প্রমিত চতুষ্কোণ রূপ। চতুষ্কোণ রূপের আধ্যাত্মিক রূপ। চতুর্ভুজ ফর্মটি ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করা

চতুর্ভুজ ফর্ম দেওয়া (2) ক(এক্স, এক্স) \u003d, কোথায় এক্স = (এক্স 1 , এক্স 2 , …, এক্স এন)। মহাকাশে চতুষ্কোণ রূপটি বিবেচনা করুন আর 3, যে এক্স = (এক্স 1 , এক্স 2 , এক্স 3), ক(এক্স, এক্স) =
+
+
+
+
+
+ +
+
+
=
+
+
+ 2
+ 2
+ + 2
(আমরা আকারের প্রতিসাম্যের শর্তটি ব্যবহার করেছি) এবং 12 = এবং 21 , এবং 13 = এবং 31 , এবং 23 = এবং 32)। আসুন আমরা চতুষ্কোণ ফর্মের ম্যাট্রিক্স লিখি ক ভিত্তিতে ( e}, ক(e) =
... যখন ভিত্তি পরিবর্তন হয়, সূত্র অনুসারে চতুর্ভুজ ফর্মের ম্যাট্রিক্স পরিবর্তিত হয় ক(চ) = গ টি ক(e)গকোথায় গ - ভিত্তি থেকে রূপান্তরের ম্যাট্রিক্স ( e) ভিত্তিতে ( চ), এবং গ টি - ট্রান্সপোজড ম্যাট্রিক্স গ.

সংজ্ঞা11.12. একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স সহ চতুর্ভুজ ফর্মের ফর্ম বলা হয় ক্যানোনিকাল.

বেশ দেরি ক(চ) =
তারপর ক"(এক্স, এক্স) =
+
+
কোথায় এক্স" 1 , এক্স" 2 , এক্স"3 - ভেক্টর স্থানাঙ্ক এক্স নতুন ভিত্তিতে ( চ}.

সংজ্ঞা11.13. প্রবেশ করুক এন ভি যেমন ভিত্তি চয়ন করা হয় চ = {চ 1 , চ 2 , …, চ এন ), যাতে চতুর্ভুজ রূপের ফর্ম রয়েছে

ক(এক্স, এক্স) =
+
+ … +
, (3)

কোথায় y 1 , y 2 , …, y এন - ভেক্টর স্থানাঙ্ক এক্স ভিত্তিতে ( চ)। এক্সপ্রেশন (3) বলা হয় ক্যানোনিকাল ভিউ চতুষ্কোণ ফর্ম। সহগ  1, λ 2,…, λ এন ডাকল ক্যানোনিকাল; এমন একটি ভিত্তিতে যেখানে চতুর্ভুজ ফর্মের ক্যানোনিকাল ফর্ম থাকে তাকে ডাকা হয় ক্যানোনিকাল ভিত্তিতে.

মন্তব্য... চতুর্ভুজ রূপ যদি ক(এক্স, এক্স) ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা হয়, তারপরে, সাধারণভাবে বলা হয়, সমস্ত সহগ  নয়  i ননজারো চতুর্ভুজ ফর্মের র\u200c্যাঙ্ক যে কোনও ভিত্তিতে তার ম্যাট্রিক্সের র\u200c্যাঙ্কের সমান।

চতুর্ভুজ ফর্মের র\u200c্যাঙ্ক দিন ক(এক্স, এক্স) সমান rকোথায় r ≤ এন... ক্যানোনিকাল আকারে চতুর্ভুজ আকারের একটি ম্যাট্রিক্সের একটি তির্যক ফর্ম রয়েছে। ক(চ) =
যেহেতু এটির পদমর্যাদা r, তারপরে সহগের মধ্যে i হতে হবে rশূন্যের সমান নয় সুতরাং এটি অনুসরণ করে যে ননজারো ক্যানোনিকাল সহগের সংখ্যাটি চতুর্ভুজ আকারের সমান of

মন্তব্য... স্থানাঙ্কগুলির একটি রৈখিক রূপান্তরকরণ হল ভেরিয়েবল থেকে রূপান্তর এক্স 1 , এক্স 2 , …, এক্স এন পরিবর্তনশীল y 1 , y 2 , …, y এন , যাতে পুরানো ভেরিয়েবলগুলি কয়েকটি সংখ্যাগত সহগ সহ নতুন ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রকাশিত হয়।

এক্স 1 \u003d α 11 y 1 + α 12 y 2 + ... + α 1 এন y এন ,

এক্স 2 \u003d α 2 1 y 1 + α 2 2 y 2 + ... + α 2 এন y এন ,

………………………………

এক্স 1 \u003d α এন 1 y 1 + এন 2 y 2 + ... + α এনএন y এন .

