تحتوي علاقة التكافؤ المحددة على الخصائص التالية. علاقة التكافؤ. علاقات التكافؤ والنظام

يقولون أن المجموعة لديها أمر صارم. في المفاهيم< , >لديهم معنى أوسع: الأسوأ هو الأفضل، والأقدم هو الأحدث، وما إلى ذلك. في نظرية المجموعات، مثال على النظام الصارم هو التضمين الصارم (كونه مجموعة فرعية من مجموعة أخرى دون أن تكون مساوية لها).

مجموعات مرتبة

المجموعة تسمى أمر خطيا، إذا كان من الممكن مقارنة أي عنصر (أي: أكبر من أو أقل من أو يساوي).

مجموعة الأعداد الحقيقية أو الصحيحة: أمثلة كلاسيكية لمجموعة مرتبة.

إذا كان من الممكن إنشاء علاقة ترتيبية على مجموعة، ولكن ليس لجميع أزواج العناصر، فإن هذه المجموعة تسمى أمرت جزئيا.

هذه مجموعة من المتجهات، مجموعة من الأعداد المركبة، مجموعات في نظرية المجموعات. في بعض الحالات قد نقول "الأكثر هو الأقل" أو "أن تكون مجموعة شاملة ومجموعة فرعية"، ولكن ليس في جميع الحالات.

التعريفات ذات الصلة

يتم الإشارة إلى مجموعة جميع فئات التكافؤ بواسطة .

أمثلة على علاقات التكافؤ

مثال أكثر تعقيدًا، ولكنه حيوي للغاية:

عندما يصف لك الطبيب دواءً ما، فهو في الواقع يشير في الوصفة إلى فئة الأدوية المكافئة، ولا يمكنه الإشارة إلى نسخة محددة تمامًا من عبوة الأقراص أو الأمبولات. أولئك. يتم تقسيم جميع أنواع الأدوية إلى فئات حسب علاقات التكافؤ. لولا هذه الحقيقة، لما كان الطب الحديث ممكنًا.

وبالتالي، فإن جميع أنواع وصفات السلطة والكوكتيلات وGOSTs والمصنفات تحدد أيضًا علاقات التكافؤ الحيوية. علاقات التكافؤ تملأ حياتنا كلها وليست هواية مجردة لعلماء الرياضيات.

تحليل التعيينات

يُشار إلى مجموعة فئات التكافؤ المقابلة لعلاقة التكافؤ بالرمز وتسمى مجموعة العواملنسبياً . وعلاوة على ذلك، رسم الخرائط الشاملة

مُسَمًّى عرض طبيعي(أو الإسقاط الكنسي) إلى مجموعة العوامل .

دع ، تكون مجموعات، تكون رسمًا للخرائط، ثم العلاقة الثنائية التي تحددها القاعدة

هي علاقة التكافؤ على . في هذه الحالة، يؤدي التعيين إلى تعيين تحدده القاعدة

أو ما هو نفسه،

في هذه الحالة اتضح التخصيمتعيينات لرسم الخرائط surjective ورسم الخرائط عن طريق الحقن.

يُستخدم تحليل الخرائط على نطاق واسع في العلوم الإنسانية وفي مجالات التكنولوجيا حيث لا يمكن استخدام القيم العددية. يتيح لك تحليل عوامل التعيين الاستغناء عن الصيغ التي لا يمكن استخدام الصيغ فيها. دعونا نعطي مثالا يمكن لأي شخص أن يفهمه ولا يتطلب فهم الرموز الرياضية المعقدة.

يعد الجدول المدرسي مثالًا نموذجيًا على التخصيم. في هذه الحالة، مجموعة جميع طلاب المدرسة، مجموعة جميع المواد الدراسية، موزعة حسب أيام الأسبوع، مع تحديد وقت الدراسة. فصول المعادلة هي فصول (مجموعات من الطلاب). العرض - يتم عرض جدول الحصص في مذكرات الطالب. العرض - تم نشر جدول الحصص في ردهة المدرسة. يوجد أيضًا عرض هنا - قوائم الفئات. يوضح هذا المثال بوضوح شديد الفوائد العملية للتحليل: من المستحيل تخيل جدول الفصل كجدول يعكس جميع طلاب المدرسة بشكل فردي. لقد أتاح التحليل إمكانية عرض المعلومات التي يحتاجها الطلاب في شكل مضغوط مناسب للاستخدام في المواقف التي لا يمكن فيها تطبيق الصيغ.

