Работата на Манов „логаритмични неравенства в изпита“. Работата на Манов „логаритмични неравенства в изпита“ Задача за решаване на логаритмични неравенства 15
ЛОГАРИТМНИ НЕРАВЕНСТВА В УПОТРЕБАТА
Сечин Михаил Александрович
Малка академия на науките за студенти от Република Казахстан "Търсач"
MBOU "Советска гимназия №1", клас 11, град. Съветска област Советски
Гунко Людмила Дмитриевна, учител на MBOU "Съветско училище №1"
Съветски окръг
Обективен: разследване на механизма за решение логаритмични неравенства C3, използвайки нестандартни методи, идентифициране интересни факти логаритъм.
Предмет на изследване:
3) Научете се да решавате специфични логаритмични неравенства C3, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Съдържание
Въведение ………………………………………………………………………… .4
Глава 1. Предистория ………………………………………………… ... 5
Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства ………………………… 7
2.1. Еквивалентни преходи и обобщен метод на интервали ... 7
2.2. Метод на рационализиране ………………………………………………… 15
2.3. Нестандартна подмяна ……………… .......................................... ..... 22
2.4. Капански мисии ………………………………………………… 27
Заключение ……………………………………………………………………… 30
Литература ……………………………………………………………………. 31
Въведение
Аз съм в 11 клас и смятам да постъпя в университет, където тема на профила е математика. Следователно работя много с проблемите на част В. В задача C3 трябва да разрешите нестандартно неравенство или система от неравенства, обикновено свързани с логаритми. Докато се подготвях за изпита, се сблъсках с проблема с липсата на методи и техники за решаване на логаритмичните неравенства на изпита, предложени в C3. Методи, научени в училищна програма по тази тема не предоставяйте основа за решаване на задачи C3. Учителката по математика ме покани да работя самостоятелно със задачите от С3 под нейно ръководство. Освен това се интересувах от въпроса: има ли логаритми в живота ни?
Имайки предвид това, беше избрана темата:
„Логаритмични неравенства в изпита“
Обективен: изследване на механизма за решаване на C3 проблеми с помощта на нестандартни методи, разкриващи интересни факти от логаритъма.
Предмет на изследване:
1) Намерете необходимата информация за нестандартни методи за решаване на логаритмични неравенства.
2) Намерете повече информация за логаритмите.
3) Научете се да решавате специфични проблеми с C3, като използвате нестандартни методи.
Резултати:
Практическото значение е в разширяването на апарата за решаване на проблеми с C3. Този материал може да се използва в някои уроци, за кръгове, извънкласни дейности по математика.
Продуктът на проекта ще бъде колекцията "Логаритмични неравенства C3 с решения".
Глава 1. Предистория
През целия 16-ти век броят на приблизителните изчисления нараства бързо, главно в астрономията. Усъвършенстването на инструментите, изучаването на планетарните движения и друга работа изискваха колосални, понякога много години изчисления. Астрономията е била в реална опасност да се удави в неизпълнени изчисления. Трудности възникнаха в други области, например в застрахователния бизнес, бяха необходими таблици със сложна лихва за различни стойности на лихвите. Основната трудност беше умножение, разделяне на многоцифрени числа, особено тригонометрични величини.
Откриването на логаритмите се основава на добре познатите свойства на прогресиите към края на 16 век. Архимед говори за връзката между членовете на геометричната прогресия q, q2, q3, ... и аритметичната прогресия на техните показатели 1, 2, 3, ... в Псалма. Друга предпоставка беше разширяването на понятието степен до отрицателни и дробни показатели. Много автори посочват, че умножението, делението, степенуването и извличането на корен експоненциално съответстват в аритметика - в същия ред - събиране, изваждане, умножение и деление.
Това беше идеята зад логаритъма като експонент.
В историята на развитието на учението за логаритмите са преминали няколко етапа.
