নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের ডেরিভেটিভ

এই নিবন্ধে আমরা আরও দুটি সাধারণ কাজ দেখব যা প্রায়শই উচ্চতর গণিতের পরীক্ষায় পাওয়া যায়। উপাদানটি সফলভাবে আয়ত্ত করতে, আপনাকে অবশ্যই একটি মধ্যবর্তী স্তরে ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম হতে হবে। আপনি দুটি মৌলিক পাঠ এবং স্ক্র্যাচ থেকে কার্যত ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে শিখতে পারেন একটি জটিল ফাংশনের ডেরিভেটিভ. যদি আপনার পার্থক্য দক্ষতা ঠিক থাকে, তাহলে চলুন।

নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ

অথবা, সংক্ষেপে, একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভ। একটি অন্তর্নিহিত ফাংশন কি? আসুন প্রথমে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সংজ্ঞাটি মনে রাখি:

একক পরিবর্তনশীল ফাংশনএকটি নিয়ম যা অনুযায়ী স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রতিটি মান ফাংশনের একটি এবং শুধুমাত্র একটি মানের সাথে মিলে যায়।

চলক বলা হয় স্বাধীন চলকবা যুক্তি.
চলক বলা হয় নির্ভরশীল পরিবর্তনশীলবা ফাংশন .

এ পর্যন্ত আমরা সংজ্ঞায়িত ফাংশন দেখেছি স্পষ্টফর্ম এর মানে কী? আসুন নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে একটি ডিব্রিফিং পরিচালনা করি।

ফাংশন বিবেচনা করুন

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে বাম দিকে আমাদের একাকী "খেলোয়াড়" আছে এবং ডানদিকে - শুধুমাত্র "X এর". অর্থাৎ ফাংশন স্পষ্টভাবেস্বাধীন ভেরিয়েবলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

আসুন আরেকটি ফাংশন দেখি:

এই যেখানে ভেরিয়েবল মিশ্রিত করা হয়. তাছাড়া যে কোন উপায়ে অসম্ভবশুধুমাত্র "X" এর মাধ্যমে "Y" প্রকাশ করুন। এই পদ্ধতি কি? চিহ্নের পরিবর্তনের সাথে অংশ থেকে অংশে পদ স্থানান্তর করা, বন্ধনীর বাইরে সরানো, অনুপাতের নিয়ম অনুসারে ফ্যাক্টর নিক্ষেপ করা ইত্যাদি। সমতা পুনরায় লিখুন এবং "y" স্পষ্টভাবে প্রকাশ করার চেষ্টা করুন: . আপনি ঘণ্টার পর ঘণ্টা সমীকরণ ঘুরিয়ে দিতে পারেন, কিন্তু আপনি সফল হবেন না।

আমি আপনাকে পরিচয় করিয়ে দিন: - উদাহরণ অন্তর্নিহিত ফাংশন.

গাণিতিক বিশ্লেষণের সময় এটি প্রমাণিত হয়েছিল যে অন্তর্নিহিত ফাংশন বিদ্যমান(তবে, সবসময় নয়), এটির একটি গ্রাফ রয়েছে (ঠিক একটি "স্বাভাবিক" ফাংশনের মতো)। অন্তর্নিহিত ফাংশন ঠিক একই বিদ্যমানপ্রথম ডেরিভেটিভ, দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, ইত্যাদি তারা যেমন বলে, যৌন সংখ্যালঘুদের সকল অধিকারকে সম্মান করা হয়।

এবং এই পাঠে আমরা শিখব কিভাবে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হয় যা নিহিতভাবে উল্লেখ করা হয়েছে। এটা যে কঠিন না! সমস্ত পার্থক্য নিয়ম এবং প্রাথমিক ফাংশনের ডেরিভেটিভের সারণী বলবৎ থাকে। পার্থক্যটি একটি অদ্ভুত মুহূর্তের মধ্যে, যা আমরা এখনই দেখব।

হ্যাঁ, এবং আমি আপনাকে সুসংবাদটি বলব - নীচে আলোচনা করা কাজগুলি তিনটি ট্র্যাকের সামনে একটি পাথর ছাড়াই মোটামুটি কঠোর এবং পরিষ্কার অ্যালগরিদম অনুসারে সঞ্চালিত হয়।

উদাহরণ 1

1) প্রথম পর্যায়ে, আমরা উভয় অংশে স্ট্রোক সংযুক্ত করি:

2) আমরা ডেরিভেটিভের রৈখিকতার নিয়ম ব্যবহার করি (পাঠের প্রথম দুটি নিয়ম কিভাবে ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে? সমাধানের উদাহরণ):

3) সরাসরি পার্থক্য.
কীভাবে পার্থক্য করা যায় তা সম্পূর্ণ পরিষ্কার। যেখানে স্ট্রোকের নীচে "গেমস" আছে সেখানে কী করবেন?

- শুধু অপমানজনক পর্যায়ে, একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ তার ডেরিভেটিভের সমান: .

কিভাবে পার্থক্য করা যায়
এখানে আমরা আছে জটিল ফাংশন. কেন? দেখে মনে হচ্ছে সাইনের নীচে শুধুমাত্র একটি অক্ষর "Y" আছে। তবে আসল বিষয়টি হ'ল একটি মাত্র অক্ষর "y" - এটি নিজেই একটি ফাংশন(পাঠের শুরুতে সংজ্ঞা দেখুন)। সুতরাং, সাইন একটি বাহ্যিক ফাংশন এবং একটি অভ্যন্তরীণ ফাংশন। আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য জন্য নিয়ম ব্যবহার :

আমরা স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী পণ্যের পার্থক্য করি :

অনুগ্রহ করে মনে রাখবেন - এটি একটি জটিল ফাংশন, যেকোনো "ঘণ্টা এবং বাঁশির সাথে খেলা" একটি জটিল ফাংশন:

সমাধান নিজেই এই মত কিছু দেখতে হবে:

যদি বন্ধনী থাকে তবে সেগুলি প্রসারিত করুন:

4) বাম দিকে আমরা একটি প্রাইম সহ একটি "Y" ধারণ করে এমন পদগুলি সংগ্রহ করি। অন্য সবকিছু ডান দিকে সরান:

5) বাম দিকে আমরা বন্ধনী থেকে ডেরিভেটিভ বের করি:

6) এবং অনুপাতের নিয়ম অনুসারে, আমরা এই বন্ধনীগুলিকে ডান দিকের হরে ফেলে দিই:

ডেরিভেটিভ পাওয়া গেছে। প্রস্তুত.

