এক জোড়া কাল্পনিক ছেদকারী রেখা। একটি সমীকরণের ক্যানোনিকাল ফর্ম কি? উপবৃত্ত এবং এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ

8.3.15. বিন্দু A একটি লাইনে অবস্থিত। বিন্দু A থেকে সমতল পর্যন্ত দূরত্ব

8.3.16. একটি সরল রেখার প্রতিসম সরল রেখার জন্য একটি সমীকরণ লিখুন

সমতল আপেক্ষিক .

8.3.17. সমতলে অনুমানগুলির সমীকরণগুলি রচনা করুন নিম্নলিখিত লাইন:

ক) ;

খ)

ভিতরে) .

8.3.18. সমতল এবং লাইনের মধ্যে কোণ খুঁজুন:

ক) ;

খ) .

8.3.19. একটি বিন্দু খুঁজুন প্রতিসম বিন্দু লাইনের মধ্য দিয়ে যাওয়া বিমানের ক্ষেত্রে:

এবং

8.3.20. বিন্দু A একটি লাইনে অবস্থিত

বিন্দু A থেকে সরলরেখার দূরত্ব সমান A বিন্দুর স্থানাঙ্ক খুঁজুন।

§ ৮.৪। সেকেন্ড অর্ডার কার্ভস

আসুন সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা স্থাপন করি এবং দ্বিতীয় ডিগ্রির সাধারণ সমীকরণটি বিবেচনা করি

যেখানে .

সমতলের সমস্ত বিন্দুর সেটকে বলা হয় যার স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণকে (8.4.1) সন্তুষ্ট করে কুটিল (লাইন) দ্বিতীয় ক্রম.

দ্বিতীয় ক্রমে যে কোনো বক্ররেখার জন্য, একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা আছে, যাকে ক্যানোনিকাল বলা হয়, যেখানে এই বক্ররেখার সমীকরণের নিম্নলিখিত রূপগুলির মধ্যে একটি রয়েছে:

1) (অধিবৃত্ত);

2) (কাল্পনিক উপবৃত্তাকার);

3) (এক জোড়া কাল্পনিক ছেদকারী লাইন);

4) (অধিবৃত্ত);

5) (এক জোড়া ছেদকারী লাইন);

6) (পরাবৃত্ত);

7) (সমান্তরাল রেখার জোড়া);

8) (এক জোড়া কাল্পনিক সমান্তরাল রেখা);

9) (এক জোড়া কাকতালীয় লাইন)।

সমীকরণ 1)-9) বলা হয় দ্বিতীয় ক্রমে বক্ররেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ।

একটি দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার সমীকরণ হ্রাস করার সমস্যা সমাধান করা ক্যানোনিকাল ফর্মখোঁজা অন্তর্ভুক্ত ক্যানোনিকাল সমীকরণবক্ররেখা এবং ক্যানোনিকাল সমন্বয় সিস্টেম। ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস আপনাকে বক্ররেখার পরামিতিগুলি গণনা করতে এবং মূল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সাথে এর অবস্থান নির্ধারণ করতে দেয়। মূল থেকে রূপান্তর আয়তক্ষেত্রাকার সিস্টেমস্থানাঙ্ক ক্যানোনিকাল থেকে মূল স্থানাঙ্ক সিস্টেমের অক্ষগুলি O বিন্দুর চারপাশে কিছু কোণ j দ্বারা ঘোরানোর মাধ্যমে এবং স্থানাঙ্ক সিস্টেমের পরবর্তী সমান্তরাল স্থানান্তর দ্বারা সঞ্চালিত হয়।

দ্বিতীয় ক্রম এর বক্ররেখা পরিবর্তন(8.4.1) এর সমীকরণের সহগগুলির এই ধরনের ফাংশনগুলিকে বলা হয়, যেগুলির মানগুলি একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে একই সিস্টেমের অন্যটিতে যাওয়ার সময় পরিবর্তিত হয় না।

দ্বিতীয় ক্রম (8.4.1) এর একটি বক্ররেখার জন্য, বর্গ স্থানাঙ্কে সহগগুলির সমষ্টি

,

অগ্রণী পদের সহগ দ্বারা গঠিত নির্ধারক

এবং তৃতীয় ক্রম নির্ধারক

invariants হয়

invariants এর মান s, d, D ব্যবহার করা যেতে পারে ধরন নির্ধারণ করতে এবং দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ রচনা করতে।

টেবিল 8.1।

invariants উপর ভিত্তি করে দ্বিতীয় ক্রম বক্ররেখা শ্রেণীবিভাগ

উপবৃত্তাকার বক্ররেখা		এসডি<0. Эллипс
		SD>0। কাল্পনিক উপবৃত্তাকার
		একটি বাস্তব বিন্দুতে ছেদকারী কাল্পনিক লাইনের জোড়া
হাইপারবোলিক টাইপের বক্ররেখা		অধিবৃত্ত
		এক জোড়া ছেদকারী রেখা
পরাবৃত্তীয় বক্ররেখা		পরাবৃত্ত
		সমান্তরাল রেখার জোড়া (ভিন্ন, কাল্পনিক বা কাকতালীয়)

এর উপবৃত্তাকার, অধিবৃত্ত, এবং প্যারাবোলাকে ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক।

উপবৃত্ত(চিত্র 8.1) হল সমতলের বিন্দুগুলির অবস্থান যার জন্য দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর দূরত্বের সমষ্টি এই প্লেন, বলা হয় উপবৃত্ত কৌশল, একটি ধ্রুবক মান (foci মধ্যে দূরত্ব থেকে বড়)। এটি উপবৃত্তের foci এর কাকতালীয়তা বাদ দেয় না। যদি ফোসি একই হয়, তাহলে উপবৃত্ত একটি বৃত্ত।

উপবৃত্তের বিন্দু থেকে এর কেন্দ্রবিন্দু পর্যন্ত দূরত্বের অর্ধ-সমষ্টি a দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, ফোসি-c-এর মধ্যবর্তী দূরত্বের অর্ধেক। যদি সমতলে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা বেছে নেওয়া হয় যাতে উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু অক্স অক্ষের উপর উৎপত্তির সাপেক্ষে প্রতিসমভাবে অবস্থিত থাকে, তাহলে এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় উপবৃত্তটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়

, (8.4.2)

ডাকা উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ, কোথায় .

