiz, arifmetik progressiyadir. Xuddi shu narsa $x=2$ uchun sodir bo'ladi:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(tuzalash)\]

Yana progressiya, lekin farq 27. Shunday qilib, muammo to'g'ri hal qilindi. Xohlaganlar ikkinchi muammoni mustaqil ravishda tekshirishlari mumkin, lekin men darhol aytaman: u erda ham hamma narsa to'g'ri.

Umuman olganda, oxirgi muammolarni hal qilishda biz yana bir qiziqarli faktga duch keldik, uni ham eslash kerak:

Agar uchta raqam shunday bo'lsa, ikkinchisi birinchi va oxirgining o'rtacha arifmetik qiymati bo'lsa, u holda bu raqamlar arifmetik progressiya hosil qiladi.

Kelajakda ushbu bayonotni tushunish bizga muammoning shartlariga asoslanib, kerakli progressiyani tom ma'noda "qurish" imkonini beradi. Ammo bunday "qurilish" bilan shug'ullanishdan oldin, biz allaqachon muhokama qilingan narsadan kelib chiqadigan yana bir haqiqatga e'tibor qaratishimiz kerak.

Elementlarni guruhlash va jamlash

Keling, yana raqamlar o'qiga qaytaylik. Keling, progressiyaning bir nechta a'zolarini ta'kidlaymiz, ular orasida, ehtimol. boshqa ko'plab a'zolarga arziydi:

Raqamlar qatorida 6 ta element belgilangan

Keling, “chap dum”ni $((a)_(n))$ va $d$, “o‘ng dum”ni esa $(a)_(k))$ va $d$ orqali ifodalashga harakat qilaylik. Bu juda oddiy:

\[\begin(align) & (a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end (tekislash)\]

Endi e'tibor bering, quyidagi miqdorlar tengdir:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(tuzalash)\]

Oddiy qilib aytganda, agar biz jami $S$ soniga teng bo'lgan progressiyaning ikkita elementini boshlang'ich deb hisoblasak va keyin bu elementlardan qarama-qarshi yo'nalishda (bir-biriga qarab yoki aksincha) qadam tashlay boshlasak, keyin biz qoqiladigan elementlarning yig'indisi ham teng bo'ladi$S$. Buni grafik jihatdan eng aniq ifodalash mumkin:

Teng chekinishlar teng miqdorni beradi

Ushbu haqiqatni tushunish bizga yuqorida ko'rib chiqqanimizdan ko'ra ancha yuqori darajadagi murakkablikdagi muammolarni hal qilishga imkon beradi. Masalan, bular:

Vazifa № 8. Birinchi hadi 66, ikkinchi va o‘n ikkinchi hadlarning ko‘paytmasi esa mumkin bo‘lgan eng kichik bo‘lgan arifmetik progressiyaning ayirmasini aniqlang.

Yechim. Keling, biz bilgan hamma narsani yozamiz:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(tuzalash)\]

Demak, biz $d$ progressiya farqini bilmaymiz. Aslida, butun yechim farq atrofida quriladi, chunki $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mahsulotini quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \o'ng)\cdot \left(66+11d \o'ng)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng). \end(tuzalash)\]

Tankdagilar uchun: men ikkinchi qavsdan 11 ning umumiy ko'paytiruvchisini oldim. Shunday qilib, kerakli mahsulot $d$ o'zgaruvchisiga nisbatan kvadratik funktsiyadir. Shuning uchun $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ funksiyasini ko'rib chiqamiz - uning grafigi shoxlari yuqoriga ko'tarilgan parabola bo'ladi, chunki qavslarni kengaytirsak, biz quyidagilarni olamiz:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \o'ng)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ko'rib turganingizdek, eng yuqori atama koeffitsienti 11 ga teng - bu ijobiy raqam, shuning uchun biz haqiqatan ham yuqoriga qarab shoxlari bo'lgan parabola bilan ishlaymiz:

kvadratik funktsiyaning grafigi - parabola

Iltimos, diqqat qiling: bu parabola o'zining eng kichik qiymatini $((d)_(0))$ abscissasi bilan cho'qqisida oladi. Albatta, biz ushbu abscissani standart sxema bo'yicha hisoblashimiz mumkin ($((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ formulasi mavjud), ammo shuni ta'kidlash maqsadga muvofiqroq bo'ladi. kerakli cho'qqi parabolaning o'qi simmetriyasida yotadi, shuning uchun $((d)_(0))$ nuqta $f\left(d \right)=0$ tenglamaning ildizlaridan teng masofada joylashgan:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \o'ng)\cdot \left(d+6 \o'ng)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\to'rtlik ((d)_(2))=-6. \\ \end (tekislash)\]

