مربع اور. المعادلات التربيعية. حل المعادلات التربيعية الكاملة. معادلات تربيعية مختصرة وغير مخفضة

آمل ، بعد دراسة هذا المقال ، أن تتعلم كيفية العثور على جذور معادلة تربيعية كاملة.

بمساعدة المميز ، يتم حل المعادلات التربيعية الكاملة فقط ؛ يتم استخدام طرق أخرى لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، والتي ستجدها في مقالة "حل المعادلات التربيعية غير المكتملة".

ما هي المعادلات التربيعية التي تسمى كاملة؟ عليه معادلات بالصيغة ax 2 + b x + c \u003d 0حيث لا تساوي المعاملات a و b و c صفرًا. لذا ، لحل المعادلة التربيعية الكاملة ، تحتاج إلى حساب المميز د.

د \u003d ب 2 - 4 أ.

اعتمادًا على قيمة المميز ، سنكتب الإجابة.

إذا كان المميز سالبًا (D< 0),то корней нет.

إذا كان المميز صفرًا ، فإن x \u003d (-b) / 2a. عندما يكون المميز رقمًا موجبًا (D\u003e 0) ،

ثم x 1 \u003d (-b - √D) / 2a ، و x 2 \u003d (-b + D) / 2a.

فمثلا. حل المعادلة × 2 - 4 س + 4 \u003d 0.

د \u003d ٤ ٢ - ٤ ٤ \u003d ٠

س \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

الجواب: 2.

حل المعادلة 2 × 2 + س + 3 \u003d 0.

د \u003d ١ ٢ - ٤ ٢ ٣ \u003d - ٢٣

الجواب: لا جذور.

حل المعادلة 2 × 2 + 5 س - 7 \u003d 0.

د \u003d 5 2-4 · 2 · (–7) \u003d 81

× 1 \u003d (-5 - 81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

س 2 \u003d (-5 + 81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

الجواب: - 3.5 ؛ 1.

لذلك ، سوف نقدم حل المعادلات التربيعية الكاملة بواسطة الدائرة في الشكل 1.

يمكن حل أي معادلة تربيعية كاملة باستخدام هذه الصيغ. تحتاج فقط إلى توخي الحذر لضمان ذلك تمت كتابة المعادلة على أنها كثيرة الحدود القياسية

و × 2 + bx + c ، خلاف ذلك ، يمكنك ارتكاب خطأ. على سبيل المثال ، عند كتابة المعادلة x + 3 + 2x 2 \u003d 0 ، يمكنك أن تقرر ذلك خطأ

أ \u003d 1 ، ب \u003d 3 ، ج \u003d 2. ثم

د \u003d 3 2-4 · 1 · 2 \u003d 1 ثم للمعادلة جذرين. وهذا ليس صحيحا. (انظر الحل للمثال 2 أعلاه).

لذلك ، إذا لم تتم كتابة المعادلة ككثير حدود من النموذج القياسي ، فيجب أولاً كتابة المعادلة التربيعية الكاملة ككثير حدود للصيغة القياسية (في المقام الأول يجب أن يكون monomial مع أكبر الأس ، أي و × 2 ، ثم بأقل – bxثم عضو مجاني من عند.

عند حل معادلة تربيعية مختصرة ومعادلة تربيعية ذات معامل متساوٍ في المصطلح الثاني ، يمكن أيضًا استخدام صيغ أخرى. دعنا نتعرف على هذه الصيغ أيضًا. إذا كان المعامل في المعادلة التربيعية الكاملة مع المصطلح الثاني هو زوجي (ب \u003d 2 ك) ، فيمكن حل المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني في الشكل 2.

تسمى المعادلة التربيعية الكاملة مخفضة إذا كان المعامل عند × 2 يساوي واحدًا وتأخذ المعادلة الشكل س 2 + بكسل + س \u003d 0... يمكن إعطاء مثل هذه المعادلة للحل ، أو يتم الحصول عليها بقسمة جميع معاملات المعادلة على المعامل ويقف في × 2 .

يوضح الشكل 3 مخططًا لحل المربع المختزل
المعادلات. لنلقِ نظرة على مثال لتطبيق الصيغ التي تمت مناقشتها في هذه المقالة.

مثال. حل المعادلة

3× 2 + 6 س - 6 \u003d 0.

لنحل هذه المعادلة باستخدام الصيغ الموضحة في الرسم البياني بالشكل 1.

د \u003d 6 2-4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d √108 \u003d (363) \u003d 6√3

× 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - 3

× 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + 3

الجواب: -1 - √3 ؛ –1 + √3

يمكن ملاحظة أن المعامل عند x في هذه المعادلة هو رقم زوجي ، أي ، b \u003d 6 أو b \u003d 2k ، حيث k \u003d 3. ثم سنحاول حل المعادلة وفقًا للصيغ الموضحة في الرسم البياني للشكل D 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (د 1) \u003d 27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

× 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

س 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + (3))) / 3 \u003d - 1 + 3

الجواب: -1 - √3 ؛ –1 + √3... مع ملاحظة أن جميع المعاملات في هذه المعادلة التربيعية مقسمة على 3 وإجراء القسمة ، نحصل على المعادلة التربيعية المختزلة x 2 + 2x - 2 \u003d 0 حل هذه المعادلة باستخدام الصيغ من أجل المعادلة التربيعية المختزلة
شكل المعادلة 3.

د 2 \u003d 2 2-4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (د 2) \u003d 12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

س 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

س 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + 3

الجواب: -1 - √3 ؛ –1 + √3.

كما ترى ، عند حل هذه المعادلة باستخدام صيغ مختلفة ، تلقينا نفس الإجابة. لذلك ، بعد إتقان الصيغ الموضحة في الرسم التخطيطي في الشكل 1 ، يمكنك دائمًا حل أي معادلة تربيعية كاملة.

الموقع ، مع النسخ الكامل أو الجزئي للمادة ، يلزم وجود رابط إلى المصدر.

نواصل دراسة موضوع " حل المعادلات". لقد التقينا بالفعل مع المعادلات الخطية والمضي قدمًا للتعرف عليها المعادلات التربيعية.

