Chiziqli tenglamalar sistemasi ekanligini isbotlang. Chiziqli tenglamalar sistemasi aniq agar deyiladi. Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Dars mazmuni

Ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglamalar

Talabaning maktabda tushlik qilish uchun 200 rubli bor. Bir tort 25 rubl, bir chashka qahva esa 10 rubl turadi. 200 rublga qancha kek va kofe sotib olishingiz mumkin?

Keklarning sonini belgilang x, va orqali kofe chashka soni y. Keyin keklarning narxi 25 ifodasi bilan belgilanadi x, va 10 da kofe stakanlari narxi y .

25x- narx x tortlar
10y- narx y chashka qahva

Umumiy miqdor 200 rubl bo'lishi kerak. Keyin ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olamiz x Va y

25x+ 10y= 200

Bu tenglamaning nechta ildizi bor?

Hammasi talabaning ishtahasiga bog'liq. Agar u 6 ta tort va 5 stakan kofe sotib olsa, tenglamaning ildizlari 6 va 5 raqamlari bo'ladi.

6 va 5 qiymatlari juftligi 25- tenglamaning ildizlari deyiladi x+ 10y= 200. (6; 5) shaklida yoziladi, birinchi raqam o'zgaruvchining qiymati bo'ladi x, ikkinchisi esa - o'zgaruvchining qiymati y .

6 va 5 25 tenglamani o'zgartiradigan yagona ildizlar emas x+ 10y= identifikatsiya uchun 200. Agar so'ralsa, xuddi shu 200 rublga talaba 4 ta tort va 10 stakan kofe sotib olishi mumkin:

Bu holda 25- tenglamaning ildizlari x+ 10y= 200 - qiymatlar juftligi (4; 10) .

Bundan tashqari, talaba umuman qahva sotib olmasligi mumkin, lekin hamma 200 rublga tort sotib oladi. Keyin 25 tenglamaning ildizlari x+ 10y= 200 8 va 0 qiymatlari bo'ladi

Yoki aksincha, kek sotib olmang, balki barcha 200 rubl uchun qahva sotib oling. Keyin 25 tenglamaning ildizlari x+ 10y= 200 0 va 20 qiymatlari bo'ladi

Keling, 25- tenglamaning barcha mumkin bo'lgan ildizlarini sanab o'tishga harakat qilaylik x+ 10y= 200. Keling, qadriyatlarga rozi bo'laylik x Va y butun sonlar to‘plamiga tegishli. Va bu qiymatlar noldan katta yoki teng bo'lsin:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Shunday qilib, talabaning o'zi uchun qulay bo'ladi. Keklarni to'liq sotib olish, masalan, bir nechta to'liq kek va yarim tortdan ko'ra qulayroqdir. Qahva, shuningdek, masalan, bir nechta to'liq stakan va yarim chashkadan ko'ra, butun stakanlarda olish qulayroqdir.

E'tibor bering, g'alati x hech qanday sharoitda tenglikka erishish mumkin emas y. Keyin qadriyatlar x quyidagi raqamlar bo'ladi 0, 2, 4, 6, 8. Va bilish x osongina aniqlash mumkin y

Shunday qilib, biz quyidagi juft qiymatlarni oldik (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Bu juftliklar 25- tenglamaning yechimlari yoki ildizlaridir x+ 10y= 200. Ular bu tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradilar.

Tenglama turi ax + by = c chaqirdi ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama. Ushbu tenglamaning yechimi yoki ildizlari juft qiymatdir ( x; y), bu uni o'ziga xoslikka aylantiradi.

Shuni ham yodda tutingki, agar ikkita o'zgaruvchili chiziqli tenglama quyidagicha yozilsa ax + b y = c, keyin yozilgan deyishadi kanonik(normal) shakl.

Ikki o'zgaruvchidagi ba'zi chiziqli tenglamalarni kanonik shaklga keltirish mumkin.

Masalan, tenglama 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − y) xayolga keltirish mumkin ax + by = c. Keling, bu tenglamaning ikkala qismidagi qavslarni ochamiz, biz olamiz 32x + 6y − 8 = 24 + 16x − 2y . Tarkibida noma’lumlar bo‘lgan atamalar tenglamaning chap tomonida, noma’lumlardan xoli hadlar esa o‘ng tomonida guruhlangan. Keyin olamiz 32x - 16x+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Ikkala qismda ham o'xshash atamalarni keltiramiz, biz 16 tenglamani olamiz x+ 8y= 32. Bu tenglama shaklga keltiriladi ax + by = c va kanonikdir.

Yuqorida ko'rib chiqilgan 25 tenglama x+ 10y= 200 ham kanonik shakldagi ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamadir. Ushbu tenglamada parametrlar a , b Va c mos ravishda 25, 10 va 200 qiymatlariga teng.

Aslida tenglama ax + by = c cheksiz sonli yechimlarga ega. Tenglamani yechish 25x+ 10y= 200, biz uning ildizlarini faqat butun sonlar to'plamidan qidirdik. Natijada, biz ushbu tenglamani o'ziga xoslikka aylantirgan bir necha juft qiymatlarni oldik. Ammo ratsional sonlar to'plamida 25 tenglama x+ 10y= 200 cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi.

Yangi juft qiymatlarni olish uchun siz o'zboshimchalik bilan qiymat olishingiz kerak x, keyin ifodalang y. Masalan, o'zgaruvchini olaylik x qiymat 7. Keyin bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani olamiz 25×7 + 10y= 200 ifodalash uchun y

Mayli x= 15. Keyin tenglama 25x+ 10y= 200 25 × 15 ga aylanadi + 10y= 200. Bu erdan biz buni topamiz y = −17,5

Mayli x= -3. Keyin tenglama 25x+ 10y= 200 25 × (−3) ga aylanadi + 10y= 200. Bu erdan biz buni topamiz y = −27,5

Ikki o'zgaruvchili ikkita chiziqli tenglamalar tizimi

Tenglama uchun ax + by = c uchun ixtiyoriy qiymatlarni bir necha marta qabul qilishingiz mumkin x va qiymatlarni toping y. Alohida olinganda, bunday tenglama cheksiz ko'p echimlarga ega bo'ladi.

Lekin o'zgaruvchilar ham sodir bo'ladi x Va y bir emas, balki ikkita tenglama bilan bog'langan. Bunday holda, ular atalmish hosil qiladi ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimi. Bunday tenglamalar tizimi bir juft qiymatga ega bo'lishi mumkin (yoki boshqacha aytganda: "bitta yechim").

Tizimda hech qanday yechim yo'qligi ham sodir bo'lishi mumkin. Chiziqli tenglamalar tizimi kamdan-kam va istisno hollarda cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lishi mumkin.

Ikki chiziqli tenglama qiymatlari bo'lganda tizimni tashkil qiladi x Va y bu tenglamalarning har biriga kiritilgan.

Keling, birinchi 25 tenglamaga qaytaylik x+ 10y= 200. Ushbu tenglama uchun juft qiymatlardan biri (6; 5) juftlik edi. Bu 200 rublga 6 ta tort va 5 stakan kofe sotib olish mumkin bo'lgan holat.

Biz masalani shunday tuzamizki, bu juftlik (6; 5) 25 tenglamaning yagona yechimiga aylanadi. x+ 10y= 200. Buning uchun biz xuddi shunday bog'laydigan boshqa tenglama tuzamiz x keklar va y chashka qahva.

Vazifa matnini quyidagicha joylashtiramiz:

“Bir maktab o‘quvchisi 200 rublga bir nechta tort va bir necha piyola kofe sotib oldi. Bir tort 25 rubl, bir chashka qahva esa 10 rubl turadi. Agar tortlar soni piyola kofe sonidan bittaga ko'p ekanligi ma'lum bo'lsa, talaba nechta tort va piyola kofe sotib oldi?

Bizda allaqachon birinchi tenglama mavjud. Bu tenglama 25 x+ 10y= 200. Endi shart uchun tenglama yozamiz "Keklar soni kofe sonidan bir birlik ko'p" .

Keklarning soni x, va kofe stakanlari soni y. Ushbu iborani tenglamadan foydalanib yozishingiz mumkin x − y= 1. Bu tenglama kek va qahva o'rtasidagi farq 1 ga teng ekanligini bildiradi.

x=y+1. Bu tenglama keklar soni kofe kofe sonidan bittaga ko'p ekanligini anglatadi. Shuning uchun, tenglikni olish uchun, bir stakan kofe soniga qo'shiladi. Agar biz eng oddiy muammolarni o'rganishda ko'rib chiqqan vazn modelidan foydalansak, buni osongina tushunish mumkin:

Ikkita tenglama bor: 25 x+ 10y= 200 va x=y+ 1. Qadriyatlardan beri x Va y, ya'ni 6 va 5 bu tenglamalarning har biriga kiritilgan, keyin ular birgalikda tizim hosil qiladi. Keling, ushbu tizimni yozamiz. Agar tenglamalar tizimni tashkil etsa, u holda ular tizim belgisi bilan tuziladi. Tizim belgisi jingalak qavsdir:

Keling, ushbu tizimni hal qilaylik. Bu bizga 6 va 5 qiymatlariga qanday erishishimizni ko'rish imkonini beradi. Bunday tizimlarni hal qilishning ko'plab usullari mavjud. Ulardan eng mashhurlarini ko'rib chiqing.

