იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული.
პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული

ამ სტატიაში ჩვენ გადავხედავთ კიდევ ორ ტიპურ ამოცანას, რომლებიც ხშირად გვხვდება ტესტებში უმაღლესი მათემატიკაში. მასალის წარმატებით ათვისების მიზნით, თქვენ უნდა შეძლოთ წარმოებულების პოვნა მინიმუმ საშუალო დონეზე. თქვენ შეგიძლიათ ისწავლოთ წარმოებულების პოვნა პრაქტიკულად ნულიდან ორ ძირითად გაკვეთილზე და რთული ფუნქციის წარმოებული. თუ თქვენი დიფერენცირების უნარები ნორმალურია, მაშინ მოდით წავიდეთ.

იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ან, მოკლედ, იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული. რა არის იმპლიციტური ფუნქცია? ჯერ გავიხსენოთ ერთი ცვლადის ფუნქციის განმარტება:

ერთი ცვლადი ფუნქციაარის წესი, რომლის მიხედვითაც დამოუკიდებელი ცვლადის თითოეული მნიშვნელობა შეესაბამება ფუნქციის ერთ და მხოლოდ ერთ მნიშვნელობას.

ცვლადი ე.წ დამოუკიდებელი ცვლადიან არგუმენტი.
ცვლადი ე.წ დამოკიდებული ცვლადიან ფუნქცია .

აქამდე ჩვენ გადავხედეთ განსაზღვრულ ფუნქციებს გამოკვეთილიფორმა. Რას ნიშნავს? მოდით ჩავატაროთ დებრიფინგი კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

განიხილეთ ფუნქცია

ჩვენ ვხედავთ, რომ მარცხნივ გვყავს მარტოხელა "მოთამაშე", ხოლო მარჯვნივ - მხოლოდ "X". ანუ ფუნქცია ცალსახადგამოხატული დამოუკიდებელი ცვლადის საშუალებით.

მოდით შევხედოთ სხვა ფუნქციას:

ეს არის სადაც ცვლადები აირია. მეტიც შეუძლებელია ნებისმიერი საშუალებითგამოხატეთ "Y" მხოლოდ "X"-ით. რა არის ეს მეთოდები? ტერმინების ნაწილიდან ნაწილზე გადატანა ნიშნის ცვლილებით, ფრჩხილებიდან გადატანა, პროპორციის წესის მიხედვით ფაქტორების გადაყრა და ა.შ. გადაწერეთ ტოლობა და შეეცადეთ გამოხატოთ „y“ ცალსახად: . შეგიძლიათ საათობით გადაატრიალოთ და გადაატრიალოთ განტოლება, მაგრამ წარმატებას ვერ მიაღწევთ.

ნება მომეცით გაგაცნოთ: – მაგალითი იმპლიციტური ფუნქცია.

მათემატიკური ანალიზის დროს დადასტურდა, რომ იმპლიციტური ფუნქცია არსებობს(თუმცა, არა ყოველთვის), მას აქვს გრაფიკი (ისევე, როგორც "ნორმალური" ფუნქცია). იმპლიციტური ფუნქცია ზუსტად იგივეა არსებობსპირველი წარმოებული, მეორე წარმოებული და ა.შ. როგორც ამბობენ, სექსუალური უმცირესობების ყველა უფლება დაცულია.

და ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვისწავლით თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად. არც ისე რთულია! ძალაში რჩება დიფერენციაციის ყველა წესი და ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. განსხვავება ერთ თავისებურ მომენტშია, რომელსაც ახლავე განვიხილავთ.

დიახ, და მე გეტყვით სასიხარულო ამბავს - ქვემოთ განხილული დავალებები შესრულებულია საკმაოდ მკაცრი და მკაფიო ალგორითმის მიხედვით, ქვის გარეშე, სამი ბილიკის წინ.

მაგალითი 1

1) პირველ ეტაპზე ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხებს:

2) ვიყენებთ წარმოებულის წრფივობის წესებს (გაკვეთილის პირველი ორი წესი როგორ მოვძებნოთ წარმოებული? გადაწყვეტილებების მაგალითები):

3) პირდაპირი დიფერენციაცია.
როგორ განვასხვავოთ სრულიად ნათელია. რა უნდა გააკეთოს იქ, სადაც არის "თამაშები" პარალიზის ქვეშ?

- უბრალოდ სამარცხვინოდ, ფუნქციის წარმოებული უდრის მის წარმოებულს: .

როგორ განვასხვავოთ
აქ გვაქვს რთული ფუნქცია. რატომ? როგორც ჩანს, სინუსის ქვეშ არის მხოლოდ ერთი ასო "Y". მაგრამ ფაქტია, რომ არსებობს მხოლოდ ერთი ასო "y" - თავისთავად არის ფუნქცია(განმარტება იხილეთ გაკვეთილის დასაწყისში). ამრიგად, სინუსი არის გარეგანი ფუნქცია და არის შიდა ფუნქცია. ჩვენ ვიყენებთ წესს რთული ფუნქციის დიფერენცირებისთვის :

პროდუქტს ჩვეული წესით ვარჩევთ :

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ - ასევე რთული ფუნქციაა, ნებისმიერი „თამაში ზარებითა და სასტვენებით“ რთული ფუნქციაა:

თავად გამოსავალი ასე უნდა გამოიყურებოდეს:


თუ არის ფრჩხილები, გააფართოვეთ ისინი:

4) მარცხენა მხარეს ვაგროვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს "Y"-ს უბრალო ასოებით. დანარჩენი ყველაფერი მარჯვენა მხარეს გადაიტანეთ:

5) მარცხენა მხარეს ვიღებთ წარმოებულს ფრჩხილებიდან:

6) და პროპორციის წესის მიხედვით, ჩვენ ამ ფრჩხილებს ჩავყრით მარჯვენა მხარის მნიშვნელში:

წარმოებული იქნა ნაპოვნი. მზადაა.

