Приблизителни методи за изследване на нелинейни системи. Анализ на нелинейни системи. Метод на хармонична линеаризация. Приложение на теорията на марковските процеси за анализ на нелинейни системи. Нелинейност тип реле

Система се счита за нелинейна, ако нейният ред >2 (n>2).

Изучаването на линейни системи от висок порядък е свързано с преодоляване на значителни математически трудности, тъй като няма общи методи за решаване на нелинейни уравнения. При анализиране на движението на нелинейни системи се използват методи за числено и графично интегриране, които позволяват получаването на само едно конкретно решение.

Методите на изследване са разделени на две групи. Първата група са методи, базирани на намиране на точни решения на нелинейни диференциални уравнения. Втората група са приблизителните методи.

Разработването на точни методи е важно както от гледна точка на получаване на преки резултати, така и за изследване на различни специални режими и форми на динамични процеси на нелинейни системи, които не могат да бъдат идентифицирани и анализирани с приближени методи. Точните методи са:

1. Директен метод на Ляпунов

2. Методи на фазовата равнина

3. Метод на монтаж

4. Метод на точкови трансформации

5. Метод на участъци от пространството на параметрите

6. Честотен метод за определяне на абсолютна стабилност

За решаване на много теоретични и практически проблеми се използва дискретна и аналогова изчислителна технология, която дава възможност за използване на математически методи за моделиране в комбинация с полуестествено и пълномащабно моделиране. В този случай компютърната техника се съединява с реалните елементи на системите за управление, с всичките им присъщи нелинейности.

Приблизителните методи включват аналитични и графо-аналитични методи, които позволяват замяна на нелинейна система с еквивалентен линеен модел, последвано от използването на методи на линейната теория на динамичните системи за нейното изследване.

Има две групи приблизителни методи.

Първата група се основава на предположението, че изследваната нелинейна система е сходна по своите свойства с линейната. Това са методи с малък параметър, когато движението на системата се описва със степенен ред по отношение на някакъв малък параметър, който присъства в уравненията на системата, или който е въведен в тези уравнения изкуствено.

Втората група методи е насочена към изследване на естествените периодични трептения на системата. Основава се на предположението, че желаните трептения на системата са близки до хармоничните. Това са методи за хармоничен баланс или хармонична линеаризация. Когато се използват, се извършва условна подмяна на нелинеен елемент, който е под действието на хармоничен входен сигнал, с еквивалентни линейни елементи. Аналитичното обосноваване на хармоничната линеаризация се основава на принципа на равенство на честотните, амплитудните и фазовите изходни променливи, еквивалентния линеен елемент и първия хармоник на изходната променлива на реален нелинеен елемент.

Най-голям ефект дава разумна комбинация от приблизителни и точни методи.

"Теория на автоматичното управление"

"Методи за изследване на нелинейни системи"

1. Метод на диференциалните уравнения

Диференциалното уравнение на затворена нелинейна система от n-ти порядък (фиг. 1) може да се преобразува в система от n-диференциални уравнения от първи ред във вида:

където: - променливи, характеризиращи поведението на системата (една от тях може да бъде контролирана стойност); са нелинейни функции; ти си движещата сила.

Обикновено тези уравнения се записват в крайни разлики:

където са началните условия.

Ако отклоненията не са големи, тогава тази система може да се реши като система от алгебрични уравнения. Решението може да бъде представено графично.

2. Метод на фазово пространство

Нека разгледаме случая, когато външното действие е равно на нула (U = 0).

Движението на системата се определя от промяната в нейните координати - като функция на времето. Стойностите по всяко време характеризират състоянието (фазата) на системата и определят координатите на системата с n - оси и могат да бъдат представени като координати на определена (представляваща) точка M (фиг. 2).

Фазовото пространство е пространството на координатите на системата.

С промяна във времето t точката M се движи по траектория, наречена фазова траектория. Ако променим началните условия, получаваме семейство от фазови траектории, наречени фазов портрет. Фазовият портрет определя естеството на преходния процес в нелинейна система. Фазовият портрет има единични точки, към които се стремят или напускат фазовите траектории на системата (може да има няколко от тях).