Етап 1
Логаритмите са измислени не по-късно от 1594 г. независимо от шотландския барон Нейпир (1550-1617) и десет години по-късно от швейцарския механик Бурги (1552-1632). И двамата искаха да дадат ново удобно средство за аритметични изчисления, въпреки че подходиха към тази задача по различни начини. Непер изрази кинематично логаритмичната функция и по този начин влезе в ново поле на теорията на функциите. Бурги остана на базата на разглеждането на дискретни прогресии. Определението на логаритъма обаче и за двамата не прилича на съвременното. Терминът "логаритъм" (logarithmus) принадлежи на Napier. Възникна от комбинация от гръцки думи: logos - „отношение“ и ariqmo - „число“, което означаваше „брой отношения“. Първоначално Напиер използва различен термин: numeri artiiciales - "изкуствени числа", за разлика от numeri naturalts - "естествени числа".
През 1615 г. в разговор с Хенри Бригс (1561-1631), професор по математика в колежа Греш в Лондон, Нейпир предлага да вземе нула за логаритъма на единството и 100 за логаритъма от десет, или, което се равнява на едно и също нещо, просто бяха отпечатани първите логаритмични таблици. По-късно таблиците на Бригс бяха допълнени от холандския продавач на книги и любител на математиката Андриан Флакк (1600-1667). Napier и Briggs, въпреки че са стигнали до логаритмите по-рано от всеки друг, публикуват таблиците си по-късно от други - през 1620 г. Дневниците и знаците на дневника са въведени през 1624 г. от И. Кеплер. Терминът "естествен логаритъм" е въведен от Менголи през 1659 г., последван от Н. Меркатор през 1668 г., а лондонският учител Джон Шпейдел публикува таблици с естествени логаритми с числа от 1 до 1000 под заглавието "Нови логаритми".
Първите логаритмични таблици на руски език са публикувани през 1703г. Но във всички логаритмични таблици са допуснати грешки при изчислението. Първите таблици без грешки са публикувани през 1857 г. в Берлин, обработени от немския математик К. Бремикер (1804-1877).
Етап 2
По-нататъшното развитие на теорията на логаритмите е свързано с по-широко приложение на аналитичната геометрия и безкрайно малкото смятане. Установяването на връзка между квадратурата на равностранна хипербола и естествения логаритъм датира от онова време. Теорията на логаритмите от този период е свързана с имената на редица математици.
Немски математик, астроном и инженер Николаус Меркатор в композицията
"Логаритмична техника" (1668) дава серия, която дава разширяване на ln (x + 1) в
степен на x:
Този израз точно отговаря на хода на неговата мисъл, въпреки че, разбира се, той не е използвал знаците d, ..., а по-тромави символи. С откриването на логаритмичните серии техниката за изчисляване на логаритмите се променя: те започват да се определят с помощта на безкрайни серии. В лекциите си "Елементарна математика от по-висока гледна точка", прочетени през 1907-1908 г., Ф. Клайн предлага използването на формулата като отправна точка за изграждане на теорията на логаритмите.
Етап 3
Определение логаритмична функция като функция на обратното
експоненциален, логаритъм като индикатор за степента на дадена основа
не беше формулиран веднага. Композиция от Леонард Ойлер (1707-1783)
Въведение в анализа на безкрайното (1748) служи като допълнително
развитие на теорията за логаритмичната функция. По този начин,
изминаха 134 години от въвеждането на логаритмите за първи път
(броейки от 1614 г.) преди математиците да стигнат до дефиницията
концепцията за логаритъма, която сега е в основата на училищния курс.
Глава 2. Събиране на логаритмични неравенства
2.1. Еквивалентни преходи и метод на обобщен интервал.
Еквивалентни преходи
ако a\u003e 1
ако 0 <
а <
1
Метод на обобщен интервал
Този метод е най-универсален за решаване на неравенства от почти всякакъв тип. Схемата за решение изглежда така:
1. Намалете неравенството до формата, където функцията 
, а отдясно 0.