საინტერესოა აღინიშნოს, რომ ნებისმიერი ფუნქციის გადაწერა შეიძლება იმპლიციტურად. მაგალითად, ფუნქცია შეიძლება გადაწეროთ ასე: . და განასხვავეთ იგი ახლახან განხილული ალგორითმის გამოყენებით. სინამდვილეში, ფრაზები „იმპლიციტური ფუნქცია“ და „იმპლიციტური ფუნქცია“ განსხვავდება ერთი სემანტიკური ნიუანსით. ფრაზა "იმპლიციტურად მითითებული ფუნქცია" უფრო ზოგადი და სწორია, - ეს ფუნქცია მითითებულია იმპლიციტურად, მაგრამ აქ შეგიძლიათ გამოხატოთ "თამაში" და წარმოადგინოთ ფუნქცია ცალსახად. სიტყვები "იმპლიციტური ფუნქცია" უფრო ხშირად ნიშნავს "კლასიკურ" იმპლიციტურ ფუნქციას, როდესაც "თამაშის" გამოხატვა შეუძლებელია.

ასევე უნდა აღინიშნოს, რომ „იმპლიციტურ განტოლებას“ შეუძლია ერთდროულად ორი ან კიდევ მეტი ფუნქციის მითითება, მაგალითად, წრის განტოლება ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციებს , , რომლებიც განსაზღვრავენ ნახევარწრეებს. მაგრამ, ამ სტატიის ფარგლებში, ჩვენ ტერმინებსა და ნიუანსებს შორის განსაკუთრებულ განსხვავებას არ გააკეთებს, ეს იყო მხოლოდ ინფორმაცია ზოგადი განვითარებისთვის.

მეორე გამოსავალი

ყურადღება!თქვენ შეგიძლიათ გაეცნოთ მეორე მეთოდს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ იცით, როგორ იპოვოთ დამაჯერებლად ნაწილობრივი წარმოებულები. კალკულუსის დამწყებთათვის და მცოდნეებო, გთხოვთ არ წაიკითხოთ და გამოტოვოთ ეს წერტილითორემ შენი თავი სრული არეულობა იქნება.

ვიპოვოთ იმპლიციტური ფუნქციის წარმოებული მეორე მეთოდის გამოყენებით.

ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს:

და განიხილეთ ორი ცვლადის ფუნქცია:

შემდეგ ჩვენი წარმოებული შეიძლება მოიძებნოს ფორმულის გამოყენებით
მოდი ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

ამრიგად:

მეორე გამოსავალი საშუალებას გაძლევთ შეასრულოთ შემოწმება. მაგრამ მათთვის მიზანშეწონილი არ არის დავალების საბოლოო ვერსიის დაწერა, რადგან ნაწილობრივი წარმოებულები მოგვიანებით აითვისება და სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს თემას „ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული“ ჯერ არ უნდა იცოდეს ნაწილობრივი წარმოებულები.

მოდით შევხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 2

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

დაამატეთ შტრიხები ორივე ნაწილს:

ჩვენ ვიყენებთ წრფივობის წესებს:

წარმოებულების პოვნა:

ყველა ფრჩხილის გახსნა:

ყველა ტერმინს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს, დანარჩენს მარჯვენა მხარეს:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 3

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

სრული გადაწყვეტა და ნიმუშის დიზაინი გაკვეთილის ბოლოს.

არც ისე იშვიათია წილადების წარმოქმნა დიფერენცირების შემდეგ. ასეთ შემთხვევებში თქვენ უნდა მოიცილოთ ფრაქციები. მოდით შევხედოთ კიდევ ორ მაგალითს.

მაგალითი 4

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ორივე ნაწილს ვამაგრებთ შტრიხების ქვეშ და ვიყენებთ წრფივობის წესს:

დიფერენცირება რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით და კოეფიციენტთა დიფერენცირების წესი :

ფრჩხილების გაფართოება:

ახლა ჩვენ უნდა მოვიშოროთ წილადი. ეს შეიძლება გაკეთდეს მოგვიანებით, მაგრამ უფრო რაციონალურია ამის გაკეთება დაუყოვნებლივ. წილადის მნიშვნელი შეიცავს . გაამრავლე ზე . დეტალურად, ასე გამოიყურება:

ზოგჯერ დიფერენცირების შემდეგ ჩნდება 2-3 ფრაქცია. მაგალითად, სხვა წილადი რომ გვქონდეს, მაშინ ოპერაცია უნდა განმეორდეს - გამრავლება თითოეული ნაწილის ყოველი ტერმინი on

მარცხენა მხარეს ფრჩხილებიდან გამოვყავით:

საბოლოო პასუხი:

მაგალითი 5

იპოვეთ იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი. ერთადერთი ისაა, რომ სანამ წილადს მოიშორებ, ჯერ თავად წილადის სამსართულიანი სტრუქტურის მოშორება დაგჭირდება. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული

ნუ ხაზს ვუსვამთ, ამ აბზაცში ყველაფერი ასევე საკმაოდ მარტივია. შეგიძლიათ დაწეროთ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ზოგადი ფორმულა, მაგრამ ამის გასაგებად, მაშინვე ჩამოვწერ კონკრეტულ მაგალითს. პარამეტრულ ფორმაში ფუნქცია მოცემულია ორი განტოლებით: . ხშირად განტოლებები იწერება არა ხვეული ფრჩხილების ქვეშ, არამედ თანმიმდევრულად: , .