Shuning uchun men qavslarni ochishga shoshilmadim: asl shaklida ildizlarni topish juda oson edi. Demak, abscissa −66 va −6 sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymatiga teng:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Topilgan raqam bizga nima beradi? U bilan kerakli mahsulot eng kichik qiymatni oladi (Aytgancha, biz hech qachon $((y)_(\min ))$ hisoblamaganmiz - bu bizdan talab qilinmaydi). Shu bilan birga, bu raqam asl progressiyaning farqidir, ya'ni. javobni topdik :)

Javob: −36

Vazifa № 9. $-\frac(1)(2)$ va $-\frac(1)(6)$ raqamlari orasiga uchta raqam qo'yingki, ular bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiya hosil qiladi.

Yechim. Aslida, birinchi va oxirgi raqam allaqachon ma'lum bo'lgan beshta raqamdan iborat ketma-ketlikni yaratishimiz kerak. Yetishmayotgan raqamlarni $x$, $y$ va $z$ oʻzgaruvchilari bilan belgilaymiz:

\[\left(((a)_(n)) \o'ng)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \o'ng\ )\]

E'tibor bering, $y$ raqami bizning ketma-ketligimizning "o'rtasi" - u $x$ va $z$ raqamlaridan, $-\frac(1)(2)$ va $-\frac raqamlaridan bir xil masofada joylashgan. (1)(6)$. Agar biz hozirda $x$ va $z$ raqamlaridan $y$ ni ololmasak, progressiyaning oxirlarida vaziyat boshqacha. Arifmetik o'rtachani eslaylik:

Endi $y$-ni bilib, qolgan raqamlarni topamiz. E'tibor bering, $x$ $-\frac(1)(2)$ raqamlari va biz topgan $y=-\frac(1)(3)$ raqamlari orasida joylashgan. Shunung uchun

Shunga o'xshash asoslardan foydalanib, biz qolgan raqamni topamiz:

Tayyor! Biz uchta raqamni topdik. Keling, ularni javobda asl raqamlar orasiga kiritish kerak bo'lgan tartibda yozamiz.

Javob: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Vazifa № 10. 2 va 42 raqamlari orasiga bu raqamlar bilan birgalikda arifmetik progressiyani tashkil etuvchi bir nechta raqamlarni qo'ying, agar kiritilgan raqamlarning birinchi, ikkinchi va oxirgisi yig'indisi 56 ekanligini bilsangiz.

Yechim. Bundan ham murakkab masala, ammo u avvalgilari bilan bir xil sxema bo'yicha - o'rtacha arifmetik orqali hal qilinadi. Muammo shundaki, biz qancha raqamni kiritish kerakligini aniq bilmaymiz. Demak, aniqlik uchun faraz qilaylik, hamma narsani kiritgandan so'ng aynan $n$ raqamlari bo'ladi va ularning birinchisi 2, oxirgisi esa 42. Bu holda zarur arifmetik progressiyani quyidagi ko'rinishda ifodalash mumkin:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \o'ng\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Shunga qaramay, $((a)_(2))$ va $((a)_(n-1))$ raqamlari chekkadagi 2 va 42 raqamlaridan bir-biriga qarab bir qadam bilan olinganligini unutmang, ya'ni. ketma-ketlikning markaziga. Va bu shuni anglatadiki

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ammo keyin yuqorida yozilgan iborani quyidagicha qayta yozish mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end (tekislash)\]

$((a)_(3))$ va $((a)_(1))$ ni bilib, biz progressiyaning farqini osongina topishimiz mumkin:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\chap(3-1 \o'ng)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Oʻng strelka d=5. \\ \end (tekislash)\]

Qolgan shartlarni topishgina qoladi:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end (tekislash)\]

Shunday qilib, 9-bosqichda biz ketma-ketlikning chap tomoniga - 42 raqamiga etib kelamiz. Hammasi bo'lib, faqat 7 ta raqamni kiritish kerak edi: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Javob: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Progressiya bilan bog'liq so'z muammolari

Xulosa qilib aytganda, men bir nechta nisbatan oddiy muammolarni ko'rib chiqmoqchiman. Bu juda oddiy: maktabda matematikani o'qigan va yuqorida yozilganlarni o'qimagan ko'pchilik talabalar uchun bu muammolar qiyin bo'lib tuyulishi mumkin. Shunga qaramay, bu OGE va matematikadan Yagona davlat imtihonida paydo bo'ladigan muammolar turlari, shuning uchun men ular bilan tanishib chiqishingizni maslahat beraman.