أولاً ، سنقوم بتحليل ماهية المعادلة التربيعية ، وكيفية كتابتها بشكل عام ، وإعطاء التعريفات ذات الصلة. بعد ذلك ، وباستخدام الأمثلة ، سنقوم بتحليل تفصيلي لكيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة. ثم ننتقل إلى حل المعادلات الكاملة ، والحصول على صيغة الجذور ، والتعرف على مميّز المعادلة التربيعية والنظر في حلول الأمثلة النموذجية. أخيرًا ، دعنا نتتبع العلاقة بين الجذور والمعاملات.

التنقل في الصفحة.

ما هي المعادلة التربيعية؟ أنواعهم

تحتاج أولاً إلى أن تفهم بوضوح ما هي المعادلة التربيعية. لذلك ، فمن المنطقي أن نبدأ الحديث عن المعادلات التربيعية مع تعريف المعادلة التربيعية ، وكذلك التعريفات المرتبطة بها. بعد ذلك ، يمكنك التفكير في الأنواع الرئيسية من المعادلات التربيعية: المعادلات المختزلة وغير المختزلة ، وكذلك المعادلات الكاملة وغير الكاملة.

تعريف وأمثلة للمعادلات التربيعية

تعريف.

معادلة من الدرجة الثانية هي معادلة الشكل أ س 2 + ب س + ج \u003d 0 ، حيث x عبارة عن متغير ، و a و b و c بعض الأرقام ، و a ليست صفرية.

دعنا نقول على الفور أن المعادلات التربيعية تسمى غالبًا معادلات من الدرجة الثانية. هذا لأن المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية الدرجة الثانية.

يسمح لنا التعريف الصوتي بإعطاء أمثلة على المعادلات التربيعية. إذن 2 × 2 + 6 × + 1 \u003d 0 ، 0.2 × 2 + 2.5 × + 0.03 \u003d 0 ، إلخ. هي معادلات من الدرجة الثانية.

تعريف.

أعداد تسمى أ ، ب ، ج معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج \u003d 0 ، والمعامل أ يسمى الأول ، أو الأعلى ، أو المعامل عند س 2 ، ب هو المعامل الثاني ، أو المعامل عند س ، وج هو المصطلح الحر.

على سبيل المثال ، لنأخذ معادلة تربيعية بالصيغة 5 × 2 2 × - 3 \u003d 0 ، وهنا المعامل الرئيسي هو 5 ، والمعامل الثاني هو 2 ، والجزء المقطوع −3. لاحظ أنه عندما تكون المعامِلات b و / أو c سالبة ، كما في المثال المعطى للتو ، فإن الشكل المختصر للمعادلة التربيعية هو 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 ، وليس 5 x 2 + (- 2 ) X + (- 3) \u003d 0.

وتجدر الإشارة إلى أنه عندما تكون المعامِلات a و / أو b مساوية لـ 1 أو 1 ، فعادة لا تكون موجودة بشكل صريح في المعادلة التربيعية ، وهذا يرجع إلى خصائص كتابة مثل هذا. على سبيل المثال ، في المعادلة التربيعية y 2 −y + 3 \u003d 0 ، يكون المعامل الرئيسي واحدًا ، والمعامل عند y هو 1.

معادلات تربيعية مختصرة وغير مخفضة

يتم تمييز المعادلات التربيعية المختصرة وغير المختزلة اعتمادًا على قيمة المعامل الرئيسي. دعونا نعطي التعاريف المقابلة.

تعريف.

معادلة من الدرجة الثانية يسمى فيها المعامل الرئيسي 1 معادلة من الدرجة الثانية... خلاف ذلك المعادلة التربيعية غير مخفض.

بالنسبة الى هذا التعريف، المعادلات التربيعية x 2 −3 x + 1 \u003d 0 ، x 2 −x - 2/3 \u003d 0 ، إلخ. - معطى ، في كل منها المعامل الأول يساوي واحدًا. و 5 × 2 −x - 1 \u003d 0 ، إلخ. - معادلات تربيعية غير مخفضة ، معاملاتها الرئيسية تختلف عن 1.

من أي معادلة تربيعية غير مختزلة بقسمة كلا الجزأين على المعامل الرئيسي ، يمكنك الانتقال إلى المعادلة المختزلة. هذا الإجراء هو تحويل مكافئ ، أي أن المعادلة التربيعية المختصرة التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة لها نفس جذور المعادلة التربيعية الأصلية غير المختزلة ، أو ، مثلها ، ليس لها جذور.

دعونا نحلل عن طريق المثال كيف يتم إجراء الانتقال من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مختصرة.

مثال.

من المعادلة 3 × 2 + 12 × 7 \u003d 0 ، انتقل إلى المعادلة التربيعية المختزلة المقابلة.

القرار.

يكفي أن نقوم بقسمة كلا طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 3 ، فهو غير صفري ، لذا يمكننا تنفيذ هذا الإجراء. لدينا (3 × 2 + 12 × - 7): 3 \u003d 0: 3 ، وهو نفس الشيء ، (3 × 2): 3+ (12 ×): 3−7: 3 \u003d 0 ، وما بعدها (3: 3) × 2 + (12: 3) × - 7: 3 \u003d 0 ، من أين. إذن ، فقد حصلنا على المعادلة التربيعية المختصرة ، والتي تكافئ المعادلة الأصلية.

إجابة:

معادلات تربيعية كاملة وغير كاملة

يحتوي تعريف المعادلة التربيعية على الشرط أ 0. هذا الشرط ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج \u003d 0 لتكون تربيعية تمامًا ، لأنه عند أ \u003d 0 تصبح في الواقع معادلة خطية بالصيغة ب س + ج \u003d 0.

أما بالنسبة للمعاملات b و c ، فيمكن أن تساوي الصفر ، على حدة أو معًا. في هذه الحالات ، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

تعريف.

تسمى المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج \u003d 0 غير مكتملإذا كان أحد المعاملين على الأقل b ، c يساوي صفرًا.

بدوره

تعريف.