ცვლადს პარამეტრი ეწოდებადა შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები "მინუს უსასრულობიდან" "პლუს უსასრულობამდე". განვიხილოთ, მაგალითად, მნიშვნელობა და ჩაანაცვლეთ იგი ორივე განტოლებაში: . ან ადამიანური თვალსაზრისით: „თუ x უდრის ოთხს, მაშინ y უდრის ერთს“. თქვენ შეგიძლიათ მონიშნოთ წერტილი კოორდინატულ სიბრტყეზე და ეს წერტილი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას. ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ წერტილი "te" პარამეტრის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. რაც შეეხება "რეგულარულ" ფუნქციას, ამერიკელი ინდიელებისთვის პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის ყველა უფლება ასევე დაცულია: შეგიძლიათ შექმნათ გრაფიკი, იპოვოთ წარმოებულები და ა.შ. სხვათა შორის, თუ პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციის გრაფიკის დახატვა გჭირდებათ, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩემი პროგრამა.

უმარტივეს შემთხვევებში შესაძლებელია ფუნქციის ცალსახად წარმოდგენა. მოდით გამოვხატოთ პარამეტრი პირველი განტოლებიდან: - და ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში: . შედეგი არის ჩვეულებრივი კუბური ფუნქცია.

უფრო "მძიმე" შემთხვევებში, ეს ხრიკი არ მუშაობს. მაგრამ არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან არსებობს პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის ფორმულა:

ჩვენ ვპოულობთ "თამაშის" წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ყველა დიფერენციაციის წესი და წარმოებულების ცხრილი მოქმედებს, ბუნებრივია, ასოსთვის, ამდენად, წარმოებულების მოძიების პროცესში სიახლე არ არის. უბრალოდ გონებრივად შეცვალეთ ცხრილის ყველა "X" ასო "ტე".

ჩვენ ვპოულობთ "x"-ის წარმოებულს te ცვლადის მიმართ:

ახლა რჩება მხოლოდ ნაპოვნი წარმოებულების ჩანაცვლება ჩვენს ფორმულაში:

მზადაა. წარმოებული, ისევე როგორც ფუნქცია, ასევე დამოკიდებულია პარამეტრზე.

რაც შეეხება აღნიშვნას, იმის ნაცვლად, რომ ჩაწერო იგი ფორმულაში, შეიძლება უბრალოდ დაწერო აბსკრიპტის გარეშე, რადგან ეს არის "რეგულარული" წარმოებული "X-ის მიმართ". მაგრამ ლიტერატურაში ყოველთვის არის ვარიანტი, ამიტომ სტანდარტს არ გადავუხვევ.

მაგალითი 6

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ამრიგად:

პარამეტრული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის განსაკუთრებული თვისებაა ის ფაქტი, რომ ყოველ ნაბიჯზე მომგებიანია შედეგის მაქსიმალურად გამარტივება. ასე რომ, განხილულ მაგალითში, როდესაც ვიპოვე, გავხსენი ფრჩხილები ფესვის ქვეშ (თუმცა შეიძლება ეს არ გამეკეთებინა). დიდი შანსია, რომ ფორმულაში ჩანაცვლებისას ბევრი რამ კარგად შემცირდეს. თუმცა, რა თქმა უნდა, არის მაგალითები მოუხერხებელი პასუხებით.

მაგალითი 7

იპოვეთ პარამეტრულად მითითებული ფუნქციის წარმოებული

ეს არის მაგალითი თქვენთვის, რომ გადაჭრათ საკუთარი.

სტატიაში უმარტივესი ტიპიური პრობლემები წარმოებულებთანჩვენ გადავხედეთ მაგალითებს, რომლებშიც გვჭირდებოდა ფუნქციის მეორე წარმოებულის პოვნა. პარამეტრულად განსაზღვრული ფუნქციისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ იპოვოთ მეორე წარმოებული და ის გვხვდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით: . სავსებით აშკარაა, რომ მეორე წარმოებულის საპოვნელად ჯერ პირველი წარმოებული უნდა იპოვო.

მაგალითი 8

იპოვეთ პარამეტრულად მოცემული ფუნქციის პირველი და მეორე წარმოებულები

პირველი, მოდით ვიპოვოთ პირველი წარმოებული.
ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას

Ამ შემთხვევაში:

ძალიან ხშირად, პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრისას (მაგალითად, უმაღლეს გეოდეზიაში ან ანალიტიკურ ფოტოგრამეტრიაში), ჩნდება რამდენიმე ცვლადის რთული ფუნქციები, ანუ არგუმენტები. x, y, z ერთი ფუნქცია f(x,y,z) ) თავად ახალი ცვლადების ფუნქციებია U, V, W ).