এটি লক্ষ্য করা আকর্ষণীয় যে কোনও ফাংশন নিহিতভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন এই মত পুনর্লিখন করা যেতে পারে: . এবং আলোচনা করা অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এটি আলাদা করুন। প্রকৃতপক্ষে, "অন্তর্নিহিত ফাংশন" এবং "অন্তর্নিহিত ফাংশন" বাক্যাংশগুলি একটি শব্দার্থগত সূক্ষ্মতায় পৃথক। "অন্তর্নিহিতভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন" বাক্যাংশটি আরও সাধারণ এবং সঠিক, - এই ফাংশনটি স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে, তবে এখানে আপনি "গেম" প্রকাশ করতে পারেন এবং ফাংশনটি স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করতে পারেন। "অন্তর্নিহিত ফাংশন" শব্দের অর্থ প্রায়শই "শাস্ত্রীয়" অন্তর্নিহিত ফাংশন, যখন "গেম" প্রকাশ করা যায় না।

এটিও উল্লেখ করা উচিত যে একটি "অন্তর্নিহিত সমীকরণ" একযোগে দুটি বা তারও বেশি ফাংশন স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তের সমীকরণটি পরোক্ষভাবে ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে, , যা অর্ধবৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে৷ কিন্তু, এই নিবন্ধের কাঠামোর মধ্যে, আমরা শর্তাবলী এবং সূক্ষ্মতার মধ্যে একটি বিশেষ পার্থক্য করবে না, এটি সাধারণ উন্নয়নের জন্য শুধুমাত্র তথ্য ছিল।

দ্বিতীয় সমাধান

মনোযোগ!আপনি যদি আত্মবিশ্বাসের সাথে কীভাবে সন্ধান করতে জানেন তবেই আপনি দ্বিতীয় পদ্ধতির সাথে নিজেকে পরিচিত করতে পারেন আংশিক অন্তরকলন. ক্যালকুলাস নতুন এবং ডামি, দয়া করে এই বিন্দু পড়ুন এবং এড়িয়ে যাবেন না, অন্যথায় আপনার মাথা একটি সম্পূর্ণ জগাখিচুড়ি হবে.

দ্বিতীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করা যাক।

আমরা সমস্ত পদ বাম দিকে নিয়ে যাই:

এবং দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন বিবেচনা করুন:

তারপর সূত্র ব্যবহার করে আমাদের ডেরিভেটিভ পাওয়া যাবে
আসুন আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি:

এইভাবে:

দ্বিতীয় সমাধান আপনাকে একটি চেক সম্পাদন করতে দেয়। কিন্তু তাদের জন্য অ্যাসাইনমেন্টের চূড়ান্ত সংস্করণটি লেখার পরামর্শ দেওয়া হয় না, যেহেতু আংশিক ডেরিভেটিভগুলি পরে আয়ত্ত করা হয়, এবং "একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ" বিষয় অধ্যয়নরত একজন ছাত্রের এখনও আংশিক ডেরিভেটিভগুলি জানা উচিত নয়৷

আসুন আরও কয়েকটি উদাহরণ দেখি।

উদাহরণ 2

অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

উভয় অংশে স্ট্রোক যোগ করুন:

আমরা লিনিয়ারিটি নিয়ম ব্যবহার করি:

ডেরিভেটিভ খোঁজা:

সমস্ত বন্ধনী খোলা হচ্ছে:

আমরা সমস্ত পদগুলিকে বাম দিকে নিয়ে যাই, বাকিগুলি ডানদিকে নিয়ে যাই:

চূড়ান্ত উত্তর:

উদাহরণ 3

অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

পাঠের শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং নমুনা নকশা।

পার্থক্যের পরে ভগ্নাংশের উদ্ভব হওয়া অস্বাভাবিক নয়। এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনাকে ভগ্নাংশ পরিত্রাণ পেতে হবে। আরও দুটি উদাহরণ দেখা যাক।

উদাহরণ 4

অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

আমরা উভয় অংশকে স্ট্রোকের অধীনে আবদ্ধ করি এবং লিনিয়ারিটি নিয়ম ব্যবহার করি:

একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করে পার্থক্য করুন এবং ভাগফলের পার্থক্যের নিয়ম :

বন্ধনী প্রসারিত করা হচ্ছে:

এখন আমাদের ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পেতে হবে। এটি পরে করা যেতে পারে, তবে এখনই এটি করা আরও যুক্তিযুক্ত। ভগ্নাংশের হর ধারণ করে। গুন করুন চালু . বিস্তারিতভাবে, এটি এই মত দেখাবে:

কখনও কখনও পার্থক্যের পরে 2-3 ভগ্নাংশ উপস্থিত হয়। যদি আমাদের অন্য একটি ভগ্নাংশ থাকে, উদাহরণস্বরূপ, তাহলে অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করা দরকার - গুণ করুন প্রতিটি অংশের প্রতিটি পদচালু

বাম দিকে আমরা এটি বন্ধনীর বাইরে রাখি:

চূড়ান্ত উত্তর:

উদাহরণ 5

অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ। একমাত্র জিনিস হল যে আপনি ভগ্নাংশ থেকে পরিত্রাণ পাওয়ার আগে, আপনাকে প্রথমে ভগ্নাংশের তিন-তলা কাঠামো থেকে পরিত্রাণ পেতে হবে। পাঠ শেষে সম্পূর্ণ সমাধান এবং উত্তর।

প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের ডেরিভেটিভ

আসুন স্ট্রেস না করি, এই অনুচ্ছেদে সবকিছু বেশ সহজ। আপনি প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য সাধারণ সূত্রটি লিখতে পারেন, তবে এটি পরিষ্কার করার জন্য, আমি অবিলম্বে একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ লিখব। প্যারামেট্রিক আকারে, ফাংশন দুটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়: . প্রায়শই সমীকরণগুলি কোঁকড়া বন্ধনীর নীচে লেখা হয় না, তবে ক্রমানুসারে: , .

