مشتق من وظيفة محددة ضمنيا.
مشتق من وظيفة محددة حدوديا

في هذه المقالة، سنلقي نظرة على مهمتين نموذجيتين أخريين غالبًا ما توجدان في اختبارات الرياضيات العليا. من أجل إتقان المادة بنجاح، يجب أن تكون قادرًا على العثور على المشتقات على الأقل في المستوى المتوسط. يمكنك تعلم كيفية العثور على المشتقات عمليا من الصفر في درسين أساسيين و مشتق من وظيفة معقدة. إذا كانت مهاراتك في التمايز على ما يرام، فلنذهب.

مشتق من وظيفة محددة ضمنيا

أو باختصار مشتقة دالة ضمنية. ما هي الوظيفة الضمنية؟ دعونا نتذكر أولاً تعريف دالة متغير واحد:

دالة متغيرة واحدةهي القاعدة التي بموجبها تتوافق كل قيمة من المتغير المستقل مع قيمة واحدة فقط من الدالة.

يسمى المتغير متغير مستقلأو دعوى.
يسمى المتغير المتغير التابعأو وظيفة .

لقد نظرنا حتى الآن في الوظائف المحددة في صريحةاستمارة. ماذا يعني ذلك؟ دعونا نجري استخلاص المعلومات باستخدام أمثلة محددة.

النظر في الوظيفة

نرى أنه على اليسار لدينا "لاعب" وحيد، وعلى اليمين - فقط "X". وهذا هو، الوظيفة صراحةويعبر عنها من خلال المتغير المستقل.

دعونا نلقي نظرة على وظيفة أخرى:

هذا هو المكان الذي تختلط فيه المتغيرات. علاوة على ذلك مستحيل بأي حال من الأحوالالتعبير عن "Y" فقط من خلال "X". ما هي هذه الأساليب؟ نقل الحدود من جزء إلى جزء مع تغيير الإشارة، وإخراجها من الأقواس، ورمي العوامل وفقا لقاعدة التناسب، وما إلى ذلك. أعد كتابة المساواة وحاول التعبير عن "y" صراحة: . يمكنك تحريف المعادلة وقلبها لساعات، لكنك لن تنجح.

اسمحوا لي أن أقدم لكم: – مثال وظيفة ضمنية.

في سياق التحليل الرياضي ثبت أن الوظيفة الضمنية موجود(ومع ذلك، ليس دائمًا)، فهي تحتوي على رسم بياني (تمامًا مثل الدالة "العادية"). الوظيفة الضمنية هي نفسها تمامًا موجودالمشتقة الأولى، المشتقة الثانية، الخ. وكما يقولون، يتم احترام جميع حقوق الأقليات الجنسية.

وفي هذا الدرس سوف نتعلم كيفية إيجاد مشتقة دالة محددة ضمنيًا. الأمر ليس بهذه الصعوبة! تظل جميع قواعد التمايز وجدول مشتقات الوظائف الأولية سارية. الفرق يكمن في لحظة واحدة فريدة سننظر إليها الآن.

نعم، وسأخبرك بالأخبار السارة - يتم تنفيذ المهام الموضحة أدناه وفقًا لخوارزمية صارمة وواضحة إلى حد ما دون حجر أمام ثلاثة مسارات.

مثال 1

1) في المرحلة الأولى، نعلق ضربات على كلا الجزأين:

2) نستخدم قواعد خطية المشتقة (أول قاعدتين من الدرس كيفية العثور على المشتق؟ أمثلة على الحلول):

3) التمايز المباشر.
كيفية التمييز واضحة تماما. ماذا تفعل حيث توجد "ألعاب" تحت السكتات الدماغية؟

- فقط إلى حد العار، مشتقة الدالة تساوي مشتقتها: .

كيفية التفريق
لدينا هنا وظيفة معقدة. لماذا؟ يبدو أنه يوجد تحت الجيب حرف واحد فقط "Y". ولكن الحقيقة هي أنه لا يوجد سوى حرف واحد "y" - هي في حد ذاتها وظيفة(انظر التعريف في بداية الدرس). وبالتالي فإن الجيب هو وظيفة خارجية وهي وظيفة داخلية. نستخدم القاعدة للتمييز بين دالة معقدة :

نحن نفرق المنتج وفقًا للقاعدة المعتادة :

يرجى ملاحظة أن – هي أيضًا وظيفة معقدة، أي "لعبة بالأجراس والصفارات" هي وظيفة معقدة:

يجب أن يبدو الحل نفسه كما يلي:


إذا كانت هناك أقواس، قم بتوسيعها:

4) على الجانب الأيسر نقوم بجمع المصطلحات التي تحتوي على حرف "Y" برقم أولي. انقل كل شيء آخر إلى الجانب الأيمن:

5) على الجانب الأيسر نخرج المشتقة من القوسين:

6) ووفقاً لقاعدة التناسب، نسقط هذه الأقواس في مقام الطرف الأيمن:

تم العثور على المشتق. مستعد.

ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه يمكن إعادة كتابة أي وظيفة ضمنيًا. على سبيل المثال، الدالة يمكن إعادة كتابتها مثل هذا: . وتمييزها باستخدام الخوارزمية التي تمت مناقشتها للتو. في الواقع، تختلف عبارتا "الوظيفة الضمنية" و"الوظيفة الضمنية" في فارق بسيط من حيث الدلالة. أما عبارة "وظيفة محددة ضمنيا" فهي أعم وأصح، - تم تحديد هذه الوظيفة ضمنيًا، لكن هنا يمكنك التعبير عن "اللعبة" وتقديم الوظيفة بشكل صريح. غالبًا ما تعني عبارة "وظيفة ضمنية" وظيفة ضمنية "كلاسيكية"، عندما لا يمكن التعبير عن "اللعبة".

تجدر الإشارة أيضًا إلى أن "المعادلة الضمنية" يمكن أن تحدد ضمنيًا دالتين أو أكثر في وقت واحد، على سبيل المثال، تحدد معادلة الدائرة ضمنيًا الوظائف التي تحدد نصف الدائرة، ولكن في إطار هذه المقالة، نحن لن يميز بشكل خاص بين المصطلحات والفروق الدقيقة، كانت مجرد معلومات للتطوير العام.

الحل الثاني

انتباه!لا يمكنك التعرف على الطريقة الثانية إلا إذا كنت تعرف كيفية العثور عليها بثقة المشتقات الجزئية. مبتدئين حساب التفاضل والتكامل والدمى، من فضلك لا تقرأ وتخطي هذه النقطةوإلا سيكون رأسك في حالة من الفوضى الكاملة.

لنجد مشتقة الدالة الضمنية باستخدام الطريقة الثانية.

ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

والنظر في وظيفة من متغيرين:

ومن ثم يمكن إيجاد المشتقة باستخدام الصيغة
لنجد المشتقات الجزئية:

هكذا:

الحل الثاني يسمح لك بإجراء فحص. لكن لا يُنصح بكتابة النسخة النهائية للمهمة، حيث يتم إتقان المشتقات الجزئية لاحقًا، ولا ينبغي للطالب الذي يدرس موضوع "مشتق دالة لمتغير واحد" أن يعرف المشتقات الجزئية بعد.

دعونا نلقي نظرة على بضعة أمثلة أخرى.

مثال 2

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

أضف حدودًا إلى كلا الجزأين:

نحن نستخدم القواعد الخطية:

إيجاد المشتقات:

فتح جميع الأقواس:

ننقل جميع المصطلحات إلى الجانب الأيسر، والباقي إلى الجانب الأيمن:

الجواب النهائي:

مثال 3

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

الحل الكامل وتصميم العينة في نهاية الدرس.

ليس من غير المألوف أن تنشأ الكسور بعد التمايز. في مثل هذه الحالات، تحتاج إلى التخلص من الكسور. دعونا نلقي نظرة على مثالين آخرين.

مثال 4

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

نحيط كلا الجزأين بالحدود ونستخدم قاعدة الخطية:

التفريق باستخدام قاعدة التفريق بين دالة معقدة وقاعدة التمايز بين الحاصلات :

توسيع الأقواس:

الآن نحن بحاجة للتخلص من الكسر. يمكن القيام بذلك لاحقًا، ولكن من الأكثر عقلانية القيام بذلك على الفور. مقام الكسر يحتوي على . تتضاعف على . وبالتفصيل سيكون بالشكل التالي:

في بعض الأحيان بعد التمايز تظهر 2-3 كسور. إذا كان لدينا كسر آخر، على سبيل المثال، فسيلزم تكرار العملية - الضرب كل مصطلح من كل جزءعلى

على الجانب الأيسر قمنا بإخراجها من الأقواس:

الجواب النهائي:

مثال 5

أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا

هذا مثال لك لحله بنفسك. الشيء الوحيد هو أنه قبل التخلص من الكسر، ستحتاج أولا إلى التخلص من هيكل الكسر نفسه المكون من ثلاثة طوابق. الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

مشتق من وظيفة محددة حدوديا

دعونا لا نؤكد أن كل شيء في هذه الفقرة بسيط جدًا أيضًا. يمكنك كتابة الصيغة العامة لوظيفة محددة حدوديا، ولكن لتوضيح الأمر، سأكتب على الفور مثالا محددا. في الصورة البارامترية، يتم إعطاء الدالة بواسطة معادلتين: . في كثير من الأحيان لا تتم كتابة المعادلات تحت أقواس متعرجة، ولكن بالتسلسل: ، .

