Намерете стойността на производната в точката x0 1. Намерете стойността на производната на функцията в точката x0. Намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции

Задача B9 дава графика на функция или производна, която искате да определите една от следните величини:

1. Стойността на производната в някаква точка x 0,
2. Високи или ниски точки (екстремни точки),
3. Интервалите на увеличаване и намаляване на функцията (интервали на монотонност).

Представените в този проблем функции и производни са винаги непрекъснати, което значително опростява решението. Въпреки факта, че задачата принадлежи към раздела за математически анализ, тя е напълно по силите и на най-слабите ученици, тъй като тук не се изискват дълбоки теоретични познания.

Има прости и универсални алгоритми за намиране на стойността на производната, точките на екстремума и интервалите на монотонност - всички те ще бъдат разгледани по-долу.

Прочетете внимателно състоянието на проблем B9, за да избегнете глупави грешки: понякога попадате на доста обемни текстове, но няма много важни условия, които влияят върху хода на решението.

Изчисляване на стойността на производната. Метод с две точки

Ако в задачата е дадена графиката на функцията f (x), допирателна към тази графика в някаква точка x 0, и е необходимо да се намери стойността на производната в тази точка, се прилага следният алгоритъм:

1. Намерете две "адекватни" точки на допирателната графика: координатите им трябва да са цели числа. Нека обозначим тези точки с A (x 1; y 1) и B (x 2; y 2). Запишете правилно координатите - това е ключовата точка на решението и всяка грешка тук води до грешен отговор.
2. Познавайки координатите, е лесно да се изчисли нарастването на аргумента Δx \u003d x 2 - x 1 и нарастването на функцията Δy \u003d y 2 - y 1.
3. Накрая намираме стойността на производната D \u003d Δy / Δx. С други думи, трябва да разделите нарастването на функцията на увеличението на аргумента - и това ще бъде отговорът.

Забележете отново: точки A и B трябва да се търсят точно по допирателната линия, а не на графиката на функцията f (x), както често се случва. Допирателната линия задължително ще съдържа поне две такива точки - в противен случай проблемът не е написан правилно.

Вземете точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и намерете стъпките:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d −1 - (−3) \u003d 2; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 6 - 2 \u003d 4.

Намерете стойността на производната: D \u003d Δy / Δx \u003d 4/2 \u003d 2.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f (x) в точката x 0.

Разгледайте точки A (0; 3) и B (3; 0), намерете стъпките:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 0 - 3 \u003d −3.

Сега намираме стойността на производната: D \u003d Δy / Δx \u003d −3/3 \u003d −1.

Задача. Фигурата показва графиката на функцията y \u003d f (x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x 0. Намерете стойността на производната на функцията f (x) в точката x 0.

Разгледайте точки A (0; 2) и B (5; 2) и намерете стъпките:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d 5 - 0 \u003d 5; Δy \u003d y 2 - y 1 \u003d 2 - 2 \u003d 0.

Остава да се намери стойността на производната: D \u003d Δy / Δx \u003d 0/5 \u003d 0.

От последния пример можем да формулираме правило: ако допирателната е успоредна на оста OX, производната на функцията в точката на допир е нула. В този случай дори не е нужно да броите нищо - просто погледнете диаграмата.

Изчисляване на максималния и минималния брой точки

Понякога, вместо графика на функция, в задача B9 е дадена графика на производната и е необходимо да се намери максималната или минималната точка на функцията. В тази ситуация двуточковият метод е безполезен, но има друг, още по-опростен алгоритъм. Първо, нека дефинираме терминологията:

1. Точката x 0 се нарича максимална точка на функцията f (x), ако в някаква околност на тази точка има следното неравенство: f (x 0) ≥ f (x).
2. Точка x 0 се нарича минимална точка на функцията f (x), ако в някаква околност на тази точка има следното неравенство: f (x 0) ≤ f (x).

