სიმრავლის ეკვივალენტურ კავშირს აქვს შემდეგი თვისებები. ეკვივალენტურობის მიმართება. ეკვივალენტობისა და რიგის ურთიერთობები

ისინი ამბობენ, რომ კომპლექტს მკაცრი წესრიგი აქვს. ცნებებში< , >მათ უფრო ფართო მნიშვნელობა აქვთ: უარესი უკეთესია, ადრე უფრო გვიან და ა.შ. სიმრავლეების თეორიაში მკაცრი წესრიგის მაგალითია მკაცრი ჩართვა (რომელიც არის სხვა სიმრავლის ქვესიმრავლე მისი ტოლობის გარეშე).

შეკვეთილი კომპლექტები

კომპლექტი ე.წ ხაზობრივად დალაგებული, თუ რომელიმე ელემენტის შედარება შეიძლება (ანუ, ვთქვათ: მეტი, ნაკლები ან ტოლი).

რეალური ან მთელი რიცხვების სიმრავლე: მოწესრიგებული სიმრავლის კლასიკური მაგალითები.

თუ შესაძლებელია წესრიგის მიმართების დამყარება სიმრავლეზე, მაგრამ არა ყველა წყვილ ელემენტზე, მაშინ ასეთი ნაკრები ე.წ. ნაწილობრივ შეუკვეთა.

ეს არის ვექტორების ნაკრები, კომპლექსური რიცხვების ნაკრები, სიმრავლეების სიმრავლეების თეორიაში. ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება ვთქვათ "მეტი ნაკლებია" ან "იყავი სუპერკომპლექტი და ქვესიმრავლე", მაგრამ არა ყველა შემთხვევაში.

დაკავშირებული განმარტებები

ყველა ეკვივალენტური კლასის სიმრავლე აღინიშნება .

ეკვივალენტური ურთიერთობების მაგალითები

უფრო რთული, მაგრამ აბსოლუტურად სასიცოცხლო მაგალითი:

როდესაც ექიმი გამოგიწერთ მედიკამენტს, ის რეალურად მიუთითებს რეცეპტში ეკვივალენტური მედიკამენტების კლასში; მას არ შეუძლია მიუთითოს ტაბლეტების ან ამპულების შეფუთვის სრულიად სპეციფიკური ასლი. იმათ. ყველა სახის მედიკამენტი იყოფა კლასებად ეკვივალენტური ურთიერთობებით. ეს რომ არა, თანამედროვე მედიცინა უბრალოდ შეუძლებელი იქნებოდა.

ამრიგად, ყველა სახის სალათის და კოქტეილის რეცეპტები, GOST-ები და კლასიფიკატორები ასევე განსაზღვრავენ სასიცოცხლო ეკვივალენტურ ურთიერთობებს. ეკვივალენტური ურთიერთობები მთელ ჩვენს ცხოვრებას ავსებს და მათემატიკოსებისთვის აბსტრაქტული გატარება არ არის.

რუკების ფაქტორიზაცია

ეკვივალენტურობის მიმართების შესაბამისი ეკვივალენტობის კლასების სიმრავლე აღინიშნება სიმბოლოთი და ე.წ. ფაქტორი-კომპლექტიშედარებით . უფრო მეტიც, სუბიექტური რუქა

დაურეკა ბუნებრივი ჩვენება(ან კანონიკური პროექცია) ფაქტორების სიმრავლემდე.

იყოს , იყოს კომპლექტი, იყოს რუქა, შემდეგ წესით განსაზღვრული ორობითი მიმართება

არის ეკვივალენტური მიმართება . ამ შემთხვევაში რუკება იწვევს წესით განსაზღვრულ რუკს

ან რა არის იგივე,

ამ შემთხვევაში გამოდის ფაქტორიზაციარუქები სუბიექტურ რუქაზე და ინექციურ რუკებზე.

რუკების ფაქტორიზაცია ფართოდ გამოიყენება ჰუმანიტარულ მეცნიერებებში და ტექნოლოგიის იმ სფეროებში, სადაც შეუძლებელია რიცხვითი მნიშვნელობების გამოყენება. რუკების ფაქტორიზაცია საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ ფორმულების გარეშე, სადაც ფორმულების გამოყენება შეუძლებელია. მოვიყვანოთ მაგალითი, რომელიც ყველასთვის გასაგები იქნება და არ საჭიროებს რთული მათემატიკური სიმბოლიზმის გაგებას.