Vazifa № 11. Jamoa yanvar oyida 62 dona detal ishlab chiqargan bo‘lsa, har bir keyingi oyda oldingi oyga nisbatan 14 dona ko‘p detal ishlab chiqardi. Noyabr oyida jamoa necha qism ishlab chiqardi?

Yechim. Shubhasiz, oylar bo'yicha sanab o'tilgan qismlar soni ortib borayotgan arifmetik progressiyani ifodalaydi. Bundan tashqari:

\[\begin(align) & (a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Noyabr - yilning 11 oyi, shuning uchun biz $((a)_(11))$ topishimiz kerak:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Shuning uchun noyabr oyida 202 ta detal ishlab chiqariladi.

Vazifa № 12. Kitob jilovlash ustaxonasi yanvar oyida 216 ta kitobni jamlagan bo‘lsa, keyingi har oyda oldingi oyga nisbatan 4 taga ko‘p kitob muqovalandi. Dekabr oyida ustaxonada nechta kitob bog'landi?

Yechim. Hammasi bir xil:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\chap(n-1 \o'ng)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dekabr - yilning oxirgi, 12- oyi, shuning uchun biz $((a)_(12))$ qidiramiz:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Bu javob - dekabr oyida 260 ta kitob bog'lanadi.

Xo'sh, agar siz shu paytgacha o'qigan bo'lsangiz, sizni tabriklashga shoshildim: siz arifmetik progressiyadagi "yosh jangchilar kursini" muvaffaqiyatli yakunladingiz. Siz keyingi darsga ishonch bilan o'tishingiz mumkin, bu erda biz progressiya yig'indisi formulasini, shuningdek, undan muhim va juda foydali natijalarni o'rganamiz.

Agar A*A -1 = E bo'lsa, A -1 matritsasi A matritsaga nisbatan teskari matritsa deyiladi, bu erda E - n-tartibdagi o'ziga xoslik matritsasi. Teskari matritsa faqat kvadrat matritsalar uchun mavjud bo'lishi mumkin.

Xizmat maqsadi. Ushbu xizmatdan onlayn tarzda siz algebraik to'ldiruvchilar, transpozitsiyalangan A T matritsalari, ittifoq matritsalari va teskari matritsalarni topishingiz mumkin. Qaror to'g'ridan-to'g'ri veb-saytda (onlayn) amalga oshiriladi va bepul. Hisoblash natijalari Word va Excel formatidagi hisobotda taqdim etiladi (ya'ni, yechimni tekshirish mumkin). dizayn misoliga qarang.

Ko'rsatmalar. Yechimni olish uchun matritsaning o'lchamini ko'rsatish kerak. Keyin yangi dialog oynasida A matritsasini to'ldiring.

Shuningdek, Jordano-Gauss usuli yordamida teskari matritsaga qarang

Teskari matritsani topish algoritmi

1. Transpozitsiyalangan matritsani topish A T .
2. Algebraik to'ldiruvchilarning ta'rifi. Matritsaning har bir elementini uning algebraik to‘ldiruvchisi bilan almashtiring.
3. Algebraik qo'shimchalardan teskari matritsani tuzish: olingan matritsaning har bir elementi asl matritsaning determinantiga bo'linadi. Olingan matritsa asl matritsaning teskarisidir.

Keyingisi teskari matritsani topish algoritmi oldingisiga o'xshash, ba'zi bosqichlardan tashqari: avval algebraik to'ldiruvchilar hisoblab chiqiladi, so'ngra C ittifoq matritsasi aniqlanadi.

1. Matritsaning kvadrat ekanligini aniqlang. Agar yo'q bo'lsa, u uchun teskari matritsa yo'q.
2. A matritsaning determinantini hisoblash. Agar u nolga teng bo'lmasa, biz yechimni davom ettiramiz, aks holda teskari matritsa mavjud emas.
3. Algebraik to'ldiruvchilarning ta'rifi.
4. Birlashma (o'zaro, qo'shma) matritsasini to'ldirish C .
5. Algebraik qo'shimchalardan teskari matritsani tuzish: qo'shma C matritsasining har bir elementi dastlabki matritsaning determinantiga bo'linadi. Olingan matritsa asl matritsaning teskarisidir.
6. Ular tekshirishni amalga oshiradilar: ular asl va natijada olingan matritsalarni ko'paytiradilar. Natijada identifikatsiya matritsasi bo'lishi kerak.