معادلة تربيعية كاملة هي معادلة تكون فيها جميع المعاملات غير صفرية.

لم يتم إعطاء هذه الأسماء بالصدفة. سيصبح هذا واضحًا من الاعتبارات التالية.

إذا كان المعامل ب يساوي صفرًا ، فإن المعادلة التربيعية تأخذ الصيغة أ س 2 + 0 س + ج \u003d 0 ، وهي تكافئ المعادلة أ س 2 + ج \u003d 0. إذا كانت c \u003d 0 ، أي أن المعادلة التربيعية لها الصيغة a x 2 + b x + 0 \u003d 0 ، فيمكن إعادة كتابتها على أنها a x 2 + b x \u003d 0. ومع b \u003d 0 و c \u003d 0 ، نحصل على المعادلة التربيعية a · x 2 \u003d 0. تختلف المعادلات الناتجة عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن جوانبها اليسرى لا تحتوي على مصطلح ذي متغير x ، أو مصطلح مجاني ، أو كليهما. ومن هنا جاء اسمهم - معادلات من الدرجة الثانية غير مكتملة.

لذا فإن المعادلتين x 2 + x + 1 \u003d 0 و −2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 هي أمثلة على المعادلات التربيعية الكاملة ، و x 2 \u003d 0 ، −2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0 ، −x 2 −5 · x \u003d 0 هي معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير المكتملة

من المعلومات الواردة في الفقرة السابقة يترتب على ذلك وجود ثلاثة أنواع من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ س 2 \u003d 0 ، المعامِلات ب \u003d 0 وج \u003d 0 تتوافق معها ؛
• أ س 2 + ج \u003d 0 عندما ب \u003d 0 ؛
• و أ س 2 + ب س \u003d 0 عندما ج \u003d 0.

دعونا نحلل من أجل كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة لكل من هذه الأنواع.

أ س 2 \u003d 0

لنبدأ بحل المعادلات التربيعية غير المكتملة التي يكون فيها المعاملان b و c مساويان للصفر ، أي مع المعادلات بالصيغة a · x 2 \u003d 0. المعادلة أ · س 2 \u003d 0 تعادل المعادلة س 2 \u003d 0 ، والتي يتم الحصول عليها من الأصل بقسمة كلا الجزأين على رقم غير صفري أ. من الواضح أن جذر المعادلة س 2 \u003d 0 هو صفر ، لأن 0 2 \u003d 0. هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، وهو ما تم شرحه بالفعل ، بالنسبة لأي عدد غير صفري p ، فإن المتباينة p 2\u003e 0 ثابتة ، ومن هنا يترتب على ذلك أنه بالنسبة لـ p 0 ، فإن المساواة p 2 \u003d 0 لا تتحقق أبدًا.

لذلك ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ · س 2 \u003d 0 لها جذر واحد س \u003d 0.

كمثال ، دعونا نعطي الحل للمعادلة التربيعية غير المكتملة −4 · x 2 \u003d 0. المعادلة x 2 \u003d 0 مكافئة لها ، وجذرها الوحيد هو x \u003d 0 ، وبالتالي ، فإن المعادلة الأصلية لها أيضًا جذر فريد من نوعه.

يمكن صياغة حل قصير في هذه الحالة على النحو التالي:
−4 × 2 \u003d 0 ،
× 2 \u003d 0 ،
س \u003d 0.

أ س 2 + ج \u003d 0

سننظر الآن في كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة ، حيث يكون المعامل b صفرًا ، و c 0 ، أي المعادلات بالصيغة a · x 2 + c \u003d 0. نعلم أن نقل المصطلح من أحد طرفي المعادلة إلى جانب آخر بعلامة معاكسة ، بالإضافة إلى قسمة طرفي المعادلة على رقم غير صفري ، يعطي معادلة مكافئة. لذلك ، يمكننا إجراء التحويلات المكافئة التالية للمعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ج \u003d 0:

• انقل c إلى الجانب الأيمن ، مما يعطي المعادلة max 2 \u003d −c ،
• ونقسم كلا الجزأين على أ ، نحصل على.

تسمح لنا المعادلة الناتجة باستخلاص استنتاجات حول جذورها. اعتمادًا على قيم a و c ، يمكن أن تكون قيمة التعبير سالبة (على سبيل المثال ، إذا كانت a \u003d 1 و c \u003d 2 ، إذن) أو موجبة (على سبيل المثال ، إذا كانت a \u003d −2 و c \u003d 6 ، إذن) ، فهي لا تساوي الصفر ، منذ الشرط ج ≠ 0. دعونا نفحص بشكل منفصل الحالات و.

إذا ، فإن المعادلة ليس لها جذور. تأتي هذه العبارة من حقيقة أن مربع أي رقم هو رقم غير سالب. ويترتب على ذلك أنه عندما لا يمكن أن تكون المساواة صحيحة لأي رقم ع.

إذا ، فإن الوضع مع جذور المعادلة مختلف. في هذه الحالة ، إذا كنت تتذكر ، يصبح جذر المعادلة واضحًا على الفور ، فهو رقم ، منذ ذلك الحين. من السهل تخمين أن الرقم هو أيضًا جذر المعادلة بالفعل. هذه المعادلة ليس لها جذور أخرى ، والتي يمكن إظهارها ، على سبيل المثال ، من خلال التناقض. لنفعلها.