Фазовият портрет може да съдържа затворени фазови траектории, които се наричат ​​гранични цикли. Граничните цикли характеризират собствените трептения в системата. Фазовите траектории не се пресичат никъде, с изключение на единични точки, характеризиращи равновесните състояния на системата. Граничните цикли и равновесните състояния могат или не могат да бъдат стабилни.

Фазовият портрет напълно характеризира нелинейната система. Характерна особеност на нелинейните системи е наличието на различни видове движения, няколко състояния на равновесие и наличието на гранични цикли.

Методът на фазовото пространство е основен метод за изследване на нелинейни системи. Много по-лесно и по-удобно е да се изучават нелинейни системи във фазовата равнина, отколкото чрез начертаване на преходни процеси във времевата област.

Геометричните конструкции в пространството са по-малко ясни от конструкциите в равнина, когато системата има втори ред и се използва методът на фазовата равнина.

Прилагане на метода на фазовата равнина към линейни системи

Нека анализираме връзката между естеството на преходния процес и кривите на фазовите траектории. Фазовите траектории могат да бъдат получени или чрез интегриране на уравнението на фазовата траектория, или чрез решаване на оригиналното диференциално уравнение от 2-ри ред.

Нека системата е дадена (фиг. 3).

Помислете за свободното движение на системата. В този случай: U(t)=0, e(t)=– x(t)

Най-общо диференциалното уравнение има формата

където (1)

Това е хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред; характерното му уравнение е

. (2)

Корените на характеристичното уравнение се определят от отношенията

(3)

Нека представим диференциалното уравнение от 2-ри ред като система

уравнения от 1-ви ред:

(4)

където е скоростта на промяна на контролираната променлива.

В разглежданата линейна система променливите x и y са фазови координати. Фазовият портрет се изгражда в пространството на координатите x и y, т.е. на фазовата равнина.

Ако изключим времето от уравнение (1), тогава получаваме уравнението на интегралните криви или фазовите траектории.

. (5)

Това е отделимо уравнение

Нека разгледаме няколко случая

Файлове GB_prog.m и GB_mod.mdl и анализ на спектралния състав на периодичния режим на изхода на линейната част - с помощта на файловете GB_prog.m и R_Fourie.mdl. Съдържание на файла GB_prog.m: %Изследване на нелинейни системи по метода на хармоничния баланс %Използвани файлове: GB_prog.m, GB_mod.mdl и R_Fourie.mdl. % Използвано обозначение: NE - нелинеен елемент, LP - линейна част. %Изчисти всичко...

Инерционен в допустимия (ограничен отгоре) честотен диапазон, отвъд който преминава в категорията на инерционните. В зависимост от вида на характеристиките се разграничават нелинейни елементи със симетрични и асиметрични характеристики. Симетрична е характеристика, която не зависи от посоката на определящите я величини, т.е. има симетрия по отношение на началото на системата...

Изпратете вашата добра работа в базата от знания е лесно. Използвайте формуляра по-долу

Студенти, специализанти, млади учени, които използват базата от знания в своето обучение и работа, ще Ви бъдат много благодарни.

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Новосибирски държавен технически университет

Катедра Електрозадвижване и автоматизация на промишлени инсталации

КУРСОВА РАБОТА

по дисциплината "Теория на автоматичното управление"

Анализ на нелинейни системи за автоматично управление

Студент: Тишинов Ю.С.

Група Ема-71

Ръководител на курсовата работа

ЗАДАЧА ЗА КУРСОВА РАБОТА:

1. Изследвайте ACS с дадена блокова диаграма, тип нелинейност и числени параметри, като използвате метода на фазовата равнина.

1.1 Проверете резултатите от изчисленията в параграф 1, като използвате структурно моделиране.

1.2. Изследване на влиянието на параметрите на входното въздействие и нелинейността върху динамиката на системата.

2. Изследване на ACS с дадена блокова схема, тип нелинейност и числени параметри с помощта на метода на хармонична линеаризация.

2.1 Проверете резултатите от изчисленията в параграф 2, като използвате структурно моделиране.

2.2 Изследване на влиянието на входното действие и параметрите на нелинейността върху динамиката на системата

1. Изследваме ACS с дадена блокова диаграма, вида на нелинейността и числените параметри по метода на фазовата равнина.