ومع ذلك، فإن فوائد التخصيم لا تقتصر على هذا. سمح التخصيم بتقسيم العمل بين المشاركين في النشاط: يقوم مدير المدرسة بوضع جدول زمني، ويقوم الطلاب بتدوينه في مذكراتهم. وبالمثل، سمح تحليل الوصفات الطبية بتقسيم العمل بين الطبيب، الذي يقوم بالتشخيص وكتابة الوصفة الطبية، والصيدلي، الذي يضمن تكافؤ الأدوية الموصوفة. تأليه التخصيم هو الحزام الناقل، الذي ينفذ الحد الأقصى لتقسيم العمل من خلال توحيد الأجزاء.

لكن فوائد التخصيم لا تقتصر على هذا. لقد مكّن التخصيم من ضمان نمطية التكنولوجيا الحديثة، مما يمنحها مرونة غير مسبوقة في الوظائف. يمكنك الاحتفاظ ببطاقة SIM القديمة وشراء هاتف جديد تمامًا لاستخدامها، أو إدخال ذاكرة فيديو جديدة في جهاز الكمبيوتر القديم. كل هذا هو المرونة والنمطية التي تعتمد على التحليل.

الأدب

• A. I. كوستريكين، مقدمة في الجبر. م: ناوكا، 1977، 47-51.
• أ. مالتسيف، النظم الجبرية، م: ناوكا، 1970، 23-30.
• في في إيفانوف، التحليل الرياضي. نسو، 2009.

أنظر أيضا

• علاقة التسامح هي شكل ضعيف من التكافؤ.
• التكافؤ هو عملية منطقية.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

• الالتهاب الرئوي في المستشفى
• ميتيل

انظر ما هي "علاقة التكافؤ" في القواميس الأخرى:

علاقة التكافؤ- - موضوعات الاتصالات، المفاهيم الأساسية EN علاقة التكافؤ... دليل المترجم الفني

علاقة نوع المساواة- علاقة التكافؤ، وهي مفهوم في المنطق والرياضيات، تعبر عن حقيقة وجود نفس العلامات (الخصائص) في كائنات مختلفة. فيما يتعلق بهذه الخصائص المشتركة، لا يمكن تمييز هذه الأشياء المختلفة (متطابقة، متساوية،... ...

موقف التسامح- ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر التسامح. علاقة التسامح (أو ببساطة التسامح) على مجموعة هي علاقة ثنائية تحقق خصائص الانعكاس والتماثل، ولكن ليس بالضرورة... ... ويكيبيديا

النسبة (الرياضيات)- ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر الموقف. العلاقة هي بنية رياضية تحدد بشكل رسمي خصائص الكائنات المختلفة والعلاقات بينها. يتم تصنيف العلاقات عادةً حسب عدد الكائنات المرتبطة... ويكيبيديا

سلوك- في المنطق، شيء، على عكس الخاصية، لا يميز كائنًا منفصلاً، بل زوجًا، أو ثلاثة، وما إلى ذلك. أغراض. المنطق التقليدي لم يأخذ بعين الاعتبار O.؛ في المنطق الحديث O. هي دالة افتراضية لمتغيرين أو أكثر. الثنائية... الموسوعة الفلسفية

علاقة التفضيل- في نظرية المستهلك، هذا وصف رسمي لقدرة المستهلك على مقارنة (الترتيب حسب الرغبة) مجموعات مختلفة من السلع (مجموعات المستهلكين). لوصف علاقة التفضيل، ليس من الضروري قياس الرغبة... ... ويكيبيديا

