Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Математическото очакване (средно население) е модулът на математическото очакване

Математическото очакване е вероятностното разпределение на случайна променлива

Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване на дискретни и непрекъснати случайни променливи, селективно, условно очакване, изчисление, свойства, задачи, оценка на очакването, дисперсия, функция на разпределение, формули, примери за изчисление

Разширете съдържанието

Свиване на съдържанието

Математическото очакване е определението

Едно от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, характеризиращо разпределението на стойности или вероятности на случайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни параметри на случайна променлива. Той се използва широко в техническия анализ, изследването на числови серии, изследването на непрекъснати и дългосрочни процеси. Той е важен при оценката на рисковете, прогнозирането на ценовите показатели при търговия на финансови пазари и се използва при разработването на стратегии и методи на игрови тактики в теорията на хазарта.

Математическото очакване есредната стойност на случайна променлива, вероятностното разпределение на случайна променлива се разглежда в теорията на вероятностите.

Математическото очакване емярка за средната стойност на случайна променлива в теорията на вероятностите. Математическо очакване на случайна променлива хозначено M(x).

Математическото очакване е

Математическото очакване ев теорията на вероятностите, среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които тази случайна променлива може да приеме.

Математическото очакване есумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива от вероятностите на тези стойности.

Математическото очакване есредната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и голямото разстояние.

Математическото очакване ев теорията на хазарта, количеството печалби, които играчът може да спечели или загуби средно за всеки залог. На езика на комарджиите това понякога се нарича "предимство на играча" (ако е положително за играча) или "предимство на къщата" (ако е отрицателно за играча).

Математическото очакване еПроцентът печалба на печалба, умножен по средната печалба минус вероятността от загуба, умножена по средната загуба.

Математическо очакване на случайна променлива в математическата теория

Една от важните числени характеристики на случайната променлива е математическото очакване. Нека въведем концепцията за система от случайни променливи. Помислете за набор от случайни променливи, които са резултатите от един и същ случаен експеримент. Ако е една от възможните стойности на системата, тогава събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функция, дефинирана за всякакви възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислявате вероятностите за всякакви събития от. По-специално, съвместният закон за разпределение на случайни променливи и , които приемат стойности от множеството и , се дава от вероятности.

Терминът „очакване“ е въведен от Пиер Симон Маркиз дьо Лаплас (1795 г.) и произхожда от концепцията за „очаквана стойност на печалбата“, която се появява за първи път през 17 век в теорията на хазарта в трудовете на Блез Паскал и Кристиан Хюйгенс . Въпреки това, първото цялостно теоретично разбиране и оценка на това понятие е дадено от Пафнутий Лвович Чебишев (средата на 19 век).

Законът за разпределение на случайните числови променливи (функцията на разпределението и серията на разпределение или плътността на вероятността) напълно описват поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да се знаят някои числени характеристики на изследваната величина (например нейната средна стойност и възможно отклонение от нея), за да се отговори на поставения въпрос. Основните числени характеристики на случайните променливи са математическото очакване, дисперсията, модата и медианата.

Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на нейните възможни стойности и съответните им вероятности. Понякога математическото очакване се нарича среднопретеглено, тъй като е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива за голям брой експерименти. От дефиницията на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от най-малката възможна стойност на случайна величина и не по-голяма от най-голямата. Математическото очакване на случайна променлива е неслучайна (постоянна) променлива.

Математическото очакване има просто физическо значение: ако единица маса е поставена на права линия, поставяйки някаква маса в някои точки (за дискретно разпределение) или я „размазваме“ с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), тогава точката, съответстваща на математическото очакване, ще бъде координатната права "център на тежестта".

Средната стойност на случайна променлива е определено число, което е неин „представител“ и го замества в груби приблизителни изчисления. Когато казваме: „средното време на работа на лампата е 100 часа“ или „средната точка на удара е изместена спрямо целта с 2 m надясно“, ние обозначаваме с това определена числена характеристика на случайна променлива, която описва нейната местоположение на числовата ос, т.е. описание на позицията.

От характеристиките на позицията в теорията на вероятностите най-важна роля играе математическото очакване на случайна променлива, което понякога се нарича просто средна стойност на случайна променлива.

Помислете за случайна променлива х, който има възможни стойности x1, x2, …, xnс вероятности p1, p2, …, pn. Трябва да характеризираме с някакво число позицията на стойностите на случайната променлива по оста x, като вземем предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За целта е естествено да се използва т. нар. "среднопретеглена" на стойностите xi, и всяка стойност xi по време на осредняването трябва да се вземе предвид с „тегло“, пропорционално на вероятността за тази стойност. Така ще изчислим средната стойност на случайната променлива х, което ще обозначим M|X|:

Тази среднопретеглена стойност се нарича математическо очакване на случайната променлива. Така ние въведохме в разглеждането една от най-важните концепции на теорията на вероятностите - концепцията за математическото очакване. Математическото очакване на случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и вероятностите на тези стойности.

хпоради особена зависимост от средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива с голям брой експерименти. Тази зависимост е от същия тип като зависимостта между честота и вероятност, а именно: при голям брой експерименти средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на случайна променлива се доближава (сближава във вероятност) нейното математическо очакване. От наличието на връзка между честотата и вероятността може да се изведе като следствие съществуването на подобна връзка между средното аритметично и математическото очакване. Наистина, помислете за случайна променлива х, характеризиращ се с поредица от разпределения:

Нека се произвежда ннезависими експерименти, във всеки от които стойността хприема определена стойност. Да предположим, че стойността x1се появи m1пъти, стойност x2се появи м2пъти, общо значение xiсе появява ми пъти. Нека изчислим средноаритметичната стойност на наблюдаваните стойности на X, които за разлика от математическото очакване M|X|ще обозначим M*|X|:

С увеличаване на броя на експериментите нчестоти пище се доближи (сближи по вероятност) съответните вероятности. Следователно, средното аритметично на наблюдаваните стойности на случайната променлива M|X|с увеличаване на броя на експериментите, той ще се доближи (сближи по вероятност) до своето математическо очакване. Връзката между средното аритметично и математическото очакване, формулирана по-горе, съставлява съдържанието на една от формите на закона за големите числа.

Вече знаем, че всички форми на закона за големите числа посочват факта, че определени средни стойности са стабилни при голям брой експерименти. Тук говорим за стабилност на средноаритметичното от поредица от наблюдения на една и съща стойност. При малък брой експерименти средноаритметичната стойност на техните резултати е случайна; с достатъчно увеличаване на броя на експериментите, той става "почти неслучаен" и, стабилизирайки се, се доближава до постоянна стойност - математическото очакване.

Свойството за стабилност на средните за голям брой експерименти е лесно да се провери експериментално. Например, претегляйки всяко тяло в лабораторията на точни везни, в резултат на претеглянето всеки път получаваме нова стойност; за да намалим грешката на наблюдение, претегляме тялото няколко пъти и използваме средноаритметичната стойност на получените стойности. Лесно е да се види, че с по-нататъшно увеличаване на броя на експериментите (претегляния), средноаритметичната стойност реагира на това увеличение все по-малко и с достатъчно голям брой експерименти на практика престава да се променя.

Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на случайна променлива - математическото очакване - не съществува за всички случайни променливи. Възможно е да се направят примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се разминават. За практиката обаче подобни случаи не представляват значителен интерес. Обикновено случайните променливи, с които имаме работа, имат ограничен диапазон от възможни стойности и, разбира се, имат очакване.

В допълнение към най-важната характеристика на позицията на случайна променлива - математическото очакване, на практика понякога се използват и други характеристики на позицията, по-специално модата и медианата на случайната променлива.

