ইন্টিগ্রেশন - MT1205: অর্থনীতিবিদদের জন্য গাণিতিক বিশ্লেষণ - ব্যবসায়িক তথ্যবিদ্যা। অযৌক্তিক ফাংশন একীভূত করার পদ্ধতি (মূল) অযৌক্তিক ফাংশনের ইন্টিগ্রেল উদাহরণ

এই অনলাইন ক্যালকুলেটরটি ফর্মের অযৌক্তিক ভগ্নাংশের পূর্ণাঙ্গ গণনা করতে ব্যবহৃত হয় , .

দিন - এর যৌক্তিক ফাংশন এই ফাংশন, এবং সেইজন্য এটির অবিচ্ছেদ্য, x=t r প্রতিস্থাপন করে যুক্তিযুক্ত করা হয়, যেখানে r হল r 1, r 2, …, r n সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক। তারপর dx=rt r -1 এবং integral এর নিচে t-এর একটি মূলদ ফাংশন আছে। একইভাবে, যদি integrand এর একটি যৌক্তিক ফাংশন , তারপর integrand ফাংশন প্রতিস্থাপন দ্বারা যুক্তিযুক্ত করা হয় যেখানে t হল r 1 , r 2 ,…, r n সংখ্যাগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক। তারপর মূল রাশিতে প্রতিস্থাপন করে, আমরা t এর একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন পাই।

উদাহরণ। হিসাব করুন। 2 এবং 3 এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল 6। অতএব, আমরা x = t 6 প্রতিস্থাপন করি। তারপর dx = 6t 5 dt এবং

অযৌক্তিক ফাংশন একীকরণ

উদাহরণ নং 1। একটি অযৌক্তিক ফাংশনের সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন:

সমাধান. R(x α1, x α2,..., x αk)dx ফর্মের অখণ্ড, যেখানে R হল x αi এর একটি মূলদ ফাংশন, α i =p i /q i - মূলদ ভগ্নাংশ (i = 1,2,... , k) , প্রতিস্থাপন x = t q ব্যবহার করে একটি মূলদ ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশে হ্রাস করা হয়, যেখানে q হল a 1, a 2,..., a k ভগ্নাংশের হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ মাল্টিপল (LCM)। আমাদের ক্ষেত্রে, a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 6, তাই তাদের হরগুলির সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল q = LCM(2,3,6) = 6। চলক x = t 6 প্রতিস্থাপন করলে ভগ্নাংশের মূলদ ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য, যা উদাহরণে বর্ণিত হিসাবে গণনা করা হয়:

অযৌক্তিক ফাংশন (মূল) একীভূত করার জন্য প্রাথমিক পদ্ধতি দেওয়া হয়েছে। এর মধ্যে রয়েছে: রৈখিক ভগ্নাংশের অযৌক্তিকতার একীকরণ, ডিফারেনশিয়াল দ্বিপদী, একটি বর্গ ত্রিনাময়ের বর্গমূলের সাথে অখণ্ড। ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপন এবং অয়লার প্রতিস্থাপন দেওয়া হয়। প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা কিছু উপবৃত্তাকার অখণ্ডকে বিবেচনা করা হয়।

বিষয়বস্তু

ডিফারেনশিয়াল দ্বিপদ থেকে পূর্ণাঙ্গ

ডিফারেনশিয়াল দ্বিপদ থেকে পূর্ণাঙ্গগুলির ফর্ম রয়েছে:
,
যেখানে m, n, p হল মূলদ সংখ্যা, a, b হল বাস্তব সংখ্যা।
এই ধরনের অখণ্ডগুলি তিনটি ক্ষেত্রে যৌক্তিক ফাংশনের অখণ্ডকে হ্রাস করে।

1) যদি p একটি পূর্ণসংখ্যা হয়। প্রতিস্থাপন x = t N, যেখানে N হল m এবং n ভগ্নাংশের সাধারণ হর।
2) যদি - একটি পূর্ণসংখ্যা। প্রতিস্থাপন a x n + b = t M, যেখানে M হল p সংখ্যার হর।
3) যদি - একটি পূর্ণসংখ্যা। প্রতিস্থাপন a + b x - n = t M, যেখানে M হল p সংখ্যার হর।

অন্যান্য ক্ষেত্রে, এই ধরনের অখণ্ডগুলি প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না।

কখনও কখনও এই ধরনের অখণ্ডগুলি হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে সরলীকৃত করা যেতে পারে:
;
.