ეს, მაგალითად, ხდება ფიქსირებული კოორდინატთა სისტემიდან გადაადგილებისას ოქსიზი მობილურ სისტემაში ო 0 UVW და უკან. ამავდროულად, მნიშვნელოვანია იცოდეთ ყველა ნაწილობრივი წარმოებული "ფიქსირებული" - "ძველი" და "მოძრავი" - "ახალი" ცვლადების მიმართ, რადგან ეს ნაწილობრივი წარმოებულები ჩვეულებრივ ახასიათებენ ობიექტის პოზიციას ამ კოორდინატულ სისტემებში. და, კერძოდ, გავლენა მოახდინოს საჰაერო ფოტოების შესაბამისობაზე რეალურ ობიექტთან. ასეთ შემთხვევებში გამოიყენება შემდეგი ფორმულები:

ანუ რთული ფუნქციაა მოცემული თ სამი "ახალი" ცვლადი U, V, W სამი „ძველი“ ცვლადის მეშვეობით x, y, z, შემდეგ:

კომენტარი. შეიძლება იყოს ცვლადების რაოდენობაში ცვალებადობა. მაგალითად: თუ

კერძოდ, თუ z = f(xy), y = y(x) , შემდეგ ჩვენ ვიღებთ ეგრეთ წოდებულ "მთლიანი წარმოებული" ფორმულას:

იგივე ფორმულა "მთლიანი წარმოებული" შემთხვევაში:

მიიღებს ფორმას:

ასევე შესაძლებელია ფორმულების სხვა ვარიაციები (1.27) - (1.32).

შენიშვნა: "სულ წარმოებული" ფორმულა გამოიყენება ფიზიკის კურსში, განყოფილებაში "ჰიდროდინამიკა" სითხის მოძრაობის განტოლებების ფუნდამენტური სისტემის გამოყვანისას.

მაგალითი 1.10. მოცემული:

(1.31) მიხედვით:

§7 რამდენიმე ცვლადის იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები

როგორც ცნობილია, ერთი ცვლადის იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია. x იმპლიციტი ეწოდება, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოხსნილი წ :

მაგალითი 1.11.

განტოლება

ირიბად განსაზღვრავს ორ ფუნქციას:

და განტოლება

არ აკონკრეტებს რაიმე ფუნქციას.

თეორემა 1.2 (იმპლიციტური ფუნქციის არსებობა).

დაუშვით ფუნქცია z =f(x,y) და მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ვ" x და ვ" წ განსაზღვრული და უწყვეტი ზოგიერთ უბანში უ M0 ქულები მ 0 (x 0 წ 0 ) . გარდა ამისა, f(x 0 ,ი 0 )=0 და f" (x 0 ,ი 0 )≠0 , მაშინ განტოლება (1.33) განსაზღვრავს სამეზობლოში უ M0 იმპლიციტური ფუნქცია y=y(x) , უწყვეტი და დიფერენცირებადი გარკვეულ ინტერვალში დ წერტილზე ორიენტირებული x 0 , და y(x 0 )=y 0 .

არანაირი მტკიცებულება.

თეორემა 1.2-დან გამომდინარეობს, რომ ამ ინტერვალზე დ :

ანუ არის იდენტობა

სადაც "სულ" წარმოებული გვხვდება (1.31) მიხედვით

ანუ, (1.35) იძლევა ფორმულას ერთი ცვლადის იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად. x .

ორი ან მეტი ცვლადის იმპლიციტური ფუნქცია განისაზღვრება ანალოგიურად.

მაგალითად, თუ რომელიმე მხარეში ვ სივრცე ოქსიზი მოქმედებს შემდეგი განტოლება:

შემდეგ გარკვეულ პირობებში ფუნქციაზე ფ ის ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციას

უფრო მეტიც, (1.35) ანალოგიით, მისი ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება შემდეგნაირად:

მაგალითი 1.12. ვივარაუდოთ, რომ განტოლება

ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციას

იპოვე z" x , ზ" წ .

შესაბამისად, (1.37) მიხედვით ვიღებთ პასუხს.

§8 მეორე და უმაღლესი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

განმარტება 1.9 ფუნქციის მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები z=z(x,y) განისაზღვრება შემდეგნაირად:

ოთხნი იყვნენ. უფრო მეტიც, გარკვეულ პირობებში ფუნქციებზე z(x,y) თანასწორობა მოქმედებს:

კომენტარი. მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ასევე შეიძლება აღვნიშნოთ შემდეგნაირად:

განმარტება 1.10 მესამე რიგის ნაწილობრივი წარმოებული არის რვა (2 3).

ჩვენ ვისწავლით იმ ფუნქციების წარმოებულების პოვნას, რომლებიც მითითებულია იმპლიციტურად, ანუ მითითებულია ცვლადების დამაკავშირებელი გარკვეული განტოლებით. xდა წ. ირიბად მითითებული ფუნქციების მაგალითები:

,

,

იმპლიციურად მითითებული ფუნქციების წარმოებულები ან იმპლიციტური ფუნქციების წარმოებულები საკმაოდ მარტივად გვხვდება. ახლა მოდით შევხედოთ შესაბამის წესს და მაგალითს და შემდეგ გავარკვიოთ, რატომ არის ეს ზოგადად საჭირო.

იმისთვის, რომ იპოვოთ იმპლიციურად მითითებული ფუნქციის წარმოებული, თქვენ უნდა განასხვავოთ განტოლების ორივე მხარე x-ის მიმართ. ის ტერმინები, რომლებშიც მხოლოდ X არის წარმოდგენილი, გადაიქცევა X-დან ფუნქციის ჩვეულებრივ წარმოებულად. და თამაშთან დაკავშირებული ტერმინები უნდა იყოს დიფერენცირებული რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესის გამოყენებით, რადგან თამაში არის X-ის ფუნქცია. მარტივად რომ ვთქვათ, x ტერმინის შედეგად წარმოებულმა უნდა გამოიტანოს: y-დან ფუნქციის წარმოებული გამრავლებული y-დან წარმოებულზე. მაგალითად, ტერმინის წარმოებული დაიწერება როგორც , ტერმინის წარმოებული დაიწერება როგორც . შემდეგი, ამ ყველაფრისგან თქვენ უნდა გამოხატოთ ეს "თამაშის სტრიქონი" და მიიღება იმ ფუნქციის სასურველი წარმოებული, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად. მოდით შევხედოთ ამას მაგალითით.