يسمى المتغير معلمةويمكن أن تأخذ القيم من "ناقص اللانهاية" إلى "زائد اللانهاية". خذ على سبيل المثال القيمة واستبدلها في المعادلتين: . أو بالمصطلح البشري: "إذا كانت x تساوي أربعة، فإن y تساوي واحدًا". يمكنك وضع علامة على نقطة على المستوى الإحداثي، وهذه النقطة سوف تتوافق مع قيمة المعلمة. وبالمثل، يمكنك العثور على نقطة لأي قيمة للمعلمة "te". أما بالنسبة للدالة "العادية"، فبالنسبة للهنود الأمريكيين الذين لديهم وظيفة محددة حدوديًا، يتم احترام جميع الحقوق أيضًا: يمكنك إنشاء رسم بياني، والعثور على المشتقات، وما إلى ذلك. بالمناسبة، إذا كنت بحاجة إلى رسم رسم بياني لدالة محددة حدوديًا، فيمكنك استخدام برنامجي.

في أبسط الحالات، من الممكن تمثيل الدالة بشكل صريح. دعونا نعبر عن المعلمة من المعادلة الأولى: – ونعوض بها في المعادلة الثانية : . والنتيجة هي دالة مكعبة عادية.

في الحالات الأكثر "شدة"، لا تعمل هذه الخدعة. لكن هذا لا يهم، لأن هناك صيغة لإيجاد مشتقة دالة بارامترية:

نجد مشتقة "اللعبة بالنسبة للمتغير te":

جميع قواعد التفاضل وجدول المشتقات صالحة بطبيعة الحال للحرف، وبالتالي، لا يوجد حداثة في عملية إيجاد المشتقات. ما عليك سوى استبدال جميع علامات "X" الموجودة في الجدول عقليًا بالحرف "Te".

نجد مشتقة "x بالنسبة للمتغير te":

الآن كل ما تبقى هو استبدال المشتقات الموجودة في صيغتنا:

مستعد. المشتق، مثل الدالة نفسها، يعتمد أيضًا على المعلمة.

أما بالنسبة للتدوين، فبدلاً من كتابته في الصيغة، يمكن للمرء ببساطة كتابته بدون حرف منخفض، لأن هذا مشتق "منتظم" "فيما يتعلق بـ X". ولكن في الأدب هناك دائما خيار، لذلك لن أخرج عن المعيار.

مثال 6

نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

هكذا:

السمة الخاصة لإيجاد مشتق الدالة البارامترية هي حقيقة ذلك ومن المفيد في كل خطوة تبسيط النتيجة قدر الإمكان. لذلك، في المثال قيد النظر، عندما وجدته، قمت بفتح الأقواس تحت الجذر (على الرغم من أنني ربما لم أفعل ذلك). هناك فرصة جيدة أنه عند الاستبدال في الصيغة، سيتم تقليل العديد من الأشياء بشكل جيد. على الرغم من وجود أمثلة بإجابات خرقاء بالطبع.

مثال 7

أوجد مشتقة دالة محددة بارامتريًا

هذا مثال لك لحله بنفسك.

في المقالة أبسط المشاكل النموذجية مع المشتقاتلقد نظرنا إلى الأمثلة التي أردنا فيها إيجاد المشتقة الثانية للدالة. بالنسبة لدالة محددة حدوديًا، يمكنك أيضًا العثور على المشتق الثاني، ويتم العثور عليه باستخدام الصيغة التالية: . من الواضح تمامًا أنه لكي تتمكن من العثور على المشتقة الثانية، عليك أولًا العثور على المشتقة الأولى.

مثال 8

أوجد المشتقتين الأولى والثانية لدالة معطاة بارامتريًا

أولًا، دعونا نوجد المشتقة الأولى.
نحن نستخدم الصيغة

في هذه الحالة:

في كثير من الأحيان، عند حل المشكلات العملية (على سبيل المثال، في الجيوديسيا العليا أو المسح التصويري التحليلي)، تظهر وظائف معقدة للعديد من المتغيرات، أي الحجج س، ص، ض وظيفة واحدة و (س، ص، ض) ) هي في حد ذاتها وظائف للمتغيرات الجديدة يو، في، دبليو ).