دعنا نشير إلى جذور المعادلة التي تم التعبير عنها للتو على أنها x 1 و −x 1. لنفترض أن المعادلة لها جذر آخر x 2 يختلف عن الجذور المشار إليها x 1 و −x 1. من المعروف أن استبدال جذورها في المعادلة بدلاً من x يحول المعادلة إلى مساواة عددية حقيقية. لدينا بالنسبة إلى x 1 و −x 1 ، وبالنسبة إلى x 2 لدينا. تتيح لنا خصائص المساواة العددية إجراء عملية طرح لكل مصطلح لمعادلات عددية حقيقية ، لذا فإن طرح الأجزاء المقابلة من المعادلات يعطي x 1 2 −x 2 2 \u003d 0. تسمح لك خصائص الإجراءات مع الأرقام بإعادة كتابة المساواة الناتجة كـ (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. نعلم أن حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا فقط إذا كان أحدهما على الأقل يساوي صفرًا. لذلك ، يتبع من المساواة التي تم الحصول عليها أن x 1 - x 2 \u003d 0 و / أو x 1 + x 2 \u003d 0 ، وهو نفسه ، x 2 \u003d x 1 و / أو x 2 \u003d x 1. هذه هي الطريقة التي وصلنا بها إلى التناقض ، لأننا قلنا في البداية أن جذر المعادلة x 2 يختلف عن x 1 و −x 1. هذا يثبت أن المعادلة ليس لها جذور غير و.

دعنا نلخص معلومات هذا العنصر. المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ج \u003d 0 تعادل المعادلة التي

• ليس له جذور إذا ،
• له جذرين ، وإذا.

ضع في اعتبارك أمثلة لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة بالصيغة a · x 2 + c \u003d 0.

لنبدأ بالمعادلة التربيعية 9 × 2 + 7 \u003d 0. بعد نقل المصطلح المجاني إلى الجانب الأيمن من المعادلة ، سيأخذ الشكل 9 × 2 \u003d −7. بقسمة طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، نصل إلى. نظرًا لوجود عدد سالب على الجانب الأيمن ، فإن هذه المعادلة ليس لها جذور ، وبالتالي فإن المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة 9 · x 2 + 7 \u003d 0 ليس لها جذور.

حل معادلة تربيعية أخرى غير مكتملة −x 2 + 9 \u003d 0. انقل التسعة إلى اليمين: −x 2 \u003d −9. الآن نقسم كلا الطرفين على −1 ، نحصل على x 2 \u003d 9. يوجد على الجانب الأيمن رقم موجب ، نستنتج منه ذلك أو. ثم نكتب الإجابة النهائية: المعادلة التربيعية غير المكتملة −x 2 + 9 \u003d 0 لها جذران x \u003d 3 أو x \u003d −3.

أ س 2 + ب س \u003d 0

يبقى التعامل مع حل النوع الأخير من المعادلات التربيعية غير المكتملة لـ c \u003d 0. تسمح لك المعادلات التربيعية غير المكتملة بالشكل أ س 2 + ب س \u003d 0 بحلها طريقة التحليل... من الواضح أنه يمكننا ، الموجودين في الجانب الأيسر من المعادلة ، وهو ما يكفي لإخراج العامل المشترك x. هذا يسمح لنا بالانتقال من المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى معادلة مكافئة للصيغة x · (a · x + b) \u003d 0. وهذه المعادلة تكافئ مجموعة من معادلتين x \u003d 0 و a x + b \u003d 0 ، آخرهما خطي وله جذر x \u003d b / a.

لذلك ، فإن المعادلة التربيعية غير المكتملة أ س 2 + ب س \u003d 0 لها جذران x \u003d 0 و x \u003d b / a.

لتوحيد المادة ، سنقوم بتحليل حل مثال معين.

مثال.

حل المعادلة.

القرار.

إخراج x من الأقواس يعطي المعادلة. إنه يكافئ معادلتين x \u003d 0 و. نحن نحل الواردة معادلة خط مستقيم: ، وبعد قسمة العدد الكسري على كسر عادي ، نجد. لذلك ، فإن جذور المعادلة الأصلية هي x \u003d 0 و.

بعد الحصول على الممارسة اللازمة ، يمكن كتابة الحلول لهذه المعادلات بإيجاز:

إجابة:

س \u003d 0 ،.

مميز ، صيغة جذور المعادلة التربيعية

توجد صيغة جذرية لحل المعادلات التربيعية. دعنا نكتب الصيغة التربيعية:، أين د \u003d ب 2 −4 أ ج - ما يسمى مميز من الدرجة الثانية... التدوين يعني ذلك أساسًا.

من المفيد معرفة كيفية الحصول على صيغة الجذر وكيفية تطبيقها عند إيجاد جذور المعادلات التربيعية. دعونا نفهم ذلك.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج \u003d 0. لنقم ببعض التحويلات المكافئة:

• يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على عدد غير صفري أ ، ونتيجة لذلك نحصل على المعادلة التربيعية المختصرة.
• الآن حدد مربعًا كاملاً على جانبه الأيسر:. بعد ذلك ، ستأخذ المعادلة الشكل.
• في هذه المرحلة ، من الممكن تنفيذ نقل المصطلحين الأخيرين إلى الجانب الأيمن باستخدام الإشارة المعاكسة ، لدينا.
• ونقوم أيضًا بتحويل التعبير على الجانب الأيمن:.

نتيجة لذلك ، توصلنا إلى معادلة تعادل المعادلة التربيعية الأصلية أ س 2 + ب س + ج \u003d 0.

لقد حللنا بالفعل معادلات متشابهة في الشكل في الفقرات السابقة عندما قمنا بتحليلها. هذا يسمح لنا باستخلاص الاستنتاجات التالية فيما يتعلق بجذور المعادلة:

• إذا ، فإن المعادلة ليس لها حلول حقيقية ؛
• إذا ، فإن المعادلة لها الشكل ، لذلك ، من أين يكون جذرها الوحيد مرئيًا ؛
• إذا ، إذن ، أو ، التي هي نفسها ، أو بمعنى أن المعادلة لها جذران.

وبالتالي ، فإن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة ، وبالتالي المعادلة التربيعية الأصلية ، يعتمد على علامة التعبير على الجانب الأيمن. في المقابل ، يتم تحديد علامة هذا التعبير بعلامة البسط ، حيث أن المقام 4 · أ 2 يكون دائمًا موجبًا ، أي علامة التعبير ب 2 −4 · أ · ج. هذا التعبير b 2 −4 a c كان يسمى مميز المعادلة التربيعية ومميز بالحرف د... من هذا ، يتضح جوهر المميز - من خلال قيمته وإشاراته ، يستنتج ما إذا كانت المعادلة التربيعية لها جذور حقيقية ، وإذا كان الأمر كذلك ، فما هو رقمها - واحد أم اثنان.

