Сложни производни. Логаритмично производно.
Производната на експоненциалната функция

Продължаваме да подобряваме нашата техника за диференциация. В този урок ще консолидираме разгледания материал, ще разгледаме по-сложни производни, а също така ще се запознаем с нови техники и трикове за намиране на производната, по-специално с логаритмичната производна.

Тези читатели с ниско ниво на обучение трябва да се обърнат към статията Как да намеря производно? Примери за решения, което ще повиши уменията ви от нулата. След това трябва внимателно да проучите страницата Производно на сложна функция, разбирам и решавам всичко примерите, които дадох. Този урок логично е третият поред и след като го усвоите, вие уверено ще разграничите доста сложни функции. Нежелателно е да се придържате към позицията „Къде другаде? И това е достатъчно! “Защото всички примери и решения са взети от реални тестове и често се намират на практика.

Нека започнем с повторение. На урока Производно на сложна функцияразгледахме редица примери с подробни коментари. В хода на изучаването на диференциалното смятане и други клонове на математическия анализ ще трябва да правите диференциация много често и не винаги е удобно (и не винаги е необходимо) да пишете примери много подробно. Затова ще практикуваме намирането на производни устно. Най-подходящите "кандидати" за това са производни на най-простите от сложни функции, например:

По правилото за диференциация на сложна функция :

При изучаване на други теми за матан в бъдеще, такъв подробен запис често не се изисква, предполага се, че ученикът е в състояние да намери подобни производни на автоматичния автопилот. Да си представим, че в 3 часа сутринта телефонът иззвъня и приятен глас попита: „Какво е производното на допирателната на два X?“ Това трябва да бъде последвано от почти мигновена и учтива реакция: .

Първият пример ще бъде незабавно предназначен за независимо решение.

Пример 1

Намерете следните производни устно, в една стъпка, например:. За да изпълните задачата, трябва да използвате само таблица на производни на елементарни функции (ако все още не е запомнено). Ако имате някакви затруднения, препоръчвам да препрочетете урока. Производно на сложна функция.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Отговори в края на урока

Сложни производни

След предварителна артилерийска подготовка примери с 3-4-5 приставки за функции ще бъдат по-малко страшни. Може би следващите два примера ще изглеждат трудни за някои, но ако ги разберете (някой ще пострада), тогава почти всичко останало в диференциалното смятане ще изглежда като детска шега.

Пример 2

Намерете производната на функция

Както вече беше отбелязано, при намирането на производната на сложна функция, на първо място, е необходимо налиРАЗБИРАТ прикачени файлове. В случаите, когато има съмнения, припомням една полезна техника: ние вземаме например експерименталната стойност на "X" и се опитваме (мислено или на чернова) да заместим тази стойност в "ужасния израз".

1) Първо, трябва да изчислим израза, което означава, че сумата е най-дълбоката инвестиция.

2) След това трябва да изчислите логаритъма:

4) След това вдигнете косинуса до куб:

5) На петата стъпка разликата:

6) И накрая, най-външната функция е квадратният корен:

Формула за диференциация на сложни функции се прилагат в обратен ред, от най-външната функция към най-вътрешната. Ние решаваме:

Изглежда без грешки ...

(1) Вземете производната на квадратния корен.

(2) Вземете производната на разликата, като използвате правилото

(3) Производната на тройката е нула. Във втория член приемаме производната на степента (куб).

(4) Взимаме производната на косинуса.

(5) Вземете производната на логаритъма.

(6) Накрая вземаме производната на най-дълбокото гнездене.

Може да изглежда твърде трудно, но това не е най-бруталният пример. Вземете например колекцията на Кузнецов и ще оцените целия чар и простота на анализираното производно. Забелязах, че те обичат да дават подобно нещо на изпита, за да проверят дали студентът разбира как да намери производната на сложна функция или не разбира.

Следващият пример е за независимо решение.

Пример 3

Намерете производната на функция

Съвет: Първо, приложете правилата за линейност и правилото за диференциация на продукта

Пълно решение и отговор в края на урока.

Сега е моментът да преминете към нещо по-компактно и сладко.
Не е необичайно един пример да даде продукт на не две, а три функции. Как да намерим производната на произведението на три фактора?

Пример 4

Намерете производната на функция

Първо, нека видим дали произведението на три функции може да се превърне в произведение на две функции? Например, ако имахме два многочлена в произведението, тогава бихме могли да разширим скобите. Но в този пример всички функции са различни: степен, степен и степен на логаритъм.

В такива случаи е необходимо последователноприлагайте правилото за диференциация на продуктите два пъти

Номерът е, че за "y" означаваме произведението на две функции :, а за "ve" - \u200b\u200bлогаритъма :. Защо може да се направи това? Така ли - това не е продукт на два фактора и правилото не работи ?! Няма нищо сложно:

Сега остава да приложим правилото за втори път към скобата:

Все още можете да бъдете извратени и да поставите нещо извън скобите, но в този случай е по-добре да оставите отговора в тази форма - ще бъде по-лесно да проверите.

Разглежданият пример може да бъде решен по втория начин:

И двете решения са абсолютно равностойни.

Пример 5

Намерете производната на функция

Това е пример за независимо решение, в пробата се решава по първия начин.

Нека разгледаме подобни примери с дроби.

