চতুর্ভুজ সমীকরণ যখন। বর্গমূল: গণনার সূত্র। চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় অনুসন্ধানের সূত্র। দ্বিঘাত সমীকরণ. বৈষম্যমূলক। সমাধান, উদাহরণ

ঠিক সূত্র এবং পরিষ্কার, সহজ নিয়ম দ্বারা। প্রথম পর্যায়ে

প্রদত্ত সমীকরণকে একটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে আনতে হবে, অর্থাত্\u200d দেখা:

যদি এই ফর্মটিতে ইতিমধ্যে সমীকরণটি আপনাকে দেওয়া হয় তবে আপনার প্রথম পদক্ষেপটি করার দরকার নেই। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জিনিস সঠিক

সমস্ত সহগ নির্ধারণ করুন, এবং, খ এবং গ.

চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় সন্ধানের সূত্র।

মূল চিহ্নের নীচে একটি অভিব্যক্তি বলা হয় বৈষম্যমূলক ... আপনি দেখতে পারেন, এক্স সন্ধান করতে, আমরা

ব্যবহার কেবল ক, খ এবং গ. সেগুলো. সহগ দ্বিঘাত সমীকরণ... শুধু সাবধানে বিকল্প

অর্থ ক, খ এবং গ এই সূত্র এবং গণনা মধ্যে। বিকল্প হিসাবে তাদের দ্বারা লক্ষণ!

উদাহরণ স্বরূপসমীকরণে:

এবং =1; খ = 3; গ = -4.

মানগুলি লিখুন এবং লিখুন:

উদাহরণটি প্রায় সমাধান করা হয়েছে:

এই উত্তর।

সর্বাধিক সাধারণ ভুল অর্থ সংকেতগুলির সাথে বিভ্রান্তি। ক, খএবং থেকে... বরং প্রতিস্থাপনের সাথে

শিকড় গণনা করার সূত্রে নেতিবাচক মানগুলি। এখানে সূত্রের একটি বিশদ স্বরলিপি সংরক্ষণ করে

নির্দিষ্ট সংখ্যা সহ আপনার যদি গণনার সমস্যা থাকে তবে তা করুন!

মনে করুন আপনার এই উদাহরণটি সমাধান করা দরকার:

এখানে ক = -6; খ = -5; গ = -1

আমরা সমস্ত চিহ্ন এবং বন্ধনীগুলির সাথে কোনও কিছু হারিয়ে না ফেলে সাবধানতার সাথে সমস্ত কিছু রঙ করি:

চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি প্রায়শই কিছুটা আলাদা দেখায়। উদাহরণস্বরূপ, এটি পছন্দ করুন:

এখন, সেরা অনুশীলনের নোট নিন যা নাটকীয়ভাবে ত্রুটিগুলি হ্রাস করবে।

প্রথম সংবর্ধনা... আগে অলস হবেন না চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান এটি স্ট্যান্ডার্ড আকারে আনুন।

এটার মানে কি?

যাক, যেকোন রূপান্তরের পরে আপনি নিম্নলিখিত সমীকরণটি পেয়েছেন:

মূল সূত্র লেখার জন্য তাড়াহুড়ো করবেন না! আপনি অবশ্যই প্রতিকূলতাকে মিশিয়ে ফেলবেন। ক, খ এবং গ।

উদাহরণটি সঠিকভাবে তৈরি করুন। প্রথমে এক্সটি স্কোয়ার করা হয়, তারপরে স্কোয়ার ছাড়া, তারপরে ফ্রি টার্ম। এটার মত:

বিয়োগ থেকে মুক্তি পান। কীভাবে? আপনাকে পুরো সমীকরণটি -1 দ্বারা গুণতে হবে। আমরা পেতে:

তবে এখন আপনি নিরাপদে শিকড়ের সূত্রটি লিখে, বৈষম্যমূলক গণনা করতে এবং উদাহরণটি সম্পূর্ণ করতে পারেন।

নিজে করো. আপনার শিকড় 2 এবং -1 হওয়া উচিত।

দ্বিতীয় অভ্যর্থনা। শিকড় পরীক্ষা করে দেখুন! দ্বারা ভিয়েটার উপপাদ্য.

প্রদত্ত চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, অর্থাৎ যদি সহগ হয়

x 2 + বিএক্স + সি \u003d 0,

তারপর x 1 x 2 \u003d গ

x 1 + x 2 \u003d -খ

সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য যা a ≠ 1:

এক্স 2 +খএক্স +গ=0,

দ্বারা সম্পূর্ণ সমীকরণ বিভক্ত এবং:

→ →

কোথায় x 1 এবং এক্স 2 - সমীকরণের শিকড়।

রিসেপশন তৃতীয়... যদি আপনার সমীকরণে ভগ্নাংশের সহগ থাকে তবে ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পান! গুণ

সাধারণ বর্ণ সমীকরণ

আউটপুট। বাস্তবিক উপদেশ:

1. সমাধানের আগে, আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণটিকে স্ট্যান্ডার্ড আকারে নিয়ে আসি, এটি তৈরি করি ঠিক.

২. বর্গক্ষেত্রে যদি এক্স এর সামনে কোনও নেতিবাচক সহগ থাকে তবে আমরা মোটটি গুণ করে এটি নির্মূল করি

সমীকরণ -1 দ্বারা।

৩. সহগগুলি যদি ভগ্নাংশ হয় তবে আমরা সমীকরণটিকে সংশ্লিষ্ট দ্বারা গুণ করে ভগ্নাংশগুলি নির্মূল করি

ফ্যাক্টর।

৪. x বর্গক্ষেত্র শুদ্ধ হলে, সহগ একের সমান, সমাধানটি সহজেই পরীক্ষা করা যায়

আমি আশা করি, এই নিবন্ধটি অধ্যয়নের পরে, আপনি কীভাবে একটি সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণের শিকড় খুঁজে পাবেন তা শিখবেন।

বৈষম্যমূলক ব্যক্তির সাহায্যে, কেবল সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়; অপূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অন্যান্য পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা হয়, যা আপনি "অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা" নিবন্ধে পাবেন।

চতুর্ভুজ সমীকরণকে কী বলা হয় সম্পূর্ণ? এটা 2 + বি x + c \u003d 0 ফর্মের সমীকরণযেখানে গুণাগুণ a, b এবং c শূন্যের সমান নয়। সুতরাং, সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করার জন্য, আপনাকে বৈষম্যমূলক ডি গণনা করতে হবে

D \u003d b 2 - 4ac।

বৈষম্যমূলক মূল্যমানের উপর নির্ভর করে আমরা উত্তরটি লিখব।

বৈষম্যমূলক হলে নেতিবাচক (ডি< 0),то корней нет.

বৈষম্যমূলক শূন্য হলে এক্স \u003d (-বি) / 2 এ। যখন বৈষম্যমূলক একটি ধনাত্মক সংখ্যা (ডি\u003e 0) হয়,

তারপরে x 1 \u003d (-b - )D) / 2a, এবং x 2 \u003d (-b + )D) / 2a।

উদাহরণ স্বরূপ. সমীকরণটি সমাধান করুন এক্স 2 - 4x + 4 \u003d 0

ডি \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

উত্তর: ২।

সমীকরণ 2 সমাধান করুন এক্স 2 + x + 3 \u003d 0।

ডি \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

উত্তর: শিকড় নেই.

সমীকরণ 2 সমাধান করুন এক্স 2 + 5x - 7 \u003d 0.

ডি \u003d 5 2 - 4 · 2 · (–7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3.5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

উত্তর: - 3.5; ঘ.

সুতরাং, আসুন চিত্র 1-এ স্কিম দ্বারা সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান উপস্থাপন করুন।

যে কোনও সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ এই সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। এটি নিশ্চিত করার জন্য আপনার অবশ্যই যত্নবান হওয়া দরকার সমীকরণটি একটি প্রমিত বহুপদী হিসাবে লেখা হয়েছিল

এবং এক্স 2 + বিএক্স + সি, অন্যথায়, আপনি একটি ভুল করতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, x + 3 + 2x 2 \u003d 0 সমীকরণটি লেখার ক্ষেত্রে, আপনি ভুলের সাথে এটি সিদ্ধান্ত নিতে পারেন

a \u003d 1, b \u003d 3 এবং c \u003d 2. তারপরে

ডি \u003d 3 2 - 4 · 1 · 2 \u003d 1 এবং তারপরে সমীকরণটির দুটি শিকড় থাকে। এবং এটি সত্য নয়। (উপরের উদাহরণ 2 এর সমাধান দেখুন)।

সুতরাং, যদি সমীকরণটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুবর্ষ হিসাবে লেখা না হয় তবে প্রথমে সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণটি অবশ্যই স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের বহুবর্ষ হিসাবে লিখতে হবে (প্রথম স্থানে বৃহত্তম ব্যয়কারীর সাথে একক চিহ্ন হওয়া উচিত) এবং এক্স 2 , তারপর কম সঙ্গে – বিএক্সএবং তারপরে একজন নিখরচায় সদস্য থেকে।

দ্বিতীয় পদে এমনকি একটি সহগ সহ একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ এবং চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করার সময়, অন্যান্য সূত্রগুলিও ব্যবহার করা যেতে পারে। আসুন এই সূত্রগুলিও জেনে নিই। যদি দ্বিতীয় পদটির সাথে পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণে সহগটি সমান (b \u003d 2 কে) হয় তবে চিত্র 2 এর চিত্রায় প্রদর্শিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে।

একটি সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণকে হ্রাস বলা হয় যদি এর সহগ হয় এক্স 2 একের সমান এবং সমীকরণটি রূপ নেয় x 2 + পিক্স + কিউ \u003d 0... সমাধানের জন্য এই জাতীয় সমীকরণ দেওয়া যেতে পারে, বা এটি সহগের দ্বারা সমীকরণের সমস্ত সহগকে ভাগ করে নেওয়া হয় এবংদাঁড়িয়ে এক্স 2 .

চিত্র 3 হ্রাস করা বর্গক্ষেত্র সমাধানের জন্য একটি স্কিম দেখায়
সমীকরণ আসুন এই নিবন্ধে আলোচিত সূত্রগুলির প্রয়োগের উদাহরণ দেখুন।

উদাহরণ। সমীকরণটি সমাধান করুন

3এক্স 2 + 6x - 6 \u003d 0

চিত্র 1-এ ডায়াগ্রামে প্রদর্শিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করুন।

ডি \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

\u003dD \u003d √108 \u003d √ (363) \u003d 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d –1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6√3) / (2 3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d –1 + √3

উত্তর: -1 - √3; –1 + √3

এটি লক্ষ করা যেতে পারে যে এই সমীকরণের x এ সহগ একটি সমান সংখ্যা, যা, b \u003d 6 বা b \u003d 2k, কোথাও k \u003d 3. তারপর আমরা ডি 1 \u003d 3 2 - 3 · (- 6 চিত্রের ডায়াগ্রামে দেখানো সূত্র অনুযায়ী সমীকরণটি সমাধান করার চেষ্টা করব) ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (ডি 1) \u003d √27 \u003d √ (9 3) \u003d 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

উত্তর: -1 - √3; –1 + √3... এই চতুষ্কোণ সমীকরণের সমস্ত সহগকে 3 দ্বারা বিভক্ত করা এবং বিভাগটি সম্পাদন করে, আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ x 2 + 2x - 2 \u003d 0 হ্রাস চতুষ্কোণের সূত্রগুলি ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করুন
সমীকরণ চিত্র 3।

ডি 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (ডি 2) \u003d √12 \u003d √ (4 3) \u003d 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2√3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √3

উত্তর: -1 - √3; –1 + √3।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে বিভিন্ন সূত্র ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করার সময় আমরা একই উত্তর পেয়েছি। অতএব, চিত্র 1 এ চিত্রটিতে প্রদর্শিত সূত্রগুলিতে ভাল আয়ত্ত করা, আপনি সর্বদা যে কোনও সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করতে পারেন।

সাইট, সামগ্রীর সম্পূর্ণ বা আংশিক অনুলিপি সহ, উত্সের একটি লিঙ্ক প্রয়োজন।

"সমাধান সমীকরণ" শীর্ষক বিষয়টিকে অব্যাহত রেখে, এই নিবন্ধের উপাদানটি আপনাকে চতুর্ভুজ সমীকরণের সাথে পরিচয় করিয়ে দেবে।

আসুন আমরা সমস্ত বিষয় বিবেচনা করি: চতুর্ভুজ সমীকরণের সারমর্ম এবং লেখার জন্য, আমরা সম্পর্কিত পদগুলি নির্ধারণ করব, আমরা অসম্পূর্ণ এবং সম্পূর্ণ সমীকরণ সমাধানের জন্য প্রকল্পটি বিশ্লেষণ করব, আমরা শিকড় এবং বৈষম্যমূলক সূত্রের সাথে পরিচিত হব, আমরা শিকড় এবং সহগের মধ্যে সংযোগ স্থাপন করব, এবং অবশ্যই আমরা ব্যবহারিক উদাহরণগুলির একটি ভিজ্যুয়াল সমাধান দেব।

চতুর্ভুজ সমীকরণ, এর প্রকারগুলি

সংজ্ঞা ১

দ্বিঘাত সমীকরণ হিসাবে সমীকরণ লিখিত a x 2 + b x + c \u003d 0কোথায় এক্স - পরিবর্তনশীল, ক, খ এবং গ - কিছু নম্বর, যখন কশূন্য নয়।

প্রায়শই, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলিকে দ্বিতীয়-ডিগ্রি সমীকরণও বলা হয়, যেহেতু মূলত একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রির বীজগণিত সমীকরণ হয়।

প্রদত্ত সংজ্ঞাটি চিত্রিত করার জন্য এখানে একটি উদাহরণ দেওয়া হয়েছে: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 এক্স + 0, 11 \u003d 0, ইত্যাদি চতুর্ভুজ সমীকরণ।

সংজ্ঞা 2

নম্বর a, b এবং গ চতুর্ভুজ সমীকরণের সহগ আছে ffic a x 2 + b x + c \u003d 0সহগ সহ ক x 2, b - এ প্রথম, বা প্রবীণ, বা সহগ বলা হয় - দ্বিতীয় সহগ বা এখানে সহগ হয় এক্স, এবং গ বলা হয় একজন মুক্ত সদস্য।

উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণে 6 এক্স 2 - 2 এক্স - 11 \u003d 0 সর্বোচ্চ সহগ 6, দ্বিতীয় সহগ হয় e − 2 এবং বিনামূল্যে শব্দটি হয় − 11 ... আসুন মনোযোগ দিন যে সহগ যখন খএবং / অথবা সি নেতিবাচক হয়, তারপরে ফর্মটির একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি ব্যবহৃত হয় 6 এক্স 2 - 2 এক্স - 11 \u003d 0, কিন্তু না 6 এক্স 2 + (- 2) এক্স + (- 11) \u003d 0.