2. Намерете домейна на функцията .
3. Намерете нулите на функцията , тоест да се реши уравнението 
(а решаването на уравнение обикновено е по-лесно от решаването на неравенство).
4. Начертайте домейна и нулите на функцията на числовата линия.
5. Определете признаците на функцията на получените интервали.
6. Изберете интервали, където функцията приема необходимите стойности, и запишете отговора.
Пример 1.
Решение:
Нека приложим метода на разстоянието
от къде
За тези стойности всички изрази под знака на логаритмите са положителни.
Отговор:
Пример 2.
Решение:
1-ви начин . ODZ се определя от неравенството х \u003e 3. Като логаритъм за такива х база 10, получаваме
Последното неравенство би могло да бъде решено чрез прилагане на правилата за разлагане, т.е. сравняване на факторите с нула. В този случай обаче е лесно да се определят интервалите на постоянство на функцията
следователно можете да приложите метода на интервалите.
Функция е(х) = 2х(х- 3,5) lgǀ х- 3ǀ е непрекъснато при х \u003e 3 и изчезва в точките х 1 = 0, х 2 = 3,5, х 3 = 2, х 4 \u003d 4. По този начин дефинираме интервалите на постоянство на функцията е(х):
Отговор:
2-ри начин . Нека приложим идеите на метода на интервалите директно към първоначалното неравенство.
За да направите това, припомнете, че изразите а б - а c и ( а - 1)(б - 1) имат един знак. Тогава нашето неравенство за х \u003e 3 е еквивалентно на неравенството
или
Последното неравенство се решава чрез метода на интервалите
Отговор:
Пример 3.
Решение:
Нека приложим метода на разстоянието
Отговор:
Пример 4.
Решение:
От 2 х 2 - 3х + 3\u003e 0 за всички реални хтогава
За да решим второто неравенство, използваме метода на интервалите
При първото неравенство правим заместването
тогава стигаме до неравенството 2y 2 - у - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те укоито удовлетворяват неравенството -0,5< у < 1.
Откъде, откакто
получаваме неравенството
което се извършва с тези хза които 2 х 2 - 3х - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов
Сега, вземайки предвид решението на второто неравенство на системата, най-накрая получаваме
Отговор:
Пример 5.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на набор от системи
или
Нека приложим метода на интервалите или
Отговор:
Пример 6.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на системата
Нека бъде
тогава у > 0,
и първото неравенство
системата приема формата
или чрез разширяване
квадратен трином по фактори,
Прилагайки метода на интервалите към последното неравенство,
виждаме, че нейните решения отговарят на условието у \u003e 0 ще бъде всичко у > 4.
По този начин първоначалното неравенство е еквивалентно на системата:
И така, решенията за неравенството са всички
2.2. Метод за рационализация.
Преди това методът за рационализиране на неравенството не беше решен, не беше известен. Това е „нов съвременен ефективен метод за решаване на експоненциални и логаритмични неравенства“ (цитат от книгата на С. И. Колесникова)
И дори учителят да го е познавал, е имало опасения - познава ли го проверяващият и защо не го дават в училище? Имаше ситуации, когато учителят казваше на ученика: "Откъде го взехте? Седнете - 2."
Сега методът се популяризира широко. И за експертите има насоки, свързани с този метод, а в „Най-пълните издания на вариантите на модела ...“ в решението С3 се използва този метод.
ПРЕКРАСЕН МЕТОД!
"Вълшебна маса"
В други източници
ако a\u003e 1 и b\u003e 1, след това log a b\u003e 0 и (a -1) (b -1)\u003e 0;
ако a\u003e 1 и 0 ако 0<а<1 и b
>1, след това влезте a b<0 и (a
-1)(b
-1)<0;
ако 0<а<1 и 00 и (a -1) (b -1)\u003e 0. Горните разсъждения са прости, но опростяват осезаемо решението на логаритмичните неравенства. Пример 4.
log x (x 2 -3)<0
Решение:
Пример 5.
log 2 x (2x 2 -4x +6) ≤log 2 x (x 2 + x) Решение: Пример 6.