الموقف (الفلسفي)- الاتجاه، وهو فئة فلسفية تعبر عن طبيعة ترتيب عناصر نظام معين وترابطها؛ الموقف العاطفي الإرادي للشخص تجاه شيء ما، أي التعبير عن موقفه؛ المقارنة الذهنية بين أشياء مختلفة... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

سلوك- العلاقة هي مجموعة من الأفراد مرتبة n (حيث n هو 1)، أي. ثنائي، ثلاثي، إلخ. يُطلق على الرقم n اسم "المحلية"، أو "arity"، O. وبالتالي، يتحدثون عن n محلي (n arno) O. لذلك، على سبيل المثال، يُسمى الرقم المزدوج O.... ... موسوعة نظرية المعرفة وفلسفة العلوم

سلوك- الموقف هو فئة فلسفية تعبر عن طبيعة ترتيب عناصر نظام معين وترابطها؛ الموقف العاطفي الإرادي للشخص تجاه شيء ما، أي التعبير عن موقفه؛ المقارنة الذهنية بين مختلف... الموسوعة السوفيتية الكبرى

فئة المعادلة- علاقة التكافؤ () على المجموعة X هي علاقة ثنائية تتحقق فيها الشروط التالية: الانعكاسية: لأي a في X، التماثل: إذا، إذن، العبور: إذا... ويكيبيديا

كتب

• اتخاذ القرارات المالية في ظل ظروف عدم اليقين المقارن: دراسة، Bayuk O.A.. في الدراسة، تم تطوير استراتيجية جديدة لاتخاذ القرار المنطقي عند الاختيار بين أشياء لا تضاهى وإثباتها نظريًا، مما يؤدي إلى إنشاء علاقة خاصة من التفضيل و...

I. التقسيم إلى فئات. علاقة التكافؤ

التعريف 2.1. دعونا نطلق على تلك الأشياء القابلة للتبديل فقط تلك الأشياء الموجودة في مجموعة معينة M والتي لها نفس مجموعة السمات الشكلية التي تعتبر ضرورية في موقف معين.

دعونا نشير بواسطة M x إلى مجموعة جميع الكائنات القابلة للتبديل مع الكائن x. من الواضح أن x M x واتحاد كل M x (لكل x ممكن من M) يتزامن مع المجموعة الكاملة M:

دعونا نتظاهر بذلك. وهذا يعني أن هناك بعض العناصر z التي تنتمي إليها في نفس الوقت و و. إذن x قابل للتبديل مع z و z قابل للتبديل مع y. لذلك، x قابل للتبديل مع y، وبالتالي مع أي عنصر من عناصر. هكذا. يظهر التبديل العكسي بنفس الطريقة. وبالتالي، فإن المجموعات التي تحدث في الاتحاد (2.1) إما لا تتقاطع أو تتطابق تمامًا.

التعريف 2.2. سوف نسمي نظامًا من المجموعات الفرعية غير الفارغة (M 1, M 2,….) من المجموعة M قسمًا من هذه المجموعة إذا

تسمى المجموعات نفسها فئات التقسيم.

التعريف 2.3. تسمى العلاقة c على المجموعة M تكافؤ (أو علاقة تكافؤ) إذا كان هناك قسم (M 1, M 2,...) من المجموعة M بحيث يكون (x, y) ثابتًا إذا وفقط إذا كان x و y تنتمي إلى فئة عامة M i لقسم معين.

اجعل (M 1 , M 2 ,….) قسمًا من المجموعة M. وبناءً على هذا القسم، نحدد العلاقة من c إلى M: (x, y)، إذا كان x وy ينتميان إلى فئة عامة M i من هذا القسم. من الواضح أن العلاقة مع هي التكافؤ. دعونا نستدعي علاقة التكافؤ المقابلة للقسم المحدد.

التعريف 2.4. إذا قمنا في كل مجموعة فرعية M i بتحديد العنصر x i الموجود فيها، فسيتم تسمية هذا العنصر بالمعيار لكل عنصر y مدرج في نفس المجموعة M i . بحكم التعريف، لنفترض أن العلاقة c* "ليكون معيارًا" (x i, y) قد تحققت

من السهل أن نرى أن التكافؤ c المطابق لقسم معين يمكن تعريفه على النحو التالي: (z، y) إذا كان z و y لهما معيار مشترك (x i، z) و (x i، y).

