সেট সমতুল্য সম্পর্ক নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য আছে. সমতা সম্পর্ক। সমতা এবং শৃঙ্খলা সম্পর্ক

তারা বলে যে একটি সেটের একটি কঠোর আদেশ রয়েছে। ধারণায়< , >তাদের একটি বিস্তৃত অর্থ রয়েছে: খারাপটি ভাল, আগে হয় পরে এবং আরও অনেক কিছু। সেট তত্ত্বে, কঠোর আদেশের একটি উদাহরণ হল কঠোর অন্তর্ভুক্তি (এর সমান না হয়ে অন্য সেটের উপসেট হওয়া)।

অর্ডার করা সেট

সেট বলা হয় রৈখিক আদেশ, যদি কোন উপাদান তুলনা করা যেতে পারে (অর্থাৎ বলুন: এর চেয়ে বড়, কম বা সমান)।

বাস্তব বা পূর্ণসংখ্যার সেট: অর্ডার করা সেটের ক্লাসিক উদাহরণ।

যদি একটি সেটে একটি অর্ডার সম্পর্ক স্থাপন করা সম্ভব হয়, কিন্তু সমস্ত জোড়া উপাদানের জন্য নয়, তাহলে এই ধরনের সেটকে বলা হয় আংশিক আদেশ.

এটি ভেক্টরের একটি সেট, জটিল সংখ্যার একটি সেট, সেট তত্ত্বে সেট। কিছু ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি "বেশি কম" বা "একটি সুপারসেট এবং একটি উপসেট" তবে সব ক্ষেত্রে নয়।

সম্পর্কিত সংজ্ঞা

সমস্ত সমতুল্য শ্রেণীর সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

সমতা সম্পর্কের উদাহরণ

একটি আরো জটিল উদাহরণ, কিন্তু একেবারে অত্যাবশ্যক:

একজন ডাক্তার যখন আপনার জন্য একটি ওষুধ লিখে দেন, তখন তিনি আসলে প্রেসক্রিপশনে সমতুল্য ওষুধের শ্রেণি নির্দেশ করেন; তিনি ট্যাবলেট বা অ্যাম্পুলের প্যাকেজের সম্পূর্ণ নির্দিষ্ট অনুলিপি নির্দেশ করতে পারেন না। সেগুলো. সমস্ত ধরণের ওষুধ সমতুল্য সম্পর্ক দ্বারা শ্রেণিতে বিভক্ত। এই বাস্তবতা না থাকলে, আধুনিক চিকিৎসা সহজভাবে সম্ভব হতো না।

এইভাবে, সব ধরণের সালাদ এবং ককটেল রেসিপি, GOST এবং শ্রেণীবিভাগগুলিও গুরুত্বপূর্ণ সমতা সম্পর্ক নির্ধারণ করে। সমতা সম্পর্ক আমাদের সমগ্র জীবনকে পূর্ণ করে এবং গণিতবিদদের জন্য একটি বিমূর্ত বিনোদন নয়।

ম্যাপিং এর ফ্যাক্টরাইজেশন

সমতুল্য সম্পর্কের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ শ্রেণীগুলির সেট প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং বলা হয় ফ্যাক্টর সেটতুলনামূলকভাবে তাছাড়া সার্জেক্টিভ ম্যাপিং

ডাকা প্রাকৃতিক প্রদর্শন(বা ক্যানোনিকাল অভিক্ষেপ) ফ্যাক্টর সেটে।

যাক , সেট করা, একটি ম্যাপিং, তারপর নিয়ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত বাইনারি সম্পর্ক

উপর একটি সমতুলতা সম্পর্ক. এই ক্ষেত্রে, ম্যাপিং নিয়ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি ম্যাপিং প্ররোচিত করে

বা, একই কি,

এই ক্ষেত্রে এটি সক্রিয় আউট ফ্যাক্টরাইজেশনম্যাপিং থেকে সার্জেক্টিভ ম্যাপিং এবং ইনজেকশন ম্যাপিং।

ম্যাপিং ফ্যাক্টরাইজেশন ব্যাপকভাবে মানবিক এবং প্রযুক্তির সেই ক্ষেত্রগুলিতে ব্যবহৃত হয় যেখানে সংখ্যাসূচক মান ব্যবহার করা সম্ভব নয়। ম্যাপিং ফ্যাক্টরাইজেশন আপনাকে সূত্র ছাড়া করতে দেয় যেখানে সূত্র ব্যবহার করা যায় না। আসুন একটি উদাহরণ দিই যা যে কারও কাছে বোধগম্য হবে এবং জটিল গাণিতিক প্রতীক বোঝার প্রয়োজন নেই।