За да разрешим това неравенство, вместо знаменателя, пишем (x-1-1) (x-1), а вместо числителя, произведението (x-1) (x-3-9 + x). Пример 7.
Пример 8.
2.3. Нестандартна подмяна. Пример 1.
Пример 2.
Пример 3.
Пример 4.
Пример 5.
Пример 6.
Пример 7.
log 4 (3 x -1) log 0.25 Нека направим заместването y \u003d 3 x -1; тогава това неравенство приема формата Дневник 4 дневник 0.25 Защото дневник 0,25 Правим промяната t \u003d log 4 y и получаваме неравенството t 2 -2t + ≥0, решението на което са интервалите - По този начин, за да намерим стойностите на y, имаме набор от две най-прости неравенства Следователно първоначалното неравенство е еквивалентно на събирането на две експоненциални неравенства, Решението на първото неравенство от този набор е интервалът 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+ Пример 8.
Решение:
Неравенството е еквивалентно на системата Решението за второто неравенство, което определя DHS, ще бъде множеството от тях х,
за кого х > 0.
За да разрешим първото неравенство, ние правим промяната Тогава получаваме неравенството или Наборът от решения на последното неравенство се намира чрез метода интервали: -1< т < 2. Откуда, возвращаясь к переменной х, получаваме или Много от тях хкоито удовлетворяват последното неравенство принадлежи на ODZ ( х \u003e 0), следователно е решение на системата а оттам и първоначалното неравенство. Отговор: 2.4. Капан за куестове. Пример 1.
Решение. ODZ неравенствата са всички x, отговарящи на условието 0 Пример 2.
log 2 (2 x + 1-x 2)\u003e log 2 (2 x-1 + 1-x) +1.
Отговор... (0; 0,5) U.
Отговор :
(3;6)
.
\u003d -лог 4 \u003d - (log 4 y -log 4 16) \u003d 2-log 4 y, след това пренапишете последното неравенство като 2log 4 y -log 4 2 y ≤.
Решението на този набор са интервалите 0<у≤2 и 8≤у<+.
тоест съвкупността 
... По този начин първоначалното неравенство е валидно за всички стойности на x от интервалите 0<х≤1 и 2≤х<+.
.
... Следователно всички х от интервала 0
Заключение
Не беше лесно да се намерят специални методи за решаване на проблеми C3 от голямото изобилие от различни образователни източници. В хода на свършената работа успях да изуча нестандартни методи за решаване на сложни логаритмични неравенства. Това са: еквивалентни преходи и обобщен метод на интервали, метод на рационализация , нестандартно заместване , задачи с капани на ODZ. Тези методи отсъстват в училищната програма.
Използвайки различни методи, реших 27-те неравенства, предложени на изпита в част C, а именно C3. Тези неравенства с решения по методи формираха основата на сборника „Логаритмични C3 неравенства с решения“, който се превърна в проект на моята работа. Хипотезата, която поставих в началото на проекта, се потвърди: задачите C3 могат да бъдат ефективно решени, познавайки тези методи.
Освен това открих интересни факти за логаритмите. Беше ми интересно да го направя. Моите дизайнерски продукти ще бъдат полезни както за ученици, така и за учители.
Заключения:
Така поставената цел на проекта е постигната, проблемът е решен. И аз получих най-пълния и многостранен опит в проектните дейности на всички етапи от работата. По време на работата по проекта основното ми въздействие върху развитието беше върху умствената компетентност, дейности, свързани с логически умствени операции, развитието на творческа компетентност, лична инициатива, отговорност, постоянство, активност.