O'zgartirish usuli

Ushbu usulning nomi o'zi uchun gapiradi. Uning mohiyati o'zgaruvchilardan birini ilgari ifodalagan holda bir tenglamani boshqasiga almashtirishdir.

Bizning tizimimizda hech narsani ifodalash kerak emas. Ikkinchi tenglamada x = y+ 1 o'zgaruvchi x allaqachon ifodalangan. Bu o'zgaruvchi ifodaga teng y+1. Keyin birinchi tenglamada o'zgaruvchi o'rniga ushbu ifodani almashtirishingiz mumkin x

Ifodani almashtirgandan keyin y Buning o'rniga birinchi tenglamaga + 1 kiriting x, tenglamani olamiz 25(y+ 1) + 10y= 200 . Bu bitta o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama. Bu tenglamani yechish juda oson:

Biz o'zgaruvchining qiymatini topdik y. Endi biz bu qiymatni tenglamalardan biriga almashtiramiz va qiymatni topamiz x. Buning uchun ikkinchi tenglamadan foydalanish qulay x = y+1. Keling, uning qiymatini kiritaylik y

Demak, juftlik (6; 5) biz nazarda tutganimizdek, tenglamalar tizimining yechimidir. Biz tekshiramiz va juftlik (6; 5) tizimga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz:

2-misol

Birinchi tenglamani almashtiring x= 2 + y ikkinchi tenglamaga 3 x - 2y= 9. Birinchi tenglamada o'zgaruvchi x 2+ ifodasiga teng y. Bu ifodani o'rniga ikkinchi tenglamaga almashtiramiz x

Endi qiymatni topamiz x. Buning uchun qiymatni almashtiring y birinchi tenglamaga kiriting x= 2 + y

Shunday qilib, tizimning yechimi juftlik qiymati (5; 3)

3-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yeching:

Bu erda, oldingi misollardan farqli o'laroq, o'zgaruvchilardan biri aniq ifodalanmagan.

Bir tenglamani boshqasiga almashtirish uchun birinchi navbatda .

Bir koeffitsientga ega bo'lgan o'zgaruvchini ifodalash maqsadga muvofiqdir. Koeffitsient birligi o'zgaruvchiga ega x, bu birinchi tenglamada mavjud x+ 2y= 11. Keling, ushbu o'zgaruvchini ifodalaymiz.

O'zgaruvchan ifodadan keyin x, bizning tizimimiz quyidagicha ko'rinadi:

Endi biz birinchi tenglamani ikkinchisiga almashtiramiz va qiymatni topamiz y

O'rinbosar y x

Shunday qilib, tizimning yechimi qiymatlar juftligi (3; 4)

Albatta, siz o'zgaruvchini ham ifodalashingiz mumkin y. Ildizlar o'zgarmaydi. Ammo ifoda qilsangiz y, natija juda oddiy tenglama emas, uni hal qilish ko'proq vaqt talab etadi. Bu shunday ko'rinadi:

Biz buni ifodalash uchun ushbu misolda ko'ramiz x ifodalashdan ancha qulayroqdir y .

4-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yeching:

Birinchi tenglamada ifodalang x. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

y

O'rinbosar y birinchi tenglamaga kiriting va toping x. Asl tenglama 7 dan foydalanishingiz mumkin x+ 9y= 8 yoki o'zgaruvchi ifodalangan tenglamadan foydalaning x. Biz ushbu tenglamadan foydalanamiz, chunki bu qulay:

Shunday qilib, tizimning yechimi qiymatlar juftligi (5; -3)

Qo'shish usuli

Qo'shish usuli - bu tizimga kiritilgan tenglamalarni atama bo'yicha qo'shish. Ushbu qo'shilish yangi bir o'zgaruvchili tenglamaga olib keladi. Va bu tenglamani yechish juda oson.

Quyidagi tenglamalar tizimini yechamiz:

Birinchi tenglamaning chap tomonini ikkinchi tenglamaning chap tomoniga qo'shing. Va birinchi tenglamaning o'ng tomoni ikkinchi tenglamaning o'ng tomoni bilan. Biz quyidagi tenglikni olamiz:

Mana shunga o'xshash atamalar:

Natijada biz eng oddiy tenglama 3 ni oldik x= 27, uning ildizi 9. Qiymatni bilish x qiymatini topishingiz mumkin y. Qiymatni almashtiring x ikkinchi tenglamaga kiriting x − y= 3. Biz 9 ni olamiz y= 3. Bu yerdan y= 6 .

Shunday qilib, tizimning yechimi qiymatlar juftligi (9; 6)

2-misol

Birinchi tenglamaning chap tomonini ikkinchi tenglamaning chap tomoniga qo'shing. Va birinchi tenglamaning o'ng tomoni ikkinchi tenglamaning o'ng tomoni bilan. Olingan tenglikda biz quyidagi shartlarni keltiramiz:

Natijada biz eng oddiy 5 tenglamani oldik x= 20, uning ildizi 4. Qiymatni bilish x qiymatini topishingiz mumkin y. Qiymatni almashtiring x birinchi tenglamaga 2 x+y= 11. Keling, 8+ olamiz y= 11. Bu yerdan y= 3 .

Shunday qilib, tizimning yechimi qiymatlar juftligi (4; 3)

Qo'shish jarayoni batafsil tavsiflanmagan. Buni aql bilan qilish kerak. Qo'shishda ikkala tenglamani kanonik shaklga keltirish kerak. Demak ac+by=c .

Ko'rib chiqilgan misollardan ko'rinib turibdiki, tenglamalarni qo'shishdan asosiy maqsad o'zgaruvchilardan biridan xalos bo'lishdir. Lekin har doim ham tenglamalar tizimini qo'shish usuli bilan darhol echish mumkin emas. Ko'pincha tizim oldindan ushbu tizimga kiritilgan tenglamalarni qo'shish mumkin bo'lgan shaklga keltiriladi.

Masalan, tizim to'g'ridan-to'g'ri qo'shish usuli bilan hal qilinishi mumkin. Ikkala tenglamani qo'shganda, atamalar y Va −y yo'qoladi, chunki ularning yig'indisi nolga teng. Natijada eng oddiy tenglama 11 hosil bo'ladi x= 22 , uning ildizi 2. Shunda aniqlash mumkin bo'ladi y 5 ga teng.

Va tenglamalar tizimi qo'shish usulini darhol hal qilib bo'lmaydi, chunki bu o'zgaruvchilardan birining yo'qolishiga olib kelmaydi. Qo‘shish natijasida 8-tenglama hosil bo‘ladi x+ y= 28, u cheksiz ko'p echimlarga ega.

Agar tenglamaning ikkala qismi ham nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan tenglamaga ekvivalent tenglama olinadi. Bu qoida ikkita o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimi uchun ham amal qiladi. Tenglamalardan biri (yoki ikkala tenglama) qandaydir songa ko'paytirilishi mumkin. Natijada ekvivalent tizim paydo bo'ladi, uning ildizlari avvalgisiga to'g'ri keladi.

Keling, talaba qancha kek va chashka qahva sotib olgani tasvirlangan birinchi tizimga qaytaylik. Ushbu tizimning yechimi qiymatlar juftligi edi (6; 5) .

Ushbu tizimga kiritilgan har ikkala tenglamani ham ba'zi raqamlarga ko'paytiramiz. Aytaylik, birinchi tenglamani 2 ga, ikkinchisini esa 3 ga ko'paytiramiz

Natijada tizim paydo bo'ladi
Ushbu tizimning yechimi hali ham qiymatlar juftligi (6; 5)

Bu shuni anglatadiki, tizimga kiritilgan tenglamalarni qo'shish usulini qo'llash uchun mos keladigan shaklga keltirish mumkin.

Tizimga qaytish , biz qo'shish usuli bilan hal qila olmadik.

Birinchi tenglamani 6 ga, ikkinchisini esa -2 ga ko'paytiring

Keyin biz quyidagi tizimni olamiz:

Ushbu tizimga kiritilgan tenglamalarni qo'shamiz. Komponentlarni qo'shish 12 x va -12 x natija 0, qo'shimcha 18 bo'ladi y va 4 y 22 beradi y, va 108 va −20 ni qo‘shsak, 88 hosil bo‘ladi. Shunda siz 22 tenglamani olasiz. y= 88, shuning uchun y = 4 .

Agar dastlab sizning fikringizcha tenglamalarni qo'shish qiyin bo'lsa, unda birinchi tenglamaning chap tomoni ikkinchi tenglamaning chap tomoniga, birinchi tenglamaning o'ng tomoni esa o'ng tomoniga qanday qo'shilganligini yozishingiz mumkin. ikkinchi tenglama:

O'zgaruvchining qiymatini bilish y 4 bo'lsa, siz qiymatni topishingiz mumkin x. O'rinbosar y tenglamalardan biriga, masalan, birinchi tenglamaga 2 x+ 3y= 18. Keyin bitta o'zgaruvchi 2 bo'lgan tenglamani olamiz x+ 12 = 18. Biz 12 ni o'ng tomonga o'tkazamiz, belgini o'zgartiramiz, biz 2 ni olamiz x= 6, shuning uchun x = 3 .