Режимът на случайна променлива е нейната най-вероятна стойност. Терминът „най-вероятна стойност“, строго погледнато, се прилага само за прекъснати количества; за непрекъснато количество режимът е стойността, при която плътността на вероятността е максимална. Фигурите показват режима съответно за прекъснати и непрекъснати случайни променливи.

Ако полигонът на разпределение (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "полимодално".

Понякога има разпределения, които имат по средата не максимум, а минимум. Такива разпределения се наричат ​​"антимодални".

В общия случай модата и математическото очакване на една случайна величина не съвпадат. В конкретен случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. има мода) и има математическо очакване, тогава то съвпада с модата и центъра на симетрия на разпределението.

Често се използва и друга характеристика на позицията - т. нар. медиана на случайна величина. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че може да бъде формално дефинирана и за прекъсната променлива. Геометрично, медианата е абсцисата на точката, в която областта, ограничена от кривата на разпределение, се разделя на две.

В случай на симетрично модално разпределение медианата съвпада със средната стойност и модата.

Математическото очакване е средната стойност на случайна променлива - числена характеристика на вероятностното разпределение на случайна променлива. Най-общо казано, математическото очакване на случайна променлива X(w)се определя като интеграл на Лебег по отношение на вероятностната мярка Рв първоначалното вероятностно пространство:

Математическото очакване може да се изчисли и като интеграл на Лебег от хчрез разпределение на вероятностите pxколичества х:

По естествен начин може да се дефинира концепцията за случайна променлива с безкрайно математическо очакване. Типичен пример са времената за връщане при някои произволни разходки.

С помощта на математическото очакване се определят много числени и функционални характеристики на разпределението (като математическото очакване на съответните функции на случайна променлива), например генерираща функция, характерна функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия , ковариация.

Математическото очакване е характеристика на местоположението на стойностите на случайна променлива (средната стойност на нейното разпределение). В това си качество математическото очакване служи като някакъв "типичен" параметър на разпределението и неговата роля е подобна на ролята на статичния момент - координатата на центъра на тежестта на разпределението на масата - в механиката. От другите характеристики на местоположението, с помощта на които се описва общо разпределението - медиани, моди, математическото очакване се различава по по-голямата стойност, която то и съответната характеристика на разсейване - дисперсия - имат в граничните теореми на теорията на вероятностите. С най-голяма пълнота значението на математическото очакване се разкрива от закона за големите числа (неравенството на Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква случайна променлива, която може да приеме една от няколко числови стойности (например броят на точките при хвърляне на зара може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често на практика за такава стойност възниква въпросът: каква стойност приема "средно" при голям брой тестове? Каква ще бъде средната ни възвръщаемост (или загуба) от всяка от рисковите операции?

Да кажем, че има някаква лотария. Искаме да разберем дали е изгодно или не да участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да кажем, че всеки четвърти билет печели, наградата ще бъде 300 рубли, а цената на всеки билет ще бъде 100 рубли. При безкраен брой участия това се случва. В три четвърти от случаите ще загубим, всеки три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (награда минус цена), тоест за четири участия губим средно 100 рубли, за едно - средно 25 рубли. Общо средната цена на нашата разруха ще бъде 25 рубли на билет.

Хвърляме зар. Ако не е чийтинг (без изместване на центъра на тежестта и т.н.), тогава колко точки ще имаме средно наведнъж? Тъй като всяка опция е еднакво вероятна, вземаме глупавата средна аритметична стойност и получаваме 3,5. Тъй като това е СРЕДНО, няма защо да се възмущавате, че нито едно конкретно хвърляне няма да даде 3,5 точки - е, това кубче няма лице с такова число!

Сега нека обобщим нашите примери:

Нека да разгледаме снимката точно по-горе. Вляво има таблица на разпределението на случайна променлива. Стойността на X може да приеме една от n възможни стойности (посочени в горния ред). Не може да има други ценности. Под всяка възможна стойност нейната вероятност е подписана по-долу. Вдясно има формула, където M(X) се нарича математическо очакване. Значението на тази стойност е, че при голям брой опити (с голяма извадка) средната стойност ще клони към точно това математическо очакване.

Нека се върнем към същия игрален куб. Математическото очакване на броя на точките при едно хвърляне е 3,5 (изчислете сами, като използвате формулата, ако не вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. Изпаднаха 4 и 6. Средно се оказа 5, тоест далеч от 3,5. Хвърлиха го пак, паднаха 3, тоест средно (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Някак си далеч от математическото очакване. Сега направете луд експеримент - хвърлете кубчето 1000 пъти! И ако средното не е точно 3,5, тогава ще бъде близо до това.

Нека изчислим математическото очакване за описаната по-горе лотария. Таблицата ще изглежда така:

Тогава математическото очакване ще бъде, както установихме по-горе:

Друго нещо е, че също е "на пръсти", без формула, трудно би било, ако имаше повече опции. Е, да кажем, че имаше 75% губещи билети, 20% печеливши билети и 5% печеливши билети.

Сега някои свойства на математическото очакване.

Лесно е да се докаже:

Постоянният множител може да бъде изваден от знака за очакване, тоест:

Това е частен случай на свойството линейност на математическото очакване.

Друго следствие от линейността на математическото очакване:

т.е. математическото очакване на сумата от случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на случайните променливи.

Нека X, Y са независими случайни променливи, Тогава:

Това също е лесно за доказване) XYсама по себе си е случайна променлива, докато ако първоначалните стойности могат да приемат нИ мстойности, съответно тогава XYможе да приема nm стойности. Вероятността за всяка от стойностите се изчислява въз основа на факта, че вероятностите за независими събития се умножават. В резултат на това получаваме това:

Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива

Непрекъснатите случайни променливи имат такава характеристика като плътност на разпределение (плътност на вероятността). Това всъщност характеризира ситуацията, че случайна променлива приема някои стойности от набора от реални числа по-често, някои - по-рядко. Например, разгледайте тази диаграма:

Тук х- всъщност случайна променлива, f(x)- плътност на разпространение. Съдейки по тази графика, по време на експериментите стойността хчесто ще бъде число, близко до нула. шансове за надхвърляне 3 или да бъде по-малко -3 по-скоро чисто теоретично.

Нека, например, има равномерно разпределение:

Това е напълно съвместимо с интуитивното разбиране. Да кажем, че ако получим много произволни реални числа с равномерно разпределение, всеки от сегмента |0; 1| , тогава средноаритметичната стойност трябва да бъде около 0,5.

Свойствата на математическото очакване - линейност и др., приложими за дискретни случайни величини, са приложими и тук.

Връзката на математическото очакване с други статистически показатели

В статистическия анализ, наред с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, които отразяват хомогенността на явленията и стабилността на процесите. Често индикаторите за вариации нямат независимо значение и се използват за по-нататъшен анализ на данни. Изключение прави коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, което е ценна статистическа характеристика.

Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да се измери с помощта на няколко показателя.

Най-важният показател, характеризиращ променливостта на една случайна променлива е дисперсия, което е най-тясно и пряко свързано с математическото очакване. Този параметър се използва активно в други видове статистически анализи (проверка на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява степента, до която данните се разпространяват около средната стойност.

Полезно е езикът на знаците да се преведе на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният квадрат на отклоненията. Тоест първо се изчислява средната стойност, след което се взема разликата между всяка първоначална и средна стойност, повдига се на квадрат, сумира се и след това се разделя на броя на стойностите в тази популация. Разликата между индивидуалната стойност и средната стойност отразява мярката на отклонението. Поставя се на квадрат, за да се гарантира, че всички отклонения стават изключително положителни числа и да се избегне взаимното анулиране на положителните и отрицателните отклонения, когато се сумират. След това, като имаме квадратни отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметична стойност. Средно - квадрат - отклонения. Отклоненията се повдигат на квадрат и се взема предвид средната стойност. Отговорът на вълшебната дума "дисперсия" е само три думи.