একটি স্কুল সময়সূচী ফ্যাক্টরাইজেশনের একটি সাধারণ উদাহরণ। এই ক্ষেত্রে, সমস্ত স্কুল ছাত্রদের সেট, সমস্ত একাডেমিক বিষয়ের সেট, ক্লাসের সময় নির্দিষ্ট করে সপ্তাহের দিন দ্বারা বিতরণ করা হয়। সমতা ক্লাস হল ক্লাস (ছাত্রদের দল)। প্রদর্শন - ক্লাসের সময়সূচী শিক্ষার্থীদের ডায়েরিতে প্রদর্শিত হয়। প্রদর্শন - ক্লাসের সময়সূচী স্কুলের লবিতে পোস্ট করা হয়েছে। এখানে একটি প্রদর্শনও রয়েছে - ক্লাসের তালিকা। এই উদাহরণটি খুব স্পষ্টভাবে ফ্যাক্টরাইজেশনের ব্যবহারিক সুবিধাগুলি প্রদর্শন করে: ক্লাসের সময়সূচীকে একটি টেবিল হিসাবে কল্পনা করা অসম্ভব যা স্কুলের সমস্ত ছাত্রদের পৃথকভাবে প্রতিফলিত করে। ফ্যাক্টরাইজেশন ছাত্রদের প্রয়োজনীয় তথ্যগুলিকে একটি কম্প্যাক্ট আকারে প্রদর্শন করা সম্ভব করেছে যেখানে সূত্র প্রয়োগ করা যায় না এমন পরিস্থিতিতে ব্যবহারের জন্য সুবিধাজনক।

যাইহোক, ফ্যাক্টরাইজেশনের সুবিধাগুলি এতে সীমাবদ্ধ নয়। ক্রিয়াকলাপে অংশগ্রহণকারীদের মধ্যে শ্রমের বিভাজনের জন্য ফ্যাক্টরাইজেশন অনুমোদিত: প্রধান শিক্ষক একটি সময়সূচী আঁকেন, এবং ছাত্ররা তাদের ডায়েরিতে এটি লেখেন। একইভাবে, প্রেসক্রিপশনের ফ্যাক্টরাইজেশন চিকিত্সক, যিনি রোগ নির্ণয় করেন এবং প্রেসক্রিপশন লেখেন এবং ফার্মাসিস্ট, যিনি নির্ধারিত ওষুধের সমতা নিশ্চিত করেন তাদের মধ্যে শ্রমের বিভাজনের অনুমতি দেওয়া হয়। ফ্যাক্টরাইজেশনের অ্যাপোথিওসিস হল পরিবাহক বেল্ট, যা অংশগুলির প্রমিতকরণের মাধ্যমে শ্রমের সর্বাধিক বিভাজন প্রয়োগ করে।

কিন্তু ফ্যাক্টরাইজেশনের সুবিধা এখানেই সীমাবদ্ধ নয়। ফ্যাক্টরাইজেশন আধুনিক প্রযুক্তির মডুলারিটি নিশ্চিত করা সম্ভব করেছে, যা এটি ফাংশনের অভূতপূর্ব নমনীয়তা দেয়। আপনি পুরানো সিম কার্ডটি রাখতে পারেন এবং এটির সাথে যেতে একটি সম্পূর্ণ নতুন ফোন কিনতে পারেন বা আপনার পুরানো কম্পিউটারে নতুন ভিডিও মেমরি ঢোকাতে পারেন৷ এই সমস্ত নমনীয়তা, মডুলারিটি, যা ফ্যাক্টরাইজেশনের উপর ভিত্তি করে।

সাহিত্য

• এ. আই. কোস্ট্রিকিন, বীজগণিতের ভূমিকা। এম.: নাউকা, 1977, 47-51।
• এ. আই. মাল্টসেভ, বীজগণিত পদ্ধতি, এম.: নাউকা, 1970, 23-30।
• ভি ভি ইভানভ, গাণিতিক বিশ্লেষণ। NSU, ​​2009।

আরো দেখুন

• সহনশীলতার সম্পর্কটি সমতার একটি দুর্বল রূপ।
• সমতা একটি যৌক্তিক অপারেশন।

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

• হাসপাতালের নিউমোনিয়া
• মিটেল

অন্যান্য অভিধানে "সমতা সম্পর্ক" কী তা দেখুন:

সমতা সম্পর্ক- - টেলিযোগাযোগ বিষয়, মৌলিক ধারণা EN সমতা সম্পর্ক... প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

সমতা প্রকারের সম্পর্ক- একটি সমতুল্য সম্পর্ক, যুক্তিবিদ্যা এবং গণিতের একটি ধারণা, বিভিন্ন বস্তুতে একই লক্ষণ (বৈশিষ্ট্য) উপস্থিতির সত্যতা প্রকাশ করে। এই ধরনের সাধারণ বৈশিষ্ট্যের সাপেক্ষে, এই বিভিন্ন বস্তুগুলি আলাদা করা যায় না (অভিন্ন, সমান, ... ...