Вариант номер 4-1-а

Първоначални данни.

1) Структурна схема на нелинейна ACS:

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Нарича се система, в която работата и контролните операции се извършват от технически устройства автоматична система за управление (ACS).

Структурна схемасе нарича графично представяне на математическото описание на системата.

Връзката на структурната диаграма е изобразена като правоъгълник, показващ външни влияния, а вътре в него е записана функцията за прехвърляне.

Съвкупността от връзки, заедно с комуникационните линии, които характеризират тяхното взаимодействие, образува блокова диаграма.

2) Параметри на блоковата диаграма:

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Метод на фазова равнина

Поведението на една нелинейна система по всяко време се определя от контролираната променлива и нейната (n? 1) производна, ако тези количества се начертаят по координатните оси, тогава полученото n? измерено пространство ще се нарича фазово пространство. Състоянието на системата във всеки момент от времето ще се определя във фазовото пространство от представящата точка. По време на процеса на преход представителната точка се движи във фазовото пространство. Траекторията на неговото движение се нарича фазова траектория. В стационарно състояние представителната точка е в покой и се нарича сингулярна точка. Наборът от фазови траектории за различни начални условия, заедно с единични точки и траектории, се нарича фазов портрет на системата.

При изучаване на нелинейна система по този метод е необходимо блоковата диаграма (фиг. 1.1) да се преобразува във формата:

Знакът минус показва, че обратната връзка е отрицателна.

където X 1 и X 2 - съответно изходни и входни стойности на линейната част на системата.

Нека намерим диференциалното уравнение на системата:

Тогава нека направим замяна

Решаваме това уравнение по отношение на най-високата производна:

Да приемем, че:

Разделяме уравнение (1.2) на уравнение (1.1) и получаваме нелинейно диференциално уравнение за фазовата траектория:

където x 2 \u003d f (x 1).

Ако този DE се реши по метода на изоклина, тогава е възможно да се построи фазов портрет на системата за различни начални условия.

Изоклина е мястото на точките във фазовата равнина, които фазовата траектория пресича под същия ъгъл.

При този метод нелинейната характеристика се разделя на линейни участъци и за всеки от тях се записва линейна DE.

За да се получи уравнението на изоклина, дясната страна на уравнение (1.3) се приравнява на постоянна стойност N и се решава относително.

Като се вземе предвид нелинейността, получаваме:

При дадени стойности на N в диапазона от до се конструира семейство изоклини. На всяка изоклина се начертава спомагателна права линия под ъгъл спрямо оста х

където m X - коефициент на мащаба по оста x;

m Y - коефициент на мащаба по оста y.

Изберете m X = 0,2 единици/см, m Y = 40 единици/см;

Окончателна формула за ъгъл:

Изчисляваме семейството от изоклини и ъгъла за мястото, обобщаваме изчислението в таблица 1:

маса 1

Изчисляваме семейството от изоклини и ъгъла за мястото, обобщаваме изчислението в таблица 2:

таблица 2

Изчисляваме семейството от изоклини и ъгъла за мястото, обобщаваме изчислението в таблица 3:

Таблица 3

Нека построим фазова траектория

За да направите това, първоначалните условия се избират на една от изоклините (точка A), две прави линии се изтеглят от точка A до пресечната точка със следващата изоклина под ъгли b 1, b 2, където b 1, b 2? съответно ъглите на първата и втората изоклини. Сегментът, отрязан от тези линии, е разделен наполовина. От получената точка, средата на отсечката, отново се изтеглят две линии под ъгли b 2, b 3 и отново сегментът се разделя наполовина и т.н. Получените точки са свързани с гладка крива.

За всеки линеен участък от нелинейната характеристика се изграждат семейства изоклини и са разделени една от друга чрез превключващи линии.

От фазовата траектория се вижда, че е получена единична точка от тип стабилен фокус. Може да се заключи, че в системата няма автоколебания, а преходният процес е стабилен.