مثال 2.1: اعتبر M مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة وقم بتقسيمها إلى المجموعة M 0 من الأرقام الزوجية والمجموعة M 1 من الأرقام الفردية. تتم الإشارة إلى علاقة التكافؤ المقابلة على مجموعة الأعداد الصحيحة على النحو التالي:

ويقرأ: n مشابه لـ m modulo 2. ومن الطبيعي اختيار 0 للأرقام الزوجية و1 للأرقام الفردية كمعايير. وبالمثل، بتقسيم نفس المجموعة M إلى k مجموعات فرعية M 0, M 1,... M k-1، حيث M j يتكون من جميع الأرقام التي عند قسمتها على k تعطي الباقي j، نصل إلى علاقة التكافؤ:

والذي ينطبق إذا كان n وm لهما نفس الباقي عند القسمة على k.

ومن الطبيعي اختيار الباقي المقابل j كمعيار في كل M j.

ثانيا. مجموعة العوامل

اسمحوا أن تكون علاقة التكافؤ. ثم، وفقا للنظرية، هناك تقسيم (M 1، M 2، ....) من المجموعة M إلى فئات من العناصر المكافئة لبعضها البعض - ما يسمى بفئات التكافؤ.

التعريف 2.5. يُشار إلى مجموعة فئات التكافؤ فيما يتعلق بالعلاقة بالرمز M/ وتُقرأ على أنها مجموعة حاصل الضرب للمجموعة M فيما يتعلق بالعلاقة.

دع μ: M > S يكون تعيينًا تقريبيًا للمجموعة M على مجموعة ما S.

بالنسبة لأي μ: M > S - رسم خرائط تقريبي توجد علاقة تكافؤ على المجموعة M بحيث يمكن وضع M/ وS في مراسلات فردية.

ثالثا. خصائص التكافؤ

التعريف 2.6. تسمى العلاقة c على المجموعة M علاقة التكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.

النظرية 2.1: إذا كانت العلاقة c على المجموعة M انعكاسية ومتماثلة ومتعدية، فهناك قسم (M 1 , M 2 ,….) للمجموعة M بحيث تكون (x, y) ثابتة إذا وفقط إذا كانت x و y تنتمي إلى فئة عامة M i لقسم معين.

على العكس من ذلك: إذا تم إعطاء قسم (M 1, M 2,....) وتم إعطاء العلاقة الثنائية c على أنها "تنتمي إلى الفئة العامة للقسم"، فإن c تكون انعكاسية ومتماثلة ومتعدية.

دليل:

النظر في علاقة انعكاسية ومتماثلة ومتعدية c إلى M. دع أي يتكون من كل z الذي (x، z) c

Lemma 2.1: لأي x وy، إما أو

من lemma وانعكاسية العلاقة c، يتبع ذلك أن مجموعات النموذج تشكل قسمًا من المجموعة M. (يمكن بطبيعة الحال تسمية هذا القسم بالقسم المقابل للعلاقة الأصلية). دع الآن (x، y) ج. وهذا يعني أن ي. ولكن أيضًا x بحكم (x، x) c. ولذلك، يتم تضمين كلا العنصرين. لذا، إذا كانت (x، y) c، فسيتم تضمين x وy في فئة القسم العامة. على العكس من ذلك، دع u و v. دعونا نبين أن (u, v) c. وبالفعل لدينا (x, u) c و(x, v) c. وبالتالي، عن طريق التماثل (u، x) ج. بواسطة العبور، من (u، x) c و (x، v) c يتبع (u، v) c. لقد تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

دع قسمًا (M 1، M 2،….) من المجموعة M يعطى. يتزامن اتحاد جميع فئات القسم مع M، ثم يتم تضمين أي x في فئة معينة. ويترتب على ذلك أن (س، س) ج، أي. ق - انعكاسيا. إذا كان x وy في فئة ما، فإن y وx موجودان في نفس الفصل. هذا يعني أن (x, y) c تعني (y, x) c، أي. العلاقة متناظرة. دع الآن (x، y) c و (y، z) c ثابتين. هذا يعني أن x وy موجودان في فئة ما، وy وz موجودان في فئة ما. تحتوي الفئات على عنصر مشترك y، وبالتالي تتزامن. وهذا يعني أن x وz مدرجان في الفصل، أي. (x، z) ثابتة والعلاقة متعدية. لقد تم إثبات النظرية.