ভাত। 8.1

একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার নির্দিষ্ট পছন্দের সাথে, উপবৃত্তটি স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম। উপবৃত্তের প্রতিসাম্যের অক্ষগুলি একে বলে অক্ষ, এবং প্রতিসাম্য কেন্দ্র হয় উপবৃত্তের কেন্দ্র. একই সময়ে, 2a এবং 2b সংখ্যাগুলিকে প্রায়শই উপবৃত্তের অক্ষ বলা হয় এবং সংখ্যাগুলি a এবং b বলা হয় বিশালএবং আধা-অপ্রধান অক্ষযথাক্রমে

অক্ষ সহ একটি উপবৃত্তের ছেদ বিন্দুকে বলা হয় উপবৃত্তের শীর্ষবিন্দু. উপবৃত্তের শীর্ষে স্থানাঙ্ক রয়েছে (a,0), (–a,0), (0,b), (0,–b)।

উপবৃত্ত বিকেন্দ্রতাএকটি নম্বর কল

0£c থেকে

.

এটি দেখায় যে বিকেন্দ্রিকতা উপবৃত্তের আকৃতিকে চিহ্নিত করে: e যত শূন্যের কাছাকাছি, উপবৃত্তটি একটি বৃত্তের মতো দেখায়; e বৃদ্ধির সাথে সাথে উপবৃত্তটি আরও দীর্ঘায়িত হয়।

আমরা এখন দেখাব যে দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখাগুলির affine শ্রেণীবিভাগ বক্ররেখার নাম দ্বারা দেওয়া হয়, অর্থাৎ, দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখাগুলির affine শ্রেণীগুলি হল:

বাস্তব উপবৃত্ত;

কাল্পনিক উপবৃত্তাকার;

hyperbole;

বাস্তব ছেদকারী লাইনের জোড়া;

কাল্পনিক (সংযোজিত) জোড়া ছেদকারী;

সমান্তরাল বাস্তব লাইনের জোড়া;

সমান্তরাল কাল্পনিক সংযোগ রেখার জোড়া;

মিলিত বাস্তব লাইনের জোড়া।

আমাদের দুটি বিবৃতি প্রমাণ করতে হবে:

উ: একই নামের সমস্ত বক্ররেখা (অর্থাৎ, সমস্ত উপবৃত্ত, সমস্ত হাইপারবোলাস ইত্যাদি) একে অপরের সমানভাবে সমান।

B. বিভিন্ন নামের দুটি বক্ররেখা কখনোই সমতুল্য নয়।

আমরা দাবী A প্রমাণ করি। XV অধ্যায়, § 3-এ, এটি ইতিমধ্যেই প্রমাণিত হয়েছে যে সমস্ত উপবৃত্তগুলি তাদের মধ্যে একটির সাথে সমানভাবে সমান, যথা, বৃত্ত এবং সমস্ত অধিবৃত্ত অধিবৃত্ত। তাই, সমস্ত উপবৃত্ত, যথাক্রমে, সমস্ত অধিবৃত্ত, অনুরূপভাবে সমতুল্য একে অপরকে. সমস্ত কাল্পনিক উপবৃত্তগুলি, একটি বৃত্তের - - 1 ব্যাসার্ধের সমানভাবে সমানভাবে একে অপরের সমান।

আসুন আমরা সমস্ত প্যারাবোলার অ্যাফিন সমতা প্রমাণ করি। আমরা আরও প্রমাণ করব, যথা যে সমস্ত প্যারাবোলা একে অপরের সাথে একই রকম। এটি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে প্যারাবোলা তার প্রামাণিক সমীকরণ দ্বারা কিছু স্থানাঙ্ক সিস্টেমে দেওয়া হয়েছে

একটি প্যারাবোলার মত

এটি করার জন্য, আমরা সমতলটিকে একটি সহগের সাথে একটি সাদৃশ্য রূপান্তর সাপেক্ষে - :

তারপর যাতে আমাদের রূপান্তর বক্ররেখা অধীনে

একটি বক্ররেখা যায়

যেমন একটি প্যারাবোলায়

Q.E.D.

এর ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। § সূত্রে (9) এবং (11), pp. 401 এবং 402) এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে কিছু (এমনকি আয়তক্ষেত্রাকার) স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি বক্ররেখার একজোড়া ছেদকারী রেখায় পচনশীল একটি সমীকরণ রয়েছে

একটি অতিরিক্ত স্থানাঙ্ক রূপান্তর করছেন৷

আমরা দেখি যে কোন বক্ররেখা ছেদকারী বাস্তব, যথাক্রমে, কাল্পনিক সংযোজক, সরলরেখার একটি জোড়ায় পচন ধরে, কিছু সম্বন্ধীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সমীকরণ রয়েছে

একটি জোড়া সমান্তরাল রেখায় বিভক্ত বক্ররেখার ক্ষেত্রে, তাদের প্রত্যেকটি সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত (এমনকি কিছু আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থাতেও) হতে পারে।

যথাক্রমে বাস্তবের জন্য

কাল্পনিক, সরাসরি জন্য। স্থানাঙ্কের রূপান্তর আমাদেরকে এই সমীকরণগুলি (অথবা মিলিত রেখাগুলির জন্য) স্থাপন করার অনুমতি দেয়। এটি একই নামের সমস্ত ক্ষয়প্রাপ্ত দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার অ্যাফিন সমতা বোঝায়।

আমরা দাবীর প্রমাণ B এর দিকে ফিরে যাই।

প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে একটি সমতলের একটি অ্যাফাইন রূপান্তরের অধীনে, একটি বীজগণিতীয় বক্ররেখার ক্রম অপরিবর্তিত থাকে। আরও: দ্বিতীয় ক্রমটির যেকোন ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখা হল এক জোড়া রেখা, এবং একটি affine রূপান্তরের অধীনে একটি রেখা একটি রেখায় যায়, এক জোড়া ছেদকারী রেখা একটি জোড়া ছেদকারী রেখার মধ্যে যায় এবং একটি জোড়া সমান্তরাল রেখা একটি জোড়ায় পরিণত হয়। সমান্তরাল বেশী; উপরন্তু, বাস্তব লাইন বাস্তব হয়, এবং কাল্পনিক লাইন কাল্পনিক হয়ে. এটি এই সত্য থেকে অনুসরণ করে যে সূত্র (3) (অধ্যায় XI, § 3) এর সমস্ত সহগ যা একটি affine রূপান্তরকে সংজ্ঞায়িত করে তা হল বাস্তব সংখ্যা।

