Chiziqdan chiziq koordinatasi usuliga masofa. Fazoda nuqta orasidagi chiziqdan masofa - nazariya, misollar, echimlar. Nuqta proektsiyasining koordinatalari va masofa
Nuqtadan tekislikka to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblash uchun formulalar
Agar Ax + By + C \u003d 0 to'g'ri chiziqning tenglamasi berilgan bo'lsa, M (M x, M y) nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani quyidagi formuladan foydalanib topish mumkin.
Bir tekislikdan tekis chiziqgacha bo'lgan nuqtadan masofani hisoblash uchun misollar
1-misol.
3x + 4y - 6 \u003d 0 chiziq va M (-1, 3) nuqtalar orasidagi masofani toping.
Qaror. Formulada chiziq koeffitsientlarini va nuqta koordinatalarini o'zgartiring
Javob: bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa 0.6.
vektorga perpendikulyar bo'lgan nuqtalar orqali o'tuvchi tekislikning tenglamasi tekislikning umumiy tenglamasi
Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan nol bo'lmagan vektor deyiladi normal vektor (yoki, qisqasi, normal ) ushbu samolyot uchun
Koordinatalar maydoni (to'rtburchaklar koordinatalar tizimida) berilsin:
a) nuqta 
;
b) nol bo'lmagan vektor (4.8-rasm, a).
Nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini tuzish talab qilinadi 
vektorga perpendikulyar Isbotning oxiri.
Endi tekislikdagi to'g'ri chiziqning har xil tenglamalarini ko'rib chiqamiz.
1) tekislikning umumiy tenglamasiP .
Bu tenglamaning bir vaqtning o'zida kelib chiqishini anglatadi A, B va C 0 ga teng emas (sababini tushuntiring).
Nuqta samolyotga tegishli P faqat uning koordinatalari tekislik tenglamasini qanoatlantirsa. Imkoniyatlarga qarab A, B, C va Dtekislik P bir pozitsiyani egallaydi:
- tekislik koordinata tizimining kelib chiqishi orqali, - tekislik koordinata tizimining kelib chiqishi orqali o'tmaydi,
- tekislik o'qga parallel X,
X,
- tekislik o'qga parallel Y,
- tekislik o'qga parallel emas Y,
- tekislik o'qga parallel Z,
- tekislik o'qga parallel emas Z.
Ushbu gaplarni o'zingiz isbotlang.
Tenglama (6) osonlikcha (5) tenglamadan kelib chiqadi. Darhaqiqat, nuqta tekislikda yotsin P... Shunda uning koordinatalari (5) tenglamadan (7) ayiruvchi tenglamani qanoatlantiradi va atamalarni guruhlab, (6) tenglamani olamiz. Endi mos ravishda koordinatalari bo'lgan ikkita vektorni ko'rib chiqing. (6) formuladan kelib chiqadiki, ularning skalyar mahsuloti nolga teng. Shuning uchun vektor vektorga perpendikulyar bo'ladi. Oxirgi vektorning boshi va oxiri mos ravishda tekislikka tegishli bo'lgan nuqtalarda bo'ladi. P... Shuning uchun vektor tekislikka perpendikulyar bo'ladi P... Nuqtadan tekislikka masofa P, uning umumiy tenglamasi 
formula bo'yicha aniqlanadi 
Ushbu formulaning isboti nuqta va chiziq orasidagi masofani aniqlash uchun formulaning isbotiga mutlaqo o'xshashdir (2-rasmga qarang). 
Shakl: 2. tekislik va to'g'ri chiziq orasidagi masofaning formulasini topishga.
Darhaqiqat, masofa d to'g'ri chiziq va tekislik o'rtasidagi
samolyotda yotadigan nuqta qayerda. Shunday qilib, 11-ma'ruzada bo'lgani kabi, yuqoridagi formuladan foydalaniladi. Agar normal vektorlari parallel bo'lsa, ikkita tekislik parallel bo'ladi. Bundan ikkita tekislikning parallelligi holatini olamiz 
- tekisliklarning umumiy tenglamalari koeffitsientlari. Ikki tekislik, agar ularning normal vektorlari perpendikulyar bo'lsa, perpendikulyar bo'ladi, demak, ikkita tekislikning perpendikulyarligi holatini, agar ularning umumiy tenglamalari ma'lum bo'lsa
Burchak f ikki tekislik orasidagi normal vektorlar orasidagi burchakka teng (3-rasmga qarang) va shuning uchun formulalar yordamida hisoblab chiqilishi mumkin. 
Samolyotlar orasidagi burchakni aniqlash.
(11)
Nuqtadan tekislikka masofa va uni topish usullari
Nuqtadan masofa 
tekislik - bir tekislikdan perpendikulyar uzunlik tushdi. Nuqtadan samolyotgacha masofani topish uchun kamida ikkita usul mavjud: geometrik va algebraik.