მაგალითი 1.

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ განტოლების ორივე მხარეს x-ის მიმართ, თუ ვივარაუდებთ, რომ i არის x-ის ფუნქცია:

აქედან ვიღებთ წარმოებულს, რომელიც საჭიროა ამოცანისთვის:

ახლა რაღაც ფუნქციების ორაზროვანი თვისების შესახებ, რომლებიც მითითებულია იმპლიციტურად და რატომ არის საჭირო მათი დიფერენცირების სპეციალური წესები. ზოგიერთ შემთხვევაში, შეგიძლიათ დარწმუნდეთ, რომ თამაშის ნაცვლად x-ის მნიშვნელობით გამოხატვის ჩანაცვლება მოცემულ განტოლებაში (იხილეთ მაგალითები ზემოთ) იწვევს იმ ფაქტს, რომ ეს განტოლება იდენტურად იქცევა. Ისე. ზემოაღნიშნული განტოლება ირიბად განსაზღვრავს შემდეგ ფუნქციებს:

კვადრატული თამაშის გამოსახულების ჩანაცვლების შემდეგ x-ის მეშვეობით თავდაპირველ განტოლებაში, მივიღებთ იდენტურობას:

.

გამონათქვამები, რომლებიც ჩვენ შევცვალეთ, მიღებულია თამაშის განტოლების ამოხსნით.

თუ ჩვენ უნდა განვასხვავოთ შესაბამისი ექსპლიციტური ფუნქცია

მაშინ ჩვენ მივიღებთ პასუხს, როგორც მაგალით 1-ში - იმ ფუნქციიდან, რომელიც მითითებულია იმპლიციურად:

მაგრამ არა ყველა ფუნქცია, რომელიც მითითებულია იმპლიციურად, შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ფორმაში წ = ვ(x) . მაგალითად, იმპლიციტურად მითითებული ფუნქციები

არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციებით, ანუ ეს განტოლებები ვერ წყდება თამაშთან მიმართებაში. მაშასადამე, არსებობს იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქციის დიფერენცირების წესი, რომელსაც ჩვენ უკვე შევისწავლეთ და შემდგომ თანმიმდევრულად გამოვიყენებთ სხვა მაგალითებში.

მაგალითი 2.იპოვნეთ იმ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მოცემულია იმპლიციტურად:

.

ჩვენ გამოვხატავთ პირველს და - გამოსავალზე - იმ ფუნქციის წარმოებულს, რომელიც მითითებულია იმპლიციტურად:

მაგალითი 3.იპოვნეთ იმ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მოცემულია იმპლიციტურად:

.

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ განტოლების ორივე მხარეს x-ის მიმართ:

.

მაგალითი 4.იპოვნეთ იმ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მოცემულია იმპლიციტურად:

.

გამოსავალი. ჩვენ განვასხვავებთ განტოლების ორივე მხარეს x-ის მიმართ:

.

ჩვენ გამოვხატავთ და ვიღებთ წარმოებულს:

.

მაგალითი 5.იპოვნეთ იმ ფუნქციის წარმოებული, რომელიც მოცემულია იმპლიციტურად:

გამოსავალი. განტოლების მარჯვენა მხარეს ტერმინებს გადავიტანთ მარცხენა მხარეს და ვტოვებთ ნულს მარჯვნივ. განტოლების ორივე მხარეს განვასხვავებთ x-ის მიმართ.

როგორც ცნობილია, ერთი ცვლადის იმპლიციტურად მოცემული ფუნქცია განისაზღვრება შემდეგნაირად: x დამოუკიდებელი ცვლადის y ფუნქციას ეწოდება იმპლიციტი, თუ იგი მოცემულია განტოლებით, რომელიც არ არის ამოხსნილი y-ის მიმართ:

მაგალითი 1.11.

განტოლება

ირიბად განსაზღვრავს ორ ფუნქციას:

და განტოლება

არ აკონკრეტებს რაიმე ფუნქციას.

თეორემა 1.2 (იმპლიციტური ფუნქციის არსებობა).

დაე, ფუნქცია z =f(x,y) და მისი ნაწილობრივი წარმოებულები f"x და f"y იყოს განსაზღვრული და უწყვეტი M0(x0y0) წერტილის UM0 მიმდებარე ტერიტორიაზე. გარდა ამისა, f(x0,y0)=0 და f"(x0,y0)≠0, შემდეგ განტოლება (1.33) განსაზღვრავს UM0-ის სამეზობლოში იმპლიციტურ ფუნქციას y= y(x), უწყვეტი და დიფერენცირებადი რაღაც D ინტერვალში. ცენტრით x0 წერტილში და y(x0)=y0.

არანაირი მტკიცებულება.

თეორემა 1.2-დან გამომდინარეობს, რომ ამ ინტერვალზე D:

ანუ არის იდენტობა

სადაც "სულ" წარმოებული გვხვდება (1.31) მიხედვით

ანუ, (1.35) იძლევა ფორმულას x ცვლადის იმპლიციტურად მოცემული ფუნქციის წარმოებულის საპოვნელად.

ორი ან მეტი ცვლადის იმპლიციტური ფუნქცია განისაზღვრება ანალოგიურად.