সহনশীলতার মনোভাব- এই শব্দটির অন্যান্য অর্থ রয়েছে, সহনশীলতা দেখুন। একটি সেটে সহনশীলতা সম্পর্ক (বা সহজভাবে সহনশীলতা) হল একটি বাইনারি সম্পর্ক যা রিফ্লেক্সিভিটি এবং প্রতিসাম্যের বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে, কিন্তু অগত্যা... ... উইকিপিডিয়া

অনুপাত (গণিত)- এই শব্দটির অন্যান্য অর্থ রয়েছে, মনোভাব দেখুন। একটি সম্পর্ক একটি গাণিতিক কাঠামো যা আনুষ্ঠানিকভাবে বিভিন্ন বস্তুর বৈশিষ্ট্য এবং তাদের সম্পর্ককে সংজ্ঞায়িত করে। সম্পর্কগুলি সাধারণত লিঙ্ক করা বস্তুর সংখ্যা দ্বারা শ্রেণীবদ্ধ করা হয়... উইকিপিডিয়া

মনোভাব- যুক্তিতে, এমন কিছু যা, একটি সম্পত্তির বিপরীতে, একটি পৃথক বস্তুকে নয়, একটি জোড়া, তিনটি, ইত্যাদিকে চিহ্নিত করে। আইটেম ঐতিহ্যগত যুক্তি O. বিবেচনা করেনি; আধুনিক যুক্তিবিদ্যায় O. হল দুটি বা ততোধিক চলকের একটি প্রস্তাবিত ফাংশন। বাইনারি... দার্শনিক বিশ্বকোষ

পছন্দ সম্পর্ক- ভোক্তা তত্ত্বে, এটি পণ্যের বিভিন্ন সেট (ভোক্তা সেট) তুলনা করার (আকাঙ্খিত ক্রম অনুসারে) ভোক্তার ক্ষমতার একটি আনুষ্ঠানিক বিবরণ। পছন্দের সম্পর্ক বর্ণনা করার জন্য, পছন্দসইতা পরিমাপ করার প্রয়োজন নেই... ... উইকিপিডিয়া

মনোভাব (দার্শনিক)- মনোভাব, একটি দার্শনিক বিভাগ যা একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমের উপাদানগুলির বিন্যাসের প্রকৃতি এবং তাদের পারস্পরিক নির্ভরতা প্রকাশ করে; কোনো কিছুর প্রতি একজন ব্যক্তির মানসিক-স্বেচ্ছাচারী মনোভাব, যেমন, তার অবস্থানের প্রকাশ; বিভিন্ন বস্তুর মানসিক তুলনা... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

মনোভাব- রিলেশনশিপ হল অর্ডারকৃত n ঠিক ব্যক্তিদের একটি সেট (যেখানে n হল 1), অর্থাৎ দুই, তিন, ইত্যাদি n সংখ্যাটিকে "স্থানীয়তা", বা "আরিটি", O বলা হয়। এবং সেই অনুযায়ী, তারা n স্থানীয় (n আর্নো) O এর কথা বলে। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, একটি ডবল O. বলা হয়... ... জ্ঞানতত্ত্ব এবং বিজ্ঞানের দর্শনের এনসাইক্লোপিডিয়া

মনোভাব- আমি মনোভাব একটি দার্শনিক বিভাগ যা একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমের উপাদানগুলির বিন্যাসের প্রকৃতি এবং তাদের পারস্পরিক নির্ভরতা প্রকাশ করে; কোনো কিছুর প্রতি একজন ব্যক্তির মানসিক-স্বেচ্ছাচারী মনোভাব, যেমন, তার অবস্থানের প্রকাশ; বিভিন্ন মানসিক তুলনা...... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া

সমতা শ্রেণী- একটি সেট X-এ একটি সমতুল্য সম্পর্ক () হল একটি বাইনারি সম্পর্ক যার জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করা হয়: রিফ্লেক্সিভিটি: X-এর মধ্যে যেকোন একটির জন্য, প্রতিসাম্য: যদি, তারপর, ট্রানজিটিভিটি: যদি... উইকিপিডিয়া

বই

• তুলনামূলক অনিশ্চয়তার শর্তে আর্থিক সিদ্ধান্ত নেওয়া: মনোগ্রাফ, বায়ুক ও.এ. মনোগ্রাফে, অতুলনীয় বস্তুর মধ্যে নির্বাচন করার সময় একটি নতুন যৌক্তিক সিদ্ধান্ত গ্রহণের কৌশল তৈরি করা হয় এবং তাত্ত্বিকভাবে প্রমাণিত হয়, পছন্দের একটি বিশেষ সম্পর্ক স্থাপন করে এবং...