Geometrik usul bilan avval siz perpendikulyar nuqtadan tekislikka qanday joylashganligini tushunishingiz kerak: ehtimol u biron bir qulay tekislikda yotadi, ba'zi qulay (yoki unchalik emas) uchburchaklardagi balandlik, yoki ehtimol bu perpendikulyar ba'zi piramidadagi balandlikdir.
Ushbu birinchi va eng qiyin bosqichdan so'ng, vazifa bir nechta aniq planimetrik vazifalarga bo'linadi (ehtimol turli samolyotlarda).
Algebraik usulda Nuqtadan tekislikka masofani topish uchun siz koordinata tizimini kiritishingiz, nuqta koordinatalarini va tekislikning tenglamasini topishingiz kerak, so'ngra nuqtadan tekislikka masofa uchun formulani qo'llashingiz kerak.
Misolni echishda berilgan nuqtadan tekislikka to'g'ri tekislikka masofani topish uchun tahlil qilingan usullarni qo'llashni ko'rib chiqing.
Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping:
Birinchidan, muammoni birinchi usul bilan hal qilaylik.
Muammo holatida bizga a shaklining to'g'ri chizig'ining umumiy tenglamasi berilgan:
Berilgan nuqta orqali to'g'ri chiziqqa perpendikulyar o'tadigan b to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini topamiz:
B chiziq a chiziqqa perpendikulyar bo'lganligi uchun, b chiziqning yo'nalish vektori berilgan chiziqning normal vektoridir:
ya'ni b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektori koordinatalariga ega. Endi b tekislikdagi b tekislikning kanonik tenglamasini yoza olamiz, chunki b tekislik o'tadigan M 1 nuqtaning koordinatalarini va b to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining koordinatalarini bilamiz:
Olingan b to'g'ri chiziqning kanonik tenglamasidan to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tamiz:
Endi a va b to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtasi koordinatalarini topamiz (uni H 1 bilan belgilang) a va b to'g'ri chiziqlarning umumiy tenglamalaridan tashkil topgan tenglamalar tizimini echib (agar kerak bo'lsa, maqolalarni echish tizimlariga murojaat qiling) chiziqli tenglamalar):
Shunday qilib, H 1 nuqtasi koordinatalarga ega.
M 1 nuqtadan kerakli masofani hisoblash uchun qoladi va nuqtalar orasidagi masofa sifatida:
Muammoni hal qilishning ikkinchi usuli.
Berilgan chiziqning normal tenglamasini olamiz. Buning uchun biz normallashtiruvchi omil qiymatini hisoblaymiz va to'g'ri chiziqning asl umumiy tenglamasining ikkala tomonini ko'paytiramiz:
(biz bu haqda to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasini normal shaklga qaytarish bobida gaplashdik).
Normallashtiruvchi omil
unda to'g'ri chiziqning normal tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
Endi biz to'g'ri chiziqning normal tenglamasining chap tomonidagi ifodani olamiz va uning qiymatini hisoblaymiz:
Berilgan nuqtadan to to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa:
teng ravishda mutlaq qiymat olingan qiymat, ya'ni besh ().
nuqtadan chiziqgacha masofa:
Shubhasiz, tekis chiziqning normal tenglamasidan foydalanishga asoslanib, tekislikdan nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topish usulining afzalligi hisoblash ishlarining nisbatan oz miqdoridir. O'z navbatida, nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani aniqlashning birinchi usuli intuitivdir va mustahkamlik va izchillik bilan ajralib turadi.
Oxy to'rtburchaklar koordinatalar tizimi tekislikda o'rnatiladi, nuqta va to'g'ri chiziq belgilanadi:
Berilgan nuqtadan berilgan tekis chiziqgacha bo'lgan masofani toping.
Birinchi yo'l.
Nishab bilan berilgan to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan shu to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasiga o'tishingiz mumkin va yuqoridagi misolda ko'rsatilganidek harakat qilishingiz mumkin.
Ammo siz boshqa yo'l bilan qilishingiz mumkin.
Biz bilamizki, perpendikulyar chiziqlar egri chizig'i 1 ga teng (maqolaga qarang: perpendikulyar chiziqlar, perpendikulyar chiziqlar). Demak, berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqning qiyaligi:
2 ga teng. Keyin berilgan chiziqqa perpendikulyar bo'lgan va nuqta orqali o'tadigan chiziqning tenglamasi quyidagi shaklga ega:
Endi H 1 nuqtaning koordinatalarini - chiziqlarning kesishish nuqtalarini topaylik:
Shunday qilib, kerakli nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa:
nuqtalar orasidagi masofaga teng va:
Ikkinchi yo'l.
Nishab bilan berilgan to'g'ri chiziqning berilgan tenglamasidan shu to'g'ri chiziqning normal tenglamasiga o'tamiz:
normallashtiruvchi omil:
demak, berilgan chiziqning normal tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
Endi biz nuqtadan chiziqgacha kerakli masofani hisoblaymiz:
Nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblang:
va to'g'ri chiziqqa:
Chiziqning normal tenglamasini olamiz:
Endi nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblaylik:
To'g'ri chiziqli tenglama uchun normallashtiruvchi omil:
bu chiziqning normal tenglamasi quyidagicha bo'ladi:
Endi biz nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashimiz mumkin:
tengdir.
