Независимо дали е разделено на. Можете ли да разделите на нула? Математикът отговаря. Когато се появи нула

„Не можете да разделите на нула!“ - по-голямата част от учениците запомнят това правило, без да задават въпроси. Всички деца знаят какво "не е позволено" и какво ще се случи, ако в отговор на него попита: "Защо?" Но всъщност е много интересно и важно да се знае защо е невъзможно.

Въпросът е, че четирите аритметични операции - събиране, изваждане, умножение и деление - всъщност са неравнопоставени. Математиците разпознават само две от тях като пълни - събиране и умножение. Тези операции и техните свойства са включени в самото определение на понятието число. Всички останали действия се изграждат по един или друг начин от тези две.

Помислете например за изваждане. Какво означава 5 - 3? Отговорът на ученика за това е прост: вземете пет предмета, вземете (премахнете) три от тях и вижте колко остават. Но математиците гледат на този проблем по съвсем различен начин. Няма изваждане, има само добавяне. Следователно записването на 5 - 3 означава число, което, когато се добави към числото 3, дава числото 5. Тоест, 5 - 3 е просто съкратен запис на уравнението: x + 3 \u003d 5. В това уравнение няма изваждане. Има само задача - да се намери подходящ номер.

Същият е случаят с умножението и делението. Нотацията 8: 4 може да се разбере като резултат от разделянето на осем елемента на четири равни купчини. Но в действителност това е само съкратена форма на уравнението 4 x \u003d 8.

Тук става ясно защо е невъзможно (или по-скоро невъзможно) да се раздели на нула. Нотация 5: 0 е съкращение за 0 x \u003d 5. Тоест, тази задача е да се намери число, което, умножено по 0, дава 5. Но ние знаем, че когато се умножи по 0, винаги получавате 0. Това е присъщо свойство на нула, строго погледнато, част от дефиницията му.

Няма такова число, което, умножено по 0, ще даде нещо различно от нула. Тоест, нашата задача няма решение. (Да, това се случва, не всеки проблем има решение.) Това означава, че нотацията 5: 0 не съответства на някакво конкретно число и просто не означава нищо и следователно няма смисъл. Безсмислието на този запис се изразява накратко, като се казва, че не можете да разделите на нула.

Най-внимателните читатели на това място със сигурност ще попитат: може ли нулата да бъде разделена на нула? Всъщност уравнението 0 x \u003d 0 е успешно решено. Например, можете да вземете x \u003d 0 и тогава получаваме 0 0 \u003d 0. И така, 0: 0 \u003d 0? Но нека не бързаме. Нека се опитаме да вземем x \u003d 1. Получаваме 0 1 \u003d 0. Нали? Значи 0: 0 \u003d 1? Но можете да вземете произволно число по този начин и да получите 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 и т.н.

Но ако някакъв номер е подходящ, тогава нямаме причина да избираме някой от тях. Тоест, не можем да кажем на кое число съответства записът 0: 0. И ако е така, тогава сме принудени да признаем, че и този запис няма смисъл. Оказва се, че дори нулата не може да бъде разделена на нула. (При математическия анализ има случаи, когато поради допълнителни условия на задачата може да се предпочете едно от възможните решения на уравнението 0 x \u003d 0; в такива случаи математиците говорят за „разкриване на несигурност“, но при аритметика такива случаи не се получават.)

Това е особеността на операцията по дивизията. По-точно операцията за умножение и свързаното число имат нула.

Е, и най-педантичният, прочел дотук, може да попита: защо е невъзможно да се раздели на нула, но можете да извадите нула? В известен смисъл тук започва истинската математика. Можете да отговорите на него само след като се запознаете с формалните математически дефиниции на числови множества и операции върху тях. Не е толкова трудно, но по някаква причина не се преподава в училище. Но на лекциите по математика в университета на първо място ще бъдете научени точно на това.

Още в училище учителите се опитаха да ни забият най-простото правило в главите: „Всяко число, умножено по нула, е равно на нула!“, - но все пак има много противоречия около него. Някой просто си спомни правилото и не се занимава с въпроса „защо?“. "Не можеш и това е, защото така казаха в училище, едно правило е правило!" Някой може да напише половин тетрадка с формули, доказвайки това правило или, обратно, неговата нелогичност.

Във връзка с

Кой е прав в крайна сметка

По време на тези спорове и двамата хора с противоположни гледни точки се гледат като овен и доказват с всички сили, че са прави. Въпреки че, ако ги погледнете отстрани, можете да видите не един, а два овена, опиращи рога един срещу друг. Единствената разлика между тях е, че единият е малко по-малко образован от другия.

Най-често тези, които вярват, че това правило е неправилно, се опитват да извикат логиката по този начин:

Имам две ябълки на масата си, ако им сложа нула ябълки, тоест не сложа нито една, тогава двете ми ябълки няма да изчезнат от това! Правилото е нелогично!