1.1 Проверете резултатите от изчисленията с помощта на структурно моделиране в програмата MathLab

Структурна схема:

Фазов портрет:

Преходният процес при входно действие, равен на 2:

Xout.max = 1,6

1.2 Изследваме влиянието на параметрите на входното действие и нелинейността върху динамиката на системата

Нека увеличим входния сигнал до 10:

Xout.max = 14,3

Treg = 0,055

X излязъл. макс.=103

T reg = 0,18

Нека увеличим зоната на чувствителност до 15:

Xout.max = 0,81

Намалете зоната на чувствителност до 1:

Xout.max = 3,2

Резултатите от симулацията потвърдиха резултатите от изчисленията: Фигура 1.7 показва, че процесът е конвергентен, няма автоколебания в системата. Фазовият портрет на симулираната система е подобен на изчисления.

След като проучихме влиянието на параметрите на входното действие и нелинейността върху динамиката на системата, можем да направим следните изводи:

1) с увеличаване на входното действие нивото на стационарно състояние се увеличава, броят на трептенията не се променя, времето за управление се увеличава.

2) с увеличаване на мъртвата зона нивото на стационарно състояние се увеличава, броят на трептенията също остава непроменен, времето за управление се увеличава.

2. Изследваме АСУ с дадена блокова схема, вида на нелинейността и числените параметри с помощта на метода на хармонична линеаризация.

Вариант № 5-20-c

Първоначални данни.

1) Блокова диаграма:

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

2) Стойности на параметрите:

3) Вид и параметри на нелинейността:

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Най-широко използваният за изследване на нелинейни системи за автоматично управление от висок порядък (n > 2) е приблизителният метод на хармонична линеаризация, използващ честотни представяния, разработени в теорията на линейните системи.

Основната идея на метода е следната. Нека затворена автономна (без външни влияния) нелинейна система се състои от последователно свързан нелинеен безинерционен NC и стабилна или неутрална линейна част от LP (фигура 2.3, а)

u=0 x z X=X m sinwt z y

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

y \u003d Y m 1 sin (wt +)

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

За да се прецени възможността за съществуване на монохармонични незатихващи трептения в тази система, се приема, че на входа на нелинейната връзка действа хармоничен синусоидален сигнал x(t) = X m sinwt (фиг. 2.3, б). В този случай сигналът на изхода на нелинейната връзка z(t) = z съдържа спектър от хармонични компоненти с амплитуди Z m 1 , Z m 2 , Z m 3 и т.н. и честоти w, 2w, 3w и т.н. Приема се, че този сигнал z(t), преминавайки през линейната част W l (jw), се филтрира от него до такава степен, че в сигнала на изхода на линейната част y(t) всички по-високи хармоници Y m 2 , Y m 3 и др. и приемете това

y(t)Y m 1 sin(wt +)

Последното предположение се нарича филтърна хипотеза и изпълнението на тази хипотеза е необходимо условие за хармонична линеаризация.

Условието за еквивалентност за веригите, показани на фиг. 2.3, a и b, може да се формулира като равенство

x(t) + y(t) = 0(1)

Когато филтърната хипотеза y(t) = Y m 1 sin(wt +) е изпълнена, уравнение (1) се разделя на две

Уравнения (2) и (3) се наричат ​​уравнения на хармоничен баланс; първият от тях изразява баланса на амплитудите, а вторият - баланса на фазите на хармоничните трептения.

По този начин, за да съществуват незатихващи хармонични трептения в разглежданата система, трябва да са изпълнени условия (2) и (3), ако хипотезата на филтъра е изпълнена

Нека използваме метода на Goldfarb за графо-аналитичното решение на характеристичното уравнение на вида

W LCH (p) W NO (A) +1 = 0

W LCH (jw) W NO (A) = -1

За приблизително определяне на собствените трептения се конструират AFC на линейната част на системата и обратната отрицателна характеристика на нелинейния елемент.

За да изградим AFC на линейната част, трансформираме блоковата диаграма във формата на фиг. 2.4:

В резултат на трансформацията получаваме схемата на фиг. 2.5:

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Хоствано на http://www.allbest.ru/

Намерете трансферната функция на линейната част на системата:

Нека се отървем от ирационалността в знаменателя, като умножим числителя и знаменателя по конюгата към знаменателя, получаваме:

Нека го разделим на въображаеми и реални части:

За да построим обратната отрицателна характеристика на нелинеен елемент, използваме формулата:

Параметри на нелинейност:

A е амплитудата, при условие че.