এটি যা বলা হয়েছে তা থেকে অনুসরণ করা হয়েছে যে একটি রেখা যা প্রদত্ত ক্ষয়প্রাপ্ত দ্বিতীয়-ক্রম বক্ররেখার সমানভাবে একই নামের একটি ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখা।

আমরা অ পচনশীল বক্ররেখা পাস. আবার, একটি affine রূপান্তরের সাথে, একটি বাস্তব বক্ররেখা একটি কাল্পনিক একটিতে যেতে পারে না, এবং এর বিপরীতে। অতএব, কাল্পনিক উপবৃত্তের শ্রেণীটি affine অপরিবর্তনীয়।

বাস্তব অ-পচনশীল বক্ররেখার শ্রেণীগুলি বিবেচনা করুন: উপবৃত্ত, হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস।

দ্বিতীয় ক্রমে সমস্ত বক্ররেখার মধ্যে, প্রতিটি উপবৃত্ত, এবং শুধুমাত্র একটি উপবৃত্ত, কিছু আয়তক্ষেত্রে অবস্থিত, যখন প্যারাবোলাস এবং হাইপারবোলাস (পাশাপাশি সমস্ত ক্ষয়প্রাপ্ত বক্ররেখা) অসীম পর্যন্ত প্রসারিত।

একটি অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশনের অধীনে, প্রদত্ত উপবৃত্ত ধারণ করে আয়তক্ষেত্র ABCD রূপান্তরিত বক্ররেখা সম্বলিত একটি সমান্তরালগ্রামে যাবে, যা, তাই, অসীমে যেতে পারে না এবং তাই, একটি উপবৃত্ত।

সুতরাং, একটি উপবৃত্তের সমতুল্য একটি বক্ররেখা অগত্যা একটি উপবৃত্ত। এটি যা প্রমাণিত হয়েছে যে একটি বক্ররেখা যা হাইপারবোলা বা প্যারাবোলার সমতুল্য একটি উপবৃত্ত হতে পারে না (এবং, আমরা জানি, এটি একটি ক্ষয়কারী বক্ররেখাও হতে পারে না। অতএব, এটি শুধুমাত্র প্রমাণ করা বাকি আছে যে একটি অ্যাফিনের অধীনে সমতলের রূপান্তর, একটি হাইপারবোলা একটি প্যারাবোলায় যেতে পারে না, এবং বিপরীতে, এটি সম্ভবত সবচেয়ে সহজভাবে অনুসরণ করে যে একটি প্যারাবোলার প্রতিসাম্যের কোনো কেন্দ্র নেই, যখন একটি হাইপারবোলা করে। কিন্তু যেহেতু প্রতিসাম্য কেন্দ্রের অনুপস্থিতি একটি প্যারাবোলা শুধুমাত্র পরের অধ্যায়ে প্রমাণ করা হবে, আমরা এখন একটি দ্বিতীয় দেব, খুব সহজ প্রমাণ affine অপারবোলা এবং প্যারাবোলার সমতুল্য নয়।

লেমা। যদি একটি প্যারাবোলার একটি প্রদত্ত রেখা d এর সমতলে সংজ্ঞায়িত দুটি অর্ধ-সমতলের প্রতিটির সাথে সাধারণ বিন্দু থাকে, তবে রেখার সাথে এটির কমপক্ষে একটি সাধারণ বিন্দু থাকে।

প্রকৃতপক্ষে, আমরা দেখেছি যে একটি সমন্বয় ব্যবস্থা রয়েছে যেখানে প্রদত্ত প্যারাবোলার সমীকরণ রয়েছে

চলুন, এই স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাপেক্ষে, সরলরেখা d-এর সমীকরণ আছে

অনুমান দ্বারা, প্যারাবোলায় দুটি বিন্দু রয়েছে, যার একটি, আমরা অনুমান করি, ধনাত্মকটিতে রয়েছে এবং অন্যটি সমীকরণের (1) সাপেক্ষে নেতিবাচক অর্ধ-সমতলের মধ্যে রয়েছে। তাই মনে রেখে আমরা লিখতে পারি

একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করার জন্য, আমি আপনাকে দেখাব যে এই ব্যাখ্যায় নিম্নলিখিত বিবৃতির সাথে কী মিল রয়েছে: (বাস্তব বা কাল্পনিক) বিন্দু P (বাস্তব বা কাল্পনিক) লাইনের উপর অবস্থিত। এই ক্ষেত্রে, অবশ্যই, নিম্নলিখিত ক্ষেত্রেগুলির মধ্যে পার্থক্য করা প্রয়োজন:

1) বাস্তব বিন্দু এবং বাস্তব লাইন,

2) বাস্তব বিন্দু এবং কাল্পনিক লাইন,

কেস 1) আমাদের কাছ থেকে কোন বিশেষ ব্যাখ্যা প্রয়োজন হয় না; এখানে আমাদের সাধারণ জ্যামিতির একটি মৌলিক সম্পর্ক রয়েছে।

ক্ষেত্রে 2), প্রদত্ত কাল্পনিক রেখার সাথে, রেখার জটিল রেখাটিকে অবশ্যই প্রদত্ত বাস্তব বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে হবে; ফলস্বরূপ, এই বিন্দুটি অবশ্যই রশ্মির বান্ডেলের শীর্ষবিন্দুর সাথে মিলে যাবে যা আমরা কাল্পনিক রেখাকে উপস্থাপন করতে ব্যবহার করি।

একইভাবে, ক্ষেত্রে 3) প্রকৃত রেখাটি অবশ্যই বিন্দুগুলির সেই রেকটিলিনিয়ার ইনভল্যুশনের সমর্থনে অভিন্ন হতে হবে যা প্রদত্ত কাল্পনিক বিন্দুর প্রতিনিধি হিসাবে কাজ করে।