بالعودة إلى المعادلة ، نعيد كتابتها باستخدام الرمز المميز: ونستخلص النتائج:

• إذا د<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• إذا كانت D \u003d 0 ، فإن هذه المعادلة لها جذر واحد ؛
• أخيرًا ، إذا كانت D\u003e 0 ، فإن المعادلة لها جذران أو يمكن ، بحكمها ، إعادة كتابتها بالصيغة ، أو بعد توسيع الكسور وتصغيرها إلى قاسم مشترك ، نحصل عليها.

لذلك قمنا باشتقاق الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية ، لها الشكل ، حيث يتم حساب المميز D بالصيغة D \u003d b 2 −4 · a · c.

بمساعدتهم ، باستخدام مميز موجب ، يمكنك حساب كلا الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. عندما يكون المميز مساويًا للصفر ، تعطي كلتا الصيغتين نفس القيمة الجذرية المقابلة لحل فريد للمعادلة التربيعية. ومع التمييز السلبي ، عند محاولة استخدام صيغة لجذور المعادلة التربيعية ، فإننا نواجه عملية الاستخراج الجذر التربيعي من رقم سالب ، والذي يأخذنا إلى ما بعد و المناهج الدراسية... مع المميز السالب ، لا توجد جذور حقيقية للمعادلة التربيعية ، بل لها زوج المكورات معقدة الجذور ، والتي يمكن العثور عليها باستخدام نفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

في الممارسة العملية ، عند حل المعادلات التربيعية ، يمكنك على الفور استخدام صيغة الجذر ، والتي يمكنك من خلالها حساب قيمها. لكن هذا يتعلق أكثر بإيجاد جذور معقدة.

ومع ذلك ، في دورة الجبر المدرسية ، لا يتعلق الأمر عادةً بالجذور المعقدة ، ولكن بالجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. في هذه الحالة ، يُنصح أولاً بإيجاد المميز قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية ، والتأكد من أنها غير سالبة (وإلا ، يمكننا أن نستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية) ، وبعد ذلك فقط احسب قيم الجذور.

المنطق أعلاه يسمح لنا بالكتابة حل المعادلات التربيعية... لحل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج \u003d 0 ، أنت بحاجة إلى:

• بواسطة الصيغة المميزة D \u003d b 2 −4 · a · c احسب قيمتها ؛
• استنتج أن المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية إذا كان المميز سالبًا ؛
• احسب الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة إذا كانت D \u003d 0 ؛
• أوجد جذرين حقيقيين لمعادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر إذا كان المميز موجبًا.

نلاحظ هنا أنه إذا كان المميز يساوي صفرًا ، فيمكن أيضًا استخدام الصيغة ، وستعطي نفس القيمة.

يمكنك المتابعة إلى أمثلة على استخدام الخوارزمية لحل المعادلات التربيعية.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

ضع في اعتبارك حلول لثلاث معادلات تربيعية بمميزات موجبة وسالبة وصفرية. بعد التعامل مع حلهم ، عن طريق القياس ، سيكون من الممكن حل أي معادلة تربيعية أخرى. لنبدأ.

مثال.

أوجد جذور المعادلة x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

القرار.

في هذه الحالة ، لدينا المعاملات التالية للمعادلة التربيعية: أ \u003d 1 ، ب \u003d 2 ، ج \u003d 6. وفقًا للخوارزمية ، تحتاج أولاً إلى حساب المميز ، لذلك نقوم باستبدال المعادلات a و b و c المشار إليها في الصيغة المميزة ، لدينا د \u003d ب 2 4 أ ج \u003d 2 2 −4 1 (6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... بما أن 28\u003e 0 ، أي أن المميز أكبر من صفر ، فإن للمعادلة التربيعية جذرين حقيقيين. نجدها من خلال صيغة الجذر ، ونحصل هنا ، هنا يمكنك تبسيط المقادير التي تم الحصول عليها بالتنفيذ العوملة خارج علامة الجذر مع التخفيض اللاحق للكسر:

إجابة:

دعنا ننتقل إلى المثال النموذجي التالي.

مثال.

حل المعادلة التربيعية −4x2 + 28x - 49 \u003d 0.

القرار.

نبدأ بإيجاد المميز: D \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... لذلك ، هذه المعادلة التربيعية لها جذر واحد ، والذي نجده ،

إجابة:

س \u003d 3.5.

يبقى النظر في حل المعادلات التربيعية ذات التمييز السلبي.

مثال.

حل المعادلة ٥ ص ٢ + ٦ ص + ٢ \u003d ٠.

القرار.

فيما يلي معاملات المعادلة التربيعية: أ \u003d 5 ، ب \u003d 6 ، ج \u003d 2. بالتعويض عن هذه القيم في الصيغة التمييزية ، لدينا د \u003d ب 2 4 أ ج \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... المميز سالب ، وبالتالي فإن هذه المعادلة التربيعية ليس لها جذور حقيقية.

إذا كنت بحاجة إلى الإشارة إلى جذور معقدة ، فإننا نطبق الصيغة المعروفة لجذور المعادلة التربيعية وننفذها عدد العمليات المعقدة:

إجابة:

لا توجد جذور حقيقية ، الجذور المعقدة هي كما يلي:.

مرة أخرى ، نلاحظ أنه إذا كان تمييز المعادلة التربيعية سالبًا ، فعادة ما يكتبون في المدرسة على الفور إجابة تشير فيها إلى عدم وجود جذور حقيقية ، وعدم العثور على جذور معقدة.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

صيغة جذور المعادلة التربيعية ، حيث D \u003d b 2 −4 a c ، تجعل من الممكن الحصول على صيغة أكثر إحكاما تسمح بحل المعادلات التربيعية بمعامل متساو عند x (أو ببساطة بمعامل له الصيغة 2 n ، على سبيل المثال ، أو 14 ln5 \u003d 2 7 ln5). دعنا نخرجها.