আসুন আমরা এই দিকটিও স্পষ্ট করে বলি: যদি সহগ হয় ক এবং / অথবা খ সমান 1 বা − 1 , তারপরে তারা চতুর্ভুজ সমীকরণের রেকর্ডিংয়ে স্পষ্টভাবে অংশ নিতে পারে না, যা নির্দেশিত সংখ্যার সহগগুলি রেকর্ড করার বিশেষত্ব দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণে y 2 - y + 7 \u003d 0 সর্বোচ্চ সহগ 1, এবং দ্বিতীয় সহগ হয় − 1 .

হ্রাস এবং অপ্রত্যাশিত চতুর্ভুজ সমীকরণ

প্রথম সহগের মান অনুসারে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি হ্রাস এবং অ-হ্রাসকৃতগুলিতে বিভক্ত হয়।

সংজ্ঞা 3

চতুর্ভুজ সমীকরণ হ্রাস চতুর্ভুজ সমীকরণ, যেখানে শীর্ষস্থানীয় সহগ 1 হয়। শীর্ষস্থানীয় সহগের অন্যান্য মানগুলির জন্য, চতুর্ভুজ সমীকরণ হ্রাস হয় না।

এখানে উদাহরণ রয়েছে: চতুর্ভুজ সমীকরণ x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, এক্স 2 - এক্স - 4 5 \u003d 0 হ্রাস পেয়েছে, যার প্রতিটিতে শীর্ষস্থানীয় গুণফল 1 হয়।

9 এক্স 2 - এক্স - 2 \u003d 0 - অপরিবর্তিত চতুষ্কোণ সমীকরণ, যেখানে প্রথম সহগের থেকে পৃথক 1 .

উভয় অংশকে প্রথম সহগ (সমতুল্য রূপান্তর) দ্বারা বিভক্ত করে যে কোনও অপ্রত্যাশিত চতুর্ভুজ সমীকরণকে হ্রাস সমীকরণে রূপান্তরিত করা যেতে পারে। পরিবর্তিত সমীকরণের প্রদত্ত অবিশ্বস্ত সমীকরণের মতো একই শিকড় থাকবে বা এর কোনও শিকড়ও থাকবে না।

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা আমাদের পরিষ্কারভাবে একটি অবিশ্বস্ত চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে একটি হ্রাস একটিতে রূপান্তর বাস্তবায়ন প্রদর্শন করতে দেয়।

উদাহরণ 1

সমীকরণটি 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . আসল সমীকরণকে হ্রাস আকারে রূপান্তর করা প্রয়োজন।

সিদ্ধান্ত

উপরোক্ত স্কিম অনুসারে, আমরা মূল সমীকরণের উভয় দিককে অগ্রণী গুণক 6 দ্বারা ভাগ করব। তারপরে আমরা পাই: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3এবং এটি একই: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 এবং আরও: (6: 6) এক্স 2 + (18: 6) এক্স - 7: 6 \u003d 0। সুতরাং: এক্স 2 + 3 এক্স - 1 1 6 \u003d 0। সুতরাং, একটি সমীকরণ প্রাপ্ত হয় যা প্রদত্তটির সমতুল্য।

উত্তর: এক্স 2 + 3 এক্স - 1 1 6 \u003d 0।

সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ

চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞা ঘুরিয়ে নেওয়া যাক। এটিতে, আমরা এটি নির্দিষ্ট করেছিলাম a ≠ 0... সমীকরণের জন্য অনুরূপ শর্ত প্রয়োজন a x 2 + b x + c \u003d 0 যথাযথভাবে বর্গক্ষেত্র ছিল a \u003d 0 এটি মূলত রূপান্তরিত হয় একঘাত সমীকরণ খ x + সি \u003d 0.

ক্ষেত্রে যখন সহগ খ এবং গশূন্যের সমান (যা সম্ভব, পৃথক এবং একসাথে উভয়ই), চতুর্ভুজ সমীকরণটিকে অসম্পূর্ণ বলা হয়।

সংজ্ঞা 4

অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ যেমন একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ একটি এক্স 2 + বি x + সি \u003d 0,কমপক্ষে কমপক্ষে একটি যেখানে খএবং গ(বা উভয়) শূন্য।

সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ - একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ যেখানে সমস্ত সংখ্যার সহগটি শূন্যের সমান নয়।

চতুর্ভুজ সমীকরণের ধরণগুলি কেন ঠিক এই জাতীয় নাম দেওয়া হয় তা নিয়ে আলোচনা করা যাক।

বি \u003d 0 এর জন্য, চতুর্ভুজ সমীকরণটি রূপ নেয় a x 2 + 0 x + c \u003d 0যা হিসাবে একই একটি এক্স 2 + সি \u003d 0... কখন সি \u003d 0 চতুর্ভুজ সমীকরণ হিসাবে লেখা হয় a x 2 + b x + 0 \u003d 0যা সমান a x 2 + b x \u003d 0... কখন খ \u003d 0 এবং সি \u003d 0 সমীকরণ হয় একটি এক্স 2 \u003d 0... আমরা যে সমীকরণগুলি পেয়েছি তা সম্পূর্ণ চতুর্ভুজীয় সমীকরণের থেকে পৃথক যে তাদের বাম-হাতের পার্শ্বগুলিতে ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি শব্দ, বা একটি মুক্ত শব্দ, বা উভয়ই নেই। আসলে, এই ঘটনাটি এই ধরণের সমীকরণটির নাম দিয়েছে - অসম্পূর্ণ।

উদাহরণস্বরূপ, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 এবং - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - এক্স 2 - 6 এক্স \u003d 0 - অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ।

অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করা

উপরোক্ত সংজ্ঞাটি নিম্নলিখিত ধরণের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণকে পৃথক করা সম্ভব করে:

• একটি এক্স 2 \u003d 0, যেমন সমীকরণটি সহগের সাথে মিলে যায় খ \u003d 0 এবং সি \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 at b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 at c \u003d 0।

আসুন আমরা প্রতিটি ধরণের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের ক্রমিক সমাধানটি বিবেচনা করি।

একটি x 2 \u003d 0 সমীকরণের সমাধান

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এই সমীকরণটি সহগের সাথে মিলে যায় খ এবং গশূন্যের সমান সমীকরণটি একটি এক্স 2 \u003d 0 সমতুল্য সমীকরণে রূপান্তর করা সম্ভব x 2 \u003d 0, যা আমরা মূল সমীকরণের উভয় দিককে সংখ্যার সাহায্যে ভাগ করে পাই কশূন্যের সমান নয় এটি একটি সুস্পষ্ট সত্য যে সমীকরণের মূল x 2 \u003d 0 এটা শূন্য কারণ 0 2 = 0 ... এই সমীকরণের অন্য কোনও শিকড় নেই, যা ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য দ্বারা ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যে কোনও সংখ্যার জন্য পি,শূন্যের সমান নয়, বৈষম্য সত্য p 2\u003e 0, যা থেকে এটি অনুসরণ করে পি ≠ 0 সমতা পি 2 \u003d 0কখনও অর্জন করা হবে না।

সংজ্ঞা 5

সুতরাং, একটি অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের জন্য x 2 \u003d 0, একটি অনন্য মূল রয়েছে x \u003d 0.

উদাহরণ 2

উদাহরণস্বরূপ, আসুন একটি অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করুন - 3 এক্স 2 \u003d 0... এটি সমীকরণের সমতুল্য x 2 \u003d 0, এর একমাত্র মূল x \u003d 0, তবে মূল সমীকরণটিরও একটি একক মূল থাকে - শূন্য।

সংক্ষেপে, সমাধানটি নীচে হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে করা হয়:

- 3 এক্স 2 \u003d 0, এক্স 2 \u003d 0, এক্স \u003d 0

একটি x 2 + সি \u003d 0 সমীকরণের সমাধান

পরবর্তী পদক্ষেপটি অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান, যেখানে b \u003d 0, c ≠ 0, যা ফর্মের সমীকরণ একটি এক্স 2 + সি \u003d 0... আমরা এই সমীকরণটি শব্দটিকে সমীকরণের একপাশ থেকে অন্য দিকে স্থানান্তর করে, চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করে এবং সমীকরণের উভয় দিককে এমন একটি সংখ্যায় ভাগ করে যা শূন্যের সমান নয়:

• বহন গ ডানদিকে, যা সমীকরণ দেয় a x 2 \u003d - গ;
• আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করি ক, আমরা এক্স \u003d - সি এ ফলাফল হিসাবে পেতে পারি।

আমাদের রূপান্তরগুলি যথাক্রমে সমতুল্য, ফলস্বরূপ সমীকরণটিও মূলটির সমতুল্য এবং এই সত্যটি সমীকরণের শিকড় সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকা সম্ভব করে। মানগুলি যা থেকে তা ক এবং গঅভিব্যক্তির মান - সি একটি নির্ভরশীল: এটিতে একটি বিয়োগ চিহ্ন থাকতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d 1 এবং সি \u003d 2, তারপরে - সি a \u003d - 2 1 \u003d - 2) বা একটি যোগ চিহ্ন (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d - 2 এবং সি \u003d 6, তারপরে - সি a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); এটি শূন্যের সমান নয় কারণ সি ≠ 0... আসুন আমরা যখন পরিস্থিতিগুলিতে আরও বিশদে থাকি - সি ক< 0 и - c a > 0 .

ক্ষেত্রে যখন - সি ক< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа পি সমতা পি 2 \u003d - সি এ সত্য হতে পারে না।

- সি এ\u003e 0: বর্গমূলের কথা মনে রাখলে সমস্ত কিছু আলাদা হয় এবং এটি স্পষ্ট হয়ে উঠবে যে সমীকরণের মূল x 2 \u003d - c a হবে - c a, যেহেতু - c a 2 \u003d - c a হবে। এটি সহজেই বুঝতে পারা যায় যে সংখ্যাটি - - গ a হ'ল সমীকরণ x 2 \u003d - সি a: প্রকৃতপক্ষে, - - সি a 2 \u003d - সি এ।

সমীকরণের অন্য কোনও শিকড় থাকবে না। আমরা এটি পরস্পরবিরোধী পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রমাণ করতে পারি। শুরুতে, আমরা উপরে হিসাবে পাওয়া শিকড়গুলির জন্য স্বরলিপিটি সংজ্ঞায়িত করি x 1 এবং - এক্স 1... আসুন আমরা অনুমান করি যে x 2 \u003d - c এর সমীকরণটিরও একটি মূল রয়েছে এক্স 2যা শিকড় থেকে আলাদা x 1 এবং - এক্স 1... আমরা জানি যে পরিবর্তে সমীকরণের পরিবর্তে এক্স এর শিকড়গুলি, সমীকরণটিকে একটি ন্যায্য সংখ্যার সাম্যতায় রূপান্তরিত করে।

জন্য x 1 এবং - এক্স 1 আমরা লিখি: x 1 2 \u003d - c a, এবং এর জন্য এক্স 2 - এক্স 2 2 \u003d - সি এ। সংখ্যাগত সমতার বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে, আমরা পদ থেকে অন্য পদ থেকে একটি সত্য সমতা বিয়োগ করি, যা আমাদের দেবে: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... আমরা শেষের সমতা হিসাবে আবার লিখতে সংখ্যায় ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করি (এক্স 1 - এক্স 2) (এক্স 1 + এক্স 2) \u003d 0... এটি জানা যায় যে দুটি সংখ্যার গুণফল যদি শূন্য হয় তবে কেবলমাত্র সংখ্যার মধ্যে কমপক্ষে একটি শূন্য হয়। যা বলা হয়েছে তা থেকে এটি অনুসরণ করে x 1 - x 2 \u003d 0 এবং / অথবা x 1 + x 2 \u003d 0যা একই x 2 \u003d x 1 এবং / অথবা x 2 \u003d - এক্স 1... একটি সুস্পষ্ট বৈপরীত্য উত্থাপিত হয়েছিল, কারণ প্রথমে সম্মত হয়েছিল যে সমীকরণের মূলটি এক্স 2 থেকে পৃথক x 1 এবং - এক্স 1... সুতরাং, আমরা প্রমাণ করেছি যে সমীকরণটির x \u003d - c a এবং x \u003d - - c a ব্যতীত অন্য কোনও শিকড় নেই।

আমরা উপরের সমস্ত যুক্তি সংক্ষেপে।

সংজ্ঞা 6

অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ একটি এক্স 2 + সি \u003d 0 x 2 \u003d - সি a সমীকরণের সমান, যা:

• এর কোন শিকড় থাকবে না - সি ক< 0 ;
• দুটি শিকড় x \u003d - সি a এবং x \u003d - - সি এ - সি এ\u003e 0 হবে।

আসুন সমীকরণগুলি সমাধানের উদাহরণ দিন একটি এক্স 2 + সি \u003d 0.