Всъщност ябълките няма да изчезнат никъде, но не защото правилото е нелогично, а защото тук се използва малко по-различно уравнение: 2 + 0 \u003d 2. Така че ние веднага отхвърляме такова заключение - то е нелогично, въпреки че има противоположната цел - да извика към логиката.

Какво е умножение

Оригиналното правило за умножение е дефиниран само за естествени числа: умножението е число, добавено към себе си определен брой пъти, което означава, че числото е естествено. По този начин всяко число с умножение може да бъде намалено до това уравнение:

25 × 3 \u003d 75
25 + 25 + 25 = 75
25 × 3 \u003d 25 + 25 + 25

Заключението следва от това уравнение, че умножението е опростено добавяне.

Какво е нула

Всеки човек от детството знае: нулата е празнота, Въпреки факта, че тази празнота има обозначение, тя не носи нищо. Древните ориенталски учени вярвали по различен начин - те подходили към въпроса философски и провеждали някои паралели между празнотата и безкрайността и виждали дълбок смисъл в това число. В крайна сметка нулата, която има значение на празнота, стоейки до всяко естествено число, го умножава десет пъти. Оттук и всички спорове относно умножението - това число носи толкова много непоследователност, че става трудно да не се объркате. В допълнение, нулата се използва постоянно за дефиниране на празни места в десетични дроби, това се прави както преди, така и след десетичната запетая.

Възможно ли е да се умножи по празнота

Можете да умножите по нула, но това е безполезно, защото, каквото и да се каже, но дори когато умножавате отрицателни числа, пак ще получите нула. Достатъчно е просто да запомните това най-просто правило и никога повече да не задавате този въпрос. Всъщност всичко е по-просто, отколкото изглежда на пръв поглед. Няма скрити значения и тайни, както са вярвали древните учени. По-долу ще бъде дадено най-логичното обяснение, че това умножение е безполезно, защото когато дадено число се умножи по него, пак ще се получи същото - нула.

Връщайки се към самото начало, към спора за две ябълки, 2 пъти по 0 изглежда така:

Ако ядете две ябълки пет пъти, тогава ядете 2 × 5 \u003d 2 + 2 + 2 + 2 + 2 \u003d 10 ябълки
Ако ги ядете два три пъти, тогава се ядат 2 × 3 \u003d 2 + 2 + 2 \u003d 6 ябълки
Ако ядете две ябълки нула пъти, тогава нищо няма да се яде - 2 × 0 \u003d 0 × 2 \u003d 0 + 0 \u003d 0

В крайна сметка, яденето на ябълка 0 пъти означава да не ядете нито една. Дори най-малкото дете ще разбере това. Каквото и да се каже, 0 ще излезе, две или три могат да бъдат заменени с абсолютно всяко число и абсолютно същото ще излезе. По-просто казано, тогава нулата е нищои когато имате няма нищо, колкото и да умножавате, няма значение ще бъде нула... Няма магия и нищо няма да направи ябълка, дори ако умножите 0 по милион. Това е най-простото, разбираемо и логично обяснение на правилото за умножение по нула. За човек, далеч от всякакви формули и математика, такова обяснение ще бъде достатъчно, за да се разсее дисонансът в главата и всичко си идва на мястото.

Дивизия

Друго важно правило следва от всичко по-горе:

Не можете да разделите на нула!

Това правило също е упорито забивано в главите ни от детството. Просто знаем, че е невъзможно и всичко, без да си тъпчем главите с ненужна информация. Ако неочаквано ви бъде зададен въпросът защо е забранено да се дели на нула, тогава мнозинството ще бъде объркано и няма да може да отговори ясно на най-простия въпрос от учебната програма, защото около това правило няма толкова много противоречия и противоречия.

Всички просто запомниха правилото и не се делиха на нула, без да подозират, че отговорът лежи на повърхността. Събирането, умножението, делението и изваждането са неравномерни, само умножението и събирането са пълни от горното и всички други манипулации с числа се изграждат от тях. Тоест, писането на 10: 2 е съкращение на уравнението 2 * x \u003d 10. И така, писането на 10: 0 е същото съкращение от 0 * x \u003d 10. Оказва се, че разделянето на нула е задача за намиране на число, умножавайки го по 0, получавате 10 И вече разбрахме, че такова число не съществува, което означава, че това уравнение няма решение и априори ще бъде неправилно.

Нека ви кажа

Да не се дели на 0!

Нарежете 1, както искате, по дължина,

Просто не делете на 0!

Евгений ШИРЯЕВ, преподавател и ръководител на Математическата лаборатория на Политехническия музей, каза на "AiF" за разделяне на нула:

1. Компетентност на въпроса

Съгласете се, забраната дава специална провокация на правилото. Как е невъзможно? Кой го е забранил? Ами нашите граждански права?