I. ক্লাসে বিভক্ত। সমতা সম্পর্ক

সংজ্ঞা 2.1। আসুন আমরা একটি প্রদত্ত সেট M-এর সেই বস্তুগুলিকে এবং শুধুমাত্র সেই বস্তুগুলিকে বিনিময়যোগ্য বলি যেগুলির ফর্মাল বৈশিষ্ট্যগুলির একই সেট রয়েছে যা একটি প্রদত্ত পরিস্থিতিতে অপরিহার্য।

আসুন M x দ্বারা অবজেক্ট x এর সাথে বিনিময়যোগ্য সমস্ত বস্তুর সেট বোঝাই। এটা স্পষ্ট যে x M x এবং সমস্ত M x এর মিলন (M থেকে সম্ভাব্য সকল x এর জন্য) সম্পূর্ণ সেট M এর সাথে মিলে যায়:

এর ভান করা যাক. এর মানে হল এমন কিছু উপাদান z আছে যেটি একই সাথে এবং এবং এর অন্তর্গত। সুতরাং x z এর সাথে বিনিময়যোগ্য এবং z y এর সাথে বিনিময়যোগ্য। অতএব, x y এর সাথে বিনিময়যোগ্য, এবং সেইজন্য এর যেকোনো উপাদানের সাথে। এইভাবে। বিপরীত সুইচিং একই ভাবে দেখানো হয়. এইভাবে, ইউনিয়নে (2.1) সংঘটিত সেটগুলি হয় ছেদ করে না বা সম্পূর্ণভাবে মিলিত হয় না।

সংজ্ঞা 2.2। আমরা একটি সেট M-এর অ-খালি উপসেটের একটি সিস্টেমকে (M 1, M 2,….) বলবো যদি এই সেটটির পার্টিশন

সেটগুলোকে পার্টিশন ক্লাস বলা হয়।

সংজ্ঞা 2.3। একটি সেট M এর একটি সম্পর্ক c কে একটি সমতুল্য (বা সমতুল্য সম্পর্ক) বলা হয় যদি M সেটের একটি পার্টিশন (M 1, M 2,...) থাকে যাতে (x, y) ধারণ করে যদি এবং শুধুমাত্র যদি x এবং y একটি প্রদত্ত পার্টিশনের কিছু সাধারণ শ্রেণীর M i এর অন্তর্গত।

ধরুন (M 1 , M 2 ,….) সেট M-এর একটি পার্টিশন। এই পার্টিশনের উপর ভিত্তি করে, আমরা c থেকে M-এর সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি: (x, y), যদি x এবং y কিছু সাধারণ শ্রেণীর M i এর অন্তর্গত হয়। এই বিভাজনের. স্পষ্টতই এর সাথে সম্পর্কটি একটি সমতা। প্রদত্ত পার্টিশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্পর্কের সাথে কল করা যাক।

সংজ্ঞা 2.4। যদি প্রতিটি সাবসেট M i-এ আমরা এতে থাকা x i উপাদানটি নির্বাচন করি, তাহলে এই উপাদানটিকে একই সেট M i-এ অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি y উপাদানের জন্য স্ট্যান্ডার্ড বলা হবে। সংজ্ঞা অনুসারে, আসুন অনুমান করি যে সম্পর্ক c* "একটি মান হতে" (x i, y) পূর্ণ হয়েছে

এটা দেখা সহজ যে একটি প্রদত্ত পার্টিশনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ c কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে: (z, y) যদি z এবং y এর একটি সাধারণ মান (x i, z) এবং (x i, y) থাকে।

উদাহরণ 2.1: M কে অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট হিসাবে বিবেচনা করুন এবং এর বিভাজনটিকে জোড় সংখ্যার সেট M 0 এবং বিজোড় সংখ্যার M 1 সেটে নিন। পূর্ণসংখ্যার সেটে সংশ্লিষ্ট সমতুল্য সম্পর্ক নিম্নরূপ চিহ্নিত করা হয়:

এবং পড়ে: n m modulo 2 এর সাথে তুলনীয়। মান হিসাবে জোড় সংখ্যার জন্য 0 এবং বিজোড় সংখ্যার জন্য 1 বেছে নেওয়া স্বাভাবিক। একইভাবে, একই সেট M কে k উপসেটে ভাগ করলে M 0, M 1,... M k-1, যেখানে M j এমন সমস্ত সংখ্যা নিয়ে গঠিত যেগুলিকে k দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট j পাওয়া যায়, আমরা সমতুল্য সম্পর্কে পৌঁছাই:

k দ্বারা ভাগ করলে n এবং m একই অবশিষ্টাংশ থাকলে যা ধরে।

প্রতিটি M j-এ একটি মান হিসাবে সংশ্লিষ্ট অবশিষ্ট j বেছে নেওয়া স্বাভাবিক।

২. ফ্যাক্টর সেট

একটি সমতুল্য সম্পর্ক হতে দিন. তারপর, উপপাদ্য অনুসারে, সেট M-এর একটি বিভাজন (M 1, M 2,....) রয়েছে একে অপরের সমতুল্য উপাদানগুলির শ্রেণীতে - তথাকথিত সমতুল্য শ্রেণী।

সংজ্ঞা 2.5। একটি সম্পর্কের সাপেক্ষে সমতুল্য শ্রেণীগুলির সেটকে M/ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং একটি সম্পর্কের ক্ষেত্রে M সেটের ভাগফল হিসাবে পড়া হয়।