სკოლის განრიგი ფაქტორიზაციის ტიპიური მაგალითია. ამ შემთხვევაში, სკოლის ყველა მოსწავლის ნაკრები, ყველა აკადემიური საგნის ნაკრები, განაწილებული კვირის დღეების მიხედვით, გაკვეთილების დროის მითითებით. ეკვივალენტური კლასები არის კლასები (მოსწავლეთა ჯგუფები). ჩვენება – მოსწავლეთა დღიურებში ნაჩვენები კლასის განრიგი. ჩვენება - კლასების განრიგი განთავსებულია სკოლის ფოიეში. აქ ასევე არის ჩვენება - კლასების სიები. ეს მაგალითი ძალიან ნათლად აჩვენებს ფაქტორიზაციის პრაქტიკულ სარგებელს: შეუძლებელია კლასის განრიგი წარმოვიდგინოთ, როგორც ცხრილი, რომელიც ასახავს სკოლის ყველა მოსწავლეს ინდივიდუალურად. ფაქტორიზაციამ შესაძლებელი გახადა სტუდენტებისთვის საჭირო ინფორმაციის ჩვენება კომპაქტური ფორმით, მოსახერხებელი გამოსაყენებლად ისეთ სიტუაციებში, სადაც ფორმულების გამოყენება შეუძლებელია.

თუმცა, ფაქტორიზაციის სარგებელი ამით არ შემოიფარგლება. ფაქტორიზაცია საშუალებას აძლევდა შრომის განაწილებას აქტივობაში მონაწილეებს შორის: უფროსი მასწავლებელი ადგენს განრიგს და მოსწავლეები წერენ დღიურებში. ანალოგიურად, რეცეპტების ფაქტორიზაცია საშუალებას აძლევდა შრომის განაწილებას ექიმს, რომელიც აკეთებს დიაგნოზს და წერს რეცეპტს, და ფარმაცევტს შორის, რომელიც უზრუნველყოფს გამოწერილი მედიკამენტების ეკვივალენტობას. ფაქტორიზაციის აპოთეოზი არის კონვეიერის ქამარი, რომელიც ახორციელებს შრომის მაქსიმალურ დანაწილებას ნაწილების სტანდარტიზაციის გზით.

მაგრამ ფაქტორიზაციის სარგებელი ამით არ შემოიფარგლება. ფაქტორიზაციამ შესაძლებელი გახადა თანამედროვე ტექნოლოგიების მოდულურობის უზრუნველყოფა, რაც მას ფუნქციების უპრეცედენტო მოქნილობას ანიჭებს. შეგიძლიათ შეინახოთ ძველი SIM ბარათი და შეიძინოთ სრულიად ახალი ტელეფონი მასთან ერთად, ან ჩადოთ ახალი ვიდეო მეხსიერება ძველ კომპიუტერში. ეს ყველაფერი არის მოქნილობა, მოდულარულობა, რომელიც დაფუძნებულია ფაქტორიზაციაზე.

ლიტერატურა

• A. I. კოსტრიკინი, შესავალი ალგებრაში. მ.: ნაუკა, 1977, 47-51.
• A. I. მალცევი, ალგებრული სისტემები, მ.: ნაუკა, 1970, 23-30.
• ვ.ვ.ივანოვი, მათემატიკური ანალიზი. NSU, ​​2009 წ.

იხილეთ ასევე

• ტოლერანტობის მიმართება არის ეკვივალენტობის დასუსტებული ფორმა.
• ეკვივალენტობა ლოგიკური ოპერაციაა.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

• საავადმყოფოს პნევმონია
• მიტელი

ნახეთ, რა არის „ეკვივალენტურობა“ სხვა ლექსიკონებში:

ეკვივალენტურობის მიმართება- - სატელეკომუნიკაციო თემები, ძირითადი ცნებები EN ეკვივალენტურობა... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

თანასწორობის ტიპის მიმართება- ეკვივალენტურობის მიმართება, ლოგიკისა და მათემატიკის ცნება, რომელიც გამოხატავს სხვადასხვა ობიექტში ერთი და იგივე ნიშნების (თვისებების) არსებობის ფაქტს. ასეთი საერთო მახასიათებლების მიხედვით, ეს განსხვავებული ობიექტები ერთმანეთისგან არ განსხვავდება (იდენტური, თანაბარი,... ...