উদাহরণ 3

চতুর্ভুজ সমীকরণ দেওয়া হয়েছে 9 x 2 + 7 \u003d 0।এটির সমাধান খুঁজে পাওয়া দরকার।

সিদ্ধান্ত

আমরা নিখরচায় শব্দটিকে সমীকরণের ডান দিকে স্থানান্তর করি, তারপরে সমীকরণটি রূপ নেয় 9 এক্স 2 \u003d - 7।
আমরা ফলস্বরূপ সমীকরণের উভয় পক্ষকে দ্বারা ভাগ করি 9 , আমরা এক্স 2 \u003d - 7 9 এ পৌঁছেছি। ডানদিকে, আমরা একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ একটি সংখ্যা দেখতে পাচ্ছি যার অর্থ: প্রদত্ত সমীকরণের কোনও শিকড় নেই। তারপরে মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 9 x 2 + 7 \u003d 0 কোন শিকড় আছে।

উত্তর: সমীকরণটি 9 x 2 + 7 \u003d 0কোন শিকড় আছে।

উদাহরণ 4

সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন - এক্স 2 + 36 \u003d 0.

সিদ্ধান্ত

ডানদিকে 36 সরান: - এক্স 2 \u003d - 36.
উভয় অংশ বিভক্ত করা যাক − 1 , আমরা পেতে x 2 \u003d 36... ডানদিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা, যা থেকে আমরা এটি উপসংহার করতে পারি x \u003d 36 বা x \u003d - 36।
মূলটি বের করুন এবং চূড়ান্ত ফলাফলটি লিখুন: অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ - এক্স 2 + 36 \u003d 0 দুটি শিকড় আছে x \u003d 6 বা x \u003d - 6.

উত্তর: x \u003d 6 বা x \u003d - 6.

X 2 + b x \u003d 0 সমীকরণের সমাধান

আসুন তৃতীয় ধরণের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি কখন বিশ্লেষণ করা যাক সি \u003d 0... অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান খুঁজতে find a x 2 + b x \u003d 0, আমরা ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করি। বন্ধনীগুলির বাইরে সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করে আমরা সমীকরণের বাম দিকে বহুভুজ তৈরি করি এক্স... এই পদক্ষেপটি মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণটিকে এর সমতলে রূপান্তর করা সম্ভব করবে x (একটি এক্স + বি) \u003d 0... এবং এই সমীকরণ, ঘুরে, সমীকরণ একটি সেট সমতুল্য x \u003d 0 এবং a x + b \u003d 0... সমীকরণটি a x + b \u003d 0 রৈখিক এবং এর মূল: x \u003d - খ a.

সংজ্ঞা 7

সুতরাং অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ a x 2 + b x \u003d 0 দুটি শিকড় হবে x \u003d 0 এবং x \u003d - খ a.

উদাহরণস্বরূপ উপাদানটি ঠিক করা যাক।

উদাহরণ 5

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 সমীকরণের সমাধান খুঁজে পাওয়া দরকার।

সিদ্ধান্ত

বাইরে নিয়ে যাও এক্স বন্ধনী এবং সমীকরণটি x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0 পান। এই সমীকরণটি সমীকরণের সমান x \u003d 0 এবং 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0। এখন আপনাকে ফলাফলের লিনিয়ার সমীকরণটি সমাধান করতে হবে: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3।

আমরা সংক্ষেপে নিম্নরূপে সমীকরণটির সমাধানটি লিখি:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 এক্স - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 বা 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 বা x \u003d 3 3 7

উত্তর: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7।

বৈষম্যমূলক, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র

চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, একটি মূল সূত্র রয়েছে:

সংজ্ঞা 8

x \u003d - বি ± ডি 2 এ, কোথায় ডি \u003d বি 2 - 4 এ সি - চতুর্ভুজ সমীকরণের তথাকথিত বৈষম্যমূলক।

শিরোনাম x \u003d - বি ± ডি 2 · এর মূল অর্থ x 1 \u003d - বি + ডি 2 · এ, এক্স 2 \u003d - বি - ডি 2 · এ।

নির্দেশিত সূত্রটি কীভাবে উদ্ভূত হয়েছিল এবং কীভাবে এটি প্রয়োগ করা যায় তা বোঝার জন্য অতিরিক্ত প্রয়োজন হবে না।

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি আবিষ্কার er

আসুন আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের কাজটির মুখোমুখি হই a x 2 + b x + c \u003d 0... আসুন কয়েকটি সমতুল্য রূপান্তর সম্পাদন করি:

• সমীকরণের উভয় দিককে সংখ্যা দ্বারা বিভক্ত করুন কশূন্য ব্যতীত, আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণটি পেতে পারি: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• ফলাফলের সমীকরণের বাম দিকে পুরো বর্গটি নির্বাচন করুন:
  এক্স 2 + বা এক্স + সিএ \u003d এক্স 2 + 2 বি 2 এ এক্স + বি 2 এ 2 - বি 2 এ 2 + সিএ \u003d \u003d এক্স + বি 2 এ 2 - বি 2 এ 2 + সিএ
  এর পরে, সমীকরণটি রূপটি গ্রহণ করবে: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• বিপরীতে চিহ্নটি পরিবর্তন করে এখনই শেষ দুটি পদটি ডান হাতের কাছে স্থানান্তর করা সম্ভব, যার পরে আমরা পেয়েছি: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• শেষ অবধি, আমরা সর্বশেষ সমতার ডানদিকে রচনাটি রূপান্তরিত করেছি:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2।

সুতরাং, আমরা x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 সমীকরণটি নিয়ে এসেছি, যা মূল সমীকরণের সমান a x 2 + b x + c \u003d 0.

আমরা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে (যেমন অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান) এ জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধান বিশ্লেষণ করেছি। ইতিমধ্যে প্রাপ্ত অভিজ্ঞতা x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2: সমীকরণের মূল সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকা সম্ভব করে:

• খ 2 - 4 এ সি 4 এ 2 এ< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• বি 2 - 4 এ সি 4 এ 2 \u003d 0 সমীকরণটির ফর্মটি x + b 2 a 2 \u003d 0 হয়, তবে এক্স + বি 2 এ \u003d 0 হবে।

সুতরাং, একমাত্র মূল x \u003d - b 2 · a সুস্পষ্ট;

• খ 2 - 4 এ সি 4 এ 2\u003e 0 এর ক্ষেত্রে এটি সত্য হবে: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 বা x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a সি 4 এ 2, যা এক্স + - বি 2 এ \u003d বি 2 - 4 এ সি 4 এ 2 বা এক্স \u003d - বি 2 এ - বি 2 - 4 এ হিসাবে সমান সি 4 এ 2, অর্থাত্ সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে।

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (এবং তাই মূল সমীকরণ) সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি বি 2 - 4 এ সি 4 এর অভিব্যক্তির চিহ্নের উপর নির্ভর করে যে উপসংহারে আসা সম্ভব · একটি ডানদিকে লিখিত 2। এবং এই অভিব্যক্তির সাইনটি সংখ্যার সাইন দ্বারা সেট করা হয়, (ডিনোমিনেটর) 4 এ 2 সর্বদা ইতিবাচক হবে), যা অভিব্যক্তিটির লক্ষণ খ 2 - 4 এ গ... এই অভিব্যক্তি খ 2 - 4 এ গ নামটি দেওয়া হল - বর্গ সমীকরণের বৈষম্যমূলক এবং বর্ণ বর্ণটি তার পদবি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। এখানে আপনি বৈষম্যের মূল কথাটি লিখতে পারেন - এর মান এবং চিহ্ন দিয়ে, এটি চূড়ান্ত সমীকরণের আসল শিকড় থাকবে কিনা তা সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে এবং যদি তাই হয় তবে শিকড়গুলির সংখ্যা কত হবে - এক বা দুটি।

X + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 সমীকরণটি ফিরে আসুন। আমরা বৈষম্যমূলকদের জন্য স্বরলিপিটি ব্যবহার করে এটি আবার লিখি: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2।

আসুন আমরা আবার সিদ্ধান্তগুলি প্রণয়ন করি:

সংজ্ঞা 9

• at ডি< 0 এই সমীকরণের কোনও আসল শিকড় নেই;
• at ডি \u003d 0 সমীকরণটির একক মূল x \u003d - b 2 · a;
• at ডি\u003e 0 সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে: x \u003d - বি 2 এ + ডি 4 এ 2 বা এক্স \u003d - বি 2 এ - ডি 4 এ 2। র\u200c্যাডিকালগুলির বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে এই মূলগুলি: x \u003d - বি 2 এ + ডি 2 এ বা - বি 2 এ - ডি 2 এ হিসাবে লেখা যেতে পারে। এবং যখন আমরা মডিউলগুলি খুলি এবং ভগ্নাংশগুলি একটি সাধারণ ডিনোমিনেটরে হ্রাস করি তখন আমরা পাই: x \u003d - বি + ডি 2 · এ, এক্স \u003d - বি - ডি 2 · এ ·

সুতরাং, আমাদের যুক্তির ফলাফলটি ছিল চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়ের সূত্রের উত্স:

x \u003d - বি + ডি 2 এ, এক্স \u003d - বি - ডি 2 এ, বৈষম্যমূলক ডি সূত্র দ্বারা গণনা করা ডি \u003d বি 2 - 4 এ সি.

এই সূত্রগুলি উভয় আসল শিকড় নির্ধারণের জন্য যখন বৈষম্যমূলক শূন্যের চেয়ে বেশি হয় তখন এটি সম্ভব করে। বৈষম্যমূলক শূন্য হলে উভয় সূত্র প্রয়োগ করলে চতুর্ভুজ সমীকরণের একমাত্র সমাধান হিসাবে একই মূল পাওয়া যাবে। যে ক্ষেত্রে বৈষম্যমূলক নেতিবাচক, বর্গমূলের সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করার ক্ষেত্রে, আমাদের একটি নেতিবাচক সংখ্যার বর্গমূল বের করার প্রয়োজনীয়তার মুখোমুখি হতে হবে, যা আমাদেরকে বাস্তব সংখ্যার বাইরে নিয়ে যাবে। নেতিবাচক বৈষম্যমূলকভাবে, চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড় থাকবে না, তবে জটিল সংঘবদ্ধ শিকড়গুলির একটি জোড়া সম্ভব, আমরা প্রাপ্ত একই মূল সূত্রগুলির দ্বারা নির্ধারিত।

মূল সূত্রগুলি ব্যবহার করে চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অ্যালগরিদম

তত্ক্ষণাত মূল সূত্রটি ব্যবহার করে চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করা সম্ভব তবে মূলত জটিল শিকড়গুলির সন্ধান করার প্রয়োজন হলে এটি করা হয়।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, এটি সাধারণত জটিল নয়, তবে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড়গুলির জন্য অনুসন্ধান করা। তারপরে এটি চূড়ান্ত সমীকরণের শিকড়গুলির সূত্রগুলি ব্যবহার করার আগে প্রথমে বৈষম্যমূলক বিষয়টি নির্ধারণ এবং এটি নেতিবাচক নয় তা নিশ্চিত করার জন্য (অন্যথায় আমরা সমীকরণের কোনও বাস্তবের শিকড় নেই বলে সিদ্ধান্ত নেব) সর্বোত্তম, এবং তারপরে শিকড়গুলির মানগুলি গণনা করার জন্য এগিয়ে যাওয়া।

উপরের যুক্তিটি চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের জন্য একটি অ্যালগরিদম তৈরি করা সম্ভব করে।

সংজ্ঞা 10

চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করার জন্য a x 2 + b x + c \u003d 0, এটা জরুরি:

• সূত্র অনুযায়ী ডি \u003d বি 2 - 4 এ সি বৈষম্যমূলক মূল্য খুঁজে;
• ডি তে< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• ডি \u003d 0 এর জন্য x \u003d - b 2 · a সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূলটি সন্ধান করুন;
• ডি\u003e 0 এর জন্য x \u003d - b ± D 2 · a সূত্র দ্বারা চতুষ্কোণ সমীকরণের দুটি আসল মূল নির্ধারণ করুন।

মনে রাখবেন যে বৈষম্যমূলক শূন্য হলে আপনি x \u003d - b ± D 2 · a সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, এটি সূত্র x \u003d - b 2 · a হিসাবে একই ফলাফল দেবে।

আসুন কিছু উদাহরণ তাকান।

চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

আসুন আমরা বৈষম্যমূলক বিভিন্ন মূল্যবোধের উদাহরণগুলির একটি সমাধান দিই।

উদাহরণ 6

সমীকরণের শেকড় খুঁজে পাওয়া দরকার এক্স 2 + 2 এক্স - 6 \u003d 0.