მაგალითად, თუ Oxyz სივრცის ზოგიერთ V რეგიონში განტოლება მოქმედებს:

მაშინ გარკვეულ პირობებში F ფუნქციაზე ის ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციას

უფრო მეტიც, (1.35) ანალოგიით, მისი ნაწილობრივი წარმოებულები გვხვდება შემდეგნაირად:

მაგალითი 1.12. ვივარაუდოთ, რომ განტოლება

ირიბად განსაზღვრავს ფუნქციას

იპოვეთ z"x, z"y.

შესაბამისად, (1.37) მიხედვით ვიღებთ პასუხს.

11.პარციალური წარმოებულების გამოყენება გეომეტრიაში.

12.ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემა.

ორი ცვლადის ფუნქციის მაქსიმალური, მინიმალური და უკიდურესი ცნებები მსგავსია ერთი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციის შესაბამისი ცნებებისა (იხ. სექცია 25.4).

დაე, ფუნქცია z = ƒ(x;y) განისაზღვროს რომელიმე D დომენში, წერტილი N(x0;y0) О D.

წერტილს (x0;y0) ეწოდება z=ƒ(x;y) ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი, თუ არსებობს d-მეზობლობა წერტილის (x0;y0) ისეთი, რომ ყოველი წერტილისთვის (x;y) განსხვავებული (xo;yo), ამ სამეზობლოდან მოქმედებს უტოლობა ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

ა ფუნქციის მინიმალური წერტილი დგინდება ანალოგიურად: ყველა წერტილისთვის (x; y) გარდა (x0; y0), წერტილის d მეზობლიდან (xo; yo) მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

ნახაზზე 210: N1 არის მაქსიმალური წერტილი, ხოლო N2 არის z=ƒ(x;y) ფუნქციის მინიმალური წერტილი.

ფუნქციის მნიშვნელობა მაქსიმუმის (მინიმუმის) წერტილში ეწოდება ფუნქციის მაქსიმუმს (მინიმუმს). ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს მის ექსტრემას უწოდებენ.

გაითვალისწინეთ, რომ განმარტებით, ფუნქციის უკიდურესი წერტილი დევს ფუნქციის განსაზღვრის დომენში; მაქსიმუმს და მინიმუმს აქვს ადგილობრივი (ლოკალური) ხასიათი: ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში (x0; y0) შედარებულია მის მნიშვნელობებთან საკმარისად ახლოს (x0; y0) წერტილებში. რეგიონში D, ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს რამდენიმე უკიდურესი ან არცერთი.

46.2. აუცილებელი და საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის

განვიხილოთ ფუნქციის ექსტრემის არსებობის პირობები.

თეორემა 46.1 (აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის). თუ N(x0;y0) წერტილში დიფერენცირებად ფუნქციას z=ƒ(x;y) აქვს უკიდურესი, მაშინ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში ნულის ტოლია: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

დავაფიქსიროთ ერთ-ერთი ცვლადი. დავუშვათ, მაგალითად, y=y0. შემდეგ ვიღებთ ერთი ცვლადის ƒ(x;y0)=φ(x) ფუნქციას, რომელსაც აქვს უკიდურესი x = x0. მაშასადამე, ერთი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის აუცილებელი პირობის მიხედვით (იხ. სექცია 25.4), φ"(x0) = 0, ანუ ƒ"x(x0;y0)=0.

ანალოგიურად, შეიძლება აჩვენოს, რომ ƒ"y(x0;y0) = 0.

გეომეტრიულად, ტოლობები ƒ"x(x0;y0)=0 და ƒ"y(x0;y0)=0 ნიშნავს, რომ z=ƒ(x;y) ფუნქციის უკიდურეს წერტილში ტანგენსი სიბრტყე ზედაპირზე, რომელიც წარმოადგენს ფუნქცია ƒ(x;y) ), პარალელურია Oxy სიბრტყის, ვინაიდან ტანგენტის სიბრტყის განტოლება არის z=z0 (იხ. ფორმულა (45.2)).

ზ შენიშვნა. ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ექსტრემუმი იმ წერტილებში, სადაც მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს. მაგალითად, ფუნქცია აქვს მაქსიმუმი O(0;0) წერტილში (იხ. სურ. 211), მაგრამ ამ ეტაპზე არ აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები.

წერტილს, სადაც z ≈ ƒ(x; y) ფუნქციის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ანუ f"x=0, f"y=0, ეწოდება z ფუნქციის სტაციონარული წერტილი.

სტაციონალურ წერტილებს და წერტილებს, რომლებშიც არ არსებობს მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული, კრიტიკულ წერტილებს უწოდებენ.

კრიტიკულ წერტილებში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ექსტრემუმი. ნაწილობრივი წარმოებულების ტოლობა ნულთან არის აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის. განვიხილოთ, მაგალითად, ფუნქცია z = xy. მისთვის წერტილი O(0; 0) კრიტიკულია (მასზე z"x=y და z"y - x ქრება). თუმცა z=xy ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი, რადგან O(0; 0) წერტილის საკმარისად მცირე სამეზობლოში არის წერტილები, რომლებისთვისაც z>0 (პირველი და მესამე მეოთხედის წერტილები) და z.< 0 (точки II и IV четвертей).

ამგვარად, მოცემულ არეალში ფუნქციის ექსტრემის საპოვნელად აუცილებელია ფუნქციის თითოეული კრიტიკული წერტილი დაექვემდებაროს დამატებით კვლევას.