যেহেতু ভিত্তিটির প্রতিটি রূপান্তর স্থানাঙ্কগুলির একটি অবনমিত লিনিয়ার রূপান্তরের সাথে মিলে যায় তাই চতুর্ভুজ রূপটি ক্যানোনিকাল ফর্মের সাথে হ্রাস করার প্রশ্নটি স্থানাঙ্কের সম্পর্কিত নন-ডিজেনারেট ট্রান্সফর্মেশন চয়ন করে সমাধান করা যেতে পারে।

উপপাদ্য ১১.২ (চতুর্ভুজ ফর্মের মূল উপপাদ্য)। যে কোনও চতুষ্কোণ ফর্ম ক(এক্স, এক্স) দেওয়া এন-মাত্রিক ভেক্টর স্থান ভিস্থানাঙ্কগুলির একটি অ-অবনমিত রৈখিক রূপান্তর ব্যবহার ক্যানোনিকাল আকারে হ্রাস করা যেতে পারে।

প্রমান... (ল্যাংরেঞ্জের পদ্ধতি) এই পদ্ধতির ধারণাটি প্রতিটি ভেরিয়েবলের একের পর এক বর্গাকার ত্রিকোণীয়কে সম্পূর্ণ স্কোয়ারের পরিপূরক করে। আমরা এটা ধরে নেব ক(এক্স, এক্স) ≠ 0 এবং ভিত্তিতে e = {e 1 , e 2 , …, e এন ) এর ফর্ম রয়েছে (2):

ক(এক্স, এক্স) =
.

যদি একটি ক(এক্স, এক্স) \u003d 0, তারপরে ( ক ij) \u003d 0, অর্থাত, ফর্মটি ইতিমধ্যে প্রৌ .়। সূত্র ক(এক্স, এক্স) রূপান্তর করা যেতে পারে যাতে সহগ ক 11 ≠ 0. যদি ক 11 \u003d 0, তারপরে অন্যান্য ভেরিয়েবলের বর্গক্ষেত্রের সহগটি ননজারো, তারপরে ভেরিয়েবলগুলি পুনর্নির্মাণের মাধ্যমে এটি অর্জন করা সম্ভব ক 11 ≠ 0. ভেরিয়েবলের পুনর্নবীকরণ হ'ল একটি অবনমিত রৈখিক রূপান্তর। ভেরিয়েবলগুলির স্কোয়ারের সমস্ত সহগগুলি যদি শূন্যের সমান হয়, তবে প্রয়োজনীয় রূপান্তরগুলি নিম্নলিখিত হিসাবে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, ক 12 ≠ 0 (ক(এক্স, এক্স) ≠ 0, সুতরাং কমপক্ষে একটি সহগ ক ij ≠ 0)। রূপান্তর বিবেচনা করুন

এক্স 1 = y 1 – y 2 ,

এক্স 2 = y 1 + y 2 ,

এক্স i = y i , এ i = 3, 4, …, এন.

এই রূপান্তরটি অ-অবনমিত, কারণ এর ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক ননজারো
= = 2 ≠ 0.

তারপরে ২ ক 12 এক্স 1 এক্স 2 = 2 ক 12 (y 1 – y 2)(y 1 + y 2) = 2
– 2
, যে, ফর্ম হয় ক(এক্স, এক্স) দুটি ভেরিয়েবলের স্কোয়ার একবারে উপস্থিত হবে।

ক(এক্স, এক্স) =
+ 2
+ 2
+
. (4)

আমরা বরাদ্দকৃত পরিমাণটি ফর্মে রূপান্তর করি:

ক(এক্স, এক্স) = ক 11
, (5)

সহগের যখন ক ij পরিবর্তন ... একটি অবনমিত রূপান্তর বিবেচনা করুন

y 1 = এক্স 1 + + … + ,

y 2 = এক্স 2 ,

y এন = এক্স এন .