Въпреки това, в чиста форма, като например средно аритметично или индекс, дисперсията не се използва. Това е по-скоро спомагателен и междинен показател, който се използва за други видове статистически анализи. Тя дори няма нормална мерна единица. Съдейки по формулата, това е квадратът на оригиналната единица данни.

Нека измерим една случайна променлива нпъти, например, измерваме скоростта на вятъра десет пъти и искаме да намерим средната стойност. Как е свързана средната стойност с функцията на разпределение?

Или ще хвърлим заровете голям брой пъти. Броят на точките, които ще паднат на зарчето по време на всяко хвърляне, е произволна променлива и може да приеме всякакви естествени стойности от 1 до 6. нклони към едно много конкретно число – математическото очакване Mx. В този случай Mx = 3,5.

Как се появи тази стойност? Нека влезе низпитания n1след като падне 1 точка, n2пъти - 2 точки и т.н. Тогава броят на резултатите, при които е паднала една точка:

По същия начин за резултатите, когато се паднаха 2, 3, 4, 5 и 6 точки.

Нека сега приемем, че знаем закона за разпределение на случайната променлива x, т.е. знаем, че случайната променлива x може да приема стойностите x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ... , пк.

Математическото очакване Mx на случайна променлива x е:

Математическото очакване не винаги е разумна оценка на някаква случайна променлива. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медианата, тоест такава стойност, че броят на хората, които получават по-малко от средната заплата и повече, е еднакъв.

Вероятността p1 случайната променлива x да е по-малка от x1/2 и вероятността p2 случайната променлива x да е по-голяма от x1/2 са еднакви и равни на 1/2. Медианата не е еднозначно определена за всички разпределения.

Стандартно или стандартно отклонениев статистиката се нарича степента на отклонение на данните от наблюденията или наборите от СРЕДНАТА стойност. Означава се с буквите s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните са групирани около средната стойност, а голямо стандартно отклонение показва, че първоначалните данни са далеч от нея. Стандартното отклонение е равно на корен квадратен от величина, наречена дисперсия. Това е средната стойност на сумата от квадратите на разликите на първоначалните данни, отклоняващи се от средната стойност. Стандартното отклонение на случайна променлива е корен квадратен от дисперсията:

Пример. При условия на изпитване, когато стреляте по мишена, изчислете дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива:

Вариация- колебание, променливост на стойността на признака в единици от съвкупността. Отделни числени стойности на характеристика, които се срещат в изследваната популация, се наричат ​​варианти на стойности. Недостатъчността на средната стойност за пълно характеризиране на популацията налага допълването на средните стойности с показатели, които позволяват да се оцени типичността на тези средни стойности чрез измерване на флуктуацията (вариацията) на изследваната черта. Коефициентът на вариация се изчислява по формулата:

Вариация на обхвата(R) е разликата между максималните и минималните стойности на признака в изследваната популация. Този показател дава най-обща представа за флуктуацията на изследваната черта, тъй като показва разликата само между екстремните стойности на вариантите. Зависимостта от екстремните стойности на атрибута придава на диапазона на вариация нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениее средноаритметичното на абсолютните (по модул) отклонения на всички стойности на анализираната популация от тяхната средна стойност:

Математическо очакване в теорията на хазарта

Математическото очакване есредната сума пари, която един комарджия може да спечели или загуби от даден залог. Това е много важна концепция за играча, защото е фундаментална за оценката на повечето игрови ситуации. Математическото очакване също е най-добрият инструмент за анализиране на основни оформления на карти и игрови ситуации.

Да речем, че играете монета с приятел, като правите равен залог от $1 всеки път, независимо какво се появи. Опашки - печелите, глави - губите. Шансовете да излезе опашки са едно към едно и вие залагате $1 към $1. Така вашето математическо очакване е нула, защото математически казано, не можете да знаете дали ще водите или ще загубите след две хвърляния или след 200.

Вашата почасова печалба е нула. Почасово изплащане е сумата пари, която очаквате да спечелите за един час. Можете да хвърлите монета 500 пъти в рамките на един час, но няма да спечелите или загубите, защото вашите шансове не са нито положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч, такава система за залагане не е лоша. Но това е само загуба на време.

Но да предположим, че някой иска да заложи $2 срещу вашия $1 в същата игра. След това веднага имате положително очакване от 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно печелите един залог и губите втория. Заложете първия долар и загубете $1, заложете втория и спечелете $2. Вие сте заложили $1 два пъти и сте напред с $1. Така че всеки от вашите залози от един долар ви е давал 50 цента.

Ако монетата падне 500 пъти за един час, вашата почасова печалба вече ще бъде $250, защото. средно сте загубили $1 250 пъти и сте спечелили $2 250 пъти. $500 минус $250 се равнява на $250, което е общата печалба. Имайте предвид, че очакваната стойност, която е сумата, която печелите средно от един залог, е 50 цента. Спечелихте $250, като заложихте долар 500 пъти, което се равнява на 50 цента от вашия залог.

Математическото очакване няма нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който е решил да заложи $2 срещу вас, може да ви победи при първите десет последователни хвърляния, но вие, с предимство при залагане 2 към 1, при равни други условия, правите 50 цента на всеки $1 залог при който и да е обстоятелства. Няма значение дали печелите или губите един залог или няколко залога, но само при условие, че имате достатъчно пари, за да компенсирате лесно разходите. Ако продължите да залагате по същия начин, тогава за дълъг период от време вашите печалби ще достигнат сумата от очакваните стойности в отделните хвърляния.

Всеки път, когато направите по-добър залог (залог, който може да бъде печеливш в дългосрочен план), когато шансовете са във ваша полза, вие сте длъжни да спечелите нещо от него, независимо дали го губите или не в дадена ръка. Обратно, ако сте направили залог с по-лош резултат (залог, който е неизгоден в дългосрочен план), когато шансовете не са във ваша полза, вие губите нещо, независимо дали сте спечелили или загубили в тази ръка.

Вие залагате с най-добър резултат, ако очакванията ви са положителни, а той е положителен, ако шансовете са във ваша полза. Като залагате с най-лош резултат, вие имате отрицателно очакване, което се случва, когато шансовете са срещу вас. Сериозните играчи залагат само при най-добрия резултат, при най-лошия - фолдват. Какво означава шансовете във ваша полза? В крайна сметка може да спечелите повече от действителните коефициенти. Реалните шансове за удряне на опашки са 1 към 1, но вие получавате 2 към 1 поради съотношението на залагане. В този случай шансовете са във ваша полза. Определено получавате най-добрия резултат с положително очакване от 50 цента на залог.

Ето един по-сложен пример за математическо очакване. Приятелят записва числата от едно до пет и залага $5 срещу вашия $1, че няма да изберете числото. Съгласни ли сте на такъв залог? Какво е очакването тук?

Средно ще сгрешите четири пъти. Въз основа на това, шансовете срещу вас да познаете числото ще бъдат 4 към 1. Шансовете са, че ще загубите долар с един опит. Вие обаче печелите 5 към 1, с възможност да загубите 4 към 1. Следователно коефициентите са във ваша полза, можете да приемете залога и да се надявате на най-добрия изход. Ако направите този залог пет пъти, средно ще загубите четири пъти по $1 и ще спечелите $5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита ще спечелите $1 с положително математическо очакване от 20 цента на залог.