Javob: va 5.
Xulosa qilib, biz tekislikning berilgan nuqtasidan Oks va Oy koordinatalari chizig'igacha bo'lgan masofani qanday topish mumkinligini alohida ko'rib chiqamiz.
Oxi to'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oy koordinatalari chizig'i x \u003d 0 chizig'ining to'liq bo'lmagan tenglamasi, Ox koordinatasi esa y \u003d 0 tenglama bilan berilgan. Bu tenglamalar normal tenglamalar Oy va Ox chiziqlari, shuning uchun bir nuqtadan bu chiziqlar orasidagi masofa quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi:
navbati bilan
5-rasm
Tekislikda Oxy to'rtburchaklar koordinatalar tizimi joriy qilingan. Nuqtadan koordinata chiziqlarigacha bo'lgan masofani toping.
Berilgan M 1 nuqtadan Ox koordinatasi chizig'igacha bo'lgan masofa (u y \u003d 0 tenglamasi bilan berilgan) M 1 nuqtasi ordinatasining moduliga teng, ya'ni.
Berilgan M 1 nuqtadan Oyning koordinatali chizig'igacha bo'lgan masofa (u x \u003d 0 tenglamaga to'g'ri keladi) M 1 nuqta abssissasining mutlaq qiymatiga teng:.
Javob: M 1 nuqtadan Ox chizig'igacha bo'lgan masofa 6 ga teng va berilgan nuqtadan Oyning koordinata chizig'igacha bo'lgan masofa tengdir.
To'rtburchaklar koordinatalar tizimi uch o'lchovli fazoda o'rnatilsin Oxyz, berilgan nuqta, to'g'ri a va nuqtadan masofani topish talab qilinadi VA to'g'ri a.
Fazoda bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani hisoblashning ikkita usulini ko'rsatamiz. Birinchi holda, nuqtadan masofani topish M 1 to'g'ri a nuqta masofasini topish uchun kamayadi M 1 nuqtaga H 1 qayerda H 1 - perpendikulyar asos bazadan tushdi M 1 to'g'ri chiziqda a... Ikkinchi holda, nuqtadan tekislikka masofa parallelogrammning balandligi sifatida topiladi.
Shunday qilib, boshlaylik.
Nuqtadan kosmosdagi chiziqgacha bo'lgan masofani topishning birinchi usuli.
Ta'rif bo'yicha nuqta masofasi M 1
to'g'ri a Perpendikulyar uzunlik M 1
H 1
, keyin nuqta koordinatalarini aniqlab H 1
, biz kerakli masofani nuqtalar orasidagi masofa sifatida hisoblashimiz mumkin 
va 
formulaga muvofiq.
Shunday qilib, muammo nuqtadan qurilgan perpendikulyar asosning koordinatalarini topishda kamayadi M 1 to'g'ri a... Bu etarlicha oson: nuqta H 1 To'g'ri chiziqning kesishish nuqtasidir a nuqta orqali o'tadigan tekislik bilan M 1 to'g'ri chiziqqa perpendikulyar a.
Shunday qilib, bir nuqtadan masofani aniqlash algoritmi 
to'g'ria
kosmosdabu .. mi:
Ikkinchi usul fazoda bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani topishga imkon beradi.
Muammo bayonida bizga to'g'ri chiziq berilgan a, keyin uning yo'nalishi vektorini aniqlay olamiz 
va ba'zi bir nuqtalarning koordinatalari M 3
to'g'ri chiziqda yotish a... Keyin nuqtalarning koordinatalari va 
biz vektorning koordinatalarini hisoblashimiz mumkin: (agar kerak bo'lsa, vektorning maqola koordinatalarini uning boshlanish va oxirgi nuqtalarining koordinatalari orqali ko'rib chiqing).
Vektorlarni chetga surib qo'ying 
va nuqtadan M 3
va ularning ustiga parallelogramma tuzing. Ushbu parallelogramda biz balandlikni chizamiz M 1
H 1
.
Shubhasiz balandlik M 1 H 1 qurilgan parallelogramm nuqtasi kerakli masofaga teng M 1 to'g'ri a... Biz uni topamiz.
Bir tomondan, parallelogramma maydoni (biz buni belgilaymiz) S) vektorlarning vektor mahsuloti nuqtai nazaridan topish mumkin 
va formula bo'yicha 
... Boshqa tomondan, parallelogramm maydoni uning balandligi bo'yicha yon tomonining uzunligiga teng, ya'ni 
qayerda 
- vektor uzunligi 
ko'rib chiqilayotgan parallelogramm tomonining uzunligiga teng. Shuning uchun, berilgan nuqtadan masofa M 1
berilgan to'g'ri chiziqqa a tenglikdan topish mumkin 
sifatida 
.