Пример 6

Намерете производната на функция

Има няколко начина да отидете тук:

Или по този начин:

Но решението ще бъде написано по-компактно, ако преди всичко използваме правилото за разграничаване на коефициента , като вземем за целия числител:

По принцип примерът е решен и ако го оставите такъв, какъвто е, няма да е грешка. Но ако имате време, винаги е препоръчително да проверите черновата, но отговорът може ли да бъде опростен? Нека намалим израза на числителя до общ знаменател и отървете се от триетажната фракция:

Недостатъкът на допълнителните опростявания е, че съществува риск от грешка не при намирането на производна, а когато става въпрос за банални училищни трансформации. От друга страна, учителите често отхвърлят дадено задание и искат да „припомнят“ производната.

По-прост пример за решение „направи си сам“:

Пример 7

Намерете производната на функция

Продължаваме да усвояваме методите за намиране на производната и сега ще разгледаме типичен случай, когато „ужасният“ логаритъм е предложен за диференциране

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да извървите дълъг път, като използвате правилото за разграничаване на сложна функция:

Но първата стъпка веднага ви потапя в униние - трябва да вземете неприятна производна от дробна степен, а след това и от дроб.

Следователно преди как да вземем производната на "фантастичния" логаритъм, той е предварително опростен, като се използват добре познатите училищни свойства:

! Ако имате под ръка тетрадка за упражнения, копирайте тези формули точно там. Ако нямате тетрадка, прерисувайте ги на лист хартия, тъй като останалите примери от урока ще се въртят около тези формули.

Самото решение може да бъде структурирано по следния начин:

Нека трансформираме функцията:

Намерете производната:

Предварителното конфигуриране на самата функция значително опрости решението. По този начин, когато такъв логаритъм е предложен за разграничаване, винаги е препоръчително той да бъде „разбит“.

А сега няколко прости примера за независимо решение:

Пример 9

Намерете производната на функция

Пример 10

Намерете производната на функция

Всички трансформации и отговори в края на урока.

Логаритмично производно

Ако производното на логаритмите е толкова сладка музика, тогава възниква въпросът, възможно ли е в някои случаи да се организира логаритъмът изкуствено? Мога! И дори необходимо.

Пример 11

Намерете производната на функция

Напоследък виждахме подобни примери. Какво да правя? Можете последователно да прилагате правилото за разграничаване на коефициента и след това правилото за разграничаване на произведението. Недостатъкът на този метод е, че получавате огромна триетажна фракция, с която изобщо не искате да се справяте.

Но на теория и практика има такова прекрасно нещо като логаритмичното производно. Логаритмите могат да бъдат организирани изкуствено чрез „окачване“ от двете страни:

Забележка : от функцията може да приеме отрицателни стойности, тогава, най-общо казано, трябва да използвате модули: които ще изчезнат в резултат на диференциацията. Приемлив е обаче и настоящият дизайн, където се вземат предвид стандартните стойности комплекс стойности. Но ако с цялата строгост, и в двата случая трябва да се направи резерва.

Сега трябва максимално да "унищожите" логаритъма от дясната страна (формули пред очите ви?). Ще опиша този процес много подробно:

Всъщност пристъпваме към диференциация.
Прилагаме и двете части под удара:

Производната на дясната страна е съвсем проста, няма да я коментирам, защото ако четете този текст, трябва уверено да се справите с него.

Ами лявата страна?

Отляво имаме сложна функция... Предвиждам въпроса: „Защо, под логаритъма има и една буква„ igrek “?“

Факт е, че тази "игра с една буква" - САМОТО Е ФУНКЦИЯ (ако не е много ясно, вижте статията, получена от неявна функция). Следователно логаритъмът е външна функция, а „играта“ е вътрешна функция. И ние използваме правилото за разграничаване на сложна функция :

От лявата страна, като по магия, имаме производна. Освен това, съгласно правилото за пропорция, хвърляме „играта“ от знаменателя на лявата страна към горната част на дясната страна:

И сега си припомняме какъв вид "игра" -функция обсъждахме при диференциацията? Разглеждаме състоянието:

Окончателен отговор:

Пример 12

Намерете производната на функция

Това е пример за решение „направи си сам“. Пример за дизайн на пример от този тип в края на урока.

С помощта на логаритмичното производно беше възможно да се реши някой от примерите № 4-7, друго нещо е, че функциите там са по-прости и, може би, използването на логаритмичното производно не е много оправдано.

Производната на експоненциалната функция

Все още не сме разглеждали тази функция. Експоненциална функция е функция, в която а степента и основата зависят от "x"... Класически пример, който ще ви бъде даден във всеки учебник или във всяка лекция:

Как да намерим производната на експоненциална функция?

Необходимо е да се използва току-що разгледаната техника - логаритмичното производно. Закачаме логаритми от двете страни:

Като правило степента се изважда изпод логаритъма от дясната страна:

В резултат от дясната страна имаме произведение на две функции, които ще бъдат разграничени според стандартната формула .

Намерете производната, за това заграждаме и двете части под ударите:

По-нататъшните действия са прости:

И накрая:

Ако някаква трансформация не е напълно ясна, моля, препрочетете внимателно обясненията в Пример # 11.

При практически задачи експоненциалната функция винаги ще бъде по-сложна от разглеждания пример за лекция.