თეორემა 46.2 (საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის). ƒ(x;y) ფუნქციას სტაციონარულ წერტილში (xo; y) და მის ზოგიერთ სამეზობლოში ჰქონდეს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მეორე რიგის ჩათვლით. მოდით გამოვთვალოთ წერტილში (x0;y0) მნიშვნელობები A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . აღვნიშნოთ

1. თუ Δ > 0, მაშინ ფუნქცია ƒ(x;y) წერტილში (x0;y0) აქვს უკიდურესი: მაქსიმუმი, თუ A< 0; минимум, если А > 0;

2. თუ Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

Δ = 0-ის შემთხვევაში, შეიძლება იყოს ან არ იყოს ექსტრემუმი წერტილში (x0;y0). მეტი კვლევაა საჭირო.

ᲓᲐᲕᲐᲚᲔᲑᲔᲑᲘ

1.

მაგალითი.იპოვეთ გაზრდის და კლების ფუნქციების ინტერვალები. გამოსავალი.პირველი ნაბიჯი არის ფუნქციის განსაზღვრის დომენის პოვნა. ჩვენს მაგალითში, მნიშვნელში გამოსახულება არ უნდა იყოს ნულამდე, შესაბამისად, . მოდით გადავიდეთ წარმოებულ ფუნქციაზე: საკმარისი კრიტერიუმის საფუძველზე ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალების დასადგენად, ჩვენ ვხსნით უტოლობას განმარტების დომენზე. გამოვიყენოთ ინტერვალის მეთოდის განზოგადება. მრიცხველის ერთადერთი ნამდვილი ფესვი არის x = 2, და მნიშვნელი მიდის ნულზე at x = 0. ეს წერტილები ყოფს განსაზღვრების დომენს ინტერვალებად, რომლებშიც ფუნქციის წარმოებული ინარჩუნებს თავის ნიშანს. მოდი აღვნიშნოთ ეს წერტილები რიცხვთა წრფეზე. ჩვენ პირობითად აღვნიშნავთ პლიუსებით და მინუსებით იმ ინტერვალებს, რომლებშიც წარმოებული არის დადებითი ან უარყოფითი. ქვემოთ მოცემული ისრები სქემატურად აჩვენებს ფუნქციის ზრდას ან შემცირებას შესაბამის ინტერვალზე. ამრიგად, და . წერტილში x = 2ფუნქცია განსაზღვრული და უწყვეტია, ამიტომ მას უნდა დაემატოს როგორც მზარდი, ისე კლებადი ინტერვალები. წერტილში x = 0ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, ამიტომ ამ პუნქტს საჭირო ინტერვალებში არ ჩავრთავთ. წარმოგიდგენთ ფუნქციის გრაფიკს მასთან მიღებული შედეგების შესადარებლად. პასუხი:ფუნქცია იზრდება , მცირდება ინტერვალზე (0; 2] .

2.

მაგალითები.

დააყენეთ მრუდის ამოზნექილი და ჩაზნექილი ინტერვალები წ = 2 – x 2 .

ჩვენ ვიპოვით წ"" და დაადგინეთ, სად არის მეორე წარმოებული დადებითი და სად უარყოფითი. წ" = –2x, წ"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

წ = ე x. იმიტომ რომ წ"" = ე x > 0 ნებისმიერისთვის x, მაშინ მრუდი ყველგან ჩაზნექილია.

წ = x 3 . იმიტომ რომ წ"" = 6x, ეს წ"" < 0 при x < 0 и წ"" > 0 ზე x> 0. ამიტომ, როცა x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 არის ჩაზნექილი.

3.

4. მოცემულია z=x^2-y^2+5x+4y ფუნქცია, ვექტორი l=3i-4j და წერტილი A(3,2). იპოვეთ dz/dl (როგორც მე მესმის, ფუნქციის წარმოებული ვექტორის მიმართულებით), gradz(A), |gradz(A)|. ვიპოვოთ ნაწილობრივი წარმოებულები: z(x-ის მიმართ)=2x+5 z(y-ის მიმართ)=-2y+4 ვიპოვოთ წარმოებულების მნიშვნელობები A(3,2) წერტილში: z( x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(y)(3,2)=-2*2+4=0 საიდანაც, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 z ფუნქციის წარმოებული l ვექტორის მიმართულებით: dz/dl=z(x)*cosa+z(y-ში) *cosb, a, b- ვექტორის l კუთხეები კოორდინატთა ღერძებით. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6.6.

ფუნქცია Z= f(x; y) ეწოდება იმპლიციტურს, თუ იგი მოცემულია განტოლებით F(x,y,z)=0 გადაუჭრელი Z-ის მიმართ. ვიპოვოთ ფუნქციის Z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები მოცემული იმპლიციტურად. ამისთვის, F(x;y) ფუნქციის ჩანაცვლებით განტოლებაში Z-ის ნაცვლად, მივიღებთ იდენტობას F(x,y, f(x,y))=0. ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები იდენტურად ნულის ტოლია x და y მიმართ ასევე ნულის ტოლია.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (განიხილება მუდმივი)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (x განიხილება მუდმივი)

სად
და

მაგალითი: იპოვეთ განტოლებით მოცემული Z ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
.

აქ F(x,y,z)=
;
;
;
. ზემოთ მოცემული ფორმულების მიხედვით გვაქვს:

და

1. მიმართულების წარმოებული

მოდით ორი ცვლადის ფუნქცია Z= f(x; y) მოცემული იყოს M წერტილის გარკვეულ სამეზობლოში (x,y). განვიხილოთ ერთეული ვექტორით განსაზღვრული მიმართულება
, სად
(იხილეთ სურათი).

სწორ ხაზზე, რომელიც გადის ამ მიმართულებით M წერტილის გავლით, ვიღებთ M 1 წერტილს (
) ისე, რომ სიგრძე
სეგმენტიMM 1 უდრის
. f(M) ფუნქციის ზრდა განისაზღვრება მიმართებით, სადაც
დაკავშირებულია ურთიერთობებით. თანაფარდობის ლიმიტი ზე
დაერქმევა ფუნქციის წარმოებულს
წერტილში
მიმართ და იყოს დანიშნული .