চলকটিকে প্যারামিটার বলা হয়এবং "মাইনাস ইনফিনিটি" থেকে "প্লাস ইনফিনিটি" পর্যন্ত মান নিতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, মান বিবেচনা করুন এবং উভয় সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করুন: . বা মানুষের পরিভাষায়: "যদি x চারের সমান হয়, তাহলে y একের সমান।" আপনি স্থানাঙ্ক সমতলে একটি বিন্দু চিহ্নিত করতে পারেন, এবং এই বিন্দুটি পরামিতির মানের সাথে মিলে যাবে। একইভাবে, আপনি প্যারামিটার "te" এর যেকোনো মানের জন্য একটি বিন্দু খুঁজে পেতে পারেন। একটি "নিয়মিত" ফাংশন হিসাবে, প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের আমেরিকান ইন্ডিয়ানদের জন্য, সমস্ত অধিকারও সম্মান করা হয়: আপনি একটি গ্রাফ তৈরি করতে পারেন, ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে পেতে পারেন ইত্যাদি। যাইহোক, আপনি যদি প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের একটি গ্রাফ প্লট করতে চান তবে আপনি আমার প্রোগ্রামটি ব্যবহার করতে পারেন।

সহজ ক্ষেত্রে, ফাংশনটি স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করা সম্ভব। প্রথম সমীকরণ থেকে পরামিতি প্রকাশ করা যাক: - এবং এটিকে দ্বিতীয় সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন: . ফলাফল হল একটি সাধারণ কিউবিক ফাংশন।

আরও "গুরুতর" ক্ষেত্রে, এই কৌশলটি কাজ করে না। কিন্তু এটা কোন ব্যাপার না, কারণ প্যারামেট্রিক ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র আছে:

আমরা "ভেরিয়েবল te এর সাপেক্ষে গেম" এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

সমস্ত পার্থক্য নিয়ম এবং ডেরিভেটিভের টেবিল বৈধ, স্বাভাবিকভাবেই, চিঠির জন্য, এইভাবে, ডেরিভেটিভস খোঁজার প্রক্রিয়ায় কোন নতুনত্ব নেই. কেবল মানসিকভাবে টেবিলের সমস্ত "X' গুলিকে "Te" অক্ষর দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন।

আমরা ভ্যারিয়েবল te এর সাপেক্ষে x এর ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই:

এখন যা অবশিষ্ট থাকে তা হল আমাদের সূত্রে পাওয়া ডেরিভেটিভগুলিকে প্রতিস্থাপন করা:

প্রস্তুত. ডেরিভেটিভ, ফাংশনের মতোই, প্যারামিটারের উপরও নির্ভর করে।

স্বরলিপির জন্য, এটিকে সূত্রে লেখার পরিবর্তে, কেউ এটিকে সাবস্ক্রিপ্ট ছাড়াই লিখতে পারে, যেহেতু এটি একটি "নিয়মিত" ডেরিভেটিভ "X-এর ক্ষেত্রে"। তবে সাহিত্যে সর্বদা একটি বিকল্প থাকে, তাই আমি মান থেকে বিচ্যুত হব না।

উদাহরণ 6

আমরা সূত্র ব্যবহার

এক্ষেত্রে:

এইভাবে:

একটি প্যারামেট্রিক ফাংশন এর ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য হল যে প্রতিটি ধাপে ফলাফলটি যতটা সম্ভব সহজ করা উপকারী. সুতরাং, বিবেচিত উদাহরণে, যখন আমি এটি খুঁজে পেয়েছি, আমি মূলের নীচে বন্ধনীগুলি খুললাম (যদিও আমি এটি করতে পারিনি)। একটি ভাল সুযোগ আছে যে সূত্রে প্রতিস্থাপন করার সময়, অনেক কিছু ভালভাবে কমে যাবে। যদিও, অবশ্যই, আনাড়ি উত্তর সহ উদাহরণ আছে।

উদাহরণ 7

প্যারামেট্রিকভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন

এটি আপনার নিজের সমাধান করার জন্য একটি উদাহরণ।

প্রবন্ধে ডেরিভেটিভের সাথে সবচেয়ে সহজ সাধারণ সমস্যাআমরা উদাহরণগুলি দেখেছি যেখানে আমাদের একটি ফাংশনের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে। একটি প্যারামেট্রিকভাবে সংজ্ঞায়িত ফাংশনের জন্য, আপনি দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটিও খুঁজে পেতে পারেন এবং এটি নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়: . এটা বেশ সুস্পষ্ট যে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ খুঁজে পেতে, আপনাকে প্রথমে প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজে বের করতে হবে।

উদাহরণ 8

প্যারামেট্রিকভাবে প্রদত্ত একটি ফাংশনের প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন

প্রথমে, আসুন প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজে বের করি।
আমরা সূত্র ব্যবহার

এক্ষেত্রে:

প্রায়শই, ব্যবহারিক সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় (উদাহরণস্বরূপ, উচ্চতর জিওডেসি বা বিশ্লেষণাত্মক ফটোগ্রামেট্রিতে), বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের জটিল ফাংশন উপস্থিত হয়, যেমন আর্গুমেন্ট x, y, z একটি ফাংশন f(x,y,z) ) নিজেই নতুন ভেরিয়েবলের ফাংশন U, V, W ).

উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক সিস্টেম থেকে সরানোর সময় এটি ঘটে অক্সিজ মোবাইল সিস্টেমে ও 0 UVW এবং ফিরে. একই সময়ে, "স্থির" - "পুরানো" এবং "চলমান" - "নতুন" ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত সমস্ত আংশিক ডেরিভেটিভগুলি জানা গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এই আংশিক ডেরিভেটিভগুলি সাধারণত এই স্থানাঙ্ক সিস্টেমগুলিতে কোনও বস্তুর অবস্থানকে চিহ্নিত করে। , এবং, বিশেষ করে, একটি বাস্তব বস্তুর সাথে বায়বীয় ফটোগ্রাফের চিঠিপত্রকে প্রভাবিত করে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সূত্রগুলি প্রযোজ্য:

অর্থাৎ একটি জটিল ফাংশন দেওয়া হয় টি তিনটি "নতুন" ভেরিয়েবল U, V, W তিনটি "পুরাতন" ভেরিয়েবলের মাধ্যমে x, y, z, তারপর:

মন্তব্য করুন। ভেরিয়েবলের সংখ্যায় তারতম্য থাকতে পারে। যেমন: যদি

বিশেষ করে, যদি z = f(xy), y = y(x) , তারপর আমরা তথাকথিত "টোটাল ডেরিভেটিভ" সূত্র পাই:

এর ক্ষেত্রে "টোটাল ডেরিভেটিভ" এর জন্য একই সূত্র:

ফর্ম নেবে:

সূত্রের অন্যান্য বৈচিত্র (1.27)- (1.32)ও সম্ভব।

দ্রষ্টব্য: তরল গতির সমীকরণের মৌলিক সিস্টেম বের করার সময় "টোটাল ডেরিভেটিভ" সূত্রটি পদার্থবিদ্যার কোর্স, বিভাগ "হাইড্রোডাইনামিক্স"-এ ব্যবহৃত হয়।

উদাহরণ 1.10। দেওয়া:

(1.31) অনুসারে:

§7 বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভ

হিসাবে পরিচিত, একটি ভেরিয়েবলের একটি অন্তর্নিহিতভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়: স্বাধীন পরিবর্তনশীলের কাজ এক্স এটিকে অন্তর্নিহিত বলা হয় যদি এটি একটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় যা সাপেক্ষে সমাধান করা হয় না y :

উদাহরণ 1.11।

সমীকরণটি

পরোক্ষভাবে দুটি ফাংশন নির্দিষ্ট করে:

এবং সমীকরণ

কোন ফাংশন নির্দিষ্ট করে না।

উপপাদ্য 1.2 (একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের অস্তিত্ব)।

ফাংশন যাক z =f(x,y) এবং এর আংশিক ডেরিভেটিভস চ" এক্স এবং চ" y কিছু আশেপাশে সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন উ M0 পয়েন্ট এম 0 (এক্স 0 y 0 ) . এছাড়া, f(x 0 ,y 0 )=0 এবং f"(x 0 ,y 0 )≠0 , তারপর সমীকরণ (1.33) আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করে উ M0 অন্তর্নিহিত ফাংশন y=y(x) একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ক্রমাগত এবং পার্থক্যযোগ্য ডি একটি বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত এক্স 0 , এবং y(x 0 )=y 0 .

প্রমান নেই.

উপপাদ্য 1.2 থেকে এটি এই ব্যবধানে অনুসরণ করে ডি :

যে, একটি পরিচয় আছে

যেখানে (1.31) অনুযায়ী "মোট" ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়

অর্থাৎ, (1.35) একটি ভেরিয়েবলের অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র দেয় এক্স .

দুই বা ততোধিক ভেরিয়েবলের একটি অন্তর্নিহিত ফাংশন একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি কোন এলাকায় ভি স্থান অক্সিজ নিম্নলিখিত সমীকরণ ধারণ করে:

তারপর ফাংশন কিছু শর্ত অধীনে চ এটি অন্তর্নিহিতভাবে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে

অধিকন্তু, (1.35) এর সাথে সাদৃশ্য দ্বারা, এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি নিম্নরূপ পাওয়া যায়:

উদাহরণ 1.12। ধরে নিলাম সমীকরণ

পরোক্ষভাবে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে

অনুসন্ধান জেড" এক্স , z" y .

অতএব, (1.37) অনুসারে, আমরা উত্তর পাই।

§8 দ্বিতীয় এবং উচ্চতর আদেশের আংশিক ডেরিভেটিভ

সংজ্ঞা 1.9 একটি ফাংশনের সেকেন্ড অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভস z=z(x,y) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

তাদের মধ্যে চারজন ছিল। উপরন্তু, ফাংশন উপর কিছু শর্ত অধীনে z(x,y) সমতা ধারণ করে:

মন্তব্য করুন। সেকেন্ড অর্ডার আংশিক ডেরিভেটিভগুলিও নিম্নরূপ চিহ্নিত করা যেতে পারে:

সংজ্ঞা 1.10 তৃতীয় ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভ হল আট (2 3)।

আমরা পরোক্ষভাবে নির্দিষ্ট করা ফাংশনগুলির ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করতে শিখব, যা কিছু নির্দিষ্ট সমীকরণ দ্বারা নির্দিষ্ট করা ভেরিয়েবলগুলিকে সংযুক্ত করে। এক্সএবং y. অন্তর্নিহিতভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন উদাহরণ:

পরোক্ষভাবে নির্দিষ্ট করা ফাংশনের ডেরিভেটিভস বা অন্তর্নিহিত ফাংশনের ডেরিভেটিভগুলি বেশ সহজভাবে পাওয়া যায়। এখন আসুন সংশ্লিষ্ট নিয়ম এবং উদাহরণটি দেখি, এবং তারপরে সাধারণভাবে কেন এটি প্রয়োজন তা খুঁজে বের করুন।

নিহিতভাবে নির্দিষ্ট করা একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে x এর ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় দিককে আলাদা করতে হবে। যে পদগুলিতে শুধুমাত্র X উপস্থিত থাকে সেগুলি X থেকে ফাংশনের স্বাভাবিক ডেরিভেটিভ হয়ে যাবে। এবং গেমের শর্তগুলিকে একটি জটিল ফাংশনকে আলাদা করার জন্য নিয়ম ব্যবহার করে আলাদা করতে হবে, যেহেতু গেমটি X-এর একটি ফাংশন। এটিকে খুব সহজভাবে বলতে গেলে, x এর সাথে শব্দটির ফলস্বরূপ ডেরিভেটিভের ফলাফল হওয়া উচিত: y থেকে ফাংশনের ডেরিভেটিভ y থেকে ডেরিভেটিভ দ্বারা গুণিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি পদের ডেরিভেটিভ হিসাবে লেখা হবে, একটি পদের ডেরিভেটিভ হিসাবে লেখা হবে। এর পরে, এই সমস্ত থেকে আপনাকে এই "গেম স্ট্রোক" প্রকাশ করতে হবে এবং স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট ফাংশনের পছন্দসই ডেরিভেটিভ পাওয়া যাবে। আসুন একটি উদাহরণ সহ এটি দেখি।

উদাহরণ 1.