Shunday qilib, bir nuqtadan masofani topish 
to'g'ria
sizga kerak bo'lgan kosmosda
Fazoda berilgan nuqtadan berilgan tekis chiziqgacha masofani topish masalalarini hal qilish.
Bir misolning echimini ko'rib chiqamiz.
Misol.
Nuqtadan masofani toping 
to'g'ri 
.
Qaror.
Birinchi yo'l.
Nuqtadan o'tgan tekislikning tenglamasini yozaylik M 1 berilgan to'g'ri chiziqqa perpendikulyar:
Nuqtaning koordinatalarini toping H 1
- tekislik va berilgan to'g'ri chiziqning kesishish nuqtalari. Buning uchun biz o'tish jarayonini amalga oshiramiz kanonik tenglamalar kesishgan tekislikning tenglamasiga to'g'ri chiziq 
shundan so'ng biz chiziqli tenglamalar tizimini echamiz 
kramer usuli: 
Shunday qilib, .
Nuqtalar orasidagi masofa kabi bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha kerakli masofani hisoblash uchun qoladi 
va:.
Ikkinchi yo'l.
To'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridagi kasrlar mohiyatidagi raqamlar ushbu to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorining tegishli koordinatalarini anglatadi, ya'ni. 
- to'g'ri chiziqning yo'naltirilgan vektori 
... Uning uzunligini hisoblaylik: 
.
Shubhasiz, to'g'ri chiziq 
nuqta orqali o'tadi 
, keyin nuqtadan boshlanadigan vektor 
va nuqtada tugaydi 
u yerda 
... Vektorlarning vektor hosilasini toping 
va 
:
keyin ushbu o'zaro faoliyat mahsulotning uzunligi 
.
Endi bizda berilgan nuqtadan berilgan tekislikka masofani hisoblash uchun formuladan foydalanish uchun barcha ma'lumotlar mavjud: 
.
Javob:
Fazoda to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashishi
OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooShuning uchun biz birinchi qismga o'tamiz, umid qilamanki, maqolaning oxirida men quvnoq fikrlar doirasini saqlab qolaman.
Ikki to'g'ri chiziqning nisbiy holati
Tomoshabinlar xor bilan birga kuylashganda. Ikkita to'g'ri chiziq mumkin:
1) gugurt;
2) parallel bo'ling:;
3) yoki bir nuqtada kesishgan:.
Dummies uchun yordam : iltimos, chorrahaning matematik belgisini eslang, u juda keng tarqalgan bo'ladi. Notation to'g'ri chiziq bir nuqtada to'g'ri chiziq bilan kesishishini anglatadi.
Ikki to'g'ri chiziqning nisbiy holatini qanday aniqlash mumkin?
Birinchi vaziyatdan boshlaylik:
Ikkita to'g'ri chiziqlar, agar ularning tegishli koeffitsientlari mutanosib bo'lsa va faqat mos keladi, ya'ni shunday "lambda" borki, ular tengliklarga ega
To'g'ri chiziqlarni ko'rib chiqing va tegishli koeffitsientlardan uchta tenglama tuzing:. Bu har bir tenglamadan kelib chiqadi, shuning uchun bu chiziqlar mos keladi.
Darhaqiqat, agar tenglamaning barcha koeffitsientlari 
-1 ga ko'paytiring (o'zgartirish belgilari) va tenglamaning barcha koeffitsientlarini 2 ga kamaytiring, keyin siz tenglamani olasiz:.
Ikkinchi holat, chiziqlar parallel bo'lganda:
Ikkala to'g'ri chiziqlar parallel bo'ladi, agar o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar mutanosib bo'lsa: 
lekin.
Misol tariqasida ikkita qatorni ko'rib chiqing. O'zgaruvchilar uchun mos keladigan koeffitsientlarning mutanosibligini tekshiramiz: 
Biroq, bu aniq.
Uchinchi holat, chiziqlar kesishganda:
Ikkita to'g'ri chiziqlar kesishadi, agar o'zgaruvchilar uchun koeffitsientlar mutanosib bo'lmasa, ya'ni tengliklarni qondiradigan bunday lambda qiymati EMAS 
Shunday qilib, to'g'ri chiziqlar uchun biz tizimni tuzamiz: 
Birinchi tenglamadan va ikkinchi tenglamadan quyidagilar keladi: tizim mos kelmaydi (echimlar yo'q). Shunday qilib, o'zgaruvchilarning koeffitsientlari mutanosib emas.