সিদ্ধান্ত

চতুর্ভুজ সমীকরণের সংখ্যার সহগগুলি লিখি: a \u003d 1, b \u003d 2 এবং সি \u003d - 6... এরপরে, আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি, অর্থাৎ e আসুন বৈষম্যমূলক গণনা শুরু করা যাক, যার জন্য আমরা সহগকে একটি, বি এবং গ বৈষম্যমূলক সূত্রে: ডি \u003d বি 2 - 4 এ সি \u003d 2 2 - 4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28।

সুতরাং, আমরা ডি\u003e 0 পেয়েছি যার অর্থ আসল সমীকরণের দুটি আসল শিকড় থাকবে।
তাদের সন্ধানের জন্য, আমরা মূল সূত্র x \u003d - b ± D 2 · a ব্যবহার করি এবং, সংশ্লিষ্ট মানগুলি প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1। আসুন আমরা মূল চিহ্নের বাইরে ফ্যাক্টরটি নিয়ে এবং তারপরে ভগ্নাংশটি হ্রাস করে ফলাফলটি আরও সহজ করি:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 বা x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 বা x \u003d - 1 - 7

উত্তর: x \u003d - 1 + 7, এক্স \u003d - 1 - 7

উদাহরণ 7

চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

সিদ্ধান্ত

আসুন বৈষম্যমূলক সংজ্ঞা দেওয়া যাক: ডি \u003d 28 2 - 4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... বৈষম্যমূলক এই মানটির সাথে, মূল সমীকরণটির কেবলমাত্র একটি মূল থাকবে, সূত্র x \u003d - b 2 · a দ্বারা নির্ধারিত।

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

উত্তর: x \u003d 3, 5.

উদাহরণ 8

সমীকরণটি সমাধান করা প্রয়োজন 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

সিদ্ধান্ত

এই সমীকরণের সংখ্যার সহগ হবে: a \u003d 5, b \u003d 6 এবং c \u003d 2। বৈষম্যমূলক সনাক্ত করতে আমরা এই মানগুলি ব্যবহার করি: D \u003d b 2 - 4 4 a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4। গণনা করা বৈষম্যমূলক নেতিবাচক, সুতরাং মূল চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল শিকড় নেই।

কাজটি যখন জটিল শিকড়গুলি নির্দেশ করতে হয়, আমরা জটিল সংখ্যার সাথে ক্রিয়া করে শিকড়গুলির সূত্রটি প্রয়োগ করি:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 আমি 10 বা এক্স \u003d - 6 - 2 আমি 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 i বা x \u003d - 3 5 - 1 5 i।

উত্তর: কোন বৈধ শিকড়; জটিল শিকড়গুলি নিম্নরূপ: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i।

স্কুল পাঠ্যক্রমগুলিতে জটিল শিকড়গুলির সন্ধানের জন্য কোনও মানক প্রয়োজন নেই, সুতরাং, সমাধানের সময় যদি বৈষম্যমূলক ব্যক্তিকে নেতিবাচক হিসাবে নির্ধারিত করা হয়, তবে উত্তরটি তাত্ক্ষণিকভাবে রেকর্ড করা হয় যে কোনও আসল শিকড় নেই।

এমনকি দ্বিতীয় সহগের জন্য মূল সূত্র

শিকড়গুলির x \u003d - বি ± ডি 2 এ (ডি \u003d বি 2 - 4 এ) এর সূত্র এন, উদাহরণস্বরূপ, 2 3 বা 14 এলএন 5 \u003d 2 7 এলএন 5)। আসুন আমরা দেখি কীভাবে এই সূত্রটি প্রাপ্ত।

ধরা যাক আমরা একটি x 2 + 2 এন x + সি \u003d 0 এর চতুষ্কোণ সমীকরণের সমাধান সন্ধান করার কাজটির মুখোমুখি হয়েছি। আমরা অ্যালগরিদম অনুযায়ী কাজ করি: আমরা বৈষম্যমূলক ডি \u003d (2 এন) 2 - 4 এ সি \u003d 4 এন 2 - 4 এ সি \u003d 4 (এন 2 - একটি সি) নির্ধারণ করি এবং তারপরে মূল সূত্রটি ব্যবহার করি:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - একটি সিএ

এন 2 - a · সি অভিব্যক্তিটি ডি 1 হিসাবে চিহ্নিত করা যাক (কখনও কখনও এটি ডি দ্বারা বোঝানো হয়) Then তবে দ্বিতীয় সহগ 2 এন সহ বিবেচিত চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি রূপ নেবে:

x \u003d - n ± D 1 a, যেখানে D 1 \u003d n 2 - a · c।

এটি দেখতে সহজ যে ডি \u003d 4 · ডি 1, বা ডি 1 \u003d ডি 4। অন্য কথায়, ডি 1 বৈষম্যমূলক লোকের এক চতুর্থাংশ। স্পষ্টতই, ডি 1 এর চিহ্নটি ডি এর চিহ্ন হিসাবে একই, যার অর্থ ডি 1 এর চিহ্নটি চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির সূচক হিসাবেও কাজ করতে পারে।

সংজ্ঞা 11

সুতরাং, দ্বিতীয় সহগ 2 এন এর সাথে চতুষ্কোণ সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, এটি প্রয়োজনীয়:

• ডি 1 \u003d n 2 সন্ধান করুন - একটি · সি;
• ডি 1 এ< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• যখন ডি 1 \u003d 0, সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূল নির্ধারণ করুন x \u003d - n a;
• ডি 1\u003e 0 এর জন্য x \u003d - n ± D 1 a সূত্রের মাধ্যমে দুটি আসল মূল নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ 9

চতুর্ভুজ সমীকরণ 5 x 2 - 6 x - 32 \u003d 0 সমাধান করা প্রয়োজন।

সিদ্ধান্ত

প্রদত্ত সমীকরণের দ্বিতীয় সহগকে 2 · (- 3) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। তারপরে আমরা প্রদত্ত চতুর্ভুজ সমীকরণটি 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0 হিসাবে আবার লিখি, যেখানে a \u003d 5, n \u003d - 3 এবং সি \u003d - 32।

আসুন আমরা বৈষম্যমূলক চতুর্থ অংশ গণনা করি: ডি 1 \u003d এন 2 - একটি সি \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169। ফলস্বরূপ মানটি ইতিবাচক, যার অর্থ এই সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আসুন সংশ্লিষ্ট মূল সূত্র অনুযায়ী তাদের সংজ্ঞা দিন:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 বা x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 বা x \u003d - 2

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা সম্ভব হবে তবে এই ক্ষেত্রে সমাধানটি আরও জটিল হবে c

উত্তর: x \u003d 3 1 5 বা x \u003d - 2।

চতুষ্কোণ সমীকরণকে সরলকরণ

কখনও কখনও আসল সমীকরণের ফর্মটি অনুকূল করা সম্ভব হয়, যা শিকড়গুলি গণনা করার প্রক্রিয়াটিকে সহজতর করবে।

উদাহরণস্বরূপ, দ্বিগুণ সমীকরণ 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 এর চেয়ে সমাধানের জন্য স্পষ্টতই বেশি সুবিধাজনক।

প্রায়শই, চতুর্ভুজ সমীকরণের ফর্মের সরলকরণ এটির উভয় অংশকে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার দ্বারা গুণিত বা ভাগ করে সম্পাদন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরে আমরা 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0 সমীকরণটির একটি সরলীকৃত স্বরলিপি দেখিয়েছি, এর উভয় অংশকে 100 দ্বারা ভাগ করে পেয়েছি।

চতুষ্কোণ সমীকরণের সহগগুলি কপিরাইম সংখ্যা না হলে এ জাতীয় রূপান্তর সম্ভব। তারপরে তারা সাধারণত সবচেয়ে বড় সাধারণ বিভাজক দ্বারা সমীকরণের উভয় দিককে ভাগ করে দেয় পরম মান এর সহগ

উদাহরণ হিসাবে, আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণটি 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0 ব্যবহার করি। এর সহগের পরম মানের GCD নির্ধারণ করুন: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6। আসুন মূল চতুষ্কোণ সমীকরণের উভয় পক্ষকে 6 দিয়ে ভাগ করুন এবং সমমানের চতুর্ভুজ সমীকরণ 2 x 2 - 7 x + 8 \u003d 0 পান get

চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় দিককে গুণ করে, আপনি সাধারণত ভগ্নাংশের সহগগুলি থেকে মুক্তি পান। এক্ষেত্রে, এর সহগের সংখ্যাগুলি থেকে ক্ষুদ্রতম সাধারণ একককে একক করে গুণান। উদাহরণস্বরূপ, যদি চতুর্ভুজ সমীকরণের প্রতিটি অংশ 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 টি এলসিএম (6, 3, 1) \u003d 6 দিয়ে গুণিত হয়, তবে এটি সরল আকারে x 2 + 4 x- এ লিখিত হবে - 18 \u003d 0।

পরিশেষে, আমরা লক্ষ করি যে আমরা প্রায় সবসময়ই সমীকরণের প্রতিটি পদটির লক্ষণগুলিকে পরিবর্তন করে চতুর্ভুজ সমীকরণের প্রথম সহগতে বিয়োগ থেকে মুক্তি পাই, যা উভয় অংশকে 1 - দ্বারা ভাগ করে (বা ভাগ করে) অর্জন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, আপনি এর সরলিকৃত সংস্করণটিতে যেতে পারেন 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0।

শিকড় এবং সহগের মধ্যে সম্পর্ক

চতুষ্কোণ সমীকরণের শিকড়ের জন্য ইতিমধ্যে পরিচিত সূত্র x \u003d - b ± D 2 · একটি সমীকরণের শিকড়টিকে তার সংখ্যাগত সহগগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশ করে। এই সূত্রের ভিত্তিতে, আমরা শিকড় এবং সহগের মধ্যে অন্য নির্ভরতা নির্দিষ্ট করতে সক্ষম।

সর্বাধিক বিখ্যাত এবং প্রযোজ্য হলেন ভিয়েটার উপপাদ্য সূত্র:

x 1 + x 2 \u003d - বি a এবং x 2 \u003d সি এ।

বিশেষত, প্রদত্ত চতুষ্কোণ সমীকরণের জন্য, শিকড়ের যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগ হয়, এবং শিকড়গুলির উত্পাদন বিনামূল্যে পরিভাষার সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, 3 x 2 - 7 x + 22 \u003d 0 চতুষ্কোণ সমীকরণের ফর্ম অনুসারে, অবিলম্বে এটি নির্ধারণ করা সম্ভব যে এর শিকড়গুলির যোগফল 7 3, এবং শিকড়ের গুণফল 22 3।

চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় এবং সহগের মধ্যে বেশ কয়েকটি অন্যান্য সম্পর্কও আপনি খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের স্কোয়ারের যোগফল সহগের দিক থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - বা 2 - 2 সিএ \u003d বি 2 এ 2 - 2 সিএ \u003d বি 2 - 2 এ সিএ ঘ।

আপনি যদি পাঠ্যের কোনও ত্রুটি লক্ষ্য করেন তবে দয়া করে এটি নির্বাচন করুন এবং Ctrl + এন্টার টিপুন

অনেক জটিল সূত্রের কারণে এই বিষয়টি প্রথমে বিরক্তিকর মনে হতে পারে। চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি কেবল নিজের দীর্ঘ রেকর্ডগুলিই রাখে না, তবে শিকড়গুলিও বৈষম্যমূলকদের মাধ্যমে পাওয়া যায়। মোট তিনটি নতুন সূত্র আছে। এটি মনে রাখা সহজ নয়। এই জাতীয় সমীকরণগুলির ঘন ঘন সমাধানের পরে এটি সম্ভব। তারপরে সমস্ত সূত্র নিজেরাই মনে রাখবে।

চতুর্ভুজ সমীকরণের সাধারণ দৃশ্য

এখানে, তাদের সুস্পষ্ট রেকর্ডিং প্রস্তাব করা হয়, যখন সর্বোচ্চ ডিগ্রি প্রথমে রেকর্ড করা হয় এবং তারপরে অবতরণ ক্রমে। শর্তাবলী যখন বাইরে চলে আসে তখন প্রায়শই এমন পরিস্থিতিতে থাকে। তারপরে ভেরিয়েবলের ডিগ্রির হ্রাস ক্রমে সমীকরণটি পুনরায় লেখাই ভাল।