Нито конституцията, нито Наказателният кодекс, нито дори уставите на вашето училище възразяват върху интелектуалното действие, което ни интересува. Това означава, че забраната няма юридическа сила и нищо не пречи точно тук, на страниците на "AiF", да се опита да раздели нещо на нула. Например хиляда.

2. Разделете, както сте научили

Не забравяйте, че когато за първи път се научихте да разделяте, първите примери бяха решени с теста за умножение: резултатът, умножен по делителя, трябваше да съвпада с дивидента. Не съвпадна - не реши.

Пример 1. 1000: 0 =...

Да забравим за една минута забраненото правило и да направим няколко опита да познаем отговора.

Проверката ще отреже неправилните. Преминете през опциите: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. За всяка от тях проверката ще даде същия резултат:

100 0 \u003d 1 0 \u003d - 23 0 \u003d 17 0 \u003d 0 0 \u003d 10 000 0 \u003d 0

Нулата чрез умножение превръща всичко в себе си и никога в хиляда. Заключението не е трудно да се формулира: нито един номер няма да премине теста. Тоест, нито едно число не може да бъде резултат от разделяне на ненулево число на нула. Такова разделяне не е забранено, но просто няма резултат.

3. Нюанс

Почти пропуснахме една възможност да опровергаем забраната. Да, признаваме, че ненулево число не може да се дели на 0. Но може би самото 0 може?

Пример 2. 0: 0 = ...

Вашите предложения за частен? сто? Моля: коефициент 100 пъти делител 0 е равен на делимото 0.

Повече опций! един? Също така се вписва. И -23, и 17, и всички-всички-всички. В този пример тестът ще бъде положителен за произволно число. И, честно казано, решението в този пример трябва да се нарича не число, а набор от числа. Всеки. И не след дълго се стига до съгласие, че Алис не е Алиса, а Мери Ан и двете са мечта на заек.

4. Ами висшата математика?

Проблемът беше решен, отчетени са нюансите, поставени са точките, всичко стана ясно - отговорът за примера с деление на нула не може да бъде едно число. Да се \u200b\u200bрешат такива проблеми е безнадеждна и невъзможна задача. Което означава ... интересно! Вземи две.

Пример 3. Измислете как да разделите 1000 на 0.

Няма начин. Но 1000 може лесно да бъде разделено на други числа. Е, нека поне да правим това, което получаваме, дори да сменим задачата. И там, разбирате ли, ще се увлечем и отговорът ще се появи сам. Забравяме за нулата за минута и разделяме на сто:

Сто е далеч от нулата. Нека направим крачка към нея, като намалим делителя:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидна динамика: колкото по-близо е делителят до нула, толкова по-голям е коефициентът. Тенденцията може да се наблюдава по-нататък, преминавайки към фракции и продължавайки да намалява числителя:

Остава да се отбележи, че можем да се доближим до нулата толкова близо, колкото ни харесва, правейки коефициента произволно голям.

В този процес няма нула и последен фактор. Определихме движението към тях, замествайки числото с последователност, сближаваща се до интересуващия ни брой:

Това предполага подобен заместител на дивидента:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелките не са напразно поставени двустранно: някои последователности могат да се сближат до числа. Тогава можем да присвоим последователността до нейната числена граница.

Нека да разгледаме последователността на коефициентите:

Расте безкрайно, без да се стреми към каквото и да е число и да надминава всяко. Математиците добавят символа към числата ∞, за да можете да поставите двуглава стрелка до такава последователност:

Сравнението на броя на последователностите с лимит ни позволява да предложим решение на третия пример:

Разделяйки последователност, сближаваща се до 1000, с поредица от положителни числа, сближаващи се до 0, получаваме последователност, сближаваща се до ∞.

5. И тук има нюанс с две нули

Какъв ще бъде резултатът от разделянето на две последователности от положителни числа, които се сближават до нула? Ако са еднакви, значи са една и съща единица. Ако последователността на дивидентите се сближава до нула по-бързо, тогава в коефициента това е последователност с нулев лимит. И когато елементите на делителя намаляват много по-бързо от този на дивидента, последователността на коефициентите ще нараства силно:

Несигурна ситуация. И така се нарича: несигурността на вида 0/0 ... Когато математиците видят последователности, които са подходящи за такава несигурност, те не бързат да разделят две еднакви числа помежду си, а измислят коя от последователностите протича по-бързо до нула и как точно. И всеки пример ще има свой специфичен отговор!

6. В живота

Законът на Ом свързва силата на тока, напрежението и съпротивлението във верига. Често се пише в тази форма:

Нека пренебрегнем точното физическо разбиране и официално разгледаме дясната страна като част от две числа. Нека си представим, че решаваме училищния проблем с електричеството. Състоянието дава напрежение във волта и съпротивление в ома. Въпросът е очевиден, решение в една стъпка.