সবচেয়ে আকর্ষণীয় কেসটি হল 4) (চিত্র 96): এখানে, স্পষ্টতই, জটিল কনজুগেট বিন্দুকে অবশ্যই জটিল কনজুগেট লাইনের উপর থাকতে হবে, এবং তাই এটি অনুসরণ করে যে বিন্দুগুলির আবর্তনের প্রতিটি জোড়া বিন্দু P বিন্দুকে প্রতিনিধিত্ব করে সরলরেখা g প্রতিনিধিত্বকারী রেখাগুলির আবর্তনের কিছু জোড়া লাইনে, অর্থাৎ এই উভয় আবর্তন অবশ্যই একটি অপরটির সাথে সম্পর্কিত দৃষ্টিকোণে অবস্থিত হতে হবে; অধিকন্তু, এটা দেখা যাচ্ছে যে উভয় ইনভল্যুশনের তীরগুলিও দৃষ্টিকোণে স্থাপন করা হয়েছে।

সাধারণভাবে, সমতলের বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতিতে, যা জটিল ডোমেনের দিকেও মনোযোগ দেয়, আমরা এই সমতলটির একটি সম্পূর্ণ বাস্তব চিত্র পেতে পারি যদি আমরা এর সমস্ত বাস্তব বিন্দু এবং রেখাগুলির সেটে নতুন উপাদান হিসাবে যোগ করি উপরে বিবেচনা করা পরিসংখ্যান, তাদের দিকনির্দেশের তীরগুলির সাথে। এখানে যথেষ্ট হবে যদি আমি সাধারণ রূপরেখায় আউটলাইন করি যে জটিল জ্যামিতির এই ধরনের বাস্তব চিত্রের নির্মাণ কী রূপ নেবে। এটি করার সময়, আমি সেই ক্রম অনুসরণ করব যেখানে প্রাথমিক জ্যামিতির প্রথম প্রস্তাবগুলি এখন সাধারণত উপস্থাপন করা হয়।

1) তারা অস্তিত্বের স্বতঃসিদ্ধ দিয়ে শুরু করে, যার উদ্দেশ্য হল সাধারণ জ্যামিতির সাথে তুলনা করে প্রসারিত একটি এলাকায় উল্লিখিত উপাদানগুলির উপস্থিতির একটি সঠিক সূত্র প্রদান করা।

2) তারপর সংযোগ স্বতঃসিদ্ধ, যা আইটেম 1 তে সংজ্ঞায়িত বর্ধিত এলাকায়ও যা বলে! একটি এবং শুধুমাত্র একটি লাইন (প্রতিটি) দুটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং (যেকোনো) দুটি লাইনে একটি এবং শুধুমাত্র একটি বিন্দু মিল রয়েছে।

একই সময়ে, ঠিক যেমনটি আমরা উপরে বলেছিলাম, প্রদত্ত উপাদানগুলি বাস্তব কিনা তার উপর নির্ভর করে আমাদের প্রতিবার চারটি ক্ষেত্রে পার্থক্য করতে হবে, এবং বিন্দু এবং রেখাগুলির অন্তর্ভূক্তি সহ কোন বাস্তব নির্মাণগুলি একটি চিত্র হিসাবে কাজ করে তা নিয়ে চিন্তা করা খুব আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে। এই জটিল সম্পর্কের।

3) বিন্যাসের স্বতঃসিদ্ধ (ক্রম), এখানে, প্রকৃত সম্পর্কের সাথে তুলনা করে, সম্পূর্ণ নতুন পরিস্থিতি কার্যকর হয়; বিশেষ করে, একটি স্থির রেখায় থাকা সমস্ত বাস্তব এবং জটিল বিন্দু, সেইসাথে একটি স্থির বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত রশ্মি একটি দ্বি-মাত্রিক ধারাবাহিকতা তৈরি করে। সর্বোপরি, আমরা প্রত্যেকে ক্রিয়াকলাপের তত্ত্বের অধ্যয়ন থেকে শিখেছি সমতলের সমস্ত বিন্দু দ্বারা একটি জটিল পরিবর্তনশীলের মানগুলির সামগ্রিকতা উপস্থাপন করার অভ্যাস।

4) পরিশেষে, ধারাবাহিকতার স্বতঃসিদ্ধ সম্পর্কে, আমি এখানে শুধুমাত্র ইঙ্গিত করব কিভাবে আপনি কিছু বাস্তব বিন্দুর কাছাকাছি থাকা জটিল পয়েন্টগুলিকে উপস্থাপন করবেন। এটি করার জন্য, নেওয়া বাস্তব বিন্দু P এর মাধ্যমে (অথবা এটির কাছাকাছি অন্য কোনও বাস্তব বিন্দুর মাধ্যমে), আপনাকে কিছু সরল রেখা আঁকতে হবে এবং এর উপর বিবেচনা করতে হবে এমন দুটি জোড়া বিন্দু একে অপরকে আলাদা করে (অর্থাৎ, একটি "ক্রসড উপায়ে শুয়ে থাকা) ") বিন্দুর জোড়া (চিত্র। 97) যাতে বিভিন্ন জোড়া থেকে নেওয়া দুটি বিন্দু একে অপরের কাছাকাছি এবং P বিন্দুতে থাকে; যদি আমরা এখন অনির্দিষ্টকালের জন্য বিন্দুগুলিকে একত্রিত করি, তাহলে বিন্দুগুলির নামযুক্ত জোড়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত উদ্ভাবনটি ক্ষয়প্রাপ্ত হয়, অর্থাৎ, এর উভয় জটিল দ্বিগুণ বিন্দু বিন্দুর সাথে মিলে যায়। এই আবর্তনের দ্বারা উপস্থাপিত দুটি কাল্পনিক বিন্দুর প্রত্যেকটি (একসাথে একটি বা অন্য তীর) পাস হয়, তাই অবিচ্ছিন্নভাবে P-এর কাছাকাছি কিছু বিন্দু পর্যন্ত, বা এমনকি সরাসরি P-এর কাছেও। অবশ্যই, ধারাবাহিকতার এই ধারণাগুলি ভাল ব্যবহারের জন্য ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়ার জন্য, একজনকে অবশ্যই তাদের সাথে বিস্তারিতভাবে কাজ করতে হবে।