ტოლერანტობის დამოკიდებულება- ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ ტოლერანტობა. ტოლერანტობის მიმართება (ან უბრალოდ ტოლერანტობა) კომპლექტზე არის ორობითი მიმართება, რომელიც აკმაყოფილებს რეფლექსურობისა და სიმეტრიის თვისებებს, მაგრამ არა აუცილებლად... ... ვიკიპედია

თანაფარდობა (მათემატიკა)- ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ დამოკიდებულება. მიმართება არის მათემატიკური სტრუქტურა, რომელიც ფორმალურად განსაზღვრავს სხვადასხვა ობიექტების თვისებებს და მათ კავშირებს. ურთიერთობები ჩვეულებრივ კლასიფიცირდება დაკავშირებული ობიექტების რაოდენობის მიხედვით... ვიკიპედია

დამოკიდებულება- ლოგიკაში ის, რაც თვისებისგან განსხვავებით, ახასიათებს არა ცალკეულ ობიექტს, არამედ წყვილს, სამს და ა.შ. ნივთები. ტრადიციული ლოგიკა არ ითვალისწინებდა ო. თანამედროვე ლოგიკაში O. არის ორი ან მეტი ცვლადის წინადადების ფუნქცია. ორობითი... ფილოსოფიური ენციკლოპედია

უპირატესობის ურთიერთობა- სამომხმარებლო თეორიაში, ეს არის მომხმარებლის უნარის ფორმალური აღწერა შეადაროს (სასურველობის მიხედვით) საქონლის სხვადასხვა ნაკრები (სამომხმარებლო ნაკრები). უპირატესობის ურთიერთობის აღსაწერად არ არის საჭირო სასურველობის გაზომვა... ... ვიკიპედია

დამოკიდებულება (ფილოსოფიური)- დამოკიდებულება, ფილოსოფიური კატეგორია, რომელიც გამოხატავს გარკვეული სისტემის ელემენტების განლაგების ხასიათს და მათ ურთიერთდამოკიდებულებას; ადამიანის ემოციურ-ნებაყოფლობითი დამოკიდებულება რაღაცის მიმართ, ანუ მისი პოზიციის გამოხატვა; სხვადასხვა საგნების გონებრივი შედარება... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

დამოკიდებულება- RELATIONSHIP არის მოწესრიგებული n ok ინდივიდების ნაკრები (სადაც n არის 1), ე.ი. ორი, სამი და ა.შ. რიცხვს n ეწოდება "ადგილობა", ან "არიტე", O. და, შესაბამისად, ისინი საუბრობენ n ადგილობრივ (n არნო) O. ასე რომ, მაგალითად, ორმაგ O.-ს ეწოდება... ... ეპისტემოლოგიისა და მეცნიერების ფილოსოფიის ენციკლოპედია

დამოკიდებულება- I დამოკიდებულება არის ფილოსოფიური კატეგორია, რომელიც გამოხატავს გარკვეული სისტემის ელემენტების განლაგების ხასიათს და მათ ურთიერთდამოკიდებულებას; ადამიანის ემოციურ-ნებაყოფლობითი დამოკიდებულება რაღაცის მიმართ, ანუ მისი პოზიციის გამოხატვა; განსხვავებულის გონებრივი შედარება... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

ეკვივალენტობის კლასი- ეკვივალენტური მიმართება () X სიმრავლეზე არის ორობითი მიმართება, რომლისთვისაც დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები: რეფლექსურობა: ნებისმიერი a-სთვის X-ში, სიმეტრია: თუ, მაშინ, გარდამავალი: თუ... ვიკიპედია

წიგნები

• ფინანსური გადაწყვეტილებების მიღება შედარებითი გაურკვევლობის პირობებში: მონოგრაფია, Bayuk O.A.. მონოგრაფიაში შემუშავებულია და თეორიულად დასაბუთებულია გადაწყვეტილების მიღების ახალი ლოგიკური სტრატეგია შეუდარებელ ობიექტებს შორის არჩევისას, რომელიც ადგენს უპირატესობის განსაკუთრებულ ურთიერთობას და...

I. კლასებად დაყოფა. ეკვივალენტურობის მიმართება

განმარტება 2.1. მოდით ვუწოდოთ ურთიერთშემცვლელნი M მოცემული სიმრავლის იმ და მხოლოდ იმ ობიექტებს, რომლებსაც აქვთ ფორმალური მახასიათებლების იგივე ნაკრები, რომლებიც აუცილებელია მოცემულ სიტუაციაში.