Играч, който ще спечели повече, отколкото е заложил, както в примера по-горе, хваща шансовете. Обратно, той проваля шансовете, когато очаква да спечели по-малко, отколкото залага. Залагащият може да има положително или отрицателно очакване в зависимост от това дали хваща или разваля шансовете.

Ако заложите $50, за да спечелите $10 с шанс 4 към 1 за печалба, ще получите отрицателно очакване от $2, т.к. средно ще спечелите четири пъти по $10 и ще загубите $50 веднъж, което показва, че загубата на залог ще бъде $10. Но ако заложите $30, за да спечелите $10, със същите шансове за победа 4 към 1, тогава в този случай имате положително очакване от $2, т.к. отново печелите четири пъти по $10 и губите $30 веднъж, за печалба от $10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

Математическото очакване е в центъра на всяка игрова ситуация. Когато букмейкър насърчава футболните фенове да залагат $11, за да спечелят $10, те имат положително очакване от 50 цента за всеки $10. Ако казиното изплаща дори пари от линията за Craps pass, тогава положителното очакване на къщата е приблизително $1,40 за всеки $100; тази игра е структурирана така, че всеки, който залага на тази линия, губи средно 50,7% и печели в 49,3% от времето. Несъмнено това привидно минимално положително очакване носи огромни печалби на собствениците на казина по света. Както отбеляза собственикът на казино Vegas World Боб Ступак, „Една хилядна от процента отрицателна вероятност на достатъчно голямо разстояние ще фалира най-богатия човек в света.“

Математическо очакване при игра на покер

Играта на покер е най-показателният и илюстративен пример по отношение на използването на теорията и свойствата на математическото очакване.

Очакваната стойност в покера е средната полза от конкретно решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията за големите числа и голямото разстояние. Успешният покер означава винаги да се приемат ходове с положително математическо очакване.

Математическото значение на математическото очакване при игра на покер се крие във факта, че често срещаме случайни променливи, когато вземаме решение (не знаем кои карти има опонентът в ръката си, кои карти ще дойдат в следващите рундове на залагане). Трябва да разгледаме всяко от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която казва, че при достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще клони към нейното математическо очакване.

Сред конкретните формули за изчисляване на математическото очакване, следната е най-приложима в покера:

Когато играете покер, математическото очакване може да се изчисли както за залози, така и за плащания. В първия случай трябва да се вземе предвид фолд еквилитът, а във втория - собствените шансове на пота. Когато се оценява математическото очакване на конкретен ход, трябва да се помни, че фолдът винаги има нулево математическо очакване. По този начин изхвърлянето на карти винаги ще бъде по-изгодно решение от всяко отрицателно движение.

Очакванията ви казват какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар, който рискувате. Казината правят пари, защото математическото очакване на всички игри, които се практикуват в тях, е в полза на казиното. При достатъчно дълга поредица от игри може да се очаква, че клиентът ще загуби парите си, тъй като „вероятността“ е в полза на казиното. Професионалните казино играчи обаче ограничават игрите си до кратки периоди от време, като по този начин увеличават коефициентите в своя полза. Същото важи и за инвестирането. Ако очакванията ви са положителни, можете да спечелите повече пари, като направите много сделки за кратък период от време. Очакването е вашият процент печалба на печалба, умножен по средната ви печалба минус вероятността от загуба, умножена по средната ви загуба.

Покерът може да се разглежда и от гледна точка на математическото очакване. Можете да приемете, че определен ход е печеливш, но в някои случаи може да не е най-добрият, защото друг ход е по-печеливш. Да приемем, че сте ударили фул хаус в покер с пет карти. Вашият опонент залага. Знаеш, че ако вдигнеш анте, той ще плати. Така че рейзът изглежда най-добрата тактика. Но ако рейзнете, останалите двама играчи със сигурност ще фолднат. Но ако платите залога, ще сте напълно сигурни, че другите двама играчи след вас ще направят същото. Когато увеличите залога, получавате една единица и просто като платите, получавате две. Така колването ви дава по-висока положителна очаквана стойност и е най-добрата тактика.

Математическото очакване също може да даде представа кои покер тактики са по-малко печеливши и кои са по-печеливши. Например, ако играете определена ръка и смятате, че средната ви загуба е 75 цента, включително антетата, тогава трябва да играете тази ръка, защото това е по-добре от фолдване, когато антето е $1.

Друга важна причина за разбирането на очакваната стойност е, че ви дава чувство на спокойствие, независимо дали печелите залог или не: ако направите добър залог или преминете навреме, ще знаете, че сте направили или спестили определено количество пари, които по-слаб играч не би могъл да спести. Много по-трудно е да фолднете, ако сте разочаровани, че опонентът ви има по-добра ръка при дроу. Въпреки това, парите, които спестявате, като не играете, вместо да залагате, се добавят към вашите овърнайт или месечни печалби.

Само не забравяйте, че ако си смените ръцете, опонентът ви ще плати и както ще видите в статията за фундаменталната теорема на покера, това е само едно от вашите предимства. Трябва да се радвате, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на загубата на ръка, защото знаете, че други играчи на ваше място биха загубили много повече.

Както беше обсъдено в примера с играта с монети в началото, почасовата норма на възвръщаемост е свързана с математическото очакване и тази концепция е особено важна за професионалните играчи. Когато ще играете покер, трябва да прецените наум колко можете да спечелите за един час игра. В повечето случаи ще трябва да разчитате на интуицията и опита си, но можете да използвате и някои математически изчисления. Например, ако играете дроу лоубол и видите трима играчи да залагат $10 и след това да теглят две карти, което е много лоша тактика, можете сами да изчислите, че всеки път, когато залагат $10, те губят около $2. Всеки от тях прави това осем пъти на час, което означава, че и тримата губят около $48 на час. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, така че тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да си поделят $48 и всеки ще реализира печалба от $12 на час. Вашата почасова ставка в този случай е просто вашият дял от сумата пари, загубена от трима лоши играчи на час.

За дълъг период от време общите печалби на играча са сумата от неговите математически очаквания в отделни разпределения. Колкото повече играете с положително очакване, толкова повече печелите и обратно, колкото повече ръце играете с отрицателно очакване, толкова повече губите. В резултат на това трябва да дадете приоритет на игра, която може да увеличи максимално положителните ви очаквания или да отхвърли отрицателните ви очаквания, така че да можете да увеличите максимално почасовата си печалба.

Положително математическо очакване в стратегията на играта

Ако знаете как да броите карти, може да имате предимство пред казиното, ако не забележат и ви изгонят. Казината обичат пияните комарджии и не понасят броенето на карти. Предимството ще ви позволи да печелите повече пъти, отколкото губите с течение на времето. Доброто управление на парите, използвайки изчисления на очакванията, може да ви помогне да капитализирате предимството си и да намалите загубите си. Без предимство е по-добре да дадете парите за благотворителност. В играта на фондовата борса предимство дава системата на играта, която създава повече печалба, отколкото загуби, ценови разлики и комисионни. Никакво управление на парите няма да спаси лоша игрална система.

Положителното очакване се определя от стойност, по-голяма от нула. Колкото по-голямо е това число, толкова по-силно е статистическото очакване. Ако стойността е по-малка от нула, тогава математическото очакване също ще бъде отрицателно. Колкото по-голям е модулът на отрицателна стойност, толкова по-лоша е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава очакването е безпроблемно. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване, разумна система на игра. Играта с интуицията води до катастрофа.