যদিও এই সমস্ত নির্মাণ সাধারণ বাস্তব জ্যামিতির সাথে তুলনা করে বরং কষ্টকর এবং ক্লান্তিকর, এটি তুলনামূলকভাবে আরও বেশি দিতে পারে। বিশেষত, এটি সম্পূর্ণ জ্যামিতিক স্বচ্ছতা বীজগণিত চিত্রগুলির স্তরে উন্নীত করতে সক্ষম, যা তাদের বাস্তব এবং জটিল উপাদানগুলির সেট হিসাবে বোঝা যায় এবং এর সাহায্যে কেউ নিজের জন্য পরিসংখ্যানগুলির উপর স্পষ্টভাবে বুঝতে পারে যেমন বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য। বা বেজউটের উপপাদ্য যে দুটি বক্ররেখার আদেশে, সাধারণভাবে বলতে গেলে, ঠিক সাধারণ বিন্দু রয়েছে। এই উদ্দেশ্যের জন্য, অবশ্যই, এখন পর্যন্ত যা করা হয়েছে তার চেয়ে অনেক বেশি সুনির্দিষ্ট এবং দৃষ্টান্তমূলক আকারে মৌলিক বিধানগুলি বোঝার প্রয়োজন হবে; যাইহোক, সাহিত্যে ইতিমধ্যে এই ধরনের তদন্তের জন্য প্রয়োজনীয় সমস্ত উপাদান রয়েছে।

তবে বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এই জ্যামিতিক ব্যাখ্যার প্রয়োগ, তার সমস্ত তাত্ত্বিক সুবিধা সহ, তবুও এমন জটিলতার দিকে নিয়ে যাবে যে একজনকে এর মৌলিক সম্ভাবনা নিয়ে সন্তুষ্ট থাকতে হবে এবং বাস্তবে আরও নিরীহ দৃষ্টিকোণে ফিরে যেতে হবে, যা নিম্নরূপ: একটি জটিল বিন্দু হল তিনটি জটিল স্থানাঙ্কের একটি সংগ্রহ, এবং এটির সাথে বাস্তব বিন্দুগুলির মতো ঠিক একইভাবে পরিচালনা করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, কোনো মৌলিক যুক্তি থেকে বিরত থাকা কাল্পনিক উপাদানগুলির এই ধরনের ভূমিকা সবসময়ই ফলদায়ক প্রমাণিত হয়েছে যেখানে আমাদের কাল্পনিক চক্রীয় বিন্দু বা গোলকের বৃত্তের সাথে মোকাবিলা করতে হবে। ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, পন্সলেট প্রথমবারের মতো এই অর্থে কাল্পনিক উপাদান ব্যবহার করতে শুরু করেছিলেন; এই ক্ষেত্রে তার অনুসারীরা ছিলেন অন্যান্য ফরাসি জ্যামিতি, প্রধানত চাল এবং ডারবক্স; জার্মানিতে, বেশ কিছু জ্যামিটার, বিশেষ করে লাই, কাল্পনিক উপাদানের এই উপলব্ধিকেও দারুণ সাফল্যের সাথে প্রয়োগ করেছে।

কাল্পনিক জগতের এই বিভ্রান্তির সাথে, আমি আমার কোর্সের সম্পূর্ণ দ্বিতীয় বিভাগটি শেষ করি এবং একটি নতুন অধ্যায়ে ফিরে যাই,

দ্বিতীয় ক্রম লাইন

সমতল রেখা যার কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক একটি 2য় ডিগ্রী বীজগণিতীয় সমীকরণ পূরণ করে

a 11 x 2 + a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 13 x + 2a 23 y + a 11 = 0. (*)

সমীকরণ (*) প্রকৃত জ্যামিতিক চিত্র নির্ধারণ নাও করতে পারে, তবে এই ধরনের ক্ষেত্রে সাধারণতার জন্য বলা হয় যে এটি কাল্পনিক রৈখিক উপস্থাপনা নির্ধারণ করে। n. সাধারণ সমীকরণ (*) এর সহগগুলির মানের উপর নির্ভর করে, এটি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের উত্স এবং ঘূর্ণনের সমান্তরাল অনুবাদের মাধ্যমে কিছু কোণ দ্বারা নীচের 9টি ক্যানোনিকাল ফর্মগুলির একটিতে রূপান্তরিত হতে পারে, যার প্রতিটি একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর লাইনের সাথে মিলে যায়। ঠিক,

অবিচ্ছেদ্য লাইন:

y 2 = 2px - প্যারাবোলাস,

ভাঙা লাইন:

x 2 - a 2 \u003d 0 - সমান্তরাল রেখার জোড়া,

x 2 + a 2 \u003d 0 - কাল্পনিক সমান্তরাল রেখার জোড়া,

x 2 = 0 - মিলিত সমান্তরাল রেখার জোড়া।

একটি চেহারা L. ইন গবেষণা. সাধারণ সমীকরণকে ক্যানোনিকাল ফর্মে না কমিয়েই করা যেতে পারে। এটি তথাকথিত মানগুলির যৌথ বিবেচনার মাধ্যমে অর্জন করা হয়। L.v এর মৌলিক পরিবর্তন n. - সমীকরণ (*) এর সহগ দ্বারা গঠিত অভিব্যক্তি, যার মানগুলি স্থানাঙ্ক সিস্টেমের সমান্তরাল অনুবাদ এবং ঘূর্ণনের সাথে পরিবর্তিত হয় না:

S \u003d a 11 + a 22,(a ij = a ji).

সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, উপবৃত্তগুলি, অ-ক্ষয়কারী রেখা হিসাবে, এই সত্য দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে তাদের জন্য Δ ≠ 0; অপরিবর্তনীয় δ-এর ধনাত্মক মান উপবৃত্তগুলিকে অন্যান্য ধরণের অক্ষয়কারী রেখা থেকে আলাদা করে (অধিবৃত্তের জন্য δ

তিনটি প্রধান অপরিবর্তনীয় Δ, δ, এবং S LV নির্ধারণ করে। (সমান্তরাল রেখার ক্ষেত্রে ব্যতীত) ইউক্লিডীয় সমতলের গতি পর্যন্ত (মোশন দেখুন): যদি দুটি রেখার সংশ্লিষ্ট অপরিবর্তনীয় Δ, δ, এবং S সমান হয়, তাহলে এই ধরনের রেখাগুলিকে গতি দ্বারা উচ্চারিত করা যেতে পারে। অন্য কথায়, এই লাইনগুলি সমতলের গতির গোষ্ঠীর সাপেক্ষে সমতুল্য (মেট্রিকভাবে সমতুল্য)।