4-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini qo‘shish usuli yordamida yeching:

Ikkinchi tenglamani -1 ga ko'paytiring. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Keling, ikkala tenglamani ham qo'shamiz. Komponentlarni qo'shish x Va −x natijada 0, qo'shimcha 5 bo'ladi y va 3 y 8 beradi y, va 7 va 1 ni qo‘shsak, 8 hosil bo‘ladi. Natijada 8 tenglama hosil bo‘ladi y= 8 , uning ildizi 1. Qiymatni bilish y 1 bo'lsa, siz qiymatni topishingiz mumkin x .

O'rinbosar y birinchi tenglamaga kiramiz x+ 5 = 7, shuning uchun x= 2

5-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini qo‘shish usuli yordamida yeching:

Xuddi shu o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan atamalar bir-birining ostida joylashganligi ma'qul. Shuning uchun, ikkinchi tenglamada 5-sonli shartlar y va -2 x joylarni o'zgartirish. Natijada, tizim quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Ikkinchi tenglamani 3 ga ko'paytiring. Keyin tizim quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Endi ikkala tenglamani qo'shamiz. Qo'shish natijasida biz 8 tenglamani olamiz y= 16 , uning ildizi 2 ga teng.

O'rinbosar y birinchi tenglamada biz 6 ni olamiz x− 14 = 40. Biz -14 atamasini o'ng tomonga o'tkazamiz, belgini o'zgartiramiz, biz 6 ni olamiz x= 54. Bu yerdan x= 9.

6-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini qo‘shish usuli yordamida yeching:

Keling, kasrlardan xalos bo'laylik. Birinchi tenglamani 36 ga, ikkinchisini 12 ga ko'paytiring

Olingan tizimda birinchi tenglamani -5 ga, ikkinchisini esa 8 ga ko'paytirish mumkin

Olingan sistemadagi tenglamalarni qo‘shamiz. Keyin eng oddiy tenglamani olamiz -13 y= -156. Bu yerdan y= 12. O'rinbosar y birinchi tenglamaga kiriting va toping x

7-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini qo‘shish usuli yordamida yeching:

Ikkala tenglamani ham normal shaklga keltiramiz. Bu erda ikkala tenglamada ham mutanosiblik qoidasini qo'llash qulay. Agar birinchi tenglamada o'ng tomoni , ikkinchi tenglamaning o'ng tomoni sifatida ifodalangan bo'lsa, sistema quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

Bizda nisbat bor. Biz uning ekstremal va o'rta shartlarini ko'paytiramiz. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Biz birinchi tenglamani -3 ga ko'paytiramiz va ikkinchisida qavslarni ochamiz:

Endi ikkala tenglamani qo'shamiz. Ushbu tenglamalarni qo'shish natijasida biz tenglikni olamiz, uning ikkala qismida ham nolga teng bo'ladi:

Ma'lum bo'lishicha, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ammo biz shunchaki osmondan o'zboshimchalik bilan qiymatlarni ololmaymiz x Va y. Biz qiymatlardan birini belgilashimiz mumkin, ikkinchisi esa biz ko'rsatgan qiymatga qarab aniqlanadi. Masalan, keling x= 2 . Ushbu qiymatni tizimga almashtiring:

Tenglamalardan birini yechish natijasida uchun qiymati y, bu ikkala tenglamani qanoatlantiradi:

Olingan qiymatlar juftligi (2; -2) tizimni qondiradi:

Keling, yana bir juft qiymatni topaylik. Mayli x= 4. Ushbu qiymatni tizimga almashtiring:

Buni ko'z bilan aniqlash mumkin y nolga teng. Keyin biz tizimimizni qondiradigan bir juft qiymatni olamiz (4; 0):

8-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini qo‘shish usuli yordamida yeching:

Birinchi tenglamani 6 ga, ikkinchisini 12 ga ko'paytiring

Qolganlarini qayta yozamiz:

Birinchi tenglamani -1 ga ko'paytiring. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Endi ikkala tenglamani qo'shamiz. Qo'shish natijasida 6-tenglama hosil bo'ladi b= 48 , uning ildizi 8. O'rniga qo'ying b birinchi tenglamaga kiriting va toping a

Uch o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar tizimi

Uch o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglama koeffitsientli uchta o'zgaruvchini, shuningdek kesishishni o'z ichiga oladi. Kanonik shaklda uni quyidagicha yozish mumkin:

ax + by + cz = d

Bu tenglama cheksiz ko'p yechimlarga ega. Ikki o'zgaruvchiga turli qiymatlarni berish orqali uchinchi qiymatni topish mumkin. Bu holda yechim qiymatlarning uch barobari ( x; y; z) tenglamani o'ziga xoslikka aylantiradi.

Agar o'zgaruvchilar x, y, z o'zaro uchta tenglama bilan bog'langan bo'lsa, keyin uchta o'zgaruvchili uchta chiziqli tenglamalar tizimi hosil bo'ladi. Bunday tizimni yechish uchun siz ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalarga tegishli usullarni qo'llashingiz mumkin: almashtirish usuli va qo'shish usuli.

1-misol. Quyidagi tenglamalar tizimini almashtirish usuli yordamida yeching:

Uchinchi tenglamada ifodalaymiz x. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Endi almashtirishni qilaylik. O'zgaruvchan x ifodaga teng 3 − 2y − 2z . Ushbu ifodani birinchi va ikkinchi tenglamalarga almashtiring:

Keling, ikkala tenglamadagi qavslarni ochamiz va shunga o'xshash shartlarni beramiz:

Biz ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar tizimiga keldik. Bunday holda, qo'shish usulini qo'llash qulay. Natijada, o'zgaruvchi y yo'qoladi va biz o'zgaruvchining qiymatini topamiz z

Endi qiymatni topamiz y. Buning uchun - tenglamasidan foydalanish qulay y+ z= 4. Qiymatni almashtiring z

Endi qiymatni topamiz x. Buning uchun tenglamadan foydalanish qulay x= 3 − 2y − 2z . Undagi qiymatlarni almashtiring y Va z

Shunday qilib, qiymatlarning uchligi (3; -2; 2) bizning tizimimizning yechimidir. Tekshirish orqali biz ushbu qiymatlar tizimga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz:

2-misol. Tizimni qo'shish usuli bilan yeching

Birinchi tenglamani ikkinchisini -2 ga ko'paytiramiz.

Agar ikkinchi tenglama -2 ga ko'paytirilsa, u shaklni oladi −6x+ 6y- 4z = −4 . Endi uni birinchi tenglamaga qo'shing:

Ko'ramiz, elementar transformatsiyalar natijasida o'zgaruvchining qiymati aniqlangan x. Birga teng.

Keling, asosiy tizimga qaytaylik. Uchinchi tenglamani −1 ga ko'paytiruvchi ikkinchi tenglamani qo'shamiz. Uchinchi tenglama −1 ga ko'paytirilsa, u shaklni oladi −4x + 5y − 2z = −1 . Endi uni ikkinchi tenglamaga qo'shing:

Tenglamani oldim x - 2y= −1. Unga qiymatni almashtiring x biz avvalroq topdik. Keyin qiymatni aniqlashimiz mumkin y

Endi biz qadriyatlarni bilamiz x Va y. Bu sizga qiymatni aniqlash imkonini beradi z. Biz tizimga kiritilgan tenglamalardan birini ishlatamiz:

Shunday qilib, qiymatlarning uchligi (1; 1; 1) bizning tizimimizning yechimidir. Tekshirish orqali biz ushbu qiymatlar tizimga mos kelishiga ishonch hosil qilamiz:

Chiziqli tenglamalar tizimini tuzish bo'yicha topshiriqlar

Tenglamalar tizimini tuzish vazifasi bir nechta o'zgaruvchilarni kiritish orqali hal qilinadi. Keyinchalik, masalaning shartlari asosida tenglamalar tuziladi. Tuzilgan tenglamalardan ular sistema hosil qiladi va uni yechadi. Tizimni hal qilgandan so'ng, uning echimi muammoning shartlariga javob beradimi yoki yo'qligini tekshirish kerak.

Vazifa 1. “Volga” mashinasi shahardan kolxozga jo‘nab ketdi. U birinchisidan 5 km qisqaroq bo'lgan boshqa yo'l bo'ylab qaytib keldi. Hammasi bo'lib mashina ikki tomonga 35 km yurdi. Har bir yo'l necha kilometrdan iborat?

Yechim

Mayli x- birinchi yo'lning uzunligi, y- ikkinchisining uzunligi. Agar mashina ikki tomonga 35 km yurgan bo'lsa, birinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin x+ y= 35. Ushbu tenglama ikkala yo'lning uzunligi yig'indisini tavsiflaydi.