يحدث هذا، على سبيل المثال، عند الانتقال من نظام إحداثيات ثابت أوكيز في نظام الهاتف المحمول يا 0 UVW والعودة. في الوقت نفسه، من المهم معرفة جميع المشتقات الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات "الثابتة" - "القديمة" و"المتحركة" - "الجديدة"، نظرًا لأن هذه المشتقات الجزئية تميز عادةً موضع الكائن في أنظمة الإحداثيات هذه ، وعلى وجه الخصوص، التأثير على تطابق الصور الجوية مع جسم حقيقي. في مثل هذه الحالات، تنطبق الصيغ التالية:

وهذا هو، يتم إعطاء وظيفة معقدة ت ثلاثة متغيرات "جديدة". يو، في، دبليو من خلال ثلاثة متغيرات "قديمة". س، ذ، ض، ثم:

تعليق. قد تكون هناك اختلافات في عدد المتغيرات. على سبيل المثال: إذا

على وجه الخصوص، إذا ض = و(س ص)، ص = ص (س) ، ثم نحصل على ما يسمى بصيغة "المشتق الإجمالي":

نفس الصيغة لـ "المشتق الإجمالي" في حالة:

سوف تأخذ النموذج:

من الممكن أيضًا استخدام أشكال أخرى من الصيغ (1.27) - (1.32).

ملاحظة: يتم استخدام صيغة "المشتقة الكلية" في مقرر الفيزياء قسم "الهيدروديناميكية" عند استخلاص النظام الأساسي لمعادلات حركة الموائع.

مثال 1.10. منح:

وفقا ل(1.31):

§7 المشتقات الجزئية لدالة معطاة ضمنيا لعدة متغيرات

وكما هو معروف، يتم تعريف دالة محددة ضمنياً لمتغير واحد على النحو التالي: دالة المتغير المستقل س يسمى ضمنيًا إذا تم إعطاؤه بواسطة معادلة لم يتم حلها فيما يتعلق بـ ذ :

مثال 1.11.

المعادلة

يحدد ضمنيًا وظيفتين:

والمعادلة

لا يحدد أي وظيفة.

النظرية 1.2 (وجود دالة ضمنية).

دع الوظيفة ض = و (س، ص) ومشتقاته الجزئية F" س و F" ذ محددة ومستمرة في بعض الأحياء ش م0 نقاط م 0 (x 0 ذ 0 ) . بجانب، و(س 0 ، ذ 0 )=0 و و"(x 0 ، ذ 0 )≠0 فتحدد المعادلة (1.33) في الجوار ش م0 وظيفة ضمنية ص = ص (س) ومستمرة وقابلة للتفاضل في فترة معينة د تتمركز في نقطة ما س 0 ، و ذ(x 0 )=y 0 .

لا إثبات.

من النظرية 1.2 يتبع ذلك في هذه الفترة د :

أي أن هناك هوية في

حيث يوجد المشتقة "الإجمالية" حسب (1.31)

أي أن (1.35) يعطي صيغة لإيجاد مشتق دالة معينة ضمنيًا لمتغير واحد س .

يتم تعريف الوظيفة الضمنية لمتغيرين أو أكثر بالمثل.

على سبيل المثال، إذا كان في بعض المناطق الخامس فضاء أوكيز المعادلة التالية تحمل:

ثم في ظل بعض الظروف على الوظيفة F فهو يحدد ضمنا وظيفة

علاوة على ذلك وبالقياس على (1.35) نجد مشتقاته الجزئية كما يلي:

مثال 1.12. على افتراض أن المعادلة

يحدد ضمنا وظيفة

يجد ض" س ، ض" ذ .

ولذلك وبحسب (1.37) نحصل على الجواب.

§8 المشتقات الجزئية من الرتب الثانية والعليا

التعريف 1.9 المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية للدالة ض = ض (س، ص) يتم تعريفها على النحو التالي:

كانت هناك أربعة منهم. وعلاوة على ذلك، في ظل ظروف معينة على الوظائف ض (س، ص) المساواة تحمل:

تعليق. يمكن أيضًا الإشارة إلى المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية على النحو التالي:

التعريف 1.10 المشتقات الجزئية من الدرجة الثالثة هي ثمانية (2 3).

سوف نتعلم كيفية العثور على مشتقات الدوال المحددة ضمنيًا، أي المحددة بواسطة معادلات معينة تربط المتغيرات سو ذ. أمثلة على الوظائف المحددة ضمنيًا:

,

,

يتم العثور على مشتقات الوظائف المحددة ضمنيًا، أو مشتقات الوظائف الضمنية، بكل بساطة. الآن دعونا نلقي نظرة على القاعدة والمثال المقابلين، ثم نكتشف سبب الحاجة إلى ذلك بشكل عام.

من أجل العثور على مشتق دالة محددة ضمنيًا، عليك التفريق بين طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x. تلك المصطلحات التي يوجد فيها X فقط سوف تتحول إلى المشتق المعتاد للدالة من X. ويجب التمييز بين مصطلحات اللعبة باستخدام قاعدة التمييز بين دالة معقدة، نظرًا لأن اللعبة عبارة عن دالة لـ X. بكل بساطة، فإن المشتق الناتج للمصطلح مع x يجب أن يؤدي إلى: مشتق الدالة من y مضروبًا في المشتق من y. على سبيل المثال، سيتم كتابة مشتق المصطلح كـ، سيتم كتابة مشتق المصطلح كـ . بعد ذلك، من كل هذا تحتاج إلى التعبير عن "ضربة اللعبة" هذه وسيتم الحصول على المشتق المطلوب للوظيفة المحددة ضمنيًا. دعونا ننظر إلى هذا مع مثال.