আমাদের স্বরলিপি পরিচয় করিয়ে দিন। সেগুলি নীচে ছকে উপস্থাপন করা হয়েছে।

যদি আমরা এই পদবি গ্রহণ করি তবে সমস্ত চতুর্ভুজ সমীকরণ নীচের রেকর্ডে হ্রাস পেয়েছে।

তদ্ব্যতীত, সহগ a ≠ 0. এই সূত্রটি এক নম্বর দ্বারা চিহ্নিত করা যাক।

যখন সমীকরণটি দেওয়া হয়, তখন উত্তরটি কতগুলি শিকড়ের হবে তা পরিষ্কার নয়। কারণ তিনটি বিকল্পের একটি সর্বদা সম্ভব:

• সমাধান দুটি শিকড় থাকবে;
• উত্তরটি একটি সংখ্যা;
• সমীকরণের কোনও শিকড় থাকবে না।

এবং সিদ্ধান্তটি শেষ না হওয়া অবধি কোন নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে বিকল্পগুলির মধ্যে কোনটি বেরিয়ে আসবে তা বোঝা মুশকিল।

চতুর্ভুজ সমীকরণের রেকর্ডের প্রকারগুলি

কার্যগুলিতে তাদের বিভিন্ন রেকর্ড থাকতে পারে। এগুলি সর্বদা সাধারণ চতুর্ভুজ সমীকরণের মতো দেখায় না। কখনও কখনও এটি কিছু শর্ত অভাব হবে। উপরে যা লেখা হয়েছিল তা সম্পূর্ণ সমীকরণ। আপনি যদি এটিতে দ্বিতীয় বা তৃতীয় শব্দটি সরিয়ে থাকেন তবে আপনি কিছু আলাদা হন। এই রেকর্ডগুলি চতুর্ভুজ সমীকরণ বলা হয়, শুধুমাত্র অসম্পূর্ণ।

তদুপরি, কেবলমাত্র পদগুলি যেখানে সহগ "বি" এবং "সি" অদৃশ্য হয়ে যেতে পারে। "ক" সংখ্যাটি কোনও পরিস্থিতিতে শূন্যের সমান হতে পারে না। কারণ এই ক্ষেত্রে, সূত্রটি একটি রৈখিক সমীকরণে পরিণত হয়। সমীকরণের অসম্পূর্ণ রূপের সূত্রগুলি নীচে থাকবে:

সুতরাং, কেবল দুটি ধরণের রয়েছে সম্পূর্ণগুলি ছাড়াও, এখানে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণও রয়েছে। প্রথম সূত্রটি দ্বিতীয় নম্বর এবং দ্বিতীয় নম্বরে থাকুক Let

এর মানের উপর ভিত্তি করে শিকড়গুলির সংখ্যার উপর বৈষম্যমূলক এবং নির্ভরতা

সমীকরণের মূলগুলি গণনা করার জন্য আপনাকে এই সংখ্যাটি জানতে হবে। এটি সর্বদা গণনা করা যায়, চতুর্ভুজ সমীকরণের সূত্র যাই হোক না কেন। বৈষম্যমূলক গণনা করার জন্য, আপনাকে নীচে লিখিত সমতাটি ব্যবহার করতে হবে, যার চার নম্বর থাকবে।

এই সূত্রটিতে সহগের মানগুলি প্রতিস্থাপনের পরে, আপনি বিভিন্ন চিহ্ন সহ সংখ্যাগুলি পেতে পারেন। উত্তরটি যদি হ্যাঁ হয়, তবে সমীকরণের উত্তরটি দুটি পৃথক মূল হবে। সংখ্যাটি নেতিবাচক হলে, চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলগুলি অনুপস্থিত থাকবে। এটি যদি শূন্যের সমান হয় তবে উত্তরটি এক হবে।

সম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণ কীভাবে সমাধান করা হয়?

আসলে, এই ইস্যুটি বিবেচনা ইতিমধ্যে শুরু হয়েছে। কারণ প্রথমে আপনাকে বৈষম্যমূলক সন্ধান করা উচিত। চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল রয়েছে এবং এটির সংখ্যাটি জানা যাওয়ার পরে আপনাকে ভেরিয়েবলগুলির জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে। যদি দুটি শিকড় থাকে তবে আপনার এই সূত্রটি প্রয়োগ করতে হবে।

যেহেতু এটিতে "±" চিহ্ন রয়েছে, তাই দুটি মান থাকবে। বর্গমূলের প্রকাশটি বৈষম্যমূলক। অতএব, সূত্রটি অন্যভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে।

পাঁচ নম্বর ফর্মুলা। একই রেকর্ডটি দেখায় যে বৈষম্যমূলক শূন্য হলে উভয় শিকড় একই মান গ্রহণ করবে।

চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধানটি যদি এখনও কার্যকর না করা হয় তবে বৈষম্যমূলক এবং পরিবর্তনশীল সূত্র প্রয়োগের আগে সমস্ত সহগের মানগুলি লিখাই ভাল। পরে এই মুহূর্তটি অসুবিধার কারণ হবে না। তবে একেবারে শুরুতেই বিভ্রান্তি রয়েছে।

অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ কীভাবে সমাধান করা হয়?

এখানে সবকিছু অনেক সহজ। এমনকি অতিরিক্ত সূত্রের প্রয়োজন নেই। এবং আপনার ইতিমধ্যে বৈষম্যমূলক এবং অজানা জন্য রেকর্ড করা আছে তাদের প্রয়োজন হবে না।

প্রথমে দুটি অসম্পূর্ণ সমীকরণ বিবেচনা করুন। এই সমতাতে, অজানা পরিমাণটি বন্ধনী থেকে বের করে লিনিয়ার সমীকরণটি সমাধান করার কথা, যা বন্ধনীতে রয়ে গেছে। উত্তর দুটি মূল হবে। প্রথমটিটি অগত্যা শূন্যের সমান, কারণ এখানে ভ্যারিয়েবলের সমন্বয়ে একটি উপাদান রয়েছে। লিনিয়ার সমীকরণ সমাধান করার সময় দ্বিতীয়টি প্রাপ্ত হয়।

তিনটি অসম্পূর্ণ সমীকরণ সমীকরণের বাম দিক থেকে ডানদিকে স্থানান্তর করে সমাধান করা হয়। তারপরে আপনাকে অজানা মুখের সহগ দ্বারা ভাগ করা দরকার। যা কিছু অবশিষ্ট রয়েছে তা বর্গমূলকে উত্তোলন করা এবং বিপরীত চিহ্নগুলির সাহায্যে এটি দু'বার লিখে মনে রাখা।

এরপরে, কয়েকটি ধরণের সমতা যেগুলি চতুষ্কোণীয় সমীকরণে রূপান্তরিত করে তা কীভাবে সমাধান করতে হয় তা শিখতে আপনাকে সহায়তা করার জন্য কিছু ক্রিয়া রচিত হয়। তারা অযত্নতার কারণে শিক্ষার্থীদের ভুল এড়াতে সহায়তা করবে। বিস্তৃত বিষয় অধ্যয়ন করার সময় এই ত্রুটিগুলি দুর্বল গ্রেডের কারণ " দ্বিঘাত সমীকরণ (অষ্টম শ্রেণি) "। পরবর্তীকালে, এই ক্রিয়াগুলি ক্রমাগত সম্পাদন করার প্রয়োজন হবে না। কারণ একটি স্থিতিশীল দক্ষতা উপস্থিত হবে।

• প্রথমত, আপনাকে আদর্শ আকারে সমীকরণটি লিখতে হবে। এটি হ'ল, প্রথমে পদটি ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ ডিগ্রি সহ এবং তারপরে - ডিগ্রি ছাড়াই এবং শেষ - কেবল একটি সংখ্যা।

• যদি সহগ "ক" এর সামনে একটি বিয়োগ উপস্থিত হয়, তবে এটি চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি অধ্যয়ন করার জন্য কোনও নবজাতকের পক্ষে কাজকে জটিল করে তুলতে পারে। এ থেকে মুক্তি পাওয়া ভাল। এই উদ্দেশ্যে, সমস্ত সমতা "-1" দ্বারা গুণিত করতে হবে। এর অর্থ এই যে সমস্ত পদগুলি তাদের চিহ্নটিকে বিপরীতে পরিবর্তন করবে।

• এটি একইভাবে ভগ্নাংশ থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য সুপারিশ করা হয়। ডিনোমিনেটরগুলি বাতিল করার জন্য কেবল উপযুক্ত ফ্যাক্টর দ্বারা সমীকরণকে গুণ করুন।

উদাহরন স্বরুপ

নিম্নলিখিত চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য এটি প্রয়োজনীয়:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2 এক্স - এক্স 2 \u003d 0;

x 2 + 8 + 3x \u003d 0;

12x + x 2 + 36 \u003d 0;

(x + 1) 2 + এক্স + 1 \u003d (এক্স + 1) (এক্স + 2)।

প্রথম সমীকরণ: x 2 - 7x \u003d 0. এটি অসম্পূর্ণ, সুতরাং দুটি সূত্রের জন্য বর্ণিত হিসাবে এটি সমাধান করা হয়েছে।

বন্ধনী ছেড়ে যাওয়ার পরে দেখা যাচ্ছে: x (x - 7) \u003d 0।

প্রথম রুটটি মান নেয়: x 1 \u003d 0. দ্বিতীয়টি লিনিয়ার সমীকরণ থেকে পাওয়া যাবে: x - 7 \u003d 0. এটি x 2 \u003d 7 দেখতে সহজ is

দ্বিতীয় সমীকরণ: 5x 2 + 30 \u003d 0. আবার অসম্পূর্ণ। তৃতীয় সূত্র হিসাবে বর্ণিত হিসাবে এটি কেবল সমাধান করা হয়েছে।

সমতার ডান দিকে 30 স্থানান্তর করার পরে: 5x 2 \u003d 30. এখন আপনার 5 দ্বারা বিভাজন করা দরকার এটি বেরিয়েছে: x 2 \u003d 6. উত্তরগুলি সংখ্যা হবে: x 1 \u003d √6, x 2 \u003d - √6।

তৃতীয় সমীকরণ: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. এর পরে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলির সমাধান পুনরায় লিখে দিয়ে শুরু হবে স্ট্যান্ডার্ড ভিউ: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. এখন দ্বিতীয়টি ব্যবহারের সময় কার্যকারী উপদেশ এবং বিয়োগ এক দ্বারা সমস্ত গুণ। এটি x 2 + 2x - 15 \u003d 0. প্রমাণিত হয়েছে চতুর্থ সূত্র অনুসারে আপনাকে বৈষম্যমূলক গণনা করতে হবে: ডি \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা। উপরে যা বলা হয়েছিল তা থেকে দেখা যাচ্ছে যে সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে। পঞ্চম সূত্র ব্যবহার করে সেগুলি গণনা করা দরকার। দেখা যাচ্ছে যে x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. তারপরে x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5।

চতুর্থ সমীকরণ x 2 + 8 + 3x \u003d 0 এটিতে রূপান্তরিত হয়েছে: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. এর বৈষম্যমূলক এই মানটির সমান: -23। যেহেতু এই সংখ্যাটি নেতিবাচক, তাই এই কাজের উত্তরটি নিম্নলিখিত প্রবেশে থাকবে: "কোনও শিকড় নেই" "

পঞ্চম সমীকরণ 12x + x 2 + 36 \u003d 0 নিম্নরূপে আবার লিখতে হবে: x 2 + 12x + 36 \u003d 0. বৈষম্যমূলক সূত্র প্রয়োগ করার পরে, শূন্য সংখ্যাটি প্রাপ্ত হয়। এর অর্থ এটির একটি মূল হবে: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6।

ষষ্ঠ সমীকরণ (x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2) এর জন্য ট্রান্সফর্মেশনগুলির প্রয়োজন হয়, যা ব্র্যাককেট খোলার আগে আপনাকে অনুরূপ পদগুলি আনার দরকার হয়। প্রথমটির জায়গায়, এই জাতীয় ভাব থাকবে: x 2 + 2x + 1. সমতার পরে, এই রেকর্ডটি উপস্থিত হবে: x 2 + 3x + 2. যেমন পদগুলি গণনা করার পরে, সমীকরণটি রূপটি গ্রহণ করবে: x 2 - x \u003d 0. এটি অসম্পূর্ণ হয়ে গেছে has ... এর মতো এটি ইতিমধ্যে খানিকটা উঁচু বলে বিবেচিত হয়েছে। এর মূলগুলি 0 এবং 1 নম্বর হবে।

আমরা বিষয়টি অধ্যয়ন অব্যাহত রাখি “ সমীকরণ সমাধান"। আমরা ইতিমধ্যে লিনিয়ার সমীকরণের সাথে দেখা করেছি এবং এর সাথে পরিচিত হতে এগিয়ে চলেছি দ্বিঘাত সমীকরণ.