Гаранция за успех при създаване на изследователски проект за Станах: значителен училищен опит, способност за извличане на информация от различни източници, проверка на нейната надеждност, класиране по важност.
В допълнение към преките познания по математика, той разшири практическите си умения в областта на компютърните науки, придоби нови знания и опит в областта на психологията, установи контакти със съученици и се научи да си сътрудничи с възрастни. В хода на дейностите по проекта се развиха организационни, интелектуални и комуникативни общообразователни умения и способности.
Литература
1. Корянов А. Г., Прокофиев А. А. Системи от неравенства с една променлива (типични задачи С3).
2. Малкова А. Г. Подготовка за изпита по математика.
3. Самарова С. С. Решение на логаритмични неравенства.
4. Математика. Сборник от учебни произведения под редакцията на А.Л. Семьонов и И.В. Яшченко. -М.: МЦНМО, 2009. - 72 с. -
Статията е посветена на анализа на 15 задачи от профила USE в математиката за 2017г. В тази задача на учениците се предлага да решават неравенства, най-често логаритмични. Въпреки че може да има показателни. Тази статия предоставя анализ на примери за логаритмични неравенства, включително тези, съдържащи променлива в основата на логаритъма. Всички примери са взети от отворена банка USE задачи по математика (профил), така че такива неравенства вероятно ще ви срещнат на изпита като задача 15. Идеален за тези, които искат да се научат как да решават задача 15 от втората част на профила USE за кратък период от време по математика, за да получите повече точки на изпита.
Анализ на 15 задачи от профилния изпит по математика
| Пример 1. Решаване на неравенството: |
В задачите на 15 USE по математика (профил) често се срещат логаритмични неравенства. Решаването на логаритмични неравенства започва с определяне на диапазона на приемливите стойности. В този случай в основата на двата логаритъма няма променлива, има само числото 11, което значително опростява задачата. Следователно единственото ограничение, което имаме тук, е, че и двата израза под знака на логаритъма са положителни:
Заглавие \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com">!}
Първото неравенство в системата е квадратното неравенство. За да го разрешим, наистина не бихме навредили да вземем предвид лявата страна. Мисля, че знаете, че всеки триъгълник на формата 
се факторизира, както следва:
където и са корените на уравнението. В този случай коефициентът е 1 (това е числовият коефициент пред). Коефициентът също е 1, а коефициентът е прихващане, той е -20. Корените на трином са най-лесно определени от теоремата на Виета. Уравнението, което сме дали, тогава сумата от корените ще бъде равна на коефициента с противоположния знак, т.е. -1, а произведението на тези корени ще бъде равно на коефициента, т.е. -20. Лесно е да се досетим, че корените ще бъдат -5 и 4.
Сега лявата страна на неравенството може да се раздели на фактори: title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} х в точки -5 и 4. Следователно желаното решение на неравенството е интервал. За тези, които не разбират написаното тук, можете да видите подробностите във видеото, започвайки от този момент. Там ще намерите и подробно обяснение как е решено второто неравенство на системата. Решава се. Нещо повече, отговорът е точно същият като при първото неравенство на системата. Тоест, множеството, написано по-горе, е областта на допустимите стойности на неравенството.
И така, като се вземе предвид факторизацията, първоначалното неравенство приема формата:
Използвайки формулата, довеждаме 11 до степента на израза под знака на първия логаритъм и преместваме втория логаритъм в лявата страна на неравенството, като същевременно променяме неговия знак на противоположния:
След намаление получаваме:
Последното неравенство, поради нарастващата функция, е еквивалентно на неравенството 
, решението на което е интервалът 
... Остава да го пресечем с обхвата на допустимите стойности на неравенството и това ще бъде отговорът на цялата задача.