مثال 1.

حل. نحن نفرق طرفي المعادلة فيما يتعلق بـ x، بافتراض أن i دالة لـ x:

من هنا نحصل على المشتقة المطلوبة في المهمة:

الآن شيئًا عن الخاصية الغامضة للوظائف المحددة ضمنيًا، ولماذا هناك حاجة إلى قواعد خاصة لتمييزها. في بعض الحالات، يمكنك التأكد من أن استبدال التعبير بدلالة x في معادلة معينة (انظر الأمثلة أعلاه) بدلا من اللعبة، يؤدي إلى حقيقة أن هذه المعادلة تتحول إلى هوية. لذا. تحدد المعادلة أعلاه ضمنيًا الوظائف التالية:

بعد استبدال تعبير اللعبة التربيعية من خلال x في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية:

.

تم الحصول على التعبيرات التي قمنا باستبدالها عن طريق حل معادلة اللعبة.

إذا أردنا التمييز بين الوظيفة الصريحة المقابلة

عندها سنحصل على الإجابة كما في المثال 1 - من دالة محددة ضمنيًا:

ولكن لا يمكن تمثيل كل دالة محددة ضمنيًا في النموذج ذ = F(س) . لذلك، على سبيل المثال، الوظائف المحددة ضمنيا

لا يتم التعبير عنها من خلال وظائف أولية، أي أنه لا يمكن حل هذه المعادلات فيما يتعلق باللعبة. لذلك، هناك قاعدة للتمييز بين دالة محددة ضمنيًا، والتي درسناها بالفعل وسنطبقها باستمرار في أمثلة أخرى.

مثال 2.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:

.

نعبر عن العدد الأولي و- عند الإخراج- مشتق الدالة المحددة ضمنيًا:

مثال 3.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:

.

حل. نفرق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x:

.

مثال 4.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:

.

حل. نفرق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x:

.

نعبر ونحصل على المشتق:

.

مثال 5.أوجد مشتقة دالة معطاة ضمنيًا:

حل. ننقل الحدود الموجودة على الجانب الأيمن من المعادلة إلى الجانب الأيسر ونترك صفرًا على اليمين. نحن نفرق طرفي المعادلة بالنسبة لـ x.

كما هو معروف، يتم تعريف الدالة المعطاة ضمنيًا لمتغير واحد على النحو التالي: تسمى الدالة y للمتغير المستقل x ضمنيًا إذا كانت معطاة بمعادلة لم يتم حلها بالنسبة إلى y:

مثال 1.11.

المعادلة

يحدد ضمنيًا وظيفتين:

والمعادلة

لا يحدد أي وظيفة.

النظرية 1.2 (وجود دالة ضمنية).

دع الدالة z =f(x,y) ومشتقاتها الجزئية f"x وf"y محددة ومستمرة في بعض الأحياء UM0 للنقطة M0(x0y0). بالإضافة إلى ذلك، f(x0,y0)=0 و f"(x0,y0)≠0، ثم تحدد المعادلة (1.33) في جوار UM0 دالة ضمنية y= y(x)، مستمرة وقابلة للتفاضل في بعض الفترات D مع المركز عند النقطة x0، و y(x0)=y0.

لا إثبات.

من النظرية 1.2 يتبع ذلك في هذه الفترة D:

أي أن هناك هوية في

حيث يوجد المشتقة "الإجمالية" حسب (1.31)

أي أن (1.35) يعطي صيغة لإيجاد مشتق دالة معينة ضمنيًا لمتغير واحد x.

يتم تعريف الوظيفة الضمنية لمتغيرين أو أكثر بالمثل.

على سبيل المثال، إذا كانت المعادلة في بعض المناطق V من مساحة Oxyz تحمل:

ثم في ظل ظروف معينة على الدالة F فإنه يحدد الدالة ضمنيًا

علاوة على ذلك وبالقياس على (1.35) نجد مشتقاته الجزئية كما يلي:

مثال 1.12. على افتراض أن المعادلة

يحدد ضمنا وظيفة

ابحث عن z"x، z"y.

ولذلك وبحسب (1.37) نحصل على الجواب.

11. استخدام المشتقات الجزئية في الهندسة.

12.النهاية القصوى لدالة ذات متغيرين.