За да намерите максималните и минималните точки на графиката на производната, е достатъчно да изпълните следните стъпки:

1. Пречертайте графиката на производното, като премахнете цялата ненужна информация. Практиката показва, че ненужните данни само пречат на решението. Следователно маркираме нулите на производната на координатната ос - това е всичко.
2. Разберете знаците на производната на интервалите между нули. Ако за някаква точка x 0 е известно, че f '(x 0) ≠ 0, тогава са възможни само две опции: f' (x 0) ≥ 0 или f '(x 0) ≤ 0. Знакът на производната може лесно да бъде определен от първоначалния чертеж: ако графиката на производната лежи над оста OX, тогава f '(x) ≥ 0. И обратно, ако графиката на производната лежи под оста OX, тогава f' (x) ≤ 0.
3. Проверете нулите и знаците на производната отново. Когато знакът се промени от минус на плюс, има минимална точка. И обратно, ако знакът на производната се промени от плюс на минус, това е максималната точка. Преброяването винаги се извършва отляво надясно.

Тази схема работи само за непрекъснати функции - в проблем B9 няма други.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на сегмента [−5; пет]. Намерете минималната точка на функцията f (x) на този сегмент.

Нека се отървем от ненужната информация - ще оставим само границите [−5; 5] и нули на производната x \u003d −3 и x \u003d 2.5. Обърнете внимание и на знаците:

Очевидно в точката x \u003d −3 знакът на производната се променя от минус на плюс. Това е минималната точка.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на сегмента [−3; 7]. Намерете максималната точка на функцията f (x) на този сегмент.

Нека преначертаем графиката, оставяйки само границите [−3; 7] и нулите на производната x \u003d −1,7 и x \u003d 5. Забележете знаците на производната на получената графика. Ние имаме:

Очевидно в точката x \u003d 5 знакът на производната се променя от плюс към минус - това е максималната точка.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на сегмента [−6; 4]. Намерете броя на максималните точки на функцията f (x), принадлежащи към сегмента [−4; 3].

От постановката на проблема следва, че е достатъчно да се разгледа само частта от графиката, ограничена от сегмента [−4; 3]. Затова изграждаме нова диаграма, на която маркираме само границите [−4; 3] и нули от производната вътре в него. А именно точки x \u003d −3,5 и x \u003d 2. Получаваме:

Тази графика има само една максимална точка x \u003d 2. Именно там знакът на производната се променя от плюс на минус.

Бърза бележка за точки с нецели координати. Например в последния проблем точката се счита за x \u003d −3.5, но можете също така да вземете x \u003d −3.4. Ако проблемът е формулиран правилно, такива промени не трябва да засягат отговора, тъй като точките „без фиксирано жилище“ не участват пряко в решаването на проблема. Разбира се, този трик няма да работи с цели числа.

Намиране на интервалите на нарастващи и намаляващи функции

В такъв проблем, като максималните и минималните точки, се предлага да се намерят регионите, в които самата функция се увеличава или намалява от производната графика. Първо, нека дефинираме какво се увеличава и намалява:

1. Функция f (x) се нарича увеличаване на сегмент, ако за всякакви две точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≤ f (x 2). С други думи, колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-голяма е стойността на функцията.
2. Функция f (x) се нарича намаляваща на сегмент, ако за всякакви две точки x 1 и x 2 от този сегмент е вярно следното твърдение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f (x 1) ≥ f (x 2). Тези. колкото по-голяма е стойността на аргумента, толкова по-малка е стойността на функцията.

Нека формулираме достатъчно условия за увеличаване и намаляване:

1. За да се увеличи непрекъсната функция f (x) върху сегмент, е достатъчно нейното производно вътре в сегмента да е положително, т.е. f '(x) ≥ 0.
2. За да намалява непрекъсната функция f (x) върху сегмент, е достатъчно нейното производно вътре в сегмента да е отрицателно, т.е. f '(x) ≤ 0.

