Формулирайте определението за сфера и топка от нейните елементи. Сфера, топка, сегмент и сектор. Формули и свойства на сферата. Секуща, хорда, секуща равнина на сферата и техните свойства

Много от нас обичат да играят футбол или поне почти всички сме чували за тази известна спортна игра. Всички знаят, че футболът се играе с топка.

Ако попитате минувач каква геометрична форма има топката, тогава някои хора ще кажат, че формата на топка, а други, че формата на сфера. И така, кой е прав? И каква е разликата между сфера и сфера?

Важно!

топкае космическо тяло. Вътре топката е пълна с нещо. Следователно сферата може да намери обема.

Примери за топка в живота: диня и стоманена топка.

Топка и сфера, подобно на кръг и кръг, имат център, радиус и диаметър.

Важно!

Сферае повърхността на сферата. Можете да намерите повърхността на сфера.

Примери за сфера в живота: волейбол и топка за тенис на маса.

Как да намерите площта на сфера

Помня!

Формула на сферата: S=4 π R 2

За да намерите площта на сфера, трябва да запомните каква е степента на число. Познавайки определението на степента, можем да напишем формулата за площта на сфера, както следва.
S=4 π R 2 \u003d 4π R R;

Затвърдете придобитите знания и реши задачата за площта на сфера.

Зубарева 6 клас. Номер 692(а)

Задачата:

• Изчислете площта на сфера, ако нейният радиус е равен 1 = 3 = = / (4 3) = ) = = ) =
  = = = 88

  88

  = 1
• R3 = 1
• R = 1 m

Важно!

Скъпи родители!

При окончателното изчисляване на радиуса не е необходимо да принуждавате детето да изчисли кубичния корен. Учениците от 6 клас все още не са преминали и не знаят определението за корени по математика.

В 6. клас при решаване на такава задача използвайте метода за изброяване.

Попитайте ученика кое число, ако се умножи само по себе си 3 пъти, ще даде едно.

Сфера и топка са аналог на кръг и кръг в триизмерно пространство. Струва си да се говори за всяка от тези цифри, като се подчертават приликите и разликите, както и формулите, присъщи на тези цифри.

Повечето от геометричните конструкции са направени в равнина, но в гимназията започват да изучават триизмерни фигури. Двуизмерното пространство има само две характеристики: дължина и ширина. Височината се добавя в 3D региони. В 6 клас по математика се изучават отделни 3D фигури.

В самолета фигурата се характеризираше с площ и периметър. В триизмерните обекти към тях се добавя обем.

Ориз. 1. Триизмерно пространство.

Освен това има редица специфични свойства на 3D формите. Те могат да бъдат пресечени от права линия и равнина, може да има секущи равнини, които имат формата на други фигури.

Използването на 3D форми за композиране на задачи силно ги усложнява, но в същото време ги прави много по-интересни. Даваме определенията за топка и сфера, след което ще се опитаме да подчертаем разликите между тези фигури.

топка

Сфера и сфера са аналог на окръжност и окръжност в равнина. Топка е фигура, получена чрез завъртане на полукръг около една точка.

Топката има повърхност: $S=4pir^2$

Радиусът е отсечка, която свързва центъра на топката и всяка от точките на нейната повърхност.

Формула за обем за сфера$V=(4pir^3\over3)$

Обемът показва колко пространство заема една фигура. За да разберете какъв е обемът, трябва да си представите куха фигура. Тогава обемът е количеството вода, което може да се излее в тази фигура

Топка, като всяка друга триизмерна фигура, може да бъде изрязана от самолет. Секущата равнина на топката е окръжност, чийто център може да бъде намерен чрез пускане на перпендикуляр от центъра на топката върху окръжността.

Ориз. 2. Разрез на топката.

Сфера е фигура, която е набор от точки в пространството, еднакво отдалечени от центъра на сферата. сфера:

• Той има същите формули за обем и повърхност като сфера.
• Режещата равнина на сфера е кръг
• Центърът на секащата окръжност се намира по същия начин, както в случая с топка

Ориз. 3. Сфера.

Каква е разликата

Тогава възниква въпросът каква е разликата между топка и сфера, освен дефиницията? Факт е, че разликите между топка и сфера са много по-размити от разликите между кръг и кръг. Сферата също има обем и повърхност.

Може би, освен дефиницията, разликата се крие във факта, че обемът на сферата никога не се намира в проблеми. Като правило те търсят обема на топката. Това не означава, че сферата няма обем. Това е триизмерна фигура, така че има обем.

Просто се прави аналогия с кръг, който няма площ. Това не е правило, а по-скоро традиция, която трябва да се помни: в геометрията формулирането на обема на сфера не е добре дошло.

Друга разлика, която може да се счита за повече или по-малко значима: равнината на сечение на сфера: кръг, който няма вътрешно пространство, но има дължина. Равнина на сечение на сфера: кръг, който има площ и няма обиколка. Ето защо си струва да бъдете внимателни при формулировката на проблема, за да няма грешки поради подобни дреболии.

Какво научихме?