ধরুন μ: M > S সেট M-এর কিছু সেট S-এর উপর একটি অনুমানমূলক ম্যাপিং।

যেকোন μ: M > S - সার্জেক্টিভ ম্যাপিংয়ের জন্য M সেটে একটি সমতুল্য সম্পর্ক রয়েছে যাতে M/ এবং S এক-এক চিঠিপত্রে রাখা যেতে পারে।

III. সমতা বৈশিষ্ট্য

সংজ্ঞা 2.6। একটি সেট M-এর উপর একটি সম্পর্ক c কে সমতুল্য সম্পর্ক বলা হয় যদি এটি প্রতিফলিত, প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ হয়।

উপপাদ্য 2.1: যদি একটি সেট M-এ একটি সম্পর্ক c প্রতিফলিত, প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ হয়, তাহলে সেট M-এর একটি পার্টিশন (M 1, M 2 ,….) থাকে যাতে (x, y) ধরে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি x এবং y একটি প্রদত্ত পার্টিশনের কিছু সাধারণ শ্রেণীর M i এর অন্তর্গত।

বিপরীতভাবে: যদি একটি পার্টিশন দেওয়া হয় (M 1, M 2,....) এবং বাইনারি সম্পর্ক c দেওয়া হয় "বিভাজনের সাধারণ শ্রেণির অন্তর্গত" হিসাবে, তাহলে c হল প্রতিফলক, প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ।

প্রমাণ:

C-এর সাথে M-এর একটি প্রতিফলক, প্রতিসাম্যিক এবং ট্রানজিটিভ সম্পর্ক বিবেচনা করুন। যে কোনোটির জন্য সব z রয়েছে যার জন্য (x, z) c

লেমা 2.1: যেকোনো x এবং y এর জন্য, হয় বা

লেমা এবং সম্পর্কের c এর প্রতিবর্তশীলতা থেকে এটি অনুসরণ করে যে ফর্মের সেটগুলি সেট M-এর একটি বিভাজন তৈরি করে। এখন চলুন (x, y) গ. এর মানে হল যে y. কিন্তু (x, x) c এর গুণে xও। অতএব, উভয় উপাদান অন্তর্ভুক্ত করা হয়. সুতরাং, যদি (x, y) c হয়, তাহলে x এবং y সাধারণ পার্টিশন ক্লাসের অন্তর্ভুক্ত। বিপরীতভাবে, u এবং v. আসুন দেখাই যে (u, v) c। প্রকৃতপক্ষে, আমাদের (x, u) c এবং (x, v) c আছে। তাই, প্রতিসাম্য দ্বারা (u, x) c. ট্রানজিটিভিটি থেকে, (u, x) c এবং (x, v) c অনুসরণ করে (u, v) c। উপপাদ্যের প্রথম অংশটি প্রমাণিত হয়েছে।

M সেটের একটি পার্টিশন (M 1, M 2,….) দেওয়া যাক। পার্টিশনের সমস্ত শ্রেণীর মিলন M-এর সাথে মিলে যায়, তারপর যে কোনো x কোনো কোনো শ্রেণিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এটি অনুসরণ করে যে (x, x) c, i.e. s - reflexively. যদি x এবং y কিছু ক্লাসে থাকে, তাহলে y এবং x একই ক্লাসে থাকে। এর মানে হল যে (x, y) c বোঝায় (y, x) c, i.e. সম্পর্ক প্রতিসম। এখন (x, y) c এবং (y, z) c ধরুন। এর মানে হল যে x এবং y কিছু ক্লাসে, এবং y এবং z কিছু ক্লাসে। ক্লাসগুলির একটি সাধারণ উপাদান y আছে, এবং সেইজন্য মিলে যায়। এর মানে x এবং z ক্লাসে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, অর্থাৎ (x, z) ধরে রাখে এবং সম্পর্কটি ট্রানজিটিভ। উপপাদ্য প্রমাণিত হয়েছে।

IV সমতা সংক্রান্ত অপারেশন।

এখানে আমরা সমতুলতার উপর কিছু সেট-তাত্ত্বিক ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করি এবং প্রমাণ ছাড়াই তাদের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যগুলি উপস্থাপন করি।

মনে রাখবেন যে একটি সম্পর্ক একটি জোড়া (), যেখানে M হল সম্পর্কের মধ্যে প্রবেশ করা উপাদানগুলির সেট, এবং সেই জোড়াগুলির সেট যার জন্য সম্পর্কটি সন্তুষ্ট।

সংজ্ঞা 2.7। সম্পর্কের ছেদ (c 1, M) এবং (c 2, M) সংশ্লিষ্ট উপসেটগুলির ছেদ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্পর্ক। (x, y) 1 এর সাথে 2 যদি এবং শুধুমাত্র যদি (x, y) 1 এর সাথে এবং (x, y) 2 এর সাথে একই সময়ে।