প্রথমত, আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণ কী, কীভাবে এটি সাধারণ আকারে লেখা হয় তা বিশ্লেষণ করব এবং সম্পর্কিত সংজ্ঞা দেব। এর পরে, উদাহরণগুলি ব্যবহার করে আমরা বিশদ বিশ্লেষণ করব যে কীভাবে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়। তারপরে আমরা সম্পূর্ণ সমীকরণগুলি সমাধান করার দিকে এগিয়ে যাই, শিকড়গুলির সূত্র গ্রহণ করি, চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক সাথে পরিচিত হই এবং আদর্শ উদাহরণগুলির সমাধানগুলি বিবেচনা করি। পরিশেষে, আসুন শিকড় এবং সহগের মধ্যে সম্পর্কটি চিহ্নিত করি।

পৃষ্ঠা নেভিগেশন।

চতুর্ভুজ সমীকরণ কী? তাদের প্রকার

চতুর্ভুজ সমীকরণ কী তা আপনাকে প্রথমে পরিষ্কারভাবে বুঝতে হবে। সুতরাং, চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞা এবং চতুর্থ সমীকরণের সংজ্ঞা এবং এর সাথে যুক্ত সংজ্ঞাগুলির সাথে কথা বলা শুরু করা যৌক্তিক। এর পরে, আপনি মূল ধরণের চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি বিবেচনা করতে পারেন: হ্রাস এবং অ-হ্রাস, পাশাপাশি সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ সমীকরণ।

চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞা এবং উদাহরণ

সংজ্ঞা।

দ্বিঘাত সমীকরণ ফর্ম একটি সমীকরণ a x 2 + b x + c \u003d 0 , যেখানে x হল একটি ভেরিয়েবল, ক, খ এবং সি কয়েকটি সংখ্যা এবং একটি ননজারো।

আসুন এখনই বলা যাক চতুর্ভুজ সমীকরণগুলিকে প্রায়শই দ্বিতীয় ডিগ্রির সমীকরণ বলা হয়। এটি কারণ চতুর্ভুজ সমীকরণ হয় বীজগণিত সমীকরণ দ্বিতীয় ডিগ্রী.

শব্দযুক্ত সংজ্ঞাটি আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ দিতে দেয়। সুতরাং 2 x 2 + 6 x + 1 \u003d 0, 0.2 x 2 + 2.5 x + 0.03 \u003d 0, ইত্যাদি চতুর্ভুজ সমীকরণ।

সংজ্ঞা।

নম্বর a, b এবং c বলা হয় চতুর্ভুজ সমীকরণের সহগ a x 2 + b x + c \u003d 0, এবং সহগ a কে প্রথম, বা সর্বোচ্চ, বা x 2 এর সহগ বলা হয়, দ্বিতীয়টি সহগ হয়, বা x এর সহগ হয়, এবং c হয় মুক্ত শব্দ।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন 5 x 2 −2 x - 3 \u003d 0 ফর্মের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ নেওয়া যাক, এখানে শীর্ষস্থানীয় সহগ 5, দ্বিতীয় সহগ −2, এবং ইন্টারসেপ্ট −3 হয়। দ্রষ্টব্য যে যখন সহগ বি এবং / বা সি নেতিবাচক হবে, যেমন যেমন সুনির্দিষ্ট উদাহরণ দেওয়া হয়েছে, তখন চতুর্ভুজ সমীকরণের সংক্ষিপ্ত রূপটি 5 x 2 + (3 - 0 নয়, 5 x 2 + (- 2 ) এক্স + (- 3) \u003d 0।

এটি লক্ষ করা উচিত যে যখন সহগ এবং a বা / বা b সমান 1 বা −1 সমান হয়, তখন তারা সাধারণত স্পষ্টভাবে চতুষ্কোণ সমীকরণে উপস্থিত হয় না, যা এ জাতীয় লেখার বিশেষত্বের কারণে। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ y 2 −y + 3 \u003d 0 এ, শীর্ষস্থানীয় সহগ একটি হয়, এবং y এর সহগ −1 হয়।

হ্রাস এবং অপ্রত্যাশিত চতুর্ভুজ সমীকরণ

নেতৃস্থানীয় সহগের মানের উপর নির্ভর করে হ্রাস এবং অ-হ্রাসযুক্ত চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি পৃথক করা হয়। আসুন আমরা সংজ্ঞা প্রদান করি।

সংজ্ঞা।

একটি চতুর্ভুজ সমীকরণ যেখানে শীর্ষস্থানীয় সহগ 1 হয় is চতুর্ভুজ সমীকরণ হ্রাস... অন্যথায় চতুর্ভুজ সমীকরণ হয় অবিশ্বস্ত.

অনুসারে এই সংজ্ঞা, চতুর্ভুজ সমীকরণ x 2 −3 x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0, ইত্যাদি - প্রদত্ত, তাদের প্রত্যেকের মধ্যে প্রথম সহগ একটির সমান। এবং 5 x 2 --x - 1 \u003d 0 ইত্যাদি - অপরিবর্তিত চতুষ্কোণ সমীকরণ, তাদের শীর্ষস্থানীয় সহগ 1 থেকে পৃথক।

নেতৃস্থানীয় সহগ দ্বারা তার উভয় অংশকে ভাগ করে নিয়ে কোনও অ-হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ থেকে, আপনি হ্রাস করাতে যেতে পারেন। এই ক্রিয়াটি একটি সমতুল রূপান্তর, অর্থাৎ, এইভাবে প্রাপ্ত হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণের মূল অবিশ্বাস্য চতুর্ভুজ সমীকরণের মতো একই শিকড় রয়েছে, বা এর মতো এর কোনও শিকড় নেই।

আসুন আমরা উদাহরণস্বরূপ বিশ্লেষণ করা যাক কীভাবে একটি অনুন্নত চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে হ্রাসিত স্থানে রূপান্তর করা হয়।

উদাহরণ।

3 x 2 + 12 x - 7 \u003d 0 সমীকরণ থেকে, সংশ্লিষ্ট হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণে যান।

সিদ্ধান্ত।

নেতৃস্থানীয় গুণাগুণ 3 দ্বারা মূল সমীকরণের উভয় পক্ষের বিভাজন করা আমাদের পক্ষে যথেষ্ট, এটি ননজারো, সুতরাং আমরা এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করতে পারি। আমাদের কাছে (3 x 2 + 12 x - 7): 3 \u003d 0: 3, যা একই, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 \u003d 0 এবং আরও (3: 3) এক্স 2 + (12: 3) এক্স - 7: 3 \u003d 0, কোথা থেকে। সুতরাং আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ পেয়েছি, যা মূল একের সমান।

উত্তর:

সম্পূর্ণ এবং অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ

চতুর্ভুজ সমীকরণের সংজ্ঞায় শর্তটি একটি ≠ 0 রয়েছে। এই শর্তটি একটি x 2 + b x + c \u003d 0 সমীকরণের জন্য হুবহু চতুষ্কোণীয় হওয়া আবশ্যক, যেহেতু a \u003d 0 এ এটি প্রকৃতপক্ষে b x + c \u003d 0 ফর্মের লিনিয়ার সমীকরণ হয়ে যায়।

সহগ বি এবং গ হিসাবে, তারা পৃথক এবং একসাথে উভয় শূন্যের সমান হতে পারে। এই ক্ষেত্রে চতুর্ভুজ সমীকরণকে অসম্পূর্ণ বলা হয়।

সংজ্ঞা।

চতুর্ভুজ সমীকরণকে একটি x 2 + b x + c \u003d 0 বলা হয় অসম্পূর্ণযদি কমপক্ষে একটি সহগ বি, গ এর সমান হয় তবে শূন্যের সমান হয়।

তার পালা

সংজ্ঞা।

সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ এমন একটি সমীকরণ যেখানে সমস্ত সহগ ননজারো।

এই নামগুলি সুযোগ দ্বারা দেওয়া হয় না। এটি নিম্নলিখিত বিবেচনাগুলি থেকে স্পষ্ট হয়ে উঠবে।

সহগ বি যদি শূন্যের সমান হয়, তবে চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি x 2 + 0 x + c \u003d 0 রূপ ধারণ করে এবং এটি একটি x 2 + সি \u003d 0 সমীকরণের সমান। যদি সি \u003d 0, অর্থাৎ, চতুর্ভুজ সমীকরণটির আকারটি একটি x 2 + বি x + 0 \u003d 0 হয় তবে এটি একটি এক্স 2 + বি x \u003d 0 হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে। এবং b \u003d 0 এবং c \u003d 0 দিয়ে আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণকে একটি · x 2 \u003d 0 পাই। ফলস্বরূপ সমীকরণগুলি সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে পৃথক হয় যে তাদের বাম-হাতের দিকগুলিতে ভেরিয়েবল এক্স সহ একটি শব্দ বা একটি মুক্ত শব্দ বা উভয়ই থাকে না। সুতরাং তাদের নাম - অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ।

সুতরাং x 2 + x + 1 \u003d 0 এবং x2 x 2 −5 x + 0.2 \u003d 0 সমীকরণগুলি সম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ এবং x 2 \u003d 0, x2 x 2 \u003d 0.5 x 2 + 3 \u003d 0, 2x 2 −5 · x \u003d 0 অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ।

অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করা

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে তথ্য থেকে এটি নিম্নলিখিত যে অনুসরণ করে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ তিন ধরণের:

• a x 2 \u003d 0, সহগ খ \u003d 0 এবং সি \u003d 0 এর সাথে মিল;
• a x 2 + c \u003d 0 যখন খ \u003d 0;
• এবং একটি x 2 + বি x \u003d 0 যখন সি \u003d 0 হয়।

আসুন কীভাবে এই প্রতিটি ধরণের অপূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয় তা বিশ্লেষণ করা যাক।

একটি এক্স 2 \u003d 0

আসুন অসম্পূর্ণ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলি সমাধান করে শুরু করুন যেখানে সহগ বি এবং সি সমান শূন্য, অর্থাৎ, ফর্মের সমীকরণের সাথে একটি · x 2 \u003d 0 হবে। A · x 2 \u003d 0 সমীকরণটি x 2 \u003d 0 সমীকরণের সমান, যা মূল থেকে দুটি অংশকে ননজারো সংখ্যায় বিভাজিত করে প্রাপ্ত হয়। স্পষ্টতই, x 2 \u003d 0 সমীকরণের মূলটি 0, \u003d 0 থেকে শূন্য। এই সমীকরণের অন্য কোনও শিকড় নেই, যা ব্যাখ্যা করা হয়েছে, প্রকৃতপক্ষে কোনও ননজারো সংখ্যা পি এর জন্য, বৈষম্য p 2\u003e 0 ধারণ করে, যেহেতু এটি পি ≠ 0 এর জন্য সমতা পি 2 \u003d 0 অর্জন করে না।

সুতরাং, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ a · x 2 \u003d 0 এর একটি একক মূল x \u003d 0 রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন আমরা অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ -4 · x 2 \u003d 0 এর সমাধান দিতে পারি। সমীকরণ x 2 \u003d 0 এর সমান, এর একমাত্র মূলটি x \u003d 0, সুতরাং, মূল সমীকরণটির একটি অনন্য মূল শূন্য রয়েছে।

এই ক্ষেত্রে একটি সংক্ষিপ্ত সমাধানটি নীচে হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0

একটি এক্স 2 + সি \u003d 0

এখন আসুন বিবেচনা করা যাক কীভাবে অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করা হয়, যার মধ্যে সহগ খ শূন্য, এবং সি ≠ 0, অর্থাৎ, ফর্মের সমীকরণ a · x 2 + c \u003d 0 হয়। আমরা জানি যে সমীকরণের একপাশ থেকে বিপরীত চিহ্ন দিয়ে অন্যটিতে রূপান্তর করার পাশাপাশি সমীকরণের উভয় দিককে ননজারো সংখ্যায় ভাগ করে সমান সমীকরণ দেয় give সুতরাং, আমরা অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি এক্স 2 + সি \u003d 0 এর নিম্নলিখিত সমমানের রূপান্তরগুলি সম্পাদন করতে পারি:

• সিটিকে ডান দিকে সরান, যা সমীকরণকে x 2 \u003d −c দেয়,
• এবং উভয় অংশকে একটি দ্বারা ভাগ করুন, আমরা পেয়েছি।

ফলস্বরূপ সমীকরণ আমাদের এর শিকড় সম্পর্কে উপসংহার আঁকতে সহায়তা করে। A এবং c এর মানগুলির উপর নির্ভর করে, অভিব্যক্তিটির মানটি নেতিবাচক হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d 1 এবং c \u003d 2, তবে) বা ধনাত্মক, (উদাহরণস্বরূপ, যদি a \u003d −2 এবং c \u003d 6 হয় তবে), এটি শূন্যের সমান নয় , যেহেতু শর্তে সি ≠ 0। আসুন আমরা কেসগুলি পৃথকভাবে পরীক্ষা করি এবং।

যদি, তবে সমীকরণটির কোনও শিকড় নেই। এই বিবৃতিটি যে কোনও সংখ্যার বর্গক্ষেত্রটি একটি অ-নেতিবাচক সংখ্যা হিসাবে সত্যটি অনুসরণ করে। এটি এ থেকে অনুসরণ করে যে কখন, তখন কোনও সংখ্যার জন্য সমতা সত্য হতে পারে না।

যদি, তবে সমীকরণের শিকড়গুলির সাথে পরিস্থিতি আলাদা। এই ক্ষেত্রে, আপনি যদি মনে রাখেন তবে সমীকরণের মূলটি তাত্ক্ষণিকভাবে স্পষ্ট হয়ে ওঠে, এটি একটি সংখ্যা, যেহেতু। অনুমান করা সহজ যে সংখ্যাটিও সমীকরণের মূল, প্রকৃতপক্ষে, is এই সমীকরণের অন্য কোনও শিকড় নেই, যা দেখানো যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, দ্বন্দ্বের দ্বারা। চল এটা করি.