Aytilishicha, mashina birinchisidan 5 km qisqaroq bo‘lgan yo‘l bo‘ylab ortga qaytayotgan edi. Keyin ikkinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin x− y= 5. Bu tenglama yo'llarning uzunliklari orasidagi farq 5 km ekanligini ko'rsatadi.

Yoki ikkinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin x= y+ 5. Biz ushbu tenglamadan foydalanamiz.

O'zgaruvchilardan beri x Va y Ikkala tenglamada ham bir xil sonni bildirsa, biz ulardan tizim hosil qilishimiz mumkin:

Keling, bu tizimni avval o'rganilgan usullardan biri yordamida hal qilaylik. Bunday holda, almashtirish usulidan foydalanish qulay, chunki ikkinchi tenglamada o'zgaruvchi x allaqachon ifodalangan.

Ikkinchi tenglamani birinchisiga almashtiring va toping y

Topilgan qiymatni almashtiring y ikkinchi tenglamaga kiriting x= y+ 5 va toping x

Birinchi yo'lning uzunligi o'zgaruvchi bilan belgilangan x. Endi biz uning ma'nosini topdik. O'zgaruvchan x 20. Demak, birinchi yo'lning uzunligi 20 km.

Ikkinchi yo'lning uzunligi esa tomonidan ko'rsatilgan y. Bu o'zgaruvchining qiymati 15. Demak, ikkinchi yo'lning uzunligi 15 km.

Keling, tekshirib ko'raylik. Birinchidan, tizim to'g'ri hal qilinganligiga ishonch hosil qilaylik:

Endi yechim (20; 15) masala shartlarini qanoatlantirishini tekshiramiz.

Aytilishicha, mashina ikki tomonga jami 35 km yurgan. Ikkala yo'lning uzunligini qo'shamiz va yechim (20; 15) ushbu shartni qondirishiga ishonch hosil qilamiz: 20 km + 15 km = 35 km

Keyingi shart: mashina boshqa yo'l bo'ylab orqaga qaytdi, bu birinchisidan 5 km qisqaroq edi . Ko'ramiz (20; 15) yechim ham bu shartni qanoatlantiradi, chunki 15 km 20 km dan 5 km qisqa: 20 km - 15 km = 5 km

Tizimni kompilyatsiya qilishda, ushbu tizimga kiritilgan barcha tenglamalarda o'zgaruvchilar bir xil raqamlarni ko'rsatishi muhimdir.

Shunday qilib, bizning tizimimizda ikkita tenglama mavjud. Bu tenglamalar o'z navbatida o'zgaruvchilarni o'z ichiga oladi x Va y, bu ikkala tenglamada bir xil raqamlarni, ya'ni 20 km va 15 km ga teng yo'llarning uzunligini bildiradi.

Vazifa 2. Eman va qarag'ay shpallari platformaga, jami 300 shpal yuklangan. Ma'lumki, barcha eman shpallarining og'irligi barcha qarag'ay shpallaridan 1 tonna kamroq edi. Alohida-alohida nechta eman va qarag'ay shpallari borligini aniqlang, agar har bir eman shpalining vazni 46 kg va har bir qarag'ay shpalining vazni 28 kg bo'lsa.

Yechim

Mayli x eman va y platformaga qarag'ay shpallari yuklangan. Agar jami 300 shpal bo'lsa, birinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin x+y = 300 .

Barcha eman shpallari 46 og'irlikda edi x kg, qarag'ay esa 28 og'irlikda edi y kg. Eman shpallarining og'irligi qarag'ay shpallaridan 1 tonna kamroq bo'lganligi sababli, ikkinchi tenglamani quyidagicha yozish mumkin 28y- 46x= 1000 . Ushbu tenglama eman va qarag'ay shpallari orasidagi massa farqi 1000 kg ekanligini ko'rsatadi.

Tonnalar kilogrammga aylantirildi, chunki eman va qarag'ay shpallarining massasi kilogrammda o'lchanadi.

Natijada biz tizimni tashkil etuvchi ikkita tenglamani olamiz

Keling, ushbu tizimni hal qilaylik. Birinchi tenglamada ifodalang x. Keyin tizim quyidagi shaklni oladi:

Birinchi tenglamani ikkinchisiga almashtiring va toping y

O'rinbosar y tenglamaga kiradi x= 300 − y va nimani bilib oling x

Bu platformaga 100 ta eman va 200 ta qarag'ay shpal yuklanganligini anglatadi.

Yechim (100; 200) masala shartlarini qanoatlantirishini tekshiramiz. Birinchidan, tizim to'g'ri hal qilinganligiga ishonch hosil qilaylik:

Hammasi bo'lib 300 shpal borligi aytildi. Biz eman va qarag'ay shpallarining sonini qo'shamiz va eritma (100; 200) ushbu shartni qondirishiga ishonch hosil qilamiz: 100 + 200 = 300.

Keyingi shart: barcha eman shpallarining og'irligi barcha qarag'aylardan 1 tonna kamroq edi . Ko'ramizki, eritma (100; 200) ham bu shartni qondiradi, chunki 46 × 100 kg eman shpallari 28 × 200 kg qarag'ay shpallaridan engilroq: 5600 kg - 4600 kg = 1000 kg.

Vazifa 3. Biz og'irligi bo'yicha 2: 1, 3: 1 va 5: 1 nisbatda mis va nikel qotishmasidan uchta bo'lak oldik. Ulardan 12 kg og'irlikdagi bo'lak mis va nikel nisbati 4: 1 bo'lgan holda eritildi. Har bir asl bo'lakning massasini toping, agar birinchisining massasi ikkinchisining massasidan ikki baravar ko'p bo'lsa.

BILAN n noma'lum shakldagi tizimdir:

Qayerda aij Va b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ba'zi ma'lum raqamlar, va x 1 ,…,x n- noma'lum raqamlar. Koeffitsientlarni belgilashda aij indeks i tenglamaning sonini aniqlaydi, ikkinchisi esa j bu koeffitsient joylashgan noma'lumning soni.

Bir hil tizim - tizimning barcha bo'sh a'zolari nolga teng bo'lganda ( b 1 = b 2 = ... = b m = 0), aksincha vaziyat heterojen tizim.

Kvadrat tizim - raqam qachon m tenglamalar songa teng n noma'lum.

Tizim yechimi- o'rnatish n raqamlar c 1 , c 2 , …, c n , hammaning o'rnini bosadigan tarzda c i o'rniga x i tizimga uning barcha tenglamalarini identifikatsiyaga aylantiradi.

Qo'shma tizim - tizimda kamida bitta yechim mavjud bo'lganda va mos kelmaydigan tizim tizimda hech qanday yechim bo'lmaganda.

Bunday turdagi qo'shma tizim (yuqorida berilganidek, (1) bo'lsin) bir yoki bir nechta echimga ega bo'lishi mumkin.

Yechimlar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) Va c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2)(1) turdagi qo'shma tizim iroda har xil, hatto 1 ta tenglik bajarilmasa:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

(1) turdagi qo'shma tizim bo'ladi aniq faqat bitta yechimga ega bo'lsa; tizim kamida 2 xil yechimga ega bo'lsa, u bo'ladi kam aniqlangan. Noma'lumlardan ko'proq tenglamalar bo'lsa, tizim shunday bo'ladi qayta belgilangan.

Noma'lumlar uchun koeffitsientlar matritsa shaklida yoziladi:

U deyiladi tizim matritsasi.

Tenglamalarning o'ng tomonida joylashgan raqamlar, b 1 ,…,b m bor bepul a'zolar.

Agregat n raqamlar c 1 ,…,c n sistemaning barcha tenglamalari ulardagi raqamlar almashtirilgandan keyin tenglikka aylanganda bu sistemaning yechimidir c 1 ,…,c n mos keladigan noma'lumlar o'rniga x 1 ,…,x n.

Chiziqli tenglamalar tizimini echishda 3 ta variant paydo bo'lishi mumkin:

1. Tizim faqat bitta yechimga ega.

2. Tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Masalan, . Ushbu tizimning yechimi belgisi bilan farq qiluvchi barcha juft raqamlar bo'ladi.

3. Tizimda hech qanday yechim yo'q. Masalan, , agar yechim mavjud bo'lsa, u holda x 1 + x 2 bir vaqtning o'zida 0 va 1 ga teng.

Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari.

To'g'ridan-to'g'ri usullar aniq yechim topiladigan algoritmni keltiring SLAU(chiziqli algebraik tenglamalar tizimlari). Va agar aniqlik mutlaq bo'lsa, ular buni topdilar. Haqiqiy elektr kompyuter, albatta, xato bilan ishlaydi, shuning uchun yechim taxminiy bo'ladi.

§1. Chiziqli tenglamalar sistemalari.

ko'rish tizimi

tizim deb ataladi m bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum.

Bu yerga
- noma'lum, - noma'lumlar uchun koeffitsientlar,
- tenglamalarning erkin a'zolari.