উপপাদ্য 2.2: 1 এর সাথে 2 এর সাথে 1 এর সাথে 2 এর সাথে সমতুল্যতার ছেদ নিজেই একটি সমতুল্য সম্পর্ক।

সংজ্ঞা 2.8। সম্পর্কের মিলন (1, M এর সাথে) এবং (2, M এর সাথে) সংশ্লিষ্ট উপসেটগুলির মিলন দ্বারা সংজ্ঞায়িত একটি সম্পর্ক। (x, y) 1 এর সাথে 2 যদি এবং শুধুমাত্র যদি (x, y) 1 এর সাথে বা (x, y) 2 এর সাথে।

উপপাদ্য 2.3: 1-এর সাথে 2-এর সমতুল্যতার মিলনের জন্য নিজের মধ্যে একটি সমতুল্য সম্পর্ক হওয়ার জন্য, এটি প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট

1 থেকে 2 = 1 থেকে 2 থেকে

সংজ্ঞা 2.9। সম্পর্কের সরাসরি যোগফল (c 1, M 1) এবং (c 2, M 2) অনুপাত বলা হয়)। সরাসরি যোগফল (c 1, M 1) (c 2, M 2) নির্দেশ করা হয়।

এইভাবে, যদি (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), তাহলে M =।

উপপাদ্য 2.4: যদি, এবং সম্পর্কগুলি সমতুল্য হয়, তাহলে সম্পর্কের সরাসরি যোগফল (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (),ও একটি সমতুল্য।

V. সম্পর্কের ধরন

আসুন আরও কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ধরণের সম্পর্কের পরিচয় করিয়ে দেওয়া যাক। উদাহরণগুলি তৃতীয় অধ্যায়ে দেওয়া হবে।

সংজ্ঞা 2.10। একটি সেট M-এর উপর একটি সম্পর্ক c কে সহনশীলতা বলা হয় যদি এটি প্রতিফলিত এবং প্রতিসম হয়।

সংজ্ঞা 2.11। একটি সেট M এর একটি সম্পর্ক c কে কঠোর আদেশের একটি সম্পর্ক বলা হয় যদি এটি প্রতিবিম্বক এবং ট্রানজিটিভ হয়।

সংজ্ঞা 2.12। একটি কঠোর আদেশ সম্পর্ক c একটি নিখুঁত কঠোর আদেশ বলা হয় যদি M থেকে x এবং y উপাদানগুলির যেকোন জোড়ার জন্য হয় (x, y) বা (y, x) সত্য হয়

সংজ্ঞা 2.13। একটি সেট M এর একটি সম্পর্ক c কে অ-কঠোর আদেশের সম্পর্ক বলা হয় যদি এটি আকারে উপস্থাপন করা যায়:

যেখানে M এর উপর একটি কঠোর আদেশ রয়েছে এবং E একটি তির্যক সম্পর্ক।

লেকচার 22. একটি সেটে সমতা এবং ক্রম সম্পর্ক

1. সমতা সম্পর্ক। সমতুল্য সম্পর্ক এবং ক্লাসে একটি সেটের বিভাজনের মধ্যে সংযোগ।

2. আদেশ সম্পর্ক. কঠোর এবং অ-কঠোর আদেশ সম্পর্ক, রৈখিক আদেশ সম্পর্ক। সেটের ক্রম।

3. প্রধান উপসংহার

আসুন ভগ্নাংশের সেটটি দেখি এক্স= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) সমতা সম্পর্ক। এই সম্পর্ক:

প্রতিফলিতভাবে, যেহেতু প্রতিটি ভগ্নাংশই নিজের সমান;

প্রতিসম, যেহেতু ভগ্নাংশ সত্য থেকে মি/nএকটি ভগ্নাংশের সমান পি/q, এটা যে ভগ্নাংশ অনুসরণ করে পি/qএকটি ভগ্নাংশের সমান মি/n;

ট্রানজিটিভ, যেহেতু ভগ্নাংশ থেকে মি/nএকটি ভগ্নাংশের সমান পি/qএবং ভগ্নাংশ পি/qএকটি ভগ্নাংশের সমান r/s, এটা যে ভগ্নাংশ অনুসরণ করে মি/nএকটি ভগ্নাংশের সমান r/s.

ভগ্নাংশের সমতার সম্পর্ক বলা হয় সমতা সম্পর্ক.