AFC на линейната част на системата и обратната отрицателна характеристика на нелинейния елемент са показани на фиг. 2.6:

За да определим стабилността на собствените трептения, използваме следната формулировка: ако точката, съответстваща на увеличената амплитуда в сравнение с точката на пресичане, не е покрита от честотната характеристика на линейната част на системата, тогава автоколебанията са стабилни . Както се вижда от фигура 2.6, решението е стабилно, следователно в системата се установяват автоколебания.

2.1 Нека проверим резултатите от изчисленията с помощта на структурно моделиране в програмата MathLab.

Фигура 2.7: Структурна диаграма

Преходният процес с входно действие, равно на 1 (фиг. 2.8):

автоматично управление нелинеен хармоник

Както се вижда от графиката, се установяват автоколебания. Нека проверим влиянието на нелинейността върху стабилността на системата.

2.2. Нека да изследваме влиянието на параметрите на входното действие и нелинейността върху динамиката на системата.

Нека увеличим входния сигнал до 100:

Нека увеличим входния сигнал до 270

Нека намалим входния сигнал до 50:

Нека увеличим насищането до 200:

Намалете насищането до 25:

Намалете насищането до 10:

Резултатите от симулацията не потвърдиха недвусмислено резултатите от изчисленията:

1) В системата възникват собствени трептения и промяната в насищането се отразява на амплитудата на трептенията.

2) С увеличаване на входното действие стойността на изходния сигнал се променя и системата се стреми към стабилно състояние.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНИ ИЗТОЧНИЦИ:

1. Сборник задачи по теория на автоматичното регулиране и управление. Изд. V.A. Besekersky, пето издание, преработено. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

2. Теория на автоматичното управление. Част II. Теория на нелинейните и специални системи за автоматично управление. Изд. А. А. Воронова. Proc. надбавка за университети. - М.: По-високо. училище, 1977. - 288 с.

3. Топчеев Ю.И. Атлас за проектиране на системи за автоматично управление: учеб. надбавка. ? М.: Машиностроение, 1989. ? 752 стр.

Хоствано на Allbest.ru

Подобни документи

Нелинейни системи, описани с нелинейни диференциални уравнения. Методи за анализ на нелинейни системи: линейна апроксимация на парчета, хармонична линеаризация, фазова равнина, статистическа линеаризация. Използване на комбинация от методи.

резюме, добавено на 21.01.2009 г


Анализ на устойчивостта на системата за автоматично управление (АСУ) по критерия на Найкуист. Изследване на стабилността на ACS чрез амплитудно-фазовата честотна характеристика на AFC и чрез логаритмичните характеристики. Инструменти за управление на системата за проследяване на инструментите.

курсова работа, добавена на 11.11.2009


Анализ на блоковата схема на дадена автоматична система за управление. Основни условия за устойчивост на критерия Хървиц и Найкуист. Синтез като избор на структурата и параметрите на системата, за да отговори на предварително зададени изисквания. Концепцията за устойчивост.

курсова работа, добавена на 10.01.2013


Проучване на режимите на автоматична система за управление. Определяне на предавателната функция на затворена система. Построяване на логаритмични амплитудни и фазово-честотни характеристики. Синтез на системата "обект-регулатор", изчисляване на оптимални параметри.

курсова работа, добавена на 17.06.2011


Проектиране на затворена, едномерна, стационарна, серво автоматична система за управление с определяне на параметрите на коригиращо устройство, което осигурява определените изисквания за качество на регулиране. Анализ на системата с отчитане на нелинейността на ПА.

курсова работа, добавена на 18.01.2011


Структурата на затворена линейна непрекъсната автоматична система за управление. Анализ на предавателната функция на система с обратна връзка. Изследване на линейни импулсни, линейни непрекъснати и нелинейни непрекъснати системи за автоматично управление.

тест, добавен на 16.01.2011


Уравнения на връзката на блоковата схема на ACS. Анализ на линейна непрекъсната автоматична система за управление. Критерии за стабилност. Показатели за качеството на преходните процеси при компютърна симулация. Синтез на последователно коригиращо устройство.