একটি বর্গাকার ত্রিনামিকের বর্গমূল ধারণকারী অখণ্ড

এই ধরনের অবিচ্ছেদ্য ফর্ম আছে:
,
যেখানে R একটি মূলদ ফাংশন। এই ধরনের প্রতিটি অবিচ্ছেদ্য জন্য এটি সমাধান করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি আছে।
1) রূপান্তর ব্যবহার করে সরল অখণ্ডের দিকে নিয়ে যায়।
2) ত্রিকোণমিতিক বা হাইপারবোলিক প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করুন।
3) অয়লার প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করুন।

আসুন আরও বিস্তারিতভাবে এই পদ্ধতিগুলি দেখুন।

1) ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশনের রূপান্তর

সূত্র প্রয়োগ করে এবং বীজগাণিতিক রূপান্তর সম্পাদন করে, আমরা ফর্মে ইন্টিগ্র্যান্ড ফাংশন কমিয়ে দিই:
,
যেখানে φ(x), ω(x) হল মূলদ ফাংশন।

টাইপ I

ফর্মের অবিচ্ছেদ্য:
,
যেখানে P n (x) ডিগ্রী n এর বহুপদী।

এই ধরনের অখণ্ডগুলি পরিচয় ব্যবহার করে অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতির দ্বারা পাওয়া যায়:

.
এই সমীকরণটি পার্থক্য করে এবং বাম এবং ডান দিকের সমান করে, আমরা A i সহগ খুঁজে পাই।

টাইপ II

ফর্মের অবিচ্ছেদ্য:
,
যেখানে P m(x) ডিগ্রি m এর বহুপদ।

প্রতিস্থাপন টি = (x - α) -1এই অবিচ্ছেদ্য পূর্ববর্তী ধরনের হ্রাস করা হয়. যদি m ≥ n হয়, তাহলে ভগ্নাংশের একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকা উচিত।

III প্রকার

এখানে আমরা প্রতিস্থাপন করি:
.
এর পরে অবিচ্ছেদ্য ফর্মটি গ্রহণ করবে:
.
এরপরে, ধ্রুবক α, β এমনভাবে নির্বাচন করতে হবে যাতে হর-এ t-এর সহগ শূন্য হয়ে যায়:
B = 0, B 1 = 0।
তারপর অখণ্ড দুটি প্রকারের অখণ্ডের যোগফলের মধ্যে পচে যায়:
,
,
যা প্রতিস্থাপন দ্বারা একত্রিত হয়:
u 2 = A 1 t 2 + C 1,
v 2 = A 1 + C 1 t -2।

2) ত্রিকোণমিতিক এবং হাইপারবোলিক প্রতিস্থাপন

ফর্মের অবিচ্ছেদ্য জন্য, a > 0 ,
আমাদের তিনটি প্রধান প্রতিস্থাপন আছে:
;
;
;

অখণ্ডের জন্য, ক > 0 ,
আমাদের নিম্নলিখিত প্রতিস্থাপন আছে:
;
;
;

এবং অবশেষে, অখণ্ডের জন্য, ক > 0 ,
প্রতিস্থাপনগুলি নিম্নরূপ:
;
;
;

3) অয়লার প্রতিস্থাপন

এছাড়াও, তিনটি অয়লার প্রতিস্থাপনের মধ্যে একটির যৌক্তিক ফাংশনের পূর্ণাঙ্গগুলিকে অখণ্ড করা যেতে পারে:
, a > 0 এর জন্য;
, c > 0 এর জন্য;
, যেখানে x 1 হল a x 2 + b x + c = 0 সমীকরণের মূল। যদি এই সমীকরণের প্রকৃত শিকড় থাকে।

উপবৃত্তাকার অখণ্ড

উপসংহারে, ফর্মের অবিচ্ছেদ্যগুলি বিবেচনা করুন:
,
যেখানে R একটি মূলদ ফাংশন, . এই ধরনের অখণ্ডকে উপবৃত্ত বলা হয়। সাধারণভাবে, এগুলি প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয় না। যাইহোক, এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন সহগ A, B, C, D, E-এর মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে, যেখানে এই ধরনের অখণ্ডগুলি প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

নীচে রিফ্লেক্সিভ বহুপদী সম্পর্কিত একটি উদাহরণ। এই জাতীয় অখণ্ডগুলির গণনা প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে সঞ্চালিত হয়:
.