Математическо очакване и борсова търговия

Математическото очакване е доста широко търсен и популярен статистически индикатор в борсовата търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се досетите, че колкото по-голяма е тази стойност, толкова по-голяма е причината да се смята, че търговията, която се изучава, е успешна. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да се извърши само с помощта на този параметър. Въпреки това, изчислената стойност, в комбинация с други методи за оценка на качеството на работа, може значително да повиши точността на анализа.

Математическото очакване често се изчислява в услугите за наблюдение на сметки за търговия, което ви позволява бързо да оцените извършената работа по депозита. Като изключения можем да цитираме стратегии, които използват „престой“ на губещи сделки. Търговецът може да има късмет за известно време и следователно в работата му може да няма никакви загуби. В този случай няма да е възможно да се ориентирате само според очакванията, тъй като рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети под внимание.

При търговията на пазара математическото очакване се използва най-често, когато се прогнозира доходността на търговска стратегия или когато се прогнозира доходът на търговеца въз основа на статистиката от неговите предишни сделки.

По отношение на управлението на парите е много важно да се разбере, че когато се правят сделки с отрицателни очаквания, няма схема за управление на парите, която определено може да донесе високи печалби. Ако продължите да играете на борсата при тези условия, тогава независимо от това как управлявате парите си, ще загубите цялата си сметка, без значение колко голяма е била в началото.

Тази аксиома е вярна не само за игри или сделки с отрицателни очаквания, но и за игри с равни шансове. Следователно единственият случай, в който имате шанс да се възползвате в дългосрочен план, е когато сключвате сделки с положително математическо очакване.

Разликата между негативните очаквания и позитивните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положително или колко отрицателно е очакването; важното е дали е положителен или отрицателен. Следователно, преди да обмислите управление на парите, трябва да намерите игра с положително очакване.

Ако нямате тази игра, тогава никакво управление на парите в света няма да ви спаси. От друга страна, ако имате положително очакване, тогава е възможно чрез правилно управление на парите да го превърнете във функция на експоненциален растеж. Няма значение колко малко е положителното очакване! С други думи, няма значение колко печеливша е системата за търговия, базирана на един договор. Ако имате система, която печели $10 на договор за една сделка (след такси и пропускане), можете да използвате техники за управление на парите, за да я направите по-печеливша от система, която показва средна печалба от $1000 на сделка (след приспадане на комисионни и приплъзване).

Важното е не колко печеливша е била системата, а колко сигурно може да се каже, че системата ще покаже поне минимална печалба в бъдеще. Следователно най-важната подготовка, която търговецът може да направи, е да се увери, че системата показва положителна очаквана стойност в бъдеще.

За да имате положителна очаквана стойност в бъдеще, е много важно да не ограничавате степените на свобода на вашата система. Това се постига не само чрез елиминиране или намаляване на броя на параметрите, които трябва да се оптимизират, но и чрез намаляване на възможно най-много системни правила. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свобода. В идеалния случай искате да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще носи малка печалба на почти всеки пазар. Отново, важно е да разберете, че няма значение колко печеливша е една система, стига да е печеливша. Парите, които печелите в търговията, ще бъдат спечелени чрез ефективно управление на парите.

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положително математическо очакване, така че да може да се използва управлението на парите. Системи, които работят (показват поне минимална печалба) само на един или няколко пазара или имат различни правила или параметри за различните пазари, най-вероятно няма да работят в реално време за дълго време. Проблемът с повечето технически ориентирани търговци е, че те отделят твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и параметри на търговската система. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да губите енергия и компютърно време за увеличаване на печалбите на системата за търговия, насочете енергията си към повишаване на нивото на надеждност за получаване на минимална печалба.

Знаейки, че управлението на парите е просто игра с числа, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре да търси „свещения граал“ на борсовата търговия. Вместо това той може да започне да тества своя метод на търговия, да разбере доколко този метод е логически издържан, дали дава положителни очаквания. Правилните методи за управление на парите, приложени към всякакви, дори много посредствени методи за търговия, ще свършат останалата работа.

Всеки търговец за успех в работата си трябва да реши три най-важни задачи: . Да се ​​гарантира, че броят на успешните транзакции надвишава неизбежните грешки и грешни изчисления; Настройте вашата търговска система така, че възможността да печелите пари да е възможно най-често; Постигнете стабилен положителен резултат от дейността си.

И тук за нас, работещите търговци, математическото очакване може да ни помогне добре. Този термин в теорията на вероятностите е един от ключовите. С него можете да дадете средна оценка на някаква произволна стойност. Математическото очакване на случайна променлива е като центъра на тежестта, ако си представим всички възможни вероятности като точки с различни маси.

Във връзка със стратегията за търговия, за да се оцени нейната ефективност, най-често се използва математическото очакване на печалба (или загуба). Този параметър се определя като сумата от продуктите на дадени нива на печалба и загуба и вероятността за тяхното възникване. Например, разработената стратегия за търговия предполага, че 37% от всички операции ще донесат печалба, а останалата част - 63% - ще бъдат нерентабилни. В същото време средният доход от успешна транзакция ще бъде $7, а средната загуба ще бъде $1,4. Нека изчислим математическото очакване на търговията, използвайки следната система:

Какво означава това число? Там се казва, че следвайки правилата на тази система, средно ще получим 1,708 долара от всяка затворена транзакция. Тъй като получената оценка за ефективност е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване се окаже отрицателно, тогава това вече означава средна загуба и такава търговия ще доведе до крах.

Размерът на печалбата на сделка може също да бъде изразен като относителна стойност под формата на%. Например:

– процент доход от 1 сделка - 5%;

– процент на успешни търговски операции - 62%;

– процент на загуба на 1 сделка - 3%;

- процент на неуспешни сделки - 38%;

Тоест средната сделка ще донесе 1,96%.

Възможно е да се разработи система, която въпреки преобладаването на губещите сделки ще даде положителен резултат, тъй като нейният MO>0.

Самото чакане обаче не е достатъчно. Трудно е да се правят пари, ако системата дава много малко сигнали за търговия. В този случай неговата доходност ще бъде сравнима с банковата лихва. Нека всяка операция носи средно само 0,5 долара, но какво ще стане, ако системата предполага 1000 транзакции на година? Това ще бъде много сериозна сума за относително кратко време. От това логично следва, че друг отличителен белег на добрата система за търговия може да се счита за кратък период на държане.

Източници и връзки

dic.academic.ru - академичен онлайн речник

mathematics.ru - образователен сайт по математика

nsu.ru – образователен уебсайт на Новосибирския държавен университет

webmath.ru е образователен портал за студенти, кандидати и ученици.

exponenta.ru образователен математически уебсайт

ru.tradimo.com - безплатно училище за онлайн търговия

crypto.hut2.ru - мултидисциплинарен информационен ресурс

poker-wiki.ru - безплатна енциклопедия на покера

sernam.ru - Научна библиотека с избрани природонаучни издания

reshim.su - уебсайт SOLVE задачи контрол курсова работа

unfx.ru – Forex на UNFX: обучение, сигнали за търговия, доверително управление

slovopedia.com - Голям енциклопедичен речник

pokermansion.3dn.ru - Вашият пътеводител в света на покера

statanaliz.info - информационен блог "Анализ на статистически данни"

forex-trader.rf - портал Forex-Trader

megafx.ru - актуални Форекс анализи

fx-by.com - всичко за един търговец

Теорията на вероятностите е специален клон на математиката, който се изучава само от студенти от висши учебни заведения. Обичате ли изчисления и формули? Не се ли страхувате от перспективите за запознаване с нормалното разпределение, ентропията на ансамбъла, математическото очакване и дисперсията на дискретна случайна променлива? Тогава тази тема ще бъде от голям интерес за вас. Нека се запознаем с някои от най-важните основни понятия на този раздел от науката.