Agar tenglamalarning barcha erkin shartlari nolga teng bo'lsa, tizim chaqiriladi bir hil. Qaror tizim raqamlar to'plami deb ataladi
, ularni noma'lumlar o'rniga tizimga qo'shganda, barcha tenglamalar identifikatsiyaga aylanadi. Tizim deyiladi qo'shma agar u kamida bitta yechimga ega bo'lsa. Noyob yechimga ega bo'lgan qo'shma tizim deyiladi aniq. Ikki tizim deyiladi ekvivalent agar ularning yechimlari to'plamlari bir xil bo'lsa.

Tizim (1) tenglama yordamida matritsa shaklida ifodalanishi mumkin

(2)

.

§2. Chiziqli tenglamalar sistemalarining mosligi.

(1) tizimning kengaytirilgan matritsasini matritsa deb ataymiz

Kroneker - Kapelli teoremasi. Tizim (1) agar tizim matritsasining darajasi kengaytirilgan matritsa darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi:

.

§3. Tizimli yechimn bilan chiziqli tenglamalarn noma'lum.

Bir hil bo'lmagan tizimni ko'rib chiqing n bilan chiziqli tenglamalar n noma'lum:

(3)

Kramer teoremasi.Agar tizimning asosiy determinanti (3)
, keyin tizim formulalar bilan aniqlangan yagona yechimga ega bo'ladi:

bular.
,

Qayerda - aniqlovchidan olingan aniqlovchi almashtirish th ustunidan bepul a'zolar ustuniga.

Agar
, va kamida bittasi ≠0 bo'lsa, tizimda hech qanday yechim yo'q.

Agar
, keyin tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Tizim (3) uning matritsa yozuvi (2) yordamida echilishi mumkin. Agar matritsaning darajasi bo'lsa A teng n, ya'ni.
, keyin matritsa A teskarisiga ega
. Matritsa tenglamasini ko'paytirish
matritsaga
chap tomonda biz olamiz:

.

Oxirgi tenglik teskari matritsa yordamida chiziqli tenglamalar tizimini yechish usulini ifodalaydi.

Misol. Tenglamalar sistemasini teskari matritsa yordamida yeching.

Yechim. Matritsa
degenerativ emas, chunki
, shuning uchun teskari matritsa mavjud. Teskari matritsani hisoblaymiz:
.

,

Mashq qilish. Tizimni Kramer usulida yeching.

§4. Chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy sistemalarini yechish.

(1) ko`rinishdagi bir jinsli bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasi berilsin.

Aytaylik, tizim izchil, ya'ni. Kroneker-Kapelli teoremasining sharti bajariladi:
. Agar matritsaning darajasi bo'lsa
(noma'lumlar soniga), keyin tizim noyob yechimga ega. Agar
, keyin tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Keling, tushuntiramiz.

Matritsaning darajasi bo'lsin r(A)= r< n. Chunki
, keyin nolga teng bo'lmagan tartib mavjud r. Keling, buni asosiy kichik deb ataymiz. Koeffitsientlari asosiy minorni tashkil etuvchi noma'lumlar asosiy o'zgaruvchilar deb ataladi. Qolgan noma'lumlar erkin o'zgaruvchilar deb ataladi. Biz tenglamalarni o'zgartiramiz va o'zgaruvchilarni shunday raqamlaymizki, bu minor tizim matritsasining yuqori chap burchagida joylashgan bo'ladi:

.

Birinchidan r qatorlar chiziqli mustaqil, qolganlari ular orqali ifodalanadi. Shuning uchun, bu chiziqlar (tenglamalar) o'chirilishi mumkin. Biz olamiz:

Erkin o'zgaruvchilarga ixtiyoriy son qiymatlarni beraylik: . Biz chap tomonda faqat asosiy o'zgaruvchilarni qoldiramiz va erkin o'zgaruvchilarni o'ng tomonga o'tkazamiz.

Tizim bor r bilan chiziqli tenglamalar r noma'lum, determinanti 0 dan farq qiladi. Uning yagona yechimi bor.

Bu sistema chiziqli tenglamalar sistemasining umumiy yechimi deyiladi (1). Aks holda: asosiy o'zgaruvchilarning erkin ko'rinishdagi ifodasi deyiladi umumiy yechim tizimlari. Undan cheksiz sonni olishingiz mumkin shaxsiy qarorlar, erkin o'zgaruvchilarga ixtiyoriy qiymatlarni berish. Erkin o'zgaruvchilarning nol qiymatlarida umumiy echimdan olingan ma'lum bir yechim deyiladi asosiy yechim. Turli xil asosiy echimlar soni oshmaydi
. Salbiy bo'lmagan komponentlar bilan asosiy yechim deyiladi Asosiy tizimli yechim.

Misol.

, r=2.

O'zgaruvchilar
- Asosiy,
- ozod.

Keling, tenglamalarni qo'shamiz; ifodalash
orqali
:

- umumiy qaror.

- shaxsiy yechim
.

- asosiy yechim, asosiy.

§5. Gauss usuli.

Gauss usuli - chiziqli tenglamalarning ixtiyoriy tizimlarini o'rganish va yechishning universal usuli. Bu tizimlarning ekvivalentligini buzmaydigan elementar transformatsiyalar yordamida noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish orqali tizimni diagonal (yoki uchburchak) shaklga keltirishdan iborat. Agar o'zgaruvchi tizimning faqat bitta koeffitsienti 1 tenglamasida bo'lsa, o'zgaruvchi chiqarib tashlangan deb hisoblanadi.

Elementar transformatsiyalar tizimlar quyidagilardir:

Tenglamani nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish;

Har qanday songa ko'paytiriladigan tenglamani boshqa tenglama bilan qo'shish;

Tenglamalarni qayta tartibga solish;

0 = 0 tenglamasini tashlash.

Elementar o'zgartirishlar tenglamalarda emas, balki hosil bo'lgan ekvivalent tizimlarning kengaytirilgan matritsalarida amalga oshirilishi mumkin.

Misol.

Yechim. Tizimning kengaytirilgan matritsasini yozamiz:

.

Elementar o'zgarishlarni amalga oshirib, biz matritsaning chap tomonini birlik shakliga keltiramiz: biz asosiy diagonalda birliklar, uning tashqarisida esa nollarni yaratamiz.

Izoh. Agar elementar o'zgarishlarni amalga oshirishda 0 ko'rinishdagi tenglama bo'lsa = uchun(Qaerda Kimga0), keyin tizim mos kelmaydi.

Noma'lumlarni ketma-ket yo'q qilish usuli bilan chiziqli tenglamalar tizimini echish ko'rinishida rasmiylashtirilishi mumkin. jadvallar.

Jadvalning chap ustunida istisno qilingan (asosiy) o'zgaruvchilar haqidagi ma'lumotlar mavjud. Qolgan ustunlar noma'lumlar koeffitsientlarini va tenglamalarning erkin shartlarini o'z ichiga oladi.

Tizimning kengaytirilgan matritsasi manba jadvaliga yoziladi. Keyinchalik, Iordaniya o'zgarishlarini amalga oshirishga o'ting:

1. O‘zgaruvchini tanlang , bu asosga aylanadi. Tegishli ustun kalit ustun deb ataladi. Ushbu o'zgaruvchi boshqa tenglamalardan chiqarib tashlanadigan tenglamani tanlang. Jadvalning tegishli qatori kalit qatori deb ataladi. Koeffitsient Kalit qatori va kalit ustuni kesishmasida joylashgan , kalit deyiladi.

2. Kalit qatorining elementlari kalit elementga bo'linadi.

3. Kalit ustuni nollar bilan to'ldiriladi.

4. Qolgan elementlar to'rtburchaklar qoidasiga muvofiq hisoblanadi. Ular to'rtburchakni tashkil qiladi, ularning qarama-qarshi uchlarida asosiy element va qayta hisoblangan element mavjud; asosiy elementga ega bo'lgan to'rtburchakning diagonalidagi elementlarning mahsulotidan boshqa diagonalning elementlarining mahsuloti ayiriladi, natijada olingan farq asosiy elementga bo'linadi.

Misol. Tenglamalar tizimining umumiy va asosiy yechimini toping:

Yechim.

Tizimning umumiy yechimi:

Asosiy yechim:
.

Bir martalik almashtirish transformatsiyasi tizimning bir bazasidan ikkinchisiga o'tish imkonini beradi: asosiy o'zgaruvchilardan biri o'rniga bazisga erkin o'zgaruvchilardan biri kiritiladi. Buning uchun erkin o'zgaruvchilar ustunida asosiy element tanlanadi va yuqoridagi algoritmga muvofiq transformatsiyalar amalga oshiriladi.

§6. Qo'llab-quvvatlash echimlarini topish

Chiziqli tenglamalar sistemasining etalon yechimi manfiy komponentlardan iborat bo'lmagan asosiy yechimdir.

Tizimning tayanch yechimlari quyidagi sharoitlarda Gauss usulida topiladi.