Xulosa: chiziqlar kesishadi
Amaliy muammolarda siz ko'rib chiqilgan echim sxemasidan foydalanishingiz mumkin. Aytgancha, biz darsda ko'rib chiqqan vektorlarni bir-biriga yaqinligini tekshirish algoritmiga juda o'xshash Vektorlarning chiziqli (bo'lmagan) bog'liqligi tushunchasi. Vektorli asos... Ammo yanada madaniyatli qadoqlash mavjud:
1-misol
To'g'ri chiziqlarning nisbiy holatini bilib oling: 
Qaror to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini o'rganish asosida:
a) Tenglamalardan to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini topamiz: 
.
, shuning uchun vektorlar bir-biriga to'g'ri kelmaydi va chiziqlar kesishadi.
Qanday bo'lmasin, chorrahada ko'rsatgichlar bilan tosh qo'yaman:
Qolganlar tosh ustiga sakrab tushib, to'g'ri Kashchei tomon yurib, o'lmaslar \u003d)
b) to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping: 
Chiziqlar bir xil yo'nalishdagi vektorga ega, ya'ni ular parallel yoki bir-biriga mos keladi. Bu erda determinantni hisoblashning hojati yo'q.
Ma'lumki, noma'lumlar uchun koeffitsientlar mutanosibdir.
Tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olamiz: 
Shunday qilib,
c) to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarini toping: 
Ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaylik: 
shuning uchun yo'nalish vektorlari bir-biriga to'g'ri keladi. Chiziqlar parallel yoki mos keladi.
"Lambda" mutanosiblik koeffitsientini to'g'ridan-to'g'ri kollinear yo'nalish vektorlarining nisbati orqali ko'rish mumkin. Biroq, uni tenglamalarning koeffitsientlari orqali ham topish mumkin: 
.
Endi tenglik to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. Ikkala bepul shart ham nolga teng, shuning uchun:
Olingan qiymat ushbu tenglamani qondiradi (har qanday raqam odatda uni qondiradi).
Shunday qilib, chiziqlar bir-biriga mos keladi.
Javob bering:
Tez orada siz og'zaki ko'rib chiqilgan muammoni bir necha soniya ichida qanday hal qilishni bilib olasiz (yoki hatto bilib olgansiz). Shu munosabat bilan, men mustaqil echim uchun biron bir narsani taklif qilish uchun hech qanday sabab ko'rmayapman, geometrik poydevorga yana bir muhim g'ishtni qo'yish yaxshiroqdir:
Berilganga parallel ravishda to'g'ri chiziq qanday quriladi?
Ushbu oddiy vazifani bilmaslik uchun, Qaroqchi bulbuli qattiq jazolaydi.
2-misol
To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Nuqtadan o'tadigan parallel chiziqni tenglashtiring.
Qaror: Noma'lum to'g'ridan-to'g'ri xatni belgilaymiz. Vaziyat u haqida nima deydi? To'g'ri chiziq nuqta orqali o'tadi. Va agar to'g'ri chiziqlar parallel bo'lsa, demak, "tse" to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori "de" to'g'ri chiziqni qurish uchun ham mos keladi.
Yo'nalish vektorini tenglamadan chiqaramiz:
Javob bering:
Misol geometriyasi oddiy ko'rinadi: 
Tahliliy tekshirish quyidagi bosqichlardan iborat:
1) To'g'ri chiziqlar bir xil yo'nalishdagi vektorga ega ekanligini tekshiring (agar to'g'ri chiziq tenglamasi to'g'ri soddalashtirilmasa, vektorlar bir-biriga to'g'ri keladi).
2) Nuqtaning olingan tenglamaga mos kelishini tekshiring.
Ko'p hollarda tahliliy sharhni og'zaki bajarish oson. Ikkala tenglamani ko'rib chiqing va ko'pchiligingiz to'g'ri chiziqlarning parallelligini tezda chizmalarsiz aniqlaydilar.
Bugungi kunda o'z-o'zini hal qilish uchun misollar ijodiy bo'ladi. Chunki siz hali ham Baba Yaga bilan raqobatlashishingiz kerak va u, bilasizmi, har xil jumboqlarni yaxshi ko'radi.
3-misol
Agar nuqta orqali to'g'ri chiziqqa parallel bo'lsa, to'g'ri chiziq tenglamasini tuzing
Bu erda oqilona va juda oqilona echim yo'q. Qisqa usul - dars oxirida.
Biz parallel chiziqlar bilan biroz ishladik va keyinchalik ularga qaytamiz. To'g'ri chiziqlarni to'g'ri keltirish holati unchalik qiziq emas, shuning uchun sizga ma'lum bo'lgan muammoni ko'rib chiqing maktab o'quv dasturi:
Ikki chiziqning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin?
Agar to'g'ri bo'lsa 
bir nuqtada kesishadi, keyin uning koordinatalari echim bo'ladi chiziqli tenglamalar tizimlari 
Chiziqlarning kesishish nuqtasini qanday topish mumkin? Tizimni hal qiling.
Siz uchun juda ko'p ikki noma'lum ikkita chiziqli tenglama tizimining geometrik ma'nosi Ikki kesishgan (ko'pincha) tekislikda.