Нека приемем тези твърдения без доказателство. По този начин получаваме схема за намиране на интервалите на увеличаване и намаляване, която в много отношения е подобна на алгоритъма за изчисляване на екстремни точки:

1. Премахнете цялата ненужна информация. В оригиналния график на производната ни интересуват преди всичко нулите на функцията, така че ще оставим само тях.
2. Обърнете внимание на знаците на производната на интервалите между нули. Когато f ’(x) ≥ 0, функцията се увеличава, а където f’ (x) ≤ 0, намалява. Ако проблемът има ограничения за променливата x, ние допълнително ги маркираме на новата графика.
3. Сега, когато знаем поведението на функцията и ограничението, остава да се изчисли стойността, необходима в проблема.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на сегмента [−3; 7.5]. Намерете интервалите на намаляваща функция f (x). Във вашия отговор посочете сумата от целите числа, включени в тези интервали.

Както обикновено, пречертайте графиката и маркирайте границите [−3; 7.5], както и нулите на производната x \u003d -1,5 и x \u003d 5,3. След това маркираме знаците на производната. Ние имаме:

Тъй като производната е отрицателна на интервала (- 1,5), това е интервалът на намаляваща функция. Остава да обобщим всички цели числа, които са в рамките на този интервал:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Задача. Фигурата показва графиката на производната на функцията f (x), дефинирана на сегмента [−10; 4]. Намерете интервалите на нарастваща функция f (x). В отговора посочете дължината на най-дългия от тях.

Нека се отървем от ненужната информация. Оставете само границите [−10; 4] и нули на производната, които този път се оказаха четири: x \u003d −8, x \u003d −6, x \u003d −3 и x \u003d 2. Обърнете внимание на знаците на производната и получете следната картина:

Интересуват ни интервалите на увеличаване на функцията, т.е. такива, където f '(x) ≥ 0. На графиката има два такива интервала: (-8; -6) и (-3; 2). Нека изчислим техните дължини:
l 1 \u003d - 6 - (−8) \u003d 2;
l 2 \u003d 2 - (−3) \u003d 5.

Тъй като се изисква да се намери дължината на най-големия от интервалите, в отговора записваме стойността l 2 \u003d 5.

Пример 1

Справка: Следните начини за обозначаване на функция са еквивалентни: В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като „игра“, а в някои като „ff от x“.

Първо, намираме производната:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

, , пълнофункционално проучване и т.н.

Пример 3

Изчислете производната на функция в точка. Първо, нека намерим производната:

Е, това е съвсем друг въпрос. Нека изчислим стойността на производната в точката:

В случай, че не разбирате как е намерена производната, върнете се към първите два урока от темата. Ако имате затруднения (неразбиране) с арктангенса и неговите значения, задължително проучване методически материал Графики и свойства на елементарни функции - последният параграф. Защото все още има достатъчно арктангенти за студентската възраст.

Пример 4

Изчислете производната на функция в точка.

Уравнение на допирателната към графиката на функцията

За да подсилите предишния раздел, помислете за проблема с намирането на допирателната към функционална графика в този момент. Срещнахме тази задача в училище и тя се среща и в хода на висшата математика.

Нека разгледаме един „най-прост“ пример.

Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката с абсцисата. Веднага ще дам готово графично решение на проблема (на практика това не е необходимо в повечето случаи):

Строго определение на допирателна дава дефиниция на производната на функция, но засега ще овладеем техническата част на въпроса. Със сигурност почти всеки интуитивно разбира какво е тангенс. Ако да обясним "на пръсти", тогава допирателната към графиката на функцията е правкоето се отнася до графиката на функцията в единственияточка. Освен това всички близки точки на правата линия са разположени възможно най-близо до графиката на функцията.

В нашия случай: при, допирателната (стандартна нотация) докосва графиката на функцията в една точка.

И нашата задача е да намерим уравнението на линията.