1. Dastlabki tizimda barcha bepul shartlar salbiy bo'lmasligi kerak:
.

2. Asosiy element ijobiy koeffitsientlar orasidan tanlanadi.

3. Agar bazisga kiritilgan o'zgaruvchi bir nechta ijobiy koeffitsientlarga ega bo'lsa, u holda bo'sh hadning musbat koeffitsientga nisbati eng kichik bo'lgan asosiy qator hisoblanadi.

Izoh 1. Agar noma'lumlarni yo'q qilish jarayonida barcha koeffitsientlar musbat bo'lmagan tenglama paydo bo'lsa va erkin muddat
, keyin tizimda salbiy bo'lmagan echimlar yo'q.

Izoh 2. Erkin o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar ustunlarida bitta ijobiy element bo'lmasa, boshqa mos yozuvlar echimiga o'tish mumkin emas.

Misol.

Umuman olganda, chiziqli tenglama quyidagi shaklga ega:

Tenglama yechimga ega: agar noma'lumlardagi koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farq qilsa. Bunday holda, har qanday o'lchovli vektor tenglamaning yechimi deb ataladi, agar uning koordinatalari almashtirilganda, tenglama bir xillikka aylanadi.

Ruxsat etilgan tenglamalar tizimining umumiy tavsiflari

20.1-misol

Tenglamalar sistemasiga tavsif bering.

Yechim:

1. Mos kelmaydigan tenglama bormi?(Agar koeffitsientlar bo'lsa, bu holda tenglama quyidagi shaklga ega: va deyiladi bahsli.)

• Agar tizimda nomuvofiq bo'lsa, unda bunday tizim mos kelmaydigan va hech qanday yechimga ega emas.

2. Barcha ruxsat etilgan o'zgaruvchilarni toping. (Noma'lum deb ataladiruxsat berilgan tenglamalar tizimi uchun, agar u +1 koeffitsientli tizim tenglamalaridan biriga kiritilgan bo'lsa, lekin boshqa tenglamalarga kiritilmagan bo'lsa (ya'ni, u nolga teng koeffitsient bilan kiritilgan).

3. Tenglamalar tizimiga ruxsat berilganmi? (Tenglamalar tizimi yechilgan deyiladi, agar tizimning har bir tenglamasi hal qilingan noma'lumni o'z ichiga olsa, ular orasida mos keladiganlari yo'q)

Tizimning har bir tenglamasidan birma-bir olingan ruxsat etilgan noma'lumlar hosil bo'ladi ruxsat etilgan noma'lumlarning to'liq to'plami tizimlari. (bizning misolimizda shunday)

To'liq to'plamga kiritilgan ruxsat etilgan noma'lumlar ham deyiladi Asosiy() va to'plamga kiritilmagan - ozod ().

Umumiy holda, echilgan tenglamalar tizimi quyidagi ko'rinishga ega:

Ushbu bosqichda nima ekanligini tushunish muhimdir noma'lum hal qilindi(asosiy va bepul kiritilgan).

Umumiy qisman asosiy yechim

Umumiy yechim Ruxsat etilgan tenglamalar tizimi - bu ruxsat etilgan noma'lumlarning erkin atamalar va erkin noma'lumlar ko'rinishidagi ifodalari to'plami:

Shaxsiy qaror erkin o'zgaruvchilar va noma'lumlarning o'ziga xos qiymatlari uchun umumiydan olingan yechim deyiladi.

Asosiy yechim erkin o'zgaruvchilarning nol qiymatlarida umumiydan olingan ma'lum bir yechimdir.

• Asosiy yechim (vektor) deyiladi degeneratsiya, agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni ruxsat etilgan noma'lumlar sonidan kam bo'lsa.
• Asosiy yechim deyiladi degenerativ bo'lmagan, agar uning nolga teng bo'lmagan koordinatalari soni to'liq to'plamga kiritilgan tizimning ruxsat etilgan noma'lumlari soniga teng bo'lsa.

Teorema (1)

Ruxsat etilgan tenglamalar tizimi har doim mos keladi(chunki u kamida bitta yechimga ega); Bundan tashqari, agar tizimda bepul noma'lumlar bo'lmasa,(ya'ni, tenglamalar tizimida barcha ruxsat etilganlar asosga kiritilgan) keyin aniqlanadi(yagona yechimga ega); agar kamida bitta erkin o'zgaruvchi bo'lsa, u holda tizim aniqlanmagan(cheksiz ko'p echimlarga ega).

Misol 1. Tenglamalar sistemasining umumiy, asosiy va har qanday xususiy yechimini toping:

Yechim:

1. Tizimga ruxsat berilganligini tekshiryapsizmi?

• Tizimga ruxsat berilgan (chunki tenglamalarning har birida ruxsat etilgan noma'lum mavjud)

2. Biz ruxsat etilgan noma'lumlarni to'plamga kiritamiz - har bir tenglamadan bitta.

3. To'plamga qaysi ruxsat etilgan noma'lumlarni kiritganimizga qarab, umumiy yechimni yozamiz.

4. Shaxsiy yechim topish. Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni ixtiyoriy sonlarga tenglashtiramiz.

Javob: shaxsiy yechim(variantlardan biri)

5. Asosiy yechim topish. Buning uchun biz to'plamga kiritmagan erkin o'zgaruvchilarni nolga tenglashtiramiz.

Chiziqli tenglamalarni elementar o'zgartirishlar

Chiziqli tenglamalar tizimlari elementar transformatsiyalar yordamida ruxsat etilgan ekvivalent tizimlarga keltiriladi.

Teorema (2)

Agar mavjud bo'lsa sistema tenglamasini nolga teng bo'lmagan ba'zi bir songa ko'paytiring, va qolgan tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin . (ya'ni, agar siz tenglamaning chap va o'ng tomonlarini bir xil songa ko'paytirsangiz, berilgan tenglamaga ekvivalentga ega bo'lasiz)

Teorema (3)

Agar tizimning istalgan tenglamasiga boshqasini qo'shing, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin berilganga ekvivalent tizimni oling. (ya'ni, agar siz ikkita tenglama qo'shsangiz (ularning chap va o'ng qismlarini qo'shsangiz), siz ma'lumotlarga ekvivalent tenglama olasiz)

Teoremalardan xulosa (2 va 3)

Agar har qanday tenglamaga ma'lum bir raqamga ko'paytiriladigan boshqasini qo'shing, va boshqa barcha tenglamalarni o'zgarishsiz qoldiring, keyin berilganga ekvivalent tizimni olamiz.

Tizim koeffitsientlarini qayta hisoblash uchun formulalar

Agar bizda tenglamalar tizimi mavjud bo'lsa va biz uni ruxsat etilgan tenglamalar tizimiga aylantirmoqchi bo'lsak, bunda bizga Jordan-Gauss usuli yordam beradi.

Iordaniya o'zgarishi hal qiluvchi element bilan raqam bilan tenglamada tenglamalar tizimi uchun hal qilingan noma'lumni olish imkonini beradi. (2-misol).

Iordaniya transformatsiyasi ikki turdagi elementar transformatsiyalardan iborat:

Aytaylik, biz quyi tenglamadagi noma’lumni yechilgan noma’lum holga keltirmoqchimiz. Buning uchun yig'indi ga teng bo'lishi uchun bo'linishimiz kerak.

2-misol Tizimning koeffitsientlarini qayta hisoblang

Raqamli tenglamani ga bo'lishda uning koeffitsientlari formulalar bo'yicha qayta hisoblab chiqiladi:

Raqamli tenglamadan chiqarib tashlash uchun raqam bilan tenglamani ko'paytirish va ushbu tenglamaga qo'shish kerak.

Teorema (4) Tizim tenglamalari sonini kamaytirish haqida.

Agar tenglamalar tizimi trivial tenglamani o'z ichiga olsa, u holda uni tizimdan chiqarib tashlash mumkin va asl tenglamaga ekvivalent tizim olinadi.

Teorema (5) Tenglamalar sistemasining mos kelmasligi haqida.

Agar tenglamalar tizimi mos kelmaydigan tenglamani o'z ichiga olsa, u mos kelmaydi.

Jordan-Gauss algoritmi

Jordan-Gauss usuli bo'yicha tenglamalar tizimini echish algoritmi bir xil turdagi bir necha bosqichlardan iborat bo'lib, ularning har biri quyidagi tartibda amallarni bajaradi:

1. Tizimning mos kelmasligini tekshiradi. Agar tizimda nomuvofiq tenglama mavjud bo'lsa, u mos kelmaydigan hisoblanadi.
2. Tenglamalar sonini kamaytirish imkoniyati tekshiriladi. Agar tizimda ahamiyatsiz tenglama bo'lsa, u chizib tashlanadi.
3. Agar tenglamalar tizimiga ruxsat berilsa, tizimning umumiy yechimini va kerak bo'lganda alohida echimlarni yozing.
4. Agar tizimga ruxsat berilmagan bo'lsa, unda ruxsat etilgan noma'lum bo'lmagan tenglamada hal qiluvchi element tanlanadi va bu element bilan Jordan transformatsiyasi amalga oshiriladi.
5. Keyin 1-bandga qayting.