Нека си припомним основите

Дори ако си спомняте най-простите концепции на теорията на вероятностите, не пренебрегвайте първите параграфи на статията. Факт е, че без ясно разбиране на основите, няма да можете да работите с формулите, разгледани по-долу.

И така, има някакво случайно събитие, някакъв експеримент. В резултат на извършените действия можем да получим няколко резултата – някои от тях са по-чести, други по-рядко срещани. Вероятността за събитие е съотношението на броя на действително получените резултати от един вид към общия брой възможни. Само като знаете класическата дефиниция на това понятие, можете да започнете да изучавате математическото очакване и дисперсията на непрекъснати случайни променливи.

Средно аритметично

Още в училище, в уроците по математика, сте започнали да работите със средно аритметично. Тази концепция се използва широко в теорията на вероятностите и следователно не може да бъде пренебрегната. Основното за нас в момента е, че ще го срещнем във формулите за математическото очакване и дисперсията на случайна величина.

Имаме поредица от числа и искаме да намерим средното аритметично. Всичко, което се изисква от нас, е да сумираме всичко налично и да разделим на броя на елементите в редицата. Нека имаме числа от 1 до 9. Сумата на елементите ще бъде 45 и ще разделим тази стойност на 9. Отговор: - 5.

дисперсия

От научна гледна точка дисперсията е средният квадрат на отклоненията на получените стойности на характеристиките от средната аритметична стойност. Единият се обозначава с главна латинска буква D. Какво е необходимо за изчисляването му? За всеки елемент от редицата изчисляваме разликата между наличното число и средното аритметично и го повдигаме на квадрат. Ще има точно толкова стойности, колкото могат да бъдат резултатите за събитието, което обмисляме. След това обобщаваме всичко получено и разделяме на броя на елементите в последователността. Ако имаме пет възможни резултата, тогава разделете на пет.

Дисперсията също има свойства, които трябва да запомните, за да я приложите при решаване на задачи. Например, ако случайната променлива се увеличи с X пъти, дисперсията се увеличава с X пъти квадрата (т.е. X*X). Той никога не е по-малък от нула и не зависи от изместване на стойности с еднаква стойност нагоре или надолу. Освен това, за независими опити, дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите.

Сега определено трябва да разгледаме примери за дисперсията на дискретна случайна променлива и математическото очакване.

Да кажем, че провеждаме 21 експеримента и получаваме 7 различни резултата. Наблюдавахме всеки от тях съответно 1,2,2,3,4,4 и 5 пъти. Каква ще бъде дисперсията?

Първо изчисляваме средното аритметично: сборът на елементите, разбира се, е 21. Разделяме го на 7, получавайки 3. Сега изваждаме 3 от всяко число в оригиналната последователност, поставяме на квадрат всяка стойност и събираме резултатите заедно . Оказва се 12. Сега остава да разделим числото на броя на елементите и, изглежда, това е всичко. Но има една уловка! Нека го обсъдим.

Зависимост от броя на експериментите

Оказва се, че при изчисляване на дисперсията знаменателят може да бъде едно от две числа: N или N-1. Тук N е броят на извършените експерименти или броят на елементите в последователността (което по същество е едно и също нещо). От какво зависи?

Ако броят на тестовете се измерва в стотици, тогава в знаменателя трябва да поставим N. Ако в единици, тогава N-1. Учените решиха да начертаят границата съвсем символично: днес тя минава по числото 30. Ако сме провели по-малко от 30 експеримента, тогава ще разделим количеството на N-1, а ако е повече, тогава на N.

Задача

Нека се върнем към нашия пример за решаване на проблема с дисперсията и очакването. Получихме междинно число 12, което трябваше да бъде разделено на N или N-1. Тъй като проведохме 21 експеримента, което е по-малко от 30, ще изберем втория вариант. Така че отговорът е: дисперсията е 12/2 = 2.

Очаквана стойност

Нека да преминем към втората концепция, която трябва да разгледаме в тази статия. Математическото очакване е резултат от събиране на всички възможни резултати, умножени по съответните вероятности. Важно е да се разбере, че получената стойност, както и резултатът от изчисляването на дисперсията, се получават само веднъж за цялата задача, без значение колко резултата разглежда.

Формулата за математическо очакване е доста проста: вземаме резултата, умножаваме го по неговата вероятност, добавяме същото за втория, третия резултат и т.н. Всичко, свързано с тази концепция, е лесно за изчисляване. Например сумата от математическите очаквания е равна на математическото очакване на сумата. Същото важи и за работата. Не всяка величина в теорията на вероятностите позволява извършването на такива прости операции. Нека вземем една задача и изчислим стойността на две понятия, които сме изучавали едновременно. Освен това бяхме разсеяни от теория - време е за практика.

Още един пример

Проведохме 50 опита и получихме 10 вида резултати - числа от 0 до 9 - появяващи се в различни проценти. Това са съответно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Припомнете си, че за да получите вероятностите, трябва да разделите процентните стойности на 100. Така получаваме 0,02; 0,1 и т.н. Нека представим пример за решаване на задачата за дисперсията на случайна променлива и математическото очакване.

Изчисляваме средното аритметично по формулата, която помним от началното училище: 50/10 = 5.

Сега нека преведем вероятностите в броя на резултатите "на парчета", за да направим по-удобно броенето. Получаваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. От всяка получена стойност изваждаме средноаритметичното, след което всеки от получените резултати повдигаме на квадрат. Вижте как да направите това с първия елемент като пример: 1 - 5 = (-4). Освен това: (-4) * (-4) = 16. За други стойности направете тези операции сами. Ако сте направили всичко правилно, след като добавите всичко, получавате 90.

Нека продължим да изчисляваме дисперсията и средната стойност, като разделим 90 на N. Защо избираме N, а не N-1? Точно така, защото броят на извършените експерименти надхвърля 30. И така: 90/10 = 9. Получихме дисперсията. Ако получите различен номер, не се отчайвайте. Най-вероятно сте направили банална грешка в изчисленията. Проверете отново какво сте написали и със сигурност всичко ще си дойде на мястото.

И накрая, нека си припомним формулата за математическо очакване. Няма да даваме всички изчисления, а само ще напишем отговора, с който можете да проверите, след като изпълните всички необходими процедури. Очакваната стойност ще бъде 5,48. Припомняме само как да извършваме операции, като използваме примера на първите елементи: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... и така нататък. Както можете да видите, ние просто умножаваме стойността на резултата по неговата вероятност.

отклонение

Друга концепция, тясно свързана с дисперсията и математическото очакване, е стандартното отклонение. Обозначава се или с латинските букви sd, или с гръцката малка буква "сигма". Тази концепция показва как средно стойностите се отклоняват от централната характеристика. За да намерите стойността му, трябва да изчислите корен квадратен от дисперсията.

Ако начертаете нормално разпределение и искате да видите отклонението на квадрат директно върху него, това може да стане на няколко стъпки. Вземете половината от изображението отляво или отдясно на режима (централна стойност), начертайте перпендикуляр на хоризонталната ос, така че площите на получените фигури да са равни. Стойността на сегмента между средата на разпределението и получената проекция върху хоризонталната ос ще бъде стандартното отклонение.

Софтуер

Както се вижда от описанията на формулите и представените примери, изчисляването на дисперсията и математическото очакване не е най-лесната процедура от аритметична гледна точка. За да не губите време, има смисъл да използвате програмата, използвана във висшето образование - тя се нарича "R". Той има функции, които ви позволяват да изчислявате стойности за много понятия от статистиката и теорията на вероятностите.