لنفترض أننا بحاجة إلى حل معادلة تربيعية بالصيغة أ س 2 + 2 ن س + ج \u003d 0. لنجد جذوره باستخدام الصيغة التي نعرفها. للقيام بذلك ، احسب المميز د \u003d (2 ن) 2 −4 أ ج \u003d 4 ن 2 −4 أ ج \u003d 4 (ن 2 − أ ج)، ثم استخدم صيغة الجذر:

دعونا نشير إلى التعبير n 2 −a · c كـ D 1 (أحيانًا يُرمز له بـ D "). ثم تأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية المعتبرة مع المعامل الثاني 2 n الصيغة ، حيث د 1 \u003d ن 2 - أ · ج.

من السهل ملاحظة أن D \u003d 4 · D 1 أو D 1 \u003d D / 4. بمعنى آخر ، D 1 هو الجزء الرابع من المميز. من الواضح أن علامة D 1 هي نفس علامة D. وهذا يعني أن علامة D 1 هي أيضًا مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

إذن ، لحل المعادلة التربيعية بالمعامل الثاني 2 n ، أنت بحاجة

• احسب د 1 \u003d n 2 −a · c؛
• إذا د 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• إذا كانت D 1 \u003d 0 ، فاحسب الجذر الوحيد للمعادلة بالصيغة ؛
• إذا كانت D 1\u003e 0 ، فأوجد جذرين حقيقيين بالصيغة.

لنفكر في حل أحد الأمثلة باستخدام صيغة الجذر التي تم الحصول عليها في هذه الفقرة.

مثال.

حل المعادلة التربيعية 5x2 −6x - 32 \u003d 0.

القرار.

يمكن تمثيل المعامل الثاني لهذه المعادلة بـ 2 · (−3). بمعنى أنه يمكنك إعادة كتابة المعادلة التربيعية الأصلية بالصورة 5 × 2 + 2 (−3) س - 32 \u003d 0 ، وهنا أ \u003d 5 ، ن \u003d −3 ، ج \u003d −32 ، وحساب الجزء الرابع من المميز: د 1 \u003d ن 2 −a ج \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... نظرًا لأن قيمتها موجبة ، فإن للمعادلة جذرين حقيقيين. دعنا نجدهم باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

لاحظ أنه كان من الممكن استخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية ، ولكن في هذه الحالة ، يجب القيام بمزيد من العمل الحسابي.

إجابة:

تبسيط المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان ، قبل الشروع في حساب جذور المعادلة التربيعية بالصيغ ، لا يضر طرح السؤال: "هل من الممكن تبسيط شكل هذه المعادلة"؟ توافق على أنه من حيث الحسابات سيكون من الأسهل حل المعادلة التربيعية 11 × 2 −4 × - 6 \u003d 0 من 1100 × 2 × 400 × × - 600 \u003d 0.

عادة ، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية بضرب أو قسمة كلا الجزأين على عدد معين. على سبيل المثال ، في الفقرة السابقة ، تمكنا من تبسيط المعادلة 1100x2 −400x - 600 \u003d 0 بقسمة كلا الجانبين على 100.

يتم إجراء تحول مماثل باستخدام معادلات تربيعية ، ومعاملات ليست كذلك. في هذه الحالة ، يتم عادةً قسمة طرفي المعادلة على القيم المطلقة معاملاتها. على سبيل المثال ، لنأخذ المعادلة التربيعية 12 × 2 −42 × + 48 \u003d 0. القيم المطلقة لمعاملاتها: GCD (12 ، 42 ، 48) \u003d GCD (GCD (12 ، 42) ، 48) \u003d GCD (6 ، 48) \u003d 6. بقسمة طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ، نصل إلى المعادلة التربيعية المكافئة 2 × 2 7 × + 8 \u003d 0.

وعادة ما يتم ضرب طرفي المعادلة التربيعية للتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة ، يتم الضرب بواسطة قواسم معاملاته. على سبيل المثال ، إذا تم ضرب طرفي المعادلة التربيعية في المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 3 ، 1) \u003d 6 ، فسيأخذ شكلًا أبسط × 2 + 4 × - 18 \u003d 0.

في ختام هذه النقطة ، نلاحظ أنه دائمًا ما يتم التخلص من الطرح عند المعامل الرئيسي للمعادلة التربيعية ، وتغيير إشارات جميع المصطلحات ، والتي تتوافق مع ضرب (أو قسمة) كلا الجزأين في −1. على سبيل المثال ، عادةً من المعادلة التربيعية −2x2 −3x + 7 \u003d 0 ينتقل المرء إلى الحل 2x2 + 3x - 7 \u003d 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات في المعادلة التربيعية

تعبر صيغة جذور المعادلة التربيعية عن جذور المعادلة بدلالة معاملاتها. بناءً على صيغة الجذر ، يمكنك الحصول على تبعيات أخرى بين الجذور والمعاملات.

الصيغ الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي من نظرية فييتا للشكل و. على وجه الخصوص ، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة ، فإن مجموع الجذور يساوي المعامل الثاني مع الإشارة المعاكسة ، وحاصل ضرب الجذور يساوي المصطلح المجاني. على سبيل المثال ، بصيغة المعادلة التربيعية 3 × 2 7 × + 22 \u003d 0 ، يمكننا أن نقول على الفور أن مجموع جذورها هو 7/3 ، وحاصل ضرب الجذور هو 22/3.

باستخدام الصيغ المكتوبة بالفعل ، يمكنك الحصول على عدد من العلاقات الأخرى بين الجذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال ، يمكنك التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية من خلال معاملاتها :.

قائمة المراجع.

• الجبر: دراسة. لمدة 8 سل. تعليم عام. المؤسسات / [Yu. ن. ماكاريشيف ، إن ج. مينديوك ، ك. آي. نيشكوف ، إس ب. سوفوروفا] ؛ إد. S. A. Telyakovsky. - الطبعة ال 16. - م: التعليم ، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• أ.موردكوفيتش الجبر. الصف 8. الساعة 2 بعد الظهر الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب المؤسسات التعليمية / أ. - الطبعة 11 ، ممحو. - م: منيموسينا ، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.