تتشابه مفاهيم الحد الأقصى والحد الأدنى والحد الأقصى لدالة متغيرين مع المفاهيم المقابلة لدالة متغير مستقل واحد (انظر القسم 25.4).

دع الدالة z = ƒ(x;y) محددة في بعض المجالات D، النقطة N(x0;y0) О D.

تسمى النقطة (x0;y0) بالنقطة القصوى للدالة z=ƒ(x;y) إذا كان هناك جوار d للنقطة (x0;y0) بحيث يختلف كل نقطة (x;y) عن (xo;yo)، من هذا الحي يوجد عدم المساواة ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

أ يتم تحديد النقطة الدنيا للدالة بطريقة مماثلة: بالنسبة لجميع النقاط (x; y) بخلاف (x0; y0)، من جوار النقطة (xo; yo) فإن عدم المساواة التالية يحمل: ƒ(x) ; ذ)>ƒ(x0; y0).

في الشكل 210: N1 هي النقطة القصوى، وN2 هي النقطة الدنيا للدالة z=ƒ(x;y).

تسمى قيمة الدالة عند نقطة الحد الأقصى (الحد الأدنى) الحد الأقصى (الحد الأدنى) للوظيفة. يُطلق على الحد الأقصى والأدنى للدالة اسم الحدود القصوى.

لاحظ أن النقطة القصوى للدالة، بحكم التعريف، تقع داخل مجال تعريف الدالة؛ الحد الأقصى والحد الأدنى لهما طابع محلي (محلي): تتم مقارنة قيمة الدالة عند النقطة (x0; y0) بقيمها عند نقاط قريبة بدرجة كافية من (x0; y0). في المنطقة D، قد تحتوي الدالة على عدة نقاط قصوى أو لا شيء.

46.2. الشروط الضرورية والكافية لحدوث التطرف

دعونا نفكر في شروط وجود الحد الأقصى للدالة.

النظرية 46.1 (الشروط اللازمة لحد أقصى). إذا كانت الدالة القابلة للتفاضل z=ƒ(x;y) عند النقطة N(x0;y0) لها حد أقصى، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" ص(x0;y0 )=0.

دعونا نصلح أحد المتغيرات. لنضع، على سبيل المثال، y=y0. ثم نحصل على دالة ƒ(x;y0)=φ(x) لمتغير واحد، له حد أقصى عند x = x0. لذلك، وفقًا للشرط الضروري للحد الأقصى لدالة لمتغير واحد (انظر القسم 25.4)، φ"(x0) = 0، أي ƒ"x(x0;y0)=0.

وبالمثل، يمكن إثبات أن ƒ"y(x0;y0) = 0.

هندسيًا، تعني المساواة ƒ"x(x0;y0)=0 و ƒ"y(x0;y0)=0 أنه عند النقطة القصوى للدالة z=ƒ(x;y) المستوى المماس للسطح الذي يمثل الدالة ƒ(x;y) )، موازية لمستوى أوكسي، لأن معادلة مستوى الظل هي z=z0 (انظر الصيغة (45.2)).

ز ملحوظة. يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها واحدة على الأقل من المشتقات الجزئية. على سبيل المثال، الدالة له حد أقصى عند النقطة O(0;0) (انظر الشكل 211)، لكن ليس لديه مشتقات جزئية عند هذه النقطة.

النقطة التي تكون فيها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة z ≈ ƒ(x; y) تساوي الصفر، أي f"x=0، f"y=0، تسمى نقطة ثابتة للدالة z.

تسمى النقاط الثابتة والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق جزئي واحد على الأقل بالنقاط الحرجة.

في النقاط الحرجة، قد تكون الوظيفة أو لا يكون لها حد متطرف. إن مساواة المشتقات الجزئية بالصفر شرط ضروري ولكنه غير كاف لوجود الحد الأقصى. لنأخذ على سبيل المثال الدالة z = xy. بالنسبة لها، النقطة O(0; 0) مهمة (عندها تختفي z"x=y وz"y - x). ومع ذلك، فإن الدالة z=xy لا تحتوي على حد أقصى، لأنه في حي صغير بدرجة كافية من النقطة O(0; 0) توجد نقاط حيث z>0 (نقاط الربعين الأول والثالث) وz< 0 (точки II и IV четвертей).

وبالتالي، للعثور على الحدود القصوى للدالة في منطقة معينة، فمن الضروري إخضاع كل نقطة حرجة للدالة إلى بحث إضافي.

النظرية 46.2 (شرط كافي لحد أقصى). دع الدالة ƒ(x;y) عند نقطة ثابتة (xo; y) وبعض المناطق المجاورة لها لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثانية شاملة. دعونا نحسب عند النقطة (x0;y0) القيم A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . دعونا نشير

1. إذا كانت Δ > 0، فإن الدالة ƒ(x;y) عند النقطة (x0;y0) لها حد أقصى: الحد الأقصى إذا كان A< 0; минимум, если А > 0;

2. إذا Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

في حالة Δ = 0، قد يكون هناك أو لا يوجد حد أقصى عند النقطة (x0;y0). هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

مهام

1.