তাহলে আমরা পাই

ক(এক্স, এক্স) =
. (6).

চতুর্ভুজ রূপ যদি
\u003d 0, তারপর হ্রাস প্রশ্ন of ক(এক্স, এক্স) ক্যানোনিকাল ফর্ম সমাধান করা হয়।

যদি এই ফর্মটি শূন্যের সমান না হয়, তবে আমরা স্থানাঙ্কের রূপান্তর বিবেচনা করে যুক্তি পুনরাবৃত্তি করি y 2 , …, y এন এবং স্থানাঙ্ক পরিবর্তন ছাড়াই y ঘ। স্পষ্টতই, এই রূপান্তরগুলি হ্রাসহীন হবে be সীমিত সংখ্যক পদক্ষেপে চতুর্ভুজ রূপ ক(এক্স, এক্স) ক্যানোনিকাল ফর্ম (3) এ হ্রাস পাবে।

মন্তব্য1. মূল স্থানাঙ্কগুলির কাঙ্ক্ষিত রূপান্তর এক্স 1 , এক্স 2 , …, এক্স এন যুক্তি প্রক্রিয়ায় পাওয়া অ-অবনমিত রূপান্তরগুলি গুণ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে: [ এক্স] = ক[y], [y] = খ[z], [z] = গ[টি], তারপর [ এক্স] = কখ[z] = কখগ[টি], আই [ এক্স] = এম[টি], কোথায় এম = কখগ.

মন্তব্য 2. যাক ক(এক্স, এক্স) = ক(এক্স, এক্স) =
+
+ …+
, যেখানে  i ≠ 0, i = 1, 2, …, r, যেখানে  1\u003e 0, λ 2\u003e 0,…, λ λ প্রশ্ন > 0, λ প্রশ্ন +1 < 0, …, λ r < 0.

একটি অবনমিত রূপান্তর বিবেচনা করুন

y 1 = z 1 , y 2 = z 2 , …, y প্রশ্ন = z প্রশ্ন , y প্রশ্ন +1 =
z প্রশ্ন +1 , …, y r = z r , y r +1 = z r +1 , …, y এন = z এন ... ফলস্বরূপ ক(এক্স, এক্স) ফর্মটি গ্রহণ করবে: ক(এক্স, এক্স) = + + … + – – … – চমগ্মজগচ চতুষ্পদ ফর্মের সাধারণ ধরণ.

উদাহরণ11.1. চতুষ্কোণ রূপটি ক্যানোনিকালাইজ করুন ক(এক্স, এক্স) = 2এক্স 1 এক্স 2 – 6এক্স 2 এক্স 3 + 2এক্স 3 এক্স 1 .

সিদ্ধান্ত... যতটুকু ক 11 \u003d 0, আমরা রূপান্তরটি ব্যবহার করি

এক্স 1 = y 1 – y 2 ,

এক্স 2 = y 1 + y 2 ,

এক্স 3 = y 3 .

এই রূপান্তরটির একটি ম্যাট্রিক্স রয়েছে ক =
, অর্থাৎ [ এক্স] = ক[y] আমরা পেতে ক(এক্স, এক্স) = 2(y 1 – y 2)(y 1 + y 2) – 6(y 1 + y 2)y 3 + 2y 3 (y 1 – y 2) =

2– 2– 6y 1 y 3 – 6y 2 y 3 + 2y 3 y 1 – 2y 3 y 2 = 2– 2– 4y 1 y 3 – 8y 3 y 2 .

সহগের থেকে শূন্য নয়, আপনি একটি অজানা এর বর্গ নির্বাচন করতে পারেন, এটি হতে দিন y ঘ। আসুন সমস্ত সদস্য নির্বাচন করুন y 1 .

ক(এক্স, এক্স) = 2(– 2 y 1 y 3) – 2– 8y 3 y 2 = 2(– 2 y 1 y 3 + ) – 2– 2– 8y 3 y 2 = 2(y 1 – y 3) 2 – 2– 2– 8y 3 y 2 .

আসুন এমন রূপান্তর সম্পাদন করুন যার ম্যাট্রিক্স সমান খ.

z 1 = y 1 – y 3 ,  y 1 = z 1 + z 3 ,

z 2 = y 2 ,  y 2 = z 2 ,

z 3 = y 3 ;  y 3 = z 3 .