সমাধান। আমরা x এর সাপেক্ষে সমীকরণের উভয় পক্ষকে আলাদা করি, ধরে নিই যে i x এর একটি ফাংশন:

এখান থেকে আমরা ডেরিভেটিভটি পাই যা টাস্কে প্রয়োজনীয়:

এখন কিছু ফাংশনের অস্পষ্ট সম্পত্তি সম্পর্কে স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে, এবং কেন তাদের পার্থক্যের জন্য বিশেষ নিয়ম প্রয়োজন। কিছু ক্ষেত্রে, আপনি নিশ্চিত করতে পারেন যে গেমের পরিবর্তে x-এর পরিপ্রেক্ষিতে অভিব্যক্তিটিকে একটি প্রদত্ত সমীকরণে (উপরের উদাহরণগুলি দেখুন) প্রতিস্থাপন করা হলে এই সমীকরণটি একটি পরিচয়ে পরিণত হয়। তাই। উপরের সমীকরণটি পরোক্ষভাবে নিম্নলিখিত ফাংশনগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে:

মূল সমীকরণে x এর মাধ্যমে বর্গক্ষেত্র গেমের অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করার পরে, আমরা পরিচয়টি পাই:

আমরা যে অভিব্যক্তিগুলি প্রতিস্থাপিত করেছি তা গেমটির সমীকরণ সমাধান করে প্রাপ্ত হয়েছিল।

আমরা সংশ্লিষ্ট স্পষ্ট ফাংশন পার্থক্য ছিল

তাহলে আমরা উদাহরণ 1-এর মতো উত্তর পাব - একটি ফাংশন থেকে যা স্পষ্টভাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে:

কিন্তু পরোক্ষভাবে নির্দিষ্ট করা প্রতিটি ফাংশন ফর্মে উপস্থাপন করা যায় না y = চ(এক্স) . সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, অন্তর্নিহিতভাবে নির্দিষ্ট ফাংশন

প্রাথমিক ফাংশনগুলির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না, অর্থাৎ, এই সমীকরণগুলি গেমের ক্ষেত্রে সমাধান করা যায় না। অতএব, একটি ফাংশনকে সুনির্দিষ্টভাবে আলাদা করার জন্য একটি নিয়ম রয়েছে, যা আমরা ইতিমধ্যেই অধ্যয়ন করেছি এবং আরও ধারাবাহিকভাবে অন্যান্য উদাহরণগুলিতে প্রয়োগ করব।

উদাহরণ 2।অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

আমরা প্রাইমকে প্রকাশ করি এবং - আউটপুটে - ফাংশনের ডেরিভেটিভ স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে:

উদাহরণ 3.অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সমাধান। আমরা x এর ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় পক্ষকে আলাদা করি:

উদাহরণ 4.অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সমাধান। আমরা x এর ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় পক্ষকে আলাদা করি:

আমরা প্রকাশ করি এবং ডেরিভেটিভ পাই:

উদাহরণ 5।অন্তর্নিহিতভাবে দেওয়া একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন:

সমাধান। আমরা সমীকরণের ডান দিকের পদগুলিকে বাম দিকে নিয়ে যাই এবং ডানদিকে শূন্য রাখি। আমরা x এর সাপেক্ষে সমীকরণের উভয় পক্ষকে আলাদা করি।

যেমনটি জানা যায়, একটি চলকের একটি অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত ফাংশনকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়: স্বাধীন চলক x-এর ফাংশন y কে অন্তর্নিহিত বলা হয় যদি এটি একটি সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয় যা y-এর ক্ষেত্রে সমাধান করা হয় না:

উদাহরণ 1.11।

সমীকরণটি

পরোক্ষভাবে দুটি ফাংশন নির্দিষ্ট করে:

এবং সমীকরণ

কোন ফাংশন নির্দিষ্ট করে না।

উপপাদ্য 1.2 (একটি অন্তর্নিহিত ফাংশনের অস্তিত্ব)।

z =f(x,y) ফাংশন এবং এর আংশিক ডেরিভেটিভ f"x এবং f"y বিন্দু M0(x0y0) এর কিছু আশেপাশের UM0-এ সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন হতে দিন। উপরন্তু, f(x0,y0)=0 এবং f"(x0,y0)≠0, তারপর সমীকরণ (1.33) UM0 এর আশেপাশে সংজ্ঞায়িত করে একটি অন্তর্নিহিত ফাংশন y= y(x), ক্রমাগত এবং কিছু ব্যবধানে পার্থক্যযোগ্য x0 বিন্দুতে কেন্দ্র সহ, এবং y(x0)=y0।

প্রমান নেই.

উপপাদ্য 1.2 থেকে এটি অনুসরণ করে যে এই ব্যবধানে D:

যে, একটি পরিচয় আছে

যেখানে (1.31) অনুযায়ী "মোট" ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়

অর্থাৎ, (1.35) একটি ভেরিয়েবল x এর অন্তর্নিহিতভাবে প্রদত্ত ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার জন্য একটি সূত্র দেয়।

উদাহরণস্বরূপ, যদি অক্সিজ স্থানের V অঞ্চলে সমীকরণটি ধারণ করে:

তারপর ফাংশন F এর কিছু শর্তের অধীনে এটি ফাংশনটিকে স্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত করে

উদাহরণ 1.12। ধরে নিলাম সমীকরণ

পরোক্ষভাবে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে

z"x, z"y খুঁজুন।

অতএব, (1.37) অনুসারে, আমরা উত্তর পাই।

11. জ্যামিতিতে আংশিক ডেরিভেটিভের ব্যবহার।

12. দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিমা।

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সর্বাধিক, সর্বনিম্ন এবং চরমের ধারণাগুলি একটি স্বাধীন চলকের একটি ফাংশনের অনুরূপ ধারণার অনুরূপ (বিভাগ 25.4 দেখুন)।

z = ƒ(x;y) ফাংশনটিকে কিছু ডোমেইন D-এ সংজ্ঞায়িত করা যাক, বিন্দু N(x0;y0) О D।

একটি বিন্দু (x0;y0) কে ফাংশনের সর্বাধিক বিন্দু বলা হয় z=ƒ(x;y) যদি বিন্দুর (x0;y0) একটি d-প্রতিবেশী থাকে যাতে প্রতিটি বিন্দু (x;y) এর থেকে আলাদা (xo;yo), এই প্রতিবেশী থেকে অসমতা ƒ(x;y) ধারণ করে<ƒ(хо;уо).