тест, добавен на 19.01.2016


Проектиране на блокова схема на електромеханично релейно серво задвижване. Съставяне на диференциални уравнения на затворена нелинейна автоматична система за управление, изграждане на нейния фазов портрет. Хармонична линеаризация на нелинейността.

курсова работа, добавена на 26.02.2014


Дискретни системи за автоматично управление като системи, съдържащи елементи, които преобразуват непрекъснат сигнал в дискретен. Импулсен елемент (IE), неговото математическо описание. Цифрова автоматична система за управление, методи за нейното изчисляване.

резюме, добавен на 18.08.2009


Извършване на синтез и анализ на серво автоматичната система за управление с помощта на LAFC и LPFC. Определяне на видовете връзки на предавателните функции на системата и стабилността на граничните параметри. Изчисляване на статистически и логаритмични характеристики на системата.

Наличието на нелинейности в системите за управление води до описанието на такава система с нелинейни диференциални уравнения, често от достатъчно висок порядък. Както е известно, повечето групи от нелинейни уравнения не могат да бъдат решени в общ вид и може да се говори само за конкретни случаи на решение, следователно при изследването на нелинейни системи различни приблизителни методи играят важна роля.

С помощта на приблизителни методи за изследване на нелинейни системи е невъзможно, като правило, да се получи достатъчно пълна представа за всички динамични свойства на системата. Те обаче могат да се използват за отговор на редица отделни съществени въпроси, като въпроса за стабилността, наличието на автоколебания, естеството на конкретни режими и т.н.

В момента съществуват голям брой различни аналитични и графо-аналитични методи за изследване на нелинейни системи, сред които са методите на фазовата равнина, напасването, точковите трансформации, хармоничната линеаризация, директния метод на Ляпунов, честотните методи за изследване на абсолютната стабилност на Попов, методите за изучаване на нелинейни системи върху електронни модели и компютри.

Кратко описание на някои от изброените методи.

Методът на фазовата равнина е точен, но има ограничено приложение, тъй като е практически неприложим за системи за управление, чието описание не може да се сведе до контроли от втори ред.

Методът на хармонична линеаризация се отнася до приблизителни методи, той няма ограничения за реда на диференциалните уравнения. При прилагането на този метод се приема, че на изхода на системата има хармонични трептения, а линейната част на системата за управление е високочестотен филтър. В случай на слабо филтриране на сигнали от линейната част на системата, когато се използва методът на хармонична линеаризация, трябва да се вземат предвид по-високите хармоници. Това усложнява анализа на стабилността и качеството на процесите на управление на нелинейни системи.

Вторият метод на Ляпунов позволява да се получат само достатъчни условия за стабилност. И ако въз основа на него се определи нестабилността на системата за управление, тогава в някои случаи, за да се провери правилността на получения резултат, е необходимо функцията на Ляпунов да се замени с друга и отново да се извърши анализът на стабилността. Освен това няма общи методи за определяне на функцията на Ляпунов, което затруднява прилагането на този метод на практика.

Критерият за абсолютна стабилност позволява да се анализира стабилността на нелинейните системи с помощта на честотни характеристики, което е голямо предимство на този метод, тъй като комбинира математическия апарат на линейни и нелинейни системи в едно цяло. Недостатъците на този метод включват усложняването на изчисленията при анализа на стабилността на системи с нестабилна линейна част. Следователно, за да се получи точен резултат за стабилността на нелинейните системи, трябва да се използват различни методи. И само съвпадението на различни резултати ще позволи да се избегнат погрешни преценки относно стабилността или нестабилността на проектираната автоматична система за управление.

Глава7

Анализ на нелинейни системи

Системата за управление се състои от отделни функционални елементи, за чието математическо описание се използват типични елементарни връзки (виж раздел 1.4). Сред типичните елементарни връзки има една безинерционна (усилваща) връзка. Статичната характеристика на такава връзка, свързваща входа хи почивен ден гвеличина, линейна: г=Kx. Реалните функционални елементи на системата за управление имат нелинейна статична характеристика г=е(х). Вид нелинейна зависимост е(∙) може да варира:

Функции с променлив наклон (функции с ефект на "насищане", тригонометрични функции и др.);

Частично линейни функции;

релейни функции.