M x-ით ავღნიშნოთ x ობიექტთან ურთიერთშემცვლელი ყველა ობიექტის სიმრავლე. აშკარაა, რომ x M x და ყველა M x-ის გაერთიანება (ყველა შესაძლო x-სთვის M-დან) ემთხვევა M სრულ სიმრავლეს:

მოდი ვიჩვენოთ, რომ. ეს ნიშნავს, რომ არის რაღაც z ელემენტი, რომელიც ერთდროულად ეკუთვნის და-ს. ასე რომ, x ცვალებადია z-ით და z ცვალებადია y-ით. მაშასადამე, x ურთიერთშემცვლელია y-ით და, შესაბამისად, ნებისმიერი ელემენტით. ამგვარად. საპირისპირო გადართვა ნაჩვენებია ანალოგიურად. ამრიგად, კავშირში (2.1) არსებული სიმრავლეები ან არ იკვეთება ან მთლიანად ემთხვევა.

განმარტება 2.2. ჩვენ ვუწოდებთ M სიმრავლის არა ცარიელი ქვესიმრავლეების სისტემას (M 1, M 2,….) ამ სიმრავლის დანაყოფს, თუ

თავად კომპლექტებს უწოდებენ დანაყოფის კლასებს.

განმარტება 2.3. C მიმართებას M სიმრავლეზე ეწოდება ეკვივალენტობა (ან ეკვივალენტური მიმართება), თუ არსებობს M სიმრავლის დანაყოფი (M 1, M 2,...) ისეთი, რომ (x, y) მოქმედებს თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x და y მიეკუთვნება მოცემული დანაყოფის M i ზოგად კლასს.

მოდით (M 1 , M 2 ,….) იყოს M სიმრავლის დანაყოფი. ამ დანაყოფის საფუძველზე განვსაზღვრავთ მიმართებას c-დან M-მდე: (x, y), თუ x და y მიეკუთვნება M i ზოგად კლასს. ამ დანაყოფის. ცხადია, კავშირი ეკვივალენტობას წარმოადგენს. გამოვიძახოთ მოცემული დანაყოფის შესაბამისი ეკვივალენტური მიმართებით.

განმარტება 2.4. თუ თითოეულ M i ქვეჯგუფში ვირჩევთ მასში შემავალ x i ელემენტს, მაშინ ამ ელემენტს დაერქმევა სტანდარტი ყველა y ელემენტისთვის, რომელიც შედის იმავე სიმრავლეში M i. განმარტებით, დავუშვათ, რომ კავშირი c* „იყოს სტანდარტი“ (x i, y) შესრულებულია.

ადვილი მისახვედრია, რომ მოცემული დანაყოფის შესაბამისი c ეკვივალენტობა შეიძლება განისაზღვროს შემდეგნაირად: (z, y) თუ z და y-ს აქვთ საერთო სტანდარტი (x i, z) და (x i, y).

მაგალითი 2.1: ჩავთვალოთ M არაუარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე და მისი დაყოფა ლუწი რიცხვების M 0 და კენტი რიცხვების M 1 სიმრავლეში. მთელი რიცხვების სიმრავლის შესაბამისი ეკვივალენტური მიმართება აღინიშნება შემდეგნაირად:

და იკითხება: n შედარებადია m მოდულო 2-თან. ბუნებრივია ლუწი რიცხვებისთვის 0 და კენტი რიცხვებისთვის 1 სტანდარტად ავირჩიოთ. ანალოგიურად, იგივე M სიმრავლის k ქვესიმრავლეებად დაყოფა M 0, M 1,... M k-1, სადაც M j შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებიც k-ზე გაყოფისას მიიღებენ ნარჩენს j, მივიღებთ ეკვივალენტურ მიმართებას:

რომელიც მოქმედებს, თუ n-ს და m-ს k-ზე გაყოფისას ერთი და იგივე ნაშთი აქვთ.

ბუნებრივია, თითოეულ M j-ში სტანდარტად შევარჩიოთ შესაბამისი ნაშთი j.

II. ფაქტორების ნაკრები

დაე, იყოს ეკვივალენტობის მიმართება. შემდეგ, თეორემის მიხედვით, ხდება M სიმრავლის დაყოფა (M 1, M 2,....) ერთმანეთის ეკვივალენტური ელემენტების კლასებად - ე.წ.

განმარტება 2.5. მიმართების მიმართ ეკვივალენტურობის კლასების სიმრავლე აღინიშნება M/-ით და იკითხება როგორც M სიმრავლის კოეფიციენტური სიმრავლე მიმართების მიმართ.

მოდით μ: M > S იყოს M სიმრავლის სუბიექტური გამოსახვა S-ზე.

ნებისმიერი μ-სთვის: M > S - სუბიექტური გამოსახვა არის ეკვივალენტური მიმართება M სიმრავლეზე, რომ M/ და S შეიძლება მოთავსდეს ერთ-ერთ კორესპონდენციაში.