উদাহরণ

অবিচ্ছেদ্য গণনা করুন:
.

এর একটি প্রতিস্থাপন করা যাক.

.
এখানে x এ > 0 (u> 0 ) উপরের চিহ্নটি নিন ′+ ′। x এ< 0 (উ< 0 ) - নিম্ন ′- ′.

.

তথ্যসূত্র:
এন.এম. গুন্থার, আর.ও. কুজমিন, উচ্চতর গণিতে সমস্যার সংগ্রহ, "ল্যান", 2003।

আরো দেখুন:

অযৌক্তিক সমীকরণগুলি সমাধান করার কোনও সর্বজনীন উপায় নেই, যেহেতু তাদের শ্রেণী পরিমাণে আলাদা। নিবন্ধটি ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রতিস্থাপন সহ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ধরণের সমীকরণগুলিকে হাইলাইট করবে।

সরাসরি ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি ব্যবহার করার জন্য, ∫ k x + b p d x টাইপের অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি গণনা করা প্রয়োজন, যেখানে p একটি মূলদ ভগ্নাংশ, k এবং b হল বাস্তব সহগ।

উদাহরণ 1

y = 1 3 x - 1 3 ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন এবং গণনা করুন।

সমাধান

একীকরণের নিয়ম অনুসারে, সূত্রটি প্রয়োগ করা প্রয়োজন ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C, এবং অ্যান্টিডেরিভেটিভের টেবিলটি নির্দেশ করে যে এই ফাংশনের জন্য একটি প্রস্তুত সমাধান রয়েছে . আমরা যে পেতে

∫ d x 3 x - 1 3 = ∫ (3 x - 1) - 1 3 d x = 1 3 1 - 1 3 + 1 (3 x - 1) - 1 3 + 1 + C = = 1 2 (3 x - 1) ) 2 3 + সে

উত্তর:∫ d x 3 x - 1 3 = 1 2 (3 x - 1) 2 3 + C।

এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যখন একটি ডিফারেনশিয়াল সাইন সাবসম করার পদ্ধতি ব্যবহার করা সম্ভব। এটি ∫ f " (x) · (f (x)) p d x ফর্মের অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি খুঁজে বের করার নীতির দ্বারা সমাধান করা হয়, যখন p-এর মান একটি মূলদ ভগ্নাংশ হিসাবে বিবেচিত হয়।

উদাহরণ 2

অনির্দিষ্ট অখণ্ড ∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x খুঁজুন।

সমাধান

উল্লেখ্য যে d x 3 + 5 x - 7 = x 3 + 5 x - 7 "d x = (3 x 2 + 5) d x। তারপরে অ্যান্টিডেরিভেটিভের টেবিল ব্যবহার করে ডিফারেনশিয়াল সাইন সাবসুম করা প্রয়োজন। আমরা তা পাই।

∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = ∫ (x 3 + 5 x - 7) - 7 6 (3 x 2 + 5) d x = = ∫ (x 3 + 5 x - 7 ) - 7 6 d (x 3 + 5 x - 7) = x 3 + 5 x - 7 = z = = ∫ z - 7 6 d z = 1 - 7 6 + 1 z - 7 6 + 1 + C = - 6 z - 1 6 + C = z = x 3 + 5 x - 7 = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C

উত্তর:∫ 3 x 2 + 5 x 3 + 5 x - 7 7 6 d x = - 6 (x 3 + 5 x - 7) 6 + C।

অনির্দিষ্ট অখণ্ডগুলি সমাধান করতে ∫ d x x 2 + p x + q ফর্মের একটি সূত্র জড়িত, যেখানে p এবং q বাস্তব সহগ। তারপরে আপনাকে মূলের নীচে থেকে একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করতে হবে। আমরা যে পেতে

x 2 + p x + q = x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = x + p 2 2 + 4 q - p 2 4

অনির্দিষ্ট অখণ্ডের সারণীতে অবস্থিত সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা পাই:

∫ d x x 2 ± α = ln x + x 2 ± α + C

তারপর অবিচ্ছেদ্য গণনা করা হয়:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = = ln x + p 2 + x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 + C = = ln x + p 2 + x 2 + p x + q + C

উদাহরণ 3

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 ফর্মের অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য নির্ণয় করুন।