3-misol Tenglamalar sistemasini Jordan-Gauss usuli yordamida yeching.

Toping: ikkita umumiy va ikkita mos keladigan asosiy echimlar

Yechim:

Hisob-kitoblar quyidagi jadvalda keltirilgan:

Tenglamalar bo'yicha harakatlar jadvalning o'ng tomonida ko'rsatilgan. O'qlar qaysi tenglamaga mos keladigan koeffitsientga ko'paytirilgan hal qiluvchi element bilan tenglama qo'shilganligini ko'rsatadi.

Jadvalning dastlabki uchta qatorida noma'lumlar koeffitsientlari va dastlabki tizimning o'ng qismlari mavjud. Birga teng bo'lgan birinchi Iordaniya konvertatsiyasi natijalari 4, 5, 6-satrlarda berilgan. (-1) ga teng bo'lgan ikkinchi Iordaniya transformatsiyasining natijalari 7, 8, 9-satrlarda berilgan. uchinchi tenglama ahamiyatsiz, uni ko'rib chiqish mumkin emas.

Chiziqli ajebraik tenglamalar tizimini (SLAE) muvofiqligini tekshirish bu tizimning yechimlari bor yoki yo'qligini aniqlashni anglatadi. Xo'sh, agar echimlar mavjud bo'lsa, ularning qanchasini ko'rsating.

Bizga "Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi. Tayanch atamalar. Matritsalarni belgilash" mavzusidan ma'lumotlar kerak bo'ladi. Xususan, tizim matritsasi va tizimning kengaytirilgan matritsasi kabi tushunchalar zarur, chunki Kroneker-Kapelli teoremasini shakllantirish ularga asoslanadi. Odatdagidek tizim matritsasi $A$ harfi bilan, tizimning kengaytirilgan matritsasi esa $\widetilde(A)$ harfi bilan belgilanadi.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar tizim matritsasi darajasi tizimning kengaytirilgan matritsasi darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi, ya'ni. $\darajali A =\rang\widetilde(A)$.

Eslatib o'taman, agar tizim kamida bitta yechimga ega bo'lsa, u qo'shma deyiladi. Kroneker-Kapelli teoremasi shunday deydi: agar $\rang A=\rang\widetilde(A)$, u holda yechim bor; agar $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ boʻlsa, bu SLAE yechimlari yoʻq (mos kelmaydigan). Bu yechimlar soni haqidagi savolga javob Kroneker-Kapelli teoremasining xulosasi bilan beriladi. Xulosa bayonida berilgan SLAEdagi o'zgaruvchilar soniga teng bo'lgan $n$ harfi ishlatiladi.

Kroneker-Kapelli teoremasidan xulosa

1. Agar $\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ bo'lsa, SLAE mos kelmaydi (echimlari yo'q).
2. Agar $\rang A=\rang\widetilde(A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. Agar $\rang A=\rang\widetilde(A) = n$ bo'lsa, SLAE aniq (uning aynan bitta yechimi bor).

E'tibor bering, tuzilgan teorema va uning natijasi SLAE yechimini qanday topishni ko'rsatmaydi. Ularning yordami bilan siz faqat ushbu echimlar bor yoki yo'qligini bilib olishingiz mumkin, agar ular mavjud bo'lsa, qancha.

№1 misol

SLAE $ \left \(\begin(hizalangan) & -3x_1+9x_2-7x_3=17;\\ & -x_1+2x_2-4x_3=9;\\ & 4x_1-2x_2+19x_3=-42) oʻrganing. \end(hizalangan) )\right.$ mustahkamlik uchun SLAE mos kelsa, yechimlar sonini ko'rsating.

Berilgan SLAE yechimlari mavjudligini bilish uchun biz Kronecker-Kapelli teoremasidan foydalanamiz. Bizga $A$ tizimining matritsasi va $\widetilde(A)$ tizimining kengaytirilgan matritsasi kerak, ularni yozamiz:

$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiv) \o'ng);\; \widetilde(A)=\left(\begin(massiv) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & -2 & 19 & -42 \end (massiv)\o'ng). $$

Biz $\rang A$ va $\rang\widetilde(A)$ topishimiz kerak. Buni qilishning ko'plab usullari mavjud, ulardan ba'zilari Matritsa darajasi bo'limida keltirilgan. Odatda, bunday tizimlarni o'rganish uchun ikkita usul qo'llaniladi: "Matrisa darajasini aniqlash bo'yicha hisoblash" yoki "Elementar o'zgartirishlar usuli bilan matritsaning darajasini hisoblash".

Usul raqami 1. Ta'rif bo'yicha darajalarni hisoblash.

Ta'rifga ko'ra, daraja - bu matritsaning voyaga etmaganlarning eng yuqori tartibi , ular orasida noldan tashqari kamida bittasi mavjud. Odatda, o'rganish birinchi darajali voyaga etmaganlardan boshlanadi, ammo bu erda darhol $A$ matritsasining uchinchi darajali minorini hisoblashga o'tish qulayroqdir. Uchinchi tartibli minorning elementlari ko'rib chiqilayotgan matritsaning uchta satri va uchta ustunining kesishmasida joylashgan. $A$ matritsasi faqat 3 ta satr va 3 ta ustundan iborat boʻlgani uchun $A$ matritsasining uchinchi tartibli minori $A$ matritsasining determinanti hisoblanadi, yaʼni. $\DeltaA$. Determinantni hisoblash uchun "Ikkinchi va uchinchi tartibli determinantlarni hisoblash formulalari" mavzusidagi 2-formulani qo'llaymiz:

$$ \Delta A=\chap| \begin(massiv) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \end(massiv) \right|=-21. $$

Demak, $A$ matritsasining uchinchi tartibli minori mavjud bo‘lib, u nolga teng emas. 4-tartibli minorni tuzib bo'lmaydi, chunki u 4 qator va 4 ustunni talab qiladi va $A$ matritsasi faqat 3 qator va 3 ustunga ega. Demak, $A$ matritsasi kichiklarining eng yuqori tartibi, ular orasida kamida bitta nolga teng bo'lmagan bittasi 3 ga teng. Shuning uchun $\rang A=3$.

Biz ham $\rang\widetilde(A)$ topishimiz kerak. $\widetilde(A)$ matritsasining tuzilishini ko'rib chiqamiz. $\widetilde(A)$ matritsadagi qatorgacha $A$ matritsasining elementlari mavjud va biz $\Delta A\neq 0$ ekanligini aniqladik. Shuning uchun $\widetilde(A)$ matritsasi nolga teng bo'lmagan uchinchi tartibli minorga ega. Biz $\widetilde(A)$ matritsasining toʻrtinchi tartibli kichiklarini tuza olmaymiz, shuning uchun shunday xulosaga kelamiz: $\rang\widetilde(A)=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ boʻlgani uchun Kroneker-Kapelli teoremasiga koʻra, tizim izchil, yaʼni. yechimga ega (kamida bitta). Yechimlar sonini ko'rsatish uchun biz SLAE 3 ta noma'lumni o'z ichiga olishini hisobga olamiz: $x_1$, $x_2$ va $x_3$. Noma'lumlar soni $n=3$ bo'lgani uchun biz shunday xulosaga kelamiz: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasining xulosasiga ko'ra, sistema aniq, ya'ni. o‘ziga xos yechimga ega.

Muammo hal qilindi. Ushbu usulning kamchiliklari va afzalliklari qanday? Birinchidan, keling, ijobiy tomonlari haqida gapiraylik. Birinchidan, biz faqat bitta determinantni topishimiz kerak edi. Shundan so'ng, biz darhol echimlar soni haqida xulosa qildik. Odatda, standart tipik hisob-kitoblarda uchta noma'lumni o'z ichiga olgan va bitta yechimga ega bo'lgan tenglamalar tizimlari beriladi. Bunday tizimlar uchun bu usul juda qulaydir, chunki biz yechim borligini oldindan bilamiz (aks holda odatiy hisobda hech qanday misol bo'lmaydi). Bular. biz faqat eng tezkor tarzda yechim mavjudligini ko'rsatishimiz kerak. Ikkinchidan, tizim matritsasi determinantining hisoblangan qiymati (ya'ni $\Delta A$) keyinroq foydali bo'ladi: berilgan tizimni Kramer usuli yoki teskari matritsa yordamida yechishni boshlaganimizda.

Biroq, ta'rifga ko'ra, agar tizim matritsasi $A$ to'rtburchak bo'lsa, darajani hisoblash usuli istalmagan. Bunday holda, quyida muhokama qilinadigan ikkinchi usulni qo'llash yaxshiroqdir. Bundan tashqari, agar $\Delta A=0$ bo'lsa, biz berilgan bir xil bo'lmagan SLAE uchun echimlar soni haqida hech narsa deya olmaymiz. Ehtimol, SLAE cheksiz ko'p echimlarga ega, yoki yo'q. Agar $\Delta A=0$ bo'lsa, qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi, bu ko'pincha mashaqqatli.