ক ফাংশনের ন্যূনতম বিন্দু একইভাবে নির্ধারিত হয়: (x0; y0) ব্যতীত অন্য সমস্ত বিন্দুর (x; y) জন্য, বিন্দুর d-প্রতিবেশী থেকে (xo; yo) নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0)।

চিত্র 210-এ: N1 হল সর্বাধিক বিন্দু, এবং N2 হল z=ƒ(x;y) ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু।

সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) বিন্দুতে ফাংশনের মানকে ফাংশনের সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) বলে। একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ এবং ন্যূনতমকে এর এক্সট্রিমা বলা হয়।

উল্লেখ্য যে, সংজ্ঞা অনুসারে, ফাংশনের চরম বিন্দুটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেনের ভিতরে থাকে; সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন একটি স্থানীয় (স্থানীয়) অক্ষর আছে: বিন্দুতে ফাংশনের মান (x0; y0) পর্যাপ্তভাবে (x0; y0) এর কাছাকাছি পয়েন্টে এর মানের সাথে তুলনা করা হয়। অঞ্চল D-এ, একটি ফাংশনের একাধিক এক্সট্রিমা থাকতে পারে বা কিছুই নেই।

46.2। একটি extremum জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত

আসুন আমরা একটি ফাংশনের এক্সট্রিমামের অস্তিত্বের শর্ত বিবেচনা করি।

উপপাদ্য 46.1 (একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি N(x0;y0) বিন্দুতে ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন z=ƒ(x;y) একটি এক্সট্রিম থাকে, তাহলে এই বিন্দুতে এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0।

চলুন একটি ভেরিয়েবল ঠিক করা যাক. উদাহরণস্বরূপ, y=y0 করা যাক। তারপর আমরা একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন ƒ(x;y0)=φ(x) পাই, যার একটি এক্সট্রিমাম আছে x = x0। অতএব, একটি চলকের একটি ফাংশনের প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত অনুসারে (বিভাগ 25.4 দেখুন), φ"(x0) = 0, অর্থাৎ ƒ"x(x0;y0)=0।

একইভাবে, এটি দেখানো যেতে পারে যে ƒ"y(x0;y0) = 0।

জ্যামিতিকভাবে, সমতা ƒ"x(x0;y0)=0 এবং ƒ"y(x0;y0)=0 বলতে বোঝায় যে z=ƒ(x;y) ফাংশনের চরম বিন্দুতে পৃষ্ঠের স্পর্শক সমতলকে প্রতিনিধিত্ব করে ফাংশন ƒ(x;y) ), অক্সি প্লেনের সমান্তরাল, যেহেতু স্পর্শক সমতলের সমীকরণ হল z=z0 (সূত্র দেখুন (45.2))।

জেড বিঃদ্রঃ. একটি ফাংশনের বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম থাকতে পারে যেখানে অন্তত একটি আংশিক ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। উদাহরণস্বরূপ, ফাংশন O(0;0) বিন্দুতে সর্বাধিক রয়েছে (চিত্র 211 দেখুন), কিন্তু এই বিন্দুতে আংশিক ডেরিভেটিভ নেই।

যে বিন্দুতে z ≈ ƒ(x; y) ফাংশনের প্রথম ক্রম আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান, যেমন f"x=0, f"y=0, তাকে z ফাংশনের একটি স্থির বিন্দু বলা হয়।

স্থির বিন্দু এবং বিন্দু যেখানে অন্তত একটি আংশিক ডেরিভেটিভ বিদ্যমান নেই তাদের সমালোচনামূলক বিন্দু বলা হয়।

গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে, ফাংশনের একটি এক্সট্রিমাম থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। শূন্য থেকে আংশিক ডেরিভেটিভের সমতা একটি এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় কিন্তু পর্যাপ্ত শর্ত নয়। উদাহরণস্বরূপ, z = xy ফাংশন বিবেচনা করুন। এর জন্য, O(0; 0) বিন্দুটি গুরুত্বপূর্ণ (এতে z"x=y এবং z"y - x অদৃশ্য হয়ে যায়)। যাইহোক, ফাংশন z=xy এর মধ্যে একটি এক্সট্রিমাম নেই, যেহেতু O(0; 0) বিন্দুর যথেষ্ট ছোট আশেপাশে এমন বিন্দু রয়েছে যার জন্য z>0 (প্রথম এবং তৃতীয় চতুর্থাংশের বিন্দু) এবং z রয়েছে< 0 (точки II и IV четвертей).

এইভাবে, একটি প্রদত্ত এলাকায় একটি ফাংশনের চরমতা খুঁজে বের করার জন্য, ফাংশনের প্রতিটি সমালোচনামূলক বিন্দুকে অতিরিক্ত গবেষণার বিষয়বস্তু করা প্রয়োজন।

উপপাদ্য 46.2 (একটি চরম অংশের জন্য যথেষ্ট শর্ত)। একটি স্থির বিন্দুতে (xo; y) ফাংশনটি ƒ(x;y) এবং এর কিছু আশেপাশে দ্বিতীয় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। আসুন আমরা A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) মানগুলি (x0;y0) বিন্দুতে গণনা করি। . এর উল্লেখ করা যাক

1. যদি Δ > 0, তাহলে (x0;y0) বিন্দুতে ƒ(x;y) ফাংশনের একটি এক্সট্রিম্যাম থাকে: সর্বোচ্চ যদি A< 0; минимум, если А > 0;

2. যদি Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0 এর ক্ষেত্রে, বিন্দুতে (x0;y0) একটি এক্সট্রিম থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। আরো গবেষণা প্রয়োজন.