আসুন সমীকরণের শিকড়গুলি কেবল x 1 এবং 1x 1 হিসাবে স্বরযুক্ত বলে বোঝান। ধরুন সমীকরণটির আরও একটি মূলের 2 টি নির্দেশিত শিকড় x 1 এবং 1x 1 থেকে পৃথক রয়েছে। এটি পরিচিত যে x এর পরিবর্তে সমীকরণের মূলের প্রতিস্থাপনটি সমীকরণটিকে একটি সত্যিক সংখ্যার সমতায় পরিণত করে। এক্স 1 এবং 1x 1 এর জন্য আমাদের এবং এক্স 2 এর জন্য রয়েছে। সংখ্যাগত সমতার বৈশিষ্ট্যগুলি আমাদের সত্য সংখ্যার সমতাগুলির টু-কাল-বিয়োগ বিয়োগ করতে দেয়, সুতরাং সমতার সাথে সম্পর্কিত অংশগুলি বিয়োগ করে x 1 2 −x 2 2 \u003d 0 দেয়। সংখ্যার সাথে ক্রিয়াগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি আপনাকে ফলস্বরূপ সমতা (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0 হিসাবে পুনরায় লেখার অনুমতি দেয়। আমরা জানি যে দুটি সংখ্যার গুণফল যদি শূন্যের সমান হয় তবে কেবল যদি তাদের মধ্যে কমপক্ষে একটি শূন্যের সমান হয়। সুতরাং, এটি প্রাপ্ত সমতা থেকে অনুসরণ করে যে x 1 - x 2 \u003d 0 এবং / অথবা x 1 + x 2 \u003d 0, যা একই, x 2 \u003d x 1 এবং / অথবা x 2 \u003d −x 1। এভাবেই আমরা একটি বৈপরীত্যে পৌঁছালাম, শুরু থেকেই আমরা বলেছিলাম যে x 2 সমীকরণের মূলটি x 1 এবং 1x 1 থেকে পৃথক। এটি প্রমাণ করে যে সমীকরণটির শিকড় ছাড়া আর কোনও নেই।

আসুন এই আইটেমের তথ্য সংক্ষেপে। অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ একটি x 2 + সি \u003d 0 সমীকরণের সমতুল্য

• শিকড় নেই যদি,
• দুটি শিকড় আছে এবং, যদি।

একটি · x 2 + c \u003d 0 ফর্মের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের উদাহরণ বিবেচনা করুন।

চতুর্ভুজ সমীকরণ 9 x 2 + 7 \u003d 0 দিয়ে শুরু করা যাক। মুক্ত শব্দটিকে সমীকরণের ডান দিকে স্থানান্তরিত করার পরে, এটি রূপটি 9 · x 2 \u003d −7 নেয়। ফলাফল সমীকরণের উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা ভাগ করে আমরা পৌঁছে যাচ্ছি। যেহেতু ডানদিকে একটি নেতিবাচক সংখ্যা রয়েছে তাই এই সমীকরণের কোনও শিকড় নেই, সুতরাং, মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 9 · x 2 + 7 \u003d 0 এর কোনও শিকড় নেই।

আরও একটি অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ −x 2 + 9 \u003d 0 সমাধান করুন। নয়টি ডানদিকে নিয়ে যান: 2x 2 \u003d −9। এখন আমরা উভয় পক্ষকে −1 দ্বারা বিভক্ত করি, আমরা এক্স 2 \u003d 9 পাই। ডানদিকে একটি ধনাত্মক সংখ্যা রয়েছে, যা থেকে আমরা এটি বা শেষ করি। তারপরে আমরা চূড়ান্ত উত্তরটি লিখি: অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ 2x 2 + 9 \u003d 0 এর দুটি শিকড় x \u003d 3 বা x \u003d −3 রয়েছে।

a x 2 + b x \u003d 0

এটি সি \u003d 0 এর জন্য শেষ প্রকারের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান নিয়ে কাজ করে। X 2 + b x \u003d 0 ফর্মের অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ আপনাকে সমাধান করতে দেয় গুণন পদ্ধতি... স্পষ্টতই, আমরা সমীকরণের বাম দিকে অবস্থিত করতে পারি, যার জন্য এটি সাধারণ ফ্যাক্টর এক্স বের করার পক্ষে যথেষ্ট। এটি আমাদের মূল অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণ থেকে x x (a · x + b) \u003d 0 আকারের সমতুল্য সমীকরণে যেতে দেয়। এবং এই সমীকরণটি দুটি সমীকরণ x \u003d 0 এবং একটি x + b \u003d 0 এর সংমিশ্রণের সমতুল্য, যার শেষটি লিনিয়ার এবং একটি মূল x \u003d −b / a রয়েছে।

সুতরাং, অসম্পূর্ণ চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি x 2 + বি x \u003d 0 এর দুটি শিকড় x \u003d 0 এবং x \u003d −b / a রয়েছে।

উপাদানটি একীভূত করতে আমরা একটি নির্দিষ্ট উদাহরণের সমাধান বিশ্লেষণ করব।

উদাহরণ।

সমীকরণটি সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত।

প্রথম বন্ধনীর বাইরে x সরানো একটি সমীকরণ দেয়। এটি x \u003d 0 এবং দুটি সমীকরণের সমান। আমরা ফলস্বরূপ রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করি:, এবং একটি সাধারণ ভগ্নাংশের দ্বারা মিশ্র সংখ্যাটি বিভক্ত করার পরে আমরা খুঁজে পাই। সুতরাং, মূল সমীকরণের শিকড়গুলি x \u003d 0 এবং।

প্রয়োজনীয় অনুশীলন পাওয়ার পরে, এই জাতীয় সমীকরণগুলির সমাধানগুলি সংক্ষেপে লেখা যেতে পারে:

উত্তর:

x \u003d 0 ,.

বৈষম্যমূলক, একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র

চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য একটি মূল সূত্র রয়েছে। চল লিখি দ্বিঘাত সূত্র:, কোথায় ডি \u003d বি 2 −4 এ সি - তথাকথিত চতুর্ভুজ বৈষম্যমূলক... স্বরলিপিটি মূলত এর অর্থ।

চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়ার সময়ে মূল সূত্র কীভাবে পাওয়া যায় এবং কীভাবে এটি প্রয়োগ করা হয় তা জানা দরকারী useful আসুন এটি বের করা যাক।

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি আবিষ্কার er

মনে করুন আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণটি একটি x 2 + বি x + সি \u003d 0 সমাধান করতে হবে। আসুন কিছু সমতুল্য রূপান্তর সম্পাদন করুন:

• আমরা এই সমীকরণের উভয় দিককে একটি ননজারো সংখ্যা ক দ্বারা বিভক্ত করতে পারি, ফলস্বরূপ আমরা হ্রাস চতুষ্কোণ সমীকরণ পেতে পারি।
• এখন একটি সম্পূর্ণ বর্গ নির্বাচন করুন এর বাম দিকে:। এর পরে, সমীকরণটি রূপ নেবে।
• এই পর্যায়ে, বিপরীত চিহ্ন সহ শেষ দুটি পদটি ডান-হাত দিকে স্থানান্তর করা সম্ভব।
• এবং আমরা ডান দিকে অভিব্যক্তি রূপান্তর:।

ফলস্বরূপ, আমরা এমন একটি সমীকরণ আসি যা মূল চতুর্ভুজ সমীকরণের সাথে একটি x 2 + বি x + সি \u003d 0 এর সমান।

আমরা ইতিমধ্যে পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদগুলিতে অনুরূপ সমীকরণগুলি সমাধান করেছি, যখন আমরা সেগুলি বিশ্লেষণ করি। এটি আমাদের সমীকরণের মূল সম্পর্কে নিম্নলিখিত সিদ্ধান্তগুলি আঁকতে সহায়তা করে:

• যদি, তাহলে এই সমীকরণটির কোনও আসল সমাধান নেই;
• যদি, তাহলে এই সমীকরণটির রূপ রয়েছে, সুতরাং এর একমাত্র মূলটি দৃশ্যমান;
• যদি, তবে বা, যা একই বা এটি, সমীকরণের দুটি মূল থাকে।

সুতরাং, সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি এবং সুতরাং মূল চতুর্ভুজ সমীকরণটি ডান পাশে অভিব্যক্তির চিহ্নের উপর নির্ভর করে। পরিবর্তে, এই অভিব্যক্তির চিহ্নটি সংখ্যার চিহ্ন দ্বারা নির্ধারিত হয়, যেহেতু ডোন 4 4 · a 2 সর্বদা ধনাত্মক হয়, অর্থাৎ, বি 2 −4 · a · সি বর্ণের চিহ্ন। এই এক্সপ্রেশন b 2 −4 a c বলা হয়েছিল চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্যমূলক এবং চিঠি দিয়ে চিহ্নিত ডি... এ থেকে, বৈষম্যের মূল বিষয়টি স্পষ্ট - এর মান এবং চিহ্ন দ্বারা এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় যে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড় রয়েছে কিনা, এবং যদি থাকে তবে তাদের সংখ্যাটি কী - এক বা দুটি।

সমীকরণে ফিরে, আমরা বৈষম্যমূলক স্বরলিপি ব্যবহার করে এটি আবার লিখি:। এবং আমরা সিদ্ধান্তে টান:

• যদি ডি<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• যদি ডি \u003d 0 হয়, তবে এই সমীকরণটির একটি একক মূল রয়েছে;
• শেষ অবধি, যদি ডি\u003e ০ হয়, তবে সমীকরণের দুটি মূল রয়েছে বা যা এর ভিত্তিতে ফর্মটিতে আবারও লেখা যেতে পারে বা, এবং একটি বিভাজনকে প্রসারিত ও হ্রাস করার পরে, আমরা পেয়েছি।

সুতরাং আমরা একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রগুলি পেয়েছি, তাদের এমন ফর্ম রয়েছে যেখানে বৈষম্যমূলক ডি সূত্র D \u003d b 2 −4 · a · c দ্বারা গণনা করা হয়।

তাদের সহায়তায়, একটি ইতিবাচক বৈষম্যমূলক, আপনি চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় আসল শিকড় গণনা করতে পারেন। বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হলে, উভয় সূত্রই চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি অনন্য সমাধানের সাথে মিল রেখে একই মূল মান দেয়। একটি নেতিবাচক বৈষম্যমূলক সাথে, যখন একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি ব্যবহার করার চেষ্টা করার সময়, আমরা একটি নেতিবাচক সংখ্যার বর্গমূল বের করার মুখোমুখি হই, যা আমাদের বাক্স থেকে বাইরে নিয়ে যায় এবং স্কুলের পাঠ্যক্রম... নেতিবাচক বৈষম্যমূলক সহ, চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল শিকড় নেই, তবে এর একটি জুড়ি রয়েছে জটিল অনুবন্ধী শিকড়গুলি, যা আমরা পেয়েছি একই মূল সূত্রগুলি ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া যায়।

মূল সূত্রগুলি ব্যবহার করে চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য অ্যালগরিদম

অনুশীলনে, চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার সময়, আপনি অবিলম্বে মূল সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন, যার সাহায্যে আপনি তাদের মানগুলি গণনা করতে পারেন। তবে এটি জটিল শিকড়গুলি সন্ধান করা সম্পর্কে আরও বেশি।

তবে, স্কুল বীজগণিত কোর্সে এটি সাধারণত জটিল নয়, তবে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল শিকড় সম্পর্কে। এই ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির সূত্রগুলি ব্যবহার করার আগে প্রথমে বৈষম্যমূলক সন্ধান করার পরামর্শ দেওয়া হয়, এটি অ-নেতিবাচক কিনা তা নিশ্চিত করুন (অন্যথায়, আমরা এই সিদ্ধান্ত নিতে পারি যে সমীকরণটির কোনও বাস্তব শিকড় নেই), এবং তারপরেই শিকড়গুলির মানগুলি গণনা করে।

উপরের যুক্তি আমাদের লেখার অনুমতি দেয় চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানকারী... চতুর্ভুজ সমীকরণকে x 2 + b x + c \u003d 0 সমাধান করার জন্য আপনার প্রয়োজন:

• বৈষম্যমূলক সূত্র দ্বারা D \u003d b 2 −4 · a · c এর মান গণনা করুন;
• এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাও যে বৈষম্যমূলক নেতিবাচক হলে চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল শিকড় নেই;
• সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন যদি ডি \u003d 0;
• বৈষম্যমূলক ইতিবাচক হলে মূল সূত্রটি ব্যবহার করে একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি আসল মূল সন্ধান করুন।

এখানে আমরা কেবল লক্ষ্য করি যে বৈষম্যমূলক শূন্যের সমান হলে, সূত্রটিও ব্যবহার করা যেতে পারে, এটি একই মান দেয়।

চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের জন্য আপনি অ্যালগরিদম ব্যবহারের উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যেতে পারেন।

চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধানের উদাহরণ

ইতিবাচক, নেতিবাচক এবং শূন্য বৈষম্য সহ তিনটি চতুষ্কোণ সমীকরণের সমাধানগুলি বিবেচনা করুন। তাদের সমাধানের সাথে মোকাবিলা করার পরে, সাদৃশ্য দ্বারা অন্য কোনও চতুর্ভুজ সমীকরণ সমাধান করা সম্ভব হবে। চল শুরু করি.