Сега нека разгледаме определението за свръхпроводимост: това е свойството на някои метали да имат нулево електрическо съпротивление.

Е, нека решим проблема за свръхпроводящата верига? Просто заместител R \u003d0 няма да работи, физиката поражда интересен проблем, зад който очевидно има научно откритие. И хората, които успяха да разделят на нула в тази ситуация, получиха Нобелова награда. Полезно е да можете да заобиколите всякакви забрани!

И ето още едно интересно твърдение. „Не можете да разделите на нула!“ - по-голямата част от учениците запомнят това правило, без да задават въпроси. Всички деца знаят какво е „забранено“ и какво ще се случи, ако в отговор на него попита: „Защо?“. Ето какво ще се случи, ако

Но всъщност е много интересно и важно да се знае защо е невъзможно.

Същият е случаят с умножението и делението. Нотацията 8: 4 може да се разбере като резултат от разделянето на осем елемента на четири равни купчини. Но в действителност това е просто съкратена форма на уравнението 4 x \u003d 8.

Тук става ясно защо е невъзможно (или по-скоро невъзможно) да се раздели на нула. Нотация 5: 0 е съкращение за 0 x \u003d 5. Тоест тази задача е да се намери такова число, което, умножено по 0, ще даде 5. Но ние знаем, че когато се умножи по 0, винаги получавате 0. Това е присъщо свойство на нула, строго погледнато , част от дефиницията му.

Няма такова число, което, умножено по 0, ще даде нещо различно от нула. Тоест, нашата задача няма решение. (Да, случва се, не всеки проблем има решение.) Това означава, че нотацията 5: 0 не съответства на някакво конкретно число и просто не означава нищо и следователно няма смисъл. Безсмислието на този запис се изразява накратко, като се казва, че не можете да разделите на нула.

Най-внимателните читатели на това място със сигурност ще попитат: може ли нулата да бъде разделена на нула? Всъщност уравнението 0 x \u003d 0 е успешно решено. Например можем да вземем x \u003d 0 и след това да получим 0 · 0 \u003d 0. Оказва се, че 0: 0 \u003d 0? Но нека не бързаме. Нека се опитаме да вземем x \u003d 1. Получаваме 0 · 1 \u003d 0. Нали? Значи 0: 0 \u003d 1? Но можете да вземете произволно число по този начин и да получите 0: 0 \u003d 5, 0: 0 \u003d 317 и т.н.

Но ако някакъв номер е подходящ, тогава нямаме причина да избираме някой от тях. Тоест, не можем да кажем на кое число съответства записът 0: 0. И ако това е така, тогава трябва да признаем, че и този запис няма смисъл. Оказва се, че дори нулата не може да бъде разделена на нула. (При математическия анализ има случаи, когато благодарение на допълнителните условия на задачата може да се предпочете едно от възможните решения на уравнението 0 · x \u003d 0; в такива случаи математиците говорят за „разкриване на несигурност“, но при аритметика такива случаи не се получават.)

Числото 0 може да бъде представено като вид граница, разделяща света на реалните числа от въображаеми или отрицателни. Поради неясното положение, много операции с тази числова стойност не се подчиняват на математическа логика. Невъзможността за разделяне на нула е отличен пример за това. А разрешените аритметични операции с нула могат да се извършват, като се използват общоприети дефиниции.

Нулева история

Нулата е референтната точка във всички стандартни системи за изчисление. Европейците започнаха да използват това число сравнително наскоро, но мъдреците от древна Индия използваха нула хиляда години преди празното число да се използва редовно от европейските математици. Още преди индийците нулата е била задължителна стойност в числовата система на маите. Този американски народ използва дуодецималната числова система и започва с нула в първия ден на всеки месец. Интересното е, че знакът на маите за „нула“ беше точно същият като знака за „безкрайност“. По този начин древните маи заключават, че тези ценности са идентични и непознаваеми.

Математически операции с нула

Стандартните математически операции с нула могат да се сведат до няколко правила.

Добавяне: ако добавите нула към произволно число, то няма да промени стойността си (0 + x \u003d x).

Изваждане: при изваждане на нула от произволно число стойността на изваденото остава непроменена (x-0 \u003d x).

Умножение: Всяко число, умножено по 0, дава 0 в продукта (a * 0 \u003d 0).

Деление: нулата може да бъде разделена на всяко ненулево число. В този случай стойността на такава дроб ще бъде 0. И делението на нула е забранено.

Степенуване. Това действие може да се извърши с произволен номер. Произволно число, повдигнато до нулева степен, ще даде 1 (x 0 \u003d 1).

Нула за всяка мощност е 0 (0 a \u003d 0).

В този случай веднага възниква противоречие: изразът 0 0 няма значение.