Например дефинирате вектор от стойности. Това става по следния начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Накрая

Дисперсията и математическото очакване са тези, без които е трудно да се изчисли нещо в бъдещето. В основния курс на лекциите в университетите те се разглеждат още в първите месеци на изучаване на предмета. Именно поради неразбирането на тези прости понятия и невъзможността да ги изчислят, много студенти веднага започват да изостават в програмата и по-късно получават слаби оценки в края на сесията, което ги лишава от стипендии.

Практикувайте поне една седмица по половин час на ден, като решавате задачи, подобни на представените в тази статия. След това, на всеки тест по теория на вероятностите, ще се справите с примери без странични съвети и измамни листове.

Характеристики на DSW и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, стандартно отклонение

Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпределение или това не се изисква, човек може да се ограничи до намирането на стойности, наречени числени характеристики на случайна променлива. Тези величини определят някаква средна стойност, около която се групират стойностите на случайна променлива, и степента на тяхната дисперсия около тази средна стойност.

математическо очакванеДискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички възможни стойности на случайна променлива и техните вероятности.

Математическото очакване съществува, ако редицата от дясната страна на равенството се сближава абсолютно.

От гледна точка на вероятността можем да кажем, че математическото очакване е приблизително равно на средната аритметична стойност на наблюдаваните стойности на случайната променлива.

Пример. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е известен. Намерете математическото очакване.

х
стр	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение:

9.2 Свойства на очакванията

1. Математическото очакване на константна стойност е равно на самата константа.

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака за очакване.

3. Математическото очакване на произведението на две независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.

4. Математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от математическите очаквания на членовете.

Това свойство е вярно и за произволен брой случайни променливи.

Нека се извършат n независими опита, вероятността за настъпване на събитие А, в които е равна на p.

Теорема.Математическото очакване M(X) на броя на случванията на събитие А в n независими опити е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитието във всеки опит.

Пример. Намерете математическото очакване на случайна променлива Z, ако са известни математическите очаквания на X и Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.

Решение:

9.3 Дисперсия на дискретна случайна променлива

Математическото очакване обаче не може напълно да характеризира случаен процес. В допълнение към математическото очакване е необходимо да се въведе стойност, която характеризира отклонението на стойностите на случайната променлива от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между случайната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото очакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на взаимното им премахване се получава нула.

Дисперсия (разпръскване)Дискретна случайна променлива се нарича математическото очакване на квадрата на отклонението на случайната променлива от нейното математическо очакване.

На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, т.к води до тромави изчисления за голям брой стойности на случайна променлива.

Затова се използва друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на случайната променлива X и квадрата на нейното математическо очакване.

Доказателство. Като вземем предвид факта, че математическото очакване M (X) и квадратът на математическото очакване M 2 (X) са постоянни стойности, можем да запишем:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна случайна променлива, дадена от закона за разпределение.

х
X 2
Р	0.2	0.3	0.1	0.4

Решение: .

9.4 Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат. .

3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

4. Дисперсията на разликата на две независими случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на тези променливи. .

Теорема. Дисперсията на броя на случванията на събитие А в n независими опита, при всяко от които вероятността p за възникване на събитието е постоянна, е равна на произведението на броя опити и вероятността за възникване и невъзникване на събитието във всеки процес.

9.5 Стандартно отклонение на дискретна случайна променлива

Стандартно отклонениеслучайната променлива X се нарича корен квадратен от дисперсията.

Теорема. Стандартното отклонение на сумата от краен брой взаимно независими случайни променливи е равно на корен квадратен от сумата на квадратните стандартни отклонения на тези променливи.

Математическото очакване (средна стойност) на случайна променлива X, дадена в дискретно вероятностно пространство, е числото m =M[X]=∑x i p i , ако редицата се сближава абсолютно.

Сервизно задание. С онлайн услуга изчисляват се математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение(вижте примера). Освен това се начертава графика на функцията на разпределение F(X).

Свойства на математическото очакване на случайна величина

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на себе си: M[C]=C , C е константа;
2. M=C M[X]
3. Математическото очакване на сумата от случайните променливи е равно на сумата от техните математически очаквания: M=M[X]+M[Y]
4. Математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания: M=M[X] M[Y], ако X и Y са независими.

Свойства на дисперсия

1. Дисперсията на постоянна стойност е равна на нула: D(c)=0.
2. Константният фактор може да бъде изваден от под знака на дисперсията, като го повдигнете на квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Ако случайните променливи X и Y са независими, тогава дисперсията на сумата е равна на сумата от дисперсиите: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Ако случайните променливи X и Y са зависими: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. За дисперсията е валидна изчислителната формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример. Известни са математическите очаквания и дисперсиите на две независими случайни променливи X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Намерете математическото очакване и дисперсията на случайната променлива Z=9X-8Y+7.
Решение. Въз основа на свойствата на математическото очакване: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Въз основа на дисперсионните свойства: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритъм за изчисляване на математическото очакване

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат преномерирани с естествени числа; Присвоете на всяка стойност ненулева вероятност.

1. Умножете двойките една по една: x i по p i .
2. Добавяме произведението на всяка двойка x i p i.
   Например за n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция на разпределение на дискретна случайна променливастъпаловидно, той се увеличава рязко в онези точки, чиито вероятности са положителни.

Пример #1.

x i	1	3	4	7	9
пи	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическото очакване се намира по формулата m = ∑x i p i .
Математическо очакване M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Дисперсията се намира по формулата d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Стандартно отклонение σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7,69) = 2,78

Пример #2. Дискретна случайна променлива има следната серия на разпределение:

х	-10	-5	0	5	10
Р	А	0,32	2а	0,41	0,03

Намерете стойността a, математическото очакване и стандартното отклонение на тази случайна променлива.

Решение. Стойността a се намира от връзката: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 или 0,24=3 a , откъдето a = 0,08

Пример #3. Определете закона за разпределение на дискретна случайна променлива, ако нейната дисперсия е известна и x 1 х 1 =6; х2=9; х3=х; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Решение.
Тук трябва да направите формула за намиране на дисперсията d (x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
където очакване m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
За нашите данни
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Съответно е необходимо да се намерят корените на уравнението и ще има две от тях.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Избираме този, който отговаря на условието x 1 х3=12

Закон за разпределение на дискретна случайна величина
х 1 =6; х2=9; x 3 \u003d 12; х4=15
р 1 =0.3; р2=0,3; р3=0.1; p 4 \u003d 0,3

В предишния дадохме редица формули, които ни позволяват да намерим числените характеристики на функциите, когато са известни законите за разпределение на аргументите. Въпреки това, в много случаи, за да се намерят числените характеристики на функциите, дори не е необходимо да се знаят законите за разпределение на аргументите, а е достатъчно да се знаят само някои от техните числени характеристики; в този случай се справяме без никакви закони за разпределение. Определянето на числените характеристики на функциите чрез дадени числени характеристики на аргументите се използва широко в теорията на вероятностите и позволява значително да се опрости решаването на редица проблеми. В по-голямата си част такива опростени методи се отнасят до линейни функции; обаче, някои елементарни нелинейни функции също позволяват този подход.

В настоящето представяме редица теореми за числените характеристики на функциите, които в своята съвкупност представляват много прост апарат за изчисляване на тези характеристики, приложим в широк диапазон от условия.

1. Математическо очакване на неслучайна променлива

Посоченото свойство е доста очевидно; може да се докаже чрез разглеждане на неслучайна променлива като определен тип случайна променлива, с една възможна стойност с вероятност една; тогава според общата формула за математическото очакване:

.