সমাধান

গণনা করতে, আপনাকে 2 নম্বরটি বের করতে হবে এবং এটিকে র্যাডিকালের সামনে রাখতে হবে:

∫ d x 2 x 2 + 3 x - 1 = ∫ d x 2 x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2

মৌলিক অভিব্যক্তিতে একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন। আমরা যে পেতে

x 2 + 3 2 x - 1 2 = x 2 + 3 2 x + 3 4 2 - 3 4 2 - 1 2 = x + 3 4 2 - 17 16

তারপর আমরা 1 2 ∫ d x x 2 + 3 2 x - 1 2 = 1 2 ∫ d x x + 3 4 2 - 17 16 = = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - ফর্মটির একটি অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য প্রাপ্ত করি। 1 2 + সে

উত্তর: d x x 2 + 3 x - 1 = 1 2 ln x + 3 4 + x 2 + 3 2 x - 1 2 + C

অযৌক্তিক ফাংশন একীকরণ একই ভাবে বাহিত হয়. y = 1 - x 2 + p x + q ফর্মের ফাংশনের জন্য প্রযোজ্য।

উদাহরণ 4

অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 খুঁজুন।

সমাধান

প্রথমে আপনাকে মূলের নিচ থেকে রাশিটির হরটির বর্গ বের করতে হবে।

∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - x 2 - 4 x - 5 = = ∫ d x - x 2 - 4 x + 4 - 4 - 5 = ∫ d x - x - 2 2 - 9 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9

টেবল ইন্টিগ্রালের ফর্ম আছে ∫ d x a 2 - x 2 = a r c sin x a + C, তারপর আমরা পাই যে ∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = ∫ d x - (x - 2) 2 + 9 = a r c sin x - ২ ৩ + সে

উত্তর:∫ d x - x 2 + 4 x + 5 = a r c sin x - 2 3 + C।

y = M x + N x 2 + p x + q ফর্মের অ্যান্টিডেরিভেটিভ অযৌক্তিক ফাংশন খুঁজে বের করার প্রক্রিয়া, যেখানে বিদ্যমান M, N, p, q হল বাস্তব সহগ, এবং তৃতীয় প্রকারের সরল ভগ্নাংশের একীকরণের অনুরূপ। . এই রূপান্তরের বেশ কয়েকটি পর্যায় রয়েছে:

সারণী সূত্র ব্যবহার করে মূলের নীচে ডিফারেনশিয়ালের সংকলন, মূলের নীচে অভিব্যক্তির সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করা।

উদাহরণ 5

y = x + 2 x 2 - 3 x + 1 ফাংশনের অ্যান্টিডেরিভেটিভগুলি খুঁজুন।

সমাধান

শর্ত থেকে আমাদের আছে যে d (x 2 - 3 x + 1) = (2 x - 3) d x এবং x + 2 = 1 2 (2 x - 3) + 7 2, তারপর (x + 2) d x = 1 2 (2 x - 3) + 7 2 d x = 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 d x।

চলুন পূর্ণাঙ্গ গণনা করা যাক: ∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = 1 2 ∫ d (x 2 - 3 x + 1) x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ∫ d x x 2 - 3 x + 1 = = 1 2 ∫ (x 2 - 3 x + 1) - 1 2 d (x 2 - 3 x + 1) + 7 2 ∫ d x x - 3 2 2 - 5 4 = = 1 2 1 - 1 2 + 1 x 2 - 3 x + 1 - 1 2 + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x - 3 2 - 5 4 + C = = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + সে

উত্তর:∫ x + 2 x 2 - 3 x + 1 d x = x 2 - 3 x + 1 + 7 2 ln x - 3 2 + x 2 - 3 x + 1 + C।

প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করে ∫ x m (a + b x n) p d x ফাংশনের অনির্দিষ্ট অখণ্ডের জন্য অনুসন্ধান করা হয়।

সমাধান করার জন্য নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করা প্রয়োজন:

1. যখন p একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন x = z N বিবেচনা করা হয়, এবং N হল m, n-এর সাধারণ হর।
2. যখন m + 1 n একটি পূর্ণসংখ্যা, তখন a + b x n = z N, এবং N হল p এর হর।
3. যখন m + 1 n + p একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন পরিবর্তনশীল a x - n + b = z N প্রয়োজন, এবং N হল p সংখ্যাটির হর।