Парадокси на математиката

Много хора знаят, че разделянето на нула е невъзможно от училище. Но по някаква причина е невъзможно да се обясни причината за такава забрана. Всъщност, защо формулата за разделяне на нула не съществува, но други действия с това число са напълно разумни и възможни? Отговорът на този въпрос дават математиците.

Работата е там, че обичайните аритметични операции, които учениците учат в началните класове, всъщност далеч не са толкова равни, колкото си мислим. Всички прости операции с числа могат да бъдат сведени до две: събиране и умножение. Тези действия са същността на самата концепция за число, а останалите операции се основават на използването на тези две.

Събиране и умножение

Да вземем стандартен пример за изваждане: 10-2 \u003d 8. В училище се смята просто: ако двама бъдат отнети от десет предмета, остават осем. Но математиците гледат на тази операция по съвсем различен начин. В крайна сметка такава операция като изваждане за тях не съществува. Този пример може да бъде написан по друг начин: x + 2 \u003d 10. За математиците неизвестната разлика е просто число, което трябва да се добави към две, за да се получи осем. И тук не се изисква изваждане, просто трябва да намерите подходяща числова стойност.

Умножението и делението се третират по един и същи начин. В пример 12: 4 \u003d 3, можете да разберете, че говорим за разделяне на осем обекта на две равни купчини. Но в действителност това е просто обърната формула за писане на 3x4 \u003d 12 и има безброй примери за разделяне.

Деление на 0 примера

Тук става малко ясно защо не можете да разделите на нула. Умножението и делението по нула се подчиняват на собствените си правила. Всички примери за разделяне на това количество могат да бъдат формулирани като 6: 0 \u003d x. Но това е обърната нотация на израза 6 * x \u003d 0. Но, както знаете, всяко число, умножено по 0, дава в продукта само 0. Това свойство е присъщо на самата концепция за нула.

Оказва се, че няма такова число, което, умножено по 0, да дава някаква осезаема стойност, тоест този проблем няма решение. Не трябва да се страхувате от такъв отговор, той е естествен отговор за проблеми от този тип. Просто 6-0 няма никакъв смисъл и не може да обясни нищо. Накратко, този израз може да се обясни с безсмъртното „разделянето на нула е невъзможно“.

Има ли операция 0: 0? Всъщност, ако операцията по умножаване по 0 е законна, може ли нулата да бъде разделена на нула? В края на краищата уравнението от вида 0x 5 \u003d 0 е напълно законно. Вместо числото 5 можете да поставите 0, продуктът няма да се промени от това.

Всъщност 0x0 \u003d 0. Но все още не можете да разделите на 0. Както казахме, разделението е просто обратното на умножението. По този начин, ако в примера 0x5 \u003d 0, трябва да определите втория фактор, получаваме 0x0 \u003d 5. Или 10. Или безкрайност. Разделяне на безкрайността на нула - как ви харесва?

Но ако някакво число се вписва в израза, тогава няма смисъл, не можем да изберем такова от безкрайния набор от числа. И ако е така, това означава, че изразът 0: 0 няма смисъл. Оказва се, че дори самата нула не може да бъде разделена на нула.

Висша математика

Делението на нула е главоболие за училищната математика. Математическият анализ, изучаван в техническите университети, леко разширява концепцията за проблеми, които нямат решение. Например към вече познатия израз 0: 0 се добавят нови, които нямат решение в училищните курсове по математика:

безкрайност, разделена на безкрайност:?:?;
безкрайност минус безкрайност: ???;
един, издигнат до безкрайна сила: 1? ;
безкрайност по 0 :? * 0;
някои други.

Невъзможно е да се решат подобни изрази чрез елементарни методи. Но висшата математика, благодарение на допълнителните възможности за редица подобни примери, дава окончателни решения. Това е особено очевидно при разглеждането на проблеми от теорията за границите.

Разкриване на несигурността

В теорията за границите стойността 0 се заменя с условна безкрайно малка променлива. И изразите, в които се получава деление на нула при заместване на желаната стойност, се преобразуват. По-долу е стандартен пример за разширяване на границите, използвайки обикновени алгебрични трансформации:

Както можете да видите в примера, простото намаляване на фракцията води стойността му до напълно рационален отговор.

Когато се разглеждат границите на тригонометричните функции, техните изрази са склонни да бъдат намалени до първата забележителна граница. Когато се разглеждат границите, в които знаменателят отива до 0, когато ограничението е заместено, се използва втори забележителен лимит.

Метод на Лопитал

В някои случаи границите на изразите могат да бъдат заменени с лимитите на техните производни. Гийом Лопитал - френски математик, основател на френската школа по математически анализ. Той доказа, че границите на изразите са равни на границите на производни на тези изрази. В математическата нотация неговото правило е следното.

В момента методът на L'Hôpital се използва успешно за разрешаване на несигурности като 0: 0 или?:?.