Производна на функция в точка

Как да намеря производната на функция в точка? Две очевидни точки от тази задача произтичат от формулировката:

1) Необходимо е да се намери производната.

2) Необходимо е да се изчисли стойността на производното в дадена точка.

Пример 1

Изчислете производната на функция в точка

Помощ: Следните начини за обозначаване на функция са еквивалентни:


В някои задачи е удобно функцията да се обозначи като „игра“, а в някои като „ff от x“.

Първо, намираме производната:

Надявам се, че мнозина вече са свикнали да намират такива производни устно.

На втората стъпка изчисляваме стойността на производната в точката:

Малък пример за загряване за независимо решение:

Пример 2

Изчислете производната на функция в точка

Пълно решение и отговор в края на урока.

Необходимостта да се намери производната в дадена точка възниква при следните проблеми: изграждане на допирателна към графиката на функция (следващ абзац), изследване на екстремната функция , тест за инфлексия , пълнофункционално проучване и т.н.

Но въпросната задача се среща в контролни работи и от само себе си. И като правило в такива случаи функцията се дава доста сложна. В тази връзка разгледайте още два примера.

Пример 3

Изчислете производната на функция в точката.
Първо, нека намерим производната:

Производното по принцип е намерено и търсената стойност може да бъде заместена. Но аз наистина не искам да го правя. Изразът е много дълъг, а стойността на "X" е дробна. Ето защо ние се опитваме да опростим нашата производна, доколкото е възможно. В този случай, нека се опитаме да доведем последните три термина до общ знаменател: в точката.

Това е пример за решение „направи си сам“.

Как да намерим стойността на производната на функцията F (x) в точката Xo? Как да решим това като цяло?

Ако е дадена формулата, тогава намерете производната и заменете X с X-нула. Изчисли
Ако говорим за b-8 USE, графика, тогава трябва да намерите тангенса на ъгъла (остър или тъп), който образува допирателна с оста X (използвайки умствената конструкция на правоъгълен триъгълник и определяйки допирателната на ъгъла)

Тимур Адилходжаев

Първо, трябва да вземете решение за знака. Ако точката x0 е в долната част на координатната равнина, тогава знакът в отговора ще бъде минус, а ако е по-висок, тогава +.
На второ място, трябва да знаете какво е tanges в правоъгълен правоъгълник. И това е съотношението на противоположната страна (крак) към съседната страна (също крак). Обикновено върху картината има някои черни следи. От тези белези, които правите правоъгълен триъгълник и ще намерите танги.

Как да намерим стойността на производната на функцията f x в точката x0?

няма зададен конкретен въпрос - преди 3 години

По принцип, за да намерите стойността на производната на функция по отношение на някаква променлива във всяка точка, трябва да разграничите дадената функция по отношение на тази променлива. Във вашия случай чрез променливата X. В получения израз вместо X поставете стойността x в точката, за която трябва да намерите стойността на производната, т.е. във вашия случай заменете нула X и изчислете получения резултат.

Е, и вашето желание да разберете този въпрос, по мое мнение, несъмнено заслужава +, което поставих с чиста съвест.

Тази формулировка на проблема за намиране на производното често се поставя, за да фиксира материала върху геометричното значение на производното. Предлага се графика на определена функция, напълно произволна и не дадена от уравнение и се изисква да се намери стойността на производната (а не самата производна, забележете!) В посочената точка X0. За това се конструира допирателна права към дадена функция и се намира точката на нейното пресичане с координатните оси. Тогава уравнението на тази допирателна се съставя под формата y \u003d kx + b.

В това уравнение коефициентът k и ще бъде стойността на производната. остава само да се намери стойността на коефициента b. За целта намираме стойността на y при x \u003d o, нека е равна на 3 - това е стойността на коефициента b. Заместваме стойностите на X0 и Y0 в първоначалното уравнение и намираме k - нашата стойност на производната в този момент.