مجرد. بالصيغ والقواعد الواضحة والبسيطة. في المرحلة الأولى

من الضروري تقليل المعادلة إلى طريقة العرض القياسية، بمعنى آخر. للنظر:

إذا تم تقديم المعادلة لك بالفعل في هذا النموذج ، فلن تحتاج إلى القيام بالخطوة الأولى. أهم شيء هو الصحيح

تحديد جميع المعاملات ، و, ب و ج.

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر مميز ... كما ترى ، لإيجاد x ، نحن

استعمال فقط أ ، ب ، ج. أولئك. معاملات من معادلة من الدرجة الثانية... فقط استبدل بعناية

المعنى أ ، ب ، ج في هذه الصيغة والعد. استبدل بـ بواستطهم علامات!

فمثلا، في المعادلة:

و =1; ب = 3; ج = -4.

استبدل القيم واكتب:

تم حل المثال تقريبًا:

هذا هو الجواب.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط مع إشارات المعنى. أ ، بو من عند... بدلا من ذلك ، مع الاستبدال

القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. هنا ، تحفظ صياغة مفصلة

بأرقام محددة. إذا كانت لديك مشاكل حسابية ، فافعلها!

افترض أنك بحاجة إلى حل هذا المثال:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

نرسم كل شيء بالتفصيل ، بعناية ، دون فقد أي شيء بكل العلامات والأقواس:

غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلاً. على سبيل المثال ، مثل هذا:

في الوقت الحالي ، لاحظ أفضل الممارسات التي من شأنها تقليل الأخطاء بشكل كبير.

أول استقبال... لا تكن كسولاً من قبل حل المعادلة التربيعية أحضره إلى الشكل القياسي.

ماذا يعني هذا؟

دعنا نقول ، بعد أي تحويلات ، حصلت على المعادلة التالية:

لا تتسرع في كتابة صيغة الجذر! من شبه المؤكد أنك ستخلط الاحتمالات. أ ، ب ، ج.

بناء المثال بشكل صحيح. أولاً ، X تربيع ، ثم بدون المربع ، ثم المصطلح الحر. مثله:

تخلص من الطرح. كيف؟ عليك أن تضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة معادلة الجذور بأمان ، وحساب المميز وإكمال المثال.

افعلها بنفسك. يجب أن يكون لديك الجذور 2 و -1.

استقبال ثاني. تحقق من الجذور! بواسطة نظرية فييتا.

لحل المعادلات التربيعية المعطاة ، أي إذا كان المعامل

س 2 + ب س + ج \u003d 0 ،

ثم × 1 × 2 \u003d ج

x 1 + x 2 \u003d -ب

للحصول على معادلة تربيعية كاملة فيها أ ≠ 1:

× 2 +بx +ج=0,

قسّم المعادلة بأكملها على و:

→ →

أين × 1 و x 2 - جذور المعادلة.

استقبال ثالث... إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية ، فتخلص من الكسور! تتضاعف

معادلة المقام المشترك.

انتاج. نصائح عملية:

1. قبل الحل ، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصيغة القياسية ، ونبنيها حق.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام x في المربع ، فإننا نحذفه بضرب المجموع

المعادلات بنسبة -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية ، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في المقابل

عامل.

4. إذا كانت x تربيع نقية ، فإن المعامل عندها يساوي واحدًا ، فيمكن بسهولة التحقق من الحل

المعادلات التربيعية... معلومات عامة.

في من الدرجة الثانية يجب أن يكون X موجودًا في المربع (لهذا يسمى

"ميدان"). بالإضافة إليه ، قد تكون المعادلة (أو لا تكون كذلك!) فقط x (في الدرجة الأولى) و

مجرد رقم (عضو مجاني). ولا يجب أن يكون هناك x لدرجة أكبر من اثنين.

معادلة جبرية عامة.

أين x - متغير حر ، أ, ب, ج - المعاملات و أ≠0 .

فمثلا:

التعبير اتصل ثلاثي الحدود مربع.

عناصر المعادلة التربيعية لها أسمائها الخاصة:

يسمى المعامل الأول أو الأعلى ،

يسمى الثاني أو المعامل عند ،

· اتصل بالعضو المجاني.

معادلة تربيعية كاملة.

تحتوي هذه المعادلات التربيعية على مجموعة كاملة من الحدود على اليسار. X تربيع مع

معامل في الرياضيات او درجة و ، x مرفوعًا للقوة الأولى ذات المعامل ب و مجانا عضو من عند. فيجميع الاحتمالات

يجب أن تكون غير صفرية.

غير مكتمل تسمى المعادلة التربيعية التي فيها واحد على الأقل من المعاملات ، ما عدا

أعلى واحد (إما المعامل الثاني أو المصطلح المجاني) يساوي الصفر.

دعونا نتظاهر بذلك ب \u003d 0 ، - x يختفي من الدرجة الأولى. اتضح ، على سبيل المثال:

2 × 2 -6 × \u003d 0 ،

إلخ. وإذا كان كلا المعاملين ، ب و ج تساوي الصفر ، فكل شيء أسهل ، على سبيل المثال:

2 × 2 \u003d 0 ،

لاحظ أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

لماذا ا و لا يمكن أن تكون صفرا؟ ثم يختفي x تربيع وتصبح المعادلة خطي .

ويتم تقريره بطريقة مختلفة تمامًا ...

تختلف المعادلة التربيعية غير المكتملة عن المعادلات الكلاسيكية (الكاملة) في أن عواملها أو نقطة التقاطع فيها تساوي الصفر. الرسم البياني لهذه الوظائف هو القطع المكافئ. بناءً على مظهرهم العام ، يتم تقسيمهم إلى 3 مجموعات. مبادئ حل جميع أنواع المعادلات هي نفسها.