III. ეკვივალენტობის თვისებები

განმარტება 2.6. C მიმართებას M სიმრავლეზე ეწოდება ეკვივალენტურობის მიმართება, თუ ის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალია.

თეორემა 2.1: თუ c მიმართება M სიმრავლეზე რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალია, არსებობს M სიმრავლის დანაყოფი (M 1 , M 2 ,….) ისეთი, რომ (x, y) მოქმედებს თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ x და y მიეკუთვნება მოცემული დანაყოფის M i ზოგად კლასს.

პირიქით: თუ დანაყოფი მოცემულია (M 1, M 2,...) და ორობითი მიმართება c მოცემულია როგორც „მიკუთვნება დანაყოფის ზოგად კლასს“, მაშინ c არის რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი.

მტკიცებულება:

განვიხილოთ რეფლექსური, სიმეტრიული და გარდამავალი მიმართება c M-თან. მოდით ნებისმიერი შედგება ყველა z-სგან, რომლისთვისაც (x, z) c

ლემა 2.1: ნებისმიერი x და y, ან ან

c მიმართების ლემიდან და რეფლექსიურობიდან გამომდინარეობს, რომ ფორმის სიმრავლეები ქმნიან M სიმრავლის დანაყოფს (ამ დანაყოფს ბუნებრივად შეიძლება ეწოდოს თავდაპირველი მიმართების შესაბამისი დანაყოფი). მოდით ახლა (x, y) c. ეს ნიშნავს, რომ y. მაგრამ ასევე x (x, x) c-ის ძალით. აქედან გამომდინარე, ორივე ელემენტი შედის. ასე რომ, თუ (x, y) c, მაშინ x და y შედის ზოგადი დანაყოფის კლასში. პირიქით, მოდით u და v. ვაჩვენოთ, რომ (u, v) c მართლაც, გვაქვს (x, u) c და (x, v) c. აქედან გამომდინარე, სიმეტრიით (u, x) გ. გარდამავალობის მიხედვით, (u, x) c-დან და (x, v) c-დან მოდის (u, v) c. თეორემის პირველი ნაწილი დადასტურებულია.

მიეცით M სიმრავლის დანაყოფი (M 1, M 2,….). დანაყოფის ყველა კლასის გაერთიანება ემთხვევა M-ს, მაშინ ნებისმიერი x შედის ზოგიერთ კლასში. აქედან გამომდინარეობს, რომ (x, x) c, ე.ი. s - რეფლექსურად. თუ x და y არიან რომელიმე კლასში, მაშინ y და x ერთ კლასში არიან. ეს ნიშნავს, რომ (x, y) c გულისხმობს (y, x) c, ე.ი. ურთიერთობა სიმეტრიულია. მოდით ახლა (x, y) c და (y, z) c. ეს ნიშნავს, რომ x და y არიან ზოგიერთ კლასში, ხოლო y და z არიან ზოგიერთ კლასში. კლასებს აქვთ საერთო ელემენტი y და, შესაბამისად, ემთხვევა. ეს ნიშნავს, რომ x და z შედის კლასში, ე.ი. (x, z) მოქმედებს და მიმართება გარდამავალია. თეორემა დადასტურდა.

IV. ოპერაციები ეკვივალენტებზე.

აქ განვსაზღვრავთ რამდენიმე სიმრავლე-თეორიულ ოპერაციას ეკვივალენტობაზე და წარმოგიდგენთ მათ მნიშვნელოვან თვისებებს მტკიცებულების გარეშე.

შეგახსენებთ, რომ მიმართება არის წყვილი (), სადაც M არის კავშირში შემავალი ელემენტების სიმრავლე, და არის წყვილთა სიმრავლე, რომლებისთვისაც კავშირი დაკმაყოფილებულია.

განმარტება 2.7. მიმართებათა კვეთა (c 1, M) და (c 2, M) არის შესაბამისი ქვესიმრავლეების გადაკვეთით განსაზღვრული მიმართება. (x, y) 1-ით 2-ით თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ (x, y) 1-ით და (x, y) 2-ით ერთდროულად.

თეორემა 2.2: ეკვივალენტობათა გადაკვეთა 1-თან 2-თან 1-თან 2-თან არის თავისთავად ეკვივალენტური მიმართება.