এল এর শ্রেণীবিভাগ আছে। রূপান্তরের অন্যান্য গ্রুপের দৃষ্টিকোণ থেকে। এইভাবে, গতির গ্রুপের তুলনায় তুলনামূলকভাবে বেশি সাধারণ - অ্যাফাইন ট্রান্সফরমেশনের গ্রুপ (অ্যাফাইন ট্রান্সফর্মেশন দেখুন) - একই ক্যানোনিকাল ফর্মের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত যেকোনো দুটি লাইন সমতুল্য। উদাহরণস্বরূপ, দুটি অনুরূপ এল. ইন. n. (সাদৃশ্য দেখুন) সমতুল্য বলে বিবেচিত হয়। লিনিয়ার c.v-এর বিভিন্ন affine শ্রেণীর মধ্যে সংযোগ। আমাদের প্রজেক্টিভ জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে একটি শ্রেণিবিন্যাস স্থাপন করতে দেয় (প্রক্ষেপণীয় জ্যামিতি দেখুন), যেখানে অসীমের উপাদানগুলি বিশেষ ভূমিকা পালন করে না। বাস্তব অ-বিচ্ছিন্ন এল. ইন. ইত্যাদি: উপবৃত্ত, হাইপারবোলাস এবং প্যারাবোলাস একটি প্রজেক্টিভ শ্রেণী গঠন করে - বাস্তব ডিম্বাকৃতি রেখার (ডিম্বাকৃতি) শ্রেণী। বাস্তব ডিম্বাকৃতি রেখা হল একটি উপবৃত্ত, অতিবৃত্ত বা প্যারাবোলা, এটি কীভাবে অসীম রেখার সাপেক্ষে অবস্থিত তার উপর নির্ভর করে: উপবৃত্ত দুটি কাল্পনিক বিন্দুতে অনুপযুক্ত রেখাকে ছেদ করে, দুটি ভিন্ন বাস্তব বিন্দুতে অধিবৃত্ত, প্যারাবোলা অনুপযুক্ত রেখাকে স্পর্শ করে ; প্রজেক্টিভ ট্রান্সফরমেশন আছে যেগুলো এই লাইনগুলোকে একটার মধ্যে নিয়ে যায়। L.v-এর মাত্র 5টি প্রজেক্টিভ ইকুয়ালেন্স ক্লাস আছে। n. অবিকল,

নন-ডিজেনারেট লাইন

(x 1, x 2, x 3- সমজাতীয় স্থানাঙ্ক):

x 1 2 + x 2 2 - x 3 2= 0 - বাস্তব ডিম্বাকৃতি,

x 1 2 + x 2 2 + x 3 2= 0 - কাল্পনিক ডিম্বাকৃতি,

অবক্ষয় লাইন:

x 1 2 - x 2 2= 0 - বাস্তব লাইনের জোড়া,

x 1 2 + x 2 2= 0 - একজোড়া কাল্পনিক লাইন,

x 1 2= 0 - মিলিত বাস্তব লাইনের একটি জোড়া।

এ বি ইভানভ।

গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া। - এম.: সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া. 1969-1978 .

অন্যান্য অভিধানে "দ্বিতীয় অর্ডারের লাইন" কী তা দেখুন:

সমতল রেখা যার আয়তক্ষেত্রাকার বিন্দু স্থানাঙ্ক একটি 2য় ডিগ্রী বীজগণিতীয় সমীকরণ পূরণ করে। দ্বিতীয় ক্রমটির লাইনগুলির মধ্যে উপবৃত্ত (বিশেষত, বৃত্ত), হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস ... বড় বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমতল রেখা যার আয়তক্ষেত্রাকার বিন্দু স্থানাঙ্ক একটি 2য় ডিগ্রী বীজগণিতীয় সমীকরণ পূরণ করে। দ্বিতীয় ক্রমটির লাইনগুলির মধ্যে উপবৃত্ত (বিশেষত, বৃত্ত), হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস। * * * সেকেন্ড অর্ডার লাইন সেকেন্ড অর্ডার লাইন,… … বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমতল লাইন, আয়তক্ষেত্রাকার k px বিন্দুর স্থানাঙ্ক বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রীর ইউরনিয়াম। L. মধ্যে. n. উপবৃত্ত (বিশেষ করে বৃত্ত), হাইপারবোলাস, প্যারাবোলাস... প্রাকৃতিক বিজ্ঞান. বিশ্বকোষীয় অভিধান

সমতল রেখা, কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক যা বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রির সমীকরণ (*) প্রকৃত জ্যামিতিক নির্ধারণ করতে পারে না। ইমেজ, কিন্তু এই ধরনের ক্ষেত্রে সাধারণতা রক্ষা করার জন্য, তারা বলে যে এটি নির্ধারণ করে ... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

একটি 3-মাত্রিক বাস্তব (বা জটিল) স্থানের বিন্দুগুলির সেট, যেগুলির স্থানাঙ্কগুলি কার্টেসিয়ান পদ্ধতিতে বীজগণিতকে সন্তুষ্ট করে। ২য় ডিগ্রির সমীকরণ (*) সমীকরণ (*) প্রকৃত জ্যামিতিক নির্ধারণ করতে পারে না। ছবি, যেমন... গাণিতিক বিশ্বকোষ

এই শব্দটি, বাঁকা রেখার জ্যামিতিতে প্রায়শই ব্যবহৃত হয়, এর একটি নির্দিষ্ট অর্থ নেই। যখন এই শব্দটি অ-বন্ধ এবং অ-শাখাবিহীন বাঁকা রেখায় প্রয়োগ করা হয়, তখন বক্ররেখার শাখার অর্থ প্রতিটি অবিচ্ছিন্ন পৃথক ... ... বিশ্বকোষীয় অভিধান F.A. Brockhaus এবং I.A. এফ্রন

দ্বিতীয় ক্রমটির লাইন, দুটি ব্যাস, যার প্রতিটি এই বক্ররেখার জ্যাগুলিকে বিভক্ত করে, অন্যটির সমান্তরাল৷ দ্বিতীয় ক্রম লাইনের সাধারণ তত্ত্বে SDs একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। একটি উপবৃত্তের সমান্তরাল অভিক্ষেপের সাথে এর S. d এর বৃত্তে। ... ...

একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কুকে সমতল দিয়ে ভাগ করে প্রাপ্ত রেখাগুলি যা এর শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায় না। কে. এস. তিন ধরনের হতে পারে: 1) কাটিং প্লেনটি শঙ্কুর সমস্ত জেনারেটরকে তার একটি গহ্বরের বিন্দুতে ছেদ করে; লাইন…… গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

যে লাইনগুলি একটি ডান বৃত্তাকার শঙ্কুকে সমতল দিয়ে ভাগ করে প্রাপ্ত হয় যা এর শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায় না। কে. এস. তিন ধরনের হতে পারে: 1) কাটিং প্লেন শঙ্কুর সমস্ত জেনারেটরকে তার একটি গহ্বরের বিন্দুতে ছেদ করে (চিত্র, a): ছেদ রেখা ... ... গাণিতিক বিশ্বকোষ

জ্যামিতি বিভাগ। বীজগণিত জ্যামিতির মৌলিক ধারণা হল সবচেয়ে সহজ জ্যামিতিক ছবি (বিন্দু, রেখা, সমতল, বক্ররেখা এবং দ্বিতীয় ক্রম পৃষ্ঠ)। A. g. তে গবেষণার প্রধান মাধ্যম হল স্থানাঙ্কের পদ্ধতি (নীচে দেখুন) এবং পদ্ধতিগুলি ... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

বই

• বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির একটি সংক্ষিপ্ত কোর্স, এফিমভ নিকোলাই ভ্লাদিমিরোভিচ। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি অধ্যয়নের বিষয় হল পরিসংখ্যান, যা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে প্রথম ডিগ্রি বা দ্বিতীয়ের সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। একটি সমতলে, এগুলি সরলরেখা এবং দ্বিতীয় ক্রমের রেখা। ...

এটি সমীকরণের সাধারণভাবে গৃহীত আদর্শ ফর্ম, যখন কয়েক সেকেন্ডের মধ্যে এটি পরিষ্কার হয়ে যায় যে এটি কোন জ্যামিতিক বস্তুকে সংজ্ঞায়িত করে। উপরন্তু, অনেক ব্যবহারিক কাজ সমাধানের জন্য ক্যানোনিকাল ফর্ম খুব সুবিধাজনক। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ক্যানোনিকাল সমীকরণ অনুযায়ী "ফ্ল্যাট" সোজা, প্রথমত, এটি অবিলম্বে স্পষ্ট যে এটি একটি সরল রেখা, এবং দ্বিতীয়ত, এটির অন্তর্গত বিন্দু এবং দিক ভেক্টর সহজভাবে দৃশ্যমান।

স্পষ্টতই, যে কোনো ১ম অর্ডার লাইনএকটি সরল রেখা প্রতিনিধিত্ব করে। দ্বিতীয় তলায়, আমাদের জন্য আর একজন দারোয়ান অপেক্ষা করছে না, নয়টি মূর্তির আরও বিচিত্র সংস্থা:

দ্বিতীয় অর্ডার লাইনের শ্রেণীবিভাগ

কর্মের একটি বিশেষ সেটের সাহায্যে, যেকোন দ্বিতীয়-ক্রম লাইন সমীকরণ নিম্নলিখিত প্রকারগুলির মধ্যে একটিতে হ্রাস করা হয়:

(এবং ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যা)

1) উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

2) হাইপারবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

3) প্যারাবোলার ক্যানোনিকাল সমীকরণ;

4) – কাল্পনিকউপবৃত্ত

5) - ছেদকারী লাইনের একটি জোড়া;

6)- দম্পতি কাল্পনিকছেদকারী রেখা (উৎপত্তিস্থলে ছেদ করার একমাত্র বাস্তব বিন্দু সহ);

7) - সমান্তরাল লাইনের একটি জোড়া;

8)- দম্পতি কাল্পনিকসমান্তরাল রেখা;

9) একজোড়া মিলিত রেখা।

কিছু পাঠক ধারণা পেতে পারেন যে তালিকাটি অসম্পূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, 7 নম্বর অনুচ্ছেদে, সমীকরণটি জোড়া সেট করে সরাসরি, অক্ষের সমান্তরাল, এবং প্রশ্ন ওঠে: y-অক্ষের সমান্তরাল রেখাগুলি নির্ধারণ করে এমন সমীকরণটি কোথায়? উত্তর দাও ক্যানন বিবেচনা করা হয় না. সরল রেখাগুলি 90 ডিগ্রি দ্বারা ঘোরানো একই স্ট্যান্ডার্ড কেসকে উপস্থাপন করে এবং শ্রেণীবিভাগে অতিরিক্ত এন্ট্রি অপ্রয়োজনীয়, কারণ এটি মৌলিকভাবে নতুন কিছু বহন করে না।

এইভাবে, নয়টি এবং মাত্র নয়টি ভিন্ন ধরণের 2য় ক্রম লাইন রয়েছে, তবে বাস্তবে সবচেয়ে সাধারণ উপবৃত্ত, অধিবৃত্ত এবং প্যারাবোলা.

প্রথমে উপবৃত্তাকার দিকে তাকাই। যথারীতি, আমি সেই পয়েন্টগুলিতে ফোকাস করি যেগুলি সমস্যা সমাধানের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, এবং আপনার যদি সূত্রগুলির বিশদ উদ্ভব, উপপাদ্যগুলির প্রমাণের প্রয়োজন হয়, দয়া করে দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, বাজিলেভ / আতানাসিয়ান বা আলেকসান্দ্রভের পাঠ্যপুস্তক ..

উপবৃত্ত এবং এর ক্যানোনিকাল সমীকরণ

বানান ... অনুগ্রহ করে কিছু ইয়ানডেক্স ব্যবহারকারীদের ভুলের পুনরাবৃত্তি করবেন না যারা "কীভাবে একটি উপবৃত্ত তৈরি করতে হয়", "একটি উপবৃত্ত এবং একটি ডিম্বাকৃতির মধ্যে পার্থক্য" এবং "ইলেবস বিকেন্দ্রিকতা" এ আগ্রহী।

একটি উপবৃত্তের ক্যানোনিকাল সমীকরণের ফর্ম রয়েছে , যেখানে ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা এবং . আমি পরে একটি উপবৃত্তের সংজ্ঞা প্রণয়ন করব, তবে আপাতত কথা বলা থেকে বিরতি নেওয়ার এবং একটি সাধারণ সমস্যা সমাধান করার সময় এসেছে:

কিভাবে একটি উপবৃত্ত নির্মাণ?