2. Дисперсия на неслучайна променлива

Ако е неслучайна стойност, тогава

3. Премахване на неслучайна величина отвъд знака на математическото очакване

, (10.2.1)

т.е. неслучайна стойност може да бъде извадена от знака за очакване.

Доказателство.

а) За прекъснати количества

b) За непрекъснати количества

.

4. Премахване на неслучайна стойност за знака на дисперсията и стандартното отклонение

Ако е неслучайна променлива и е случайна, тогава

, (10.2.2)

т.е. неслучайна стойност може да бъде извадена от знака на дисперсията чрез повдигането й на квадрат.

Доказателство. По дефиниция на дисперсията

Последица

,

т.е. неслучайна стойност може да бъде извадена от знака на стандартното отклонение чрез нейната абсолютна стойност. Получаваме доказателството, като извличаме корен квадратен от формулата (10.2.2) и вземаме предвид, че r.s.c. е по същество положителна стойност.

5. Математическо очакване на сумата от случайни величини

Нека докажем, че за всеки две случайни променливи и

т.е. математическото очакване на сумата от две случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

Това свойство е известно като теорема за добавяне на очаквания.

Доказателство.

а) Нека е система от прекъснати случайни променливи. Нека приложим към сумата от случайни променливи общата формула (10.1.6) за математическото очакване на функция от два аргумента:

.

Ho не е нищо повече от общата вероятност стойността да приеме стойността:

;

следователно,

.

По подобен начин ще докажем това

,

и теоремата е доказана.

б) Нека е система от непрекъснати случайни променливи. Съгласно формулата (10.1.7)

. (10.2.4)

Преобразуваме първия от интегралите (10.2.4):

;

по същия начин

,

и теоремата е доказана.

Трябва специално да се отбележи, че теоремата за събиране на математическите очаквания е валидна за всякакви случайни променливи - както зависими, така и независими.

Теоремата за добавяне на очакванията може да се обобщи до произволен брой членове:

, (10.2.5)

т.е. математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания.

За да го докажем, е достатъчно да приложим метода на пълната индукция.

6. Математическо очакване на линейна функция

Помислете за линейна функция от няколко произволни аргумента:

където са неслучайни коефициенти. Нека докажем това

, (10.2.6)

т.е. средната стойност на линейна функция е равна на същата линейна функция на средната стойност на аргументите.

Доказателство. Използвайки теоремата за добавяне m.o. и правилото за изваждане на неслучайна променлива от знака на m. o., получаваме:

.

7. Диспептази сума от случайни променливи

Дисперсията на сумата от две случайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии плюс два пъти корелационния момент:

Доказателство. Обозначете

Според теоремата за събиране на математическите очаквания

Нека да преминем от случайни променливи към съответните центрирани променливи. Изваждайки член по член от равенство (10.2.8) равенство (10.2.9), имаме:

По дефиниция на дисперсията

Q.E.D.

Формула (10.2.7) за дисперсията на сумата може да се обобщи за произволен брой членове:

, (10.2.10)

където е моментът на корелация на стойностите, знакът под сумата означава, че сумирането се прилага за всички възможни комбинации по двойки от случайни променливи .

Доказателството е подобно на предишното и следва от формулата за квадрат на многочлен.

Формула (10.2.10) може да бъде написана в друга форма:

, (10.2.11)

където двойната сума се простира върху всички елементи на корелационната матрица на системата от количества , съдържащ както корелационни моменти, така и дисперсии.

Ако всички случайни променливи , включени в системата, са некорелирани (т.е. при ), формула (10.2.10) приема формата:

, (10.2.12)

т.е. дисперсията на сумата от некорелирани случайни променливи е равна на сумата от дисперсиите на членовете.

Това твърдение е известно като теорема за добавяне на дисперсии.

8. Дисперсия на линейна функция

Да разгледаме линейна функция на няколко случайни променливи.

където са неслучайни променливи.

Нека докажем, че дисперсията на тази линейна функция се изразява с формулата

, (10.2.13)

където е корелационният момент на величините , .

Доказателство. Нека въведем обозначението:

. (10.2.14)

Прилагайки формула (10.2.10) за дисперсията на сумата към дясната страна на израза (10.2.14) и като вземем предвид, че , получаваме:

където е корелационният момент на количествата:

.

Нека изчислим този момент. Ние имаме:

;

по същия начин

Замествайки този израз в (10.2.15), стигаме до формула (10.2.13).

В конкретния случай, когато всички количества некорелирана, формула (10.2.13) приема формата:

, (10.2.16)

т.е. дисперсията на линейна функция на некорелирани случайни променливи е равна на сумата от произведенията на квадратите на коефициентите и дисперсиите на съответните аргументи.

9. Математическо очакване на произведението на случайни величини

Математическото очакване на произведението на две случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания плюс корелационния момент:

Доказателство. Ще продължим от дефиницията на корелационния момент:

Трансформираме този израз, използвайки свойствата на математическото очакване:

което очевидно е еквивалентно на формула (10.2.17).

Ако случайните променливи не са корелирани, тогава формулата (10.2.17) приема формата:

т.е. средната стойност на произведението на две некорелирани случайни променливи е равна на произведението на тяхната средна стойност.

Това твърдение е известно като теорема за умножение на очакванията.

Формула (10.2.17) не е нищо повече от израз на втория смесен централен момент на системата по отношение на втория смесен начален момент и математически очаквания:

. (10.2.19)

Този израз често се използва на практика при изчисляване на корелационния момент по същия начин, по който за една случайна променлива дисперсията често се изчислява чрез втория начален момент и математическото очакване.

Теоремата за умножение на очакванията може също да се обобщи до произволен брой фактори, само че в този случай за нейното приложение не е достатъчно, че количествата са некорелирани, но се изисква някои по-високи смесени моменти също да изчезнат, чийто брой зависи от броя на термините в продукта. Тези условия със сигурност са изпълнени, ако случайните променливи, включени в продукта, са независими. В такъв случай

, (10.2.20)

т.е. математическото очакване на произведението на независими случайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания.

Това твърдение може лесно да се докаже чрез пълна индукция.

10. Дисперсия на произведението на независими случайни променливи

Нека докажем това за независими величини

Доказателство. Нека обозначим . По дефиниция на дисперсията

Тъй като количествата са независими и

За независимите количествата също са независими; следователно,

,

Но няма нищо друго освен втория начален момент на количеството и следователно се изразява по отношение на дисперсията:

;

по същия начин

.

Замествайки тези изрази във формула (10.2.22) и привеждайки подобни членове, стигаме до формула (10.2.21).

В случай, че се умножават центрирани случайни променливи (стойности с математически очаквания, равни на нула), формулата (10.2.21) приема формата:

, (10.2.23)

т.е. дисперсията на произведението на независими центрирани случайни променливи е равна на произведението на техните дисперсии.

11. По-високи моменти от сумата на случайните величини

В някои случаи е необходимо да се изчислят по-високите моменти от сумата на независимите случайни променливи. Нека докажем някои свързани отношения.

1) Ако количествата са независими, тогава

Доказателство.

откъдето по теоремата за умножение на очакванията

Но първият централен момент за всяко количество е нула; два средни члена изчезват и формула (10.2.24) е доказана.

Отношението (10.2.24) може лесно да се обобщи чрез индукция до произволен брой независими членове:

. (10.2.25)

2) Четвъртият централен момент на сумата от две независими случайни променливи се изразява с формулата

къде са дисперсиите на и .

Доказателството е абсолютно същото като предишното.

С помощта на метода на пълната индукция е лесно да се докаже обобщението на формула (10.2.26) за произволен брой независими членове.