განმარტება 2.8. მიმართებათა კავშირი (1, M-თან) და (2, M-თან) არის მიმართება, რომელიც განისაზღვრება შესაბამისი ქვესიმრავლეების გაერთიანებით. (x, y) 1-ით 2-ით თუ და მხოლოდ თუ (x, y) 1-ით ან (x, y) 2-ით.

თეორემა 2.3: იმისათვის, რომ ეკვივალენტობათა გაერთიანება 1-თან 2-თან იყოს თავისთავად ეკვივალენტური მიმართება, აუცილებელია და საკმარისია, რომ

1-დან 2-დან = 1-დან 2-დან

განმარტება 2.9. მიმართებათა პირდაპირ ჯამს (c 1, M 1) და (c 2, M 2) თანაფარდობა ეწოდება. პირდაპირი ჯამი აღინიშნება (c 1, M 1) (c 2, M 2).

ამრიგად, თუ (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), მაშინ M =.

თეორემა 2.4: თუ და მიმართებები ტოლობებია, მაშინ მიმართებათა პირდაპირი ჯამი (c 1, M 1) (c 2, M 2) = (), ასევე არის ეკვივალენტობა.

V. ურთიერთობების სახეები

მოდით წარმოგიდგინოთ ურთიერთობების კიდევ რამდენიმე მნიშვნელოვანი ტიპი. მაგალითები მოცემულია მესამე თავში.

განმარტება 2.10. C მიმართებას M სიმრავლეზე ტოლერანტობა ეწოდება, თუ ის რეფლექსური და სიმეტრიულია.

განმარტება 2.11. C მიმართებას M სიმრავლეზე ეწოდება მკაცრი რიგის მიმართება, თუ ის ანტირეფლექსური და გარდამავალია.

განმარტება 2.12. მკაცრი რიგის კავშირს c ეწოდება სრულყოფილ მკაცრ წესრიგს, თუ რომელიმე ელემენტის x და y წყვილისთვის M-დან ან (x, y) ან (y, x) მართალია.

განმარტება 2.13. C ურთიერთობას M სიმრავლეზე ეწოდება არამკაცრი რიგის მიმართება, თუ ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სახით:

სადაც M-ზე მკაცრი რიგია, E კი დიაგონალური მიმართებაა.

ლექცია 22. ეკვივალენტობისა და რიგის მიმართებები სიმრავლეზე

1. ეკვივალენტურობის მიმართება. კავშირი ეკვივალენტურ ურთიერთობასა და სიმრავლის კლასებად დაყოფას შორის.

2. წესრიგის მიმართება. მკაცრი და არამკაცრი წესრიგის მიმართებები, წრფივი წესრიგის მიმართებები. კომპლექტების შეკვეთა.

3. ძირითადი დასკვნები

მოდით შევხედოთ წილადების სიმრავლეს X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) თანასწორობის მიმართება. ეს კავშირი:

რეფლექსურად, ვინაიდან ყოველი წილადი თავის ტოლია;

სიმეტრიულად, ვინაიდან ის ფაქტი, რომ წილადი მ/ნწილადის ტოლი გვ/ქ, აქედან გამომდინარეობს, რომ წილადი გვ/ქწილადის ტოლი მ/ნ;

გარდამავალი, ვინაიდან იმ ფაქტიდან, რომ წილადი მ/ნწილადის ტოლი გვ/ქდა წილადი გვ/ქწილადის ტოლი რ/ს, აქედან გამომდინარეობს, რომ წილადი მ/ნწილადის ტოლი რ/ს.

წილადების ტოლობის მიმართებაზე ამბობენ ეკვივალენტურობის მიმართება.

განმარტება. X სიმრავლეზე R მიმართებას ეწოდება ეკვივალენტური მიმართება, თუ მას ერთდროულად აქვს რეფლექსურობის, სიმეტრიისა და გარდამავლობის თვისებები.

ეკვივალენტურობის მიმართებების მაგალითებია გეომეტრიული ფიგურების თანასწორობის მიმართებები, წრფეების პარალელურობის მიმართება (იმ პირობით, რომ დამთხვევა ხაზები პარალელურად ჩაითვლება).

რატომ არის გამოყოფილი ამ ტიპის ურთიერთობა მათემატიკაში? განვიხილოთ სიმრავლეზე განსაზღვრული წილადების ტოლობის მიმართება X= (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) (სურ. 106). ჩვენ ვხედავთ, რომ ნაკრები დაყოფილია სამ ქვეჯგუფად: (1/2, 2/4, 3/6), (1/3, 2/6), (1/4). ეს ქვესიმრავლეები არ იკვეთება და მათი კავშირი ემთხვევა სიმრავლეს X,იმათ. ჩვენ გვაქვს ნაკრების დანაყოფი Xკლასებისკენ. ეს შემთხვევითი არ არის.