Пример 13

Намерете производната на функция

Използваме логаритмичното производно.

От дясната страна имаме константа и произведението на два фактора - "x" и "logarithm of the logarithm x" (друг логаритъм е вграден под логаритъма). Когато разграничавате константата, както си спомняме, по-добре е веднага да извадите знака на производната, така че да не ви пречи под краката; и разбира се прилагайте познатото правило :

Ако ж(х) и е(u) Са диференцируеми функции на техните аргументи, съответно в точките х и u= ж(х), тогава комплексната функция също е диференцируема в точката хи се намира по формулата

Типична грешка при решаване на производни задачи е автоматичното прехвърляне на правилата за диференциране на прости функции към сложни функции. Ще се научим да избягваме тази грешка.

Пример 2.Намерете производната на функция

Грешно решение: изчислете естествения логаритъм на всеки член в скоби и потърсете сумата на производни:

Правилното решение: отново определяме къде е "ябълка" и къде е "кайма". Тук естественият логаритъм на израза в скоби е "ябълка", тоест функция от междинен аргумент u, а изразът в скоби е "mince", тоест междинен аргумент u от независима променлива х.

Тогава (като се използва формула 14 от таблицата с производни)

В много реални проблеми изразът с логаритъма е малко по-сложен, така че има урок

Пример 3.Намерете производната на функция

Грешно решение:

Правилното решение. За пореден път определяме къде е "ябълка" и къде е "кайма". Тук косинусът на израза в скоби (формула 7 в таблицата с производни) е "ябълка", той се приготвя в режим 1, засягащ само него, а изразът в скоби (производното на степента е номер 3 в таблицата на производни) е "кайма", той се подготвя с режим 2, който засяга само него. И както винаги свързваме двете производни с продуктов знак. Резултат:

Производната на сложна логаритмична функция е често задаване в тестови работи, затова силно препоръчваме да посетите урока „Производно на логаритмична функция“

Първите примери бяха за сложни функции, при които междинният аргумент на независимата променлива беше проста функция. Но при практически задачи често се изисква да се намери производната на сложна функция, където междинният аргумент е или самата сложна функция, или съдържа такава функция. Какво да правя в такива случаи? Намерете производни на такива функции, като използвате таблици и правила за диференциация. Когато се намери производната на междинния аргумент, тя просто се замества на правилното място във формулата. По-долу има два примера за това как се прави това.

Също така е полезно да знаете следното. Ако сложна функция може да бъде представена като верига от три функции

тогава нейното производно трябва да се намери като произведение на производни на всяка от тези функции:

Много от домашните ви задачи може да изискват отваряне на уроци в нов прозорец Действия със сили и корени и Действия с дроби .

Пример 4.Намерете производната на функция

Прилагаме правилото за диференциация на сложна функция, като не забравяме, че в получения продукт на производни, междинният аргумент по отношение на независимата променлива х не се променя:

Подготвяме втория фактор на продукта и прилагаме правилото за разграничаване на сумата:

Следователно вторият член е корен

По този начин получихме, че междинният аргумент, който е сума, тъй като един от термините съдържа сложна функция: повишаването до степен е сложна функция, а това, което се повишава до степен, е междинен аргумент по отношение на независимата променлива х.

Следователно отново прилагаме правилото за разграничаване на сложна функция:

Ние трансформираме степента на първия фактор в корен и диференцирайки втория фактор, не забравяйте, че производната на константата е равна на нула:

Сега можем да намерим производната на междинния аргумент, необходима за изчисляване на производната на сложна функция, необходима в условието на проблема у:

Пример 5.Намерете производната на функция

Първо, нека използваме правилото за разграничаване на сумата:

Получи сумата от производни на две сложни функции. Намираме първия от тях:

Тук повишаването на синуса до степен е сложна функция, а самият синус е междинен аргумент по отношение на независимата променлива х... Следователно ще използваме правилото за разграничаване на сложна функция по пътя факториране на фактора :

Сега намираме втория член от генераторите на производната на функцията у:

Тук повишаването на косинуса до степен е сложна функция е, а самият косинус е междинен аргумент по отношение на независимата променлива х... Нека отново използваме правилото за диференциация на сложна функция:

Резултатът е необходимото производно:

Производна таблица на някои сложни функции

За сложни функции, базирани на правилото за диференциране на сложна функция, формулата за производната на проста функция приема различна форма.

1. Производно на съставна степенна функция, където u х
2. Производно на корена на израза
3. Производна на експоненциалната функция
4. Специален случай на експоненциална функция
5. Производна на логаритмична функция с произволна положителна основа а
6. Производно на сложна логаритмична функция, където u - диференцируема функция аргумент х
7. Производно на синус
8. Производно на косинуса
9. Производно на допирателната
10. Производно на котангенса
11. Производно на арксинуса
12. Производно на аркозина
13. Производно на арктангенса
14. Производно на дъговия котангенс

Ако следваме дефиницията, тогава производната на функция в дадена точка е границата на съотношението на нарастването на функцията Δ у към нарастването на аргумента Δ х:

Изглежда всичко е ясно. Но опитайте да изчислите, използвайки тази формула, да речем, производната на функция е(х) = х 2 + (2х + 3) д х Грях х... Ако правите всичко по дефиниция, след няколко страници изчисления просто ще заспите. Следователно има по-прости и по-ефективни начини.