Най-често трябва да се вземе предвид нелинейността на статичната характеристика на чувствителния елемент на системата за управление, т.е. нелинейност на характеристиката на дискриминация. Обикновено те се стремят да осигурят работата на системата за управление в линейния участък на дискриминационната характеристика (ако формата на функцията позволява това). е(∙)) и използвайте линейния модел г=Kx. Понякога това не може да бъде осигурено поради големи стойности на динамичните и флуктуационните компоненти на CS грешката или поради така наречената значителна нелинейност на функцията е(∙) присъщи например на релейните функции. След това е необходимо да се извърши анализ на системата за управление, като се вземат предвид връзките, които имат нелинейна статична характеристика, т.е. за анализ на нелинейната система.

7.1. Характеристики на нелинейните системи

Процесите в нелинейните системи са много по-разнообразни от процесите в линейните системи. Нека отбележим някои особености на нелинейните системи и процеси в тях.

1. Принципът на суперпозицията не е изпълнен: реакцията на нелинейна система не е равна на сумата от отговорите на отделни въздействия. Например, независимо изчисление на динамичните и флуктуационните компоненти на грешката при проследяване, извършено за линейни системи (вижте раздел 3), е невъзможно за нелинейни системи.

2. Свойството на комутативност е неприложимо към блоковата диаграма на нелинейна система (линейни и нелинейни връзки не могат да се разменят).

3. В нелинейните системи се променят условията на стабилност и самата концепция за стабилност. Поведението на нелинейните системи, от гледна точка на тяхната стабилност, зависи от въздействието и началните условия. Освен това в нелинейна система е възможен нов тип стабилен процес – автотрептения с постоянна амплитуда и честота. Такива собствени трептения, в зависимост от тяхната амплитуда и честота, може да не нарушат работата на нелинейната система за управление. Следователно нелинейните системи вече не се делят на два класа (стабилни и нестабилни), като линейни системи, а се разделят на повече класове.

За нелинейни системи руският математик A.M. Ляпунов през 1892 г. въвежда понятията за стабилност „в малкото“ и „в голямото“: системата е устойчива „в малкото“, ако при някакво (достатъчно малко) отклонение от точката на стабилно равновесие тя остане в дадено (ограничен) регион ε и системата е стабилна „голяма“, ако остане в областта ε за всяко отклонение от точката на стабилно равновесие. Забележете, че областта ε може да бъде зададена произволно малка близо до точката на стабилно равновесие; следователно, даденото в т. 2, дефиницията за устойчивост на линейни системи остава валидна и е еквивалентна на определението за асимптотична стабилност по смисъла на Ляпунов. В същото време критериите за стабилност за линейни системи, разгледани по-рано за реални нелинейни системи, трябва да се приемат като критерии за стабилност „в малкото“.

4. Преходните процеси се променят качествено в нелинейните системи. Например в случая на функцията е(∙) с променлива стръмност в нелинейна система от 1-ви порядък, преходният процес се описва с експоненциал с променящ се параметър т.

5. Ограничената апертура на дискриминационната характеристика на нелинейната система е причина за нарушаване на проследяването (системата е стабилна "в малкото"). В този случай е необходимо да се търси сигнал и да се влезе в системата в режим на проследяване (концепцията за измерване на търсене и проследяване е дадена в раздел 1.1). При системи за синхронизация с периодична дискриминационна характеристика са възможни скокове в изходната стойност.

Наличието на разглежданите особености на нелинейните системи води до необходимостта от използване на специални методи за анализ на такива системи. Следните се считат:

Метод, базиран на решаване на нелинейно диференциално уравнение и позволяващ по-специално да се определи грешката в стационарното състояние, както и лентите за улавяне и задържане на нелинейната PLL система;

Методи за хармонична и статистическа линеаризация, удобни при анализа на системи с по същество нелинеен елемент;

Методи за анализ и оптимизация на нелинейни системи, базирани на резултатите от теорията на марковските процеси.

7.2. Анализ на редовни процеси в нелинейна PLL система