সংজ্ঞা। একটি সেট X-এর একটি সম্পর্ক R-কে একটি সমতুল্য সম্পর্ক বলা হয় যদি এটি একই সাথে রিফ্লেক্সিভিটি, প্রতিসাম্য এবং ট্রানজিটিভিটির বৈশিষ্ট্য থাকে।

সমতা সম্পর্কের উদাহরণগুলি হল জ্যামিতিক চিত্রের সমতা সম্পর্ক, রেখার সমান্তরাল সম্পর্ক (প্রদান করা হয় যে সমকক্ষ রেখাগুলিকে সমান্তরাল হিসাবে বিবেচনা করা হয়)।

কেন এই ধরনের সম্পর্ক গণিতে একক করা হয়? সেটে সংজ্ঞায়িত ভগ্নাংশের সমতার সম্পর্ক বিবেচনা করুন এক্স= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (চিত্র 106)। আমরা দেখতে পাই যে সেটটি তিনটি উপসেটে বিভক্ত: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4)। এই উপসেটগুলিকে ছেদ করে না এবং তাদের মিলন সেটের সাথে মিলে যায় এক্স,সেগুলো. আমাদের সেটের একটি পার্টিশন আছে এক্সক্লাসে এটা কোন কাকতালীয় ঘটনা নয়।

মোটেও, যদি একটি সেট X-এ একটি সমতুল্য সম্পর্ক দেওয়া হয়, তাহলে এটি এই সেটটির একটি বিভাজন তৈরি করে জোড়ার মতো ডিসজয়েন্ট সাবসেটে (সমতুল্য ক্লাস)।

এইভাবে, আমরা প্রতিষ্ঠিত করেছি যে ভগ্নাংশের একটি সেটে সমতার সম্পর্ক (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) এই সেটটিকে সমতা শ্রেণীতে ভাগ করার সাথে মিলে যায়। , যার প্রতিটি নিজেদের মধ্যে সমান ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত।

কথোপকথনটিও সত্য: যদি একটি সেট X-এ সংজ্ঞায়িত কোনো সম্পর্ক এই সেটটির ক্লাসে একটি বিভাজন তৈরি করে, তাহলে এটি একটি সমতুল্য সম্পর্ক।

উদাহরণস্বরূপ, সেটে বিবেচনা করুন এক্স =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) সম্পর্ক "3 দ্বারা ভাগ করলে একই অবশিষ্টাংশ থাকবে।" এটি সেটের একটি পার্টিশন তৈরি করে এক্সশ্রেণীতে: একটি এমন সমস্ত সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করবে যেগুলিকে 3 দ্বারা ভাগ করলে 0 এর অবশিষ্ট থাকে (এগুলি হল 3, 6, 9 সংখ্যা), দ্বিতীয়টি - যে সংখ্যাগুলিকে 3 দ্বারা ভাগ করলে 1 এর অবশিষ্ট থাকে (এগুলি হল 1, 4 সংখ্যা) , 7 , 10), এবং তৃতীয়তে - সমস্ত সংখ্যা, 3 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্ট থাকে 2 (এগুলি হল 2, 5, 8 সংখ্যা)। প্রকৃতপক্ষে, ফলস্বরূপ উপসেটগুলি ছেদ করে না এবং তাদের মিলন সেটের সাথে মিলে যায় এক্স.ফলস্বরূপ, সেটে সংজ্ঞায়িত সম্পর্ক "3 দ্বারা ভাগ করলে একই অবশিষ্ট থাকে" এক্স,একটি সমতুল্য সম্পর্ক। নোট করুন যে সমতুল্য সম্পর্ক এবং ক্লাসে সেটের বিভাজনের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে বিবৃতিটির প্রমাণ প্রয়োজন। আমরা এটা নিচে নির্বাণ করছি. আসুন শুধু বলি যে যদি একটি সমতুল্য সম্পর্কের একটি নাম থাকে, তবে সংশ্লিষ্ট নামটি ক্লাসগুলিতে দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি সমতা সম্পর্ক সেগমেন্টের একটি সেটে নির্দিষ্ট করা হয় (এবং এটি একটি সমতুল্য সম্পর্ক), তাহলে সেগমেন্টের সেটটি সমান সেগমেন্টের শ্রেণীতে বিভক্ত হয় (চিত্র 99 দেখুন)। সাদৃশ্য সম্পর্কটি ত্রিভুজের একটি সেটকে অনুরূপ ত্রিভুজগুলির শ্রেণিতে ভাগ করার সাথে মিলে যায়।

সুতরাং, একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি সমতুল্য সম্পর্ক থাকার কারণে, আমরা এই সেটটিকে শ্রেণীতে ভাগ করতে পারি। কিন্তু আপনি বিপরীতটাও করতে পারেন: প্রথমে সেটটিকে ক্লাসে ভাগ করুন, এবং তারপর একটি সমতুল্য সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করুন, এই বিবেচনায় যে দুটি উপাদান সমতুল্য যদি এবং শুধুমাত্র যদি তারা প্রশ্নবিদ্ধ পার্টিশনের একই শ্রেণীর অন্তর্গত হয়।

কিছু সমতুল্য সম্পর্ক ব্যবহার করে একটি সেটকে ক্লাসে ভাগ করার নীতিটি গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ নীতি। কেন?