কাজ

উদাহরণ।ফাংশন বৃদ্ধি ও হ্রাসের ব্যবধান নির্ণয় কর। সমাধান।প্রথম ধাপ হল একটি ফাংশনের সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে বের করা. আমাদের উদাহরণে, হর-এ অভিব্যক্তিটি শূন্যে যাওয়া উচিত নয়, তাই,। আসুন ডেরিভেটিভ ফাংশনে এগিয়ে যাই: একটি পর্যাপ্ত মানদণ্ডের উপর ভিত্তি করে একটি ফাংশনের বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান নির্ধারণ করতে, আমরা সংজ্ঞার ডোমেনে অসমতার সমাধান করি। ইন্টারভ্যাল পদ্ধতির একটি সাধারণীকরণ ব্যবহার করা যাক। অংকের একমাত্র আসল মূল x = 2, এবং হর শূন্যে যায় x = 0. এই পয়েন্টগুলি সংজ্ঞার ডোমেনকে বিরতিতে ভাগ করে যেখানে ফাংশনের ডেরিভেটিভ তার চিহ্ন ধরে রাখে। সংখ্যা রেখায় এই বিন্দুগুলো চিহ্নিত করা যাক। আমরা প্রচলিতভাবে প্লাস এবং বিয়োগ দ্বারা বোঝাই যে বিরতিতে ডেরিভেটিভ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক। নীচের তীরগুলি পরিকল্পিতভাবে সংশ্লিষ্ট ব্যবধানে ফাংশনের বৃদ্ধি বা হ্রাস দেখায়। এইভাবে, এবং . বিন্দুতে x = 2ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত এবং অবিচ্ছিন্ন, তাই এটি ক্রমবর্ধমান এবং হ্রাস উভয় ব্যবধানে যোগ করা উচিত। বিন্দুতে x = 0ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, তাই আমরা এই বিন্দুটিকে প্রয়োজনীয় ব্যবধানে অন্তর্ভুক্ত করি না। আমরা এটির সাথে প্রাপ্ত ফলাফলের তুলনা করার জন্য ফাংশনের একটি গ্রাফ উপস্থাপন করি। উত্তর:এর সাথে ফাংশন বৃদ্ধি পায় , ব্যবধানে হ্রাস পায় (0; 2] .

উদাহরণ.

একটি বক্রতার উত্তল এবং অবতলতার ব্যবধান সেট করুন y = 2 – এক্স 2 .

আমরা খুঁজে নেব y"" এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটি কোথায় ইতিবাচক এবং কোথায় এটি নেতিবাচক তা নির্ধারণ করুন। y" = –2এক্স, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e এক্স. কারণ y"" = e x > 0 যে কোনোটির জন্য এক্স, তাহলে বক্ররেখা সর্বত্র অবতল।

y = এক্স 3 . কারণ y"" = 6এক্স, যে y"" < 0 при এক্স < 0 и y""> 0 এ এক্স> 0. অতএব, কখন এক্স < 0 кривая выпукла, а при এক্স> 0 অবতল।

4. z=x^2-y^2+5x+4y ফাংশন দেওয়া হয়েছে, ভেক্টর l=3i-4j এবং বিন্দু A(3,2)। dz/dl খুঁজুন (যেমন আমি বুঝি, ভেক্টরের দিক থেকে ফাংশনের ডেরিভেটিভ), gradz(A), |gradz(A)|। আসুন আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি: z(x-এর ক্ষেত্রে)=2x+5 z(y-এর সাপেক্ষে)=-2y+4 বিন্দু A(3,2): z(সহ x এর ক্ষেত্রে)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y দ্বারা)(3,2)=-2*2+4=0 কোথা থেকে, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 ভেক্টরের দিক থেকে z ফাংশনের ডেরিভেটিভ l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y) স্থানাঙ্ক অক্ষ সহ ভেক্টর l এর cosb, a, b-কোণ। cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5। cosa=3/5, cosb=(-4)/5। dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

একটি ফাংশন Z= f(x; y) কে অন্তর্নিহিত বলা হয় যদি এটি Z এর ক্ষেত্রে অমীমাংসিত F(x,y,z)=0 সমীকরণ দ্বারা দেওয়া হয়। আসুন আমরা স্পষ্টভাবে দেওয়া Z ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করি। এটি করার জন্য, F(x;y) ফাংশনটিকে Z-এর পরিবর্তে সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করে, আমরা F(x,y, f(x,y))=0 পরিচয় পাই। x এবং y সাপেক্ষে শূন্যের সমান একটি ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলিও শূন্যের সমান।

F(x, y, f (x, y)) =
=0 (ধ্রুবক হিসাবে বিবেচিত)

F(x, y, f (x, y)) =
=0 (এক্স বিবেচিত ধ্রুবক)

কোথায়
এবং

উদাহরণ: সমীকরণ দ্বারা প্রদত্ত Z ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন
.

এখানে F(x,y,z)=
;
;
;
. উপরে প্রদত্ত সূত্র অনুযায়ী আমাদের আছে:

এবং

দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ

M (x,y) বিন্দুর একটি নির্দিষ্ট এলাকায় Z= f(x; y) দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন দেওয়া যাক। একক ভেক্টর দ্বারা সংজ্ঞায়িত কিছু দিক বিবেচনা করুন
, কোথায়
(ছবি দেখো).

বিন্দু M এর মধ্য দিয়ে এই দিক দিয়ে যাওয়া একটি সরল রেখায়, আমরা বিন্দু M 1 (
) যাতে দৈর্ঘ্য
সেগমেন্টএমএম 1 এর সমান
. f(M) ফাংশনের বৃদ্ধি সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেখানে
সম্পর্ক দ্বারা সংযুক্ত। অনুপাত সীমা এ
ফাংশনের ডেরিভেটিভ বলা হবে
বিন্দুতে
দিকে এবং মনোনীত করা হবে .