Как се разделя и умножава по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н.?

Напишете правилата за деление и умножение.

За да умножите число по 0,1, просто трябва да преместите запетая.

Например беше 56 , стана 5,6 .

За да разделите на същия номер, трябва да преместите запетаята в обратна посока:

Например беше 56 , стана 560 .

С числото 0,01 всичко е същото, но трябва да го прехвърлите с 2 знака, а не с един.

Като цяло, колкото нули, прехвърлете толкова.

Например има номер 123456789.

Трябва да го умножите по 0,000000001

В числото 0,000000001 има девет нули (нула вляво от запетаята също се брои), така че изместваме числото 123456789 с 9 цифри:

Беше 123456789, сега 0.123456789.

За да не се умножаваме, а да делим със същото число, се преместваме от другата страна:

Беше 123456789, сега 123456789000000000.

За да преместите цяло число по този начин, просто му задайте нула. И частично преместваме запетая.

Разделянето на число на 0,1 е същото като умножаването на това число по 10

Разделянето на число на 0,01 е същото като умножаването на това число по 100

Деление на 0,001 се умножава по 1000.

За да бъде по-лесно запомнянето, ние четем числото, с което трябва да разделим отдясно наляво, игнорирайки запетаята, и умножаваме по полученото число.

Пример: 50: 0,0001. Това е като 50 пъти (прочетете отдясно наляво без запетая - 10000) 10000. Това е 500000.

Същото е и с умножението, точно обратното:

400 x 0,01 е същото като разделянето на 400 на (четене отдясно наляво без запетая - 100) 100: 400: 100 \u003d 4.

Кой е по-удобен за прехвърляне на запетаи надясно при деление и наляво при умножаване при умножаване и деление с такива числа, можете да го направите.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Деление на десетичната запетая

I. За да разделите число на десетична дроб, трябва да преместите запетаите в дивидента и делителя с толкова цифри надясно, колкото са след десетичната запетая в делителя, и след това да разделите на естествено число.

Да вземемry.

Извършете разделяне: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Решение.

Пример 1) 16,38: 0,7.

В разделител 0,7 след запетая има една цифра, следователно преместете запетаите в дивидента и делителя с една цифра вдясно.

Тогава ще трябва да се разделим 163,8 На 7 .

Нека разделим с правилото за разделяне на десетична дроб от естествено число.

Разделете, както разделят естествените числа. Как да съборя цифра 8 - първата цифра след десетичната запетая (т.е. цифрата на десетото място), така че веднага поставете частна запетая и продължете да разделяте.

Отговор: 23.4.

Пример 2) 15,6: 0,15.

Ние носим запетаи в дивидента ( 15,6 ) и делител ( 0,15 ) две цифри вдясно, тъй като в делителя 0,15 след десетичната запетая има две цифри.

Не забравяйте, че колкото нули можете да зададете на десетичния знак вдясно и това няма да промени десетичния знак.

15,6:0,15=1560:15.

Извършваме разделяне на естествени числа.

Отговор: 104.

Пример 3) 3,114: 4,5.

Преместете запетаите в дивидента и делителя с една цифра надясно и разделете 31,14 На 45 според правилото за разделяне на десетична дроб от естествено число.

3,114:4,5=31,14:45.

В частния слагаме запетая веднага щом разрушим цифра 1 на десето място. След това продължаваме да делим.

За да завършим разделението, трябваше да назначим нула към числото 9 - разлика в числата 414 и 405 . (знаем, че нулите могат да бъдат присвоени отдясно на десетичната дроб)

Отговор: 0,692.

Пример 4) 53,84: 0,1.

Преместване на запетаи в дивидент и делител на 1 цифра вдясно.

Получаваме: 538,4:1=538,4.

Нека анализираме равенството: 53,84:0,1=538,4. Обърнете внимание на запетая в дивидента в този пример и запетая в получения коефициент. Обърнете внимание, че запетаята в дивидента е преместена в 1 цифра вдясно, сякаш умножаваме 53,84 На 10. (Гледайте видеоклипа „Умножаване на десетичен знак с 10, 100, 1000 и т.н.“) 0,1; 0,01; 0,001 и т.н.

II. Да се \u200b\u200bраздели десетичен знак на 0,1; 0,01; 0,001 и така нататък, трябва да преместите запетая надясно с 1, 2, 3 и т.н.цифри. (Разделянето на десетична дроб с 0,1; 0,01; 0,001 и т.н. е еквивалентно на умножаването на тази десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.)

Примери.

Извършете разделяне: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Решение.

Пример 1) 617,35: 0,1.

Според правилото II разделяне на 0,1 е еквивалентно на умножаване по 10 и преместете запетая в дивидента 1 цифра вдясно:

1) 617,35:0,1=6173,5.

Пример 2) 0,235: 0,01.