И така, желаният отговор на задачата е:
Разбрахме тази задача, сега се обръщаме към следващия пример за 15 USE задача в математиката (профил).
| Пример 2. Решаване на неравенството:
|
Започваме решението, като определяме диапазона на допустимите стойности на това неравенство. В основата на всеки логаритъм трябва да има положително число, което не е равно на 1. Всички изрази под знака на логаритъма трябва да са положителни. В знаменателя на фракцията не трябва да има нула. Последното условие е еквивалентно на това, тъй като само в противен случай и двата логаритма в знаменателя изчезват. Всички тези условия определят диапазона на допустимите стойности на това неравенство, който се определя от следната система от неравенства:
Заглавие \u003d "(! LANG: Предоставено от QuickLaTeX.com">!}
В обхвата на валидните стойности можем да използваме формулите за преобразуване на логаритъма, за да опростим лявата страна на неравенството. Използвайки формулата 
отървете се от знаменателя:
Сега имаме само базови логаритми. Това вече е по-удобно. След това използваме формулата, а също и формулата, за да приведем израза, който заслужава слава, до следната форма:
При изчисленията използвахме това, което е в диапазона на приемливите стойности. Използвайки заместването, стигаме до израза:
Използваме още един заместител :. В резултат на това стигаме до следния резултат:
И така, постепенно се връщаме към първоначалните променливи. Първо към променливата:
"РЕШЕНИЕ НА ЛОГАРИТМНИ НЕРАВЕНСТВА (ЗАДАЧА №15 ИЗПОЛЗВАНЕ НА ПРОФИЛ). ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЛОГАРИТМИ В РАЗЛИЧНИ СФЕРИ НА ЧОВЕШКИЯ ЖИВОТ "
Епиграф на урока ще бъдат думите на Морис Клайн „Музиката може да повдигне или умиротвори душата, рисуването да угоди на окото, поезията да събуди чувства, философията да задоволи нуждите на ума, инженерството да подобри материалната страна на живота на хората иматематиката може да постигне всички тези цели »
Сега нека създадем настроението за успех!
Ще отговорим на следните въпроси:
Практиката на проверка на изпитни работи и аз съм изпит за USE по математика от 2005 г. показва, че най-голямата трудност за учениците е решаването на трансцендентни неравенства, особено логаритмични неравенства с променлива основа.
Следователно предлагам да разгледаме, първо, метода на рационализация (метод на декомпозиция на Моденов) или наричан по друг начин методът за заместване на мултипликаторите на Голубев, който позволява да се намалят сложните, по-специално логаритмични неравенства, до система от по-прости рационални неравенства.
Така например, при решаване на неравенството
в оценъчната версия, предложена на експертите от изпита, беше дадено следното решение:
Предлагам да се използва методът на рационализация:
Решаване на първото неравенство по метода на интервалите и отчитане на това, което получаваме
Решение на следното неравенство
видях го така:
И обясних на учениците, че понякога графичното решение е по-лесно.
В резултат на това решението на това неравенство има формата:
Помислете за неравенството
Решавайки това неравенство, може да се използва формулата
но да отидете до базата е число и абсолютно всяко:
и решете полученото неравенство по метода на интервалите:
ODZ: 
и решете полученото неравенство по метода на интервалите
и като вземем предвид ODZ, получаваме:
И, решавайки следния тип неравенство, учениците, когато записват отговора, обикновено губят едно от решенията. Определено трябва да обърнете внимание на това.
Намерете ODZ:
и изпълняваме подмяната: получаваме:
Обръщам внимание на факта, че често учениците, решаващи това, произтичащото от това неравенство, изхвърлят знаменателя, като по този начин губят едно от решенията:
Като се вземе предвид ODZ, получаваме: и
И в края на урока предлагам на учениците интересни факти за прилагането на логаритмите в различни области.
Навсякъде, където има процеси, които се променят с течение на времето, се използват логаритми.
Логаритмите са математическо понятие, което се използва във всички отрасли на науката: химия, биология, физика, география, компютърни науки и много други, но най-широко приложение логаритмите се намират в икономиката.