رابعا. العمليات على المعادلات.

هنا نقوم بتعريف بعض العمليات النظرية على المعادلات ونعرض خصائصها المهمة بدون برهان.

تذكر أن العلاقة هي زوج ()، حيث M هي مجموعة العناصر التي تدخل في العلاقة، وهي مجموعة الأزواج التي تتحقق فيها العلاقة.

التعريف 2.7. تقاطع العلاقات (ج 1، م) و (ج 2، م) هو العلاقة التي يحددها تقاطع المجموعات الفرعية المقابلة. (x, y) مع 1 مع 2 إذا وفقط إذا كان (x, y) مع 1 و(x, y) مع 2 في نفس الوقت.

النظرية 2.2: تقاطع التكافؤات مع 1 مع 2 مع 1 مع 2 هو في حد ذاته علاقة تكافؤ.

التعريف 2.8. اتحاد العلاقات (مع 1، M) و (مع 2، M) هو علاقة محددة من خلال اتحاد المجموعات الفرعية المقابلة. (x, y) مع 1 مع 2 إذا وفقط إذا كان (x, y) مع 1 أو (x, y) مع 2.

النظرية 2.3: لكي يكون اتحاد المكافئات مع 1 مع 2 علاقة تكافؤ في حد ذاته، فمن الضروري والكافي أن

من 1 من 2 = من 1 من 2

التعريف 2.9. ويسمى المجموع المباشر للعلاقات (ج 1، م 1) و (ج 2، م 2) النسبة). يشار إلى المبلغ المباشر (ج 1، م 1) (ج 2، م 2).

وبالتالي، إذا كانت (ج1، م1) (ج2، م2) = ()، فإن م =.

النظرية 2.4: إذا كانت العلاقات متكافئة، فإن المجموع المباشر للعلاقات (ج 1، م 1) (ج 2، م 2) = ()، هو أيضًا تكافؤ.

خامسا: أنواع العلاقات

دعونا نقدم عدة أنواع أكثر أهمية من العلاقات. وستأتي الأمثلة في الفصل الثالث.

التعريف 2.10. تسمى العلاقة c على المجموعة M بالتسامح إذا كانت انعكاسية ومتماثلة.

التعريف 2.11. تسمى العلاقة c على المجموعة M علاقة ذات ترتيب صارم إذا كانت مضادة للانعكاس ومتعدية.

التعريف 2.12. تُسمى علاقة الترتيب الصارمة c بالترتيب الصارم المثالي إذا كان أي زوج من العناصر x وy من M إما (x، y) أو (y، x) صحيحًا

التعريف 2.13. تسمى العلاقة c على المجموعة M علاقة ذات ترتيب غير صارم إذا كان من الممكن تمثيلها بالشكل:

حيث يوجد ترتيب صارم على M، وE هي علاقة قطرية.

المحاضرة 22. علاقات التكافؤ والترتيب على المجموعة

1. علاقة التكافؤ. العلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات.

2. علاقة الطلب. علاقات ترتيبية صارمة وغير صارمة، علاقات ترتيبية خطية. ترتيب المجموعات.

3. الاستنتاجات الرئيسية

دعونا نلقي نظرة على مجموعة الكسور X= (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) علاقة المساواة. هذه العلاقة:

بشكل انعكاسي، حيث أن كل كسر يساوي نفسه؛

بشكل متماثل، منذ من حقيقة أن الكسر م/نيساوي الكسر ص/س، ويترتب على ذلك الكسر ص/سيساوي الكسر م/ن;

متعدية، منذ من حقيقة أن الكسر م/نيساوي الكسر ص/سوالكسر ص/سيساوي الكسر ص/س، ويترتب على ذلك الكسر م/نيساوي الكسر ص/س.