Misol № 1. Matritsani quyidagi shaklda yozamiz:

Algebraik qo'shimchalar. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2.1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Teskari matritsani topishning yana bir algoritmi

Teskari matritsani topishning yana bir sxemasini keltiramiz.

1. Berilgan A kvadrat matritsaning determinantini toping.
2. A matritsaning barcha elementlariga algebraik to‘ldiruvchilarni topamiz.
3. Biz ustunlarga satr elementlarining algebraik qo'shimchalarini yozamiz (transpozitsiya).
4. Olingan matritsaning har bir elementini A matritsaning determinantiga ajratamiz.

Ko'rib turganimizdek, transpozitsiya amali boshida ham, asl matritsada ham, oxirida ham olingan algebraik qo'shimchalarda qo'llanilishi mumkin.

Maxsus holat: E tenglik matritsasining teskarisi E matritsadir.

Har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, berilgan ketma-ketlik uchun bir xil songa qo'shilgan oldingisiga teng bo'lgan sonli ketma-ketlik arifmetik progressiya deyiladi. Har safar oldingi raqamga qo'shiladigan raqam chaqiriladi arifmetik progressiyaning farqi va harf bilan belgilanadi d.

Demak, raqamlar ketma-ketligi 1 ga teng; a 2; a 3; a 4; a 5; ... va a 2 = a 1 + d bo'lsa, n arifmetik progressiya bo'ladi;

a 3 = a 2 + d;

Ularning aytishicha, umumiy atamali arifmetik progressiya berilgan a n. Yozing: arifmetik progressiya berilgan (a n).

Arifmetik progressiya, agar uning birinchi hadi ma'lum bo'lsa, aniqlangan hisoblanadi a 1 va farq d.

Arifmetik progressiyaga misollar

1-misol. 1; 3; 5; 7; 9;...Bu yerda a 1 = 1; d = 2.

2-misol. 8; 5; 2; -1; -4; -7; -10;... Mana a 1 = 8; d =-3.

3-misol.-16; -12; -8; -4;... Mana a 1 = -16; d = 4.

E'tibor bering, progressiyaning har bir a'zosi, ikkinchisidan boshlab, qo'shni hadlarning o'rtacha arifmetik qiymatiga teng.

1 misolda ikkinchi muddat 3 =(1+5): 2 ; bular. a 2 = (a 1 + a 3) : 2; uchinchi a'zo 5 =(3+7): 2;

ya'ni a 3 = (a 2 + a 4) : 2.

Shunday qilib, formula to'g'ri:

Lekin, aslida, arifmetik progressiyaning har bir a'zosi ikkinchisidan boshlab, nafaqat qo'shni a'zolarining, balki o'rtacha arifmetik qiymatiga tengdir. teng masofada a'zolaridan, ya'ni.

ga murojaat qilaylik misol 2. Raqam -1 arifmetik progressiyaning toʻrtinchi hadi boʻlib, birinchi va yettinchi hadlardan bir xil masofada joylashgan (a 1 = 8 va 7 = -10).

Formula (**) bo'yicha bizda:

Keling, formulani chiqaramiz n- arifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Demak, birinchisiga ayirma qo‘shsak, arifmetik progressiyaning ikkinchi hadini olamiz d; agar ikkinchisiga farqni qo'shsak, uchinchi hadni olamiz d yoki birinchi atamaga ikkita farq qo'shing d; agar uchinchisiga farqni qo‘shsak, to‘rtinchi sonni olamiz d yoki birinchisiga uchta farq qo'shing d va hokazo.

Siz buni taxmin qildingiz: a 2 = a 1 + d;

a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d;

a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d;

…………………….

a n = a n-1 + d = a 1 + (n-1) d.

Olingan formula a n = a 1 + (n-1) d (***)

chaqirdi formulanarifmetik progressiyaning uchinchi hadi.

Endi arifmetik progressiyaning birinchi n ta hadining yig’indisini qanday topish haqida gapiramiz. Bu miqdorni bilan belgilaymiz S n.

Atamalarning joylarini qayta tartiblash yig'indining qiymatini o'zgartirmaydi, shuning uchun uni ikki xil yozish mumkin.

S n= a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + … + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n va

S n = a n + a n-1 + a n-2 + a n-3 + …...+ a 4 + a 3 + a 2 + a 1

Keling, ushbu ikki tenglikni hadlar bo'yicha qo'shamiz:

2S n= (a 1 + a n) + (a 2 + a n-1) + (a 3 + a n-2) + (a 4 + a n-3) + …