4-misol
Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping
Qaror: Yechishning ikki yo'li mavjud - grafik va analitik.
Grafik usul shunchaki ma'lumotlar chizig'ini chizish va to'g'ridan-to'g'ri chizmadan kesishish nuqtasini topishdir: 
Mana bizning fikrimiz:. Tekshirish uchun siz uning koordinatalarini to'g'ri chiziqning har bir tenglamasiga almashtirishingiz kerak, ular ikkalasiga ham, u erga ham to'g'ri kelishi kerak. Boshqacha qilib aytganda, nuqta koordinatalari tizimning echimi. Asosan, biz echishning grafik usulini ko'rib chiqdik chiziqli tenglamalar tizimlari ikkita tenglama, ikkita noma'lum.
Grafik usul, shubhasiz, yomon emas, ammo sezilarli kamchiliklar mavjud. Yo'q, gap shundaki, ettinchi sinf o'quvchilari shunday qarorga kelishgan emas, nuqta shundaki, to'g'ri va EXACT rasmini olish uchun vaqt kerak bo'ladi. Bundan tashqari, ba'zi bir to'g'ri chiziqlarni qurish juda oson emas va kesishish nuqtasi daftar varag'ining tashqarisidagi o'ttiz qirollikda joylashgan bo'lishi mumkin.
Shuning uchun analitik usuldan foydalanib, kesishish nuqtasini izlash maqsadga muvofiqdir. Tizimni hal qilaylik: 
Tizimni echish uchun davriy ravishda tenglamalarni qo'shish usuli ishlatilgan. Tegishli ko'nikmalarni shakllantirish uchun darsga tashrif buyuring. Tenglamalar tizimini qanday echish kerak?
Javob bering:
Tekshiruv arzimasdir - kesishish nuqtasining koordinatalari tizimdagi barcha tenglamalarni qondirishi kerak.
5-misol
Agar chiziqlar kesishsa, ularning kesishish nuqtasini toping.
Bu "do-it-o'zingiz" yechimi uchun namuna. Vazifani bir necha bosqichga bo'lish qulay. Vaziyat tahlili shuni talab qiladi:
1) To'g'ri chiziqning tenglamasini tuzing.
2) To'g'ri chiziqning tenglamasini tuzing.
3) To'g'ri chiziqlarning nisbiy holatini bilib oling.
4) Agar chiziqlar kesishsa, u holda kesishish nuqtasini toping.
Harakatlar algoritmini ishlab chiqish ko'plab geometrik muammolar uchun xosdir va men bir necha bor bunga to'xtalaman.
To'liq echim va darslikning oxiridagi javob:
Darsning ikkinchi bo'limiga kelganimiz sababli, bir juft poyabzal hali yirtilmagan.
Perpendikulyar tekis chiziqlar. Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa.
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak
Keling, odatiy va juda muhim vazifadan boshlaylik. Birinchi qismda biz unga parallel ravishda qanday qilib to'g'ri chiziq hosil qilishni bilib oldik va endi tovuq oyoqlarida kulba 90 darajaga aylanadi:
Berilganga perpendikulyar bo'lgan chiziqni qanday qurish kerak?
6-misol
To'g'ri chiziq tenglama bilan berilgan. Bir nuqta orqali perpendikulyar chiziqni tenglashtiring.
Qaror: Shart bilan, bu ma'lum. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topish yaxshi bo'lar edi. Chiziqlar perpendikulyar bo'lganligi sababli, hiyla oddiy:
Tenglamadan normal vektorni "olib tashlang": bu to'g'ri chiziqning yo'nalishi vektori bo'ladi.
Nuqtalar va yo'nalish vektorlari bo'yicha to'g'ri chiziq tenglamasini tuzamiz:
Javob bering: 
Keling, geometrik eskizni kengaytiramiz:
Hmmm ... to'q sariq osmon, to'q sariq dengiz, to'q sariq tuya.
Yechimni analitik tekshirish:
1) Yo'nalish vektorlarini tenglamalardan chiqarib oling 
va yordami bilan vektorlarning nuqta mahsuloti to'g'ri chiziqlar chindan ham perpendikulyar ekanligi to'g'risida xulosaga kelamiz:.
Aytgancha, siz oddiy vektorlardan foydalanishingiz mumkin, bundan ham osonroq.
2) Nuqtaning olingan tenglamaga mos kelishini tekshiring 
.
Tekshiruvni yana og'zaki bajarish oson.
7-misol
Agar tenglama ma'lum bo'lsa, perpendikulyar chiziqlarning kesishish nuqtasini toping 
va nuqta.
Bu "do-it-o'zingiz" yechimi uchun namuna. Vazifada bir nechta harakatlar mavjud, shuning uchun echim nuqtasini nuqta bo'yicha chizish qulay.