Като начало отбелязваме, че така наречените елементарни функции могат да бъдат разграничени от цялото разнообразие от функции. Това са относително прости изрази, производни на които отдавна са изчислени и въведени в таблицата. Такива функции са достатъчно лесни за запомняне - заедно с техните производни.

Производни на елементарни функции

Елементарните функции са всичко изброено по-долу. Производните на тези функции трябва да се знаят наизуст. Нещо повече, запаметяването им изобщо не е трудно - затова те са елементарни.

И така, производни на елементарни функции:

Име	Функция	Производно
Постоянно	е(х) = ° С, ° С ∈ R	0 (да, нула!)
Рационална оценка	е(х) = х н	н · х н − 1
Синус	е(х) \u003d грях х	cos х
Косинус	е(х) \u003d cos х	- грях х (минус синус)
Допирателна	е(х) \u003d tg х	1 / cos 2 х
Котангенс	е(х) \u003d ctg х	- 1 / грях 2 х
Естествен логаритъм	е(х) \u003d ln х	1/х
Произволен логаритъм	е(х) \u003d дневник а х	1/(х Ln а)
Експоненциална функция	е(х) = д х	д х (Нищо не се промени)

Ако елементарната функция се умножи по произволна константа, тогава производната на новата функция също се изчислява лесно:

(° С · е)’ = ° С · е ’.

По принцип константите могат да бъдат премествани извън производния знак. Например:

(2х 3) ’\u003d 2 · ( х 3) '\u003d 2 3 х 2 = 6х 2 .

Очевидно елементарните функции могат да се добавят една към друга, да се умножават, разделят - и много повече. Така ще се появят нови функции, които вече не са особено елементарни, но и диференцируеми според определени правила. Тези правила са разгледани по-долу.

Производно на сума и разлика

Нека функции е(х) и ж(х), чиито производни са ни известни. Например можете да вземете елементарните функции, обсъдени по-горе. След това можете да намерите производната на сумата и разликата на тези функции:

1. (е + ж)’ = е ’ + ж ’
2. (е − ж)’ = е ’ − ж ’

И така, производната на сумата (разликата) на две функции е равна на сумата (разликата) на производните. Може да има повече термини. Например, ( е + ж + з)’ = е ’ + ж ’ + з ’.

Строго погледнато, в алгебрата няма понятие „изваждане“. Съществува понятие „отрицателен елемент“. Следователно разликата е − ж може да се пренапише като сума е + (-1) ж, а след това остава само една формула - производната на сумата.

е(х) = х 2 + sin x; ж(х) = х 4 + 2х 2 − 3.

Функция е(х) Това е сумата на две елементарни функции, следователно:

е ’(х) = (х 2 + грях х)’ = (х 2) ’+ (грех х)’ = 2х + cos x;

По подобен начин разсъждаваме и за функцията ж(х). Само че вече има три термина (от гледна точка на алгебрата):

ж ’(х) = (х 4 + 2х 2 − 3)’ = (х 4 + 2х 2 + (−3))’ = (х 4)’ + (2х 2)’ + (−3)’ = 4х 3 + 4х + 0 = 4х · ( х 2 + 1).

Отговор:
е ’(х) = 2х + cos x;
ж ’(х) = 4х · ( х 2 + 1).

Производно на произведение

Математиката е логична наука, така че мнозина вярват, че ако производната на сумата е равна на сумата на производните, тогава производната на произведението стачка"\u003e е равно на произведението на производни. Но фиг вие! Производното на продукта се изчислява, използвайки съвсем друга формула. А именно:

(е · ж) ’ = е ’ · ж + е · ж ’

Формулата е проста, но често се пренебрегва. И не само ученици, но и студенти. Резултатът е неправилно решени проблеми.

Задача. Намерете производни на функции: е(х) = х 3 cos x; ж(х) = (х 2 + 7х - 7) д х .

Функция е(х) е продукт на две елементарни функции, така че всичко е просто:

е ’(х) = (х 3 cos х)’ = (х 3) ’cos х + х 3 (cos х)’ = 3х 2 cos х + х 3 (- грех х) = х 2 (3кос х − х Грях х)

Функцията ж(х) първият фактор е малко по-сложен, но общата схема не се променя от това. Очевидно е първият фактор на функцията ж(х) е полином, а производната му е производната на сумата. Ние имаме:

ж ’(х) = ((х 2 + 7х - 7) д х)’ = (х 2 + 7х - 7) ’ д х + (х 2 + 7х - 7) ( д х)’ = (2х + 7) д х + (х 2 + 7х - 7) д х = д х · (2 х + 7 + х 2 + 7х −7) = (х 2 + 9х) · д х = х(х + 9) д х .

Отговор:
е ’(х) = х 2 (3кос х − х Грях х);
ж ’(х) = х(х + 9) д х .

Имайте предвид, че в последната стъпка производното е факторизирано. Формално това не е необходимо, но повечето производни не се изчисляват сами, а за да се изследва функцията. Това означава, че по-нататък производната ще бъде приравнена на нула, нейните знаци ще бъдат изяснени и т.н. В такъв случай е по-добре да имаме факторизиран израз.