لا يوجد شيء صعب في تحديد نوع كثير الحدود غير المكتمل. من الأفضل مراعاة الاختلافات الرئيسية باستخدام أمثلة توضيحية:

1. إذا كانت b \u003d 0 ، فإن المعادلة هي ax 2 + c \u003d 0.
2. إذا كانت c \u003d 0 ، فيجب حل التعبير ax 2 + bx \u003d 0.
3. إذا كانت b \u003d 0 و c \u003d 0 ، فإن كثير الحدود يصبح مساويًا لنوع ax 2 \u003d 0.

الحالة الأخيرة هي احتمال نظري أكثر ولا تحدث أبدًا في مهام اختبار المعرفة ، لأن القيمة الصالحة الوحيدة للمتغير x في التعبير هي صفر. في المستقبل ، سيتم النظر في طرق وأمثلة لحل المعادلات التربيعية غير المكتملة 1) و 2).

خوارزمية عامة لإيجاد المتغيرات والأمثلة مع الحل

بغض النظر عن نوع المعادلة ، تتلخص خوارزمية الحل في الخطوات التالية:

1. اختصر التعبير إلى شكل مناسب لإيجاد الجذور.
2. قم بإجراء العمليات الحسابية.
3. سجل إجابتك.

أسهل طريقة لحل المعادلات غير المكتملة هي تحليل الطرف الأيسر وترك الصفر في الجانب الأيمن. وهكذا ، فإن صيغة المعادلة التربيعية غير المكتملة لإيجاد الجذور يتم تقليلها إلى حساب قيمة x لكل عامل من العوامل.

يمكنك فقط تعلم كيفية حلها عمليًا ، لذلك دعونا نفكر في مثال محدد لإيجاد جذور معادلة غير مكتملة:

كما ترى ، في هذه الحالة b \u003d 0. نحلل الطرف الأيسر ونحصل على التعبير:

4 (س - 0.5) ⋅ (س + 0.5) \u003d 0.

من الواضح أن الناتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل صفرًا. قيم المتغير x1 \u003d 0.5 و (أو) x2 \u003d -0.5 تلبي هذه المتطلبات.

من أجل التعامل بسهولة وسرعة مع مشكلة تحليل ثلاثي الحدود إلى عوامل ، يجب أن تتذكر الصيغة التالية:

إذا لم يكن هناك مصطلح مجاني في التعبير ، فسيتم تبسيط المهمة إلى حد كبير. يكفي فقط إيجاد وإخراج القاسم المشترك. من أجل الوضوح ، ضع في اعتبارك مثالًا على كيفية حل المعادلات التربيعية غير المكتملة من النموذج ax2 + bx \u003d 0.

لنأخذ المتغير x من الأقواس ونحصل على التعبير التالي:

س ⋅ (س + 3) \u003d 0.

مسترشدين بالمنطق ، نصل إلى استنتاج مفاده أن x1 \u003d 0 ، و x2 \u003d -3.

الحل التقليدي والمعادلات التربيعية غير المكتملة

ماذا سيحدث إذا قمت بتطبيق صيغة التمييز وحاولت إيجاد جذور كثير الحدود ، مع معاملات تساوي صفرًا؟ لنأخذ مثالاً من مجموعة من المهام النموذجية لامتحان الرياضيات في عام 2017 ، ونحلها باستخدام الصيغ القياسية وطريقة التحليل.

7 س 2-3 س \u003d 0.

لنحسب قيمة المميز: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. اتضح أن كثير الحدود له جذران:

الآن ، لنحل المعادلة بالتحليل ومقارنة النتائج.

س ⋅ (7 س + 3) \u003d 0 ،

2) 7 س + 3 \u003d 0 ،
7 س \u003d -3 ،
س \u003d -.

كما ترى ، تعطي كلتا الطريقتين نفس النتيجة ، لكن حل المعادلة بالطريقة الثانية كان أسهل بكثير وأسرع.

نظرية فييتا

وماذا تفعل مع نظرية فييتا الحبيبة؟ هل يمكن استخدام هذه الطريقة مع ثلاثية غير كاملة؟ دعنا نحاول فهم جوانب اختزال المعادلات غير المكتملة إلى الشكل الكلاسيكي ax2 + bx + c \u003d 0.

في الواقع ، من الممكن تطبيق نظرية فييتا في هذه الحالة. من الضروري فقط إحضار التعبير إلى شكل عام ، واستبدال الأعضاء المفقودين بصفر.

على سبيل المثال ، مع b \u003d 0 و a \u003d 1 ، من أجل القضاء على احتمالية حدوث ارتباك ، يجب كتابة المهمة بالشكل: ax2 + 0 + c \u003d 0. ثم يمكن التعبير عن نسبة مجموع ومنتج جذور وعوامل كثير الحدود على النحو التالي:

تساعد الحسابات النظرية في التعرف على جوهر المشكلة ، وتتطلب دائمًا مهارات الممارسة في حل مشكلات معينة. دعنا نرجع مرة أخرى إلى الكتاب المرجعي للمهام النموذجية للامتحان ونجد مثالًا مناسبًا:

دعونا نكتب التعبير في شكل مناسب لتطبيق نظرية فييتا:

س 2 + 0 - 16 \u003d 0.

الخطوة التالية هي إنشاء نظام الشروط:

من الواضح أن جذور كثيرة الحدود المربعة ستكون x 1 \u003d 4 و x 2 \u003d -4.

الآن ، لنتدرب على تحويل المعادلة إلى صورة عامة. خذ المثال التالي: 1/4 × × 2 - 1 \u003d 0

لتطبيق نظرية فييتا على تعبير ما ، من الضروري التخلص من الكسر. اضرب الجانبين الأيمن والأيسر في 4 ، وانظر إلى النتيجة: x2-4 \u003d 0. المساواة الناتجة جاهزة للحل من خلال نظرية فييتا ، ولكن من الأسهل والأسرع الحصول على الإجابة ببساطة عن طريق نقل c \u003d 4 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: x2 \u003d 4.

في الخلاصة ، يجب القول أن أفضل طريقة لحل المعادلات غير الكاملة هي التحليل إلى عوامل ، وهي الطريقة الأبسط والأسرع. إذا واجهت صعوبات في عملية العثور على الجذور ، يمكنك اللجوء إلى الطريقة التقليدية للعثور على الجذور من خلال التمييز.