يقال أن علاقة تساوي الكسور هي علاقة التكافؤ.

تعريف. تسمى العلاقة R على المجموعة X علاقة التكافؤ إذا كانت لها في نفس الوقت خصائص الانعكاسية والتماثل والعبور.

ومن أمثلة علاقات التكافؤ علاقات المساواة للأشكال الهندسية، وعلاقة التوازي بين الخطوط (بشرط أن تعتبر الخطوط المتطابقة متوازية).

لماذا تم تمييز هذا النوع من العلاقات في الرياضيات؟ النظر في علاقة المساواة بين الكسور المحددة في المجموعة X= (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) (شكل 106). ونرى أن المجموعة مقسمة إلى ثلاث مجموعات فرعية: (1/2، 2/4، 3/6)، (1/3، 2/6)، (1/4). هذه المجموعات الفرعية لا تتقاطع، واتحادها يتزامن مع المجموعة X،أولئك. لدينا قسم من المجموعة Xإلى الفصول الدراسية. هذه ليست مصادفة.

على الاطلاق، إذا تم إعطاء علاقة تكافؤ على مجموعة X، فإنها تولد قسمًا من هذه المجموعة إلى مجموعات فرعية منفصلة زوجية (فئات التكافؤ).

وبذلك أثبتنا أن علاقة المساواة على مجموعة من الكسور (1/2، 1/3، 1/4، 2/4، 2/6، 3/6) تقابل تقسيم هذه المجموعة إلى فئات تكافؤ ، كل منها يتكون من كسور متساوية فيما بينها.

والعكس صحيح أيضا: إذا كانت أي علاقة محددة في مجموعة X تولد قسمًا من هذه المجموعة إلى فئات، فهي علاقة تكافؤ.

النظر، على سبيل المثال، على المجموعة س =(1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10) العلاقة "أن يكون لها نفس الباقي عند القسمة على 3." يقوم بإنشاء قسم من المجموعة Xإلى فئات: الأول سيشمل جميع الأرقام التي عند قسمتها على 3 تترك باقي 0 (هذه هي الأرقام 3، 6، 9)، والثانية - الأرقام التي عند قسمتها على 3 تترك باقي 1 (هذه هي الأرقام 1، 4) ، 7 ، 10)، وفي الثالث - جميع الأرقام، عند القسمة على 3 يكون الباقي 2 (هذه الأرقام 2، 5، 8). وفي الواقع، فإن المجموعات الفرعية الناتجة لا تتقاطع ويتزامن اتحادها مع المجموعة X.وبالتالي، فإن العلاقة "لها نفس الباقي عند القسمة على 3" المحددة في المجموعة X،هي علاقة التكافؤ. لاحظ أن العبارة الخاصة بالعلاقة بين علاقة التكافؤ وتقسيم المجموعة إلى فئات تحتاج إلى إثبات. نحن نضعه. لنفترض فقط أنه إذا كانت علاقة التكافؤ لها اسم، فسيتم إعطاء الاسم المقابل للفئات. على سبيل المثال، إذا تم تحديد علاقة مساواة على مجموعة من الأجزاء (وهي علاقة تكافؤ)، فسيتم تقسيم مجموعة الأجزاء إلى فئات من الأجزاء المتساوية (انظر الشكل 99). تتوافق علاقة التشابه مع تقسيم مجموعة المثلثات إلى فئات من المثلثات المتشابهة.

لذا، بوجود علاقة تكافؤ في مجموعة معينة، يمكننا تقسيم هذه المجموعة إلى فئات. ولكن يمكنك أيضًا القيام بالعكس: قم أولاً بتقسيم المجموعة إلى فئات، ثم قم بتحديد علاقة التكافؤ، مع الأخذ في الاعتبار أن العنصرين متكافئان إذا وفقط إذا كانا ينتميان إلى نفس فئة القسم المعني.