খ =
, [y] = খ[z].

আমরা পেতে ক(এক্স, এক্স) = 2– 2–– 8z 2 z ঘ। আসুন সদস্যদের নির্বাচন করুন z ঘ। আমাদের আছে ক(এক্স, এক্স) = 2– 2(+ 4z 2 z 3) – 2= 2– 2(+ 4z 2 z 3 + 4) + + 8 – 2 = 2– 2(z 2 + 2z 3) 2 + 6.

ম্যাট্রিক্স দিয়ে একটি রূপান্তর সম্পাদন করা হচ্ছে গ:

টি 1 = z 1 ,  z 1 = টি 1 ,

টি 2 = z 2 + 2z 3 ,  z 2 = টি 2 – 2টি 3 ,

টি 3 = z 3 ;  z 3 = টি 3 .

গ =
, [z] = গ[টি].

পেয়েছি: ক(এক্স, এক্স) = 2– 2+ 6 চতুষ্কোণ রূপের আধ্যাত্মিক রূপ, যখন [ এক্স] = ক[y], [y] = খ[z], [z] = গ[টি], এখান থেকে [ এক্স] = এবিসি[টি];

কখগ =


=
... রূপান্তর সূত্রগুলি নীচে রয়েছে

এক্স 1 = টি 1 – টি 2 + টি 3 ,

এক্স 2 = টি 1 + টি 2 – টি 3 ,

একটি চতুষ্কোণ রূপকে ক্যানোনিকাল বলা হয় যদি সমস্ত কিছু হয়, যেমন।

যেকোন চতুষ্কোণ রূপটি রৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করে ক্যানোনিকাল ফর্মে হ্রাস করা যায়। অনুশীলনে, নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি সাধারণত ব্যবহৃত হয়।

1. স্থানের অर्थোগোনাল রূপান্তর:

কোথায় - ম্যাট্রিক্সের ইগোনাল্যুগুলি ক.

2. ল্যাংরেঞ্জের পদ্ধতি - নিখুঁত স্কোয়ারগুলির ক্রমিক নির্বাচন। উদাহরণস্বরূপ, যদি

তারপরে চতুর্ভুজ ফর্মের সাথে একটি অনুরূপ প্রক্রিয়া করা হয় চতুর্ভুজ আকারে যদি সবকিছু হয় তারপরে প্রাথমিক রূপান্তরিত হওয়ার পরে কেসটি বিবেচিত পদ্ধতিতে হ্রাস করা হয়। সুতরাং, যদি, উদাহরণস্বরূপ, তারপর আমরা রাখা

৩. জ্যাকবির পদ্ধতি (ক্ষেত্রে যখন সমস্ত বড় নাবালিকান চতুর্ভুজ ফর্মগুলি ননজারো):

প্লেনের যে কোনও সরল রেখা প্রথম অর্ডার সমীকরণের মাধ্যমে দেওয়া যেতে পারে

Ax + Wu + C \u003d 0,

এবং এ, বি ধ্রুবক একই সাথে শূন্যের সমান নয়। এই প্রথম-আদেশ সমীকরণ বলা হয় সরলরেখার সাধারণ সমীকরণ।এ, বি এবং সি ধ্রুবকের মানগুলির উপর নির্ভর করে নিম্নলিখিত বিশেষ কেসগুলি সম্ভব:

সি \u003d 0, এ ≠ 0, বি ≠ 0 - লাইনটি উত্সের মধ্য দিয়ে যায়

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (দ্বারা + C \u003d 0) - সরলরেখাটি অক্স অক্ষের সমান্তরাল

বি \u003d 0, এ ≠ 0, সি ≠ 0 (এক্স + সি \u003d 0) - সরল রেখাটি ওয়ে অক্ষের সমান্তরাল

বি \u003d সি \u003d 0, এ ≠ 0 - সরল রেখাটি ওয়ের অক্ষের সাথে মিলে যায়

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - সরল রেখাটি অক্স অক্ষের সাথে মিলে যায়

সরল রেখার সমীকরণ কোনও দেওয়া প্রাথমিক শর্তের উপর নির্ভর করে বিভিন্ন আকারে উপস্থাপন করা যেতে পারে।