হ্যাঁ, এটা নিন এবং শুধু এটি আঁকা. অ্যাসাইনমেন্টটি সাধারণ, এবং শিক্ষার্থীদের একটি উল্লেখযোগ্য অংশ অঙ্কনটি বেশ দক্ষতার সাথে সামলাতে পারে না:

উদাহরণ 1

সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত একটি উপবৃত্ত তৈরি করুন

সমাধান: প্রথমে আমরা সমীকরণটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসি:

আনবে কেন? ক্যানোনিকাল সমীকরণের একটি সুবিধা হল এটি আপনাকে তাৎক্ষণিকভাবে নির্ধারণ করতে দেয় উপবৃত্তাকার শীর্ষবিন্দু, যা পয়েন্ট এ আছে. এটা দেখতে সহজ যে এই বিন্দুগুলির প্রতিটির স্থানাঙ্কগুলি সমীকরণটিকে সন্তুষ্ট করে।

এক্ষেত্রে :


লাইনের অংশডাকা প্রধান অক্ষউপবৃত্ত
লাইনের অংশ – ছোট অক্ষ;
সংখ্যা ডাকা আধা-প্রধান অক্ষউপবৃত্ত
সংখ্যা – আধা-অপ্রধান অক্ষ.
আমাদের উদাহরণে:।

এই বা সেই উপবৃত্তটি দেখতে কেমন তা দ্রুত কল্পনা করতে, শুধু এর প্রামাণিক সমীকরণের "a" এবং "be" এর মানগুলি দেখুন।

সবকিছু সূক্ষ্ম, ঝরঝরে এবং সুন্দর, কিন্তু একটি সতর্কতা আছে: আমি প্রোগ্রাম ব্যবহার করে অঙ্কন তৈরি করেছি। এবং আপনি যেকোনো অ্যাপ্লিকেশন দিয়ে আঁকতে পারেন। যাইহোক, রূঢ় বাস্তবে, কাগজের একটি চেক করা টুকরো টেবিলের উপর পড়ে আছে, এবং আমাদের হাতের চারপাশে ইঁদুর নাচছে। শৈল্পিক প্রতিভাযুক্ত লোকেরা অবশ্যই তর্ক করতে পারে তবে আপনার কাছে ইঁদুরও রয়েছে (ছোট হলেও)। এটি নিরর্থক নয় যে মানবজাতি একটি শাসক, একটি কম্পাস, একটি প্রটেক্টর এবং অঙ্কনের জন্য অন্যান্য সাধারণ ডিভাইস আবিষ্কার করেছিল।

এই কারণে, আমরা কেবলমাত্র শীর্ষবিন্দুগুলি জেনে সঠিকভাবে একটি উপবৃত্ত আঁকতে সক্ষম হওয়ার সম্ভাবনা কম। এখনও ঠিক আছে, যদি উপবৃত্ত ছোট হয়, উদাহরণস্বরূপ, সেমিএক্স সহ। বিকল্পভাবে, আপনি স্কেল কমাতে পারেন এবং, সেই অনুযায়ী, অঙ্কনের মাত্রা। কিন্তু সাধারণ ক্ষেত্রে অতিরিক্ত পয়েন্ট খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত বাঞ্ছনীয়।

একটি উপবৃত্ত নির্মাণের দুটি পদ্ধতি রয়েছে - জ্যামিতিক এবং বীজগণিত। সংক্ষিপ্ত অ্যালগরিদম এবং অঙ্কনের উল্লেখযোগ্য বিশৃঙ্খলার কারণে আমি একটি কম্পাস এবং শাসক দিয়ে তৈরি করতে পছন্দ করি না। জরুরী পরিস্থিতিতে, অনুগ্রহ করে পাঠ্যপুস্তকটি পড়ুন, কিন্তু বাস্তবে বীজগণিতের সরঞ্জামগুলি ব্যবহার করা অনেক বেশি যুক্তিযুক্ত। খসড়ার উপবৃত্তাকার সমীকরণ থেকে, আমরা দ্রুত প্রকাশ করি:

তারপর সমীকরণ দুটি ফাংশনে বিভক্ত হয়:
- উপবৃত্তের উপরের চাপ সংজ্ঞায়িত করে;
- উপবৃত্তের নীচের চাপ সংজ্ঞায়িত করে।

যেকোনো উপবৃত্ত স্থানাঙ্ক অক্ষের পাশাপাশি উৎপত্তি সম্পর্কে প্রতিসম. এবং এটি দুর্দান্ত - প্রতিসাম্য প্রায় সবসময়ই একটি ফ্রিবিয়ের আশ্রয়দাতা। স্পষ্টতই, 1ম স্থানাঙ্ক ত্রৈমাসিকের সাথে মোকাবিলা করার জন্য এটি যথেষ্ট, তাই আমাদের একটি ফাংশন প্রয়োজন . এটি abscissas সহ অতিরিক্ত পয়েন্ট খোঁজার পরামর্শ দেয় . আমরা ক্যালকুলেটরে তিনটি এসএমএস হিট করেছি:

অবশ্যই, এটিও আনন্দদায়ক যে যদি গণনায় একটি গুরুতর ত্রুটি করা হয়, তবে এটি নির্মাণের সময় অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে যাবে।

অঙ্কনের পয়েন্টগুলি চিহ্নিত করুন (লাল রঙ), অন্যান্য আর্কগুলিতে প্রতিসম বিন্দুগুলি (নীল রঙ) এবং সাবধানে একটি লাইনের সাথে পুরো কোম্পানিকে সংযুক্ত করুন:


প্রাথমিক স্কেচটি পাতলা এবং পাতলা আঁকতে ভাল, এবং শুধুমাত্র তারপর পেন্সিলের উপর চাপ প্রয়োগ করুন। ফলাফল বেশ একটি শালীন উপবৃত্তাকার হওয়া উচিত। যাইহোক, আপনি এই বক্ররেখা কি জানতে চান?