উদাহরণ 6

সুনির্দিষ্ট অখণ্ড ∫ 1 x 2 x - 9 d x খুঁজুন।

সমাধান

আমরা পাই যে ∫ 1 x 2 x - 9 d x = ∫ x - 1 · (- 9 + 2 x 1) - 1 2 d x। এটি অনুসরণ করে যে m = - 1, n = 1, p = - 1 2, তারপর m + 1 n = - 1 + 1 1 = 0 একটি পূর্ণসংখ্যা। আপনি ফর্মের একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করতে পারেন - 9 + 2 x = z 2। x কে z এর পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করতে হবে। আউটপুট হিসাবে আমরা এটি পেতে

9 + 2 x = z 2 ⇒ x = z 2 + 9 2 ⇒ d x = z 2 + 9 2 " d z = z d z - 9 + 2 x = z

প্রদত্ত অবিচ্ছেদ্য মধ্যে একটি প্রতিস্থাপন করা প্রয়োজন. আমরা যে আছে

∫ d x x 2 x - 9 = ∫ d d z 2 + 9 2 z = 2 ∫ d z z 2 + 9 = = 2 3 a r c t g z 3 + C = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C

উত্তর:∫ d x x 2 x - 9 = 2 3 a r c c t g 2 x - 9 3 + C।

অযৌক্তিক সমীকরণের সমাধান সহজ করার জন্য, মৌলিক একীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

আপনি যদি পাঠ্যটিতে একটি ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি হাইলাইট করুন এবং Ctrl+Enter টিপুন

অধীন অযৌক্তিকএকটি রাশি বুঝুন যেখানে স্বাধীন চলক %%x%% বা বহুপদী %%P_n(x)%% ডিগ্রী %%n \in \mathbb(N)%% চিহ্নের অধীনে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে মৌলবাদী(ল্যাটিন থেকে radix- root), i.e. একটি ভগ্নাংশ শক্তি উত্থাপিত. একটি ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপন করে, %%x%% এর ক্ষেত্রে অযৌক্তিক কিছু শ্রেণির ইন্টিগ্র্যান্ডকে একটি নতুন ভেরিয়েবলের সাপেক্ষে যৌক্তিক অভিব্যক্তিতে হ্রাস করা যেতে পারে।

একটি ভেরিয়েবলের যৌক্তিক ফাংশনের ধারণা একাধিক আর্গুমেন্টে প্রসারিত করা যেতে পারে। যদি প্রতিটি আর্গুমেন্টের জন্য %%u, v, \dotsc, w%% একটি ফাংশনের মান গণনা করার সময়, শুধুমাত্র গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ এবং একটি পূর্ণসংখ্যা শক্তি বৃদ্ধি করা হয়, তাহলে আমরা এই আর্গুমেন্টগুলির একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের কথা বলি, যা সাধারণত %%R(u, v, \ dotsc, w)%% নির্দেশিত। এই ধরনের ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলি স্বাধীন পরিবর্তনশীল %%x%% এর ফাংশন হতে পারে, যার মধ্যে %%\sqrt[n](x), n \in \mathbb(N)%% ফর্মের র্যাডিকেল অন্তর্ভুক্ত। উদাহরণস্বরূপ, মূলদ ফাংশন $$ R(u,v,w) = \frac(u + v^2)(w) $$ এর সাথে %%u = x, v = \sqrt(x)%% এবং %% w = \sqrt(x^2 + 1)%% হল $$ R\left(x, \sqrt(x), \sqrt(x^2+1)\right) = frac(x +) এর একটি মূলদ ফাংশন \sqrt(x ^2))(\sqrt(x^2 + 1)) = f(x) $$ থেকে %%x%% এবং র্যাডিকেল %%\sqrt(x)%% এবং %%\sqrt(x ^2 + 1 )%%, যখন ফাংশন %%f(x)%% একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল %%x%% এর একটি অযৌক্তিক (বীজগণিত) ফাংশন হবে।

আসুন %%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ফর্মের অখণ্ডগুলি বিবেচনা করি। এই ধরনের অখণ্ডগুলিকে %%t = \sqrt[n](x)%%, তারপর %%x = t^n, \mathrm(d)x = nt^(n-1)%% প্রতিস্থাপন করে যুক্তিযুক্ত করা হয়।

উদাহরণ 1

%%\displaystyle\int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x))%% খুঁজুন।