প্রথমত, সমতুল্য - এর মানে সমতুল্য, বিনিময়যোগ্য। অতএব, একই সমতুল্য শ্রেণীর উপাদানগুলি বিনিময়যোগ্য। এইভাবে, যে ভগ্নাংশগুলি একই সমতুল্য শ্রেণীর (1/2, 2/4, 3/6) সমতা সম্পর্কের দৃষ্টিকোণ থেকে আলাদা করা যায় না, এবং ভগ্নাংশ 3/6 অন্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ 1 /2। এবং এই প্রতিস্থাপন হিসাবের ফলাফল পরিবর্তন হবে না.

দ্বিতীয়ত, যেহেতু সমতুল্য শ্রেণীতে এমন কিছু উপাদান রয়েছে যা কিছু সম্পর্কের দৃষ্টিকোণ থেকে পৃথক করা যায় না, আমরা বিশ্বাস করি যে সমতুল্য শ্রেণীটি তার প্রতিনিধিদের দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেমন এই শ্রেণীর একটি স্বেচ্ছাচারী উপাদান। এইভাবে, এই শ্রেণীর অন্তর্গত যেকোন ভগ্নাংশ নির্দিষ্ট করে সমান ভগ্নাংশের যেকোন শ্রেণী নির্দিষ্ট করা যেতে পারে। একজন প্রতিনিধি দ্বারা একটি সমতুল্য শ্রেণী নির্ধারণ করা, সেটের সমস্ত উপাদানের পরিবর্তে, সমতুল্য শ্রেণী থেকে পৃথক প্রতিনিধিদের একটি সেট অধ্যয়ন করার অনুমতি দেয়। উদাহরণ স্বরূপ, বহুভুজের একটি সেটে সংজ্ঞায়িত "একই সংখ্যক শীর্ষবিন্দু থাকা" সমতুল্যতা এই সেটের একটি বিভাজন তৈরি করে ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ ইত্যাদিতে। একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্যগুলি এর প্রতিনিধিদের একজনের উপর বিবেচনা করা হয়।

তৃতীয়, সমতুল্য সম্পর্ক ব্যবহার করে একটি সেটকে ক্লাসে বিভাজন নতুন ধারণা প্রবর্তন করতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি "রেখার বান্ডিল" এর ধারণাটিকে সমান্তরাল রেখার জন্য সাধারণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

সাধারণভাবে, যে কোনও ধারণা যার সাথে একজন ব্যক্তি কাজ করে তা একটি নির্দিষ্ট শ্রেণির সমতুল্যতার প্রতিনিধিত্ব করে। "টেবিল", "ঘর", "বই" - এই সমস্ত ধারণাগুলি একই উদ্দেশ্য রয়েছে এমন অনেকগুলি নির্দিষ্ট বস্তু সম্পর্কে সাধারণ ধারণা।

সম্পর্ক আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধরনের হয় আদেশ সম্পর্ক

সংজ্ঞা। একটি সেট X-এর একটি সম্পর্ক R-কে একটি আদেশ সম্পর্ক বলে .

ক্রম সম্পর্কের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে: প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে "এর চেয়ে কম" সম্পর্ক; সেগমেন্টের একটি সেটে সম্পর্কটি "খাটো" হয়, যেহেতু তারা প্রতিসম এবং ট্রানজিটিভ।

যদি একটি আদেশ সম্পর্কেরও সংযোগের সম্পত্তি থাকে, তবে এটি একটি সম্পর্ক বলে বলা হয় লিনিয়ার অর্ডার।

উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে "এর চেয়ে কম" সম্পর্কটি রৈখিক আদেশের সম্পর্ক, কারণ এতে প্রতিসমতা, ট্রানজিটিভিটি এবং সংযোগের বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

সংজ্ঞা। একটি সেট X কে অর্ডার করা বলা হয় যদি এর একটি অর্ডার সম্পর্ক থাকে।

সুতরাং, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট N এর উপর "কম এর চেয়ে কম" সম্পর্ক উল্লেখ করে ক্রম করা যেতে পারে।

যদি একটি অর্ডার সম্পর্ক একটি সেট সংজ্ঞায়িত এক্স,সংযোগের সম্পত্তি আছে, তাহলে আমরা বলি এটা রৈখিক আদেশএকটি গুচ্ছ এক্স.

উদাহরণ স্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে "কম" সম্পর্ক এবং "একাধিক" সম্পর্ক উভয় ব্যবহার করে ক্রম করা যেতে পারে - উভয়ই ক্রম সম্পর্ক। কিন্তু "অধিক" সম্পর্কের বিপরীতে "এর চেয়ে কম" সম্পর্কেরও সংযোগের বৈশিষ্ট্য রয়েছে। এর মানে হল "এর চেয়ে কম" সম্পর্ক প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটকে রৈখিকভাবে নির্দেশ করে।

একজনের মনে করা উচিত নয় যে সমস্ত সম্পর্ক সমতা এবং শৃঙ্খলার সম্পর্কের মধ্যে বিভক্ত। এমন বিপুল সংখ্যক সম্পর্ক রয়েছে যা সমতুল্য সম্পর্ক বা আদেশ সম্পর্ক নয়।