Ако има две функции е(х) и ж(х), и ж(х) ≠ 0 от набора, който ни интересува, можем да дефинираме нова функция з(х) = е(х)/ж(х). За такава функция можете също да намерите производно:

Не е слаб, а? Откъде дойде минусът? Защо ж 2? Но така! Това е една от най-трудните формули - не можете да разберете без бутилка. Ето защо е по-добре да го изучавате с конкретни примери.

Задача. Намерете производни на функции:

Числителят и знаменателят на всяка дроб съдържа елементарни функции, така че всичко, от което се нуждаем, е формулата за производната на частното:

По традиция разделянето на числителя на фактори значително ще опрости отговора:

Сложната функция не е непременно формула с дължина половин километър. Например, достатъчно е да вземете функцията е(х) \u003d грях х и заменете променливата хда кажем нататък х 2 + ln х... Ще се окаже е(х) \u003d грях ( х 2 + ln х) Е сложна функция. Той също има производно, но няма да работи за намирането му съгласно правилата, обсъдени по-горе.

Как да бъда? В такива случаи заместването на променлива и формулата за производната на сложна функция помагат:

е ’(х) = е ’(т) · т ', ако х се заменя с т(х).

Като правило, с разбирането на тази формула, ситуацията е дори по-тъжна, отколкото с производната на коефициента. Ето защо е по-добре да го обясните с конкретни примери, с подробно описание на всяка стъпка.

Задача. Намерете производни на функции: е(х) = д 2х + 3 ; ж(х) \u003d грях ( х 2 + ln х)

Имайте предвид, че ако функцията е(х) вместо израз 2 х + 3 ще бъде лесно х, тогава получаваме елементарна функция е(х) = д х ... Следователно правим заместване: нека 2 х + 3 = т, е(х) = е(т) = д т ... Търсим производната на сложна функция по формулата:

е ’(х) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’

А сега - внимание! Извършваме обратната подмяна: т = 2х + 3. Получаваме:

е ’(х) = д т · т ’ = д 2х + 3 (2 х + 3)’ = д 2х + 3 2 \u003d 2 д 2х + 3

Сега нека се справим с функцията ж(х). Очевидно е, че трябва да замените х 2 + ln х = т... Ние имаме:

ж ’(х) = ж ’(т) · т ’\u003d (Грех т)’ · т ’\u003d Cos т · т ’

Обратна подмяна: т = х 2 + ln х... Тогава:

ж ’(х) \u003d cos ( х 2 + ln х) · ( х 2 + ln х) ’\u003d Cos ( х 2 + ln х) (2 х + 1/х).

Това е всичко! Както се вижда от последния израз, целият проблем се свежда до изчисляване на получената сума.

Отговор:
е ’(х) \u003d 2 д 2х + 3 ;
ж ’(х) = (2х + 1/х) Cos ( х 2 + ln х).

Много често в уроците си използвам думата „удар“ вместо термина „производно“. Например просто число от сума е равно на сумата на ударите. Това по-ясно ли е? Е, това е добре.

По този начин изчисляването на производната се свежда до премахване на същите тези удари съгласно правилата, обсъдени по-горе. Като последен пример, нека се върнем към производната на степента с рационален степен:

(х н)’ = н · х н − 1

Малцина знаят каква е ролята н може да е дробно число. Например коренът е х 0,5. Ами ако има нещо изискано под корена? Отново получавате сложна функция - такива конструкции обичат да се предават контролни работи и изпити.

Задача. Намерете производната на функция:

Първо, нека пренапишем корена като степен с рационален експонент:

е(х) = (х 2 + 8х − 7) 0,5 .

Сега правим замяна: нека х 2 + 8х − 7 = т... Намираме производната по формулата:

е ’(х) = е ’(т) · т ’ = (т 0,5) ’ т '\u003d 0,5 т -0,5 т ’.

Правим обратната подмяна: т = х 2 + 8х - 7. Имаме:

е ’(х) \u003d 0,5 ( х 2 + 8х - 7) -0,5 ( х 2 + 8х - 7) ’\u003d 0,5 · (2 х + 8) ( х 2 + 8х − 7) −0,5 .

И накрая, обратно към корените:

Сложните функции не винаги отговарят на дефиницията на сложна функция. Ако има функция от вида y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, тогава тя не може да се счита за сложна, за разлика от y \u003d sin 2 x.

Тази статия ще покаже концепцията за сложна функция и нейната идентификация. Нека да работим с формули за намиране на производната с примери за решения в заключението. Използването на таблицата с производни и правилото за диференциация значително намалява времето за намиране на производната.

Основни определения

Определение 1

Сложна функция е функция, чийто аргумент също е функция.

То се обозначава по този начин: f (g (x)). Имаме, че функцията g (x) се счита за аргумент на f (g (x)).

Определение 2

Ако има функция f и е котангенс функция, тогава g (x) \u003d ln x е функция на естествен логаритъм. Получаваме, че сложната функция f (g (x)) ще бъде записана като arctan (lnx). Или функция f, която е функция, издигната до 4-та степен, където g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 се счита за цяла рационална функция, получаваме, че f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 ...

Очевидно g (x) може да бъде сложно. От примера y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5 можете да видите, че стойността на g има кубичен корен с дроб. Този израз е позволено да се означава като y \u003d f (f 1 (f 2 (x))). Откъдето имаме, че f е синусова функция, а f 1 е функция, разположена под корен квадратен, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 е дробна рационална функция.