مثال.العثور على فترات زيادة وتناقص الدالة. حل.الخطوة الأولى هي إيجاد مجال تعريف الدالة. في مثالنا، يجب ألا يصل التعبير الموجود في المقام إلى الصفر، وبالتالي . دعنا ننتقل إلى الدالة المشتقة: لتحديد فترات الزيادة والنقصان في دالة بناءً على معيار كافٍ، نحل المتباينات في مجال التعريف. دعونا نستخدم تعميم طريقة الفاصل الزمني. الجذر الحقيقي الوحيد للبسط هو س = 2، والمقام يذهب إلى الصفر عند س = 0. تقسم هذه النقاط مجال التعريف إلى فترات يحتفظ فيها مشتق الدالة بعلامته. دعونا نحدد هذه النقاط على خط الأعداد. نحن نشير تقليديًا بالإيجابيات والناقصات إلى الفترات التي يكون فيها المشتق موجبًا أو سالبًا. تُظهر الأسهم أدناه بشكل تخطيطي زيادة أو نقصان الوظيفة في الفاصل الزمني المقابل. هكذا، و . عند هذه النقطة س = 2الدالة محددة ومستمرة، لذا يجب إضافتها إلى كل من الفترات المتزايدة والتناقصية. عند هذه النقطة س = 0لم يتم تعريف الدالة، لذلك لا ندرج هذه النقطة في الفترات المطلوبة. نقدم رسمًا بيانيًا للدالة لمقارنة النتائج التي تم الحصول عليها معها. إجابة:الدالة تزداد مع ، يتناقص على الفاصل الزمني (0; 2] .

2.

أمثلة.

ضبط فترات التحدب وتقعر المنحنى ذ = 2 – س 2 .

سوف نجد ذ"" وتحديد أين يكون المشتق الثاني موجبًا وأين يكون سالبًا. ذ" = –2س, ذ"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

ذ = ه س. لأن ذ"" = هس> 0 لأي س، فإن المنحنى مقعر في كل مكان.

ذ = س 3 . لأن ذ"" = 6س، الذي - التي ذ"" < 0 при س < 0 и ذ""> 0 في س> 0. لذلك، متى س < 0 кривая выпукла, а при س> 0 مقعر.

3.

4. بالنظر إلى الدالة z=x^2-y^2+5x+4y، المتجه l=3i-4j والنقطة A(3,2). ابحث عن dz/dl (كما أفهمها، مشتق الدالة في اتجاه المتجه)، gradz(A)، |gradz(A)|. لنجد المشتقات الجزئية: z(بالنسبة إلى x)=2x+5 z(بالنسبة إلى y)=-2y+4 لنجد قيم المشتقات عند النقطة A(3,2): z(with فيما يتعلق بـ x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(بواسطة y)(3,2)=-2*2+4=0 من حيث، gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 مشتق الدالة z في اتجاه المتجه l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) *cosb, a, b-زوايا المتجه l مع محاور الإحداثيات. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

تسمى الدالة Z= f(x; y) ضمنية إذا كانت معطاة بالمعادلة F(x,y,z)=0 بدون حل بالنسبة إلى Z. دعونا نجد المشتقات الجزئية للدالة Z المعطاة ضمنيًا. للقيام بذلك، باستبدال الدالة f(x;y) في المعادلة بدلاً من Z، نحصل على الهوية F(x,y, f(x,y))=0. المشتقات الجزئية للدالة التي تساوي الصفر بالنسبة إلى x وy تساوي أيضًا الصفر.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (يعتبر ثابتًا)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (ثابت x يعتبر)

أين
و

مثال: أوجد المشتقات الجزئية للدالة Z المعطاة في المعادلة
.

هنا F(x,y,z)=
;
;
;
. وفقا للصيغ المذكورة أعلاه لدينا:

و

1. مشتق اتجاهي

دع دالة من متغيرين Z= f(x; y) تعطى في حي معين من النقطة M (x,y). النظر في بعض الاتجاه المحدد بواسطة ناقل الوحدة
، أين
(انظر الصورة).

على خط مستقيم يمر في هذا الاتجاه بالنقطة M نأخذ النقطة M 1 (
) بحيث يكون الطول
الجزءMM 1 يساوي
. يتم تحديد زيادة الدالة f(M) بالعلاقة حيث
مرتبطة بالعلاقات. حد النسبة في
سيتم استدعاؤه مشتق الوظيفة
عند هذه النقطة
تجاه ويتم تعيينه .