Aytilganlarni umumlashtirib, shuni ta'kidlaymanki, birinchi usul tizim matritsasi kvadrat bo'lgan SLAElar uchun yaxshi. Shu bilan birga, SLAE ning o'zi uchta yoki to'rtta noma'lumni o'z ichiga oladi va standart standart hisob-kitoblardan yoki nazorat ishlaridan olinadi.

2-usul raqami. Elementar o'zgartirishlar usuli bilan darajani hisoblash.

Ushbu usul tegishli mavzuda batafsil tavsiflangan. Biz $\widetilde(A)$ matritsasining darajasini hisoblaymiz. Nima uchun $A$ emas, $\widetilde(A)$ matritsalari? Gap shundaki, $A$ matritsasi $\widetilde(A)$ matritsasining bir qismidir, shuning uchun $\widetilde(A)$ matritsasining darajasini hisoblab, biz bir vaqtning oʻzida $A$ matritsasining darajasini topamiz. .

\begin(hizalangan) &\widetilde(A) =\left(\begin(massiv) (ccc|c) -3 & 9 &-7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9\\ 4 & - 2 & 19 & -42 \end(massiv) \o'ng) \o'ngga \chap|\matn(birinchi va ikkinchi qatorlarni almashtirish)\o'ng| \rightarrow \\ &\rightarrow \left(\begin(massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 &-7 & 17\\ 4 & -2 & 19 & - 42 \end(massiv) \o'ng) \begin(massiv) (l) \phantom(0) \\ r_2-3r_1\\ r_3+4r_1 \end(massiv) \o'ngga o'q \left(\begin(massiv) (ccc| c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 6 & 3 & -6 \end(massiv) \o'ng) \begin(massiv) (l) \phantom(0) ) \\ \phantom(0)\\ r_3-2r_2 \end(massiv)\o'ngga o'q\\ &\o'ngga \left(\begin(massiv) (ccc|c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 &5 & -10\\ 0 & 0 & -7 & 14 \end(massiv) \o'ng) \end(hizalangan)

Biz $\widetilde(A)$ matritsasini bosqichli shaklga qisqartirdik. Olingan bosqichli matritsa uchta nolga teng bo'lmagan qatorga ega, shuning uchun uning darajasi 3. Shuning uchun $\widetilde(A)$ matritsasining darajasi 3 ga teng, ya'ni. $\rank\widetilde(A)=3$. $\widetilde(A)$ matritsa elementlari bilan transformatsiyalar amalga oshirib, biz bir vaqtning o'zida chiziqdan oldin joylashgan $A$ matritsasining elementlarini o'zgartirdik. $A$ matritsasi ham bosqichli: $\left(\begin(massiv) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 &5 \\ 0 & 0 & -7 \end(massiv) \ o'ng) $. Xulosa: $A$ matritsasining darajasi ham 3 ga teng, ya'ni. $\daraja A=3$.

$\rang A=\rang\widetilde(A)$ boʻlgani uchun Kroneker-Kapelli teoremasiga koʻra, tizim izchil, yaʼni. yechimi bor. Yechimlar sonini ko'rsatish uchun biz SLAE 3 ta noma'lumni o'z ichiga olishini hisobga olamiz: $x_1$, $x_2$ va $x_3$. Noma'lumlar soni $n=3$ bo'lgani uchun biz shunday xulosaga kelamiz: $\rang A=\rang\widetilde(A)=n$, shuning uchun Kroneker-Kapelli teoremasining xulosasiga ko'ra, sistema aniqlanadi, ya'ni. o‘ziga xos yechimga ega.

Ikkinchi usulning afzalliklari nimada? Asosiy afzallik - bu ko'p qirrali. Tizim matritsasi kvadrat bo'ladimi yoki yo'qmi, biz uchun muhim emas. Bundan tashqari, biz haqiqatda oldinga Gauss usulini o'zgartirishni amalga oshirdik. Bir necha qadam qoldi va biz ushbu SLAE yechimini olishimiz mumkin edi. Rostini aytsam, menga birinchisidan ko'ra ikkinchi yo'l ko'proq yoqadi, lekin tanlov ta'mga bog'liq.

Javob: Berilgan SLAE izchil va aniqlangan.

№2 misol

SLAE $ \left\( \begin(hatlangan) & x_1-x_2+2x_3=-1;\\ & -x_1+2x_2-3x_3=3;\\ & 2x_1-x_2+3x_3=2;\\ & 3x_1- bilan tanishing 2x_2+5x_3=1;\\ & 2x_1-3x_2+5x_3=-4.\end(hizalangan) \oʻng.$.

Tizim matritsasining darajalarini va tizimning kengaytirilgan matritsasini elementar transformatsiyalar usuli bilan topamiz. Kengaytirilgan tizim matritsasi: $\widetilde(A)=\left(\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \end(massiv) \o'ng)$. Tizimning kengaytirilgan matritsasini o'zgartirib, kerakli darajalarni topamiz:

$$ \left(\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \end(massiv) \o'ng) \begin(massiv) (l) \fantom(0)\\r_2+r_1\\r_3-2r_1\\ r_4 -3r_1\\r_5-2r_1\end(massiv)\o'ngga strelka \chap (\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \end(massiv) \o'ng) \begin(massiv) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\r_3-r_2\\ r_4-r_2\\r_5+r_2\end(massiv)\o'ngga o'q\\ $$ $$ \o'ngga\chap(\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \ o'ng) \begin(massiv) (l) \fantom(0)\\\phantom(0)\\\phantom(0)\\ r_4-r_3\\\phantom(0)\end(massiv)\o'ng strelka \chap (\begin(massiv) (ccc|c) 1 & -1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \o'ng) $$

Tizimning kengaytirilgan matritsasi bosqichli shaklga tushiriladi. Bosqichli matritsaning darajasi uning nolga teng bo'lmagan qatorlar soniga teng, shuning uchun $\rang\widetilde(A)=3$. $A$ matritsasi (chiziqgacha) ham pog'onali shaklga tushiriladi va uning darajasi 2 ga teng, $\rang(A)=2$.

$\rang A\neq\rang\widetilde(A)$ ekan, demak, Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra, sistema mos kelmaydi (ya'ni uning yechimlari yo'q).

Javob: Tizim mos emas.

№3 misol

SLAE $ \left\( \begin(hizalangan) va 2x_1+7x_3-5x_4+11x_5=42;\\ & x_1-2x_2+3x_3+2x_5=17;\\ & -3x_1+9x_2-11x_3-7x_5=6 bilan tanishing ;\\ & -5x_1+17x_2-16x_3-5x_4-4x_5=-90;\\ & 7x_1-17x_2+23x_3+15x_5=132. Moslik uchun \end(aligned) \right.$.

Tizimning kengaytirilgan matritsasini bosqichli shaklga keltiramiz:

$$ \left(\begin(massiv)(ccccc|c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiv) \oʻng) \overset (r_1\leftrightarrow(r_3))(\rightarrow) $$ $$ \rightarrow\left(\begin(massiv)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42\\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64\\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \end(massiv) \o'ng) \begin(massiv) (l) \phantom(0)\\ r_2-2r_1 \\r_3+3r_1 \\ r_4+5r_1 \\ r_5-7r_1 \end( massiv) \rightarrow \left(\begin(massiv)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 3 & - 2 & 0 & -1 & -13\\ 0 & 7 & -1 & -5 & 6 & -5 \\ 0 & -3 & 2 & 0 & 1 & 13 \end(massiv) \oʻng) \begin( massiv) (l) \phantom(0)\\ \phantom(0)\\4r_3+3r_2 \\ 4r_4-7r_2 \\ 4r_5+3r_2 \end(massiv) \o'ngga $$ $$ \o'ngga\chap(\boshlang) (massiv)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76 \\ 0 & 0 & 11 & -15 & 25 & 76 \end(massiv) \oʻng) \begin(massiv) (l) \phantom(0) )\\ \phantom(0)\\\phantom(0) \\ r_4-r_3 \\ r_5+r_2 \end(massiv) \o'ng ko'rsatkich \chap(\begin(massiv)(ccccc|c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17\\ 0 & 4 & 1 & -5 & 7 & 8\\ 0 & 0 & -11 & 15 & -25 & -76\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(massiv) \oʻng) $$

Biz tizimning kengaytirilgan matritsasini va tizimning o'zi matritsasini bosqichli shaklga qisqartirdik. Tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasi uchtaga teng, tizim matritsasining darajasi ham uchtaga teng. Tizim $n=5$ noma'lumlarni o'z ichiga olganligi sababli, ya'ni. $\rang\widetilde(A)=\rang(A)\lt(n)$ boʻlsa, Kroneker-Kapelli teoremasining xulosasiga koʻra, bu sistema noaniq, yaʼni. cheksiz sonli yechimlarga ega.

Javob: tizim noaniq.

Ikkinchi qismda biz ko'pincha standart hisob-kitoblarga yoki oliy matematikada testlarga kiritilgan misollarni tahlil qilamiz: muvofiqlikni o'rganish va unga kiritilgan parametrlarning qiymatlariga qarab SLAE ni hal qilish.