Определение 3

Степента на гнездене се определя от всеки естествено число и се записва като y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))))).

Определение 4

Концепцията за състава на функцията се отнася до броя на вложените функции от оператор на проблем. За решението формула за намиране на производната на сложна функция на формата

(f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x)

Примери за

Пример 1

Намерете производната на комплексна функция от вида y \u003d (2 x + 1) 2.

Решение

По хипотеза можете да видите, че f е функция на квадратура, а g (x) \u003d 2 x + 1 се счита за линейна функция.

Нека приложим производната формула за сложна функция и напишем:

f "(g (x)) \u003d ((g (x)) 2)" \u003d 2 * (g (x)) 2 - 1 \u003d 2 * g (x) \u003d 2 * (2 x + 1); g "(x) \u003d (2 x + 1)" \u003d (2 x) "+ 1" \u003d 2 x "+ 0 \u003d 2 1 x 1 - 1 \u003d 2 ⇒ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 (2 x + 1) 2 \u003d 8 x + 4

Необходимо е да се намери производна с опростена оригинална форма на функцията. Получаваме:

y \u003d (2 x + 1) 2 \u003d 4 x 2 + 4 x + 1

Следователно имаме това

y "\u003d (4 x 2 + 4 x + 1)" \u003d (4 x 2) "+ (4 x)" + 1 "\u003d 4 · (x 2)" + 4 · (x) "+ 0 \u003d \u003d 4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 \u003d 8 x + 4

Резултатите съвпаднаха.

Когато решавате задачи от този вид, е важно да разберете къде ще се намира функцията на формата f и g (x).

Пример 2

Трябва да намерите производни на сложни функции от вида y \u003d sin 2 x и y \u003d sin x 2.

Решение

Първият запис на функцията казва, че f е функцията на квадратиране, а g (x) е синусоидната функция. Тогава получаваме това

y "\u003d (sin 2 x)" \u003d 2 sin 2 - 1 x (sin x) "\u003d 2 sin x cos x

Вторият запис показва, че f е синусова функция, а g (x) \u003d x 2 означаваме степенна функция. Оттук следва, че произведението на сложна функция може да бъде записано като

y "\u003d (sin x 2)" \u003d cos (x 2) (x 2) "\u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

Формулата за производната y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (... (Fn (x))))))) може да бъде записана като y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (.. ( fn (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (... (fn (x))))) f 2" (f 3 (.. (fn (x)) )) ·. ... ... · F n "(x)

Пример 3

Намерете производната на функцията y \u003d sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Решение

Този пример показва сложността на функциите за писане и намиране. Тогава y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) означава, където f, f 1, f 2, f 3, f 4 (x) е синусова функция, функция на повишаване в 3 степен, функция с логаритъм и основа e, арктангенс функция и линейна.

От формулата за дефиниция на сложна функция имаме това

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Получаваме какво да намерим

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) като синусово производно съгласно таблицата на производни, след това f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ) \u003d cos (ln 3 арктан (2 х)).
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) като производна на степенната функция, след това f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) \u003d 3 ln 3 - 1 арктан (2 х) \u003d 3 в 2 арктан (2 х).
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) като производно на логаритмичното, след това f 2" (f 3 (f 4 (x))) \u003d 1 a r c t g (2 x).
4. f 3 "(f 4 (x)) като производно на арктангенса, след това f 3" (f 4 (x)) \u003d 1 1 + (2 x) 2 \u003d 1 1 + 4 x 2.
5. Когато намирате производната f 4 (x) \u003d 2 x, извадете 2 извън знака на производната, използвайки формулата за производната на степенна функция с степен, равна на 1, тогава f 4 "(x) \u003d (2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 1 х 1 - 1 \u003d 2.

Ние комбинираме междинните резултати и получаваме това

y "\u003d f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) \u003d \u003d cos (ln 3 arctan (2 x)) 3 ln 2 arctan (2 x) 1 арктан (2 х) 1 1 + 4 х 2 2 \u003d \u003d 6 cos (ln 3 арктан (2 х)) ln 2 арктан (2 х) арктан (2 х) (1 + 4 х 2)

Анализирането на такива функции прилича на матрьошки. Правилата за диференциация не винаги могат да се прилагат изрично, като се използва таблица на производни. Често е необходимо да се използва формула за намиране на производни на сложни функции.

Има някои разлики между сложните и сложните функции. С очевидната способност да се различава това, намирането на производни ще бъде особено лесно.