=

თუ ფუნქცია Z არის დიფერენცირებადი წერტილში
, მაშინ მისი ზრდა ამ ეტაპზე ურთიერთობების გათვალისწინებით
შეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით.

ორივე ნაწილის გაყოფა

და ლიმიტზე გადასვლა ზე
ვიღებთ ფორმულას Z= f(x; y) ფუნქციის წარმოებულის მიმართულებით:

1. გრადიენტი

განვიხილოთ სამი ცვლადის ფუნქცია
რაღაც მომენტში დიფერენცირებადია
.

ამ ფუნქციის გრადიენტი
M წერტილში არის ვექტორი, რომლის კოორდინატები შესაბამისად ტოლია ნაწილობრივი წარმოებულების
ამ ეტაპზე. გრადიენტის აღსანიშნავად გამოიყენეთ სიმბოლო
.
=
.

.გრადიენტი მიუთითებს მოცემულ წერტილში ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებაზე.

ვინაიდან ერთეული ვექტორი აქვს კოორდინატები (
), შემდეგ სამი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევის მიმართულების წარმოებული იწერება სახით, ე.ი. აქვს ვექტორების სკალარული ნამრავლის ფორმულა და
. მოდით გადავიწეროთ ბოლო ფორმულა შემდეგნაირად:

, სად - კუთხე ვექტორს შორის და
. Იმიტომ რომ
, მაშინ აქედან გამომდინარეობს, რომ მიმართულებით ფუნქციის წარმოებული იღებს მაქსიმალურ მნიშვნელობას =0, ე.ი. როდესაც ვექტორების მიმართულება და
დაწყვილება. სადაც
ანუ, ფაქტობრივად, ფუნქციის გრადიენტი ახასიათებს ამ ფუნქციის გაზრდის მაქსიმალური სიჩქარის მიმართულებას და სიდიდეს წერტილში.

1. ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემუმი

ორი ცვლადის ფუნქციის max, min, extremum ცნებები მსგავსია ერთი ცვლადის ფუნქციის შესაბამისი ცნებებისა. დაე, ფუნქცია Z= f(x; y) განისაზღვროს რომელიმე D დომენში და ა.შ. M
ეკუთვნის ამ ტერიტორიას. წერტილი M
ეწოდება Z= f(x; y) ფუნქციის max წერტილი, თუ არსებობს წერტილის ასეთი δ-მეზობლობა.
, რომ ამ სამეზობლოდან თითოეული წერტილისთვის არის უთანასწორობა
. წერტილი min განისაზღვრება ანალოგიურად, შეიცვლება მხოლოდ უტოლობის ნიშანი
. max(min) წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობას ეწოდება მაქსიმუმი (მინიმუმი). ფუნქციის მაქსიმუმს და მინიმუმს ექსტრემას უწოდებენ.

1. აუცილებელი და საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის

თეორემა:(აუცილებელი პირობები ექსტრემისთვის). თუ წერტილში მ
დიფერენცირებად ფუნქციას Z= f(x; y) აქვს უკიდურესი, მაშინ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ ეტაპზე ნულის ტოლია:
,
.

მტკიცებულება:ერთ-ერთი x ან y ცვლადის დაფიქსირების შემდეგ, ჩვენ გარდაქმნით Z = f(x; y) ერთი ცვლადის ფუნქციად, რომლის ექსტრემისთვის უნდა დაკმაყოფილდეს ზემოაღნიშნული პირობები. გეომეტრიული თანასწორობები
და
ნიშნავს, რომ Z= f(x; y) ფუნქციის უკიდურეს წერტილში ზედაპირის ტანგენსი, რომელიც წარმოადგენს f(x,y)=Z ფუნქციას, არის OXY სიბრტყის პარალელურად, რადგან ტანგენტის სიბრტყის განტოლებაა Z = Z 0. წერტილი, სადაც Z = f (x; y) ფუნქციის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია, ე.ი.
,
, ეწოდება ფუნქციის სტაციონარული წერტილი. ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ექსტრემუმი იმ წერტილებში, სადაც მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს. მაგალითადZ=|-
| აქვს max O(0,0) წერტილში, მაგრამ არ აქვს წარმოებულები ამ ეტაპზე.

სტაციონარული წერტილები და წერტილები, რომლებზეც მინიმუმ ერთი ნაწილობრივი წარმოებული არ არსებობს, ეწოდება კრიტიკული წერტილები.კრიტიკულ წერტილებში ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს ან არ ჰქონდეს ექსტრემუმი. ნაწილობრივი წარმოებულების ტოლობა ნულთან არის აუცილებელი, მაგრამ არა საკმარისი პირობა ექსტრემის არსებობისთვის. მაგალითად, როდესაც Z=xy, წერტილი O(0,0) კრიტიკულია. თუმცა Z=xy ფუნქციას არ აქვს ექსტრემი. (რადგან I და III კვარტალებში Z>0, ხოლო II და IV კვარტალებში – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

თეორემა: (საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის). დაუშვით სტაციონარულ წერტილში
და გარკვეულ მიდამოებში f(x; y) ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მე-2 რიგის ჩათვლით. მოდით გამოვთვალოთ წერტილი
ღირებულებები
,
და
. აღვნიშნოთ

თუ
, ექსტრემალური წერტილში
შეიძლება იყოს ან არ იყოს. მეტი კვლევაა საჭირო.