পছন্দসই আর্গুমেন্টের ইন্টিগ্র্যান্ড %%2%% এবং %%3%% ডিগ্রির র্যাডিকেলের একটি ফাংশন হিসাবে লেখা হয়। যেহেতু %%2%% এবং %%3%%-এর সর্বনিম্ন সাধারণ গুণিতক হল %%6%%, এই অখণ্ডটি হল %%\int R(x, \sqrt(x)) \mathrm(d) টাইপের একটি অখণ্ড x %% এবং %%\sqrt(x) = t%% প্রতিস্থাপন করে যুক্তিযুক্ত করা যেতে পারে। তারপর %%x = t^6, \mathrm(d)x = 6t \mathrm(d)t, \sqrt(x) = t^3, \sqrt(x) =t^2%%। অতএব, $$ \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) = \int \frac(6t^5 \mathrm(d)t)(t^3 + t^2) = 6\int\frac(t^3)(t+1)\mathrm(d)t. $$ ধরা যাক %%t + 1 = z, \mathrm(d)t = \mathrm(d)z, z = t + 1 = \sqrt(x) + 1%% এবং $$ \begin(array)( ll ) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x) + \sqrt(x)) &= 6\int\frac((z-1)^3)(z) \mathrm(d) ) t = \\ &= 6\int z^2 dz -18 \int z \mathrm(d)z + 18\int \mathrm(d)z -6\int\frac(\mathrm(d)z)( z ) = \\ &= 2z^3 - 9 z^2 + 18z -6\ln|z| + C = \\ &= 2 \left(\sqrt(x) + 1\right)^3 - 9 \left(\sqrt(x) + 1\right)^2 + \\ &+~ 18 \left( \sqrt(x) + 1\right) - 6 \ln\left|\sqrt(x) + 1\right| + C \end(অ্যারে) $$

%%\int R(x, \sqrt[n](x)) \mathrm(d)x%% ফর্মের অখণ্ডগুলি হল ভগ্নাংশের রৈখিক অযৌক্তিকতার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে, যেমন ফর্ম %%\displaystyle\int R\left(x, \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))\right) \mathrm(d)x%%, যেখানে %% ad - bc \neq 0%%, যা পরিবর্তনশীল %%t = \sqrt[n](\dfrac(ax+b)(cd+d))%%, তারপর %%x = \dfrac প্রতিস্থাপন করে যুক্তিযুক্ত করা যেতে পারে (dt^n - b)(a - ct^n)%%। তারপর $$ \mathrm(d)x = \frac(n t^(n-1)(ad - bc))(\left(a - ct^n\right)^2)\mathrm(d)t। $$

উদাহরণ 2

%%\displaystyle\int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\dfrac(\mathrm(d)x)(x + 1)%% খুঁজুন।

ধরা যাক %%t = \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))%%, তারপর %%x = \dfrac(1 - t^2)(1 + t^2)%%, $ $ \begin(array)(l) \mathrm(d)x = -\frac(4t\mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2), \\ 1 + x = \ frac(2)(1 + t^2), \\ \frac(1)(x + 1) = \frac(1 + t^2)(2)। \end(অ্যারে) $$ অতএব, $$ \begin(array)(l) \int \sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x))\frac(\mathrm(d)x)(x + 1) = \\ = \frac(t(1 + t^2))(2)\left(-\frac(4t \mathrm(d)t)(\left(1 + t^2\right)^2 )\right) = \\ = -2\int \frac(t^2\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2\int \mathrm(d)t + 2\int \frac(\mathrm(d)t)(1 + t^2) = \\ = -2t + \text(arctg)~t + C = \\ = -2\sqrt(\dfrac(1 -x)( 1 + x)) + \text(arctg)~\sqrt(\dfrac(1 -x)(1 + x)) + C. \end(অ্যারে) $$

আসুন %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ফর্মের অখণ্ডগুলি বিবেচনা করি। সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে, এই ধরনের অখণ্ডগুলিকে সারণীতে হ্রাস করা হয় যদি, সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করার পরে, ভেরিয়েবলগুলির একটি পরিবর্তন করা হয়।

উদাহরণ 3

অখণ্ড %%\displaystyle\int \dfrac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5))%% খুঁজুন।

%%x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1%% বিবেচনা করে, আমরা %%t = x + 2, \mathrm(d)x = \mathrm(d)t%% নিই, তারপর $$ \begin(array)(ll) \int \frac(\mathrm(d)x)(\sqrt(x^2 + 4x + 5)) &= \int \frac(\mathrm(d)t) (\sqrt(t^2 + 1)) = \\ &= \ln\left|t + \sqrt(t^2 + 1)\right| + C = \\ &= \ln\left|x + 2 + \sqrt(x^2 + 4x + 5)\right| + C. \end(অ্যারে) $$