Пример 4

Необходимо е да се помисли за даване на подобен пример. Ако има функция от формата y \u003d t g 2 x + 3 t g x + 1, тогава тя може да се разглежда като сложна форма g (x) \u003d t g x, f (g) \u003d g 2 + 3 g + 1. Очевидно е необходимо да се приложи формула за комплексно производно:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1)" \u003d (g 2 (x)) "+ (3 g (x))" + 1 "\u003d \u003d 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 tgx + 3; g "(x) \u003d (tgx)" \u003d 1 cos 2 x ⇒ y "\u003d (f (g (x)))" \u003d f "(g (x)) g" (x) \u003d (2 tgx + 3 ) 1 cos 2 x \u003d 2 tgx + 3 cos 2 x

Функция от вида y \u003d t g x 2 + 3 t g x + 1 не се счита за трудна, тъй като има сумата от t g x 2, 3 t g x и 1. Въпреки това, t g x 2 се счита за сложна функция, тогава получаваме степенна функция от вида g (x) \u003d x 2 и f, която е функция на допирателната. За да направите това, трябва да разграничите по сумата. Получаваме това

y "\u003d (tgx 2 + 3 tgx + 1)" \u003d (tgx 2) "+ (3 tgx)" + 1 "\u003d \u003d (tgx 2)" + 3 · (tgx) "+ 0 \u003d (tgx 2)" + 3 cos 2 x

Пристъпваме към намирането на производната на сложна функция (t g x 2) ":

f "(g (x)) \u003d (tg (g (x)))" \u003d 1 cos 2 g (x) \u003d 1 cos 2 (x 2) g "(x) \u003d (x 2)" \u003d 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (tgx 2) "\u003d f" (g (x)) g "(x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Получаваме, че y "\u003d (t g x 2 + 3 t g x + 1)" \u003d (t g x 2) "+ 3 cos 2 x \u003d 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Сложните функции могат да бъдат включени в сложни функции, а самите сложни функции могат да бъдат сложни функции.

Пример 5

Например, разгледайте сложна функция от вида y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Тази функция може да бъде представена като y \u003d f (g (x)), където стойността на f е функция на логаритъма към база 3, а g (x) се счита за сумата от две функции от формата h (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 и k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1). Очевидно y \u003d f (h (x) + k (x)).

Да разгледаме функцията h (x). Това е съотношението l (x) \u003d x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 към m (x) \u003d e x 2 + 3 3

Имаме, че l (x) \u003d x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 \u003d n (x) + p (x) е сумата от две функции n (x) \u003d x 2 + 7 и p (x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1), където p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) е сложна функция с числов коефициент 3, а p 1 е функция на кубиране, p 2 като косинусова функция, p 3 (x) \u003d 2 x + 1 - линейна функция.

Получихме, че m (x) \u003d ex 2 + 3 3 \u003d q (x) + r (x) е сумата от две функции q (x) \u003d ex 2 и r (x) \u003d 3 3, където q (x) \u003d q 1 (q 2 (x)) е сложна функция, q 1 е функция с експоненциална функция, q 2 (x) \u003d x 2 е степенна функция.

Това показва, че h (x) \u003d l (x) m (x) \u003d n (x) + p (x) q (x) + r (x) \u003d n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

При преминаване към израз на формата k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), може да се види, че функцията се представя като сложна функция s (x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) с рационално цяло число t (x) \u003d x 2 + 1, където s 1 е функцията на квадратиране, а s 2 (x) \u003d ln x е логаритмично с основа e.

Оттук следва, че изразът приема формата k (x) \u003d s (x) t (x) \u003d s 1 (s 2 (x)) t (x).

Тогава получаваме това

y \u003d log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 ex 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) \u003d \u003d fn (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) \u003d r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Чрез функционални структури стана ясно как и какви формули трябва да се използват за опростяване на даден израз при диференцирането му. За да се запознаете с подобни проблеми и за концепцията за тяхното решаване, е необходимо да се обърнете към точката на диференциране на функция, тоест намирането на нейната производна.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter

На която анализирахме най-простите производни, а също така се запознахме с правилата за диференциация и някои техники за намиране на производни. По този начин, ако не сте много добри с производни на функции или някои точки от тази статия не са напълно ясни, първо прочетете горния урок. Моля, настройте се на сериозно настроение - материалът не е лесен, но ще се опитам да го представя лесно и лесно.

На практика човек трябва да се занимава с производната на сложна функция много често, дори бих казал, почти винаги, когато ви се дават задачи да намерите производни.

В таблицата разглеждаме правилото (№ 5) за разграничаване на сложна функция:

Разбиране. На първо място, нека обърнем внимание на записа. Тук имаме две функции - и освен това функцията, образно казано, е вградена във функцията. Функция от този вид (когато една функция е вложена в друга) се нарича сложна функция.

Ще извикам функцията външна функцияи функцията - вътрешна (или вложена) функция.

! Тези определения не са теоретични и не трябва да се появяват при завършването на задачите. Използвам неформални изрази „външна функция“, „вътрешна“ функция само за да ви улесня в разбирането на материала.

За да изясните ситуацията, помислете за:

Пример 1

Намерете производната на функция

Под синуса имаме не просто буквата "X", а цял израз, така че няма да е възможно да се намери производната веднага от таблицата. Също така забелязваме, че е невъзможно да се приложат първите четири правила тук, изглежда има разлика, но факт е, че не можете да „разделите“ синус:

В този пример, вече от моите обяснения, е интуитивно ясно, че функцията е сложна функция, а полиномът е вътрешна функция (влагане) и външна функция.

Първа стъпка, което трябва да се извърши, когато намирането на производната на сложна функция е до разберете коя функция е вътрешна и коя външна.

Кога прости примери изглежда ясно, че под синуса е вложен полином. Но какво, ако всичко не е очевидно? Как точно да се определи коя функция е външна и коя вътрешна? За да направите това, предлагам да използвате следната техника, която може да се направи психически или на чернова.