Bizning qiziqarli sayohatimiz davom etadi:
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa
Bizning oldimizda daryoning to'g'ri chizig'i bor va bizning vazifamiz unga eng qisqa yo'l bilan erishish. Hech qanday to'siq yo'q va eng maqbul yo'nalish perpendikulyar bo'ylab harakatlanish bo'ladi. Ya'ni, bir nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa - perpendikulyar chiziqning uzunligi.
Geometriyada masofa an'anaviy ravishda yunoncha "ro" harfi bilan belgilanadi, masalan: - "em" nuqtasidan "de" to'g'ri chizig'igacha bo'lgan masofa.
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofa 
formula bilan ifodalanadi
8-misol
Nuqtadan chiziqgacha bo'lgan masofani toping 
Qaror: sizga kerak bo'lgan narsa - raqamlarni ehtiyotkorlik bilan formulaga kiritish va hisoblarni bajarish.
Javob bering: 
Rasmni bajaramiz: 
Nuqtadan topilgan chiziqgacha bo'lgan masofa qizil chiziqning uzunligiga to'g'ri keladi. Agar siz 1 dona shkalada katakli qog'ozga rasm chizsangiz. \u003d 1 sm (2 katak), keyin masofani oddiy o'lchagich bilan o'lchash mumkin.
Xuddi shu reja uchun boshqa vazifani ko'rib chiqing:
Vazifa to'g'ri chiziqqa nisbatan nosimmetrik bo'lgan nuqtaning koordinatalarini topishdir 
... Men harakatlarni o'zingiz bajarishni taklif qilaman, ammo men oraliq natijalar bilan echim algoritmini bayon qilaman:
1) Chiziqqa perpendikulyar bo'lgan chiziqni toping.
2) Chiziqlarning kesishish nuqtasini toping: 
.
Ikkala harakat ham ushbu darsda batafsil yoritilgan.
3) nuqta - chiziq segmentining o'rta nuqtasi. Biz o'rtaning va uchining birining koordinatalarini bilamiz. Muallif: segmentning o'rta nuqtasi koordinatalari uchun formulalar topamiz.
Masofa ham 2,2 birlik ekanligini tekshirish ortiqcha bo'lmaydi.
Hisoblashda bu erda qiyinchiliklar paydo bo'lishi mumkin, ammo minorada oddiy kasrlarni sanashga imkon beradigan mikro kalkulyator yordam beradi. Takroran maslahat beraman, maslahat beraman va yana.
Ikki parallel chiziqlar orasidagi masofani qanday topish mumkin?
9-misol
Ikki parallel chiziqlar orasidagi masofani toping
Bu mustaqil echim uchun yana bir misol. Sizga ozgina maslahat beray: uni hal qilishning cheksiz ko'p usullari mavjud. Dars oxirida xafagarchilikni boshdan kechirish, lekin o'zingiz uchun taxmin qilishni sinab ko'rish yaxshiroq, menimcha, sizning zakovatingiz juda yaxshi tarqalib ketdi.
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchak
Har bir burchak - bu murabbo: 
Geometriyada ikkita to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak SMALLEST burchagi sifatida olinadi, undan avtomatik ravishda hech narsa bo'lolmaydi. Rasmda qizil yoy bilan ko'rsatilgan burchak kesishgan to'g'ri chiziqlar orasidagi burchak deb hisoblanmaydi. Va uning "yashil" qo'shnisi shunday deb hisoblanadi yoki aksincha yo'naltirilgan "Qizil" burchagi.
Agar to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'lsa, unda 4 burchakdan istalganini ular orasidagi burchak sifatida olish mumkin.
Burchaklar qanday farq qiladi? Yo'nalish. Birinchidan, burchakka "o'tish" yo'nalishi asosiy ahamiyatga ega. Ikkinchidan, salbiy yo'naltirilgan burchak minus belgisi bilan yoziladi, masalan, agar bo'lsa.
Buni nega aytdim? Ko'rinishidan, siz odatdagi burchak tushunchasiga murojaat qilishingiz mumkin. Haqiqat shundaki, biz burchaklarni topadigan formulalarda osongina salbiy natijaga erishishingiz mumkin va bu sizni ajablantirmasligi kerak. Minus belgisi bo'lgan burchak yomonroq emas va juda o'ziga xos geometrik ma'noga ega. Rasmda, salbiy burchak uchun, uning yo'nalishini strelka bilan ko'rsatganingizga ishonch hosil qiling (soat yo'nalishi bo'yicha).
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi burchakni qanday topish mumkin? Ikkita ishlaydigan formulalar mavjud:
10-misol
To'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni toping
Qaror va Birinchi usul
Umumiy holda tenglamalar bilan berilgan ikkita to'g'ri chiziqni ko'rib chiqing: 
Agar to'g'ri bo'lsa perpendikulyar emaskeyin yo'naltirilgan ularning orasidagi burchakni quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: 
Keling, denominatorga diqqat bilan qaraylik - bu aniq skalyar mahsulot to'g'ri chiziqlarning yo'naltirilgan vektorlari:
Agar bo'lsa, unda formulaning mohiyati yo'qoladi va vektorlar ortogonal bo'ladi va to'g'ri chiziqlar perpendikulyar bo'ladi. Shuning uchun formulada to'g'ri chiziqlarning perpendikulyar bo'lmaganligi haqida rezervatsiya qilingan.