Научихме какво са сфера и топка. Говорихме за техните прилики и разлики. Научихме, че почти няма разлики между тези цифри. Решихме, че не е необходимо да даваме такава формулировка като обема на сфера.

Тематична викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.7. Общо получени оценки: 105.

Определение.

Сфера (топка повърхност) е съвкупността от всички точки в триизмерното пространство, които са на едно и също разстояние от една точка, наречена центъра на сферата(О).

Сфера може да бъде описана като триизмерна фигура, която се образува чрез завъртане на кръг около диаметъра си на 180° или полукръг около диаметъра си на 360°.

Определение.

топкае съвкупността от всички точки в триизмерното пространство, разстоянието от което не надвишава определено разстояние до точка, наречена център на топката(O) (набор от всички точки на триизмерното пространство, ограничени от сфера).

Топката може да бъде описана като триизмерна фигура, която се образува чрез завъртане на кръг около диаметъра си на 180 ° или полукръг около диаметъра си с 360 °.

Определение. Радиус на сфера (топка).(R) е разстоянието от центъра на сферата (топката) Одо всяка точка на сферата (повърхността на топката).

Определение. Диаметър на сфера (топка).(D) е отсечка, свързваща две точки от сферата (повърхността на топката) и минаваща през нейния център.

Формула. Обем на топката:

V =	4	π R 3 =	1	π D 3
	3		6

Формула. Площ на повърхността на сферачрез радиус или диаметър:

S = 4π R 2 = π D 2

Сферно уравнение

1. Уравнение на сфера с радиус R и център в началото на декартовата координатна система:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. Уравнение на сфера с радиус R и център в точка с координати (x 0 , y 0 , z 0) в декартовата координатна система:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

Определение. диаметрално противоположни точкиса всякакви две точки на повърхността на топка (сфера), които са свързани с диаметър.

Основни свойства на сфера и топка

1. Всички точки на сферата са еднакво отдалечени от центъра.

2. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг.

3. Всяко сечение на сфера от равнина е кръг.

4. Сферата има най-голям обем сред всички пространствени фигури със същата повърхност.

5. През всякакви две диаметрално противоположни точки можете да начертаете много големи кръгове за сфера или кръгове за топка.

6. През произволни две точки, с изключение на диаметрално противоположни точки, е възможно да се начертае само един голям кръг за сфера или голям кръг за топка.

7. Всякакви две големи окръжности от една топка се пресичат по права линия, минаваща през центъра на топката, и окръжностите се пресичат в две диаметрално противоположни точки.

8. Ако разстоянието между центровете на които и да е две топки е по-малко от сумата на техните радиуси и по-голямо от модула на разликата между техните радиуси, тогава такива топки пресичат се, а в пресечната равнина се образува кръг.

Секуща, хорда, секуща равнина на сферата и техните свойства

Определение. Секантът на сферитее права линия, която пресича сферата в две точки. Точките на пресичане се наричат точки на пробиванеповърхност или входни и изходни точки на повърхността.

Определение. Акорд на сфера (топка)е отсечка, свързваща две точки от сфера (повърхността на топка).

Определение. режеща равнинае равнината, която пресича сферата.

Определение. Диаметърна равнина- това е секуща равнина, минаваща през центъра на сфера или топка, сечението се образува, съответно страхотен кръги голям кръг. Големият кръг и големият кръг имат център, който съвпада с центъра на сферата (топката).

Всяка хорда, минаваща през центъра на сфера (топка), е диаметър.

Хордата е отсечка от секуща линия.

Разстоянието d от центъра на сферата до секанса винаги е по-малко от радиуса на сферата:

д< R

Разстоянието m между режещата равнина и центъра на сферата винаги е по-малко от радиуса R:

м< R

Сечението на режещата равнина върху сферата винаги ще бъде второстепенен кръг, а на топката секцията ще бъде малък кръг. Малък кръг и малък кръг имат центрове, които не съвпадат с центъра на сферата (топката). Радиусът r на такава окръжност може да се намери по формулата:

r \u003d √ R 2 - m2,

Където R е радиусът на сферата (топката), m е разстоянието от центъра на топката до режещата равнина.

Определение. полукълбо (полукълбо)- това е половината от сферата (топката), която се образува при срязване от диаметрална равнина.

Допирателна, допирателна равнина към сферата и техните свойства

Определение. Допирателна към сфератае права линия, която докосва сферата само в една точка.

Определение. Допирателна равнина към сферае равнина, която докосва сферата само в една точка.

Допирателната (равнината) винаги е перпендикулярна на радиуса на сферата, изтеглена до точката на контакт

Разстоянието от центъра на сферата до допирателната (равнината) е равно на радиуса на сферата.

Определение. топчен сегмент- това е частта от топката, която е отрязана от топката с режеща равнина. Гръбнакът на сегментаобадете се на кръга, образувал се на мястото на секцията. височина на сегмента h е дължината на перпендикуляра, изтеглен от средата на основата на сегмента до повърхността на сегмента.

Формула. Външна повърхност на сегмент от сферас височина h по отношение на радиуса на сферата R:

S = 2π Rh