Деление на 0,01 е еквивалентно на умножаване по 100 , което означава, че запетаята в дивидента се прехвърля на 2 цифри вдясно:

2) 0,235:0,01=23,5.

Пример 3) 2,7845: 0,001.

Като разделяне на 0,001 е еквивалентно на умножаване по 1000 , след това преместете запетая 3 цифри вдясно:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

Пример 4) 26,397: 0,0001.

Разделете десетичната на 0,0001 - все едно да го умножите по 10000 (носете запетая 4 цифри надясно). Получаваме:

www.mathematics-repetition.com

Умножение и деление по числа от формата 10, 100, 0,1, 0,01

Този видео урок е достъпен чрез абонамент

Имате ли вече абонамент? Да вляза

Този урок ще ви покаже как да умножавате и делите по числа като 10, 100, 0,1, 0,001. Различни примери по тази тема също ще бъдат решени.

Умножете числата по 10, 100

Упражнение. Как да умножим 25,78 по 10?

Десетичната нотация за това число е съкратена нотация за сумата. Необходимо е да го нарисувате по-подробно:

По този начин трябва да умножите сумата. За да направите това, можете просто да умножите всеки член:

Оказва се, че.

Можем да заключим, че умножаването на десетична дроб по 10 е много просто: трябва да преместите запетая надясно с една позиция.

Упражнение. Умножете 25.486 по 100.

Умножаването по 100 е същото като умножаването два пъти по 10. С други думи, трябва да преместите запетаята надясно два пъти:

Деление на числата на 10, 100

Упражнение. Разделете 25,78 на 10.

Както и в предишния случай, е необходимо числото 25,78 да се представи като сума:

Тъй като трябва да разделите сумата, това е еквивалентно на разделяне на всеки член:

Оказва се, че за да разделите на 10, трябва да преместите запетаята в ляво една позиция. Например:

Упражнение. Разделете 124,478 на 100.

Разделяне на 100 е същото като разделяне на 10 два пъти, така че запетаята се премества наляво на 2 позиции:

Правилото за умножение и деление с 10, 100, 1000

Ако десетичната дроб трябва да бъде умножена по 10, 100, 1000 и така нататък, трябва да преместите запетая надясно с толкова позиции, колкото са нулите във фактора.

И обратно, ако десетичната дроб трябва да бъде разделена на 10, 100, 1000 и така нататък, трябва да преместите запетая наляво с толкова позиции, колкото са нулите във фактора.

Примери, когато е необходимо да се премести запетая, но не са останали цифри

Умножаването по 100 означава преместване на запетая на две места надясно.

След смяната можете да откриете, че след десетичната запетая няма числа, което означава, че липсва дробната част. Тогава запетая не е необходима, числото е цяло число.

Трябва да изместите 4 позиции надясно. Но след десетичната запетая има само две цифри. Струва си да се помни, че има еквивалентна нотация за фракцията 56.14.

Сега умножаването по 10 000 е лесно:

Ако не е много ясно защо можете да добавите две нули към фракцията в предишния пример, тогава допълнителното видео на връзката може да помогне за това.

Еквивалентна десетична нотация

Вписване 52 означава следното:

Ако поставите 0 отпред, ще получите записа 052. Тези записи са еквивалентни.

Можете ли да поставите две нули отпред? Да, тези записи са еквивалентни.

Сега нека разгледаме десетичната дроб:

Ако зададете нула, се оказва:

Тези записи са еквивалентни. По същия начин можете да зададете множество нули.

По този начин на всяко число може да се присвоят няколко нули след дробната част и няколко нули преди целочислената част. Това ще бъдат еквивалентни записи за същия номер.

Тъй като се получава разделяне на 100, е необходимо да се измести запетая 2 позиции наляво. Не са останали числа от запетая. Цялата част липсва. Тази нотация често се използва от програмистите. В математиката, ако няма цяла част, тогава те поставят нула вместо нея.

Трябва да се придвижите наляво с три позиции, но има само две позиции. Ако напишете няколко нули пред числото, това ще бъде еквивалентен запис.

Тоест при преместване наляво, ако номерата свършат, трябва да ги запълните с нули.

В този случай не забравяйте, че запетаята винаги идва след цялата част. Тогава:

Умножение и деление с 0,1, 0,01, 0,001

Умножението и делението с числа 10, 100, 1000 е много проста процедура. Положението е абсолютно същото при числата 0,1, 0,01, 0,001.

Пример... Умножете 25,34 по 0,1.

Нека запишем десетичната дроб 0,1 като обикновена. Но умножаването по е същото като разделянето по 10. Следователно трябва да преместите позицията запетая 1 наляво:

По същия начин умножението по 0,01 се дели на 100:

Пример. 5.235 разделено на 0.1.