যদি ফাংশন Z বিন্দুতে পার্থক্যযোগ্য হয়
, তারপর এই মুহুর্তে তার বৃদ্ধি অ্যাকাউন্ট জন্য সম্পর্ক গ্রহণ
নিম্নলিখিত ফর্মে লেখা যেতে পারে।

দ্বারা উভয় অংশ বিভক্ত

এবং সীমা অতিক্রম করে
আমরা নির্দেশে Z= f(x; y) ফাংশনের ডেরিভেটিভের জন্য একটি সূত্র পাই:

গ্রেডিয়েন্ট

তিনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন বিবেচনা করুন
কিছু সময়ে পার্থক্যযোগ্য
.

এই ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট
বিন্দুতে M হল একটি ভেক্টর যার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে আংশিক ডেরিভেটিভের সমান
এই মুহূর্তে. একটি গ্রেডিয়েন্ট নির্দেশ করতে, প্রতীক ব্যবহার করুন
.
=
.

গ্রেডিয়েন্ট একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের দ্রুততম বৃদ্ধির দিক নির্দেশ করে।

যেহেতু ইউনিট ভেক্টর স্থানাঙ্ক আছে (
), তারপর তিনটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের ক্ষেত্রে নির্দেশমূলক ডেরিভেটিভ ফর্মে লেখা হয়, অর্থাৎ ভেক্টরের স্কেলার গুণফলের সূত্র আছে এবং
. চলুন শেষ সূত্রটি নিম্নরূপ পুনরায় লিখি:

, কোথায় - ভেক্টরের মধ্যে কোণ এবং
. কারন
, তারপর এটি অনুসরণ করে যে দিকনির্দেশিত ফাংশনের ডেরিভেটিভ সর্বোচ্চ মান এ নেয় =0, অর্থাৎ যখন ভেক্টরের দিক এবং
মেলে যার মধ্যে
অর্থাৎ, প্রকৃতপক্ষে, একটি ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট একটি বিন্দুতে এই ফাংশনের বৃদ্ধির সর্বাধিক হারের দিক এবং মাত্রাকে চিহ্নিত করে।

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের এক্সট্রিম

দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনের সর্বোচ্চ, ন্যূনতম, প্রান্তের ধারণাগুলি একটি চলকের একটি ফাংশনের অনুরূপ ধারণাগুলির অনুরূপ। Z= f(x; y) ফাংশনটিকে কিছু ডোমেইন D ইত্যাদিতে সংজ্ঞায়িত করা যাক
এই এলাকার অন্তর্গত। পয়েন্ট এম
Z= f(x; y) ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু বলা হয় যদি বিন্দুর এমন একটি δ-প্রতিবেশী থাকে
, যে এই প্রতিবেশী থেকে প্রতিটি পয়েন্টের জন্য অসমতা
. পয়েন্ট মিন একইভাবে নির্ধারিত হয়, শুধুমাত্র অসমতার চিহ্নটি পরিবর্তিত হবে
. সর্বোচ্চ (মিনিমাম) বিন্দুতে ফাংশনের মানকে সর্বোচ্চ (সর্বনিম্ন) বলা হয়। একটি ফাংশনের সর্বাধিক এবং সর্বনিম্নকে বলা হয় এক্সট্রিমা।

একটি extremum জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত

উপপাদ্য:(একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত)। যদি পয়েন্টে এম
ডিফারেনশিয়াবল ফাংশন Z= f(x; y) এর একটি এক্সট্রিম আছে, তাহলে এই পয়েন্টে এর আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান:
,
.

প্রমাণ: x বা y ভেরিয়েবলগুলির একটিকে স্থির করার পরে, আমরা Z = f(x; y) কে একটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশনে রূপান্তরিত করি, যার প্রান্তের জন্য উপরের শর্তগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে। জ্যামিতিকভাবে সমতা
এবং
মানে Z= f(x; y) ফাংশনের চরম বিন্দুতে, পৃষ্ঠের স্পর্শক তলটি f(x,y)=Z ফাংশনটি প্রতিনিধিত্ব করে OXY সমতলের সমান্তরাল, কারণ স্পর্শক সমতলের সমীকরণ হল Z = Z 0। যে বিন্দুতে Z = f (x; y) ফাংশনের প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভগুলি শূন্যের সমান, অর্থাৎ
,
, কে ফাংশনের স্থির বিন্দু বলা হয়। একটি ফাংশনের বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম থাকতে পারে যেখানে অন্তত একটি আংশিক ডেরিভেটিভের অস্তিত্ব নেই। যেমন Z=|-
| O(0,0) বিন্দুতে সর্বোচ্চ আছে, কিন্তু এই বিন্দুতে কোনো ডেরিভেটিভ নেই।

স্থির বিন্দু এবং বিন্দু যেখানে অন্তত একটি আংশিক ডেরিভেটিভ বিদ্যমান নেই বলা হয় সমালোচনামূলক পয়েন্ট.গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্টে, ফাংশনের একটি এক্সট্রিমাম থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। শূন্য থেকে আংশিক ডেরিভেটিভের সমতা একটি এক্সট্রিমিয়ামের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় কিন্তু পর্যাপ্ত শর্ত নয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন Z=xy, পয়েন্ট O(0,0) গুরুত্বপূর্ণ। যাইহোক, Z=xy ফাংশনে এটিতে একটি এক্সট্রিমাম নেই। (কারণ I এবং III Z>0 কোয়ার্টারে, এবং কোয়ার্টার II এবং IV - Z এ<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

উপপাদ্য: (চরম জন্য যথেষ্ট শর্ত)। একটি স্থির বিন্দু এ যাক
এবং একটি নির্দিষ্ট আশেপাশে ফাংশন f(x; y) এর 2য় ক্রম পর্যন্ত অবিচ্ছিন্ন আংশিক ডেরিভেটিভ রয়েছে। বিন্দুতে হিসাব করা যাক
মান
,
এবং
. এর উল্লেখ করা যাক