আরও জটিল ক্ষেত্রে, %%\int R\left(x, \sqrt(ax^2 + bx + c)\right) \mathrm(d)x%% ফর্মের অখণ্ডতা খুঁজে বের করতে ব্যবহৃত হয়

ফর্মের পূর্ণসংখ্যা (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - পূর্ণসংখ্যা)। এই ইন্টিগ্রেলে, ইন্টিগ্র্যান্ডটি ইন্টিগ্রেশন ভেরিয়েবল এবং x এর র্যাডিকেলের সাপেক্ষে যুক্তিযুক্ত। এগুলি x=t s প্রতিস্থাপন করে গণনা করা হয়, যেখানে s হল ভগ্নাংশের সাধারণ হর, ... চলকের এইরকম প্রতিস্থাপনের সাথে, সমস্ত সম্পর্ক = r 1, = r 2, ... পূর্ণসংখ্যা, অর্থাৎ অখণ্ড হল ভেরিয়েবল t এর একটি যৌক্তিক ফাংশনে হ্রাস করা হয়েছে:

ফর্মের পূর্ণসংখ্যা (m 1, n 1, m 2, n 2, ... - পূর্ণসংখ্যা)। এই অবিচ্ছেদ্যগুলি প্রতিস্থাপন দ্বারা হয়:

যেখানে s ভগ্নাংশের সাধারণ হর, ..., পরিবর্তনশীল t-এর একটি যৌক্তিক ফাংশনে হ্রাস করা হয়।

ফর্মের ইন্টিগ্রেল I 1 পূর্ণাঙ্গ গণনা করতে, র্যাডিকাল চিহ্নের অধীনে একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন:

এবং প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করা হয়:

ফলস্বরূপ, এই অবিচ্ছেদ্যটি একটি সারণীতে হ্রাস পেয়েছে:

অখণ্ড I 2-এর লবটিতে, র‌্যাডিকাল চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তির পার্থক্যকে আলাদা করা হয়, এবং এই অবিচ্ছেদ্যটিকে দুটি অখণ্ডের যোগফল হিসাবে উপস্থাপন করা হয়:

যেখানে I 1 হল উপরে গণনা করা অবিচ্ছেদ্য।

অখণ্ড I 3-এর গণনা প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে integral I 1-এর গণনায় হ্রাস করা হয়:

ফর্মের ইন্টিগ্রেল এই ধরণের ইন্টিগ্রেল গণনার বিশেষ ক্ষেত্রে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বিবেচনা করা হয়েছে। তাদের গণনা করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। আসুন ত্রিকোণমিতিক প্রতিস্থাপনের ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে এই কৌশলগুলির একটি বিবেচনা করি।

বর্গাকার ট্রিনমিয়াল ax 2 +bx+c সম্পূর্ণ বর্গকে বিচ্ছিন্ন করে এবং ভেরিয়েবল পরিবর্তন করে ফর্মে উপস্থাপন করা যেতে পারে এইভাবে, তিন ধরনের পূর্ণাঙ্গ বিবেচনা করার জন্য নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করা যথেষ্ট:

প্রতিস্থাপন দ্বারা অবিচ্ছেদ্য

u=ksint (বা u=kcost)

সিন্ট এবং খরচ সাপেক্ষে একটি যৌক্তিক ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য অংশকে হ্রাস করে।

ফর্মের অখণ্ডগুলি (m, n, p є Q, a, b є R)। বিবেচনাধীন অখণ্ডগুলি, যাকে একটি ডিফারেনশিয়াল দ্বিপদীর অখণ্ড বলা হয়, শুধুমাত্র নিম্নলিখিত তিনটি ক্ষেত্রে প্রাথমিক ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:

1) যদি p є Z হয়, তাহলে প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করা হয়:

যেখানে s হল m এবং n ভগ্নাংশের সাধারণ হর;

2) যদি Z হয়, তাহলে প্রতিস্থাপন ব্যবহার করা হয়:

যেখানে s ভগ্নাংশের হর

3) যদি Z হয়, তাহলে প্রতিস্থাপন প্রয়োগ করা হয়:

যেখানে s ভগ্নাংশের হর