মহাকাশে একটি সরল রেখা নির্দিষ্ট করা যেতে পারে:

1) দুটি প্লেনের ছেদ রেখা হিসাবে, যেমন সমীকরণ সিস্টেম:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0; (৩.২)

2) এর দুটি পয়েন্ট এম 1 (x 1, y 1, z 1) এবং এম 2 (x 2, y 2, জেড 2) দ্বারা, তারপরে তাদের মধ্য দিয়ে যাওয়া সরল রেখাটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হবে:

= ; (3.3)

3) পয়েন্ট এম 1 (x 1, y 1, জেড 1), এটি এর সাথে সম্পর্কিত এবং ভেক্টর ক(মি, এন, পি), এটির সাথে কলিনারি। তারপরে সরলরেখাটি সমীকরণ দ্বারা নির্ধারিত হয়:

. (3.4)

সমীকরণ (3.4) বলা হয় রেখার ক্যানোনিকাল সমীকরণ.

ভেক্টর ক বলা হয় সরলরেখার নির্দেশিকা ভেক্টর.

আমরা প্রতিটি অনুপাতের (3.4) প্যারামিটার টিতে সমান করে স্ট্রেট লাইনের প্যারামেট্রিক সমীকরণগুলি পাই:

x \u003d x 1 + এমটি, y \u003d y 1 + এনটি, জেড \u003d জেড 1 + .t। (3.5)

অজানা সম্পর্কিত ক্ষেত্রে রৈখিক সমীকরণের ব্যবস্থা হিসাবে সিস্টেম (3.2) সমাধান করা এক্স এবং y, আমরা লাইনের সমীকরণগুলিতে পৌঁছাচ্ছি অনুমান অথবা সরলরেখার কম সমীকরণ:

x \u003d mz + a, y \u003d nz + b। (3.6)

সমীকরণগুলি (3.6) থেকে কেউ সন্ধানের মাধ্যমে ক্যানোনিকাল সমীকরণে যেতে পারে z প্রতিটি সমীকরণ থেকে এবং প্রাপ্ত মানগুলিকে সমান করে:

.

সাধারণ সমীকরণগুলি (৩.২) থেকে, যদি আমরা এই রেখার কিছু বিন্দু এবং এর দিক ভেক্টরটি পাই তবে সাধারণভাবে অন্য দিকে যেতে পারে এন= [এন 1 , এন 2], যেখানে এন 1 (এ 1, বি 1, সি 1) এবং এন 2 (এ 2, বি 2, সি 2) প্রদত্ত বিমানগুলির স্বাভাবিক ভেক্টর। ডিনোমিনেটরদের মধ্যে যদি এক মি, এন বা আর সমীকরণগুলিতে (3.4) শূন্যের সমান হবে, তবে সংশ্লিষ্ট ভগ্নাংশের অঙ্কটি অবশ্যই শূন্যের সমান হতে হবে, অর্থাৎ পদ্ধতি

সিস্টেম সমতুল্য ; যেমন একটি সরল রেখা অক্স অক্ষের জন্য লম্ব হয়।

পদ্ধতি সিস্টেম x \u003d x 1, y \u003d y 1 এর সমতুল্য; সরল রেখাটি অজ অক্ষের সমান্তরাল।

স্থানাঙ্কের সাথে সম্মানের সাথে প্রথম ডিগ্রির কোনও সমীকরণ x, y, z

Ax + বাই + সিজেড + ডি \u003d 0 (3.1)

একটি প্লেন সংজ্ঞা দেয় এবং তদ্বিপরীত: যে কোনও বিমান সমীকরণ (3.1) দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করতে পারে, যাকে বলা হয় is বিমান সমীকরণ.