Საერთოდ, თუ ეკვივალენტურობის მიმართება მოცემულია X სიმრავლეზე, მაშინ იგი წარმოქმნის ამ სიმრავლის დაყოფას წყვილ-წყვილად განცალკევებულ ქვესიმრავლებად (ეკვივალენტურობის კლასებად).

ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ, რომ წილადების სიმრავლეზე ტოლობის მიმართება (1/2, 1/3, 1/4, 2/4, 2/6, 3/6) შეესაბამება ამ სიმრავლის დაყოფას ეკვივალენტურ კლასებად. , რომელთაგან თითოეული შედგება ერთმანეთში თანაბარი წილადებისგან.

პირიქითაც მართალია: თუ X სიმრავლეზე განსაზღვრული რომელიმე მიმართება წარმოქმნის ამ სიმრავლის დაყოფას კლასებად, მაშინ ეს არის ეკვივალენტური მიმართება.

განვიხილოთ, მაგალითად, გადასაღებ მოედანზე X =(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) მიმართება „იგივე ნაშთი გქონდეს 3-ზე გაყოფისას“. იგი წარმოქმნის ნაკრების დანაყოფს Xკლასებად: ერთი მოიცავს ყველა რიცხვს, რომლებიც 3-ზე გაყოფისას ტოვებენ ნარჩენს 0-ს (ეს არის რიცხვები 3, 6, 9), მეორე - რიცხვები, რომლებიც 3-ზე გაყოფისას ტოვებენ ნარჩენს 1-ს (ეს არის რიცხვები 1, 4. , 7, 10), ხოლო მესამეში - ყველა რიცხვი, 3-ზე გაყოფისას დარჩენილია 2 (ეს არის რიცხვები 2, 5, 8). მართლაც, მიღებული ქვესიმრავლეები არ იკვეთება და მათი კავშირი ემთხვევა სიმრავლეს X.შესაბამისად, ნაკრებში განსაზღვრული მიმართება „აქვს იგივე ნაშთი 3-ზე გაყოფისას“. X,არის ეკვივალენტური მიმართება. გაითვალისწინეთ, რომ დებულებას ეკვივალენტურ ურთიერთობასა და სიმრავლის კლასებად დაყოფას შორის ურთიერთობის შესახებ დამტკიცებას საჭიროებს. ჩვენ ვდებთ მას. ვთქვათ, თუ ეკვივალენტურ მიმართებას აქვს სახელი, მაშინ შესაბამისი სახელი ეძლევა კლასებს. მაგალითად, თუ ტოლობის მიმართება მითითებულია სეგმენტების სიმრავლეზე (და ეს არის ეკვივალენტური მიმართება), მაშინ სეგმენტების სიმრავლე იყოფა ტოლი სეგმენტების კლასებად (იხ. სურ. 99). მსგავსების მიმართება შეესაბამება სამკუთხედების სიმრავლის დაყოფას მსგავსი სამკუთხედების კლასებად.

ასე რომ, გარკვეული სიმრავლეზე ეკვივალენტურობის დამოკიდებულების არსებობის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია ეს ნაკრები დავყოთ კლასებად. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გააკეთოთ პირიქით: ჯერ დაყავით ნაკრები კლასებად და შემდეგ განსაზღვრეთ ეკვივალენტური მიმართება, იმის გათვალისწინებით, რომ ორი ელემენტი ექვივალენტურია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი მიეკუთვნებიან განსახილველი დანაყოფის იმავე კლასს.

კომპლექტის კლასებად დაყოფის პრინციპი გარკვეული ეკვივალენტური ურთიერთობის გამოყენებით არის მათემატიკის მნიშვნელოვანი პრინციპი. რატომ?

ჯერ ერთი, ეკვივალენტი - ეს ნიშნავს ეკვივალენტს, ურთიერთშემცვლელს. ამრიგად, იგივე ეკვივალენტობის კლასის ელემენტები ურთიერთშემცვლელია. ამრიგად, წილადები, რომლებიც ერთსა და იმავე ეკვივალენტურ კლასში არიან (1/2, 2/4, 3/6) განსხვავდებიან ტოლობის მიმართების თვალსაზრისით, ხოლო წილადი 3/6 შეიძლება შეიცვალოს სხვა, მაგალითად 1-ით. /2. და ეს ჩანაცვლება არ შეცვლის გამოთვლების შედეგს.