يعد مبدأ تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام بعض علاقات التكافؤ أحد المبادئ المهمة في الرياضيات. لماذا؟

أولاًمكافئ - وهذا يعني مكافئ وقابل للتبديل. ولذلك، فإن عناصر فئة التكافؤ نفسها قابلة للتبديل. وبالتالي فإن الكسور التي تكون في نفس فئة التكافؤ (1/2، 2/4، 3/6) لا يمكن تمييزها من وجهة نظر علاقة المساواة، ويمكن استبدال الكسر 3/6 بآخر، على سبيل المثال 1 /2. وهذا الاستبدال لن يغير نتيجة الحسابات.

ثانيًا، نظرًا لوجود عناصر في فئة التكافؤ لا يمكن تمييزها من وجهة نظر بعض العلاقات، فإننا نعتقد أن فئة التكافؤ يتم تحديدها بواسطة أي من ممثليها، أي. عنصر تعسفي من هذه الفئة. وبالتالي يمكن تحديد أي فئة من الكسور المتساوية عن طريق تحديد أي كسر ينتمي إلى هذه الفئة. إن تحديد فئة التكافؤ بواسطة ممثل واحد يسمح، بدلاً من جميع عناصر المجموعة، بدراسة مجموعة من الممثلين الفرديين من فئات التكافؤ. على سبيل المثال، فإن علاقة التكافؤ "أن يكون لها نفس عدد القمم"، المحددة على مجموعة من المضلعات، تولد تقسيم هذه المجموعة إلى فئات من المثلثات، والرباعيات، والخماسيات، وما إلى ذلك. تعتبر الخصائص المتأصلة في فئة معينة على أحد ممثليها.

ثالث، يتم استخدام تقسيم المجموعة إلى فئات باستخدام علاقة التكافؤ لتقديم مفاهيم جديدة. على سبيل المثال، يمكن تعريف مفهوم "حزمة الخطوط" على أنه مشترك بين الخطوط المتوازية.

بشكل عام، أي مفهوم يعمل به الشخص يمثل فئة معينة من التكافؤ. "الطاولة"، "المنزل"، "الكتاب" - كل هذه المفاهيم عبارة عن أفكار عامة حول العديد من الأشياء المحددة التي لها نفس الغرض.

نوع آخر مهم من العلاقة هو علاقات النظام.

تعريف. تسمى العلاقة R على المجموعة X علاقة ترتيبية إذا كانت لها في نفس الوقت خصائص عدم التماثل والعبور .

تتضمن أمثلة علاقات الترتيب ما يلي: علاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية؛ تكون العلاقة "أقصر" على مجموعة من الأجزاء، لأنها غير متماثلة ومتعدية.

إذا كانت العلاقة المرتبة لها أيضًا خاصية الترابط، فيقال إنها علاقة ترتيب خطي.

على سبيل المثال، العلاقة "أقل من" في مجموعة الأعداد الطبيعية هي علاقة ذات ترتيب خطي، لأنها تتمتع بخصائص عدم التماثل، والعبورية، والترابط.

تعريف. تسمى المجموعة X مرتبة إذا كانت لها علاقة ترتيبية.

وبالتالي، يمكن ترتيب المجموعة N من الأعداد الطبيعية عن طريق تحديد علاقة "أقل من" عليها.

إذا كانت علاقة الطلب محددة على مجموعة X،له خاصية الترابط فنقول ذلك يأمر خطيامجموعة من X.

على سبيل المثال، يمكن ترتيب مجموعة الأعداد الطبيعية باستخدام العلاقة "أقل من" والعلاقة "المتعددة" - وكلاهما علاقات ترتيبية. لكن العلاقة "أقل من"، على عكس العلاقة "المتعددة"، لديها أيضًا خاصية الترابط. وهذا يعني أن العلاقة "أقل من" تأمر مجموعة الأعداد الطبيعية خطيًا.

لا ينبغي للمرء أن يعتقد أن جميع العلاقات تنقسم إلى علاقات تكافؤ وعلاقات نظام. هناك عدد كبير من العلاقات التي ليست علاقات تكافؤ ولا علاقات ترتيب.