Решението на този пример е изградено по подобен начин: 0,1 се изразява като обикновена фракция и разделянето по е същото като умножаването по 10:

Тоест, за да разделите на 0,1, трябва да преместите запетая в дясната позиция, което е еквивалентно на умножаване по 10.

Правилото за умножение и деление с 0,1, 0,01, 0,001

Умножаването по 10 и деленето по 0,1 са едно и също нещо. Запетайката трябва да бъде изместена надясно с 1 позиция.

Разделете на 10 и умножете по 0,1 са едно и също нещо. Запетайката трябва да бъде изместена надясно с 1 позиция:

Примери за решения

Заключение

В този урок бяха изучени правилата за деление и умножение на 10, 100 и 1000. Освен това бяха разгледани правилата за умножение и деление с 0,1, 0,01, 0,001.

Примери за прилагането на тези правила са прегледани и решени.

Библиография

1. Виленкин Н.Я. Математика: учебник. за 5 cl. общ uchr. 17-то изд. - М.: Мнемозина, 2005.

2. Шевкин А.В. Словозадачи в математиката: 5-6. - М.: Илекса, 2011.

3. Ершова А.П., Голобородко В.В. Цялата училищна математика в независими и контролни работи. Математика 5-6. - М.: Илекса, 2006.

4. Хлевнюк Н. Н., Иванова М. В. Формиране на изчислителни умения в уроците по математика. 5-9 клас. - М.: Илекса, 2011 .

1. Интернет портал "Фестивал на педагогическите идеи" (Източник)

2. Интернет портал "Matematika-na.ru" (Източник)

3. Интернет портал "School.xvatit.com" (Източник)

Домашна работа

3. Сравнете стойностите на изразите:

Действия с нула

В математиката числото нула заема специално място. Факт е, че всъщност това означава „нищо“, „празнота“, но значението му наистина е трудно да се надцени. За да направите това, достатъчно е да си спомните поне с какво точно нулева оценкаи започва да брои координатите на позицията на точката във всяка координатна система.

Нула Той се използва широко в десетичните фракции за определяне на стойностите на „празни“ цифри, разположени както преди, така и след десетичната запетая. Освен това с него е свързано едно от основните правила на аритметиката, което гласи, че на нула не могат да бъдат разделени. Неговата логика всъщност произтича от самата същност на това число: наистина е невъзможно да си представим, че някакво значение, различно от него (и самото то също), е било разделено на „нищо“.

ОТ нула извършват се всички аритметични операции и като негови „партньори“ в тях могат да се използват цели числа, обикновени и десетични дроби, като всички те могат да имат както положителни, така и отрицателни стойности. Ето примери за тяхното изпълнение и някои обяснения за тях.

При добавяне драскотина до определен брой (както цели, така и дробни, както положителни, така и отрицателни), стойността му остава абсолютно непроменена.

Двадесет и четири плюс нула е равно на двадесет и четири.

Седемнадесет точка три осми плюс нула е равно на седемнадесет точка три осми.

Форми на данъчни декларации Предлагаме на вашето внимание формите на декларации за всички видове данъци и такси: 1. Данък върху доходите. Внимание, от 10.02.2014 г. отчетът за данъка върху доходите се подава по нови образци на декларации, одобрени със заповед на Министерството на приходите No 872 от 30.12.2013 г. 1. 1. Данъчна декларация за данък върху [...]
Правило на квадрат Квадратура Разлика Цел: Да се \u200b\u200bизведат формули за квадратиране на сумата и разликата на изразите. Очаквани резултати: научете се да използвате формулите за квадрата на сумата и квадрата на разликата. Тип на урока: урок за постановка на проблем. I. Съобщаване на темата и целта на урока II. Работа по темата на урока При умножаване [...]
Каква е разликата между приватизацията на апартамент с малолетни деца и приватизацията без деца? Характеристики на тяхното участие, документи Всички сделки с недвижими имоти изискват внимателно внимание на участниците. Особено ако планирате да приватизирате апартамент с непълнолетни деца. За да бъде признат за валиден и [...]
Размерът на държавното мито за паспорт от стар стил за дете под 14-годишна възраст и къде да го платите. Свързването с държавни органи за получаване на всяка услуга винаги е придружено от заплащане на държавно мито. За да получите чуждестранен паспорт, трябва да платите и федерална такса. Колко е размерът [...]
Как да попълните формуляр за кандидатстване за замяна на паспорт на 45 години Паспортите на руснаците трябва да бъдат заменени при достигане на възрастовата граница - 20 или 45 години. За да получите обществена услуга, трябва да подадете заявление в установената форма, да прикачите необходимите документи и да платите за държавата [...]
Как и къде да издадете дарение за дял в апартамент Много граждани са изправени пред такава законова процедура като дарението на недвижим имот в споделена собственост. Има доста информация за това как правилно да се направи дарение за дял в апартамент и не винаги е надеждна. Преди да започнеш, [...]