উদাহরণ।

X 2 + 2 x - 6 \u003d 0 সমীকরণের শিকড়গুলি সন্ধান করুন।

সিদ্ধান্ত।

এই ক্ষেত্রে, আমাদের চতুর্ভুজ সমীকরণের নিম্নলিখিত সহগ রয়েছে: a \u003d 1, b \u003d 2 এবং c \u003d .6। অ্যালগরিদম অনুসারে, আপনাকে প্রথমে বৈষম্যমূলক গণনা করা দরকার, এর জন্য আমরা বৈষম্যমূলক সূত্রে সূচিত একটি, বি এবং সি পরিবর্তিত করি, আমাদের কাছে ডি \u003d বি 2 −4 এ সি \u003d 2 2 −4 1 (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28... ২৮\u003e ০, যেহেতু, বৈষম্যমূলক শূন্যের চেয়ে বেশি, চতুর্ভুজ সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আমরা এগুলি মূল সূত্র অনুসারে পাই, আমরা পাই, এখানে আপনি করিয়া প্রাপ্ত প্রকাশগুলি সহজ করতে পারেন l মূলের সাইন ফ্যাক্টরিং ভগ্নাংশ পরবর্তী হ্রাস সঙ্গে:

উত্তর:

আসুন পরবর্তী টিপিক্যাল উদাহরণে চলে আসা যাক।

উদাহরণ।

চতুর্ভুজ সমীকরণ olve4x2 + 28x - 49 \u003d 0 সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত।

আমরা বৈষম্যমূলক খুঁজে বের করে শুরু: ডি \u003d 28 2 −4 (−4) (−49) \u003d 784−784 \u003d 0... অতএব, এই চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি একক মূল রয়েছে, যা আমরা খুঁজে পাই, এটি হ'ল

উত্তর:

x \u003d 3.5।

এটি নেতিবাচক বৈষম্যমূলক সহ চতুষ্কোণ সমীকরণগুলির সমাধান বিবেচনা করা অবশেষ।

উদাহরণ।

5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0 সমীকরণটি সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত।

এখানে চতুর্ভুজ সমীকরণের সহগ রয়েছে: a \u003d 5, b \u003d 6 এবং c \u003d 2। এই মানগুলি বৈষম্যমূলক সূত্রে প্রতিস্থাপন করা, আমাদের কাছে রয়েছে ডি \u003d বি 2 −4 এ সি \u003d 6 2 −4 5 2 \u003d 36−40 \u003d −4... বৈষম্যমূলক নেতিবাচক, অতএব, এই চতুর্ভুজ সমীকরণের কোনও আসল মূল নেই।

আপনার যদি জটিল শিকড়গুলি ইঙ্গিত করার দরকার হয়, তবে আমরা চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের জন্য সুপরিচিত সূত্রটি প্রয়োগ করি এবং সম্পাদন করি জটিল সংখ্যা অপারেশন:

উত্তর:

বাস্তব শিকড় নেই, জটিল শিকড় নীচে রয়েছে:।

আবার আমরা নোট করি যে চতুর্ভুজ সমীকরণের বৈষম্য যদি নেতিবাচক হয় তবে স্কুলে তারা সাধারণত উত্তরটি সঙ্গে সঙ্গে লিখে দেয় যেখানে তারা বোঝায় যে আসল মূল নেই, এবং জটিল শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়া যায় না।

এমনকি দ্বিতীয় সহগের জন্য মূল সূত্র

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র, যেখানে ডি \u003d বি 2 −4 সি সি আপনাকে আরও একটি কমপ্যাক্ট সূত্র পেতে দেয় যা আপনাকে x এর সমান গুণক সহ চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করতে দেয় (অথবা কেবলমাত্র 2 এন এর গুণক সহ, উদাহরণস্বরূপ, বা 14 ln5 \u003d 2 7 ln5)। আসুন এটি বাইরে নেওয়া যাক।

ধরা যাক আমাদের ফর্মের একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের সমাধান করতে হবে x x 2 + 2 n x + c \u003d 0। আসুন আমরা জানি যে সূত্রটি ব্যবহার করে এর শিকড়গুলি সন্ধান করি। এটি করতে, বৈষম্যমূলক গণনা করুন ডি \u003d (2 এন) 2 −4 এ সি \u003d 4 এন 2 −4 এ সি \u003d 4 (এন 2 −এ সি), এবং তারপরে মূল সূত্রটি ব্যবহার করুন:

আসুন n 2 −a · c এক্সপ্রেশনটি D 1 হিসাবে চিহ্নিত করুন (কখনও কখনও এটি ডি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়)। তারপরে দ্বিতীয় সহগ 2 এন দিয়ে বিবেচিত চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি রূপ নেয় , যেখানে D 1 \u003d n 2 - a · c।

এটি দেখতে সহজ যে ডি \u003d 4 · ডি 1, বা ডি 1 \u003d ডি / 4। অন্য কথায়, ডি 1 বৈষম্যের চতুর্থ অংশ part এটি পরিষ্কার যে ডি 1 এর চিহ্নটি ডি এর চিহ্ন হিসাবে একই is অর্থাৎ ডি 1 এর চিহ্নটিও একটি চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতির একটি সূচক।

সুতরাং, দ্বিতীয় সহগ 2 এন দিয়ে চতুর্ভুজ সমীকরণটি সমাধান করার জন্য আপনার প্রয়োজন

• ডি 1 \u003d n 2 −a · c গণনা করুন;
• যদি ডি 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• যদি ডি 1 \u003d 0 হয় তবে সূত্র দ্বারা সমীকরণের একমাত্র মূল গণনা করুন;
• যদি ডি 1\u003e 0 হয় তবে সূত্রের দ্বারা দুটি আসল শিকড় সন্ধান করুন।

আসুন এই অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত মূল সূত্রটি ব্যবহার করে একটি উদাহরণের সমাধানটি বিবেচনা করি।

উদাহরণ।

চতুর্ভুজ সমীকরণ 5x2 −6x - 32 \u003d 0 সমাধান করুন।

সিদ্ধান্ত।

এই সমীকরণের দ্বিতীয় সহগকে 2 · (−3) হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এটি হল, আপনি 5 x 2 + 2 (−3) x - 32 \u003d 0, এখানে a \u003d 5, n \u003d −3 এবং c \u003d −32 আকারে মূল চতুর্ভুজ সমীকরণটি আবার লিখতে পারেন এবং বৈষম্যমূলক চতুর্থ অংশ গণনা করতে পারেন: ডি 1 \u003d এন 2 −a সি \u003d (- 3) 2 −5 (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169... যেহেতু এর মান ইতিবাচক, সমীকরণের দুটি আসল মূল রয়েছে। আসুন এটি সম্পর্কিত মূল সূত্রটি ব্যবহার করে সন্ধান করুন:

নোট করুন যে চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড়গুলির জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করা সম্ভব ছিল, তবে এই ক্ষেত্রে আরও গণ্যমূলক কাজ করতে হবে।

উত্তর:

চতুষ্কোণ সমীকরণকে সরলকরণ

কখনও কখনও, সূত্রগুলি দ্বারা চতুষ্কোণ সমীকরণের মূলের গণনা শুরু করার আগে, এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে ক্ষতি করে না: "এই সমীকরণের রূপটি কি সহজ করা সম্ভব?" সম্মত হন যে গণনার শর্তে 11 x x 2 −400 x - 600 \u003d 0 এর চেয়ে চতুর্ভুজ সমীকরণ 11 x 2 −4 x - 6 \u003d 0 সমাধান করা সহজ হবে।

সাধারণত, চতুর্ভুজ সমীকরণের রূপের সরলকরণটি এর উভয় অংশকে কয়েকটি সংখ্যার দ্বারা গুণিত বা ভাগ করে অর্জন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে, আমরা উভয় পক্ষকে 100 দ্বারা ভাগ করে 1100 x 2 −400 x - 600 \u003d 0 সমীকরণটি সহজ করতে পেরেছি।

চতুষ্কোণ সমীকরণগুলির সাথে একই ধরণের রূপান্তর পরিচালিত হয়, যার গুণফলগুলি নেই। এই ক্ষেত্রে, সমীকরণের উভয় পক্ষই সাধারণত এর সহগের পরম মান দ্বারা ভাগ হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণটি 12 x 2 −42 x + 48 \u003d 0 নেওয়া যাক। এর সহগের পরম মান: জিসিডি (12, 42, 48) \u003d জিসিডি (জিসিডি (12, 42), 48) \u003d জিসিডি (6, 48) \u003d 6। মূল চতুষ্কোণ সমীকরণের উভয় পক্ষকে 6 দিয়ে বিভক্ত করে আমরা সমমানের চতুর্ভুজ সমীকরণ 2 x 2 −7 x + 8 \u003d 0 এ পৌঁছাচ্ছি।

এবং দ্বিগুণ সমীকরণের উভয় দিকের গুণগুলি সাধারণত ভগ্নাংশের সহগগুলি থেকে মুক্তি পাওয়ার জন্য করা হয়। এই ক্ষেত্রে, গুণটি তার সহগের ডিনোমিনেটর দ্বারা সম্পাদিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণের উভয় দিক যদি এলসিএম (6, 3, 1) \u003d 6 দ্বারা গুণিত হয়, তবে এটি একটি সহজ ফর্ম x 2 + 4 x - 18 \u003d 0 দ্বারা গ্রহণ করবে।

এই অনুচ্ছেদের উপসংহারে, আমরা নোট করি যে আমরা প্রায় সর্বদা সর্বনিম্ন সমীকরণের সমস্ত পদগুলির লক্ষণগুলি পরিবর্তন করে, যা উভয় অংশকে −1 দ্বারা গুণমান (বা বিভাজক) এর সাথে মিল রেখে মাইনাস থেকে মুক্তি পেতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, সাধারণত চতুর্ভুজ সমীকরণ from2 · x 2 −3 · x + 7 \u003d 0 থেকে আমরা দ্রবণ 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0 তে যাই।

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূল এবং গুণফলগুলির মধ্যে সম্পর্ক The

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্রটি তার সহগের দিক থেকে একটি সমীকরণের মূলকে প্রকাশ করে। মূল সূত্রের ভিত্তিতে, আপনি শিকড় এবং সহগের মধ্যে অন্য নির্ভরতা পেতে পারেন।

সর্বাধিক বিখ্যাত এবং প্রযোজ্য সূত্রগুলি ভিয়েতের ফর্মের উপপাদ্য থেকে এবং। বিশেষত, প্রদত্ত চতুষ্কোণ সমীকরণের জন্য, শিকড়গুলির যোগফল বিপরীত চিহ্ন সহ দ্বিতীয় সহগের সমান এবং শিকড়ের গুণফল মুক্ত শব্দটির সমান হয়। উদাহরণস্বরূপ, চতুর্ভুজ সমীকরণ 3 x 2 −7 x + 22 \u003d 0 আকারে, কেউ সঙ্গে সঙ্গে বলতে পারেন যে এর শিকড়গুলির যোগফল 7/3, এবং শিকড়ের গুণমান 22/3 হয় 22

ইতিমধ্যে লিখিত সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আপনি চতুর্ভুজ সমীকরণের শিকড় এবং সহগের মধ্যে বেশ কয়েকটি অন্যান্য সম্পর্ক পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, আপনি এর সহগের মাধ্যমে চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের স্কোয়ারগুলির যোগফল প্রকাশ করতে পারেন:

রেফারেন্স এর তালিকা.

• বীজগণিত: অধ্যয়ন. 8 সিএল জন্য। সাধারণ শিক্ষা. প্রতিষ্ঠান / [ইউ। এন। ম্যাকারিচেভ, এন। জি। মিন্ড্যুক, কে। আই নেশকভ, এস। বি। সুভেরোভা]; ed। এস এ। টেলিয়াভস্কি। - 16 তম সংস্করণ। - এম .: শিক্ষা, 2008 .-- 271 পৃষ্ঠা p : অসুস্থ - আইএসবিএন 978-5-09-019243-9।
• উঃ জি মোর্দকোভিচ বীজগণিত। অষ্টম শ্রেণি। দুপুর ২ টায় অংশ ১. শিক্ষাপ্রতিষ্ঠানের শিক্ষার্থীদের জন্য পাঠ্যপুস্তক / এ। জি মর্ডকভিচ। - 11 তম সংস্করণ, মোছা। - এম .: মেনেমোসিনা, ২০০৯ .-- ২১৫ পৃষ্ঠা: অসুস্থ। আইএসবিএন 978-5-346-01155-2।