=

إذا كانت الدالة Z قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة
، ثم زيادتها عند هذه النقطة مع مراعاة العلاقات ل
يمكن كتابتها في النموذج التالي.

تقسيم كلا الجزأين

ويمر إلى الحد في
نحصل على صيغة مشتق الدالة Z= f(x; y) في الاتجاه:

1. الانحدار

النظر في وظيفة من ثلاثة متغيرات
قابلة للتمييز في مرحلة ما
.

التدرج لهذه الوظيفة
عند النقطة M يوجد متجه إحداثياته ​​تساوي على التوالي المشتقات الجزئية
عند هذه النقطة. للإشارة إلى التدرج، استخدم الرمز
.
=
.

يشير التدرج إلى اتجاه أسرع نمو للدالة عند نقطة معينة.

منذ متجه الوحدة له إحداثيات (
)، ثم يتم كتابة المشتق الاتجاهي لحالة دالة ذات ثلاثة متغيرات بالصيغة، أي. لديه صيغة المنتج العددي للمتجهات و
. دعنا نعيد كتابة الصيغة الأخيرة على النحو التالي:

، أين - الزاوية بين المتجه و
. بسبب ال
، ويترتب على ذلك أن مشتق الدالة في الاتجاه يأخذ القيمة القصوى عند =0، أي عندما يكون اتجاه المتجهات و
تطابق. حيث
وهذا يعني في الواقع أن تدرج الدالة يحدد اتجاه وحجم الحد الأقصى لمعدل زيادة هذه الدالة عند نقطة ما.

1. الحد الأقصى لدالة ذات متغيرين

تتشابه مفاهيم الحد الأقصى والحد الأدنى والأقصى لدالة ذات متغيرين مع المفاهيم المقابلة لدالة متغير واحد. دع الدالة Z= f(x; y) يتم تعريفها في بعض المجالات D، إلخ. M
ينتمي إلى هذه المنطقة. نقطة م
تسمى النقطة القصوى للدالة Z= f(x; y) إذا كان هناك حي δ للنقطة
، أن لكل نقطة من هذا الحي عدم المساواة
. يتم تحديد النقطة min بطريقة مماثلة، ولن تتغير سوى علامة المتباينة
. تسمى قيمة الدالة عند النقطة max(min) الحد الأقصى (الحد الأدنى). يسمى الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة بالنقاط القصوى.

1. الشروط الضرورية والكافية لحدوث التطرف

نظرية:(الشروط اللازمة للأقصى). إذا كان عند النقطة M
الدالة القابلة للتفاضل Z= f(x; y) لها حد أقصى، فإن مشتقاتها الجزئية عند هذه النقطة تساوي الصفر:
,
.

دليل:بعد تثبيت أحد المتغيرات x أو y، نقوم بتحويل Z = f(x; y) إلى دالة ذات متغير واحد، حيث يجب استيفاء الحد الأقصى للشروط المذكورة أعلاه. المساواة هندسيا
و
يعني أنه عند النقطة القصوى للدالة Z= f(x; y)، يكون مستوى المماس للسطح الذي يمثل الوظيفة f(x,y)=Z موازيًا لمستوى OXY، لأن معادلة مستوى الظل هي Z = Z 0. النقطة التي تكون عندها المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى للدالة Z = f (x; y) تساوي الصفر، أي.
,
، تسمى النقطة الثابتة للوظيفة. يمكن أن يكون للدالة حد أقصى عند النقاط التي لا توجد فيها واحدة على الأقل من المشتقات الجزئية. على سبيل المثالZ=|-
| له الحد الأقصى عند النقطة O(0,0)، لكن ليس له مشتقات عند هذه النقطة.

تسمى النقاط الثابتة والنقاط التي لا يوجد عندها مشتق جزئي واحد على الأقل نقاط حرجة.في النقاط الحرجة، قد تكون الوظيفة أو لا يكون لها حد متطرف. إن مساواة المشتقات الجزئية بالصفر شرط ضروري ولكنه غير كاف لوجود الحد الأقصى. على سبيل المثال، عندما تكون Z=xy، تكون النقطة O(0,0) حرجة. ومع ذلك، فإن الدالة Z=xy لا تحتوي على حد أقصى. (لأنه في الربعين الأول والثالث Z> 0، وفي الربعين الثاني والرابع - Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

نظرية: (الشرط الكافي للأقصى). دعونا في نقطة ثابتة
وفي حي معين، تحتوي الدالة f(x; y) على مشتقات جزئية مستمرة تصل إلى الدرجة الثانية ضمنًا. دعونا نحسب عند هذه النقطة
قيم
,
و
. دعونا نشير

لو
، أقصى عند النقطة
قد يكون أو لا يكون. هناك حاجة إلى مزيد من البحث.