მეორეც, ვინაიდან ეკვივალენტურობის კლასში არის ელემენტები, რომლებიც არ განირჩევა რაიმე მიმართების თვალსაზრისით, მიგვაჩნია, რომ ეკვივალენტობის კლასს განსაზღვრავს მისი რომელიმე წარმომადგენელი, ე.ი. ამ კლასის თვითნებური ელემენტი. ამრიგად, ტოლი წილადების ნებისმიერი კლასი შეიძლება დაზუსტდეს ამ კლასს მიკუთვნებული ნებისმიერი წილადის მითითებით. ეკვივალენტობის კლასის განსაზღვრა ერთი წარმომადგენლის მიერ საშუალებას იძლევა, კომპლექტის ყველა ელემენტის ნაცვლად, შეისწავლოს ცალკეული წარმომადგენლების კოლექცია ეკვივალენტური კლასებიდან. მაგალითად, ეკვივალენტურობის მიმართება „იგივე რაოდენობის წვეროები“, რომელიც განსაზღვრულია მრავალკუთხედების სიმრავლეზე, წარმოქმნის ამ სიმრავლის დაყოფას სამკუთხედების, ოთხკუთხედების, ხუთკუთხედების და ა.შ. გარკვეული კლასის თანდაყოლილი თვისებები განიხილება მის ერთ-ერთ წარმომადგენელზე.

მესამე, ნაკრების დაყოფა კლასებად ეკვივალენტურობის მიმართების გამოყენებით გამოიყენება ახალი ცნებების დასანერგად. მაგალითად, „ხაზების შეკვრის“ კონცეფცია შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ის, რაც საერთოა პარალელური ხაზებისთვის.

ზოგადად, ნებისმიერი კონცეფცია, რომლითაც ადამიანი მოქმედებს, წარმოადგენს ეკვივალენტობის გარკვეულ კლასს. "მაგიდა", "სახლი", "წიგნი" - ყველა ეს კონცეფცია არის განზოგადებული იდეები მრავალი კონკრეტული ობიექტის შესახებ, რომლებსაც აქვთ იგივე მიზანი.

ურთიერთობის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ტიპია შეკვეთის ურთიერთობები.

განმარტება. X სიმრავლეზე R მიმართებას ეწოდება რიგის მიმართება, თუ მას ერთდროულად გააჩნია ანტისიმეტრიისა და გარდამავალობის თვისებები. .

რიგითი მიმართებების მაგალითებია: ნატურალური რიცხვების სიმრავლის „ნაკლები“ ​​მიმართება; მიმართება არის "მოკლე" სეგმენტების ერთობლიობაზე, რადგან ისინი ანტისიმეტრიული და გარდამავალია.

თუ წესრიგის მიმართებას ასევე აქვს კავშირის თვისება, მაშინ ნათქვამია, რომ ეს არის მიმართება ხაზოვანი წესრიგი.

მაგალითად, ნატურალური რიცხვების სიმრავლეზე „ნაკლები“ ​​მიმართება არის წრფივი რიგის მიმართება, რადგან მას აქვს ანტისიმეტრიის, გარდამავალობის და კავშირის თვისებები.

განმარტება. X სიმრავლეს უწოდებენ მოწესრიგებულს, თუ მას აქვს წესრიგის მიმართება.

ამრიგად, ნატურალური რიცხვების N სიმრავლის დალაგება შესაძლებელია მასზე „ნაკლები“ ​​მიმართების მითითებით.

თუ კომპლექტზე განსაზღვრული შეკვეთის მიმართება X,აქვს კავშირის თვისება, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ ის ხაზობრივად ბრძანებსრამოდენიმე X.

მაგალითად, ნატურალური რიცხვების სიმრავლის დალაგება შესაძლებელია როგორც "ნაკლები", ასევე "მრავალჯერადი" მიმართების გამოყენებით - ორივე არის რიგითი მიმართებები. მაგრამ "ნაკლები" მიმართებას, განსხვავებით "მრავალჯერადი" მიმართებაში, ასევე აქვს დაკავშირების თვისება. ეს ნიშნავს, რომ "ნაკლები" მიმართება აწესრიგებს ნატურალური რიცხვების სიმრავლეს წრფივად.

არ უნდა ვიფიქროთ, რომ ყველა ურთიერთობა იყოფა ეკვივალენტურ და წესრიგის მიმართებად. არსებობს ურთიერთობების დიდი რაოდენობა, რომლებიც არც ეკვივალენტური და არც რიგითი მიმართებებია.