Представете си, че трябва да изчислим стойността на израз в на калкулатор (вместо един, може да има произволно число).

Какво ще изчислим първо? Преди всичко ще трябва да изпълните следното действие :, така че полиномът ще бъде вътрешна функция:

Второ ще трябва да бъде намерен, така че синусът ще бъде външна функция:

След като ние Разбрах с вътрешни и външни функции е време да приложим правилото за разграничаване на сложна функция .

Започваме да решаваме. От урока Как да намеря производно? помним, че дизайнът на решението на производна производна винаги започва по следния начин - затваряме израза в скоби и поставяме щрих горе вдясно:

Първо намираме производната на външната функция (синус), разглеждаме таблицата на производни на елементарни функции и забелязваме това. Всички таблични формули са приложими и ако „x“ се замени със сложен израз, в такъв случай:

Моля, обърнете внимание, че вътрешната функция не се е променило, ние не го докосваме.

Е, съвсем очевидно е, че

Резултатът от прилагането на формулата в крайния дизайн изглежда така:

Константният коефициент обикновено се поставя в началото на израза:

Ако има някакво недоразумение, запишете решението и прочетете отново обясненията.

Пример 2

Намерете производната на функция

Пример 3

Намерете производната на функция

Както винаги, ние пишем:

Нека да разберем къде имаме външна функция и къде е вътрешна. За да направите това, опитайте (мислено или на чернова) да изчислите стойността на израза при. Какво трябва да се направи първо? На първо място, трябва да изчислите на какво е равна основата: което означава, че полиномът е вътрешната функция:

И едва тогава се извършва степенуването, следователно степенната функция е външна функция:

Според формулата , първо трябва да намерите производната на външната функция, в този случай степента. Търсим необходимата формула в таблицата :. Повтаряме отново: всяка таблична формула е валидна не само за "x", но и за сложен израз... По този начин резултатът от прилагането на правилото за диференциация на сложна функция следното:

Отново подчертавам, че когато вземем производната на външната функция, вътрешната функция не се променя:

Сега остава да се намери много проста производна на вътрешната функция и да се "гребе" резултатът малко:

Пример 4

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение (отговор в края на урока).

За да затвърдя разбирането за производната на сложна функция, ще дам пример без коментари, опитайте се да го разберете сами, спекулирайте къде е външната и къде е вътрешната функция, защо задачите се решават по този начин?

Пример 5

а) Намерете производната на функцията

б) Намерете производната на функцията

Пример 6

Намерете производната на функция

Тук имаме корен и за да се разграничи коренът, той трябва да бъде представен като степен. По този начин първо привеждаме функцията във форма, подходяща за диференциация:

Анализирайки функцията, стигаме до извода, че сумата от три члена е вътрешна функция, а степенуването е външна функция. Прилагаме правилото за диференциация на сложна функция :

Степента отново се представя като радикал (корен) и за производната на вътрешната функция прилагаме просто правило за диференциране на сумата:

Свършен. Можете също така да доведете израза до общ знаменател в скоби и да запишете всичко с една дроб. Хубаво, разбира се, но когато се получат тромави дълги производни, по-добре е да не правите това (лесно е да се объркате, да направите ненужна грешка и ще бъде неудобно за учителя да проверява).

Пример 7

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение (отговор в края на урока).

Интересно е да се отбележи, че понякога вместо правилото за разграничаване на сложна функция може да се използва правилото за разграничаване на коефициента , но такова решение ще изглежда необичайно като перверзия. Ето един типичен пример:

Пример 8

Намерете производната на функция

Тук можете да използвате правилото за разграничаване на коефициента , но е много по-изгодно да се намери производната чрез правилото за диференциране на сложна функция:

Подготвяме функцията за диференциране - поставяме минуса зад знака на производната и вдигаме косинуса до числителя:

Косинусът е вътрешна функция, степенуването е външна функция.
Ние използваме нашето правило :

Намерете производната на вътрешната функция, нулирайте косинуса обратно надолу:

Свършен. В разглеждания пример е важно да не се бъркате в знаците. Между другото, опитайте се да го разрешите с правилото , отговорите трябва да съвпадат.

Пример 9

Намерете производната на функция

Това е пример за самостоятелно решение (отговор в края на урока).

Досега разгледахме случаи, когато имахме само едно прикачено устройство в сложна функция. В практическите задачи често можете да намерите производни, където, като кукли за гнездене, една в друга, се влагат едновременно 3 или дори 4-5 функции.

Пример 10

Намерете производната на функция

Нека разберем прикачените файлове на тази функция. Опит за оценка на израза с помощта на тестовата стойност. Как бихме разчитали на калкулатор?

Първо трябва да намерите, което означава, че арксинусът е най-дълбокото гнездене:

Тогава този арксинус от един трябва да бъде на квадрат:

И накрая, вдигнете 7-те в степен:

Тоест, в този пример имаме три различни функции и две прикачени файлове, докато най-вътрешната функция е арксинус, а най-външната функция е експоненциалната функция.

Започваме да решаваме

Според правилото първо трябва да вземете производната на външната функция. Разглеждаме таблицата с производни и намираме производната на експоненциалната функция: Единствената разлика е, че вместо "x" имаме сложен израз, който не отрича валидността на тази формула. И така, резултатът от прилагането на правилото за диференциация на сложна функция следващи.