ভেক্টর এন (এ, বি, সি) বিমানে অরথগোনাল বলা হয় সাধারণ ভেক্টর প্লেন সমীকরণে (3.1), গুণাগুণ A, B, C একই সাথে 0 এর সমান হয় না।

সমীকরণের বিশেষ ক্ষেত্রে (৩.১):

1. ডি \u003d 0, অক্ষ + বাই + সিজেড \u003d 0 - বিমানটি উত্সের মধ্য দিয়ে যায়।

2. সি \u003d 0, অক্ষ + বাই + ডি \u003d 0 - বিমানটি অজ অক্ষের সমান্তরাল।

3. সি \u003d ডি \u003d 0, এক্স + বাই \u003d 0 - বিমানটি অজ অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়।

৪. বি \u003d সি \u003d ০, এক্স + ডি \u003d ০ - বিমানটি ওয়েজের সমতলের সমান্তরাল।

স্থানাঙ্ক বিমানগুলির সমীকরণ: x \u003d 0, y \u003d 0, z \u003d 0।

লাইনটি বিমানের অন্তর্গত বা নাও থাকতে পারে। এটির অন্তর্ভুক্ত যদি এর কমপক্ষে দুটি পয়েন্ট বিমানটিতে থাকে lie

লাইনটি যদি বিমানের অন্তর্ভুক্ত না হয় তবে এটি এর সাথে সমান্তরাল হতে পারে বা ছেদ করতে পারে।

একটি সরলরেখা একটি সমতল সমান্তরাল হয় যদি এটি এই বিমানটিতে পড়ে থাকা অন্য সরল রেখার সমান্তরাল হয়।

সরলরেখাটি বিভিন্ন কোণে বিমানটিকে ছেদ করতে পারে এবং বিশেষত এটির জন্য লম্ব হতে পারে।

বিমানের সাথে সম্পর্কিত একটি বিন্দু নিম্নলিখিত উপায়ে অবস্থিত হতে পারে: এর সাথে সম্পর্কিত হওয়া বা না থাকা। একটি বিন্দু একটি বিমানের অন্তর্গত যদি এটি এই বিমানটিতে অবস্থিত একটি সরলরেখায় থাকে।

মহাকাশে দুটি লাইন হয় ছেদ করতে পারে, বা সমান্তরাল হতে পারে, বা ক্রস করা যেতে পারে।

লাইন বিভাগগুলির সমান্তরালতা অনুমানগুলিতে সংরক্ষিত।

যদি সরলরেখাগুলি ছেদ করে, তবে একই নামের তাদের অনুমানের ছেদগুলি একই যোগাযোগ লাইনে রয়েছে।

ক্রসড রেখাগুলি একই বিমানের নয়, অর্থাত্\u200d ছেদ বা সমান্তরাল না।

অঙ্কনটিতে পৃথকভাবে নেওয়া একই নামের রেখার অনুমানগুলিতে ছেদ বা সমান্তরাল রেখার চিহ্ন রয়েছে।

উপবৃত্ত। একটি উপবৃত্ত হ'ল পয়েন্টগুলির একটি লোকস, যার জন্য দূরত্বের যোগফল দুটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের (ফোকি) উপবৃত্তির সমস্ত পয়েন্টের জন্য একই ধ্রুবক মান (এই ধ্রুবক মানটি অবশ্যই ফোকির মধ্যবর্তী দূরত্বের চেয়ে বেশি হওয়া উচিত)।

সরল উপবৃত্তির সমীকরণ

কোথায় ক - উপবৃত্তের আধা-প্রধান অক্ষ, খ উপবৃত্তের আধা-ক্ষুদ্র অক্ষ। যদি 2 গ ফোকির মধ্যবর্তী দূরত্ব, তারপরে ক, খ এবং গ (যদি একটি ক > খ) একটি সম্পর্ক আছে

ক 2 - খ 2 = গ 2 .

একটি উপবৃত্তের কেন্দ্রবিন্দু হ'ল এই উপবৃত্তের কেন্দ্রস্থলের মধ্যবর্তী দূরত্বের সাথে তার বৃহত অক্ষের দৈর্ঘ্যের অনুপাত

উপবৃত্তটির একটি স্বতন্ত্রতা রয়েছে e < 1 (так как গ < ক), এবং এর কেন্দ্রবিন্দুগুলি প্রধান অক্ষগুলিতে থাকে।

চিত্রটিতে প্রদর্শিত হাইপারবোলার সমীকরণ।

পরামিতি:
ক, খ - আধা অক্ষ;
- ফোকাসির মধ্যে দূরত্ব,
- উদ্দীপনা;
- অ্যাসিপোটোটস;
- পরিচালক।
চিত্রের কেন্দ্রে প্রদর্শিত আয়তক্ষেত্রটি প্রধান আয়তক্ষেত্র, এর তির্যকগুলি অ্যাসিপোটোটেস।