Yuqorida aytilganlarga asoslanib, echimni ikki bosqichda tashkil etish qulay:
1) To'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining skalyar hosilasini hisoblang:
, shuning uchun to'g'ri chiziqlar perpendikulyar emas.
2) To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak quyidagi formula bilan topiladi:
Yordamida teskari funksiya burchakni o'zi topish oson. Bunday holda biz arktangentning g'alati xususiyatidan foydalanamiz (qarang). Elementar funktsiyalarning grafigi va xususiyatlari):
Javob bering: 
Javobda biz aniq qiymatni, shuningdek, kalkulyator yordamida hisoblangan taxminiy qiymatni (iloji boricha daraja va radian bilan) ko'rsatamiz.
Xo'sh, minus, shuning uchun minus, bu yaxshi. Mana geometrik rasm: 
Burchak salbiy yo'nalishga aylanganligi ajablanarli emas, chunki muammoning bayonida birinchi raqam to'g'ri chiziq bo'lib, burchakning "burish" u bilan boshlangan.
Agar chindan ham ijobiy burchakka ega bo'lishni istasangiz, to'g'ri chiziqlarni almashtirishingiz kerak, ya'ni ikkinchi tenglamadan koeffitsientlarni oling 
, va koeffitsientlar birinchi tenglamadan olinadi. Qisqasi, siz to'g'ri chiziq bilan boshlashingiz kerak 
.
Koordinatalar usuli (nuqta va tekislik orasidagi masofa, to'g'ri chiziqlar orasidagi masofa)
Nuqta va tekislik orasidagi masofa.
Nuqta va chiziq orasidagi masofa.
Ikki to'g'ri chiziq orasidagi masofa.
Bilish kerak bo'lgan birinchi narsa - nuqtadan samolyotgacha bo'lgan masofani qanday topish:
A, B, C, D qiymatlar - tekislik koeffitsientlari
x, y, z - nuqta koordinatalari
Vazifa. A \u003d (3; 7; −2) nuqta va 4x + 3y + 13z - 20 \u003d 0 nuqtalar orasidagi masofani toping.
Hammasi berilgan, siz darhol qiymatlarni tenglamaga almashtirishingiz mumkin:
Vazifa. K \u003d (1; −2; 7) nuqtadan V \u003d (8; 6; −13) va T \u003d (−1; −6; 7) nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofani toping.
- To'g'ri chiziqning vektorini toping.
- Vektorni kerakli nuqtadan va chiziqdagi istalgan nuqtadan o'tishni hisoblaymiz.
- Biz matritsani o'rnatamiz va 1 va 2-chi nuqtalarda olingan ikkita vektor bo'yicha aniqlovchi topamiz.
- Biz masofani qachon olamiz kvadrat ildiz Matritsaning koeffitsientlari kvadratlarining yig'indisidan to'g'ri chiziqni aniqlaydigan vektor uzunligiga bo'lamiz.(Menimcha, bu aniq emas, shuning uchun aniq bir misolga o'taylik).
1) TV \u003d (8 - (- 1); 6 - (- 6); -13-7) \u003d (9; 12; −20)
2) V vektor K va T nuqtalari orqali topiladi, garchi K va V yoki shu chiziqdagi boshqa har qanday nuqta orqali o'tish mumkin.
TK \u003d (1 - (- 1); −2 - (- 6); 7-7) \u003d (2; 4; 0)
3) D koeffitsientisiz m matritsani olamiz (bu erda bu echimga zarur emas):
4) tekislik A \u003d 80, B \u003d 40, C \u003d 12, koeffitsientlari bilan chiqdi.
x, y, z - to'g'ri chiziq vektorining koordinatalari, bu holda - vektorli televizor koordinatalariga ega (9; 12; −20)
Vazifa. E \u003d (1; 0; −2), G \u003d (2; 2; −1) va M \u003d (4; −1; 4), L \u003d () nuqtalardan o'tgan to'g'ri chiziq orasidagi masofani toping. −2; 3; 0).
- Ikkala chiziqning ham vektorlarini o'rnatdik.
- Har bir chiziqdan bitta nuqta olib, vektorni toping.
- Biz 3 vektorli matritsani yozamiz (1-chi satrdan ikkita chiziq, 2-chi satr) va uning sonini aniqlovchi topamiz.
- Biz birinchi ikkita vektorning matritsasini o'rnatdik (1-qadam). Birinchi qator x, y, z kabi belgilanadi.
- Olingan qiymatni 3 modul nuqtadan 4 nuqtaning kvadratlari yig'indisining kvadrat ildiziga bo'lganda masofani olamiz.
Keling, raqamlarga o'taylik.
